Аннуитет – это общепринятый термин, который означает структуру погашения финансового механизма (ежемесячная оплата кредита, процентов и т.д.).
Аннуитетные выплаты структурируются одинаковыми суммами через одинаковое количество времени. График погашения, предоставленный данным способом, имеет определенные отличия от обычного графика погашения, где вся сумма должника направлена на конец срока финансового механизма. При обычном графике построения выплат сначала происходит оплата процентов, а только потом списывается основная сумма долга.
Иными словами, аннуитет представляет собой определенную систему выплаты задолженности, где сумма долга и процентов выплачиваются равномерно в течение всего срока кредитования. Еще аннуитет называют финансовой рентой, что по своей составляющей одно и то же.
Например, если заработная плата работнику начисляется каждый месяц в равном количестве, то данный доход является аннуитетным. При оформлении рассрочки в магазине на какой-либо товар, ежемесячный платеж в банк тоже будет иметь статус аннуитета.
Сумма аннуитетного платежа всегда складывается из основного долга и процентных соотношений. В своем понятии данный термин имеет широкий охват: аннуитетом могут считаться:
Аннуитет всегда устанавливается банковскими организациями индивидуально для каждого клиента. Он бывает двух видов:
Также аннуитет делится на:
При срочном аннуитете средства зачисляются в определенный период, который имеет ограниченное количество времени. Поступление денег характеризуется равными частями и через одинаковый промежуток времени. Расчет данного вида аннуитета происходит по системе наращения или по системе дисконтирования. Дисконтирование – это выявление стоимости выплат при помощи изучения денежных поступлений к определенной временной точке. Проще говоря, это анализ соотношения будущих доходов к их сегодняшней стоимости. Примерами срочных аннуитетов могут быть разного рода платежи за аренду жилья, земли и др.
Бессрочным аннуитетом принято считать равные выплаты через равный промежуток времени в течение долгого срока. Консоль является отличным примером для понимания специфики бессрочного аннуитета. Данные облигации, поддерживаемые государством, имеют срок действия более 30 лет.
Аннуитетные выплаты имеют различие по количеству выплат. Они могут выплачиваться как один раз в год, так и несколько раз в течение года (при срочном аннуитете).
Начисление процентов может происходить один раз в год, несколько раз в год или непрерывно. Этот вопрос всегда решается в индивидуальном порядке между банковской организацией и клиентом.
В зависимости от финансовой ситуации в стране или политики банка, могут устанавливаться:
Для того, чтобы определить сумму равных выплат по кредитованию в течение определенного времени, необходимо рассчитать коэффициент аннуитета, который способен преобразовать единовременную выплату в платежный график.
Для расчета данного коэффициента используется специальная общепринятая формула:
С практической точки зрения могут возникать некоторые расхождения от математического расчета при помощи формулы: для удобства совершения платежа может быть применена система округления суммы выплат или же округление суммы проводится из-за разного числа дней в том или другом месяце. В особенности это касается последнего месяца в графике платежей. По факту, замыкающая список сумма всегда отличается в меньшую сторону на некоторое значение.
Практически всегда при аннуитете платежи производятся в конце отчетного периода – постнумерандо. В данном случае, сумма выплаты за период должна рассчитываться по другой формуле:
Для того, чтобы более детально рассмотреть структуру аннуитетных платежей, стоит решить простую задачку. Например, нужно рассчитать ежемесячную выплату по кредиту сроком на пять лет и с суммой в 30 тысяч рублей под 8% годовых. Выплаты будут осуществляться ежемесячно, то необходимо перевести годовую процентную ставку в месячную. Делается это по довольно простой формуле:
Далее нужно подставить в формулу значения i = 0.00643 и n = 60 (5 лет – это 60 месяцев). Полученный коэффициент нужно умножить на величину кредита – 30000. В итоге получаем, что сумма ежемесячного платежа равна примерно 603 рубля.
Выплата кредитного займа происходит обычно каждый месяц или каждый квартал. При таких выплатах задается годовая процентная ставка i. При условии, что выплаты назначаются постнумерандо m раз в год за n лет, то существует формула, которая отличается от предыдущей формулы повышенной точностью расчета аннуитетного коэффициента:
Указанная формула для расчета коэффициента аннуитетных платежей основывается на наращении величины долговой суммы при помощи сложной процентной формулы. В банковских расчетах имеется еще одна формула для определения коэффициента, которая основывается на наращении величины долговой суммы при помощи простой процентной формулы. Отличительная черта простых и сложных процентов – это отсутствие промежутка в капитализации процентных соотношений. В данном раскладе будет в первую очередь производиться погашение основного долга, а уже после его оплаты пойдет оплата процентов.
Стоит отметить, что выполнять все вышеперечисленные действия собственноручно – это очень долго и трудоемко. Уйдет большое количество времени, чтобы разобраться в одним человеком, а если нужно рассчитать несколько сотен аннуитетов, то ситуация для простого сотрудника банка окажется совершенно невыполнимой. Поэтому при оформлении кредита работники банковских организаций имеют в своем арсенале специальные калькуляторы и программы, где нужно только правильно вписать числовые значения, и они самостоятельно рассчитают график аннуитетных платежей для каждого клиента.
Аннуитетные платежи являются одним из современных способов погашения кредитного долга перед банком. Данный вариант оплаты долгового обязательства не всегда является выгодным для клиента, но отличается повышенным удобством – отсутствует неразбериха «когда платить и в каком количестве». Платеж по кредиту поступает ежемесячно в одно и то же время и в одинаковом денежном эквиваленте. Это огромный плюс для клиента и для банковской организации: нет нужды идти в банк и брать расчетный лист для выявления суммы долга на последующий месяц.
Помимо этого данный способ оплаты кредита предпочтителен для тех лиц, которые имеют невысокий заработок.
Вместе с аннуитетными платежами существует оплата кредитного долга по дифференцированной системе, где выплаты ежемесячно подвергаются перерасчету, потому что происходит оплата части процентов от конечной величины долга клиента. С каждым месяцем после оплаты кредита сумма долга уменьшается и, соответственно, процентная величина также изменяется. Выходит, что каждый месяц необходимо вносить все меньшее количество денег, но первоначальные суммы платежа достаточно высокие и не каждое лицо имеет возможность их вносить.
У данного вида платежей имеется один большой минус: первоначально выплаты строятся с преобладанием процентного эквивалента, т.е. сумма долга строится на 2/3 из процентов, а 1/3 – это сумма долга.
