În majoritatea calculelor financiare, managerii trebuie să se ocupe de un interes mai degrabă decât de un interes simplu. Dacă suma acumulată în dobânzi este investită (capitalizată) de fiecare dată, cu alte cuvinte, adăugată la suma principală, adică ca o creștere, nu utilizați o valoare constantă, ca în cazul dobânzii simple, ci rata dobânzii din întreaga sumă anterioară acumulată, atunci în acest caz vom vorbi despre o dobândă complexă.
Rata dobânzii compusă - o rată la care se percepe dobândă pe o bază în continuă creștere, luând în considerare dobânda acumulată în perioadele anterioare („dobânda la dobândă”).
Secvența calculelor la o rată a dobânzii complexă în general este următoarea:
suma acumulată pentru primul an :;
suma acumulată pentru al doilea an:.
În general
Rețineți că, cu o rată a dobânzii fixă, investiția pentru o perioadă, corespunzătoare ratei dobânzii la dobânda simplă și compusă, duce la aceeași valoare cumulată. Prin urmare, acumularea dobânzii compuse este echivalentă cu acumularea de fonduri simple pentru reinvestire la sfârșitul fiecărei perioade.
Deci, următoarea formulă este validă, numită formula dobânzii compuse:
unde este suma acumulată pentru dobânda compusă; - capitalul principal; r - rata dobânzii pentru perioada respectivă; t - termen (în perioade corespunzătoare ratei dobânzii); Este multiplicatorul acumulării.
Notă. Instabilitatea situației economice face necesară utilizarea în tranzacțiile de credit a ratelor dobânzii compuse care se modifică în timp, dar fixate în avans pentru fiecare perioadă.
În acest caz, suma acumulată poate fi determinată de formulă
unde - valori consecutive ale ratelor dobânzii; - perioadele în care sunt utilizate tarifele respective.
Formula pentru actualizarea la dobânzi compuse este următoarea:
Exemplu. 250 mii USD au fost investiți timp de patru ani la 6% pe an. Calculați dobânda compusă acumulată la sfârșitul termenului.
Decizie.
Utilizarea dobânzii simple și compuse în calculele financiare dă rezultate inegale; diferențele dintre ele se datorează momentului tranzacțiilor. Deci, cu o valoare egală a ratelor dobânzii simple și compuse (), cu un termen de împrumut mai mic de un an (), suma acumulată calculată utilizând dobânda simplă va fi mai mare decât suma acumulată calculată utilizând dobânda compusă. Cu un termen de tranzacție mai mare de un an (), creșterea dobânzii compuse depășește creșterea dobânzii simple, deoarece în acest caz
unde între paranteze cretate se relevă după formula binomială Newton.
De regulă, o rată anuală a dobânzii este fixată în contractele financiare, deși dobânda în acest caz poate fi calculată pe jumătate de an, trimestru, lună etc. Evident, cu cât dobânda este capitalizată mai des, cu atât crește mai rapid valoarea activului corespunzător. În acest caz, rata anuală trebuie convertită în consecință. Deci, dacă rata anuală a dobânzii este de 12%, atunci cu o opțiune de capitalizare la jumătate de an va fi de 6 cu trimestrial - 3% etc.
Pentru a calcula valoarea viitoare, de exemplu, cu o capitalizare pe jumătate de an, vă puteți imagina că suma PV investit pentru două perioade cu o dobândă r / 2 pentru fiecare șase luni. Prin urmare, valoarea viitoare ar trebui calculată FV după două perioade (jumătate de an). Rezumând, putem spune că dacă t Este numărul perioadelor de valorificare pe an, apoi valoarea viitoare FV prin t ani la o rată r procente pe an, exprimate prin formula
Exemplu. Deponentul plasează 1000 de dolari SUA în bancă la 20% pe an. Câți bani va avea în cont în cinci ani dacă se calculează dobânda compusă: a) trimestrial; b) lunar?
Decizie.
După cum urmează din exemplul de mai sus, cu cât frecvența dobânzii compuse este mai frecventă, cu atât investitorul va primi mai mult în aceeași perioadă de timp la aceeași rată a dobânzii anuale.
Dobânda compusă poate fi calculată destul de des. Dacă frecvența acumulării dobânzilor tinde spre infinit (t → ∞), obținem cazul interesului continuu. În ciuda faptului că este logic dificil să ne imaginăm frecvența dobânzii acumulate egală cu infinitul, este matematic posibil să se determine suma de fonduri pe care un investitor o va primi dacă plasează fonduri în condiții de dobândă continuă. În special:
Prin urmare, cu un interes continuu. În acest caz 
Nu este dificil să se verifice dacă multiplicatorul de acumulare este într-adevăr limitat în creștere pe măsură ce parametrul crește. t.
Cititorul va putea face acest lucru singur, de exemplu, pentru un anumit caz când și. Deja la, multiplicatorul de acumulare va fi de 2.717, iar la va prelua valoarea de 2.718.
Acreția continuă este o presupunere care există doar în teorie și este utilizată în modele financiare, cum ar fi, de exemplu, modelul pentru determinarea valorii opțiunilor (vezi capitolul 4).
Deci, am aflat că cu cât apare mai des valorificarea, cu atât crește mai repede valoarea viitoare. Rata efectivă a dobânzii vă permite să comparați tranzacțiile financiare cu diferite frecvențe de acumulare și rate ale dobânzii.
Rata efectivă a dobânzii () - rata dobânzii cumulate acumulate pentru anul, care este echivalentă cu rata anuală a dobânzii pentru capitalizare mai des decât o dată pe an.
