În cele mai multe calcule financiare, managerii trebuie să se confrunte cu complex și nu cu un procent simplu. În cazul în care suma acumulată în procente, să investească (capitaliza) de fiecare dată (valorifică), cu alte cuvinte, să se atașeze la suma principală, adică. Ca o creștere a unei valori constante, ca în cazul unui procent simplu și a ratei dobânzii din întreaga sumă anterioară acumulată, atunci în acest caz va fi aproximativ o rată complexă a dobânzii.
Rata sofisticată a dobânzii - un astfel de pariu în care procentul este acumulat într-o bază de date tot mai mare, luând în considerare interesul acumulat în perioadele anterioare ("dobânda pe procente").
Secvența de calcule pentru rata complexă a dobânzii este, în general, după cum urmează:
suma acumulată pentru primul an :;
suma acumulată pentru al doilea an :.
În general
Rețineți că, la o rată fixă \u200b\u200ba dobânzii, investiții pentru o perioadă, care corespunde ratei dobânzii la procente complexe și simple, duce la aceeași valoare extinsă. Prin urmare, acumularea de interes complex este echivalentă cu acumularea simplă la reinvestirea fondurilor la sfârșitul fiecărei perioade.
Deci, următoarea formulă este valabilă, numită Formula complexă a dobânzii:
unde - suma extinsă pentru un interes complex; - capitalul principal; r. - rata dobânzii pentru perioada; t. - termen (în perioadele corespunzătoare ratei dobânzii); - Factorul de eroare.
Notă. Instabilitatea situației economice este forțată să utilizeze în tranzacțiile de credit variind în timp, dar în avans fixă \u200b\u200bpentru fiecare perioadă de rate complexe ale dobânzii.
În acest caz, cantitatea extinsă poate fi determinată prin formula
unde - ratele dobânzilor secvențiale; - perioadele în care sunt utilizate rate adecvate.
Formula de reducere a ratelor complexe a dobânzii este după cum urmează:
Exemplu.250 de mii de dolari SUA sunt investite timp de patru ani sub 6% pe an. Calculați interesul complex acumulat până la sfârșitul termenului.
Decizie.
Utilizarea unui interes simplu și complex în computerele financiare oferă rezultate inegale; Diferențele dintre ele se datorează termenilor tranzacțiilor. Astfel, cu o dimensiune egală a ratelor de dobândă simplă și complexă (), sub o perioadă de împrumut mai mică de un an () suma extinsă calculată de procente pur și simplu va fi mai mare decât suma calculată prin interes complex. În termenul tranzacției, mai mult de un an () creșterea interesului complex este înaintea procentului de venit, deoarece în acest caz
În cazul în care în paranteze curbate este dezvăluită folosind formula de binom din Newton.
De regulă, rata anuală a dobânzii este înregistrată în contracte financiare, deși procentele pot acumula o jumătate de an, sferturi, luni etc. Evident, cu cât procentele sunt capitalizate, cu atât este mai rapid costul activului relevant. Rata anuală în acest caz trebuie transformată corespunzător. Deci, dacă rata anuală a dobânzii este de 12%, atunci la o capitalizare semestrială, aceasta va fi 6 la un trimestrial - 3% etc.
Pentru a calcula valoarea viitoare, de exemplu, la capitalizarea semi-anuală, se poate depune ca suma Pv. Investit pentru două perioade cu rată a dobânzii r / 2. Pentru fiecare jumătate de an. Astfel, ar trebui să calculați valoarea viitoare Fv. în două perioade (jumătate ale anului). Generalizarea, putem spune că dacă t. - numărul de perioade de capitalizare pe an, apoi valoarea viitoare Fv. prin t. ani la rată g. Procentul pe an, exprimat prin formula
Exemplu.Deponentul pune 1000 de dolari la o bancă sub 20% pe an. Ce sumă de numerar va avea în contul său cinci ani mai târziu, dacă se percepe un procent complex: a) trimestrial; b) lunar?
Decizie.
După cum rezultă din exemplul de mai sus, cu atât mai des frecvența de acumulare a unui interes complex, cu atât investitorul va primi mai mult în aceeași perioadă de timp la aceeași rată a dobânzii anuale.
