Várható érték. Játék negatív szőnyeggel. várakozás

A legtöbb esetben a matematikai elvárás még nem jellemzi kellőképpen a valószínűségi változót. A gyakorlatban vannak olyan valószínűségi változók, amelyeknek ugyanazok a matematikai elvárásai, de élesen eltérő értéket vesznek fel. Ezen értékek némelyikénél az értékek eltérése a matematikai elvárásoktól kicsi, míg mások esetében éppen ellenkezőleg, jelentősek, pl. egyeseknél a valószínűségi változó értékeinek szórása a matematikai elvárás körül kicsi, míg másoknak nagy.

Például az X és Y valószínűségi változókat a következő eloszlási törvények adják meg:

Ezeknek a valószínűségi változóknak a matematikai elvárásai azonosak és egyenlők nullával. Eloszlásuk jellege azonban eltérő. Az X valószínűségi változó olyan értékeket vesz fel, amelyek alig különböznek a matematikai elvárásoktól, az Y valószínűségi változó pedig olyan értékeket, amelyek jelentősen eltérnek a matematikai elvárásoktól.

A fenti okfejtés és egy példa tanúskodik a valószínűségi változó olyan jellemzőjének bevezetésének célszerűségéről, amely megbecsülné egy valószínűségi változó értékeinek a matematikai elvárása körüli szóródásának mértékét, különösen azért, mert a gyakorlatban gyakran szükséges értékelni. ilyen diszperzió. Például a tüzéreknek tudniuk kell, hogy a lövedékek milyen közel esnek a célpont közelébe, amelyre lőnek.

Első pillantásra úgy tűnhet, hogy a szórás becslésének legegyszerűbb módja egy valószínűségi változó eltérésének összes lehetséges értékének kiszámítása, majd az átlagos érték meghatározása. Ez az út azonban nem ad semmit, mert. bármely valószínűségi változó átlagos eltérése nulla. Ennek az az oka, hogy az X–M[X] lehetséges értékei lehetnek pozitív és negatív előjelek is.

Kerülje el az eltérések jeleinek változását x én– Az M[X] akkor lehetséges, ha ezeket abszolút értékekkel helyettesíti, vagy négyzetre emeli. Nem tanácsos az eltéréseket abszolút értékükkel helyettesíteni, mert Az abszolút értékű cselekvések általában nehézségeket okoznak. Ezért az (X–M[X]) 2 értéket (pontosabban annak átlagértékét) kell használni egy valószínűségi változó értékeinek szórásának jellemzésére.

Meghatározás. Egy valószínűségi változó diszperziója (szórása) a valószínűségi változó matematikai elvárásától való négyzetes eltérésének matematikai elvárása:

Az X és (X–M[X]) 2 valószínűségi változó valószínűségi eloszlási törvényei megegyeznek. Legyen M[X] m, akkor a DSW diszperziójának olyan formája lesz

, (5.5)

diszperzió

diszperzió
. (5.6)

A definícióból következik, hogy a valószínűségi változó varianciája nem véletlenszerű (konstans) érték. Ekkor a variancia képlete a következőképpen alakítható át

Ily módon

. (5.7)

Ez az alapképlet a variancia kiszámításához.

A valószínűségi változónak és a matematikai elvárásnak ugyanaz a dimenziója, de a variancia a valószínűségi változó négyzetének dimenziója. a hátrány elkerülhető a variancia négyzetgyökével egyenlő érték használatával:

. (5.8)

Ezt a valószínűségi változót ún szórás egy valószínűségi változó.

5.4. példa. A DSV X-et a következő terjesztési törvény adja:

Megoldás . 1. módszer.

2. módszer.

5.5. példa. Az NSW X a következő eloszlási sűrűséggel adódik:

Határozza meg a D[X] szórást kétféleképpen és a szórást.

Megoldás . 1. módszer.

2. módszer.

,

Szórás

Megjegyezzük a diszperzió néhány tulajdonságát.

Ingatlan 1. Egy állandó érték szórása nulla:

Valóban, azóta M[C]=C, majd D[C]=M[C–M(C)]2=M[C–C]2=M=0. Ez a tulajdonság nyilvánvaló, mert a konstans csak egy értéket vesz fel, ezért nincs szóródás az elvárás körül.

Ingatlan 2. Az állandó tényező a diszperziós előjelből négyzetre emelve vehető ki:

D = C 2 D[X].

Valóban, azóta a konstans tényezőt ki lehet venni az elvárás jeléből, akkor

Ingatlan 3. Két független valószínűségi változó összegének szórása egyenlő ezen változók szórásának összegével:

D = D[X] + D[Y].

Valójában a matematikai elvárás tulajdonságait figyelembe véve azt kapjuk, hogy

Ingatlan 4. Két független valószínűségi változó különbségének szórása egyenlő eltéréseik összegével:

D = D[X] + D[Y].

Valóban, a 3. tulajdonság miatt D = D[X] + D[–Y]. A 2. tulajdonságnak megfelelően megkapjuk

Korábban bevezették a valószínűségi változó matematikai elvárásától való eltérésének fogalmát. Ez a valószínűségi változó

Néha hívják központú valószínűségi változó . Fentebb (5. tulajdonság) kimutattuk, hogy egy valószínűségi változó matematikai elvárása nullával egyenlő. Határozzuk meg egy központosított valószínűségi változó varianciáját. A diszperzió tulajdonságai alapján azt kapjuk

Ily módon valószínűségi változó varianciájaxés központosított valószínűségi változó X–M[X] egyenlők egymással.

Néha célszerű dimenzió nélküli, központosított valószínűségi változókat használni. Ossza el az X–M[X] értékét az s szórással, amelynek mérete megegyezik. Az újonnan kapott valószínűségi változót ún szabványos valószínűségi változó :

. (5.9)

A standard valószínűségi változó a következő tulajdonságokkal rendelkezik: 1) M[Z]=0, 2) D[X]=1.

Ez egy létfontosságú fogalom minden spekuláns számára, ez egy olyan koncepció, amelyre egy hitrendszer épül, de maga a koncepció nem építhető a hitre. A kaszinók nem a hit alapján működnek. Tiszta matematika alapján működnek, irányítják vállalkozásukat. Tudják, hogy a végén a rulett vagy a kocka törvényei fognak érvényesülni. Tehát nem hagyják abba a játékot. Nem bánják a várakozást, de nem állnak meg. A hét minden napján, a nap 24 órájában játszanak, de nem ok nélkül, minél tovább játszod a negatív elvárások játékát, annál biztosabbak lesznek abban, hogy megkapják a pénzedet.

Ez az axióma nem csak a negatív elvárású játékra igaz, hanem egy egyenlő esélyű játékra is. Ezért csak egy pozitív várható értékű játékban van esélyed hosszú távon nyerni. Ráadásul csak két esetben lehet nyerni. Először is, ha azonos méretű tétet használ, másodszor pedig az f értéknél kisebb téteket használ, mint az annak a pontnak megfelelő f érték, ahol a HPR geometriai átlaga 1-gyel egyenlő vagy kisebb lesz.

Ez az axióma csak felső elnyelő gát hiányában igaz. Például egy játékos, aki 100 dollárral kezd, abbahagyja a játékot, ha a számlája 101 dollárra nő. Ezt a felső célpontot (101 USD) abszorpciós gátnak nevezik. Tegyük fel, hogy a játékos mindig 1 dollárt tesz a rulettkerék piros színére. Így van egy kis negatív matematikai elvárása. Egy játékos nagyobb valószínűséggel látja, hogy számlája 101 dollárra emelkedik, és abbahagyja a játékot, mint azt, hogy a számlája nullára csökken, és kénytelen lesz abbahagyni a játékot. Ha ezt a folyamatot újra és újra megismétli, akkor negatív matematikai elvárásokat fog kapni. Ha csak egyszer játszik egy ilyen játékot, akkor az elkerülhetetlen csőd axiómája természetesen nem érvényes. A negatív elvárás és a pozitív elvárás közötti különbség az élet és a halál közötti különbség. Nem számít, mennyire pozitív vagy negatív az elvárás, az számít, hogy pozitív vagy negatív.

Tegyük fel, hogy egy dollárral kezdi a játékot, nyer az első feldobással, és keres két dollárt. A következő dobásnál a teljes számláját is felteszi (3 dollár), de ezúttal 3 dollárt veszít és veszít. Elvesztette az eredeti 1 dollárt és a korábban nyert 2 dollárt. Ha nyer az utolsó dobásnál, akkor 6 dollárt keres, mert 3, egyenként 1 dolláros fogadást tett. A helyzet az, hogy ha a fiók 100%-át használja, akkor azonnal kilép a játékból, amint veszteséggel néz szembe, ami elkerülhetetlen esemény. Ha újrajátszhatnánk az előző forgatókönyvet, és újrabefektetés nélkül fogadna, akkor 2 dollárt nyerne az első tétjén, és 1 dollárt veszítene a második fogadásán. Most a nettó nyeresége 1 dollár, a fiókja pedig 2 dollár. Valahol e két forgatókönyv között rejlik a fogadások optimális választása pozitív várakozások mellett. Először azonban meg kell fontolnunk az optimális fogadási stratégiát egy negatív elvárású játékhoz. Ha tudod, hogy a játéknak negatív matematikai elvárásai vannak, akkor a legjobb, ha nem fogadsz. Ne feledje, hogy nincs olyan pénzkezelési stratégia, amely egy vesztes játékot nyerővé változtathatna. Ha azonban egy negatív elvárású játékban kell fogadnia, akkor a legjobb stratégia a maximális bátorság. Más szóval, a lehető legkevesebbet szeretne fogadni (ellentétben egy pozitív elvárású játékkal, ahol a lehető leggyakrabban kell fogadnia). Minél többször próbálkozik, annál valószínűbb, hogy negatív várakozással veszít. Emiatt negatív várakozás mellett kisebb a veszteség esélye, ha a játék hosszát lerövidítik (vagyis ahogy a próbák száma 1-hez közelít). Ha olyan játékkal játszol, ahol 49% az esélye annak, hogy 1 dollárt nyerj, és 51%-os esélyed van 1 dollár elvesztésére, akkor a legjobb, ha csak egyszer játszol. Minél több fogadást tesz meg, annál nagyobb a veszteség valószínűsége (a veszteség valószínűsége közelít a bizonyossághoz, ahogy a játék a végtelenhez közelít). Ez nem azt jelenti, hogy eléred

Megjegyzendő, hogy a nyitott pozíciók árrésének semmi köze a nyitandó szerződések matematikailag optimális számához. A biztosíték nem annyira fontos, mert az egyes nyereségek és veszteségek nagysága nem a biztosíték szorzata. A nyereség és veszteség az egy nyitott egységre (egy határidős szerződésre) jutó nyereségtől és veszteségtől függ. A pénzkezelésnél a fedezet nem számít, hiszen a veszteség nagysága nem korlátozódik csak a fedezetekre. Sokan tévesen azt hiszik, hogy f egy lineáris függvény, és minél többet kockáztat, annál többet nyerhet, mivel e megközelítés támogatói szerint a pozitív matematikai elvárás egy negatív elvárás tükörképe, vagyis ha a a negatív várakozású játékban ennek eredményeként a teljes forgalom gyorsabb veszteséget hoz, majd a pozitív várakozású játékban a teljes forgalom növekedése gyorsabb győzelmet eredményez. Nem helyes. Egy pozitív várakozási helyzetben egy ponton a teljes forgalom további növekedése ellened hat. Ez a pont a rendszer jövedelmezőségének és stabilitásának (vagyis geometriai középértékének) a függvénye, ahogyan a nyereséget újra befekteti a rendszerbe. Ha két ember ugyanazzal a kedvező fogadási vagy kereskedési sorozattal szembesül, és az egyik az optimális f-et használja, a másik pedig bármilyen más pénzkezelési rendszert, akkor matematikai tény, hogy a fogadó számlájának aránya