Aceasta din urmă este, de asemenea, cunoscută sub numele de rata nominală a dobânzii sau declarată. Ratele efective și nominale sunt echivalente atunci când furnizează aceeași valoare viitoare. Astfel, pentru a găsi rata efectivă a dobânzii, este evident necesar să se rezolve următoarea ecuație:
Partea stângă a acestei ecuații arată valoarea viitoare (după un an) de 1 den. unități, pe care se percepe rata dobânzii efective, iar pe partea dreaptă - valoarea viitoare de 1 den. unități, la care se percepe dobândă compusă în cursul anului t perioade la o rată pe perioadă. La fel de t perioadele din agregat alcătuiesc un an, atunci ecuația luată în considerare reflectă o cerință complet naturală ca ambele valori ale valorii viitoare să fie egale.
Pentru un număr arbitrar de picioare () avem
Rata efectivă a dobânzii este adesea utilizată pentru a compara alternativele de investiții la diferite rate ale dobânzii și perioade de capitalizare. După calcularea ratelor dobânzii efective în acest caz, ar trebui acordată preferință (toate celelalte lucruri fiind egale) opțiunii cu o valoare mai mare a ratei dobânzii efective (reale).
Exemplu. Să presupunem că intenționați să investiți 100.000 de dolari și să aveți ocazia să le investiți la 12% pe an, cu capitalizare lunară. Există o altă opțiune: vă puteți investi fondurile la 12,4% pe an cu o capitalizare de șase luni. Ce opțiune preferați?
Pentru a răspunde, să calculăm ratele dobânzii efective pentru ambele opțiuni:
Analiza comparativă a rezultatelor calculului indică o eficiență mai mare a celei de-a doua opțiuni de investiții pentru investiții de fonduri.
În unele calcule financiare, investitorii, pentru a-și justifica deciziile, se confruntă cu necesitatea de a determina o rată a dobânzii necunoscută care să asocieze valori specifice valorilor prezente (reduse) și viitoare cu o perioadă cunoscută care le separă. De exemplu, unele tipuri de obligațiuni necesită plata astăzi și presupun o plată viitoare a unei sume specificate, dar rata implicită a dobânzii nu este specificată și, prin urmare, trebuie calculată.
Acest lucru se poate face după transformarea adecvată a formulei care leagă valorile prezente (reduse) și viitoare. Ca urmare, obținem
Exemplu. Vi se oferă să investiți bani, garantat pentru a-și dubla volumul în cinci ani. Este recomandabil să urmați această ofertă dacă aveți o oportunitate alternativă de a plăti bani la 14% pe an?
Decizie.
În consecință, propunerea făcută este profitabilă din punct de vedere economic.
Uneori, managerii financiari trebuie să calculeze cât timp va dura până când suma investită într-un anumit proiect va ajunge, la o rată a dobânzii cunoscută, la o anumită sumă (dată). De exemplu, un administrator al unui fond de pensii care are astăzi o anumită sumă de fonduri pentru a se asigura că viitoarele plăți de pensii poate fi interesat de cât timp aceste fonduri vor crește până la o anumită sumă care va permite fondului să își îndeplinească obligațiile. Aici, ca și în cazul anterior, soluția poate fi găsită din ecuația care leagă valorile prezente (de astăzi) și viitoare:
Să-l rescriem după cum urmează:
Luați logaritmul natural al ambelor părți ale egalității:
Conform proprietății logaritmului, scriem
Soluția la această ecuație pentru t dă
Exemplu. La începutul anului, investitorul deschide un depozit în bancă în valoare de 10.000 USD pentru a primi 11.881 USD în cont. Banca percepe 9% pe an, capitalizarea dobânzilor se efectuează la sfârșitul fiecăruia an. Pentru ce perioadă de timp ar trebui deschis un depozit?
Decizie.
Pentru a calcula aproximativ numărul de intervale de timp (perioade) necesare pentru a dubla investiția, puteți utiliza binecunoscuta „regulă a 72”, care oferă o aproximare foarte bună. Valoarea dorită aici poate fi calculată prin împărțirea numărului „72” la rata dobânzii dată ca procent.
Înțelesul unei scheme simple pentru calcularea dobânzii este că dobânda este percepută tot timpul asupra sumei inițiale a depozitului, indiferent de durata depozitului. În acest caz, suma acumulată se găsește prin formulă
,
, adică 
Lasa
, adică în timpul perioadei 
, apoi în timpul perioadei 
- la ritm 
Lasa Suma depusă
schimbări în timp
, adică pe durata depunerii, contul primește (retrage) sume în valoare de 
,
etc. Atunci suma acumulată se găsește prin formulă
Unde 
până la sfârșitul depozitului, 
până la sfârșitul depozitului.
În practică, pentru calcularea procentelor, se determină adesea procentși procent cheie (divizor). Dacă oferta eu măsurați ca procent, apoi
Eu
=
Procentul este cantitatea R t / 100,
și cheia procentuală - LA/ eu.
Ținând cont de ultimele două formule, suma dobânzii poate fi calculată după cum urmează:
Eu
=
.
Lasa sa se intample reinvestirea la o rată simplă
, adică suma acumulată până la sfârșitul termenului 
devine baza pentru calcularea dobânzii la un termen 
, suma acumulată până la sfârșitul acestei perioade devine baza pentru calcularea dobânzii pentru perioada respectivă 
etc. Atunci suma acumulată până la sfârșitul întregului termen al depozitului se găsește prin formula:
Punctul schemei complexe de calcul al dobânzii este că banii dobânzilor acumulate după perioada de acumulare (de obicei un an) se adaugă la suma inițială. Suma primită este baza pentru calcularea dobânzii în perioada următoare. Astfel, baza pentru calcularea dobânzii compuse, spre deosebire de dobânda simplă, crește cu fiecare perioadă de acumulare.
