A nyugdíjpénztár tulajdonában t2. Nyugdíjpénztári értékpapírok

Felkészülés az egységes államvizsgára matematikából. Videóelemzés és gazdasági feladatok válogatása banki kamatozáshoz és optimalizáláshoz.

A feladatok videóelemzése

A nyugdíjpénztár az év végén $t^2$ ezer rubel értékpapírokkal rendelkezik $t$ ($t = 1; 2; \ldots$). Bármely év végén a nyugdíjpénztár értékesíthet értékpapírokat és pénzt helyezhet el bankszámlára, míg minden következő év végén a számlán lévő összeg $(1 + r)$-szorosára nő. A nyugdíjpénztár egy ilyen év végén akar értékpapírt értékesíteni, hogy a huszonötödik év végén legyen a legnagyobb összeg a számláján. A számítások szerint ehhez szigorúan a huszonegyedik év végén kell eladni az értékpapírokat. Milyen pozitív $r$ értékek esetén lehetséges ez?

2016 júliusában a tervek szerint öt évre szóló bankkölcsönt vesznek fel S ezer rubel értékben. Visszaküldésének feltételei a következők:
− minden januárban 20%-kal nő az adósság az előző év végéhez képest;
− 2017, 2018 és 2019 júliusában az adósság S ezer rubel marad;
− 2020-ban és 2021-ben a kifizetések egyenként 360 ezer rubel;
− 2021 júliusáig a tartozás teljes egészében megtörténik.
Keresse meg a kifizetések teljes összegét öt évre.

Január 15-én a tervek szerint 1 millió rubel kölcsönt vesznek fel egy banktól 6 hónapra. Visszaküldésének feltételei a következők:
− Minden hónap 1. napján az adósság egész számmal $r$ százalékkal növekszik az előző hónap végéhez képest;
− minden hónap 2. napjától 14. napjáig a tartozás egy részét ki kell fizetni;
− Minden hónap 15-én a tartozásnak egy bizonyos összeget kell elérnie az alábbi táblázat szerint

Keresse meg a $r$ legnagyobb értékét, amelynél a kifizetések teljes összege kevesebb, mint 1,2 millió rubel.

Feladatok válogatása

1. A betét megnyitását négy évre tervezik. A kezdeti hozzájárulás több millió rubel egész szám. A betét minden év végén 10%-kal növekszik az év eleji mérethez képest, ezen felül a harmadik és negyedik év elején a betét évente 2 millió rubelrel bővül. Keresse meg a kezdeti hozzájárulás legnagyobb összegét, amelynél négy év múlva a hozzájárulás kevesebb, mint 15 millió rubel. (USE-2016)
2. A 10 millió rubel összegű letétet a tervek szerint négy évre nyitják meg. A betét minden év végén 10%-kal növekszik az év eleji nagyságához képest, emellett a harmadik és negyedik év elején a betét évente azonos fix összeggel bővül. millió rubel egész számra. Keresse meg egy ilyen összeg lehető legkisebb összegét, amelynél négy év múlva a hozzájárulás legalább 30 millió rubel lesz. (USE-2016)
3. 2016 júliusában négy évre tervezik bankhitel felvételét S$ millió rubel értékben, ahol a $S$ egy egész szám. Visszaküldésének feltételei a következők:
   