Gyanítom, hogy az egymást követő nyerő és/vagy vesztes ügyletek hatásán alapuló elméletek többsége a szerencsejátékból szivárgott be a kereskedési világba. A szerencsejáték a csíkok elméletén alapul. Bármely profi játékos azt fogja mondani, hogy lehetetlen egy kedvezőtlen helyzetet a maga javára fordítani. Így a szerencsejátékosok által használt pénzkezelési sémák a sorozatkezelés területéről származnak. Vegyünk egy érmefeldobás és egy negatív elvárású fogadás példáját. Bizonyos helyzetekben

Íme néhány érdekes forgatókönyv. Folyamatosan emlékeztetlek arra, hogy egyetlen pénzkezelési módszer sem képes negatív elvárást pozitívvá változtatni. Ez egy teljesen korrekt megjegyzés. Ennek az állításnak nincs matematikai bizonyítéka. Ez azonban nem jelenti azt, hogy ez nem fordulhat elő. Szerencsejátékban a résztvevő beléphet egy nyerési sorozatba, és egyszerűen abbahagyhatja a játékot. Az ilyen ember nyerő. A mozgóátlagos tőkével való kereskedés nem hasonlítható a szerencsejátékhoz. Bizonyos helyzetekben azonban ennek a módszernek a használata pozitív eredményeket adhat, még akkor is, ha a rendszer és/vagy módszer minden tranzakciónál veszteséget okoz. A kereskedők kerülik a kereskedést bizonyos piacokon, és elkerülnek bizonyos módszereket, mert félnek a pénzvesztéstől. Ugyanakkor az elvárások meglehetősen pozitívak lehetnek. Bármilyen pozitívak is az elvárások, az alkalmazott módszer vagy rendszer nem mindig követi ugyanazt a szabályt. Vegye figyelembe a következő kereskedelmi folyamatot

A kereskedőnek meg kell értenie a matematikai elvárásokat. Attól függően, hogy kinek van matematikai előnye a játékban, ezt vagy a játékos előnyének - pozitív elvárásnak, vagy a játékház előnyének - negatív elvárásnak nevezik. Tegyük fel, hogy fej-vagy-farkokat játszunk. Sem neked, sem nekem nincs előnyöd, mindkettőnek 50% esélye van a nyerésre. De ha ezt a játékot egy olyan kaszinóba visszük, ahol minden pörgetés 10%-ot vesz igénybe, akkor csak 90 centet nyersz minden egyes elvesztett dollár után. A játékháznak ez az előnye negatív matematikai elvárássá válik Ön, mint játékos számára. A negatív elvárások játékát pedig egyetlen pénzellenőrző rendszer sem tudja legyőzni.

Vöröseknél PL = 0,04 és AL = 3, tehát PL xAL = 0,04 x 3 = 0,12. Ezeket összeadva 0,5 + 0,2 + 0,12 = 0,82 kapunk. Ez a játékkal kapcsolatos összes negatív elvárás összege.

Végül a játékkal szembeni teljes elvárás e két összeg különbsége. Ezt a különbséget úgy találjuk meg, hogy kivonjuk a negatív várakozások összegét (0,82) a pozitív várakozások összegéből (1,6). A válasz 0,78. Tehát ebben a játékban 78 centet nyerhetsz minden, a játékba fektetett dollár után, vagy minden egyes kockázati dollár után, sok döntetlen eredményeként. Vegye figyelembe, hogy ez a játék majdnem négyszer jövedelmezőbb, mint az első játék.

A legtöbben azt feltételezik, hogy a bemeneti jelek fő célja a nyitási pozíciók időzítésének javítása, és ezáltal a rendszer megbízhatóságának növelése. Becslésem szerint a kereskedési rendszereket feltaláló emberek legalább 95%-a csak egy nagyszerű belépési jelet próbál találni. Valójában a kereskedők szinte mindig azt mondják nekem, hogy rövid távú rendszereik legalább 60%-os biztonsági tényezővel rendelkeznek. De ugyanakkor csodálkoznak, hogy miért nem keresnek pénzt. Ha e fejezet óta nem olvasta a könyvet, tudnod kell, hogy egy magas nyerési arányú rendszernél még mindig lehetnek negatív elvárások. A pénzszerzés kulcsa egy magas pozitív elvárású rendszer, és egy olyan pozícióméretezési modell alkalmazása, amely adott elvárás mellett továbbra is lehetővé teszi a játékban maradást. A belépés csak egy kis része a piaci pénzszerzés játékának. Ennek ellenére költenie kell egy kis energiát arra, hogy olyan bejegyzéseket (belépési szabályokat) találjon, amelyek megfelelnek a céljainak. Kétféle megközelítés létezik a probléma megoldására.

Nemegyszer rövid távú kereskedők hívtak telefonon olyan kijelentésekkel, hogy egy napi kereskedő vagyok. Naponta többször be- és kilépek a piacról. És szinte minden nap keresek pénzt. Ez nagyszerű, de tegnap elvesztettem majdnem egy év nyereséget, és nagyon ideges vagyok emiatt. Ez egyértelműen pszichológiai probléma. Az ilyen hibák a kereskedés során elkövetett baklövések vagy a játékhoz kapcsolódó pszichológiai téves számítások, negatív elvárások miatt merülnek fel. Egy ilyen játékban a nyeremény szinte állandó.

Fontos észben tartani, hogy történelmileg a vesztesége elérheti az f százalékot (az esetleges egyensúlyvesztés szempontjából). Valójában számítania kell arra, hogy a jövőben magasabb lesz ennél az értéknél. Ez azt jelenti, hogy két piaci rendszer kombinációja, még ha negatívan is korrelálnak, 44%-os mérlegcsökkenést eredményezhet. Ez több, mint egy pozitív matematikai elvárású rendszerben, amelyben az optimális f = 0,25, és ezért a maximális historikus veszteség csak 25%-kal csökkenti az egyenleget. Az erkölcs az, hogy a diverzifikáció, ha helyesen történik, olyan módszer, amely növeli a profitot. Nem feltétlenül csökkenti a legrosszabb esetből származó veszteségeket, ami teljesen ellentétes a közkeletű elképzeléssel. A diverzifikáció sok kisebb veszteséget mérsékel, de nem csökkenti a legrosszabb veszteségeket. Optimális f esetén a maximális veszteségek sokkal nagyobbak lehetnek, mint azt sokan gondolják. Ezért még akkor is, ha jól diverzifikálta portfólióját, jelentős egyenlegcsökkentésekre kell felkészülnie. De menjünk vissza, és nézzük meg az eredményeket, amikor a korrelációs együttható két játék között 0. Ilyen helyzetben, bármilyen legyen is az egyik dobás eredménye, az nem befolyásolja a másik dobás eredményét. Tehát négy lehetséges kimenetel van

Vegye figyelembe, hogy ebben a példában a nyerések és a veszteségek utáni fogadások továbbra is pozitív várható értékkel rendelkeznek. Mi történik, ha a nyerési valószínűség elvesztése után 0,3 Ebben az esetben a várható érték negatív, és nincs optimális f, ezért ne használja ezt a játékot (1,03) MO=(0,3 2)+(0 ,7 -1 ) = 0,6-0,7 = -0,1

Amint azt már tudjuk (lásd a 2. fejezetet), a piaci rendszerek hozzáadása növeli a portfólió egészének geometriai átlagát. Felmerül azonban a probléma, hogy minden egymást követő piaci rendszer egyre kevésbé járul hozzá a geometriai átlaghoz, és egyre jobban rontja azt, csökkentve a hatékonyságot az egyidejű, nem pedig a szekvenciális eredmények miatt. Ezért nem szabad túl sok piaci rendszerrel kereskedni. Ráadásul az elméletileg optimális portfóliók tényleges alkalmazását a biztosítéki követelmények nehezítik. Más szavakkal, jobban jársz, ha 3 piaci rendszerrel kereskedsz teljes optimális f értékkel, mint 300 piaci rendszerrel lényegesen alacsonyabb szinten, a (8.08) egyenlet szerint. Valószínűleg arra a következtetésre jut, hogy a kereskedéshez szükséges piaci rendszerek optimális számának kicsinek kell lennie. Ez a körülmény különösen fontos, ha sok megbízást kell végrehajtani, és megnő a hibák valószínűsége. Ha egy portfólió egy vagy több piaci rendszerének optimális súlya nagyobb, mint egy, akkor újabb probléma merülhet fel. Tekintsünk egy piaci rendszert, ahol az optimális f=0,8 és a legnagyobb veszteség 4000 USD. Ennél a piaci rendszernél f = 5000 USD. Tegyük fel, hogy ennek a komponensnek az optimális súlya a portfólióban 1,25, tehát minden 4000 $ (5000/1,25) számlaegyenleg után egy egységnyi komponenst fog kereskedni. Amint a komponens a legnagyobb veszteséget éri, a számla teljes aktív egyenlege nullára áll vissza, ha más piaci rendszerekben nincs elegendő nyereség az aktív egyenleg fenntartásához. A vizsgált probléma leginkább olyan rendszerekre vonatkozik, amelyek ritkán generálnak tranzakciókat. Ha két piaci rendszerünk lenne negatív korrelációval és pozitív várakozással, akkor végtelen számú szerződés megnyitására lenne szükség a piacon. Ha az egyik komponens veszít, a másik egyenlő vagy nagyobb összeget nyer. Így minden játékban profitot termelünk, de csak akkor, ha a piaci rendszerek egy időben játszanak. A szóban forgó kereskedés hasonló egy hipotetikus helyzethez, amikor a játék egyik komponense nem aktív, hanem egy másik, végtelen számú szerződéssel rendelkező piaci rendszert alkalmaznak. A veszteség katasztrofális lehet. A probléma úgy oldható meg, hogy az egységet elosztjuk a portfólió legnagyobb komponensének súlyával, és a kapott értéket használjuk az aktív egyenleg felső határaként, ha az kisebb, mint a (8.) egyenletből kapott érték. 08). Ebben az esetben, ha a jövőben a legnagyobb veszteséggel megegyező mértékű veszteség keletkezik (amiből f számítják), nem veszítjük el az összes pénzt. Például portfóliónkban a legnagyobb alkatrészsúly 1,25. Ha a (8,08) egyenletből származó érték nagyobb, mint 1 / 1,25 = 0,8, akkor 0,8-at kell használni az aktív mérleg felső határaként. Ha az aktív egyenleg kezdeti százaléka kicsi, akkor a fenti probléma fel sem merülhet, de az agresszívebb kereskedőnek ezt mindig figyelembe kell vennie. Alternatív megoldás, ha további korlátozásokat vezetünk be a portfóliómátrixba (például minden piaci rendszer esetében korlátozhatja a maximális súlyokat egyre, és további korlátozásokat vezet be a biztosítékokra). Hasonló további korlátozások

Vegye figyelembe, hogy az optimális /, amely maximalizálja a növekedést, ugyanaz a játék minden fordulójában, bár ez a játék időtartamától függ. Ha az első kör után abbahagyja, akkor az optimális / maximalizálja a számtani átlag HPR-t (pozitív matematikai elvárású játéknál ez / mindig 1,0, negatív matematikai elvárású játékoknál pedig 0,0). Pozitív várható értékű játék esetén az optimális/csökken a leállási idő növekedésével (végtelen játék esetén aszimptotikusan csökken), és maximalizálja a HPR geometriai átlagát. Negatív elvárású játéknál az optimális / mindig nulla marad.

