Számsor.
A számok között a sorokat előjel-állandó, jel-változó, jel-változó különbözteti meg.
Egy sorozat részösszege ill. n szám hívott. első n tagjának összege.
részösszeg.
Sor a n hívott. konvergens, ha ennek a sorozatnak a részösszegek sorozatának van határa, pl. ha a főnév szám . Ezt a számot hívják a sorozat összege.
Legyen adott egy végtelen számsor. Kifejezés. számsornak nevezzük. Ugyanakkor hívtak a számok sorozat tagjai.
A számsorokat gyakran úgy írják le Tétel(egy sorozat konvergenciájának szükséges kritériuma): ha a sorozat konvergál, akkor n-edik tagja nullára hajlik, mivel n korlátlanul növekszik.
Következmény. Ha a sorozat n-edik tagja nem nullázódik, mint , akkor a sorozat eltér.
D'Alembert jele - a numerikus sorozatok konvergenciájának jele, amelyet Jean d'Alembert állapított meg 1768-ban.
Ha egy számsorozathoz van olyan q szám, hogy 0 Meghatározás. Számsorozat részösszege
összegnek nevezte. A számsort hívjákösszetartó
, ha van határ, mígSsorozat összegének nevezzük. Tétel. A számsor akkor és csak akkor konvergál, ha bármelyikre létezik olyan, hogy minden m,n ><. Bizonyíték. vegye észre, az Tétel. Ha a sorozat konvergál, akkor Bizonyíték. A határértékek tulajdonságaiból következik, hogy geometriai sorozat Konkrétan k=1 esetén megkapjuk a harmonikus sorozatot Referenciasorozat, i.e. elemi függvények kiterjesztései felhasználhatók ugyanazon függvények sorozatának megszerzésére, de összetett argumentummal. Legyen az Un(x),n∈N függvény definiálva a D tartományban. A kifejezés U 1
(x)
+
U 2
(x)
+… +
U n (x)+…=
U n (x), ahol x∈
D,
hívott funkcionális egymás mellett.
Minden x 0 ∈D érték egy számsornak felel meg U n (x 0
)
. Ez a sorozat lehet konvergens vagy divergens. Ha azért x 0
∈
D számsorozat U n (x 0
)
konvergál, akkor azt mondjuk, hogy a funkcionális sorozat a pontban konvergál x 0
, és pont x 0
hívott konvergencia pont
.Ha a funkcionális sorozat minden pontban konvergál x∈
E⊂
D, akkor ennek a sorozatnak az ún konvergálva a díszletben E, és a készlet E hívott a sorozat konvergencia régiója. Ha a készlet Eüres, akkor a sorozat a halmaz minden pontjában eltér D. Konvergencia terület A hatványsor az x változó összes értékének halmaza, amelyhez a megfelelő számsorok konvergálnak. Az a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... a n x n + ... = alakú sorozatot ún. nyugodt közel, a - néhány. számok, x egy változó. Esély a hatványsorszámokat 0-nak, 1-nek, ... és n-nek nevezzük. Taylor képlet az x pont szomszédságában lévő f(x) függvényt P n (x) = f(x 0) + polinomnak nevezzük. A Taylor-képlet maradéka a Taylor-képlet utolsó tagja R n (x) \u003d \u003d f (x) - P n (x) Így a P n (x) Taylor-polinom az f(x) függvény közelítéseként szolgál. Ennek a közelítésnek a becslése az R n (x) Taylor-képlet maradék tagja. Maclaurin formula az f(x) függvény Taylor-képlete x 0 = 0 esetén: f(x)= f(0) + ahol c a (0, x) intervallum valamely pontja. Az összes természetes szám összege felírható a következő számsorokkal Ez az első pillantásra teljesen ellentétes eredmény azonban szigorúan bebizonyítható. Mielőtt azonban a bizonyításról beszélnénk, el kell térnünk, és fel kell idéznünk az alapfogalmakat. Kezdjük azzal, hogy egy sorozat „klasszikus” összege a sorozat részösszegeinek határa, ha létezik és véges. A részletek a Wikipédiában és a kapcsolódó szakirodalomban találhatók. Ha a véges határ nem létezik, akkor a sorozatot divergensnek mondjuk. Például az 1 + 2 + 3 + 4 +… számsor első k tagjának részösszegét a következőképpen írjuk fel Könnyen belátható, hogy ez az összeg a végtelenségig