Dacă perioada de acumulare T - numărul întreg de ani, atunci suma acumulată se găsește prin formula:
Dacă termenul depozitului T nu este un număr întreg, atunci suma acumulată poate fi găsită conform schemelor:
- obișnuit: 
- mixt: T este prezentat ca suma unui număr întreg de ani și a părții rămase neîntregi a unui an T = T intact + T fracțiune, iar suma acumulată este
De exemplu, o sumă de 100 de mii de ruble. plasat în bancă pentru o perioadă de 27 de luni la 12% pe an.
Suma acumulată, calculată conform schemei obișnuite, este:
129.045 mii ruble.
Deoarece 27 de luni sunt 2 ani plus 3 luni, atunci T intact =2, T fracțiune= 3/12 = 1/4 = 0,25, atunci suma acumulată calculată conform schemei mixte este egală cu:
RUB 129.203 mii
Lasa modificările ratei dobânzii în timp
, adică în timpul perioadei 
dobânda se calculează la curs 
, apoi în timpul perioadei 
- la ritm 
etc. Atunci suma acumulată se găsește prin formulă
Rata anuală nominală eu - Aceasta este rata anuală inițială pe care banca o alocă pentru dobânda acumulată. Rata nominală poate fi percepută o dată pe an. Atunci suma acumulată este
Dacă rata nominală este percepută de mai multe ori pe an, atunci suma acumulată se găsește prin formulă
Unde 
- termenul depozitului (în ani), 
- numărul de dobânzi acumulate pe an.
De exemplu, dacă dimensiunea inițială a depozitului este de 100 de mii de ruble, iar rata nominală de 12% pe an se percepe o dată pe an, atunci suma acumulată în 2 ani va fi:
mii de ruble.,
și cu dobânda trimestrială acumulată, suma acumulată este:
= 126.677 mii ruble.
Rata efectivă
Este rata care măsoară venitul real primit atunci când 
- acumulare multiplă de dobânzi pe an. Astfel, egalitatea
iar rata efectivă poate fi găsită prin formulă
.
Lasa Suma depusă
schimbări în timp
, adică contul primește sume în valoare de 
(o taxă inițială), 
etc. Atunci suma acumulată se găsește prin formulă
Unde 
- aceasta este perioada din momentul primirii (retragerii) sumei 
până la sfârșitul depozitului, 
- termen din momentul primirii (retragerii) sumei 
până la sfârșitul depozitului.
Luați în considerare un caz special - calcularea dobânzii compuse pentru rate regulate. Acest flux de numerar este numit chirie financiară cu membri permanenți , iar suma acumulată a tuturor contribuțiilor este suma acumulată a chiriei.
Lăsați ca aceleași sume să fie depuse în mod regulat în cont după aceleași perioade de timp (o dată pe an).
Să introducem notația:
R – mărimea plății anuale;
n – numărul de ani pentru care se primesc contribuții.
Dacă plățile se fac la sfârșitul anului (anualitate postnumerando), atunci suma acumulată se face prin n ani este determinat de formula
Dacă plățile sunt efectuate la începutul anului (anuitate prenumerando), atunci suma acumulată prin n ani este determinat de formula
De la simplu la complex ...
De ce își aduce o persoană economiile la bancă? Desigur, pentru a le asigura siguranța și, cel mai important, pentru a obține venituri. Și aici cunoașterea formulei dobânzii simple sau compuse, precum și capacitatea de a întocmi un calcul preliminar al dobânzii la depozit, vor fi utile mai mult ca niciodată. La urma urmei, prognoza dobânzii la depozite sau dobânzile la împrumuturi este una dintre componentele gestionării prudente a finanțelor dumneavoastră. Este bine să efectuați astfel de previziuni înainte de a semna contracte și de a efectua tranzacții financiare, precum și în perioadele următoarei acumulări de dobânzi și de a le adăuga la depozit în temeiul unui contract de depunere deja executat.
Pentru a calcula dobânzile la depozite (depozite) și la împrumuturi, se aplică următoarele formule:
O rată fixă este atunci când rata dobânzii stabilită pentru depozitul băncii este stabilită în contractul de depozit și întreaga perioadă de investiții rămâne neschimbată, adică e reparat. Această rată se poate modifica numai în momentul prelungirii automate a contractului pentru un nou termen sau în cazul rezilierii anticipate a relației contractuale și a plății dobânzii pentru perioada efectivă de investiții la rata „la cerere”, care este stipulată de condiții.
O rată variabilă este atunci când rata dobânzii stabilită inițial în temeiul acordului se poate modifica pe întreaga perioadă de investiții. Condițiile și procedura de modificare a tarifelor sunt stipulate în contractul de depozit. Ratele dobânzii se pot modifica: datorită modificărilor ratei de refinanțare, cu o modificare a ratei de schimb, cu transferul sumei depozitului în altă categorie și altor factori.
Pentru a acumula dobânzi folosind formule, trebuie să cunoașteți parametrii investiției într-un cont de depozit, și anume:
Acum să ne uităm la formulele standard de dobândă menționate mai sus, care sunt utilizate pentru a calcula dobânda la depozite.
Formula dobânzii simple se aplică dacă dobânda acumulată asupra depozitului se adaugă la depozit numai la sfârșitul termenului de depunere sau nu este deloc taxată, ci este transferată într-un cont separat, adică calculul dobânzii simple nu prevede valorificarea dobânzii.