Un procent complex poate fi acumulat destul de des. Dacă frecvența de acumulare a dobânzii se va strădui pentru infinit (T → ∞), obținem cazul acumulatorului de dobândă continuă. În ciuda faptului că este logic dificil de imaginat frecvența dobânzilor acumularea, infinitatea egală, matematică este posibilă determinarea valorii fondurilor pe care investitorul le va primi dacă există un numerar în condițiile unui interes continuu acumulator. În special:
Prin urmare, cu dobândă continuă. În acest caz 
Este ușor să vă asigurați că factorul de eroare este într-adevăr limitat în creștere, deoarece parametrul crește t.
Cititorul va fi capabil să facă acest lucru independent, de exemplu, pentru un anumit caz când și. Deja cu un factor de factor va fi egal cu 2,717 și cu o valoare de 2,718.
Creșterea continuă este ipoteza care există numai în teorie și aplicată în modele financiare, cum ar fi, de exemplu, un model pentru determinarea costului opțiunilor (vezi capitolul 4).
Deci, am aflat că cu cât are loc mai des capitalizarea, cu atât este mai rapid costurile viitoare. O rată eficientă a dobânzii vă permite să comparați tranzacțiile financiare cu frecvență diferită de dobânzi și rate ale dobânzii inegale.
Rata efectivă a dobânzii () - rata dobânzii acumulată pentru anul, echivalentă cu rata anuală a dobânzii în timpul capitalizării, mai des decât o dată pe an.
Aceasta din urmă este cunoscută ca rata dobânzii nominală sau declarată. Ratele efective și nominale sunt echivalente atunci când oferă aceeași valoare viitoare. Astfel, pentru a găsi o rată a dobânzii efectivă, este necesar să rezolvăm în mod evident următoarea ecuație:
Partea stângă a acestei ecuații arată valoarea viitoare (după un an) 1 zi. un., care este acumulat la o rată efectivă a dobânzii, iar în partea dreaptă - valoarea viitoare de 1 zi. Unitățile pentru care se percepe un procent complex t. perioade la rata pentru perioada respectivă. La fel de t. Perioadele din agregate sunt un an, atunci ecuația luată în considerare reflectă o cerință complet naturală încât ambele valori ale valorii viitoare sunt egale.
Pentru suma arbitrară lay () avem
O rată eficientă a dobânzii este adesea folosită pentru a compara alternativele de investiții la diferite rate ale dobânzii și perioade de capitalizare. Calculul în acest caz Ratele efective ale dobânzii, trebuie să se acorde o preferință (altfel) printr-o opțiune cu o valoare mare de o rată procentuală efectivă (efectivă).
Exemplu.Să presupunem că intenționați să investiți 100.000 de dolari și aveți ocazia să le investiți sub 12% pe an cu capitalizare lunară. Există o altă opțiune: puteți investi fondurile sub 12,4% pe an, cu o capitalizare semi-anuală. Ce opțiune preferată?
Pentru răspuns, calculează ratele efective ale dobânzii la ambele opțiuni:
O analiză comparativă a rezultatelor calculelor indică o eficiență mai mare a celei de-a doua opțiuni de investiție a investițiilor.
În unele calcule financiare, investitorii se confruntă cu necesitatea de a defini o rată a dobânzii necunoscută care leagă valorile specifice ale acestei valori (date) și viitoare, într-o anumită perioadă de separare. De exemplu, unele tipuri de obligațiuni necesită plata astăzi și sugerează o plată viitoare pentru o anumită sumă, dar rata dorită a dobânzii a fost implicată în același timp și, prin urmare, trebuie să se bazeze.
Acest lucru se poate face după transformarea corespunzătoare a formulei care conectează costul prezent (dat) și viitor. Ca rezultat, ajungem
Exemplu.Vă recomandăm să investiți numerar, garantând volumul lor în cinci ani. Este adecvat să urmărim această propunere dacă aveți o oportunitate alternativă de a pune bani sub 14% pe an?
Decizie.
În consecință, propunerea făcută este profitabilă din punct de vedere economic.
Uneori, managerii financiari trebuie să calculeze la ce oră va fi necesar să se investească într-un proiect specific atins, cu o rată a dobânzii bine cunoscută, o anumită dimensiune (specificată). De exemplu, managerul Fondului de pensii, care are o sumă specifică de bani astăzi pentru a asigura viitoarele plăți de pensii, poate fi interesat în care aceste fonduri vor crește la o anumită sumă pentru a asigura îndeplinirea obligațiilor Fondului. Aici, ca în cazul precedent, soluția poate fi găsită din ecuația care leagă acest lucru (astăzi) și costurile viitoare:
Rescrieți-l după cum urmează:
Luați un logaritm natural din ambele părți ale egalității:
Potrivit proprietății logaritmului
Soluția acestei ecuații pentru t. da.