növekszik, ahogy k a végtelenbe hajlik. Ezért az eredeti sorozat eltérő, és szigorúan véve nincs összege. Sokféleképpen lehet azonban véges értéket rendelni az eltérő sorozatokhoz. Az 1+2+3+4+… sorozat messze nem az egyetlen eltérő sorozat. Vegyük például a Grandi sorozatot Ami szintén eltér, de ismert, hogy a Cesaro összegzési módszer lehetővé teszi, hogy ehhez a sorozathoz 1/2-es véges értéket rendeljünk. A Cesaro-összegzés abból áll, hogy nem egy sorozat részösszegeivel, hanem azok számtani átlagával operálunk. Megengedve magamnak, hogy szabadstílusban spekuláljak, elmondhatjuk, hogy a Grandi-sorozat részösszegei 0 és 1 között ingadoznak, attól függően, hogy a sorozat melyik tagja az utolsó az összegben (+1 vagy -1), ezért az 1/ 2, mint aritmetika a részösszegek két lehetséges értékének átlaga. Egy másik érdekes példa a divergens sorozatra az 1 - 2 + 3 - 4 +... váltakozó sorozat, amelynek részösszegei is ingadoznak. Az Abel-összegzés lehetővé teszi, hogy ehhez a sorozathoz 1/4-es végső értéket rendeljünk. Vegyük észre, hogy Abel módszere a Cesaro összegzési módszer egyfajta továbbfejlesztése, így az 1/4 eredmény intuíció szempontjából könnyen megérthető. Itt fontos megjegyezni, hogy az összegzési módszerek nem olyan trükkök, amelyeket a matematikusok találtak ki, hogy valahogy megbirkózzanak az eltérő sorozatokkal. Ha a Cesaro-összegzést vagy az Abel-módszert alkalmazzuk egy konvergens sorozatra, akkor az ezekkel a módszerekkel kapott válasz megegyezik egy konvergens sorozat klasszikus összegével. Sem Cesaro összegzése, sem Abel módszere azonban nem teszi lehetővé az 1 + 2 + 3 + 4 +... sorozattal való munkát, mivel a részösszegek számtani középértékei, valamint a számtani átlagok számtani átlagai eltérnek egymástól. Ezen túlmenően, ha az 1/2 vagy 1/4 értékek valahogy elfogadhatók és korrelálhatók a megfelelő sorozatokkal, akkor a -1/12 nehezen társítható az 1 + 2 + 3 + 4 +... sorozathoz, amely pozitív egész számok végtelen sorozata. A -1/12 eredményt többféleképpen is elérhetjük. Ebben a jegyzetben csak az egyiket érintem röviden, mégpedig a zéta függvénnyel történő regularizálást. Mutassuk be a zéta függvényt Helyettesítés s=-1, az eredeti 1+2+3+4+… számsort kapjuk. Végezzünk el néhány egyszerű matematikai műveletet ezzel a függvénnyel. Hol van ez a Dirichlet függvény? Egy értékkel s=-1 ez a függvény ismerős lesz számunkra a következő 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ... "összeg", amely egyenlő 1/4. Most már könnyedén megoldhatjuk az egyenletet Érdekes módon ez az eredmény a fizikában is alkalmazható. Például a húrelméletben. Joseph Polchinski "Húrelméletének" 22. oldalára hivatkozva: Ha valakinek nem meggyőző példa a húrelmélet az elmélet számos konzekvenciájára vonatkozó bizonyítékok hiánya miatt, akkor azt is megemlíthetjük, hogy hasonló módszerek jelennek meg a kvantumtérelméletben a Kázmér-effektus kiszámításakor. Hogy ne menjen kétszer, még néhány érdekes példa a zeta függvényre Azok számára, akik szeretnének többet megtudni a témáról, megjegyzem, hogy ezt a megjegyzést a Wikipédián található megfelelő cikk lefordítása után döntöttem el, ahol a "Linkek" részben sok további, főként angol nyelvű anyagot találhat. A számsorozat egy bizonyos sorozat, amelyet egy másik sorozattal együtt tekintünk (ezt részösszegek sorozatának is nevezik). Hasonló fogalmakat használnak a matematikai és a komplex elemzésben. Egy számsor összege egyszerűen kiszámítható Excelben a SERIES.SUM függvény segítségével. Nézzünk meg egy példát ennek a függvénynek a működésére, majd elkészítjük