Atunci când alegeți tipul de depozit, merită să acordați atenție procedurii de calcul al dobânzii. Atunci când valoarea depozitului și termenul de plasament sunt semnificative, iar banca aplică formula dobânzii simple, acest lucru duce la o subestimare a cuantumului veniturilor din dobânzi ale deponentului. Formula pentru dobânda simplă la depozite arată astfel:
Formula de interes simplă
Formula cuantumului dobânzii simple
Înțelesul simbolurilor:
Sp este valoarea dobânzii (venitului).
I - rata anuală a dobânzii
t - numărul de zile de dobândă acumulate pe depozitul atras
K - numărul de zile dintr-un an calendaristic (365 sau 366)
P - suma fondurilor atrase la depozit.
Voi da exemple condiționate de calcul al dobânzii simple și a valorii unui depozit bancar cu dobândă simplă:
Exemplul 1. Să presupunem că banca a acceptat un depozit în valoare de 50.000 de ruble pentru o perioadă de 30 de zile. Rata fixă a dobânzii - 10,5% pe an. Aplicând formulele, obținem următoarele rezultate:
S = 50.000 + 50.000 * 10,5 * 30/365/100 = 50431,51
Sp = 50.000 * 10.5 * 30/365/100 = 431.51
Exemplul 2. Banca a acceptat un depozit în aceeași sumă de 50.000 de ruble pentru o perioadă de 3 luni (90 de zile) la o rată fixă de 10,5 la sută pe an. În condiții, sa schimbat doar termenul de investiție.
S = 50.000 + 50.000 * 10,5 * 90/365/100 = 51294,52
Sp = 50.000 * 10.5 * 90/365/100 = 1294.52
Atunci când se compară cele două exemple, se poate observa că suma dobânzii acumulate lunar folosind formula simplă a dobânzii nu se modifică.
431,51 * 3 luni = 1294,52 ruble.
Exemplul 3. Banca a acceptat un depozit în valoare de 50.000 de ruble pentru o perioadă de 3 luni (90 de zile) la o rată fixă de 10,5 la sută „pe an”. Depozitul este completat, iar în ziua 61, depozitul a fost completat în valoare de 10.000 de ruble.
S1 = 50.000 + 50.000 * 10,5 * 60/365/100 = 50863,01
Sp1 = 50.000 * 10.5 * 60/365/100 = 863.01
S2 = 60.000 + 60.000 * 10,5 * 30/365/100 = 60517,81
Sp2 = 60.000 * 10.5 * 30/365/100 = 517.81
Sp = Sp1 + Sp2 = 50.000 * 10,5 * 60/365/100 + 60.000 * 10,5 * 30/365/100 = 863,01 + 517,81 = 1380,82
Exemplul 4. Banca a acceptat un depozit în aceeași sumă de 50.000 de ruble pentru o perioadă de 3 luni (90 de zile) la o rată variabilă. Pentru prima lună (30 de zile) rata dobânzii este de 10,5%, pentru următoarele 2 luni (60 de zile) rata dobânzii este de 12%.
S1 = 50.000 + 50.000 * 10,5 * 30/365/100 = 50.000 + 431,51 = 50431,51
Sp1 = 50.000 * 10.5 * 30/365/100 = 431.51
S2 = 50.000 + 50.000 * 12 * 60 / 365/100 = 50.000 + 986,3 = 50986,3
Sp2 = 50.000 * 12 * 60 / 365/100 = 986,3
Sp = 50.000 * 10.5 * 30/365/100 + 50.000 * 12 * 60/365/100 = 431.51 + 986.3 = 1417.81
Formula dobânzii compuse se aplică dacă dobânda pentru depozit se acumulează la intervale regulate (zilnic, lunar, trimestrial) și dobânda acumulată se adaugă depozitului, adică calculul dobânzii compuse prevede capitalizarea dobânzii (dobânda acumulare).
Majoritatea băncilor oferă depozite cu capitalizare trimestrială (Sberbank of Russia, VTB etc.), adică cu dobândă compusă. Și unele bănci, în ceea ce privește depozitele, oferă capitalizare la sfârșitul perioadei de investiții, adică când depozitul este prelungit pentru termenul următor, care, pentru a spune ceva ușor, se referă la o cascadă publicitară care îl împinge pe deponent să nu preia dobânda acumulată, dar acumularea dobânzii în sine se efectuează conform formulei dobânzii simple . Și repet, atunci când valoarea depozitului și perioada de plasare sunt semnificative, o astfel de „capitalizare” nu duce la o creștere a veniturilor din dobânzi ale deponentului, deoarece nu există dobânda acumulată pe veniturile din dobânzi primite în perioadele anterioare.
Formula dobânzii compuse arată astfel:
Formula dobânzii compuse
Calculul numai al dobânzii compuse utilizând o formulă va arăta astfel:
Numai dobândă compusă
Voi da un exemplu condiționat de calcul al dobânzii compuse și valoarea unui depozit bancar cu dobândă compusă:
Exemplul 5. A fost acceptată o depunere în valoare de 50 de mii de ruble. pentru o perioadă de 90 de zile la o rată fixă de 10,5 la sută pe an. Dobânda acumulată - lunar. În consecință, numărul operațiunilor de capitalizare a dobânzii acumulate (p) în termen de 90 de zile va fi - 3. Și numărul de zile calendaristice din perioada următoare căreia banca valorifică dobânda acumulată (j) va fi - 30 de zile (90/3 ). Care va fi suma dobânzii?
S = 50.000 * (1 + 10.5 * 30/365/100) 3 = 51305.72
Sp = 50.000 * (1 + 10.5 * 30/365/100) 3 - 50.000 = 1305,72
Puteți verifica corectitudinea sumei dobânzii calculate utilizând metoda dobânzii compuse, verificând din nou calculul utilizând formula simplă a dobânzii.