Úgy tűnhet, hogy ez a téma nem szerepel a pénzkezelési könyvben. Mindazonáltal közvetett módon szorosan kapcsolódik az ebben a kiadásban tárgyalt kérdésekhez. A pénzkezelés kereskedési módszer vagy rendszer nélkül egyszerűen haszontalan. Ráadásul a negatív matematikai elvárás módszerének alkalmazása a kereskedésben szintén haszontalan. A módszernek vagy kereskedési rendszernek tehát pénzt kell keresnie ahhoz, hogy a pénzkezelésből fakadó növekedési faktorok érvényesüljenek és jó végeredményt hozhassanak. Nyissa meg bármelyik kereskedési magazint, és több kereskedési rendszert és módszert talál, mint amennyit kipróbálhat. Mindegyik nagyszerűnek tűnik, és legtöbbjükről azt állítják, hogy ez a legjobb módja a pénzteremtésnek. Többek között ezeknek az állításoknak az alapja a hipotetikus eredmények. Egyszer kaptam egy "hírlevelet", amelyben azt állították, hogy néhány év alatt 200 dollárból 18 000 000 dollárt (nem tévedésből 18 millió dollárt) "váltott". Azt is mondta, hogy te is megteheted, ha 39,95 dollárért megvásárolod a könyvet, és elolvasod a benne leírt hihetetlen módszert. (Kis díj ellenében elmondom, mi ez a könyv.) A tény az, hogy ezeknek a hipotetikus eredményeknek a többsége csak a bemutatott módszer jelentős optimalizálási tesztelése után jelenik meg. Ha a pénzkezelés bonyolultan kapcsolódik a kereskedésben használt rendszerhez vagy módszerekhez, akkor a hipotetikus eredmények különösen fontossá válnak annak eldöntésekor, hogy ezt a módszert vagy rendszert használjuk-e.

A legtöbb játékos a tudatlanság vagy az érzelmek miatt két golyó egyikétől hal meg. Az amatőrök az intuíció alapján játszanak, és olyan üzleteket kötnek, amelyeket a negatív matematikai elvárások miatt soha nem szabad megkötni. Azok, akik túlélik a kezdeti tudatlanság szakaszát, elkezdenek elfogadhatóbb játékrendszereket építeni. Ahogy egyre magabiztosabbakká válnak, kidugják a fejüket az árokból, és a második golyó eltalálja őket.A magabiztosság mohóssá teszi őket, túl sokat kockáztatnak egy kereskedésnél, és egy rövid balszerencse sodorja ki őket a piacról.

A duplázási rendszer úgy néz ki, mint egy win-win, amíg rá nem jön, hogy egy hosszú veszteségsorozat bármelyik játékost tönkreteszi, bármilyen gazdag is legyen. Annak a játékosnak, aki 1 dollárral kezd és 46-szor veszít, meg kell tennie a 47. tétet, 70 billió dollárt, ami többet jelent, mint az egész világ értéke (körülbelül 50 billió dollár). Nyilvánvaló, hogy jóval korábban elfogy a pénze, vagy beleütközik a kaszinó korlátozásaiba. A duplázási rendszer hiábavaló, ha negatív vagy nulla matematikai elvárásunk van. Öngyilkos, ha jó játékrendszerrel és pozitív matematikai elvárással rendelkezel.

Negatív elvárások játéka

Emellett megjegyezzük, hogy a spread csúnya szerepét súlyosbítja, hogy emiatt nemcsak a siker és a kudarc valószínűségének kedvezőtlen aránya alakul ki, hanem a játék átlagos kimenetele is negatívvá válik, pl. az eredmény matematikai elvárása.

A végtelen folytatásban reménytelen egy ilyen játék (mert a matematikai elvárás negatív értékű). De korlátozott számú sorozatnál a győzelem valószínűsége meglehetősen meggyőző (0,79 elérésének valószínűsége).

A legtöbb kereskedő meghal a két golyó egyikében – a tudatlanságban és az érzelmekben. A laikusok megérzésen játszanak, olyan mesterségekbe bonyolódva, amelyeket - a negatív matematikai elvárás miatt - ki kellett volna hagyniuk. Ha túlélik, akkor, miután megtanulták, okosabb rendszereket kezdenek kifejleszteni. Aztán önbizalommal töltve kidugják a fejüket az árokból – és eltalálják a második golyót.Az arrogancia miatt túl sokat fogadnak egy kereskedésre, és rövid veszteségek sorozata után kiesnek a játékból.

Az érzelmesség a legközvetlenebb hatással van a befektető és nagyobb mértékben a pénzügyi spekulációból származó pénzügyi eredményre. És minél érzelmesebb egy ember viselkedése, annál jelentősebb lesz a kereskedése pénzügyi eredményeire vonatkozó matematikai elvárás eltérése a valóságtól. A negatív matematikai elvárású szerencsejátékok esetében az érzelmek hatására elért pénzügyi eredmények az alábbi ábrán láthatóak.

Jogos kérdés merülhet fel: mi a matematikai elvárás a pénzügyi játékokkal szemben. Egyrészt ezek a játékok rendelkeznek a szerencsejáték minden külső tulajdonságával – a spread és a jutalék a nulla rulett egyfajta analógja. Ez okot ad arra, hogy negatív matematikai elvárásról beszéljünk. A pénzügyi játékoknak azonban van egy alapvető különbsége a szerencsejátékhoz képest – nem a véletlen úr, hanem az ember a főszereplő bennük. Ha az emberi viselkedés kiszámítható és bizonyos mintáknak van alávetve, akkor a piac is kiszámítható lehet.

Ebből a részből két következtetés vonható le. Az első az, hogy egy portfólióval egyidejű fogadáskor vagy kereskedéskor csekély hatékonyságvesztés következik be, ami abból adódik, hogy a számlát nem lehet feltőkésíteni minden egyes játék után. A második az, hogy a piaci rendszerek kombinálása mindaddig, amíg pozitív matematikai elvárásaik vannak (még ha pozitívan is korrelálnak), soha nem csökkenti az általános növekedést egy adott időszak alatt. Azonban ahogy egyre több piaci rendszert ad hozzá, a hatékonyság csökken. Ha mondjuk 10 piaci rendszere van, és mindegyik egyszerre veszteséges, akkor a halmozott veszteség az egész számlát eltüntetheti, hiszen nem csökkentheti az egyes veszteségek mértékét, mint az egymást követő ügyletek esetében. Így egy új piaci rendszer portfólióba való felvételekor csak két olyan eset lesz, amikor a piaci rendszer 1-nél kisebb korrelációs együtthatóval és pozitív matematikai várakozással rendelkezik, vagy amikor a rendszer negatív várakozással, de elég alacsony korrelációval rendelkezik másokkal. a negatív várakozás kompenzálására. Minden egyes hozzáadott piaci rendszer fokozatosan kisebb mértékben járul hozzá a geometriai átlaghoz. Vagyis minden új piaci rendszer egyre kisebb mértékben javítja a geometriai átlagot. Sőt, ha új piaci rendszert ad hozzá, az általános hatékonyság elveszik az egyidejű, nem pedig egymást követő eredmények miatt. Egy másik piaci rendszer bevezetése egy bizonyos ponton több kárt okoz, mint használ.

E módszer szerint a számla összegének csökkenésével a későbbi kereskedés nagysága nő. A Martingale módszer alapkoncepciója azon alapul, hogy a veszteségek következtében az összeg csökkenésével a veszteségek kompenzálásának lehetősége vagy nő, vagy változatlan marad. Ez a szerencsejátékosok körében népszerű pénzkezelési mód. Amint azt a 2. fejezetben tárgyaltuk, a pénzkezelés semmilyen típusa nem változtathatja át a „negatív várakozás” forgatókönyvét „pozitív várakozás” forgatókönyvvé. Ezért a játékosok nem próbálnak változtatni az esélyeken, hanem a sorozat előnyeit próbálják kihasználni. Tekintsük a következő példát.

Abban az esetben, ha az árfolyam meredek ugrása várható, a kereslet és kínálat egyensúlyának felbomlását mindenképpen az eladási bevételek kockázatának fedezésére szolgáló szokásos műveletek okozzák, illetve a valutavásárlási tranzakciók hiánya. amelynek értékcsökkenése várható, ezzel fedezve az ebben a devizában történő befektetések kockázatát. A devizaelszámolások és devizaügyletek levezetései és késései (leadek és késések) milliárdokat érnek el, és óriási nyomást okoznak az árfolyamon. Spekulatív devizaügyletek. Előfeltétel N.R. figyelembe veszik a statisztikai hipotézisvizsgálat legtöbb kritériumában. A matematikusok úgy vélik, hogy N.r. a gazdaságban sok esetben nem alkalmazható, például az árazási modellben aligha képzelhető el, akkor a negatív árak is benne lennének.

Az egyénhez viszonyítva a csoport pozitív és negatív szerepet is betölthet. Ha a csoport biztosítja az egyén szükségleteinek kielégítését, és a csoport által kialakított státusz megfelel az egyén elvárásainak, ez pozitív mozzanatnak tekinthető fejlődésében (szakmai, társadalmi, kulturális, fizikai stb.) . Ha ezt nem tartják be, az egyén leépülése, a fejlődés torzulása, az egyén és a csoport közötti konfliktus lehetséges. Ezt W. Siegert és L. Lang német tudósok is megjegyezték, különösen olyan személyek esetében, akik a tisztelet és az önmegvalósítás iránti igények kielégítésének szakaszában vannak.

Általános szabály, hogy minden pénznyereményt hozó játék, legyen az lottó, versenypályára tett fogadás, fogadóirodák, nyerőgépek stb., negatív matematikai elvárású játék. Ezért az ezekben való részvétel nem tekinthető stabil jövedelemforrásnak.

Ugyanazon piaci szereplőktől fogjuk megtalálni a választ. Minden tranzakcióban mindig két fél vesz részt – a vevő és az eladó. Ami jó a vevőnek, az általában nem jó az eladónak és fordítva. Itt nem a kényszerértékesítésről beszélek, amihez folyamodhatnak a pénzre szoruló befektetők, más devizában importőrök és exportőrök, egy adott áru fedezeti ügyfelei stb. Ekkor kiszámolható, hogy a vevő maximális pozitív elvárása támogatási szinten az eladóval szembeni maximális negatív elvárás. Nem valószínű, hogy sok ilyen eladót talál. Valószínűleg rövidlátó szereplőkről vagy kényszerpiaci szereplőkről lesz szó. Így a legnagyobb volumenű tranzakció valóban azokon a területeken lesz, ahol a vevők és az eladók várható nyeresége a lehető legnagyobb mértékben egybeesik. A matematikai elvárások értékeinek enyhe eltolódását a különböző piaci szereplőkben rejlő ellenállási és támogatási szintek becsléseinek különbsége fogja játszani.

Nem szükséges gyakrabban igazat adni, mint tévedni ahhoz, hogy kereskedési számlája növekedjen.

A konstrukciós elveket megbeszélve szó esett a pénz fontosságáról és a kockázatkezelési szabályokról. A kereskedési terv ezen pontjainak figyelmen kívül hagyása a pénzeszközök gyors elvesztéséhez vezet.

Ebben a cikkben folytatjuk a kereskedési terv negyedik és ötödik pontjának fontosságát, és egyszerű példákon keresztül elemezzük rendkívüli fontosságuk okait.

A kockázatkezelés magában foglalja annak megértését, hogy mely pontokon kell kilépni a piacról, és lehetővé teszi annak meghatározását, hogy a tranzakció jó minőségű-e a profitpotenciál és a kockázatok szempontjából.

A kockázatkezelési szabályok alkalmazásának célja a kereskedési számla stabilitásának növelése, a lehívások csökkentése és a profit maximalizálása.

Ezen a linken érhető el egy példa táblázat, amely bemutatja a különféle jutalom/kockázat arányok hatását a hozamgörbére.