a függvények grafikonját. Megtanuljuk a számsorok gyakorlati alkalmazását a tőkenövekedés kiszámításakor. De először egy kis elmélet. A számsorok a számokhoz való közelítések rendszerének tekinthetők. Jelölésére a következő képletet használjuk: Ez mutatja a sorozat kezdeti számsorát és az összegzési szabályt: A bejegyzés azt jelenti, hogy a természetes számok 1-től a "plusz végtelenig" összegződnek. Mivel i = 1, az összeg kiszámítása egytől indul. Ha lenne itt egy másik szám (például 2, 3), akkor abból kezdenénk az összegzést (2, 3-ból). Az i változónak megfelelően a sorozat kibővítve írható: A 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + ... (a „plusz végtelenig”). Egy számsor összegének meghatározása a "részösszegeken" keresztül történik. A matematikában Sn-nel jelölik őket. Írjuk fel numerikus sorozatunkat részösszegek formájában: S 2 \u003d a 1 + a 2 S 3 \u003d a 1 + a 2 + a 3 S 4 \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 A számsor összege az S n részösszegek határa. Ha a határ véges, akkor "konvergáló" sorozatról beszélünk. Végtelen - körülbelül "eltérő". Először keresse meg a számsorok összegét: Most készítsük el a sorozattagok értéktáblázatát az Excelben: Az általános első argumentum a következő képletből származik: i=3. Az összes következő i értéket a következő képlet határozza meg: =B4+$B$1. Helyezzük a kurzort a B5 cella jobb alsó sarkába, és megszorozzuk a képletet. Keressük az értékeket. A C4 cellát aktívvá tesszük, és beírjuk a képletet: \u003d SUM (2 * B4 + 1). Másolja a C4 cellát a megadott tartományba. Az argumentumok összegének értékét a =SUM(C4:C11) függvény segítségével kapjuk meg. Gyorsbillentyűkombináció ALT + "+" (plusz a billentyűzeten). Egy számsor összegének megkereséséhez az Excelben a SERIES.SUM matematikai függvényt használjuk. A program a következő képletet használja: A függvény argumentumai: A funkció működésének fontos feltételei: Ugyanez a SERIES.SUM funkció működik teljesítménysorokkal (a funkcionális sorozatok egyik változata). A számokkal ellentétben argumentumaik függvények. A funkcionális sorozatokat gyakran használják a pénzügyi és gazdasági szférában. Mondhatni ez az alkalmazási területük. Például tegyen be a bankba egy bizonyos összeget (a) egy bizonyos időszakra (n). Éves befizetésünk x százalék. Az első időszak végén felhalmozott összeg kiszámításához a következő képletet kell használni: S 1 \u003d a (1 + x). A második és az azt követő időszak végén a kifejezések formája a következő: S 2 = a (1 + x) 2; S 3 = a (1 + x) 2 stb. A teljes összeg megkereséséhez: S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + ... + a (1 + x) n A részösszegeket az Excelben a BS() függvény segítségével találhatjuk meg. A képzési feladat kezdeti paraméterei: Egy szabványos matematikai függvény segítségével megtaláljuk a felhalmozott összeget a kifejezés összegének végén. Ehhez használja a D2 cellában a következő képletet: =B2*POWER(1+B3;4) Most a D3 cellában ugyanazt a problémát oldjuk meg a beépített Excel függvény segítségével: =BS(B3;B1;;-B2) Az eredmények ugyanazok, mint kellenek. A BS() függvény argumentumainak kitöltése: Így a BS függvény segített megtalálni a függvénysorok összegét. Az Excel más beépített funkciókkal is rendelkezik a különböző paraméterek megtalálásához. Általában ezek a funkciók a beruházási projektekkel, értékpapírokkal és értékcsökkenési kifizetésekkel való munkavégzéshez. Készítsünk függvénygrafikont, amely tükrözi a tőke növekedését. Ehhez meg kell ábrázolnunk egy függvényt, amely a megszerkesztett sorozat