   − minden év februárjától júniusig a tartozás egy részét vissza kell fizetni;
   - minden év júliusában a tartozásnak a hitel részét kell képeznie az alábbi táblázat szerint. Keresse meg a legnagyobb S$-értéket, amelynél a kifizetések teljes összege kevesebb, mint 50 millió rubel. (USE-2016)
4. 2016 júliusában a tervek szerint öt évre szóló banki kölcsönt vesznek fel ezer rubel S$ dollár értékben. Visszaküldésének feltételei a következők:
   − minden januárban 25%-kal nő az adósság az előző év végéhez képest;
   − minden év februárjától júniusig a tartozás egy részét vissza kell fizetni;
   − 2017, 2018 és 2019 júliusában az adósság továbbra is ezer rubel dollárral egyenlő;
   − 2020-ban és 2021-ben a kifizetések egyenként 625 ezer rubel;
   − 2021 júliusáig a tartozás teljes egészében megtörténik. Keresse meg a kifizetések teljes összegét öt évre. (USE-2016)
5. A 10 millió rubel összegű letétet a tervek szerint négy évre nyitják meg. A bank minden év végén 10%-kal növeli a betétet az év eleji mérethez képest. Ezenkívül a harmadik és negyedik év elején a betétes évente x$ millió rubel összeggel pótolja a letétet, ahol x$ egy egész szám. Keresse meg az x legkisebb értékét, amelynél a bank több mint 7 millió rubelt ad hozzá a betéthez négy év alatt. (USE-2016)
6. A 20 millió rubel összegű letétet a tervek szerint négy évre nyitják meg. A bank minden év végén 10%-kal növeli a betétet az év eleji mérethez képest. Ezenkívül a harmadik és negyedik év elején a betétes évente x$ millió rubel összeggel pótolja a letétet, ahol x$ egy egész szám. Keresse meg azt a legnagyobb x$-os értéket, amelynél a bank kevesebb mint 17 millió rubelt ad hozzá a betéthez négy év alatt. (USE-2016)
7. 2016 júliusában 3 évre tervezik banki hitel felvételét S$ ezer rubel értékben, ahol a $S$ természetes szám. Visszaküldésének feltételei a következők
   − minden januárban 15%-kal nő az adósság az előző év végéhez képest;
   − minden év februártól júniusig a tartozás egy részét egy fizetésben kell megfizetni;
   - minden év júliusában a tartozásnak a hitel részét kell képeznie az alábbi táblázat szerint. Keresse meg az S legkisebb értékét, amelynél minden egyes kifizetés több ezer rubel egész szám lesz. (USE-2016)
8. Vladimir két gyár tulajdonosa különböző városokban. A gyárak pontosan ugyanazokat az árukat gyártják, de a második városban található gyár fejlettebb berendezéseket használ. Ennek eredményeként, ha az első városban található gyárban a munkások összesen $t^2$ órát dolgoznak hetente, akkor azon a héten 2t$-os áruegységet állítanak elő; ha a második városban található gyár dolgozói hetente összesen $t^2$ órát dolgoznak, akkor azon a héten 5t$$-os áruegységet állítanak elő. Vlagyimir minden munkaóráért (mindegyik gyárban) 500 rubelt fizet a munkásnak. Vlagyimirnak minden héten 580 áruegységet kell előállítania. Mennyi a legkisebb összeg, amelyet hetente a dolgozók fizetésére kell költenie? (USE-2015)
9. Gregory két gyár tulajdonosa különböző városokban. A gyárak pontosan ugyanazokat az árukat gyártják, de a második városban található gyár fejlettebb berendezéseket használ. Ennek eredményeként, ha az első városban található gyár dolgozói hetente összesen $t^2$-os órát dolgoznak, akkor azon a héten 3t$-os áruegységet állítanak elő; ha a második városban található gyár dolgozói hetente összesen $t^2$ órát dolgoznak, akkor azon a héten 4t$-os áruegységet állítanak elő. Grigorij minden munkaóráért (minden gyárban) 500 rubelt fizet a munkásnak. Grigorij kész heti 5 000 000 rubelt elkülöníteni a dolgozók fizetésére. Ebben a két gyárban legfeljebb hány darab árut lehet egy héten előállítani? (USE-2015)