Exemplu.La începutul anului, investitorul deschide un depozit în bancă în valoare de 10.000 de dolari pentru a primi 1188 dolari1. Taxele bancare 9% pe an, capitalizarea interesului se efectuează la sfârșitul fiecărui an. La ce perioadă ar trebui să deschideți un depozit?
Decizie.
Pentru un calcul aproximativ al numărului de discrete (perioade) din timpul necesar pentru duble investiții, este posibil să se utilizeze bine-cunoscutul "regula 72", care oferă o aproximare foarte bună. Valoarea dorită aici poate fi calculată prin împărțirea numărului "72" la rata dobânzii specificată în procente.
Deschiderea unui depozit bancar ar trebui să se acorde atenție nu numai la rata dobânzii, ci și la tipul de dobândă acumulator. Există un simplu dobândă acumulator și complex. În acest articol, vom analiza diferența dintre modul de acumulare a ratei dobânzii și vom determina, de asemenea, ce beneficiile acestora sau acele mod de angajament.
De obicei, băncile oferă un acumulator simplu de dobândă. Ce înseamnă? Aceasta înseamnă că dobânda va fi acumulată la contribuția dvs. numai la sfârșitul termenului. Acestea. Să presupunem că ați descoperit contribuția sub 10% pe an și a investit 10.000 de ruble. Un an mai târziu, veți fi acumulați ca procent de 1.000 de ruble. Dacă vă lăsați contribuția la al doilea an, după această perioadă veți fi percepute încă 1.000 de ruble.
Timp de 2 ani, cu un mod simplu de dobândă, suma dvs. finală va fi: 12.000 de ruble.
Dacă a existat un interes complex de interes, atunci imaginea se schimbă ușor. După 1 an, ar exista și 11.000 de ruble (10.000 - contribuția dvs. + 1 000 de ruble sub formă de interes).
Cu toate acestea, această mie acumulată, la sfârșitul primei perioade, s-ar fi alăturat corpului principal la depozit. Și tot interesul ar fi fost acumulat pentru această sumă totală. Acestea. Veți primi 10% pentru al doilea an, nu mai este de la 10.000 de ruble și de la 11 mii. În banii se dovedește - 1 100 de ruble.
Total, timp de 2 ani, cu un acumulator complex, suma dvs. va fi: 12 100 de ruble
Cred că nu are sens să explic că selectați: 12.000 sau 12 100 de ruble. În plus, un avantaj suplimentar al interesului complex este faptul că vin și ei. Acestea. În cazul în care Banca răspunde licența, atunci toate dobânzile acumulate sunt, de asemenea, rambursate deponentului.
Cu un acumulator simplu, banii sunt plătiți numai la sfârșitul termenului limită, adică. De fapt, ei nu au fost acumulați, chiar dacă doar o zi a rămas înainte de sfârșitul contribuției dvs.! Și în acest caz, aveți dreptul să returnați numai capitala fixă.
Mai ales atractive este de a contribui la capitalizarea lunară sau trimestrială a interesului. Cu cât este mai mică perioada de capitalizare a depozitului, cu atât mai mare rezultatul pe care îl oferă. Punctul este aici în efectul cumulativ. Atunci când interesul acumulator sub formă de profit este, de asemenea, încărcat câștigurile. Uneori interesul complex se numește interes luând în considerare reinvestirea sau capitalizare. Acordați atenție acestui lucru atunci când încheiați un acord cu banca. Dacă contractul spune că dobânda este acumulată la sfârșitul perioadei de depozit, atunci vorbim despre un mod simplu de dobândă.
Băncile nu oferă adesea. Chiar dacă interesul este acumulat lunar sau trimestrial, băncile preferă să nu utilizeze profitul pentru a angaja dobânzi suplimentare pentru ele, dar listează un cont separat. Cazul aici, după cum sa menționat mai sus, în efectul de refinanțare, atunci când o rată a dobânzii efectivă datorată capitalizării va fi mai mare, menționată inițial de către Bancă.
Exemplu. La o rată nominală de 9% pe an, rata efectivă reală, luând în considerare reinvestirea, ar fi de 9,4% pe an. La 10%, acest indicator ar crește la 10,5% și la 11% la 11,6%.