összege. Példaként vegyük ugyanazokat a befizetési adatokat: Az első sor az egy év után felhalmozott összeget mutatja. A másodikban - kettőben. Stb. Készítsünk még egy oszlopot, amelyben a nyereséget tükrözzük: Ahogy gondoltuk - a képletsávban. A kapott adatok alapján megszerkesztjük a függvények grafikonját. Válasszunk ki 2 tartományt: A5:A9 és C5:C9. Lépjen a "Beszúrás" fülre - a "Diagramok" eszközre. Az első grafikon kiválasztása: Tegyük még "alkalmazottabbá" a problémát. A példában kamatos kamatot használtunk. Az előző időszakban felhalmozott összeget terhelik. Vegyünk összehasonlításul egyszerű kamat. Egyszerű kamatképlet Excelben: =$B$2*(1+A6*B6) Adjuk hozzá a kapott értékeket a „Tőke növekedés” diagramhoz. Nyilvánvaló, hogy a befektető milyen következtetéseket von le. A függvénysor részösszegének matematikai képlete (egyszerű kamattal): S n = a (1 + x * n), ahol a a kezdeti betétösszeg, x a kamat, n a periódus. Stb. - minimális tudás kb számsorozat. Meg kell érteni, mi az a sorozat, meg kell tudni festeni részletesen, és nem kell lekerekíteni a szemét a „sorozat konvergál”, „a sorozat eltér”, „a sorozat összege” kifejezések után. Ezért, ha a hangulata teljesen nullán van, kérjük, szánjon 5-10 percet a cikkre Sorok teáskannákhoz(szó szerint az első 2-3 oldal), majd gyere vissza ide, és bátran kezdj el példákat megoldani! Meg kell jegyezni, hogy a legtöbb esetben nem könnyű megtalálni egy sorozat összegét, és ezt a kérdést általában úgy oldják meg, hogy funkcionális sorok (élünk, élünk :)). Tehát például egy népszerű művész összege Ebben a cikkben továbbra is hasonló példákat fogunk megvizsgálni, emellett megtanuljuk az összeg szigorú meghatározását, és közben megismerkedünk a sorozatok néhány tulajdonságával. Bemelegítsünk... igen, rögtön a folyamatoknál és bemelegítés: 1. példa Keresse meg egy sorozat összegét Megoldás: ábrázolja sorozatunkat két sorozat összegeként: Miért ebben eset, meg lehet csinálni? Az elvégzett műveletek két egyszerű állításon alapulnak: 1) Ha a sorozatok konvergálnak 2) A második tulajdonság még nyilvánvalóbb. A konstans kivehető a tartományból: A példa tiszta kialakítása így néz ki: Válasz: sor összege A megoldás eleje kicsit más stílusban is elrendezhető - fesse le közvetlenül a sorozatot, és csoportosítsa át tagjait: 2. példa Keresse meg egy sorozat összegét Ez egy „csináld magad” példa. Teljes megoldás és válasz a lecke végén. Nincsenek itt különösebb sallangok, de egyszer csak rábukkantam egy nem mindennapi sorozatra, ami egy tapasztalatlan embert is meglephet. Ez is egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió! Valóban, és az összeget néhány pillanat alatt kiszámítják: És most egy éltető korty matematikai elemzésből, ami a további problémák megoldásához szükséges: A konvergencia/divergencia és a sorozat összegének szigorú meghatározása elméletben az ún. részösszegeket sor. A részleges azt jelenti, hogy hiányos. Írjuk fel a számsorok részösszegeit Ha egy számsorozat részösszegeinek határa az végső szám: , akkor egy ilyen sorozatot hívnak összetartóés magát a számot a sorozat összege. Ha a határ végtelen vagy nem létezik, akkor a sorozatot hívjuk divergens. Térjünk vissza a demóhoz A részösszegek határa pontosan egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió, amelynek összege egyenlő: . Hasonló határértéket vettünk figyelembe a leckében a számsorokról. Valójában maga a képlet egyenes következménye a fenti elméleti számításoknak (lásd a matan 2. kötetét). Így ki van húzva általános algoritmus a problémánk megoldására: össze kell