10. Január 15-én a tervek szerint 19 hónapra hitelt vesznek fel a banktól. Visszaküldésének feltételei a következők:
    — Minden hónap 1. napján a tartozás $r$%-kal emelkedik az előző hónap végéhez képest;
    - minden hónap 2-14-ig a tartozás egy részét ki kell fizetni;
    — Minden hónap 15. napján a tartozásnak ugyanannyival kisebbnek kell lennie, mint az előző hónap 15. napján fennálló tartozás.
    Ismeretes, hogy a teljes kölcsön visszafizetése után a teljes fizetési összeg 30%-kal haladja meg a hitelre felvett összeget. Keresse meg a $r$-t. (USE-2015)
11. 2013. december 31-én Szergej 9 930 000 rubel kölcsönt vett fel egy banktól évi 10% -os kamattal. A hiteltörlesztési séma a következő: minden jövő év december 31-én a bank kamatot halmoz fel a tartozás fennmaradó összegére (azaz 10%-kal növeli az adósságot), majd Szergej átutalja az éves törlesztőrészlet egy bizonyos összegét. a bankba. Mekkora legyen az éves befizetés összege, hogy Szergej három egyenlő éves részletben kifizesse az adósságát?
12. Szergej 9 hónapra hitelt vett fel egy banktól. Minden hónap végén a teljes fennmaradó adósság 12%-kal nő, majd a Szergej által fizetett összeggel csökken. A minden hónap végén kifizetett összegeket úgy választják ki, hogy ennek eredményeként a tartozás összege minden hónapban egyenletesen, azaz azonos összeggel csökkenjen. A kölcsön összegének hány százaléka volt Szergej által a banknak fizetett teljes összeg (a hitelen felül)?
13. Petrov polgár fia születése alkalmából 2008. szeptember 1-jén bankszámlát nyitott, amelyre évente 1000 rubelt helyez el. A befizetés feltételei szerint a bank évente 20%-ot halmoz fel a számlán lévő összegre. 6 év elteltével lánya született Petrov állampolgárnak, és 2014. szeptember 1-jén számlát nyitott egy másik bankban, amelyre évente 2200 rubelt helyez el, és a bank évente 44% -ot halmoz fel. Melyik évben, a következő feltöltést követően, kiegyenlítődnek a betétek összegei, ha nem vesznek fel pénzt a számlákról?
14. A gazdálkodó egy banktól kapott kölcsönt, bizonyos százalékos éves szinten. Egy évvel később a gazda visszaadta a banknak $\dfrac(3)(4)$ teljes összegét, amellyel addig a banknak tartozott hiteltörlesztésként, egy évvel később pedig a kölcsön teljes törlesztéseként, a kölcsön összegét meghaladó 21%-ot fizetett a banknak. Mennyi az éves hitel százaléka ebben a bankban?
15. Igor részvényt vásárolt 8000-ért.Minden év végén a részvény értéke 1000-rel emelkedik.Igor bármikor eladhatja a részvényt és az összes pénzt a bankszámlára helyezheti. Minden év végén 8%-kal nő a bankszámlán lévő összeg. Melyik évben kell Igornak pénzt betennie a bankba, hogy a részvényvásárlás után 25 évvel a bankszámlán a maximum legyen?
16. Az „A” betétnél a bank minden év végén 20%-kal, a „B” betétnél pedig 21%-kal emeli az év eleji betéten rendelkezésre álló összeget minden év végén három évre. az első két évben. Keresse meg a legkisebb egész százalékos arányt a harmadik évre a "B" betétnél, amelynél ez a betét mindhárom évben még mindig jövedelmezőbb lesz, mint az "A" betét.
17. Az üzleti terv szerint a tervek szerint egy négyéves projektbe egész számú millió rubelt fektetnek be. Az egyes évek eredményei szerint az év elejéhez képest 20%-kal tervezik növelni a betétes forrásait. A felhalmozott kamat a projektbe fektetett marad. Ezenkívül közvetlenül a kamatfelhalmozás után további befektetésekre van szükség: 20 millió rubelre az első és második évben, valamint 10 millió rubelre a harmadik és negyedik évben. Keresse meg a legkisebb kezdeti befektetés összegét, amelynél két év alatt több mint 125 millió, négy év múlva pedig több mint 200 millió rubel lesz.