Pentru a face acest lucru, împărțim termenul depozitului în 3 perioade independente (3 luni) de 30 de zile și calculăm dobânda pentru fiecare perioadă utilizând formula simplă a dobânzii. Valoarea depozitului în fiecare perioadă următoare va fi luată în considerare a dobânzii pentru perioadele anterioare. Ca rezultat al calculului, sa dovedit:
Deci, suma totală a dobânzii, luând în considerare capitalizarea lunară (acumularea dobânzii la dobândă), este:
Sp = Sp1 + Sp2 + Sp3 = 431,51 + 435,23+ 438,98 = 1305,72
Aceasta corespunde sumei calculate utilizând dobânda compusă în exemplul nr. 5.
Și la calcularea dobânzii pentru aceeași perioadă utilizând formula simplă a dobânzii din exemplul nr. 2, venitul a fost de numai 1294,52 ruble. Capitalizarea dobânzii a adus deponentului încă 11,2 ruble. (1305,72 - 1294,52), adică o rentabilitate mare se obține din depozitele cu capitalizare a dobânzii atunci când se aplică dobânda compusă.
La calcularea dobânzii, trebuie luată în considerare încă o mică nuanță. La stabilirea numărului de zile pentru dobânda acumulată la un depozit (t) sau a numărului de zile calendaristice din perioada următoare căreia banca valorifică dobânda acumulată (j), ziua închiderii (retragerii) depozitului nu este luată în considerare . De exemplu, la 02.11.07 banca a acceptat un depozit pentru o perioadă de 7 zile. Termenul complet al depozitului este în perioada 02.11.07 - 09.11.07, adică 8 zile calendaristice. Iar perioada pentru calcularea dobânzii la depozit va fi din 02.11.07 până în 08.11.07, adică - 7 zile calendaristice. Ziua 09.11.07 nu este luată în considerare deoarece depozitul este returnat clientului.
Finalizând materialul, vreau să vă atrag din nou atenția asupra faptului că, conform formulelor de interes de mai sus, este posibil să se calculeze dobânzile la împrumuturi. Noroc la calcularea veniturilor și cheltuielilor.
Fără îndoială, profitabilitatea unui depozit bancar este determinată în primul rând de rata dobânzii. La urma urmei, fiecare client potențial este ghidat de acesta. Dar, de fapt, investitorul trebuie, în special, să acorde atenție nu ratei dobânzii anuale, ci metodei de calcul al profitului. Într-adevăr, în sistemul financiar al băncii, există două concepte: dobândă simplă și compusă. Și pentru fiecare investitor, trebuie să știți exact ce concepte și formule de interes simple și complexe sunt pentru a determina ce contribuție va fi cea mai benefică pentru el.
În primul rând, dobânda simplă este acumularea remunerației pentru plasarea unui depozit într-un cont bancar pentru întreaga perioadă de stocare a fondurilor. În termeni simpli, dobânda simplă se percepe numai la sfârșitul termenului contractului de depozit, se determină în rata anuală a dobânzii. Mai mult, dacă contractul este prelungit automat pentru perioada următoare, atunci remunerația pentru perioada anterioară nu se adaugă la corpul depozitului.
Pentru a înțelege cât mai exact ce este un sistem simplu de acumulare a profitului, luați în considerare un exemplu. Ați plasat 50.000 de ruble în bancă la 7% pe an pentru un an. La sfârșitul contractului, profitul dvs. va fi de 50.000 × 0.07 = 3.500 de ruble. Odată cu prelungirea automată a contractului pentru următorul termen, profitul dvs. se va ridica din nou la 3.500 de ruble. Adică, după 2 ani, veți putea primi 50.000 + 3500 + 3500 = 57.000 de ruble în bancă.
Important! Formula pentru calcularea dobânzii simple este următoarea: K = D × p. Unde K este suma profitului, D este corpul depozitului, p este rata anuală a dobânzii (în formulă, trebuie să indicați nu rata anuală, ci rata împărțită la 100).
Dacă plasați fonduri pentru o perioadă mai mică de un an, atunci rata anuală a dobânzii este împărțită în consecință la 12 și înmulțită cu numărul de luni în care fondurile au fost în contul bancar. De exemplu, dacă termenul depozitului este de 3 luni, iar rata dobânzii este de 10% pe an, atunci profitul total se calculează după cum urmează: 0,1 / 12 × 3 = 0,025. De exemplu, dacă ați plasat 50.000 de ruble pentru o perioadă de 3 luni, atunci profitul la sfârșitul contractului va fi după cum urmează: 50.000 × 0,025 = 1250 ruble.
Formule de interes simple și compuse
Diferența dintre procentele simple și cele complexe este de fapt destul de mare. Atunci când alegeți un produs de depozit, cu siguranță toată lumea a auzit despre un astfel de concept ca capitalizarea. Adică, aceasta este schema de acumulare a profitului în care profitul acumulat este adăugat la corpul depozitului, iar veniturile i se adaugă în viitor.
Vă rugăm să rețineți că valorificarea se efectuează la anumite intervale, de exemplu, o dată pe săptămână, o lună, un sfert sau un an.
Din aceasta putem concluziona că capitalizarea vă permite să obțineți un profit mare în comparație cu dobânda simplă. Pentru a vedea clar acest lucru, luați în considerare formula pentru calcularea dobânzii compuse și va arăta astfel: B = (K × H × P / N) / 100 Unde:
Pentru a înțelege clar modul în care va fi calculată dobânda compusă. Să aruncăm o privire la un exemplu simplu. Valoarea depozitului este de 50.000 de ruble, rata dobânzii este de 7% pe an, capitalizarea se efectuează lunar, termenul acordului este de un an. Să calculăm profitul pentru prima lună de utilizare a depozitului: B = (50.000 × 7 × 30/365) / 100 = 287,6 ruble - acesta este profitul pentru prima lună. În perioada următoare, calculul va arăta astfel: B = (50287,6 × 7 × 31/365) / 100 = 298,9 ruble.