állítani a sorozat n-edik részösszegét és meg kell találni a határértéket. Lássuk, hogyan történik ez a gyakorlatban: 3. példa Számítsa ki egy sorozat összegét! Megoldás: az első lépés a lebontás a sorozat közös kifejezése törtek összegére. Használunk határozatlan együtthatók módszere: Ennek eredményeként: Egyszerre hasznos megfordítani a műveletet, és így ellenőrizni kell: Most készítsük el a sorozat részösszegét. Általában ez szóban történik, de egyszer leírom a lehető legrészletesebben, hogy mi történt: Az írás teljesen világos, de mivel egyenlő az előző kifejezés? A sorozat közös tagjában A részösszeg szinte minden feltétele nyugodtan lemondható: Ki kell számítani az elemi határt és megtudni a sorozat összegét: Válasz: Hasonló sor egy független megoldáshoz: 4. példa Számítsa ki egy sorozat összegét! Példa a végső megoldásra a lecke végén. Nyilvánvalóan egy sorozat összegének megállapítása önmagában is bizonyítéka annak konvergenciájának (amellett, hogy az összehasonlítás jelei, D'Alembert, Koshy stb.), amely különösen a következő feladat megfogalmazására utal: 5. példa Keresse meg egy sorozat összegét, vagy állítsa be a divergenciáját Egy közös tag megjelenése alapján azonnal megtudhatja, hogyan viselkedik ez az elvtárs. Komplexusok nélkül. Keresztül Limit összehasonlítási kritérium Könnyen kideríthető (sőt szóban is), hogy az adott sorozat a sorozattal együtt fog konvergálni. De ritka eset áll előttünk, amikor az összeget is nagyobb gond nélkül kiszámolják. Megoldás: bővítse a tört nevezőjét szorzattá. Ehhez el kell döntenie másodfokú egyenlet: Ilyen módon: A tényezőket legjobban növekvő sorrendbe rendezni: . Végezzünk egy közbenső ellenőrzést: Így a sorozat általános kifejezése: Ilyen módon: Ne legyünk lusták: Írjuk fel a sorozat tagjainak „en” részösszegét, közben figyeljünk arra, hogy a sorozat „számlálója” a számtól „kezd el dolgozni”. Az előző példákhoz hasonlóan megbízhatóbb a kobra megfelelő hosszúságú nyújtása: Viszont ha egy-két sorban írunk, akkor is elég nehéz lesz eligazodni a kifejezések rövidítései között (minden tagban még 3 db van). És itt fogunk segíteni ... a geometria. Táncoljuk a kígyót a mi dallamunkra: Igen, csak az egyik kifejezést a másik alá írjuk a füzetbe, és úgy áthúzzuk. Egyébként saját találmány. Mint tudod, nem az élet legkönnyebb feladatából =) Minden csökkentés eredményeként a következőket kapjuk: És végül a sorozat összege: Válasz: 8. példa Számítsa ki egy sorozat összegét! Ez egy „csináld magad” példa. A szóban forgó probléma természetesen nem örül a sokféleségnek - a gyakorlatban vagy végtelenül csökkenő geometriai progresszió van, vagy olyan sorozat, amelynek a nevezőjében egy tört-racionális közös tag és egy felbontható polinom (mellesleg nem minden ilyen polinom lehetővé teszi a sorozat összegének meghatározását). De ennek ellenére olykor szokatlan példányok is előkerülnek, és a kialakult jó hagyomány szerint valami érdekes feladattal egészítem ki a leckét. webhely lehetővé teszi, hogy megtalálja sorozat összege online számsorozat. Amellett, hogy megkeresi egy sor online numerikus sorozat összegét, a szerver be van kapcsolva online fog találni sorozat részösszege. Ez akkor hasznos analitikus számításokhoz, amikor sorozat összege onlineábrázolni kell és megoldást kell találni a sorozat határára a sorozat részösszegei. Más oldalakhoz képest webhely tagadhatatlan előnye van, mivel lehetővé teszi, hogy megtalálja sorozat összege online nemcsak számszerű, hanem funkcionális tartomány, amely lehetővé teszi számunkra, hogy meghatározzuk az eredeti konvergencia