Аннуитет является выгодным банковской организации: сначала банк обезопасит себя, забрав проценты, а потом уже «примет» кредитные деньги.
Если клиент намерен досрочно погасить свой долг, то эту операцию следует произвести до того момента, как будут выплачены проценты. Данная операция практически не будет иметь смысла при погашении «после» — сумму, отданную за проценты, никто не вернет. В таком случае досрочное погашение просто избавит от кредитного обязательства.
Подведя итог, можно сказать, что аннуитет – это хороший выход для заемщиков, которые имеют долговое обязательство и не обладают высоким уровнем дохода. Ведь всегда легче и проще платить раз в месяц одинаковую сумму в один и тот же день.
В большинстве современных коммерческих операций подразумеваются не разовые платежи, а последовательность денежных поступлений (или, наоборот, выплат) в течение определенного периода. Это может быть серия доходов и расходов некоторого предприятия, выплата задолженностей, регулярные или нерегулярные взносы для создания разного рода фондов и т. д. Такая последовательность называется потоком платежей.
Поток. однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течение определенного количества лет называется аннуитетом (финансовой рентой).
Теория аннуитетов является важнейшей частью финансовой математики. Она применяется при рассмотрении вопросов доходности ценных бумаг, в инвестиционном анализе и т. д. Наиболее распространенные примеры аннуитета: регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам.
Аннуитеты различаются между собой следующими основными характеристиками:
Аннуитет, для которого платежи осуществляются в начале соответствующих интервалов, носит название аннуитета пренуме-рандо; если же платежи осуществляются в конце интервалов, мы получаем аннуитет постнумерандо (обыкновенный аннуитет) -пожалуй, самый распространенный случай.
Наибольший интерес с практической точки зрения представляют аннуитеты, в которых все платежи равны между собой (постоянные аннуитеты), либо изменяются в соответствии с некоторой закономерностью. Именно такие аннуитеты мы и изучим в дальнейшем.
Введем следующие обозначения:
Р - величина каждого отдельного платежа;
ic -сложная процентная ставка, по которой начисляются проценты;
Sk -наращенная сумма для k-го платежа аннуитета постнумерандо;
S- наращенная (будущая) сумма всего аннуитета постнумерандо (т. е. сумма всех платежей с процентами);
Ak -современная величина k-го платежа аннуитета постнумерандо;
А - современная величина всего аннуитета постнумерандо (т. е. сумма современных величин всех платежей);
Sп - наращенная сумма аннуитета пренумерандо;
Aп -современная величина аннуитета пренумерандо;
n - число платежей.
Рассмотрим аннуитет постнумерандо с ежегодными платежами Р в течение п лет, на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке i c (рис. 5).
Рис. 5.
Сумма S 1 для первого платежа, проценты на который будут начисляться, очевидно, (n - 1) раз, составит по формуле (3.1):
S 1 = Р(1 + i c) n-1
Для второго платежа (проценты на него будут начисляться на один год меньше) имеем
Sn=P Тогда для общей наращенной суммы имеем
где ki,n- коэффициент наращения аннуитета с параметрами i, n - представляет собой, как можно заметить, сумму членов геометрической прогрессии, для которой первый член a 1 равен 1, а знаменатель (назовем его q)составляет (1 + i c).
Используя математическую формулу для суммы членов геометрической прогрессии:
запишем выражение (7.1) в более удобном для вычислений виде:
Для коэффициента наращения, соответственно, имеем
Найдем теперь современную величину А данного аннуитета (рис. 6).
Рис. 6.
При заданной процентной ставке ic современное значение каждого платежа будет определяться по формуле:
Современная величина всего аннуитета, следовательно, составит
где ai,n - коэффициент приведения аннуитета, опять является суммой геометрической прогрессии, теперь уже с параметрами а 1 =q=1/(1 +i c).
Тогда для ai,n получаем выражение:
для современной величины А соответственно
Как видим, современная величина и наращенная сумма аннуитета связаны между собой соотношением:
S=A(1+i c) n (7.6)
Из полученных формул путем преобразований легко получить еще несколько формул.
Так, для определения размера очередного платежа (Р) имеем
Для определения срока аннуитета (п), при прочих заданных условиях, получаем
Для конкретных вычислений выбирается одна из двух формул каждой пары в зависимости от заданных известных величин.
Очевидно, отличие от предыдущего случая состоит здесь в том, что период начисления процентов на каждый платеж увеличива-
Рис. 7. Будущая стоимость аннуитета пренумерандо
ется на один год, т. е. каждая наращенная сумма Skувеличивается в (1 + ic)раз. Следовательно, для всей суммы Sпимеем
Для коэффициента наращения аннуитета пренумерандо k п i,n получаем следующее соотношение:
Можно также заметить, что для определения современных значений каждого платежа дисконтирование по заданной ставке ic проводится на один раз меньше, чем в случае аннуитета пренумерандо. Поэтому каждая современная величина Аkбудет больше в (1 +0 раз. Таким образом,
А для коэффициента приведения а п i,n получаем
a п i,n =a i,n (1+i c) (7.14)
Для нахождения размера платежа и срока аннуитета пренумерандо можно по формулам (7.11) и (7.13) найти для заданных значений Sпи Aп соответствующие значения Sи А и пользоваться далее формулами, выведенными для аннуитета постнумерандо.
Для определения коэффициентов наращения и приведения обыкновенного аннуитета существуют таблицы, которыми удобно пользоваться в практических
вычислениях. Максимальные процентные ставки в таких таблицах обычно не превышают 30-40%, что значительно ниже размера процентных ставок, применяемых в России в настоящее время. Но нужно иметь в виду, что п в данном случае - не число лет, а число периодов одинаковой продолжительности (день, месяц, квартал и т. д.), в которых принята данная процентная ставка. Таким образом, если задана годовая процентная ставка, можно найти эквивалентную ей ставку на более коротком интервале и рассматривать далее п как число таких интервалов.
Если срок аннуитета n не ограничен, мы получаем случай вечного аннуитета. Для аннуитета постнумерандо выражения для наращенной суммы и современной величины приобретут следующий вид:
Для аннуитета пренумерандо, соответственно, получаем
Таким образом, различие между двумя типами вечных аннуитетов, естественно, сказывается на определении их современной величины.
Не менее важен случай, когда последовательность платежей изменяется по некоторому закону, и, следовательно, также может быть описана с помощью математических средств.