Din exemplul de mai sus, putem concluziona că capitalizarea vă permite să obțineți mai mult profit în fiecare lună, comparativ cu precedentul. Dar atunci când alegeți o ofertă de depozit, asigurați-vă că acordați atenție frecvenței cu care se realizează valorificarea dobânzii, cu cât mai des, cu atât mai multe beneficii beneficiază clientul.
De fapt, sistemul de calcul al dobânzii la depozite este foarte diferit, în primul rând din motivul că, cu capitalizarea dobânzii, profitul unui depozit poate fi mult mai mare decât cu un sistem simplu. Deoarece cu un sistem simplu, profitul crește în progresie aritmetică, iar într-unul complex, în progresie geometrică. Pentru a vedea clar acest lucru, următorul este o schemă de dobândă compusă în comparație cu o schemă de dobândă simplă.
Schema de dobândă compusă vs. Schema de dobândă simplă
Dar, există și capcane în acest număr. Condițiile depozitelor bancare sunt strict individuale, prin urmare, atunci când alegeți un produs de depunere, în primul rând, acordați atenție numărului de perioade de valorificare pentru întreaga durată a contractului. De exemplu, banca indică faptul că acordul dvs. de depozit prevede capitalizarea dobânzilor, dar se efectuează o dată în 6 luni, adică primul venit, pe care îl veți primi la șase luni după încheierea unui acord cu banca. În același timp, ați decis să plasați fonduri doar timp de 3 luni, respectiv, veți primi fondurile dvs. înainte ca banca să valorifice dobânda și, în acest caz, este mai oportun să alegeți un calcul simplu al dobânzii la depozit.
Important! Majoritatea băncilor oferă clienților lor aceeași ofertă de depunere pentru a alege să obțină profit la o anumită frecvență sau să se includă în corpul depozitului, respectiv, clientul are posibilitatea de a alege ce sistem este simplu sau complex, el ar vrea să-și primească venitul.
De fapt, este destul de simplu să înțelegem care este diferența fundamentală între dobânda simplă și compusă, dar totuși nuanța este că băncile din acord nu indică astfel de concepte ca dobândă simplă și compusă. Fiecare potențial deponent ar trebui să acorde atenție tuturor termenii acordului ... În cazul în care acordul specifică că dobânzile sunt plătite la sfârșitul termenului acordului, în consecință, capitalizarea în cadrul unui astfel de acord nu este prevăzută.
Există două scheme principale pentru dobânda discretă a dobânzii pentru intervalele de timp stabilite în contract: schema simplă a dobânzii și schema dobânzii compuse.
Interes simplu reprezintă valoarea creșterii unei anumite sume P, crescând pe o anumită perioadă (intervalul de unitate de acumulare T = 1) cu un anumit procent (la rata r, reprezentat ca o fracție) din suma inițială P, adică pe rP. Secvența sumelor acumulate P, F 1, F 2, ..., F n pentru n intervale de acumulare este progresie aritmetică cu un termen inițial P și o diferență rP. Astfel, până la sfârșitul perioadei a n-a de acumulare, suma acumulată se calculează prin formula: F = P + Pr + Pr + ... + Pr = P + Prn și, prin urmare,
F n = P (1 + nr) (1).
(1 + nr) - numit multiplicator de acumulare. Dacă rata r se măsoară ca procent, atunci r trebuie împărțit la 100 pentru a o reprezenta ca o fracție.
Acumularea dobânzilor simple se aplică la deservirea depozitelor de economii cu plăți lunare ale dobânzilor și, în general, în cazurile în care dobânda nu se adaugă la valoarea datoriei, ci este plătită periodic creditorului. Dobânda simplă este utilizată la emiterea de împrumuturi pe termen scurt (până la un an cu dobândă unică).
Interes compus reprezintă valoarea creșterii unei anumite sume, crescând pe o anumită perioadă (perioada unitară de acumulare) cu un anumit procent, ținând cont de primirea dobânzii la dobândă. Astfel, fiecare sumă următoare, când dobânda compusă este mărită cu o r, crește cu o fracțiune de r față de cea precedentă și se calculează prin formula:
F n = P (1+ r) n. (2)
Secvența sumelor acumulate P, F 1, F 2, ..., F n pentru n intervale de încărcare este progresie geometrică cu termenul inițial P și numitorul progresiei (1 + r).
Banii dobânzii(procent) este suma venitului,
egal cu D n = F n -P (3), adică diferența dintre suma acumulată și cea inițială.
Rata procentuală calculat prin formula (4):
Când se derivă formulele 1, 2, s-a presupus că n se măsoară în ani, iar r este rata anuală a dobânzii. Această formulă poate fi aplicată pentru alte perioade de acumulare. Este necesar doar să se monitorizeze corespondența dintre lungimea perioadei și rata dobânzii (dimensiunea fiecărei perioade n k trebuie să fie în concordanță cu dimensiunea ratei dobânzii r k.
În cazul în care dobânda compusă este percepută de m ori pe an, iar acumularea de capital are loc în n ani, unde n este un număr întreg, formula pentru găsirea sumei acumulate va lua următoarea formă:
Se pot trage câteva concluzii pentru dobânda compusă:
Ø Dobânda primită pentru anul la rata r nu este echivalentă cu dobânda primită pentru anul la rata r / 12 pe lună;
Ø cu cât se percepe dobânda compusă mai des, cu atât este mai mare suma totală acumulată.