Băncile indică de obicei o rată nominală a dobânzii, întrucât o rată efectivă a dobânzii, sub rezerva reducerii procentuale, se poate întâmpla.
Pentru cei care doresc să înțeleagă ce sumă va primi bani în investiții în cadrul unui procent complex în bancă există o formulă specială pentru reinvestirea sau capitalizarea depozitului:
S \u003d k * (1 + r / t) ™
K este suma inițială pe care ați intrat în bancă,
r este rata anuală a dobânzii pe care o puneți în bancă, de exemplu, 10% pe an - aceasta este de 0,1, 12% pe an - aceasta este 0.12
t - numărul procentului de plăți pe an, de exemplu, dacă procentele sunt acumulate anual, atunci t \u003d 1, trimestrial t \u003d 4, lunar t \u003d 12
TM - numărul de perioade de interes de interes, adică Dacă ați descoperit o contribuție timp de 2 ani, atunci cu perioadele de angajamente trimestriale vor fi 8, cu un TM lunar va fi egal cu 24.
S - suma care va fi în contul dvs. după expirarea perioadei de depozit.
Exemplu.
Ați descoperit o contribuție pentru o perioadă de 2 ani, sub 12% pe an, procent de capitalizare trimestrial. Ați contribuit cu 10.000 de ruble.
Ce sumă veți avea la sfârșitul termenului?
K \u003d 10 000
R \u003d 0,12%
T \u003d 4.
Tm \u003d 8.
Avem, S \u003d 10 000 * (1 + 0,12 / 4) ∧8 \u003d 12 668 de ruble.
Total timp de 2 ani, o contribuție similară vă va aduce 2668 de ruble sau 26,68% randament.
Dacă, de exemplu, să ia o taxă procentuală simplă în același timp de 12% pe an timp de 2 ani, cu o analiză anuală, dar fără capitalizare, atunci la sfârșitul termenului, suma va fi puțin mai mică, și anume 2.400 de ruble sau 24% Randament.
Desigur, diferența de 2,68% nu este atât de mare. Dar totul se schimbă dacă valoarea depozitului este modificată sau creșterea perioadei de depunere. La intervale de timp sunt la intervale de timp, diferența dintre acumularea de interes simplă și complexă este cea mai vizibilă. La intervale lungi, diferența dintre rezultatul rezultat poate varia uneori. Nu e de mirare că Rothschild (cea mai bogată familie a planetei) numită interes complex "".
Acest subiect se referă și este obligatoriu pentru a studia la investiții, consolidarea capitalului sau doar pentru a acumula suma necesară de bani. În sectorul financiar, este obișnuit să se distingă principiul calculării interesului simplu și complex. De exemplu, în sfera bancară, un procent complex este înțeles sub conceptul. Și investițiile folosesc adesea cuvântul "reinvestiție".
Procentual dificil Acestea numesc progresia geometrică a sumei monetare, în care interesul acumulator al profiturilor se adaugă la suma de bază, în perioada următoare, cantitatea de bază crește și procentul este acumulat deja pe acesta. Datorită acestui efect, profitabilitatea este obținută mai mare decât cu un procent simplu.
Capitalizarea sau reinvestirea - Aceasta este sumarea dobânzii acumulată cu suma de bază în perioada desemnată. În perioada ulterioară, valoarea de bază se modifică la această valoare procentuală, astfel se realizează creșterea progresivă sau avalanche a valorii fondurilor. La calcularea formulei unui procent simplu, suma de bază rămâne întotdeauna neschimbată.
Toate aceste teorii pentru un cititor nepregătit pare a fi consumatoare de timp și confuz prin Chur. Dar vă asigurăm că nimic nu se suprapune în formula unui procent complex și a diferențelor sale de la simplu. Acum vom analiza mai multe sarcini și totul va cădea în loc.
Formula de procente simple și complexe pe perioada mică are o diferență minoră. Luați în considerare exemplele.
Ai pus 1000 de ruble pentru un cont de depozit regulat sub 10% pe an timp de 3 ani. După 3 ani, trageți 1300 de ruble. Așa funcționează procentual simplu.
Ați pus 1000 de ruble într-un cont de depozit, dar în caracteristicile depozitului indicat "Cu capitalizarea anuală a interesului". Același lucru - 10% pe an, perioada este aceeași - 3 ani. După 3 ani, fotografiați deja 1331 de ruble. Datorită efectului unui procent complex, ați primit mai mult de 31 de ruble decât în \u200b\u200bprimul caz.