Matematikai elvárás a kereskedésben

Nézzünk egy egyszerű példát, amely szemlélteti a kockázatkezelési szabályok alkalmazásának abszolút fontosságát a kereskedésben. Tegyük fel, hogy a kereskedésenkénti kockázat 10 USD, a potenciális nyereség is 10 USD. Érdemes megfontolni az üzletet?

A kérdés megválaszolásához ismernünk kell a nyereség vagy veszteség realizálásának valószínűségét. De a probléma az, hogy a kereskedésben ezt csak utólag lehet megtenni - a kereskedési statisztikák elemzésekor, vagyis miután pénzt kockáztattál, vagy a stratégia tesztelése során a historikus adatokon.

Ez az egyik oka annak, hogy miért nem szabad valódi számlán kereskednie olyan stratégiával, amelyet még nem tesztelt a történelem meglehetősen hosszú és kanyargós darabján.

Megfelelően nagy távolságban a kereskedés eredménye egyenlő lesz:

R - kereskedési eredmény,
N a tranzakciók száma,
A a kereskedésenkénti átlagos eredmény.

A tranzakciónkénti átlagos pénzügyi eredményt ebben az összefüggésben matematikai elvárásnak nevezhetjük. A matematikai elvárást a következőképpen számítjuk ki:

MO \u003d SP * VP - SU * VU

MO - matematikai elvárás,
SP az átlagos nyereséges kereskedés dollárban,
VP - a nyereség valószínűsége,
SU az átlagos veszteséges kereskedés dollárban,
WU - a veszteség fogadásának valószínűsége.

Tegyük fel, hogy a nyereség valószínűsége 50%. Ha a kereskedésenkénti nyereség 10 dollár, a kockázat is 10 dollár, akkor a matematikai elvárás nulla:

MO \u003d 0,5 * 10 - 0,5 $ * 10 USD = 0 USD

Ha a matematikai elvárás nulla, akkor nincs értelme a kereskedésnek, hiszen a végeredmény a mi példánkban is nulla lesz: ha 1000 tranzakció átlagosan 0 dollárt hoz tranzakciónként, akkor ebben a folyamatban a bróker profitot kap, de nem a kereskedő.

Ha példánkban a veszteség valószínűsége csak 1%-kal nő, a helyzet drámaian megváltozik, a matematikai várakozás negatív lesz:

MO = 0,49 * 10 - 0,51 USD * 10 USD \u003d - 0,2 USD

Ez azt jelenti, hogy egy kereskedő átlagosan 20 centet veszít kereskedésenként, és minél több kereskedést köt, annál több pénz fog elvész. Ez minden nyilvánvalóan negatív matematikai elvárású rendszerre jellemző (rulett, nyerőgépek).

Ha a matematikai elvárás nulla alatt van, nincs értelme a kereskedésnek. Minél több tranzakciót bonyolít le egy kereskedő, annál több pénz fog elvész.

Hasonlóképpen, a bináris opciókban a „nyerés” általában kisebb, mint a kockázat. Ez a matematikai elvárásokat a kaszinó javára tolja el – ha egy kereskedő az esetek 50%-ában nyereséget termel, akkor is mínuszban marad. A valós részvényopcióknál szabadon választhat több ezer lehetséges profit- és kockázati lehetőség közül, amely megfelel Önnek, és az ilyen opciók árát a piaci kereslet és kínálat határozza meg, nem pedig a bróker illetékes osztálya.

A példa, amelyben a matematikai elvárást kiszámítottuk, eltúlzott, azonban ennek a cikknek a fő gondolata fokozatosan kikristályosodik:

Ha átlagosan minden tranzakciónál a nyereség egyenlő vagy alacsonyabb a kockázatnál, akkor a kereskedő kötelezettséget (!) vállal arra, hogy a veszteségesnél jövedelmezőbb tranzakciókat kössön.

Miért kell ilyen kötelezettséget vállalni? Ez abszurd.

Bővítsük ki ezt a témát, és nézzünk meg néhány szemléltető példát.

1. példa: 60%-os vesztes ügyletek

Tegyük fel, hogy a kereskedési tőke 10 000 USD. A kereskedésenkénti kockázat 200 dollár, a jutalom/kockázat arány kettő az egyhez, vagyis az átlagos kereskedési nyereség 400 dollár.

Hagyja, hogy egy kereskedő aktívan kereskedjen a negyedév során, és 300 kereskedést bonyolítson le, miközben ennek az időszaknak a statisztikája messze van az ideálistól - a kereskedő gyakrabban hibázik, mint igaza van - 180 kereskedés (60%) veszteséggel zárul, 120 kereskedés ( 40%) - nyereséggel. A matematikai elvárás (MO) egyenlő lesz:

MO = 400 USD * 0,4 - 200 USD * 0,6 = 40 USD

Ez azt jelenti, hogy átlagosan minden tranzakciónál 40 dolláros eredményt kap a kereskedő, és ha sok a tranzakció, akkor minden rendben lesz a kereskedési számlával.

Számítsa ki az időszak kereskedési eredményét (TR) a fenti képlet segítségével:

TR = 40 USD * 300 ügylet = + 12 000 USD

Egy kereskedő az esetek 60%-ában téved, és a tőkéje 120%-kal nő? Ez a „Grál” – a kockázatkezelés varázsa. A kereskedésben a "grál" a kereskedésenkénti nyereség/kockázat és az optimális pozícióméret kiszámítása tekintetében benne van.

Ha a haszon/kockázat arány 2-nél nagyobb vagy egyenlő, akkor a kereskedőnek gyakrabban nyílik lehetősége arra, hogy tévedjen, mint hogy igaza legyen.

Ez növeli a pozitív matematikai várakozás elérésének valószínűségét, és minél magasabb a profit/kockázat arány az egyes tranzakciókban, annál aktívabban növekszik a kereskedési számla, és annál gyorsabban lép ki a lehívás.

Idézet a Fekete hattyútól. A kiszámíthatatlanság jegyében

A döntések meghozatalához a következményekre kell összpontosítania (amit tudhat), nem pedig egy esemény valószínűségére (amelynek mértékét nem tudhatja) - ez a bizonytalanság gondolatának fő szabálya. Erre az alapra építhető fel a döntéshozatal általános elmélete. Csak annyit kell tennie, hogy enyhíti a következményeket.

Múló trend!

Bármilyen típusú fogadásnál mindig fennáll a nyereség és a kudarc kockázata, ÉS a tranzakció pozitív kimenetele és a veszteség kockázata. pénz elválaszthatatlanul kapcsolódnak a matematikai elvárásokhoz. Ebben a cikkben a kereskedés e két aspektusára összpontosítunk részletesen.

Fogalomtár:

K: Elfogultság (nyerési arány)

R: A nyertes és vesztes ügyletek aránya (valószínűség)

E: A fogadás elvárása (előny)

FO: Kelly Optimal Rate

EE: Eredményes számlaegyenleg

N: Kereskedések száma

Kamatláb: Az egyenleg százalékos aránya a kereskedelemben (potenciális veszteség)

Van némi félreértés a matematikai várakozással és a Kelly-kritériummal (optimális árfolyam - FO) történő kereskedéssel kapcsolatban. Ez a cikk ezeket a kérdéseket tisztázza. A matematikai elvárás (E) kiszámításához egy meglehetősen egyszerű egyenletet használunk:

Várakozás (E) = B * R - (1 - B) = B * (1 + R) -1

Ha a matematikai elvárás nagyobb, mint nulla, az előnyt jelent a kereskedésben. A lényeg az, hogy a pozitív várható érték pozitív (növekvő profit) kereskedéshez vezet, míg a nulla vagy negatív várható érték azt jelenti, hogy egyáltalán nincs kereskedés.

Általánosságban elmondható, hogy a kereskedésnek két típusa van: a fix összegű kereskedés általában a kaszinóban való játékhoz, a fix részes kereskedés (FF) pedig a tőzsdén való munkavégzéshez kapcsolódik. Például rulettjáték közben általában fix összegű tétet teszünk, és ezt a fogadást változtatás nélkül sokszor megismételjük. Kiderült, hogy a rulett játék veszteséges a játékos számára, mivel E = -0,0526.

Hosszú időn keresztül a játékos elveszíti a pénzét (persze mindig vannak kivételek, amikor a szerencsés nyeri meg a házat). Mivel (általában) nem történik tétváltozás, a játékos 2 dollárt veszít minden 38 kerékpörgés után (egyszerre 1 dollár fogadáskor), ami -5,26%-os lineáris veszteséget eredményez, amely a fogadások számának növekedésével nő (átlag ).

Így a számlaegyenleg teljes veszteségét átlagosan a következő képlettel fejezzük ki:

EE = E * N * Fogadások száma

Az FF-típusú befektetés azért más, mert a veszteségek és a nyereségek a következő kereskedelmi mérleg képlet alapján meghatározott exponenciális ütemben halmozódnak fel.

A matematikai elvárás egy valószínűségi változó valószínűségi eloszlása

Matematikai elvárás, definíció, diszkrét és folytonos valószínűségi változók matematikai elvárása, szelektív, feltételes elvárás, számítás, tulajdonságok, feladatok, elvárásbecslés, variancia, eloszlásfüggvény, képletek, számítási példák

Tartalom bővítése

Tartalom összecsukása

A matematikai elvárás a definíció

A matematikai statisztika és a valószínűségszámítás egyik legfontosabb fogalma, amely egy valószínűségi változó értékeinek vagy valószínűségeinek eloszlását jellemzi. Általában egy valószínűségi változó összes lehetséges paraméterének súlyozott átlagaként fejezik ki. Széles körben alkalmazzák a technikai elemzésben, a számsorok tanulmányozásában, a folyamatos és hosszú távú folyamatok vizsgálatában. Fontos a kockázatok felmérésében, az árindikátorok előrejelzésében a pénzpiaci kereskedés során, és a szerencsejáték-elmélet játéktaktikai stratégiáinak és módszereinek kidolgozásában használatos.

A matematikai elvárás az a valószínűségi változó középértékét, a valószínűségi változó valószínűségi eloszlását a valószínűségelméletben veszik figyelembe.

A matematikai elvárás az egy valószínűségi változó átlagértékének mértéke a valószínűségszámításban. Egy valószínűségi változó matematikai elvárása x jelöljük M(x).

A matematikai elvárás az

A matematikai elvárás az a valószínűségelméletben az összes lehetséges érték súlyozott átlaga, amelyet ez a valószínűségi változó felvehet.

A matematikai elvárás az egy valószínűségi változó összes lehetséges értékének szorzata ezen értékek valószínűségével.

A matematikai elvárás az egy adott döntésből származó átlagos hasznot, feltéve, hogy egy ilyen döntés a nagy számok és a nagy távolság elméletének keretei között figyelembe vehető.

A matematikai elvárás az a szerencsejáték-elméletben az a nyeremény összege, amelyet a játékos átlagosan minden fogadással megkereshet vagy elveszíthet. A szerencsejátékosok szóhasználatában ezt néha "játékos előnynek" nevezik (ha pozitív a játékos számára) vagy "házi előnynek" (ha negatív a játékos számára).

A matematikai elvárás az Az egy nyereményre jutó nyereség százalékos aránya szorozva az átlagos nyereséggel mínusz a veszteség valószínűsége szorozva az átlagos veszteséggel.

Valószínűségi változó matematikai elvárása a matematikai elméletben

A valószínűségi változók egyik fontos numerikus jellemzője a matematikai elvárás. Vezessük be a valószínűségi változók rendszerének fogalmát. Vegyünk egy sor valószínűségi változót, amelyek ugyanazon véletlenszerű kísérlet eredményei. Ha a rendszer egyik lehetséges értéke, akkor az esemény egy bizonyos valószínűségnek felel meg, amely kielégíti a Kolmogorov-axiómákat. A valószínűségi változók bármely lehetséges értékére definiált függvényt közös eloszlási törvénynek nevezzük. Ez a funkció lehetővé teszi bármely esemény valószínűségének kiszámítását. Különösen a valószínűségi változók és a valószínűségi változók eloszlásának közös törvényét, amelyek a halmazból vesznek értékeket, és a valószínűségek adják meg.