18. Két régióban 160-160 dolgozó dolgozik napi 5 órán keresztül alumínium vagy nikkel kitermelésében. Az első régióban egy munkás óránként 0,1 kg alumíniumot vagy 0,3 kg nikkelt termel. A második régióban napi $x$ kg alumíniumhoz $x^2$ munkaóra, a napi $y$ kg nikkelhez pedig $y^2$ munkaórára van szükség. Az ipar igényeire akár alumínium, akár nikkel használható, 1 kg alumíniumot 1 kg nikkellel helyettesíthetünk. A két régióban összesen mekkora tömegű fém bányászható az ipar szükségleteire?
19. Az ékszerész egy hibás gyémántot kapott megmunkálásra. Ez a hiba a gyémánt három részre osztásával szüntethető meg, melynek össztömege vágás után 50 karát lesz. Ebben az esetben a kapott gyémántok közül a kisebb súlya legalább 5 karát, a legnagyobbé pedig legfeljebb 30 karát (nem kizárt a gyémántok súlyegyenlőségének lehetősége). Ismeretes, hogy a gyémánt értéke arányos a súlyának négyzetével. Milyen súlyt kell adnia a mesternek mindhárom gyémántnak, hogy maximalizálja összértéküket?
20. Egy kisvállalkozás kétféle terméket gyárt. Az első típusú termékhez 5 óra A gép és 3 óra B gép szükséges, míg a második típushoz 2 óra A gép és 4 óra B gép (a gépek bármilyen sorrendben működhetnek). Technikai okokból az A gép legfeljebb 150 órát dolgozhat havonta, a B gép - legfeljebb 132 órát havonta. Az első típusú termékek mindegyike 300 pénzegység nyereséget hoz a vállalatnak, a második típusú minden termék pedig 200 pénzegység nyereséget jelent. Keresse meg a vállalkozás lehető legnagyobb havi nyereségét, és határozza meg, hogy hány első típusú és hány második típusú terméket kell előállítani ahhoz, hogy ezt a nyereséget elérjük.
21. A betét megnyitását négy évre tervezik. A kezdeti hozzájárulás több millió rubel egész szám. A betét minden év végén 10%-kal növekszik az év eleji mérethez képest, ezen felül a harmadik és negyedik év elején a betét évente 2 millió rubelrel bővül. Keresse meg a kezdeti hozzájárulás legnagyobb összegét, amelynél négy év múlva a hozzájárulás kevesebb, mint 15 millió rubel.
22. Júliusban a tervek szerint 28 millió rubel összegű bankkölcsönt vesznek fel egy bizonyos időszakra (egész számú évre). Megtérülésének feltételei a következők: - minden januárban 25%-kal nő az adósság az előző év végéhez képest; - minden év februárjától júniusig a tartozás egy részét ki kell fizetni; - minden év júliusában a tartozásnak ugyanannyival kisebbnek kell lennie, mint az előző év júliusában. Mennyi lesz a kifizetések teljes összege a kölcsön teljes visszafizetése után, ha a legnagyobb éves kifizetés 9 millió rubel?
23. Alexey értékpapírt vásárolt 7 ezer rubelért. A papír ára évente 2000 rubelrel növekszik. Alexey bármikor eladhat papírt, és a bevételt bankszámlára utalhatja. A számlán lévő összeg minden évben 10%-kal nő. A vásárlást követő hány éven belül adja el Alekszej az értékpapírt, hogy az értékpapír megvásárlása után harminc évvel a bankszámlán a legnagyobb összeg legyen?
24. Savely 1,4 millió rubelt szeretne felvenni. A kölcsönt évente egyszer, egyenlő összegben törlesztik (talán az utolsó kivételével), a kamat felszámítása után. A kamat mértéke évi 10%. Hány évre tud a Savely hitelt felvenni minimálisan, hogy az éves kifizetések ne haladják meg a 330 ezer rubelt?