Рассмотрим обыкновенный аннуитет, в котором платежи постоянно увеличиваются на определенную положительную величину h,т. е. являются членами арифметической прогрессии с первым членом a1 = Р и разностью h. Т. е. платежи представляют собой ряд:
Р, Р+ h, Р+ 2h,... Р+ (п- 1)h.
Для наращенной суммы всего аннуитета получаем следующее выражение:
S=Р(1+ i c) n-1 + (Р+ h)(1+ ic) n-2 + (р+ 2h)(1+ ci) n-3 +...+ [Р+ (n -1)h].
Умножим обе части данного равенства на (1 + ic) вычтем первое выражение из полученного после умножения:
S ic= P(1+ ic)n -[Р+(п -1)h]+h(1+ ic)n-1+ h(1+ ic)n-2+...+ h(1+ ic).
Видно, что часть полученного равенства представляет собои сумму членов геометрической прогрессии, где a1= h{1+ ic); q = = (1 + ic). После несложных преобразований получаем:
Найдем теперь современное значение аннуитета А.
Умножим обе части равенства на (1 + i c) n .
A(1+i c) n =P(l+i c) n-1 +(P+ h)(1+i c) n-2 + ... + =S.
Как видим, в данном случае верна формула (7.6), полученная ранее для обыкновенного аннуитета:
А (1 + i с) n - S,
Возможен также случай, когда платежи постоянно возрастают в q раз, т. е. являются членами геометрической прогрессии:
Р, Pq, Pq 2 , ... , Pq n-1 , Тогда для наращенной суммы аннуитета имеем
S=Р[(1+ i c) n-1 + q(1+ i c) n-2 +/(1+ i c) n-3 +...+q n-1 ].
В квадратных скобках мы получили геометрическую прогрессию с первым членом а1 =(1 + ic)nи знаменателем q/(1 + ic). Используя опять формулу для суммы геометрической прогрессии, получаем выражение для S:
S=P/.
Очевидно, чтобы найти современное значение аннуитета А, здесь также можно применить формулу (7.6):
A=P/.
Теперь мы имеем возможность решить пример по определению потока платежей произвольной величины.
Найти современную величину потока платежей, определяемого следующим образом: первый год - поступления 500 ам. долл., второй год - поступления 200 ам. долл., третий год - выплата 400 ам. долл., далее в течение семи лет - доход по 500 ам. долл. Ставка дисконтирования - 6% годовых. Решение
В данном примере поток платежей в течение последних семи лет представляет собой постоянный аннуитет. По формуле (7.5) мы можем рассчитать его современную величину aq. Нельзя забывать, что это будет современная величина на момент начала четвертого периода:
500 5,58 = 2791 (ам. долл.)
(коэффициенты приведения находим по таблице 4 Приложения 2). Далее, используя формулу (3.11), находим современные значения на момент начала потока платежа для всех оставшихся платежей и величины aq:
А1 = 500 0,953 = 471,5 (ам. долл.);
A2 =200 0,89 = 178 (ам. долл.);
А3 = 400 0,840 =336 (ам. долл.);
А4=2791 0,840 = 2344,44 (ам. долл.).
Складывая получившиеся величины, находим современную величину всего потока платежей:
A =A1 +А2+ А3+ А4= 2657,94 ам. долл.
Современная величина аннуитета
Во всех случаях, когда в произвольном потоке платежей встречаются серии, которые могут быть описаны как постоянные или изменяющиеся по некоторому за-
кону аннуитеты, следует обращать внимание на начальный момент и срок этих аннуитетов, не совпадающие с начальным моментом и сроком полного потока платежей.
Следующий этап нашего изучения -конверсия аннуитетов. Под конверсией аннуитета понимается такое изменение начальных параметров аннуитета, после которого новый аннуитет был бы эквивалентен данному.
Два аннуитета считаются эквивалентными, если равны их современные величины, приведенные к одному и тому же моменту времени.
На практике необходимость рассчитать параметры эквивалентного аннуитета чаще всего возникает при изменении условий выплаты долга, погашения кредита или займа и т. п. При этом конверсия может произойти как в момент начёта аннуитета (на этот момент и рассчитываются современные величины эквивалентных аннуитетов), так и после выплаты некоторой части аннуитета. В последнем случае все расчеты производятся на остаток долга в момент конверсии.
Рассмотрим наиболее распространенные случаи конверсии постоянных аннуитетов.
1. Через некоторый промежуток времени n0 (он может быть равен и 0)после начала аннуитета весь остаток долга может быть выплачен за один раз (выкуп аннуитета). Очевидно, что в этом случае величина выплачиваемой суммы будет равна современной величине остатка аннуитета, рассчитанной для срока n1 = n- n0.
Очевидно, что. если срок аннуитета увеличится, значение Р сократится. и наоборот.
4. Может возникнуть ситуация, когда величина платежа P должна быть изменена в ту или другую сторону. Рассмотрим данный случай на примере 28.
Для погашения кредита, выданного под сложную процентную ставку 4%годовых, в течение 10лет должны вноситься ежегодные платежи в размере 5 000ам. долл. Изменившиеся условия дают возможность с самого начала вносить по 7 500ам. долл. Определить новый срок n1, за который долг будет полностью выплачен. Решение
Рассчитаем сначала современную величину имеющегося аннуитета (которая и представляет собой величину долга на начальный период). По формуле (7.5)получаем
А= 5 000 /0,04 - 40554,5(ам. долл.). Далее для изменившегося Р найдем коэффициент приведения аннуитета по той же формуле:
аi,n =А/Р 1 = 40554,5ам. долл./ 7500ам. долл. = 5,4.
Используя таблицу 4Приложения 2найдем значение n 1 , более всего подходящее данному коэффициенту при процентной ставке4%, округляя его в меньшую сторону: n 1 = 6. Поскольку значениеn1найдено приближенно, необходимо рассчитать современное значение нового аннуитета:
А1 = 7 500 /0,04 = 39 316(ам. долл.). Если величины платежей изменяться не могут, недостающая сумма A0 = 40 554,5 - 39316 = 1238,5(ам. долл.) должна быть выплачена кредитору сразу. (Пример, когда в такой ситуации корректируются величины платежей, рассматривается в конце этого раздела).
5. Начало выплаты задолженности при заданной процентной
ставке ic может быть отсрочено: а) при сохранении размера платежа; б) при сохранении срока выплаты.