Procentele simple nu mai sunt interesante pentru noi, iar formula complexului arată astfel:
S. - suma pe care o veți lua la sfârșit
B. - Suma de bază
Relatii cu publicul. - rata dobânzii
n. - perioada temporară (poate atât în \u200b\u200bani, cât și în luni)
Să ne gândim acum pe sumele și procentele mai aproape de realitate pentru a simți diferența în întregime.
În acest caz, are loc capitalizarea anuală a dobânzii la contribuția. Unele bănci au, de asemenea, un serviciu de capitalizare lunar. Despre acest lucru în sarcina de mai jos.
În formula trebuie să aplicați un procent lunar, pentru că acesta este împărțit timp de 12 luni. Se pare că 0,67% este procentajul pe lună. Și să acorde atenție, gradul este acum egal cu 48 - acesta este numărul de luni în 4 ani. Înlocuim-o în formula:
Pentru lunar Capitalizarea Venitul rezultat al contribuabilului sa dovedit a fi mai mult de 1736 de ruble.
Pentru ca un procent complex de lucru, nu este nevoie să luați interesul acumulat, lăsați-i să valorifice contul. Apoi veți obține mai multe beneficii de la depozit.
Mai sus, am considerat exemple simplificate ale activității unui procent complex. De fapt, băncile folosesc o formulă puțin complicată.
Rata dobânzii pare ca
g. - Rata în% pe \u200b\u200ban, împărțită la 100. Dacă 8% pe an, apoi ajungem g.=0,08
d. - numărul de zile prin care procentele sunt capitalizate cu suma de bază
y. - Numărul de zile pe an
Formula universală și vă permite să efectuați un calcul pentru diferite tipuri de depozite. Astfel, formula principală a devenit puțin mai complicată:
Conceptul matematic al "progresiei geometrice" ajută la îndeplinirea unei contribuții bancare cu capitalizarea mult mai eficient decât fără capitalizare. Creierul uman nu poate prezenta întotdeauna diferența sau la început nu pare semnificativă pentru el. De fapt, pe perioade semnificative de timp, un procent complex începe să joace un rol enorm în construirea de capital.
Luați în același timp 2 exemple cu procente simple și complexe, astfel încât diferența a fost vizuală. În ambele exemple de realizare, suma inițială de bază va fi de 10 mii de ruble. Timp de 20 de ani sub 10% pe an. În coloane "procentaj complex", cantitatea de interes în fiecare an va fi adăugată la valoarea de bază.
După cum putem vedea cu o perioadă lungă de timp, capitalizarea interesului arată ca un instrument foarte frapant! Și cu atât este mai mare perioada de atașamente, cu atât devine mai frapantă diferența. Dar să luăm în considerare un exemplu mai impresionant.
Cel mai impresionant exemplu al unui procent complex va fi mai mic.
Imaginați-vă că suma de bază pe care o aveți complet la scară - 1000 de ruble. Dar în fiecare lună puteți amâna din salarii pentru 1000 de ruble.
Acum voi estima opțiunile, ce procente oferă mijloace disponibile de conservare și investire a banilor pe an:
Să nu dăm formula mai mult, deoarece am spus deja totul în detaliu. Acum, luați cifrele finale care afectează imaginația unei persoane nepregătite.
Pe măsură ce vedem rezultatele impresionante, sumele cresc ca un bulgăre de zăpadă. Puteți verifica cu toții calculatorul sau Excel, nu există nici o înșelăciune. Puteți deveni într-adevăr un milionar, amânând doar 1000 de ruble pe lună.
Și dacă poți amâna 10.000 de ruble? Acum încercați în tabel peste tot pe etichetă și ați surprins din nou rezultatele.
Puteți argumenta că sumele foarte interesante apar doar la 20% pe an. Și nu știți cum să investiți în stoc. De fapt, nu este o ocupație atât de dificilă. Există strategii de investiții foarte simple în stoc. Nu trebuie să vă gândiți cum să alegeți stocurile și să le vindeți în fiecare zi sau săptămână sau cumpărați. Totul este aproape ca un depozit bancar. Tocmai am amânat bani cumpărați pe ei în fiecare lună și aceleași stocuri sau acțiuni ale fundației. Aceasta este o scurtă esență a strategiei.