25. 2014. december 31-én Péter bizonyos összegű kölcsönt vett fel a banktól, bizonyos százalékos éves szinten. A hiteltörlesztési séma a következő - minden jövő év december 31-én a bank kamatot halmoz fel a tartozás fennmaradó összegére (vagyis a tartozást egy százalékkal növeli), majd Péter átutalja a következő részletet. Ha évente 2 592 000 rubelt fizet, akkor 4 év alatt törleszti az adósságot. Ha 4 392 000 rubelért, akkor 2 évig. Péter hány százalékban vett fel pénzt a banktól?
26. A vállalattól vásárolt áruk mennyiségének $Q$ (egységben) függését a $P$ ártól (rubelben egységenként) a következő képlet fejezi ki: $Q=15000-P$, $1000\leqslant P\leqslant 15000 $. Az áruk eladásából származó bevétel $PQ$ rubel. A $Q$ egységnyi áru előállításának költsége 3000Q$+5000000 rubel. A nyereség egyenlő az áruk értékesítéséből származó bevétel és az előállítási költség különbségével. A vásárlók figyelmének felkeltésére a cég 20%-kal csökkentette a termékek árát, nyeresége azonban nem változott. Hány százalékkal kell növelni a kedvezményes árat a legnagyobb haszon eléréséhez?
27. Egy új üzem építése 78 millió rubelbe kerül. Előállítási költsége x ezer egység. Az ilyen üzemben lévő termékek évi 0,5x^2+2x+6 millió rubel dollárral egyenlőek. Ha az üzem termékeit egységenként r ezer rubel áron értékesítik, akkor a vállalat nyeresége (millió rubelben) egy évre $px - (0,5x^2+2x+6)$ lesz. A gyár felépítésekor a cég olyan mennyiségben állít elő termékeket, hogy a profit a legnagyobb. Mekkora minimális p érték mellett térül meg az üzem építése legfeljebb 3 éven belül?
28. Két régióban 160 munkavállaló dolgozik, akik napi 5 órát készek alumínium vagy nikkel kitermelésére dolgozni. Az első régióban egy munkás óránként 0,1 kg alumíniumot vagy 0,3 kg nikkelt termel. A második területen napi x kg alumínium bányászása x^2$ munkaóra, napi 1 kg nikkel kibányászása pedig $y^2$ munkaóra. Az ipar igényeire akár alumínium, akár nikkel használható, 1 kg alumíniumot 1 kg nikkellel helyettesíthetünk. Mekkora a legnagyobb fémtömeg, amely összesen két régióban bányászható naponta az ipar szükségleteire?
29. Két bányában alumíniumot és nikkelt állítanak elő. Az első bányában 60 munkás dolgozik, mindegyik kész napi 5 órát dolgozni. Ugyanakkor egy munkás óránként 2 kg alumíniumot vagy 3 kg nikkelt termel. A második bányában 260 munkás dolgozik, mindegyik kész napi 5 órát dolgozni. Ugyanakkor egy munkás óránként 3 kg alumíniumot vagy 2 kg nikkelt termel. Mindkét bánya a bányászott fémet szállítja az üzembe, ahol az ipar szükségleteire alumínium és nikkel ötvözetet állítanak elő, amelyben 2 kg alumínium 1 kg nikkelt tesz ki. Ugyanakkor a bányák megállapodnak egymás között a fémek bányászatában, hogy az üzem a legnagyobb mennyiségű ötvözetet tudjon előállítani. Hány kilogramm ötvözetet tud ilyen körülmények között naponta előállítani a növény?
30. A vállalkozó megvásárolta az épületet, és szállodát fog nyitni benne. A szállodában lehetnek 27 négyzetméteres standard szobák és 45 négyzetméteres deluxe szobák. A szobákra kiosztható összterület 981 négyzetméter. Ezt a területet a vállalkozó tetszés szerint feloszthatja különböző típusú szobák között. Egy átlagos szoba napi 2000 rubelt hoz a szállodának, egy deluxe szoba pedig 4000 rubelt naponta. Mennyi pénzt kereshet egy vállalkozó naponta a szállodájában?