Очевидно, что в первом случае должен увеличиться срок аннуитета, а во втором -величина платежа.
Обозначим через n 0 период отсрочки. Тогда на момент начала выплаты, сумма долга а1, которая должна являться современной величиной нового аннуитета, составит по формуле сложного процента:
A1=A(1+ic) n0 . Отсюда получаем уравнение эквивалентности:
Р = P (1 + i c) n0
Далее поступаем аналогично рассмотренным ранее случаям. В первом варианте находим значение n1 продолжительности нового аннуитета при заданном значении Р1 = Р (n1 будет найдено приближенно, поэтому потребуется выплата компенсирующей суммы, см. пример 28). Во втором - величину платежа Р1 при n 1 = = n – n 0 .
6. В некоторых случаях может потребоваться объединение нескольких аннуитетов в один (консолидация аннуитетов). При этом объединяемые аннуитеты могут быть любыми, а в искомом объединяющем аннуитете один из параметров неизвестен при всех остальных заданных.
Два аннуитета с параметрами:
требуется заменить одним - со сроком 10 лет и процентной ставкой 6% годовых.
Определить величину нового платежа.
Найдем сначала общую современную величину двух аннуитетов. По формуле (7.5) имеем
А = A1 +A2=2000/0,05+ + 3 500 /0,06 = = 17 726,5 + 25 760,3 = 43 486,8 (ам. долл.). Далее по формуле (7.7) находим величину нового платежа:
Р = 43 486,8 0,06/ = 5 930 (ам. долл.).
Нам остается теперь рассмотреть важное практическое приложение теории аннуитетов - составление различных вариантов (планов) погашения задолженности. При составлении плана по-
гашения интерес представляют размеры периодических платежей заемщика - выплаты процентов и выплаты по погашению основной суммы долга - при различных условиях погашения (такие платежи носят название срочных уплат).
Основных вариантов погашения задолженности - пять:
Если заемщик должен вернуть всю сумму долга в конце срока, целесообразным бывает создание погасительного (амортизационного) фонда, для чего периодически вносятся определенные суммы, на которые начисляются проценты.
Если процентная ставка, под которую вносятся средства, не превышает размеров ставки, под которую выдается заем, создание погасительного фонда не имеет смысла. Выгоднее сразу расплачиваться этими суммами с кредитором.
Введем обозначения:
D- основная сумма долга (без процентов);
i c -ставка процента по займу;
I - процент по займу;
Р - размер взноса в погасительный фонд;
g -ставка, по которой начисляются проценты на взносы в фонд;
У - величина срочной уплаты;
n -срок займа.
Найдем величину срочной уплаты У и ее составляющих (К=1+Р).
По определению I = D i c .
Сумма, накопленная в погасительном фонде за n лет, т. е. наращенная сумма аннуитета с параметрами Р, п, g, должна составить величину D. По формуле (7.2) получаем
D = Р[(1 +g)n-1]/g. Отсюда
P=Dg/[(1 +g)n-1].
Значит, в данном случае величина срочной уплаты определяется формулой:
Y=Di c + Dg/[(1+ g) n -1]. (7.23)
Если проценты не выплачиваются, а присоединяются к основной сумме долга, то срочная уплата будет состоять только из взносов в погасительный фонд.
Общая сумма долга составит по формуле (3.1) величину D(1 + ic)n, откуда получаем
Y= Р= D(1 +i c) n g/[(1+g) n -1].
3. Погашение долга равными суммами
Пусть долг погашается в течение n лет равными суммами, а проценты периодически выплачиваются. Тогда на погашение постоянно идут платежи размером D/n, а процентные выплаты ежегодно сокращаются, так как уменьшается основная сумма долга. Обозначим
Dk- сумма долга после k-го года:
Ik - процентная выплата за k-й год. Тогда
D1= D- D/n = D(1 -1/n);
На конец второго года получаем D2= D1- D/n= D(1 -2/);
I2= D(1- 1/n)ic;
Y2 = D(1 -1/n) ic+ D/n,и т. д.
Для определения размера срочной уплаты и процентного платежа после k-го года получаем Dk= D(1- k/n);
Ik= D(1 -(k-1)/n] ic:
Yk= D ic+ D/n.
На конец срока, т. е. n-го года имеем
Dn= D(1- n/n) = 0:
Yn= D |1 – (n -1)/n] ic+ D/n = D (1 + ic)/n. Видно, что самые большие суммы приходится платить в начале периода погашения, что может в большинстве случаев расцениваться как недостаток этого метода погашения задолженности.
4. Погашение долга с использованием постоянных срочных уплат
Пусть займ величиной D, выданный пол сложную годовую процентную ставку ic, погашается в течение /; лет равными срочными уплатами Y= 1 + Р. Понятно, что со временем составляющая I
Выведем формулы для расчета суммы процентных денег и суммы на погашение долга на конец k-го года.
Периодическая выплата постоянной суммы Y при заданной процентной ставке ic в течение п лет является аннуитетом с соответствующими параметрами.
Поэтому величина срочной уплаты определяется по формуле (7.9):
Y= D/a i,n (a i,n - коэффициент приведения ренты).
Обозначив через Рk сумму, идущую на погашение займа в конце k-го года, запишем следующие соотношения:
Подставляя выражения 3) и 4) в соотношение 2), получим
Ik+1/ic=Ik/i c -рk, откудаi k+1 =Ik-P k i c Перепишем выражение 1), используя последнее равенство:
Ik+ Pk= Ik- Pkic+ Pk+1
откуда получаем
Pk+1=Pk(1+ic)=P1(1+ic) k
Так как I 1 = Di c для Р, получаем
P1=D/a i,n -Di c =D (l/a i,n -ic). Следовательно,
Pk=D(1/a i,n -ic)(1+ic) k-1
Ik=D k-1 ic =Dic/с - D (1/a i,n -ic)[(1 + i c) k-1 ].
Когда займ погашается постоянными срочными уплатами, их величина может быть заранее задана, и тогда возникает задача определения периода погашения долга п. Вопрос определения срока аннуитета рассматривался ранее в связи с конверсией анну-
итетов. При этом для выполнения принципа эквивалентности необходимо было доплатить недостающую сумму (возникающую в результате округления полученного п) в начале периода погашения. Вместо этого возможно также небольшое изменение размера срочных уплат.
Рассмотрим для прояснения ситуации пример.