De ce în stoc pentru a investi în siguranță? De ce acțiunile vor crește cu siguranță cu 20% pe an? Veți primi informații detaliate despre strategie și răspunsuri la aceste întrebări pe webinarul nostru, sau mai degrabă înregistrarea acestui webinar.
Suntem încă câteva formule auxiliare care pot fi utile atunci când elaborează un plan financiar personal. Ele sunt exprimate de cele deja scrise mai sus. Luați în considerare totul pe exemplele de sarcini.
Plată:
Răspunsul este de 10,03%
Plată:
Răspuns: 8,9 ani.
Formula descrisă pentru procentul obișnuit și complex al construcției de capital este utilizat în mod activ în întreaga lume, fie că este vorba de acumulări sau investiții comune. Consilierii financiari profesioniști și cei mai bogați oameni ai lumii vorbesc la fel de bine și recomandă să recurgă la interes dificil pentru a-și îmbunătăți poziția financiară.
După cum am văzut, nu este necesar să avem o sumă mare la început, principalul lucru este să amânați în mod regulat banii și să vă bucurați de un procent bun.
Sub rata dobânzii Este înțeleasă ca valoare relativă a veniturilor pentru o perioadă fixă \u200b\u200bde timp.
Interes diferă în baza de date a angajamentului lor. Se utilizează o bază constantă sau în mod consecvent pentru calcul. În acest din urmă caz, baza de date utilizează suma obținută în stadiul anterior de creștere sau reducere, adică Dobândă procentaj procentual. Pe bază permanentă simplu, cu schimbat - sofisticatratele dobânzilor.
Sub suma extensivă Împrumuturi (datorii, depozit, alte tipuri emise sau investite) înțeleg suma inițială cu dobândă acumulată până la sfârșitul mandatului său.
Impactul cu o rată simplă a dobânzii:
unde este o sumă extinsă; P este suma inițială, n-termen, R este o rată de increment (fracțiune zecimală).
Impactul la o rată dificilă a dobânzii:
, (2)
unde j este o rată dificilă a dobânzii; N este numărul de ani de incremente, M este numărul de taxe de dobândă pe an.
Oferta nominală. - Aceasta este o rată anuală de interes complex în interesul unic acumulat pe an la rata j.
Ofertă eficientă - Aceasta este rata anuală a interesului complex, care oferă același rezultat ca și acumularea de interes M-o singură dată pe an la rată.
Impactul la o rată a dobânzii continue:
Cu incidență continuă de interes, se aplică un tip special de rată a dobânzii - forța de creștere (). Puterea de creștereaceasta caracterizează creșterea relativă a sumei crescânde pentru o perioadă infinit de timp. Poate fi constantă sau schimbată în timp.
, (3)
Termen reducere Este folosit ca un mijloc de determinare a oricărei valori valoroase referitoare la viitor, pe unii, în primul rând în timp.
Practicile financiare sunt adesea întâlnite cu sarcina de returnare a procentului: la o anumită sumă, care ar trebui plătită după o perioadă de timp N, este necesar să se determine valoarea împrumutului acordat împrumutului. Această situație poate apărea, de exemplu atunci când elaborează contractul Condiții. Calculul P cu S este necesar și când procentul de la suma este ținut înainte, adică. Direct la emiterea unui împrumut. În acest caz, spuneți că suma s rezolualizat sau considerat, procesul de acumulare de dobândă și deducerea acestora se numește contabilitate, și dobânda reținută - reducere.
În funcție de tipul ratelor dobânzilor, sunt utilizate două metode de reducere - reducerea matematică și bancă(comercial) Contabilitate. În primul caz, se utilizează o rată de cazare, în a doua - rata contabilă.
Reducerea matematică este o soluție formală a sarcinii, includerea inversă a sumei inițiale a împrumutului.
, (4)
Bancă sau altă instituție financiară înainte de perioada de plată pe un proiect de lege sau de altă obligație de plată o dobândește de la proprietar la un preț mai mic decât suma specificată în proiectul de lege, adică. Cumpără (ia în considerare) cu o reducere (adică, la o reducere). După ce au primit bani cu privire la apariția facturilor, banca pune în aplicare reducerea. Când se aplică facturile contabile bancăsau contabilitatea comercială, conform acestei metode, dobânzile la utilizarea împrumuturilor sub formă de reducere sunt acumulate să plătească la sfârșitul termenului. În același timp, se aplică rata contabilă.