31. A gazdálkodónak két, egyenként 10 hektáros földje van. Mindegyik tábla termeszthet burgonyát és céklát, és a táblák tetszőleges arányban oszthatók fel ezen növények között. A burgonya hozama az első táblán 500 c/ha, a másodikon 300 c/ha. A répatermés az első táblán 300 c/ha, a másodikon 500 c/ha. Egy gazda 5000 rubel áron adhat el burgonyát. centner és cékla - 8000 rubel áron. százalék centner. Mekkora a maximális jövedelem, amelyet egy gazda kereshet?
32. Az 1. osztályba 45 fő kerül: 20 fiú és 25 lány. Két osztályra osztották őket: az egyikben 22 fősnek, a másikban 23 fősnek kellett lenniük. Az elosztás után kiszámolták az egyes osztályokba tartozó lányok százalékos arányát, és a kapott számokat összeadták. Milyen legyen az osztályok szerinti eloszlás, hogy a kapott összeg a legnagyobb legyen?
33. A gazdálkodónak két, egyenként 10 hektáros földje van. Mindegyik tábla termeszthet burgonyát és céklát, és a táblák tetszőleges arányban oszthatók fel ezen növények között. A burgonya termése az első táblán 400 c/ha, a másodikon 300 c/ha. A répatermés az első táblán 300 c/ha, a másodikon 400 c/ha. Egy gazda 10 000 rubel áron adhat el burgonyát. centner és cékla - 11 000 rubel áron. százalék centner. Mekkora a maximális jövedelem, amelyet egy gazda kereshet?
34. Két régióban 160-160 dolgozó dolgozik napi 5 órán keresztül alumínium vagy nikkel kitermelésében. Az első régióban egy munkás óránként 0,1 kg alumíniumot vagy 0,1 kg nikkelt termel. A második régióban napi x kg alumínium bányászatához x^2$ dollárnyi munkaóra, napi y kg nikkel kitermeléséhez pedig y^2$ munkaóra szükséges. Az ipar igényeire akár alumínium, akár nikkel használható, 1 kg alumíniumot 1 kg nikkellel helyettesíthetünk. Mekkora a legnagyobb fémtömeg, amit egy nap alatt két régióban lehet bányászni?
35. A két gyár mindegyike 100 embert foglalkoztat. Az első üzemben egy munkás műszakonként 3 A-t vagy 1 B-részt készít, a második üzemben pedig $t^2$ emberműszakra van szükség t darab (A és B) gyártásához. Mindkét gyár alkatrészt szállít az üzembe, ahol a terméket összeszerelik, ennek gyártásához 1 db A és 3 db B alkatrész szükséges, ugyanakkor a gyárak egymás között megállapodnak abban, hogy alkatrészt gyártanak, hogy minél több termék kerülhessen össze. . Hány terméket tud ilyen körülmények között összeállítani műszakonként az üzem?
36. Gregory két gyár tulajdonosa különböző városokban. A gyárak pontosan ugyanazokat az árukat gyártják, de a második városban található gyár fejlettebb berendezéseket használ. Ennek eredményeképpen, ha az első városban található gyár munkásai hetente összesen $t^2$ órát dolgoznak, akkor azon a héten 3 tonna árut állítanak elő; ha a második városban található gyár dolgozói hetente összesen $t^2$ órát dolgoznak, akkor azon a héten 4t áruegységet állítanak elő. Grigorij minden munkaóráért (minden gyárban) 500 rubelt fizet a munkásnak. Grigorij kész heti 5 000 000 rubelt elkülöníteni a dolgozók fizetésére. Ebben a két gyárban legfeljebb hány darab árut lehet egy héten előállítani?
37. X ezer egységnyi termék előállítása évi $q = 0,5x^2 + x + 7 millió rubel dollárba kerül. P ezer rubel egységáron a termék eladásából származó éves nyereség (millió rubelben) $px - q$. Három év alatt mekkora p legkisebb értéke esetén a teljes nyereség legalább 75 millió rubel lesz?
38. Az elsődleges információk az 1. és a 2. számú szerverekre vannak felosztva, és ezeken dolgoznak fel. $20t$ GB jön ki az 1. szerverről $t^2$ GB mennyiségű információval, és $21t$ GB feldolgozott információ érkezik a 2. szerverről $t^2$ GB mennyiségben. az abban foglalt információkról; 25 dollár< t < 55$. Каков наибольший общий объём выходящей информации при общем объёме входящей информации в 3364 Гбайт?