Az „elvárás” kifejezést Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) vezette be, és a „kifizetés várható értéke” fogalmából származik, amely először a 17. században jelent meg a szerencsejáték elméletében Blaise Pascal és Christian Huygens munkáiban. . Ennek a koncepciónak az első teljes elméleti megértését és értékelését azonban Pafnuty Lvovich Chebisev adta (19. század közepe).

A véletlenszerű numerikus változók eloszlásának törvénye (eloszlásfüggvény és eloszlási sorozat vagy valószínűségi sűrűség) teljes mértékben leírja egy valószínűségi változó viselkedését. A feltett kérdés megválaszolásához azonban számos problémában elegendő a vizsgált mennyiség néhány számszerű jellemzőjének ismerete (például átlagértéke és az attól való esetleges eltérés). A valószínűségi változók fő numerikus jellemzői a matematikai elvárás, a variancia, a módusz és a medián.

Egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása a lehetséges értékek és a megfelelő valószínűségek szorzatának összege. Néha a matematikai elvárást súlyozott átlagnak nevezik, mivel ez megközelítőleg megegyezik egy valószínűségi változó megfigyelt értékeinek számtani átlagával nagyszámú kísérlet során. A matematikai elvárás definíciójából az következik, hogy értéke nem kisebb egy valószínűségi változó lehető legkisebb értékénél és nem több a legnagyobbnál. A valószínűségi változó matematikai elvárása nem véletlenszerű (konstans) változó.

A matematikai elvárásnak egyszerű fizikai jelentése van: ha egy tömegegységet egy egyenesre helyezünk, valamilyen tömeget helyezünk el bizonyos pontokon (diszkrét eloszlásért), vagy egy bizonyos sűrűséggel „kenjük” (abszolút folyamatos eloszlás esetén), akkor a matematikai elvárásnak megfelelő pont a koordináta "súlypont" egyenes lesz.

Egy valószínűségi változó átlagos értéke egy bizonyos szám, amely mintegy „reprezentatív” és durva közelítő számításokban helyettesíti. Amikor azt mondjuk: „a lámpa átlagos működési ideje 100 óra”, vagy „az átlagos ütközési pont a célhoz képest 2 m-rel jobbra tolódik el”, ezzel egy valószínűségi változó egy bizonyos numerikus karakterisztikáját jelezzük, amely leírja annak működését. hely a numerikus tengelyen, pl Pozíció leírása.

A pozíció jellemzői közül a valószínűségszámításban a legfontosabb szerepet a valószínűségi változó matematikai elvárása tölti be, amelyet néha egyszerűen egy valószínűségi változó átlagértékének neveznek.

Tekintsünk egy valószínűségi változót x, amelynek lehetséges értékei vannak x1, x2, …, xn valószínűségekkel p1, p2, …, pn. Valamilyen számmal jellemeznünk kell a valószínűségi változó értékeinek helyzetét az x tengelyen, figyelembe véve azt a tényt, hogy ezeknek az értékeknek eltérő a valószínűsége. Erre a célra természetes az értékek ún. "súlyozott átlaga" használata xi, és az átlagolás során minden xi értéket ennek az értéknek a valószínűségével arányos „súllyal” kell figyelembe venni. Így kiszámítjuk a valószínűségi változó átlagát x, amit jelölni fogunk M|X|:

Ezt a súlyozott átlagot a valószínűségi változó matematikai várakozásának nevezzük. Így figyelembe vettük a valószínűségszámítás egyik legfontosabb fogalmát, a matematikai várakozás fogalmát. A valószínűségi változó matematikai elvárása egy valószínűségi változó összes lehetséges értéke és ezen értékek valószínűségeinek szorzata.

x egy nagyszámú kísérlettel egy valószínűségi változó megfigyelt értékeinek számtani átlagától való különös függés miatt. Ez a függőség ugyanolyan típusú, mint a gyakoriság és a valószínűség közötti függés, nevezetesen: nagyszámú kísérletnél egy valószínűségi változó megfigyelt értékeinek számtani átlaga megközelíti (valószínűségben konvergál) a matematikai elvárásait. A gyakoriság és a valószínűség közötti összefüggés meglétéből következtethetünk arra, hogy a számtani átlag és a matematikai elvárás között hasonló kapcsolat áll fenn. Valóban, vegyünk egy valószínűségi változót x, amelyet egy sor eloszlás jellemez:

Hagyd előállítani N független kísérletek, amelyek mindegyikében az érték x bizonyos értéket vesz fel. Tegyük fel az értéket x1 megjelent m1 alkalommal, érték x2 megjelent m2 idők, általános jelentése xi mi alkalommal jelent meg. Számítsuk ki X megfigyelt értékeinek számtani átlagát, ami a matematikai elvárással ellentétben M|X| fogjuk jelölni M*|X|:

A kísérletek számának növekedésével N frekvenciák pi megközelíti (valószínűségben konvergál) a megfelelő valószínűségeket. Ezért a valószínűségi változó megfigyelt értékeinek számtani átlaga M|X| a kísérletek számának növekedésével megközelíti (valószínűségében konvergál) a matematikai elvárásait. A számtani átlag és a fentebb megfogalmazott matematikai elvárás kapcsolata alkotja a nagy számok törvényének egyik alakjának tartalmát.

Azt már tudjuk, hogy a nagy számok törvényének minden formája kimondja azt a tényt, hogy bizonyos átlagok nagyszámú kísérlet során stabilak. Itt egy azonos értékű megfigyeléssorozat számtani átlagának stabilitásáról van szó. Kis számú kísérlet esetén eredményeik számtani átlaga véletlenszerű; a kísérletek számának kellő növekedésével „szinte nem véletlenszerűvé” válik, és stabilizálódva megközelíti az állandó értéket - a matematikai elvárást.

Az átlagok stabilitásának tulajdonsága nagyszámú kísérlet esetén könnyen igazolható kísérletileg. Például bármely testet laboratóriumban pontos mérleggel lemérve a mérés eredményeként minden alkalommal új értéket kapunk; a megfigyelés hibájának csökkentése érdekében a testet többször megmérjük, és a kapott értékek számtani középértékét használjuk. Könnyen belátható, hogy a kísérletek (mérések) számának további növekedésével a számtani átlag egyre kevésbé reagál erre a növekedésre, és kellően nagy számú kísérlet esetén gyakorlatilag megszűnik a változás.

Megjegyzendő, hogy a valószínűségi változó pozíciójának legfontosabb jellemzője - a matematikai elvárás - nem minden valószínűségi változó esetében létezik. Lehetséges példákat hozni olyan valószínűségi változókra, amelyekre nem létezik matematikai elvárás, mivel a megfelelő összeg vagy integrál divergál. A gyakorlat szempontjából azonban az ilyen esetek nem érdekesek. Általában azoknak a valószínűségi változóknak, amelyekkel foglalkozunk, a lehetséges értékek korlátozott tartománya van, és természetesen elvárásaik is vannak.

A valószínűségi változó pozíciójának legfontosabb jellemzői - a matematikai elvárás - mellett a gyakorlatban más helyzetjellemzőket is alkalmaznak, különösen a valószínűségi változó módusát és mediánját.

Egy valószínűségi változó módusa a legvalószínűbb értéke. A "legvalószínűbb érték" kifejezés szigorúan véve csak nem folytonos mennyiségekre vonatkozik; folytonos mennyiség esetén a módusz az az érték, amelynél a valószínűségi sűrűség maximális. Az ábrák a nem folytonos, illetve a folytonos valószínűségi változók módját mutatják.

Ha az eloszlási sokszögnek (eloszlási görbének) több maximuma van, az eloszlást "polimodálisnak" mondjuk.

Néha vannak olyan disztribúciók, amelyek közepén nem maximum, hanem minimum van. Az ilyen eloszlásokat "antimodálisnak" nevezik.

Általános esetben egy valószínűségi változó módusa és matematikai elvárása nem esik egybe. Egy adott esetben, amikor az eloszlás szimmetrikus és modális (azaz van módusa), és van egy matematikai elvárás, akkor az egybeesik az eloszlás módusával és szimmetriaközéppontjával.

A pozíció egy másik jellemzőjét gyakran használják - egy valószínűségi változó úgynevezett mediánját. Ezt a karakterisztikát általában csak folytonos valószínűségi változókra használják, bár formálisan nem folytonos változókra is definiálható. Geometriailag a medián annak a pontnak az abszcisszája, ahol az eloszlási görbe által határolt területet kettévágják.

Szimmetrikus modális eloszlás esetén a medián egybeesik az átlaggal és a módussal.

A matematikai várakozás egy valószínűségi változó átlagos értéke - egy valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának numerikus jellemzője. A legáltalánosabb módon egy valószínűségi változó matematikai elvárása X(w) Lebesgue integrálként van definiálva a valószínűségi mértékhez képest R az eredeti valószínűségi térben:

A matematikai elvárás a Lebesgue integráljaként is kiszámítható x valószínűségi eloszlás szerint px mennyiségeket x:

Természetes módon definiálható a valószínűségi változó fogalma végtelen matematikai elvárásokkal. Tipikus példa a visszatérési idő néhány véletlenszerű séta során.

A matematikai elvárás segítségével meghatározható az eloszlás számos numerikus és funkcionális jellemzője (mint egy valószínűségi változó megfelelő függvényeinek matematikai elvárása), például generáló függvény, karakterisztikus függvény, tetszőleges sorrendű momentumok, különös tekintettel a szórásra. , kovariancia.

A matematikai elvárás egy valószínűségi változó értékeinek elhelyezkedésének jellemzője (eloszlásának átlagos értéke). Ebben a minőségében a matematikai elvárás valamilyen "tipikus" eloszlási paraméterként szolgál, és szerepe hasonló a statikus nyomatéknak - a tömegeloszlás súlypontjának koordinátájának - a mechanikában betöltött szerepéhez. A hely egyéb jellemzőitől, amelyek segítségével az eloszlást általánosságban leírják - mediánok, módusok, a matematikai elvárás abban tér el, hogy a valószínűségszámítás határtételeiben a matematikai elvárás és a megfelelő szórási karakterisztikája - diszperzió - mekkora értékkel bír. . A matematikai elvárás értelmét a legnagyobb teljességgel a nagy számok törvénye (Csebisev-egyenlőtlenség) és a nagy számok megerősített törvénye tárja fel.

Egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása

Legyen valamilyen valószínűségi változó, amely több számérték közül egyet vehet fel (például egy kockadobás pontjainak száma lehet 1, 2, 3, 4, 5 vagy 6). A gyakorlatban gyakran felmerül egy ilyen érték esetében a kérdés: milyen értéket vesz fel "átlagosan" nagy számú teszt esetén? Mennyi lesz az átlagos hozamunk (vagy veszteségünk) az egyes kockázatos tranzakciókból?

Tegyük fel, hogy van valamilyen lottó. Szeretnénk megérteni, hogy kifizetődő-e vagy sem részt venni benne (vagy akár többször, rendszeresen részt venni). Tegyük fel, hogy minden negyedik jegy nyer, a nyeremény 300 rubel, bármelyik jegy ára 100 rubel lesz. Végtelen számú részvétel mellett ez történik. Az esetek háromnegyedében veszítünk, minden harmadik veszteség 300 rubelbe kerül. Minden negyedik esetben 200 rubelt nyerünk. (díj mínusz költség), azaz négy részvétel esetén átlagosan 100 rubelt veszítünk, egy esetében átlagosan 25 rubelt. Összességében romunk átlagos ára 25 rubel lesz jegyenként.