Pentru rata de impact, sarcina directă este de a determina valoarea sumei, Reverse - Reducers. Pentru rata contabilă, dimpotrivă, sarcina directă este de reducere, inversă - în creștere.
Evaluați sarcina directă
r. 
(6)
d. 
.
Rata contabilă reflectă mai rigid factorul de timp. De exemplu, cu d \u003d 20%, un mandat de 5 ani este suficient pentru proprietarul proiectului de lege care nu a primit nimic atunci când este înregistrat.
Durata termenului împrumutului în anii pe care îl obținem, hotărând ecuațiile (1) și (5) cu privire la N:
În aceleași ecuații, pot fi definite ratele dobânzilor:
Durata perioadei de plată în anii pe care o obținem, hotărând ecuațiile (2) cu privire la N:
, (11)
Prin urmare, ecuația poate fi determinată și o rată complexă a dobânzii:
, (12)
Durata perioadei de plată de-a lungul anilor în ceea ce privește creșterea puterii constante a creșterii și a variabilei de creștere cu o rată constantă, obținem, decide ecuațiile (3) față de N:
, (13)
Prin urmare, ecuația poate fi, de asemenea, determinată și rezistență la creștere:
, (14)
Rambursarea datoriilor în rate, primirea periodică a veniturilor din investiții, plata pensiilor etc. - Apel fluxurile de plată.
Fluxurile de plată pot fi regulate și neregulate. Într-un debit neregulat, membrii sunt atât pozitivi (aventuri), cât și valori negative (plăți), iar plățile corespunzătoare pot fi făcute la intervale de timp diferite.
Fluxul de plăți, al cărui membri sunt valori pozitive, iar intervalele de timp între plăți sunt aceleași, numite financiar Rent. sau pur și simplu chirie.
Chiria este caracterizată de următorii parametri: rent Member - dimensiunea unei plăți separate, perioada de închiriere - intervalul de timp între două plăți consecutive, termenul chiriei - timpul de la începutul primei perioade de chirie până la sfârșitul ultimei perioade, rata dobânzii.
Prin numărul de plată al membrilor membrilor pe tot parcursul anului, chiria este împărțită în anual P - În evidență (P - Numărul de plăți pe an), continuu (De multe ori pe an).
Analiza fluxului de plăți presupune calculul uneia dintre cele două caracteristici generaliste: o cantitate extinsă sau un cost modern.
Suma exacta -Summagerea tuturor plăților Membrii fluxului cu dobândă acumulată pe ele până la sfârșitul termenului.
Plata de curgere a costurilor moderne - Suma tuturor membrilor săi au redus la începutul perioadei de închiriere sau un moment proactiv de timp.
Să presupunem că există o serie de plăți plătite după un moment dat după un anumit moment inițial, perioada totală de plată n ani. Este necesar să se determine valoarea fluxului de plăți extinsă la sfârșitul termenului, dacă procentele sunt acumulate o dată pe an la o rată dificilă J, apoi:
, (15)
După cum vedem, cantitatea extinsă în condițiile specificate este obținută prin metoda contului direct. Valoarea curentă a unui astfel de debit va găsi un cont direct - ca valoare a plăților reduse. Desemnând această valoare ca a, obținem:
, (16)
unde este factorul de reducere la rata j.
Între valorile A și S, există o dependență funcțională:
(17)
Este foarte important să se distingă mânia în momentul plății plăților în perioada respectivă. În cazul în care plățile sunt efectuate la sfârșitul perioadelor, atunci astfel de renți sunt numiți obișnuiți sau postsenorando, Dacă plățile se fac la începutul perioadelor, acestea sunt numite penumrando.
În anii de ani în bancă la sfârșitul fiecărui an se face pe R frecare. Comunitățile sunt percepute interes complex la rata de% pe an. Toți membrii chiriilor, cu excepția celor din urmă, aduc interes - la primul membru al chiriei (n-1) ori, pe al doilea (n-2) etc.
Semnificația unei scheme de acumulare simple la sută este că dobânda este acumulată tot timpul cu privire la valoarea inițială a contribuției, indiferent de perioada de depozit. În acest caz, cantitatea extinsă este în formula
,
. 
Lasa
, adică în timpul termenului 
apoi în timpul termenului 
- la rata 
Lasa suma depusă
se schimbă în timp
, adică în timpul contribuției la contul vine (eliminat) sumele în suma de 
,
și așa mai departe. Apoi, cantitatea extinsă este localizată cu formula
unde 
până la sfârșitul contribuției, 
până la sfârșitul depozitului.