A nyugdíjpénztár év végén ezer rubel értékű értékpapírt birtokol. A nyugdíjpénztár bármely év végén értékesíthet értékpapírokat és pénzt helyezhet el bankszámlára, míg minden következő év végén az számla többszörösére nő. A nyugdíjpénztár egy ilyen év végén akar értékpapírt értékesíteni, hogy a huszonötödik év végén legyen a legnagyobb összeg a számláján. A számítások azt mutatták, hogy ehhez szigorúan a huszonegyedik év végén kell értékpapírokat értékesíteni. Milyen pozitív értékekért r lehetséges?

Megoldás.

Ha a nyugdíjpénztár eladja a kód végén lévő értékpapírokat k, majd a huszonötödik év végén ezer rubel lesz a számláján.

Keresse meg az eredményül kapott kifejezés származékát:

Megjegyzendő, hogy a talált derivatíva egyetlen ponton nullával egyenlő, pontban pozitív, pontban negatív. Ezért növekszik és csökken. Abból a feltételből ismert, hogy 21 év végén értékpapírt kell eladni, ezért a az értékpapírok értékesítéséből származó bevétel 21 év végén nagyobb, mint az a bevétel, amelyet az alap az értékpapírok értékesítéséből a 20. év végén és a 22. év végén kaphatott volna. A függvény fentebb tisztázott monotonitásának természetéből arra a következtetésre juthatunk, hogy az egyenlőtlenségek teljesülése garantálja, hogy minden értékre k, eltér a 21-től. Ez azt jelenti, hogy szükséges és elegendő megoldást találni az egyenlőtlenségek rendszerére:

Jegyzet. A megoldás nem korlátozódhat az egyenlőtlenségek (*) megoldására. Abból, hogy a papírok értékesítéséből származó bevétel 21 év végén nagyobb, mint a 20 és 22 év végi értékesítésből származó bevétel, nem következik, hogy ez a bevétel nagyobb, mint bármely más országban történő értékesítésből származó bevétel. évben, és pontosan ez szerepel a feltételben. A származékot azonban nélkülözheti.

Vegyük például az értékpapírok év végi eladásából származó becsült bevétel és az év közötti különbséget:

Az első tényező pozitív, a második előjelet válthat. A pozitív termék azt a bevételt jelenti, amelyet az alap az év végén értékpapírok eladásából kap k, kevesebb bevétel, ha jövőre eladják őket. A termék negatívuma azt a bevételt jelenti, amelyet az alap az év végén értékpapírok eladásából kap k, az értékpapírok értékesítéséből jövőre több bevétel érhető el.

Legyen Mivel a négyzetháromságnak egyedi gyöke van a pozitív féltengelyen, és ezért ha valamilyen természetes számra k ha az egyenlőtlenség teljesül, akkor az egyenlőtlenség bármelyikre teljesül. Ebből következik, hogy ha a részvények eladásából származó bevétel egy adott évben kevésbé volt jövedelmező, mint az előző évi eladásból származó bevétel, akkor az összes következő évben kevésbé lesz kifizetődő a részvények eladása.

Mivel az értékpapírokat szigorúan a huszonegyedik év végén kell eladni, az egyenlőtlenségeket egyidejűleg ki kell elégíteni, vagyis, és így, és honnan

Beszéljünk még egyet. Határozzuk meg, hogy az értékpapírok értéke hányszorosára nő az előző évi értékhez képest, ha az alap nem értékesít értékpapírokat, hanem tárolja azokat:

Az így kapott arány a növekedéssel monoton módon csökken k, ezért ha az alap úgy tart értékpapírokat, hogy azokat nem értékesíti, az évek során a bevétel növekedése csökken, megközelíti az egyet. A mutatott csökkenés következtében, ha az eladás pillanata 21 év végén jött el, akkor sem korábban, sem később nem jöhetett létre. Ezért a kettős egyenlőtlenség megoldásai

megadja a kívánt értékeket r. Az egyenlőtlenségek közül az első azt jelenti, hogy a 22. év során az értékpapírok birtoklásából származó bevétel kevesebb hasznot hoz, mintha a 21. év végén eladnák - nincs értelme várni, mert a jövedelmezőség kisebb lett, mint a banki. és minden következő évben kevesebb lesz. A második egyenlőtlenség azt jelenti, hogy korábban szintén nem volt értelme eladni - az értékpapír-tartásból származó bevétel a 21. évben meghaladja a banktól kapott bevételt, és ez minden korábbi évben így volt.

Azt kell még megjegyezni

Nézzünk meg néhány gazdasági tartalommal kapcsolatos problémát a FIPI-feladatok nyílt bankjából.

1. feladat. t 2 ezer rubel az év végén t (t = 1 ;   2 ;   … 1 + r egyszer. A nyugdíjpénztár egy ilyen év végén akar értékpapírt értékesíteni, hogy a huszadik év végén legyen a legnagyobb összeg a számláján. A számítások azt mutatták, hogy ehhez szigorúan a kilencedik év végén kell értékpapírokat értékesíteni. Milyen pozitív értékekért r lehetséges?