Займ в размере 12000 ам. долл. выдан под сложную процентную ставку 4% годовых. Определить продолжительность периода погашения, если заемщик собирается выплачивать ежегодно по 1 500 ам. долл. Составить график погашения долга.
Рассчитаем сначала коэффициент приведения аннуитета ад д:
a 4,n = A/Р = 12 000 ам. долл./l 500 ам. долл. = 8.
По таблице определим приблизительно п, соответствующее данному коэффициенту и процентной ставке 4%. Так как nп = 10 соответствует коэффициент а 4,10 =8,11, возьмемnп = 9 и рассчитаем для этого срока и современной величины А = 12 000 ам. долл. новое значение платежа Р. Используем для этого формулу (7.8), находя значение коэффициента приведения по таблице 4 Приложения 2.
Р = А/а 4,9 = 12 000 ам. долл./7 ,435 = 1 614 ам. долл.
Составим теперь график погашения долга, в который должны входить процентные выплаты, расходы по погашению долга, остаток долга на конец каждого года.
Используя выведенные ранее формулы, находим искомые значения:
|
Сумма долга на конец года |
Срочная уплата (Y) |
Проценты (I/) |
Выплата на погашение (Р) |
|
Небольшое расхождение в остатке долга на конец 8-го года и сумме последней выплаты на погашение происходит из-за округления некоторых значений предыдущих сумм.
5. Погашение долга с использованием переменных срочных уплат
Во многих случаях предпочтительнее оказывается погашение долга с использованием переменных срочных уплат. Срочные уплаты могут изменяться в соответствии с некоторой закономерностью или задаваться графиком погашения.
Рассмотрим случай, когда последовательность срочных уплат представляет собой арифметическую профессию с заданной разницей h. При сроке погашения п и процентной ставке ic, используя формулу (7.20), находим величину срочной уплаты Р:
Р = [А i c +nпh/(1 +ic) n - h а i,n ]/ исходя из которой разрабатывается план погашения долга.
6. На практике часто встречается случай, когда заранее задаются размеры всех срочных уплат, кроме последней, определяемой величиной остатка долга на начало последнего периода (см. пример 31).
Долг в размере 10 000 ам. долл. требуется погасить за пять лет, размеры срочных уплат в первые четыре года - 2 000 ам. долл., 2 000 ам. долл., 4 000 ам. долл., 1 500 ам. долл. Найти величину последней уплаты, если процентная ставка составляет 5% годовых.
Разработаем план погашения долга.
Проценты за первый год составляют
I1 = Dic=10 000 0,05 = 500 (ам. долл.).
Р1 = Y1 - I1 = 1 500 ам. долл.;
D1= D-P1 = 8 000 ам. долл.
Для последующих лет получаем
I2 = D 1 i с = 8500 ам. долл. 0,05 = 425 ам. долл.;
Р 2 = Y 2 -I 2 = 2 000 - 425= 1 575 (ам. долл.):
D 2 = D 1 -P 2 =8 500 - 1 575 = 6 925 (ам. долл.);
I 3 =D 2 ic=6925 ам. долл. * 0,05=346,25, ам. долл.;
Р 3 = Yз -Iз = 4 000 - 346,25 = 3 653,75 (ам. долл.);
D 3 = D 2 -Рз = 6 925 - 3 653.75 = 3 271,25 (ам. долл.);
I 4 =D 3 ic= 3 271,25 ам. долл. 0,05 = 163,56 ам. долл.;
P 4 =Y 4 -I 4 = 1500 - 163,56 = 1 336,44 (ам. долл.):
D 4 =D 3 -P 4 =3 271,25 - 1 336,44 = 1 934,81 (ам. долл.);
I 5 =D 4 ic = 1 934,81 ам. долл. 0,05 = 96,74 ам. долл.;
Y 5 =D 4 +I 5 =1934,81=96,74=2031,55 (ам. долл.); P4= D4= 1 934,81 ам. долл.
Итак, величина последней уплаты должна составить 2031,55 ам. долл.
Аннуитетом (финансовой рентой ) называется такой денежный поток, при котором платежи равного размера перечисляются через равные временные отрезки. Все аннуитеты бывают срочными и бессрочными .
Срочный аннуитет предусматривает последовательность денежных перечислений одного размера с начислением процентов с самого первого периода. Разницу между двумя видами аннуитетов легче понять из рисунка, приведенного в книге Дж. Ван Хорна:
На рисунке сопоставляются процедуры расчета двух видов аннуитета размером в 1000 долларов и годовой ставкой в 8%. Дж. Ван Хорн отмечает: создается впечатление, будто при обычном аннуитете выплаты происходят в 1,2 и 3 периодах, а при срочном - во 2, 3, 4 периодах. Общая стоимость трехлетнего срочного аннуитета по примеру оказывается равной стоимости обычного аннуитета с одним дополнительным периодом. Разумеется, срочный аннуитет является более выгодным для получателя денег, потому как его процентная прибыль выше.
Срочные аннуитеты классифицируются по времени платежа на постнумерандо и пренумерандо . При аннуитете пренумерандо деньги перечисляются в начале года, при постнумерандо - в конце.
И постнумерандо, и пренумерандо могут рассчитываться по двум схемам: дисконтирования
и наращения
:
Дисконтирование - это расчет текущей стоимости будущего финансового потока. При дисконтировании срочного аннуитета пренумерандо используется такая формула:
A = FV * * (1 + r) / r
где FV - общая сумма аннуитета, r - процентная ставка, A - фиксированная часть выплаты, n - число периодов.
Выражение в квадратных скобках носит название аннуитетный коэффициент дисконтирования
. Это выражение можно представить математически, однако, расчет займет слишком много времени. Гораздо легче определить аннуитетный коэффициент с помощью специальной таблицы:
Чтобы иметь возможность воспользоваться таблицей, достаточно знать процентную ставку и число периодов.
Наращение - это, напротив, вычисление будущей суммы, которую реально получить с тех денег, которые есть в наличии. Формула для расчета срочного аннуитета пренумерандо немного отличается:
FV = A * [(1 + r) ^ n - 1] * (1 + r) / r
Для коэффициента наращения тоже существует таблица расчетов:
Для вычисления срочного аннуитета постнумерандо используются следующие формулы (переменные уже знакомы):
|
Дисконтирование |
A = FV / (1 + r) + FV / (1 + r) ^ 2 +…+ FV / (1 + r) ^ n |
|
Наращение |
FV = A * (1 + r) ^ (n - 1) + A * (1 + r) ^ (n - 2) + … + A |
Со срочными аннуитетами люди постоянно встречаются в жизни. Например, если человек, пополняющий банковский депозит регулярно, желает рассчитать, какую прибыль он получит через несколько лет, он должен воспользоваться формулой наращения срочного аннуитета.