Pentru a facilita calculele, compilate tabele multiplicatoare, care arată de câte ori suma depusă în bancă la r procent pe an va crește în n ani: FM (n, r) = (1 + r) n. Valoarea FM (n, r) este valoarea viitoare a unei unități monetare (o rublă, un dolar, un yen etc.) - în n ani la o rată a dobânzii r.
Contractele financiare încheiate pentru o perioadă diferită de un număr întreg de ani sunt destul de frecvente. În acest caz, dobânda poate fi calculată utilizând următoarele metode:
Ø Conform schemei dobânzii compuse
Ø Conform unei scheme mixte (folosind o schemă de dobânzi compuse pentru un număr întreg de ani și o schemă simplă de dobândă pentru o parte fracționată a unui an):
În cazul în care durata unei tranzacții financiare este calculată în zile, nu există o definiție clară a dobânzii și a altor parametri ai unei tranzacții financiare. Decizia va depinde de modul în care sunt calculate lungimea anului și durata perioadei tranzacției financiare.
Astfel, există două opțiuni de interes: exact procent și comun la sută.
La calcularea dobânzii exacte, se ia numărul exact de zile dintr-un an (365, 366), într-un trimestru (89 - 92), într-o lună (28 - 31).
La calcularea procentului obișnuit, se ia numărul aproximativ de zile într-un an (360), într-un sfert (90), într-o lună (30).
Durata perioadei unei tranzacții financiare (de exemplu, un împrumut) este, de asemenea, calculată în două moduri: calculul pe zi (se ia numărul exact de zile) și calculul cu un număr aproximativ de zile într-o lună (30).
Prin urmare, există trei moduri de a calcula dobânda:
I. Dobândă obișnuită cu număr aproximativ de zile (360/360). Această metodă de calcul se practică în Germania, Danemarca, Suedia.
II. Procentaj obișnuit cu numărul exact de zile (365/360 sau ACT / 360). Această metodă de calcul se practică în Belgia și Franța.
III. Un procentaj exact cu un număr exact de zile (365/365 sau AST / AST). Această metodă de calcul se practică în Marea Britanie și SUA.
În practica rusă, vă puteți întâlni cu diverse scheme de calcul al dobânzii. Efectul alegerii depinde de valoarea tranzacției financiare. Este clar că utilizarea dobânzii obișnuite cu numărul exact de zile de împrumut tinde să fie mai eficientă decât utilizarea dobânzii obișnuite cu un număr aproximativ de zile de împrumut.
Exemplu 1.1. Un depozit de 200 de mii de ruble. pus în bancă timp de 4 ani la 15% pe an. Găsiți suma acumulată dacă se percepe anual dobândă compusă.
Decizie. Aplicăm formula (2) și obținem F 4 = 200000 (1 + 0,15) 4.
Exemplu 1.2. Rata anuală a dobânzii simple este de 8,3%. În câți ani se va dubla suma inițială?
Decizie. Să notăm suma inițială cu P. Apoi P * (1 + n * 0,083) ³ 2P, adică 1 + n * 0,083) ³ 2, n³ 1 / 0,083. Cu exactitate în treisprezece ani.
Exemplu 1.3. Fie P = 1000, r = 10% - dobândă compusă. Găsiți suma acumulată pentru n = 3 perioade de acumulare.
Decizie. P = 1000; F 1 = 1000 (1 + 0,1) 1 = 1100; F 2 = 1100 * 1,1 = 1210; F 3 = 1210 * 1,1 = 1331,1.
Exemplu 1.4. Rata anuală a dobânzii compuse este r = 8%. În câți ani se va dubla suma inițială?
Decizie. P (1 + 0,08) n³P; (1 + 0,08) n3; n * ln (1,08) ³ ln2;
n³ (ln (2) / ln (1.08)) = 9.
Exemplu 1.5. PE MINE. Saltykov-Șchedrin descrie următoarea scenă din Gentlemen Golovlevs: „Porfiry Vladimirovich stă în biroul său, scriind foi de hârtie cu calcule digitale. De data aceasta este interesat de întrebarea: câți bani ar avea acum dacă mama nu și-ar fi însușit o sută de ruble date la naștere de bunicul său „de un dinte”, ci le-ar fi pus într-o casă de amanet în numele tânărului Porfiry ? Se pare însă că nu prea mult: doar opt sute de ruble. "
Decizie.În exemplul nostru, trebuie să utilizați formula dobânzii compuse, indicând prin x - dobânda dorită pentru depozite (rata anuală a dobânzii compuse) și luând n = 50.
Obținem: 800 = 100 (1 + x) 50.
Luând logaritmul folosind tabelul logaritmului, obținem soluția după cum urmează: lg800 = lg100 + 50lg (1 + x).
Antilogaritm 1 + x = 1.039. Apoi x = 3,9%.
Exemplu 1.6. Care este valoarea viitoare a unei monede în 9 ani la o rată a dobânzii de 10%.
Decizie... Deoarece n = 9, r = 10%, atunci conform tabelului multiplicatorilor M (9.10) = 2.358.
Exemplu 1.7. A oferit un împrumut în valoare de 7 mii de ruble. 10 februarie cu scadență pe 10 iunie la 20% pe an (rata simplă, nu un an bisect). Calculați suma datorată în diferite moduri F.
Decizie.