Megoldás.Nézzük meg közelebbről a probléma állapotát.

Az első év végénaz értékpapírok ára 12 ezer rubel,

A második év végénaz értékpapírok ára 2 2 ezer rubel,

A harmadik év végénaz értékpapírok ára 32 ezer rubel,

………………………….

A végén t -1 az év ... jaértékpapírok érnek (t -1 ) 2 ezer rubel,

A végén t az év ... jaértékpapírok érnekt 2 ezer rubel

Most nézzük meg, hányszorosára nőtt az értékpapírok értéke az előző évhez képest:

t 2 /(t -1 ) 2 =(t /(t -1)) 2 = ((t-1+1) /(t -1)) 2 = (1+1 /(t -1)) 2 =1+2 /(t -1)+1 /(t -1) 2 .

Értékpapírokat érdemes eladni és pénzt a bankba helyezni, amikor a bankban emelkedikr egy év múlva több lesz mint2 /(t -1)+1 /(t -1) 2 .

A probléma feltétele szerint a 9. év végén szigorúan szükséges az értékpapírok értékesítése, ami azt jelenti, hogy a 9. évben az értékpapírok értéknövekedése még nagyobb, mint a banki növekedés,

de nem a 10. évben. A 9. év végén kapjuk:

2 /(9 -1)+1 /(9 -1) 2 > r vagy 2/8+1/64> r, 17/64> r.

A 10. év végén:

2 /(10 -1)+1 /(10 -1) 2 < r или 2/9+1/81< r, 19/81< r.

Ennek eredményeként kettős egyenlőtlenséget kapunk

19/81< r <17/64.

Válasz: 19/81< r <17/64.

PS. Ha a válaszban szereplő törteket közös nevezőre hozzuk, akkor azt kapjuk

1216/5184< r <1377/5184, среди них есть r = 1296/5184=1/4=0,25. То есть, если каждый год вклад в банке будет увеличиваться на 25%.

2. feladat.A nyugdíjalap olyan értékpapírokat birtokol, amelyeknek értéke van t 2 ezer rubel az év végén t (t = 1 ;   2 ;   … ). A nyugdíjpénztár bármely év végén értékesíthet értékpapírt és pénzt helyezhet el bankszámlára, míg minden következő év végén 10%-kal nő a számlán lévő összeg. Melyik év végén adjon el értékpapírt a nyugdíjpénztár, hogy a huszonötödik év végén a legnagyobb legyen a számláján lévő összeg?

Használjuk az előző feladat számításait. Értékpapírokat érdemes eladni és pénzt a bankba helyezni, amikor a bankban emelkedikr egy év múlva több lesz mint2 /(t -1)+1 /(t -1) 2 . A mi esetünkben 2 /(t -1)+1 /(t -1) 2 <0,1.

A változók megváltoztatásával y= t -1 , megkapjuk az egyenlőtlenséget 2/ nál nél +1/év 2 <0,1 или, после умножения обеих частей неравенства на 10 nál nél 2 , kapunk nál nél 2 – 20 nál nél –10 >0 .

Az egyenlőtlenséget az intervallumok, az egyenletgyökök módszerével oldjuk megnál nél 2 – 20 nál nél –10 =0 év 1 = 10 - Ö 110 És y 2 = 10 + Ö 110 . Figyelembe véve azt a tényt, hogy y>0 kapunk y >10+ Ö 110.

Fordított helyettesítés végrehajtásat -1 >10 + Ö 110 vagy t >11+ Ö 110.

2. A nyugdíjalap olyan értékpapírokat birtokol, amelyeknek értéke van t 2 ezer rubel az év végén t (t= 1; 2; ... ). A nyugdíjpénztár bármely év végén értékesíthet értékpapírt és pénzt helyezhet el bankszámlára, míg minden következő év végén 25%-kal nő a számlán lévő összeg. Melyik év végén adjon el értékpapírt a nyugdíjpénztár úgy, hogy a huszadik év végén a legnagyobb összeg legyen a számláján?