Dobunk egy kockát. Ha ez nem csalás (anélkül, hogy eltolnánk a súlypontot stb.), akkor átlagosan hány pontunk lesz egyszerre? Mivel mindegyik opció egyformán valószínű, a hülye számtani átlagot vesszük, és 3,5-öt kapunk. Mivel ez ÁTLAG, nem kell felháborodni azon, hogy egyetlen dobás sem ad 3,5 pontot – hát ennek a kockának ilyen számmal nincs arca!

Most pedig foglaljuk össze a példáinkat:

Vessünk egy pillantást a fenti képre. A bal oldalon egy valószínűségi változó eloszlását bemutató táblázat. Az X értéke n lehetséges érték egyikét veheti fel (a felső sorban található). Más értékek nem létezhetnek. Minden lehetséges érték alatt annak valószínűsége van aláírva. A jobb oldalon van egy képlet, ahol M(X) matematikai elvárásnak nevezzük. Ennek az értéknek az a jelentése, hogy nagy számú próba esetén (nagy mintával) az átlagérték erre a nagyon matematikai elvárásra hajlik.

Térjünk vissza ugyanahhoz a játékkockához. A dobásban elért pontok számának matematikai elvárása 3,5 (ha nem hiszed, számold ki a képlet segítségével). Tegyük fel, hogy eldobta párszor. 4 és 6 esett ki.Átlagban 5 lett, vagyis messze nem 3,5. Megint dobtak, 3 esett ki, vagyis átlagban (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333... Valahogy messze van a matematikai elvárástól. Most végezzen egy őrült kísérletet – dobja meg a kockát 1000-szer! És ha az átlag nem pont 3,5, akkor közel lesz ahhoz.

Számítsuk ki a matematikai elvárásokat a fent leírt lottó esetében. A táblázat így fog kinézni:

Ekkor a matematikai elvárás a fentiek szerint lesz:

Másik dolog, hogy ez is "ujjakon", képlet nélkül nehéz lenne, ha több lehetőség lenne. Nos, tegyük fel, hogy a vesztes jegyek 75%-a, a nyertes jegyek 20%-a és a nyertes jegyek 5%-a volt.

Most a matematikai elvárás néhány tulajdonsága.

Könnyű bizonyítani:

Az elvárási előjelből kivehető egy állandó szorzó, azaz:

Ez a matematikai elvárás linearitási tulajdonságának egy speciális esete.

A matematikai elvárás linearitásának egy másik következménye:

vagyis a valószínűségi változók összegének matematikai elvárása megegyezik a valószínűségi változók matematikai elvárásainak összegével.

Legyenek X, Y független valószínűségi változók, azután:

Ezt is könnyű bizonyítani) XY maga egy valószínűségi változó, míg ha a kezdeti értékek vehetnének nÉs mértékeket, ill XY nm értékeket vehet fel. Az egyes értékek valószínűségét az a tény alapján számítják ki, hogy a független események valószínűségét megszorozzák. Ennek eredményeként ezt kapjuk:

Folyamatos valószínűségi változó matematikai elvárása

A folytonos valószínűségi változóknak van egy olyan jellemzője, mint az eloszlási sűrűség (valószínűségi sűrűség). Valójában azt a helyzetet jellemzi, hogy egy valószínűségi változó gyakrabban vesz át bizonyos értékeket a valós számok halmazából, néhányat ritkábban. Vegyük például ezt a diagramot:

Itt x- valójában egy valószínűségi változó, f(x)- eloszlási sűrűség. Ebből a grafikonból ítélve a kísérletek során az érték x gyakran nullához közeli szám lesz. túllépésének esélyei 3 vagy legyen kevesebb -3 inkább tisztán elméleti.

Legyen például egységes eloszlás:

Ez teljesen összhangban van az intuitív megértéssel. Tegyük fel, hogy ha sok véletlenszerű valós számot kapunk egyenletes eloszlással, akkor mindegyik szegmens |0; 1| , akkor a számtani átlag körülbelül 0,5 legyen.

A diszkrét valószínűségi változókra vonatkozó matematikai elvárás - linearitás stb. - tulajdonságai itt is érvényesek.

A matematikai elvárás kapcsolata más statisztikai mutatókkal

A statisztikai elemzésben a matematikai elvárás mellett létezik egy kölcsönösen összefüggő mutatórendszer, amely a jelenségek homogenitását és a folyamatok stabilitását tükrözi. A variációs mutatók gyakran nem rendelkeznek önálló jelentéssel, és további adatelemzésre használják őket. Kivételt képez a variációs együttható, amely az adatok homogenitását jellemzi, amely értékes statisztikai jellemző.

A statisztikatudomány folyamatainak változékonyságának vagy stabilitásának mértéke többféle mutató segítségével mérhető.

A valószínűségi változó változékonyságát jellemző legfontosabb mutató az Diszperzió, amely a legszorosabban és közvetlenül kapcsolódik a matematikai elváráshoz. Ezt a paramétert aktívan használják más típusú statisztikai elemzésekben (hipotézisvizsgálat, ok-okozati összefüggések elemzése stb.). Az átlagos lineáris eltéréshez hasonlóan a variancia is azt tükrözi, hogy az adatok milyen mértékben terjednek el az átlag körül.

Hasznos a jelek nyelvét a szavak nyelvére fordítani. Kiderül, hogy a szórás az eltérések átlagos négyzete. Ez azt jelenti, hogy először az átlagértéket számítják ki, majd veszik az egyes eredeti és átlagos értékek közötti különbséget, négyzetre emelik, összeadják, majd elosztják a sokaságban lévő értékek számával. Az egyedi érték és az átlag különbsége az eltérés mértékét tükrözi. Négyzetes, hogy minden eltérés kizárólag pozitív szám legyen, és elkerülhető a pozitív és negatív eltérések kölcsönös törlése az összegzéskor. Ezután a négyzetes eltérések ismeretében egyszerűen kiszámítjuk a számtani átlagot. Átlagos - négyzetes - eltérések. Az eltérések négyzetre kerülnek, és az átlagot veszik figyelembe. A "diszperzió" varázsszóra csak három szó a válasz.

Tiszta formájában azonban, mint például a számtani átlag vagy index, a diszperziót nem használjuk. Ez inkább egy segéd- és közbenső mutató, amelyet más típusú statisztikai elemzésekhez használnak. Még normális mértékegysége sincs. A képlet alapján ez az eredeti adategység négyzete.

Mérjünk meg egy valószínűségi változót N alkalommal például tízszer mérjük meg a szélsebességet, és meg akarjuk találni az átlagértéket. Hogyan kapcsolódik az átlagérték az eloszlásfüggvényhez?

Vagy többször is dobunk a kockával. Az egyes dobások során a kockán kieső pontok száma egy véletlenszerű változó, és bármilyen természetes értéket vehet fel 1-től 6-ig. N egy nagyon konkrét számra – a matematikai elvárásra – hajlik Mx. Ebben az esetben Mx = 3,5.

Hogyan jött létre ez az érték? Beengedni N próbatételek n1 ha 1 pont elesik, n2 alkalommal - 2 pont és így tovább. Ezután azoknak az eredményeknek a száma, amelyekben egy pont esett:

Hasonlóan azokra az eredményekre, amikor 2, 3, 4, 5 és 6 pont esett ki.

Tegyük fel most, hogy ismerjük az x valószínűségi változó eloszlási törvényét, vagyis tudjuk, hogy az x valószínűségi változó p1, p2, ... valószínűséggel vehet fel x1, x2, ..., xk értékeket. , pk.

Egy x valószínűségi változó Mx matematikai elvárása:

A matematikai elvárás nem mindig valamely valószínűségi változó ésszerű becslése. Az átlagbér becsléséhez tehát ésszerűbb a medián fogalmát használni, vagyis olyan értéket, hogy a mediánbérnél kevesebbet és többet kapók száma azonos legyen.

Annak p1 valószínűsége, hogy az x valószínűségi változó kisebb, mint x1/2, és annak p2 valószínűsége, hogy az x valószínűségi változó nagyobb, mint x1/2, megegyezik és egyenlő 1/2-vel. A medián nem minden eloszlásra van egyértelműen meghatározva.

Standard vagy szórás a statisztikában a megfigyelési adatok vagy halmazok ÁTLAG értéktől való eltérésének mértékét nevezzük. s vagy s betűkkel jelölve. A kis szórás azt jelzi, hogy az adatok az átlag köré csoportosulnak, a nagy szórás pedig azt, hogy a kezdeti adatok távol állnak attól. A szórás egyenlő a variancia nevű mennyiség négyzetgyökével. Ez az átlagtól eltérő kiindulási adatok négyzetes különbségeinek összegének átlaga. Egy valószínűségi változó szórása a variancia négyzetgyöke:

Példa. Tesztkörülmények között, amikor célba lő, számítsa ki egy valószínűségi változó szórását és szórását:

Variáció- az attribútum értékének fluktuációja, változékonysága a sokaság egységeiben. A vizsgált populációban előforduló jellemzők külön számértékeit értékváltozatoknak nevezzük. Az átlagérték elégtelensége a populáció teljes jellemzéséhez szükségessé teszi az átlagértékek kiegészítését olyan mutatókkal, amelyek lehetővé teszik ezen átlagok tipikusságának felmérését a vizsgált tulajdonság ingadozásának (variációjának) mérésével. A variációs együtthatót a következő képlettel számítjuk ki:

Terjeszkedési variáció(R) a tulajdonság maximális és minimális értéke közötti különbség a vizsgált populációban. Ez a mutató a legáltalánosabb képet ad a vizsgált tulajdonság fluktuációjáról, mivel csak az opciók szélső értékei között mutatja a különbséget. Az attribútum szélsőértékeitől való függés instabil, véletlenszerű karaktert ad a variációs tartománynak.

Átlagos lineáris eltérés az elemzett sokaság összes értékének átlagértékétől való abszolút (modulo) eltérésének számtani átlaga:

Matematikai elvárás a szerencsejáték-elméletben

A matematikai elvárás az az átlagos pénzösszeg, amit egy szerencsejátékos nyerhet vagy veszíthet egy adott fogadáson. Ez egy nagyon fontos fogalom egy játékos számára, mert alapvető fontosságú a legtöbb játékhelyzet megítélésében. A matematikai elvárás a legjobb eszköz az alapvető kártyaelrendezések és játékhelyzetek elemzésére is.

Tegyük fel, hogy egy barátoddal pénzérmét játszol, és minden alkalommal egyenlő 1 dolláros tétet teszel, függetlenül attól, hogy mi történik. Tails - nyersz, fejed - veszítesz. Egy az egyhez az esélye, hogy feljön, és Ön 1 és 1 dollár között fogad. Így a matematikai elvárásod nulla, mert matematikailag nem tudhatod, hogy két dobás után vezet vagy veszít, vagy 200 után.

Az óránkénti nyereséged nulla. Az óránkénti kifizetés az a pénzösszeg, amelyet egy óra alatt várhatóan nyerhet. Egy órán belül 500-szor feldobhatsz egy érmét, de nem nyersz vagy veszítesz, mert az esélyeid se nem pozitívak, se nem negatívak. Ha megnézzük, egy komoly játékos szemszögéből egy ilyen fogadási rendszer nem rossz. De ez csak időpocsékolás.