Кроме того, вычисление срочного аннуитета нужно для:
Будьте в курсе всех важных событий United Traders - подписывайтесь на наш
Аннуитет пренумерандо с ежегодными платежами Р в течение n лет, на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке ic .
Очевидно, отличие от предыдущего случая состоит здесь в том, что период начисления процентов на каждый платеж увеличивается на один год, т. е. каждая наращенная сумма S k увеличивается в (1 + i c) раз. Следовательно, для всей суммы S n имеем S n =S(1 + i c).
Для коэффициента наращения аннуитета пренумерандо получаем следующее соотношение: 
Для определения современных значений каждого платежа дисконтирование по заданной ставке i c
проводится на один раз меньше, чем в случае аннуитета постнумерандо. Поэтому каждая современная величина А к
будет больше в (1+i
) раз. Таким образом, А п = А(1 + i c
). А для коэффициента приведения a i , n
п получаем 
Пример 14. Найти наращенную сумму аннуитета и современную величину потока платежей, если в течение трёх лет доход, получаемый в начале года, будет составлять по 500 тыс.руб. Ставка дисконтирования – 6% годовых.
Решение.
В данном примерепоток платежей в течение трёх лет представляет собой постоянный аннуитет пренумерандо. Наращенная сумма такого аннуитета определится по формуле:
Коэффициент наращения может быть определён по таблице 3 наращенного значения аннуитета: k 0,06; 3 = 3,1836∙(1+0,06)=3,3746.
Наращенная сумма аннуитета составит:
S п =500∙3,3746=1687,3 тыс.руб.
Для проверки определим сумму наращенных сумм по годам.
Доход, полученный в первом году, через три года составит:
S 1 =500∙(1+0,06) 3 =500∙1,1910=595,5 тыс.руб.; доход, полученный во втором году, S 2 = 500∙(1+0,06) 2 = 500∙1,1236 = 561,8 тыс.руб. и доход, полученный в третьем году, S 3 = 500∙(1+0,06) 1 =500∙1,06 = 530 тыс.руб.
Общая наращенная сумма S п =S 1 п +S 2 п +S 3 п =595,5+561,8+530=1687,3 тыс.руб.
По формуле 
(1+ можем рассчитать современную величину аннуитета. Коэффициент приведения аннуитета определим по таблице 4. Для n
=3 и i c
=0,06 k 0,06; 3
=2,6730. Тогда k n
=2,6730∙1,06=2,8334.
Современная величина аннуитета А п =500∙2,8334=1416,7 тыс.руб.
Можем проверить вычисления определив сумму современных величин всех платежей и начисленных процентов. Формула современных значений каждого платежа (А к
) примет вид: 
Современные величины всех платежей будут равны:
тыс.руб.;
Тыс.руб.;
Сумма современных величин всех платежей будет равна.
В современном мире, где банковские продукты входят в жизнь любого человека, понимание сути финансовой математики и умение делать простые финансовые вычисления становится необходимым навыком. Но многие учебники и статьи по этой теме написаны сложным языком финансовых терминов и математических формул. Без терминов и формул, конечно, не обойтись. Однако объяснить суть вычислений можно простым языком, понятным любому человеку. Эта статья — продолжение статьи о дисконтировании денежных потоков. В ней речь пойдет об аннуитете (аннуитетных денежных потоках). Вечная рента, формула аннуитета — расчет текущей и будущей стоимости на простых примерах , объяснения для людей, а не для банкиров – об этом вы узнаете, прочитав данную статью.
Услышав слово аннуитет, многие подумают о чем-то сверхсложном и недоступном для понимания. На самом деле всё просто, только слово иностранное.
Аннуитет – это серия одинаковых платежей через одинаковые промежутки времени. Этот термин представляет собой буквенный «перевод» английского слова annuity , что означает «fixed sum paid every year». Люди, владеющие английским языком, вспомнят еще слово «annual», которое в переводе означает «годовой». Оба этих слова происходят от латинского слова annuus – ежегодно. Таким образом, в самом слове аннуитет содержится указание на ежегодную периодичность платежей.
На временной линии (или шкале времени) аннуитетные денежные потоки можно изобразить, например, вот так (Рис. 1):
В настоящее же время аннуитетом называются не только серии одинаковых годовых платежей, но и любые последовательности одинаковых по сумме платежей вне зависимости от их периодичности. Это могут быть ежегодные, ежеквартальные, ежемесячные платежи. Главным остаётся одно: аннуитет – это
несколько одинаковых
платежей (денежных потоков) через одинаковые
промежутки времени. Например, зарплата. Если ваша зарплата постоянна в течение года, то ежемесячный приток денежных средств в виде зарплаты является аннуитетом с ежемесячным периодом выплаты. Другой пример: если вы покупаете какую-то вещь в рассрочку, то ваши ежемесячные платежи банку тоже будут аннуитетом.
Еще немного терминов. Аннуитеты бывают пренумерандо и постнумерандо. Это красивые и загадочные термины обозначают всего лишь момент платежа: пренумерандо означает платежи в начале каждого временного периода, постнумерандо — в конце его. Эти термины, пришедшие к нам, судя по всему из латыни, используются в учебниках или в официальных бумагах. Я же буду говорить по-русски: денежные потоки с выплатой в конце года или в начале года.
В данной статье рассматриваются примеры расчета простых аннуитетов, в которых период платежа и период начисления процентов равны друг другу. То есть если проценты начисляются, например, за год, то и выплаты будут ежегодными. Или проценты начисляются ежемесячно, и платежи тоже осуществляются ежемесячно. Существуют аннуитеты, в которых эти периоды не совпадают (периоды выплат и периоды начисления процентов), но это более сложные вычисления. Я не буду их затрагивать. Всем, кто хочет разобрать эту тему досконально, лучше обращаться к учебникам по финансовой математике.
Для начала вспомним о том, что такое дисконтирование и наращение. Более подробно об этом рассказано в предыдущей статье. В ней речь шла о дисконтировании и наращении единичного денежного потока, то есть одной денежной суммы. Продисконтировать – это значит рассчитать текущую стоимость будущего денежного потока. То есть, если вам надо накопить определенную сумму к какой-то дате в будущем, то, применив дисконтирование, вы сможете рассчитать, сколько надо положить в банк сегодня.