területét sor a legismertebb módszerekkel. Az elmélet szerint rangok, egy numerikus sorozat konvergenciájának szükséges feltétele a közös tag határának nullával való egyenlősége számsorozat mivel a változó a végtelenbe hajlik. Ez a feltétel azonban nem elegendő egy számsor online konvergenciájának meghatározásához sorozatkonvergencia online számos elegendő kritériumot talált a konvergenciához vagy divergenciához sor. Ezek közül a leghíresebb és leggyakrabban használt jelek D "Alembert, Cauchy, Raabe, összehasonlítások számsorozat, valamint a konvergencia integrál kritériuma számsorozat. Különleges hely között számsorozat azokat foglalják el, amelyekben a kifejezések jelei szigorúan váltakoznak, és az abszolút értékeket számsorozat monoton csökken. Kiderül, hogy ilyenekre számsorozat az online sorozatok konvergenciájának egy szükséges kritériuma egyben elegendő, vagyis a közös tag határának nullával való egyenlősége számsorozat mivel a változó a végtelenbe hajlik. Számos különféle webhely kínál szerverek számolni sorozatösszegeket online, valamint a funkciók bővítése ben sor online egy bizonyos ponton ennek a funkciónak a tartományából. Ha a függvényt kiterjesztjük arra sorban online nem nehéz ezeken a szervereken, akkor számolja ki funkcionális sorozat összege online, amelynek minden tagja, ellentétben a numerikus sor, nem szám, hanem függvény, gyakorlatilag lehetetlennek tűnik a szükséges technikai erőforrások hiánya miatt. Mert www.site nem létezik ilyen probléma.39. Tételek numerikus sorozatok konvergenciájáról.
. Ezt követően az állítás a sorozat konvergenciájának Cauchy-kritériumává változik.
. Ebből következik tehát 
.40. Referenciasorozat a konvergencia megállapításához
Általánosított harmonikus sorozat41. Függvénysorok, teljesítménysorok, Taylor és Maclaurin sorozatok
A számsor összege
SERIES.SUM függvény az Excelben
Sorozat összegének kiszámítása Excelben
Számsorok összegének ábrázolási függvényei
kimeneten keresztül Fourier sorozat. E tekintetben a gyakorlatban szinte mindig meg kell állapítani maga a konvergencia ténye, de nem talál egy konkrét számot (ezt szerintem sokan észrevették már). A sokféle számsorozat között azonban akad néhány olyan képviselő, aki akár egy teli teáskannával is gond nélkül megérinti a szentélyt. A bevezető leckében pedig példát adtam egy végtelenül csökkenő geometriai progresszióra 
, melynek összege könnyen kiszámítható a jól ismert iskolai képlettel.
, akkor a megfelelő tagok összegeiből vagy különbségeiből összeállított sorozat is konvergál: . Ugyanakkor az a tény, amiről beszélünk összetartó rangok. Példánkban mi előre tudjuk hogy mindkét geometriai progresszió konvergál, ami azt jelenti, hogy minden kétséget kizáróan az eredeti sorozatot két sorra bontjuk.
, és ez nem befolyásolja annak konvergenciáját vagy divergenciáját és a végső összeget. Miért vegyünk ki egy állandót? Igen, csak azért, hogy "ne álljon útban a lába alatt". De néha előnyös, ha nem tesszük meg.
A képletet kétszer használjuk egy végtelenül csökkenő geometriai haladás összegének meghatározásához: , ahol a haladás első tagja, a progresszió alapja.
Tovább a recés mentén.
.Mennyi egy sorozat összege?
:
A sorozat feltételeinek „en” részösszege pedig különleges szerepet játszik: 
és írja ki részösszegeit: 
A sorozat közös tagját eredeti formájában kaptuk meg, így a törtösszegbe történő bővítés sikeresen megtörtént.
AHELYETT"hu" helyettesítjük: 
Közvetlenül az ilyen jegyzeteket ceruzával készítik egy jegyzetfüzetbe. Rohadt kényelmes.
rendben
Amit ellenőrizni kellett.
Sor összege