De tegyük fel, hogy valaki ugyanabban a játékban szeretne 2 dollárt fogadni az Ön 1 dollárja ellen. Ekkor azonnal 50 cent pozitív elvárása van minden fogadástól. Miért 50 cent? Átlagosan egy fogadást nyer, a másodikat pedig elveszíti. Fogadjon az első dollárra, és veszítsen 1 dollárt, fogadjon a másodikra ​​és nyerjen 2 dollárt. Kétszer fogadott 1 dollárt, és 1 dollárral előrébb jár. Tehát minden egydolláros fogadásod 50 centet adott.

Ha az érme 500-szor esik le egy óra alatt, az óránkénti nyereség már 250 dollár lesz, mert. átlagosan 1250 dollárt veszített, és 2250 dollárt nyert. 500 dollár mínusz 250 dollár egyenlő 250 dollárral, ami a teljes nyeremény. Ne feledje, hogy a várható érték, vagyis az az összeg, amelyet átlagosan nyer egyetlen fogadással, 50 cent. 250 dollárt nyert, ha 500-szor fogadott egy dollárt, ami a tét 50 centjének felel meg.

A matematikai elvárásnak semmi köze a rövid távú eredményekhez. Ellenfeled, aki úgy döntött, hogy 2 dollárt fogad ellened, zsinórban az első tíz feldobásnál megverhet, de te 2-1 tételőnnyel, ha minden más egyenlő, 50 centet keresel minden 1 dolláros fogadás után. körülmények. Nem számít, hogy egy vagy több fogadást nyer vagy veszít, de csak azzal a feltétellel, hogy elegendő készpénzzel rendelkezik a költségek könnyű kompenzálásához. Ha továbbra is ugyanúgy fogad, akkor nyereménye hosszú időn keresztül eléri az egyes dobásokban várható értékek összegét.

Minden alkalommal, amikor megtesz egy legjobb tétet (olyan fogadást, amely hosszú távon nyereséges lehet), amikor az esély az Ön javára, akkor biztosan nyer valamit, akár elveszíti, akár nem egy adott leosztásban. Ezzel szemben, ha rosszabb fogadást tett (egy olyan fogadást, amely hosszú távon veszteséges), amikor az esély nem az Ön javára, akkor veszít valamit, akár nyer, akár elveszíti a leosztást.

Akkor fogad a legjobb eredménnyel, ha pozitív az elvárása, és pozitív, ha az esély az Ön javára. Ha a legrosszabb kimenetelre fogad, akkor negatív elvárásai vannak, ami akkor történik, ha az esélyek ellene vannak. A komoly játékosok csak a legjobb eredménnyel fogadnak, a legrosszabb esetben – dobnak. Mit jelent az esély az Ön javára? Előfordulhat, hogy többet nyer, mint amennyit a tényleges esélyek hoznak. A farok eltalálásának valós esélye 1:1, de a tétarány miatt 2:1-et kapsz. Ebben az esetben az esély az Ön javára. Határozottan a legjobb eredményt éri el, ha fogadásonként 50 centes pozitív elvárást kap.

Íme egy összetettebb példa a matematikai elvárásra. A barát felírja a számokat egytől ötig, és 5 dollárral fogad az Ön 1 dollárjára, hogy nem te választod ki a számot. Egyetértesz egy ilyen fogadással? Mi az elvárás itt?

Átlagosan négyszer tévedsz. Ennek alapján az esélye annak, hogy Ön kitalálja a számot, 4:1. Az esély az, hogy egy dollárt veszít egy kísérletben. Ön azonban nyer 5:1 arányban, és 4:1 arányban veszít. Ezért az esélyek az Ön javára szólnak, megteheti a fogadást, és reménykedhet a legjobb eredményben. Ha ezt a fogadást ötször köti meg, átlagosan négyszer veszít 1 dollárt, és egyszer nyer 5 dollárt. Ennek alapján mind az öt próbálkozás után 1 dollárt fog keresni, fogadásonként 20 cent pozitív matematikai elvárás mellett.

Az a játékos, aki többet fog nyerni, mint amennyit fogad, mint a fenti példában, elkapja az esélyeket. Ezzel szemben tönkreteszi az esélyeket, ha kevesebbet vár nyerni, mint amennyit fogad. A fogadónak lehetnek pozitív vagy negatív elvárásai attól függően, hogy elkapja vagy tönkreteszi az esélyeket.

Ha 50 dollárral fogad, hogy 10 dollárt nyerjen 4:1 nyerési eséllyel, akkor 2 dolláros negatív várakozást kap, mert átlagosan négyszer nyer 10 dollárt, és egyszer veszít 50 dollárt, ami azt mutatja, hogy a fogadásonkénti veszteség 10 dollár lesz. De ha 30 dollárral fogad, hogy 10 dollárt nyerjen, ugyanolyan 4:1 nyerési esély mellett, akkor ebben az esetben pozitív 2 dolláros várakozása van, mert ismét nyersz négyszer 10 dollárt, és egyszer veszítesz 30 dollárt, 10 dollár nyereséggel. Ezek a példák azt mutatják, hogy az első fogadás rossz, a második pedig jó.

A matematikai elvárás minden játékhelyzet középpontjában áll. Amikor egy bukméker arra ösztönzi a futballrajongókat, hogy fogadjanak 11 dollárt, hogy 10 dollárt nyerjenek, pozitív elvárásaik szerint 50 cent minden 10 dollár után. Ha a kaszinó még pénzt is kifizet a Craps pass sorból, akkor a ház pozitív elvárása körülbelül 1,40 USD minden 100 USD után; ez a játék úgy épül fel, hogy mindenki, aki ezen a vonalon fogad, átlagosan 50,7%-ot veszít, és az esetek 49,3%-át nyer. Kétségtelen, hogy ez a látszólag minimális pozitív elvárás az, ami óriási profitot hoz a kaszinótulajdonosoknak szerte a világon. Ahogy a Vegas World kaszinótulajdonosa, Bob Stupak megjegyezte: „Egy ezrelék százalékos negatív valószínűség elég hosszú távolságon keresztül csődbe viszi a világ leggazdagabb emberét.”

Matematikai elvárások pókerezés közben

A pókerjáték a leginkább szemléltető és szemléltető példa a matematikai elvárás elméletének és tulajdonságainak felhasználására.

A pókerben várható érték egy adott döntésből származó átlagos haszon, feltéve, hogy egy ilyen döntés a nagy számok és a nagy távolság elméletének keretein belül mérlegelhető. A sikeres póker arról szól, hogy mindig pozitív matematikai elvárások mellett fogadjuk el a mozdulatokat.

A matematikai elvárás matematikai jelentése pókerezés közben, hogy gyakran találkozunk véletlenszerű változókkal a döntés meghozatalakor (nem tudjuk, hogy az ellenfél kezében milyen lapok vannak, milyen lapok kerülnek a következő licitkörben). Mindegyik megoldást a nagy számok elmélete felől kell vizsgálnunk, amely szerint kellően nagy minta esetén egy valószínűségi változó átlagértéke a matematikai elvárása szerint alakul.

A matematikai elvárás kiszámítására szolgáló speciális képletek közül a következő a leginkább alkalmazható a pókerben:

Pókerezéskor a matematikai elvárások számíthatók a fogadásokra és a hívásokra is. Az első esetben a fold equity-t kell figyelembe venni, a második esetben a pot saját oddsát. Egy adott lépés matematikai elvárásainak értékelésekor emlékeznünk kell arra, hogy a hajtásnak mindig nulla matematikai elvárása van. Így a kártyák eldobása mindig jövedelmezőbb döntés lesz, mint bármilyen negatív lépés.

Az elvárás megmondja, hogy minden egyes kockáztatott dollár után mire számíthat (nyereség vagy veszteség). A kaszinók azért keresnek pénzt, mert a bennük gyakorolt ​​összes játék matematikai elvárása a kaszinó mellett szól. Kellően hosszú játéksorozat esetén várható, hogy az ügyfél elveszíti a pénzét, hiszen a „valószínűség” a kaszinó javára szól. A professzionális kaszinójátékosok azonban rövid időre korlátozzák játékaikat, ezzel növelve az esélyeket a maguk javára. Ugyanez vonatkozik a befektetésekre is. Ha pozitívak az elvárásai, több pénzt kereshet, ha rövid időn belül sok kereskedést köt. Az elvárás a nyereményenkénti nyereség százalékos aránya, szorzata az átlagos nyereség mínusz a veszteség valószínűsége és az átlagos veszteség.

A póker a matematikai elvárások szempontjából is szóba jöhet. Feltételezheti, hogy egy bizonyos lépés nyereséges, de bizonyos esetekben nem a legjobb, mert egy másik lépés jövedelmezőbb. Tegyük fel, hogy telt házat ütött az ötlapos pókerben. Az ellenfeled fogad. Tudod, hogy ha előre lépsz, ő hívni fog. Tehát az emelés tűnik a legjobb taktikának. De ha emel, a maradék két játékos biztosan dobni fog. De ha megadja a fogadást, akkor teljesen biztos lehet benne, hogy a másik két játékos is ezt fogja tenni. Amikor emeli a tétet, egy egységet kap, és egyszerűen megadásával kettőt. Tehát a hívás magasabb pozitív várható értéket ad, és ez a legjobb taktika.

A matematikai elvárás arról is képet ad, hogy melyik pókertaktika kevésbé jövedelmező és melyik jövedelmezőbb. Például, ha kijátsz egy adott leosztást, és úgy gondolod, hogy az átlagos veszteséged 75 cent az ante-okkal együtt, akkor meg kell játszania azt a leosztást, mert ez jobb, mint a behajtás, ha az ante 1 dollár.

A várható érték megértésének másik fontos oka az, hogy nyugalmat ad, függetlenül attól, hogy nyer-e egy fogadást vagy sem: ha jó tétet tett, vagy időben dobott, akkor tudni fogja, hogy szerzett vagy megtakarított egy bizonyos összeget. pénzt, amit egy gyengébb játékos nem tudott megtakarítani. Sokkal nehezebb bedobni, ha frusztrált vagy amiatt, hogy ellenfelednek jobb lapja van a húzásnál. Ez azt jelenti, hogy az a pénz, amelyet úgy takarít meg, hogy nem játszik, ahelyett, hogy fogad, hozzáadódik az éjszakai vagy havi nyereményéhez.

Ne felejtsd el, hogy ha kezet cserélsz, az ellenfeled megadna téged, és amint azt a Póker alaptétele című cikkben látni fogod, ez csak az egyik előnyed. Örülni kell, ha ez megtörténik. Még azt is megtanulhatod, hogy élvezd a leosztás elvesztését, mert tudod, hogy a te helyedben lévő többi játékos sokkal többet veszít.

Ahogy az elején az érmejátékban is szerepel, az óránkénti megtérülési ráta a matematikai elváráshoz kapcsolódik, és ez a fogalom különösen fontos a profi játékosok számára. Amikor pókerezni fogsz, mentálisan fel kell becsülned, mennyit nyerhetsz egy játékórán belül. A legtöbb esetben az intuíciójára és a tapasztalataira kell hagyatkoznia, de használhat néhány matematikai számítást is. Például, ha húzós lowball-t játszik, és azt látja, hogy három játékos 10 dollárt fogad, majd két lapot húz, ami nagyon rossz taktika, akkor kiszámolhatja, hogy minden alkalommal, amikor 10 dollárt fogad, körülbelül 2 dollárt veszít. Mindegyikük ezt óránként nyolcszor teszi meg, ami azt jelenti, hogy mindhárman körülbelül 48 dollárt veszítenek óránként. Ön az egyike a maradék négy játékosnak, akik nagyjából egyenlőek, így ennek a négy játékosnak (és neked köztük) 48 dolláron kell osztoznia, és mindegyikük óránként 12 dollárt fog keresni. Az Ön órabére ebben az esetben egyszerűen a három rossz játékos által óránként elvesztett pénzösszegből való részesedése.