Наращение – это движение из сегодняшнего дня в завтрашний: расчет будущей стоимости тех денег, которые у вас есть сегодня. Если вы положите деньги на банковский счет, то, зная банковскую ставку, вы сможете рассчитать, сколько денег у вас накопится на счете в любой момент времени в будущем.
Наращение и дисконтирование, конечно, неприменимы, если вы храните деньги дома. Все эти расчеты справедливы только тогда, когда вы можете инвестировать ваши деньги: положить на банковский счет или купить долговые ценные бумаги.
Дисконтирование и наращение применяются не только к одному денежному потоку, но и к последовательности денежных потоков, при этом денежные суммы могут быть любыми по величине. Частным случаем таких множественных денежных потоков и являются аннуитеты .
Аннуитетные денежные потоки тоже можно дисконтировать и наращивать, то есть определять их текущую и будущую стоимости.
Например, это необходимо, когда нам нужно выбрать между двумя предлагаемых нам вариантами получения денег. Не зная основных положений финансовой математики, можно прогадать и выбрать заведомо невыгодный для себя вариант. Чем и пользуются более осведомленные участники финансового рынка, а именно банки.
ПРИМЕР 1. Возьмем абстрактный пример. Допустим, вам надо выбрать, что лучше:
В сумме 5 * 25,000 = 125,000, что вроде бы лучше, чем 100,000 долларов. Но так ли это? Ведь у денег есть еще и «временная» стоимость. Банковская ставка в данный момент в данной стране, допустим, равна 10%.
Вариант (Б) представляет собой простой вариант аннуитета. Только не все знают, что это именно так называется. Чтобы сравнить эти два варианта между собой (что выгоднее?), надо привести их к одному моменту времени, поскольку стоимость денег в разные моменты времени различна. В данном случае надо продисконтировать аннутитетный денежный поток (Б), т.е. рассчитать его сегодняшнюю стоимость. Если дисконтированная стоимость аннуитета будет больше, чем 100,000 долларов, значит, второй вариант выгоднее при данной ставке процента.
В предыдущей статье мы научились дисконтировать одиночную сумму. Те же вычисления можно сделать и в этот раз, только придется повторить их 5 раз.
На данной шкале времени кроме платежа в сумме 25,000 нанесены соответствующие каждому периоду коэффициенты дисконтирования. приведена в предыдущей статье про дисконтирование.
Если продисконтировать (то есть привести к текущему моменту) каждую сумму отдельно, то получится вот такая табличка:
Здесь сумма платежа умножена на соответствующий каждому году коэффициент дисконтирования. В целом пять платежей по 25,000 в конце каждого года с учетом дисконтирования стоят 94,770, что несколько меньше, чем 100,000 сегодня. Следовательно, 100,000 сегодня при ставке 10% будет выгоднее, чем предложенный аннуитет 5 лет по 25,000.
Этот пример важен не только, чтобы еще раз продемонстрировать временную стоимость денег. Из таблицы становится ясно, как можно упростить вычисление дисконтированной стоимости аннуитета. Вместо того чтобы дисконтировать каждую сумму отдельно, можно сложить все коэффициенты дисконтирования и умножить только один раз:
25,000*(0,9091+0,8264+0,7513+0,6830+0,6209) что аналогично 25,000*3,7908 =94,770
Из этого примера легко вывести математическую формулу расчета дисконтированной стоимости аннуитета.
Сначала вспомним, как выглядит формула дисконтирования:
PV = FV*1/(1+R) n
Коэффициент дисконтирования равен 1/(1+R) n - это 0,9091, 0,8264 и т.д. в нашем примере.
Формула аннуитета (для расчета дисконтированной стоимости аннуитетных денежных потоков)
PV = FV*
Выражение в квадратных скобках можно представить математически, но вряд ли это нужно большинству людей. Это называется коэффициент аннуитета, или аннуитетный коэффициент дисконтирования, точное название не столь важно. В примере выше этот коэффициент равен 3,7908 .
Гораздо полезнее уметь пользоваться таблицами таких коэффициентов для расчета приведенной (дисконтированной) стоимости аннуитетного денежного потока. Такие таблицы позволяют быстро решать простые задачи на дисконтирование аннуитетов. Пример такой таблицы дисконтирования приведен ниже:
Если кому-то нужна точная формула аннуитета
, точнее формула коэффициента дисконтирования аннуитета, то вот она:
Коэффициент дисконтирования аннуитета: 1/R — 1/(R*(1+R) n)
Дисконтированная стоимость аннуитета: PV= платеж умножить на коэффициент
В примере выше мы считали дисконтированную стоимость денежного потока. То есть приводили стоимость денежного потока к текущему моменту времени. Можно решать и обратную задачу – узнать будущую стоимость аннуитета (аннуитетного денежного потока).
ПРИМЕР 2. В нашем первом примере мы можем посчитать будущую стоимость обоих вариантов. Если перевести из области чистой математики в жизненную плоскость, то надо выбрать, что лучше:
Для первого варианта можно воспользоваться (она есть в предыдущей статье).
Для варианта (А) будущая стоимость считается просто: $100,000 через 5 лет будут равны 100,000*1,6105 = $161,050
Для варианта (Б) ситуация несколько сложнее.
Мы хотим узнать, сколько будет у нас на счете через 5 лет, если мы будем откладывать 25,000 в конце
каждого года. То есть мы сделаем последний взнос и сразу же посчитаем, сколько мы накопили. Чтобы не ошибиться, лучше подписать коэффициенты наращения, соответствующие каждому году, на шкалу времени. Первый платеж будет сделан в конце первого года, это значит, что через 5 лет по нему будут наращены проценты только за 4 года. Соответственно, по второму платежу мы получим проценты за 3 года, по третьему – за два года, по четвертому – за один год, и, наконец, положив деньги в пятый раз, проценты по последнему взносу еще нее возникнут (то есть надо будет умножить на 1,10 в нулевой степени!)
25,000*(1,1) 4 +25,000*(1,1) 3 + 25,000*(1,10) 2 + 25,000*(1,10) 1 + 25,000 (1,10) 0 что равно
25,000*1,4641 + 25,000*1,3310 +25,000*1,2100 +25,000*1,1000 + 25,000*1 = 25,000*6,1051 = 152,628
Будущая стоимость аннуитета (вариант Б) равняется $152,628, что существенно меньше, чем $161,050 (вариант А). Это означает, что выгоднее внести на банковский счет 100,000 долларов сегодня, чем делать взносы 25,000 в конце каждого из 5 следующих лет. Данный вывод справедлив для банковской ставки 10% годовых.