1. Să calculăm numărul exact de zile care sunt luate în considerare la plata dobânzii. Conform tabelului. 161-41 = 120 (zile)
2. Să calculăm numărul aproximativ de zile de împrumut: t = 18 zile în februarie (59-41) + 90 zile (martie-iunie) + 10 zile în iunie = 118 zile.
3. AST / AST F = 7 (1 + 120/365 * 0,2) = 7460 ruble.
4,360 / 360 F = 7 (1 + 118/360 * 0,2) = 7459 ruble.
5. 365/360 F = 7 (1 + 120/360 * 0,2) = 7467 ruble.
Exemplu 1.8. Pe 14 martie, banca a pus suma de 1.000 de dolari. la cerere la o rată a dobânzii compuse anual de 12%. Cât va retrage deponentul la 1 septembrie?
Decizie. Nu există o soluție definitivă. Să alegem metoda de calcul 360/360, adică sunt 360 de zile într-un an, 30 de zile într-o lună.
1) Să găsim ce fracțiune a anului este perioada de timp în care s-a păstrat depozitul în bancă: t = (30 zile * 5 luni + 17 zile) / 360. Zilele sunt numărate după cum urmează: numărul ordinal al prima zi se scade din numărul ordinal al ultimei zile.
Exemplu 1.9. Fie suma contribuției inițiale P = 750 USD. crește cu o rată anuală de r = 20%. Schema de acumulare acceptată: dobândă simplă. Calculați dobânda pentru n = 4 intervale de calcul (ani). Furnizați o succesiune de sume acumulate pe o perioadă de 4 ani.
Decizie... Deoarece dobânda (banii dobânzii) este înțeleasă ca suma venitului (creșterea banilor) I n = F n -P, atunci întâi găsim F n
F n este suma acumulată pe parcursul a n ani, care se găsește prin formula F n = P + n´r´P = P (1 + nr), unde r este o măsurare fracțională a ratei. Astfel, F 4 = 750 (1 + 4´0.2) = 750 1,8 = 1350.
Prin urmare, I 4 = F 4 -P = 1350-750 = 600 (cu) - dobândă bani timp de 4 ani.
Secvența sumelor acumulate în cazul dobânzii simple este o progresie aritmetică: F 1 = P (1 + 1´r) = 750 (1 + 0,2) = 900; F 2 = P (1 + 2'r) = 750 (1 + 0,4) = 1050; F 3 = P (1 + 3'r) = 750 (1 + 0,6) = 1200; F 4 = P (1 + 4'r) = 750 (1 + 0,8) = 1350, fiecare element următor al secvenței diferă de cel anterior cu 150 cu, adică măririle sumelor de bani pentru orice perioadă sunt de 150 c.u. - o cotă constantă din suma inițială Р = 750 USD.
Exemplu 1.10. Antreprenorul a primit un credit de la bancă în valoare de 25 de mii de ruble. pentru o perioadă de 6 ani în următoarele condiții: pentru primul an rata dobânzii este de 10% pe an, pentru următorii 2 ani se stabilește o marjă de 0,4%, iar pentru anii următori marja este de 0,7%. Găsiți suma pe care antreprenorul trebuie să o returneze băncii la sfârșitul termenului de împrumut.
Decizie... P = 25, n 1 = 1, n 2 = 2, n 3 = 3; i 1 = 0,1; i 2 = 0,104; i 3 = 0,107. Apoi F 6 = 25 (1 + 0,1) (1 + 0,104) 2 (1 + 0,107) 3 = 45,469 mii ruble.
Exemplu 1.10. Familia a pus P = 12.000 de ruble. pentru un depozit la termen cu o rată a dobânzii pe termen fix r = 11% pe an (luând în considerare plata dobânzii la dobândă). Câți bani va primi familia în doi ani, cu condiția ca banii să nu fie retrași de la banca de economii în termen de doi ani?
Decizie... Plata dobânzii la dobândă înseamnă că se percepe aceeași ră pentru fiecare interval de acumulare următor, rezultatul acumulării anterioare (suma acumulată pentru perioada de acumulare anterioară sau, ceea ce este același, suma acumulată la începutul acestei perioade de acumulare ). Conform formulei dobânzii compuse, suma acumulată pentru n ani va fi valoarea Fn = Р (1 + r) n. Prin urmare, în cazul nostru pentru n = 2 F2 = P (1 + r) 2 = 12000 (1 + 0.11) 2 = 12000´1.112 = 1.2321´12000 = 14785.2
Exemplu 1.11. Banca a investit bani în valoare de 5 mii de ruble. timp de 2 ani cu dobândă semestrială la 20% pe an. Găsiți suma de capital în 2 ani. Analizați dacă valoarea capitalului se va modifica până la sfârșitul bieniului dacă dobânda este calculată trimestrial?
Decizie... În acest caz, dobânda se acumulează de 4 ori la o rată de 10%, apoi Р = 5, n = 2, m = 2, r (m) = r (2) = 0,2 și
3) În acest caz, acumularea are loc de 8 ori, m = 4, n = 2 la o rată de 5% (20% / 4) și
Exemplu 1.12. Banca a acordat un împrumut în valoare de 10 mii de ruble. timp de 30 de luni la 30% pe an pe baza dobânzii anuale. Care este suma care trebuie returnată băncii la sfârșitul termenului?
Decizie. n = 2,5; număr întreg de ani = 2; partea fracționată a anului = 0,5.
Conform schemei dobânzii compuse F 2,5 = 10 (1 + 0,3) 2 + 0,5 = 19.269 mii ruble.
Conform schemei mixte F 2,5 = 10 (1 + 0,3) 2 (1 + 0,5 * 0,3) = 19,435 mii ruble.
Asa de pentru o bancă, un sistem mixt de acumulare este mai profitabil.