Hosszú időn keresztül a játékos össznyeresége a matematikai elvárások összege külön elosztásokban. Minél többet játszol pozitív várakozással, annál többet nyersz, és fordítva, minél több leosztást játszol negatív várakozással, annál többet veszítesz. Ennek eredményeként olyan játékot kell előnyben részesítenie, amely maximalizálja pozitív elvárásait, vagy megcáfolja a negatívat, hogy maximalizálja óránkénti nyereségét.

Pozitív matematikai elvárások a játékstratégiában

Ha tudja, hogyan kell kártyákat számolni, előnyben lehet része a kaszinóval szemben, ha nem veszik észre és kirúgnak. A kaszinók szeretik a részeg szerencsejátékosokat, és nem bírják a kártyák számolását. Az előny lehetővé teszi, hogy többször nyerjen, mint amennyit veszít az idő múlásával. Az elvárásszámításokat használó jó pénzkezelés segíthet kihasználni előnyét és csökkenteni veszteségeit. Előny nélkül jobban jársz, ha a pénzt jótékony célra fordítod. A tőzsdei játékban az előnyt a játékrendszer adja, amely több profitot termel, mint veszteség, árkülönbség és jutalék. Semmilyen pénzkezelés nem mentheti meg a rossz játékrendszert.

A pozitív várakozást a nullánál nagyobb érték határozza meg. Minél nagyobb ez a szám, annál erősebb a statisztikai várakozás. Ha az érték kisebb, mint nulla, akkor a matematikai elvárás is negatív lesz. Minél nagyobb egy negatív érték modulusa, annál rosszabb a helyzet. Ha az eredmény nulla, akkor a várakozás nulla. Csak akkor tudsz nyerni, ha pozitív matematikai elvárásod van, ésszerű játékrendszered van. Az intuícióra való játék katasztrófához vezet.

Matematikai elvárás és tőzsdei kereskedés

A matematikai elvárás meglehetősen széles körben keresett és népszerű statisztikai mutató a pénzpiaci tőzsdei kereskedésben. Először is, ez a paraméter a kereskedés sikerének elemzésére szolgál. Nem nehéz kitalálni, hogy minél nagyobb ez az érték, annál inkább tekinthető sikeresnek a vizsgált kereskedelem. Természetesen a kereskedő munkájának elemzése nem végezhető el csak ezen paraméter segítségével. A számított érték azonban a munka minőségének egyéb értékelési módszereivel kombinálva jelentősen növelheti az elemzés pontosságát.

A matematikai elvárást gyakran számítják ki a kereskedési számlafigyelő szolgáltatásokban, ami lehetővé teszi a betéten végzett munka gyors értékelését. Kivételként említhetjük azokat a stratégiákat, amelyek a vesztes ügyletek „túllépését” használják. Egy kereskedő egy ideig szerencsés lehet, és ezért a munkájában egyáltalán nem lehet veszteség. Ebben az esetben nem lehet csak az elvárás alapján eligazodni, mert a munka során felmerülő kockázatokat nem vesszük figyelembe.

A piaci kereskedésben a matematikai várakozást leggyakrabban egy kereskedési stratégia jövedelmezőségének előrejelzésekor, vagy egy kereskedő bevételének előrejelzésekor alkalmazzák korábbi kereskedéseinek statisztikái alapján.

A pénzkezelés szempontjából nagyon fontos megérteni, hogy a negatív várakozásokkal járó kereskedések során nincs olyan pénzkezelési séma, amely határozottan magas profitot tud hozni. Ha ilyen feltételek mellett folytatja a cserét, akkor függetlenül attól, hogy hogyan kezeli a pénzét, elveszíti a teljes számláját, függetlenül attól, hogy mekkora volt az elején.

Ez az axióma nem csak a negatív elvárású játékokra vagy kereskedésekre igaz, hanem a páros szorzós játékokra is. Ezért az egyetlen eset, amikor hosszú távon hasznot húzhat, az az, ha pozitív matematikai elvárások mellett köt üzletet.

A negatív elvárás és a pozitív elvárás közötti különbség az élet és a halál közötti különbség. Nem számít, mennyire pozitív vagy negatív az elvárás; az számít, hogy pozitív vagy negatív. Ezért, mielőtt a pénzkezelésre gondolna, találnia kell egy pozitív elvárású játékot.

Ha nem rendelkezik ezzel a játékkal, akkor a világon semmiféle pénzkezelés nem fogja megmenteni. Másrészt, ha van pozitív elvárása, akkor megfelelő pénzgazdálkodással azt exponenciális növekedési függvénysé lehet alakítani. Nem számít, milyen kicsi a pozitív elvárás! Vagyis nem mindegy, hogy egy szerződésen alapuló kereskedési rendszer mennyire jövedelmező. Ha olyan rendszere van, amely szerződésenként 10 USD-t nyer egyetlen kereskedésben (a díjak és a csúszások után), akkor pénzkezelési technikákkal teheti nyereségesebbé, mint egy olyan rendszernél, amely ügyletenként átlagosan 1000 USD nyereséget mutat (a jutalékok és a csúszások levonása után). csúszás).

Nem az számít, hogy mennyire volt jövedelmező a rendszer, hanem az, hogy mennyire biztos, hogy a jövőben legalább minimális profitot fog mutatni a rendszer. Ezért a legfontosabb felkészülés, amit egy kereskedő tehet, az az, hogy a rendszer a jövőben pozitív várható értéket mutasson.

Ahhoz, hogy a jövőben pozitív várható értékeink legyenek, nagyon fontos, hogy ne korlátozzuk rendszerünk szabadsági fokait. Ez nem csak az optimalizálandó paraméterek megszüntetésével vagy csökkentésével érhető el, hanem a lehető legtöbb rendszerszabály csökkentésével is. Minden hozzáadott paraméter, minden szabály, amit meghozol, minden apró változtatás a rendszerben csökkenti a szabadsági fokok számát. Ideális esetben egy meglehetősen primitív és egyszerű rendszert szeretne felépíteni, amely folyamatosan kis nyereséget hoz szinte minden piacon. Ismét fontos, hogy megértse, nem számít, mennyire jövedelmező egy rendszer, csak addig, amíg nyereséges. A kereskedésben megkeresett pénzt hatékony pénzkezeléssel fogjuk keresni.

A kereskedési rendszer egyszerűen egy olyan eszköz, amely pozitív matematikai elvárásokat ad, hogy a pénzkezelés használható legyen. Azok a rendszerek, amelyek csak egy vagy néhány piacon működnek (legalább minimális nyereséget mutatnak), vagy a különböző piacokon eltérő szabályokkal vagy paraméterekkel rendelkeznek, valószínűleg nem sokáig működnek valós időben. A legtöbb technikai kereskedővel az a probléma, hogy túl sok időt és energiát fordítanak a kereskedési rendszer különféle szabályainak és paramétereinek optimalizálására. Ez teljesen ellentétes eredményeket ad. Ahelyett, hogy energiát és számítógépes időt pazarolna a kereskedési rendszer nyereségének növelésére, fordítsa energiáját a minimális nyereség megszerzésének megbízhatóságának növelésére.

Tudva, hogy a pénzkezelés csak egy számjáték, amelyhez pozitív elvárások szükségesek, a kereskedő abbahagyhatja a tőzsdei kereskedés "szent gráljának" keresését. Ehelyett elkezdheti tesztelni kereskedési módszerét, megtudni, hogy ez a módszer logikailag mennyire megalapozott, ad-e pozitív elvárásokat. A megfelelő pénzkezelési módszerek, amelyeket bármilyen, még nagyon közepes kereskedési módszerre is alkalmaznak, elvégzik a többi munkát.

Bármely kereskedőnek a munkája sikeréhez három legfontosabb feladatot kell megoldania: . Biztosítani, hogy a sikeres tranzakciók száma meghaladja az elkerülhetetlen hibákat és tévedéseket; Állítsa be kereskedési rendszerét úgy, hogy a lehető leggyakrabban legyen lehetőség pénzt keresni; Érjen el működésének stabil pozitív eredményét.

És itt nekünk, dolgozó kereskedőknek jó segítséget nyújthat a matematikai elvárás. Ez a fogalom a valószínűségelméletben az egyik kulcsszó. Ezzel átlagos becslést adhat valamilyen véletlenszerű értékre. Egy valószínűségi változó matematikai elvárása olyan, mint a súlypont, ha minden lehetséges valószínűséget különböző tömegű pontként képzelünk el.

Egy kereskedési stratégia kapcsán annak hatékonyságának értékelésére leggyakrabban a matematikai profit (vagy veszteség) elvárást alkalmazzák. Ezt a paramétert az adott nyereség-veszteségszintek szorzatainak és bekövetkezési valószínűségének összegeként határozzuk meg. Például a kidolgozott kereskedési stratégia azt feltételezi, hogy az összes művelet 37% -a nyereséget hoz, a fennmaradó rész - 63% - pedig veszteséges. Ugyanakkor a sikeres tranzakcióból származó átlagos bevétel 7 dollár, az átlagos veszteség pedig 1,4 dollár lesz. Számítsuk ki a kereskedés matematikai elvárását a következő rendszer segítségével:

Mit jelent ez a szám? Azt írja ki, hogy ennek a rendszernek a szabályait követve átlagosan 1,708 dollárt kapunk minden lezárt tranzakcióból. Mivel az így kapott hatékonysági pontszám nagyobb, mint nulla, egy ilyen rendszert valódi munkára lehet használni. Ha a számítás eredményeként a matematikai várakozás negatívnak bizonyul, akkor ez már átlagos veszteséget jelez, és az ilyen kereskedés tönkremenetelhez vezet.

Az egy kereskedésre jutó nyereség összege relatív értékként is kifejezhető % formában. Például:

– a bevétel százalékos aránya 1 tranzakciónként – 5%;

– sikeres kereskedési műveletek aránya - 62%;

– veszteség százalék 1 ügyletenként - 3%;

- a sikertelen tranzakciók aránya - 38%;

Vagyis az átlagos tranzakció 1,96%-ot hoz.

Ki lehet dolgozni egy olyan rendszert, amely a vesztes ügyletek túlsúlya ellenére is pozitív eredményt ad, hiszen MO>0.

A várakozás azonban önmagában nem elég. Nehéz pénzt keresni, ha a rendszer nagyon kevés kereskedési jelzést ad. Ebben az esetben jövedelmezősége a banki kamatokhoz lesz hasonlítható. Minden művelet átlagosan csak 0,5 dollárt hozzon, de mi van akkor, ha a rendszer évi 1000 tranzakciót feltételez? Ez viszonylag rövid időn belül nagyon komoly összeg lesz. Ebből logikusan következik, hogy a jó kereskedési rendszer másik jellemzője a rövid tartási időszak.

Források és linkek

dic.academic.ru - akadémiai online szótár

mathematics.ru - matematikai oktatási oldal

nsu.ru – a Novoszibirszki Állami Egyetem oktatási webhelye

A webmath.ru egy oktatási portál diákoknak, jelentkezőknek és iskolásoknak.

exponenta.ru oktatási matematikai webhely

ru.tradimo.com - ingyenes online kereskedelmi iskola

crypto.hut2.ru - multidiszciplináris információs forrás

poker-wiki.ru - ingyenes pókerenciklopédia

sernam.ru - Válogatott természettudományi publikációk tudományos könyvtára

reshim.su – a SOLVE feladatokat vezérlő webhely

unfx.ru – Forex az UNFX-en: oktatás, kereskedési jelek, bizalomkezelés

slovopedia.com - Nagy enciklopédikus szótár

pokermansion.3dn.ru – Útmutató a póker világába

statanaliz.info - tájékoztató blog "Statisztikai adatelemzés"

forex-trader.rf - Forex-Trader portál

megafx.ru - naprakész Forex analitika

fx-by.com – mindent egy kereskedőnek