Для расчета будущей стоимости аннуитетных денежных потоков тоже имеются таблицы коэффициентов. В данном случае этой таблицей можно пользоваться для расчета аннуитетов с платежами в конце временного интервала (т.е. постнумерандо).
Для любителей математики формула аннуитета
для расчета его будущей стоимости выглядит так:
Коэффициент наращения аннуитета: FV = платеж умножить на коэффициент ,
где коэффициент равен: [(1+R) n – 1]/R
Это был аннуитет с платежами в конце каждого года (постнумерандо ).
ПРИМЕР 3. Можно рассмотреть и другой пример. Сколько мы накопим на счете в банке, если будем вносить по 25,000 в начале каждого года, а не в конце? Это будет так называемый аннуитет пренумерандо, назовем его вариант В. Этот денежный поток можно изобразить на шкале времени таким образом:
Как видно из рисунка, платежи по 25,000 делаются в начале каждого годового периода. Например, вы решили класть на счет в банке по 25,000 каждый год 1 января. Первый платеж принесет нам проценты за 5 лет, второй — за 4 года, третий — за 3 года, четвертый — за 2 год и, наконец, платеж, сделанный в начале пятого года, принесет нам проценты за один год. я взяла из соответствующей таблицы, которую можно открыть по ссылке.
25,000*1,6105+25,000*1,4641 +25,000*1,3310 + 25,000*1,2100 + 25,000*1,1000 = 25,000* (1,6105+1,4641+1,3310+1,2100+1,1000) = 25,000*6,7156 = 167,890
Таким образом, если начинать вносить 25,000 каждый год в начале годового периода и делать это в течение 5 лет, то через 5 лет сумма на счете будет равна $167,890 . Этот вариант В выгодней, чем варианты А и Б, которые были рассмотрены раньше.
Как видно из двух последних примеров, большое значение имеет момент, когда производятся платежи: в начале или в конце периода. Поэтому, если нужно рассчитать дисконтированную или будущую стоимость любых денежных потоков, желательно рисовать , на которой отметить суммы и коэффициенты, соответствующие каждому периоду.
Как эти расчеты могут пригодиться в жизни?
В примерах выше были разобраны абстрактные примеры аннуитетов. Но с аннуитетными денежными потоками мы встречаемся и в реальной жизни. Например, интересно будет рассчитать, сколько удастся накопить на сберегательном счете, если откладывать каждый месяц часть зарплаты. Подобным же образом можно будет рассчитать, скажем, дисконтированную стоимость всех платежей по автокредиту. Выплаты банку при покупке автомобиля (и не только автомобиля) в кредит представляют собой аннуитет. Его дисконтированная (приведенная к сегодняшнему дню) стоимость — это и будет стоимость приобретаемого автомобиля. Можно точно узнать, сколько вы переплачиваете при покупке машины в кредит в сравнении с вариантом покупки с уплатой полной суммы сразу. А также можно будет сравнить кредитные предложения разных банков. Единственная проблема в таких расчетах – выбрать правильную месячную ставку дисконтирования.
Вечная рента — это аннуитет, платежи которого продолжаются в течение неограниченного срока. Другими словами – это серия одинаковых платежей, которая продолжается вечно. Такой вариант возможен, если, например, у вас есть вклад в банке, вы снимаете только ежегодные проценты, а основная сумма вклада остается нетронутой. Тогда, если ставка процента по вкладу не меняется, у вас будет так называемая .
В викторианскую эпоху все английские аристократы жили на проценты со своего капитала. Чем больший капитал лежал в банке, тем большие средства можно было потратить на жизнь и при этом не работать. Капитал переходил по наследству, и теоретически (если бы не было банкротств банков, войн и инфляции) так могло бы продолжаться вечно.
Будущая стоимость вечной ренты не имеет смысла, так как платежи продолжаются неограниченно долго. Однако текущая стоимость вечной ренты является конечной суммой, которую можно вычислить по формуле:
PV = платеж/R,
где R – это банковская ставка %, PV — текущая стоимость
Например, если хочется снимать со счета проценты в сумме 500,000 рублей в год, а годовая банковская ставка составляет 8%, то это значит, что сумма вклада на банковском счете должна быть равна:
500,000/0,08 = 6,250,000 рублей (PV).
В этом случае (если у банка не отберут лицензию или банк не обанкротится сам) можно снимать такие проценты постоянно на протяжении неограниченного периода времени. Единственное, что может нарушить такую идиллическую картину, — это инфляция, благодаря которой деньги обецениваются. Поэтому с течением времени снимаемые проценты будут приносить всё меньше материальных благ.
Философское отступление для тех, кто дочитал до этого места.
Чтобы рента была вечной, нужно сохранять капитал, с которого мы получаем эту ренту. Этот закон действует не только в финансовом мире. Человечество живет за счет природной ренты – оно пользуется ресурсами планеты, которые, к сожалению, исчерпаемы. Если брать от природы слишком много, природная рента иссякнет. Истощение земных ресурсов происходит на наших глазах.
При традиционном рыболовстве рыбу ловили понемногу, но это могло продолжаться вечно. Индустриальные города требуют рыбу определенного сорта и качества, для вылова которой применяется промышленный рыболовный флот. Крупные суда гонятся лишь за прибылью и не уважают океан. В настоящее время 80% мест промысловых районов Европы истощены. По расчетам ученых к 2050 году промышленное рыболовство сойдет на нет. Рыбная «рента» исчерпает себя. Много ли других ресурсов останется у человечества через 35-50 лет?
«Мир достаточно велик, чтобы удовлетворить нужды любого человека, но слишком мал, чтобы удовлетворить человеческую жадность» Махатма Ганди
Планета Земля – это наш единственный дом. Думаем ли мы об этом?
Рассчитать свой потенциальный доход по вкладу можно самостоятельно, не полагаясь на калькуляторы дохода, которые размещены на сайтах банковских учреждений. В этой статье на конкретных примерах показано, как рассчитать доход по вкладу с капитализацией процентов (ежеквартальной, ежемесячной, ежедневной, непрерывной) и как рассчитать эффективную ставку по вкладам с капитализацией.