În practică, interesul este adesea determinat procent și interesul cheie (divor). Dacă oferta i. măsura în procente
I.
=
În procentajul numim suma R. t. / 100,
și cheie procentuală - LA/ i..
Având în vedere ultimele două formule, cantitatea de bani de interes poate fi calculată după cum urmează:
I.
=
.
Lasă-l să apară reinvestirea simplă
, adică suma extinsă până la sfârșitul termenului 
devine baza pentru calcularea interesului la timp 
, suma în creștere până la sfârșitul acestei perioade devine baza pentru calcularea interesului la timp 
și așa mai departe. Apoi, o sumă extinsă până la sfârșitul întregii perioade de depunere este prin formula:
Semnificația unei scheme dificile de acumulare a dobânzii este că banii de interes acumulați după perioada de acumulare (de obicei, anul) se alătură sumei inițiale. Suma obținută este baza de acumulare a dobânzii în perioada următoare. Astfel, baza pentru configurarea unui interes complex, spre deosebire de procentul simplu, crește cu fiecare perioadă de calcul.
Dacă perioada de angajament T - Un număr întreg de ani, cantitatea extinsă este în formula:
În cazul în care perioada de depunere T. Nu este un număr întreg, atunci cantitatea extinsă poate fi găsită conform schemelor:
- obișnuit: 
- Mixt: T. Se pare că este sub forma sumei unui număr întreg de ani și partea rămasă netrată a anului. T \u003d t. bun + T. provocare și suma extensivă egală
De exemplu, suma de 100 mii de ruble. Acesta este plasat într-o bancă pentru o perioadă de 27 de luni sub 12% pe an.
Suma extinsă calculată pe o schemă obișnuită este:
129.045 mii de ruble.
De la 27 de luni este de 2 ani plus 3 luni, atunci T. bun =2, T. provocare \u003d 3/12 \u003d 1/4 \u003d 0,25, apoi cantitatea extinsă calculată de circuitul mixt este egală cu:
129.203 mii de ruble.
Lasa rata dobânzii variază în timp
, adică în timpul termenului 
dobânzile acumulate la rată 
apoi în timpul termenului 
- la rata 
și așa mai departe. Apoi, cantitatea extinsă este localizată cu formula
Oferta anuală nominală i. - Aceasta este oferta anuală inițială, pe care Banca le atribuie interesului de angajament. Rata nominală poate fi acumulată o dată pe an. Apoi, cantitatea extinsă este egală
Dacă rata nominală este acumulată de mai multe ori pe an, atunci suma extinsă este pe formula
unde 
- termenul de depozit (în ani), 
- numărul de achiziții de interese pe an.
De exemplu, dacă suma inițială a depozitului este de 100 mii de ruble, iar rata nominală de 12% pe an este percepută o dată pe an, suma extinsă în 2 ani va fi:
mii de ruble.,
Și în dobândă trimestrială acumularea, suma extinsă este egală cu:
\u003d 126,677 mii de ruble.
Ofertă eficientă
- Aceasta este rata măsurând veniturile reale obținute de 
- dobândă acumulată pe an. Astfel, se efectuează egalitatea
și rata efectivă poate fi găsită prin formula
.
Lasa suma depusă
se schimbă în timp
, adică factura vine în suma de 
(o taxă inițială), 
și așa mai departe. Apoi, cantitatea extinsă este localizată cu formula
unde 
- acesta este termenul de la suma de primire (eliminare) 
până la sfârșitul contribuției, 
- termen de la data primirii (retragerea) 
până la sfârșitul depozitului.
Luați în considerare un caz special - acumularea de interes complex în contribuțiile regulate. O astfel de admitere a numerarului este numită Închirierea financiară cu membrii permanenți , și cantitatea extinsă de toate contribuțiile - cantitatea tot mai mare de chirie.
Lăsați aceleași sume în detrimentul acelorași perioade de timp (o dată pe an) în mod regulat.
Introducem notația:
R. – dimensiunea anuală de plată;
n. – numărul de ani în care vin contribuții.
Dacă plățile sunt efectuate la sfârșitul anului (chirie postnamerando), atunci o sumă extinsă prin n. Anii sunt determinați prin formula
Dacă plățile se fac la începutul anului (chiria penumrando), atunci suma extinsă prin n. Anii sunt determinați prin formula
