Задание 8 действия с процентами. Задачи на проценты

Каждый школьник рано или поздно задается вопросом «Как решать задачи на проценты?» . Не смотря на простоту (да, да, вы не ослышались) данной темы, она вызывает ужас в глазах не только у учащихся школы, но и у многих студентов… да что уж скрывать, вообще у многих людей. А ведь умение решать задачи с процентами необходимо не только в стенах школы. В повседневной жизни мы ежедневно сталкиваемся с процентами: скидки в магазинах, проценты по кредитам и т.д.

А ведь для того, чтобы понять как решать задачи с процентами, нужно уяснить/понять/запомнить (нужное подчеркнуть) всего одно правило:
один процент – это одна сотая часть числа (о котором идет речь в задаче),
то есть 1% = 0,01
Отсюда следует вывод: само число (все то же, о котором идет речь в задаче) всегда составляет 100% .
Из этих несложных правил нетрудно понять, как быстро посчитать требуемый процент от любого числа:
1. нужно найти один процент (для этого разделить имеющееся число на 100)
2. умножить полученный один процент на то количество процентов, которое нужно найти.

Еще один пример.

Пример 1. Найдите 15% от числа 45.
Решение: Понятно, что 45 – это 100%. Найдем 1% от 45, для этого 45 разделим на 100, получим 0,45. Ну вот, 1% нашли, теперь осталось совсем немного: умножить 1% на 15

А вот короткая запись всех наших размышлений:

Вот и все. Теперь скажите что это сложно.

А теперь рассмотрим обратную задачу.

Пример 2. Предположим, что нас просят найти сколько процентов составляют 5 отличников из 25 учащихся.
Еще не посчитали? Тогда давайте вместе:
Решение:
Допустим, что искомая величина у нас равна x%.
А так как 25 учащихся, это, по традиции, 100%, тогда 0,25 – это 1%. А 0,25– это как раз x%.
Другими словами, x процентов – это 0,25x отличников. А таких отличников у нас по условию 5, осталось только приравнять

отсюда находим. Т.е. 5 отличников составляют 20% от 25 учащихся.

Но, не знаю как вам, а лично мне всегда было легче и быстрее решать задачи на проценты с помощью пропорции. Посмотрите сами:

25 уч. – 100%

Из пропорции находим x

Вы же помните что пропорция считается «крест-накрест»?

Есть в задачах с процентами еще одна тонкость, на которую всегда нужно обращать внимание. Внимательно читайте, от какой величины вам нужно посчитать процент. Для наглядности посмотрим на примере.

Пример 3. Завод изготавливает за 1 месяц 500 деталей. Руководство принимает решение повысить объем производства на 15%. Но в первый же месяц увеличенного производства становится понятно, что реализовать всю произведенную продукцию у завода не получится. Руководство теперь принимает решение снизить объем производимых деталей на 5%, но эта мера не помогает, и тогда они снижают объем еще раз, уже на 10%. Какое количество деталей будет производить завод в результате?
Решение:
Сразу напрашивается ответ 500 деталей. Но вот тут-то и «изюминка». Давайте приглядимся повнимательнее.
Изначально было 500 деталей. После первого повышения на 15% получим

т.е. теперь завод изготавливает 500+75 = 575 деталей.

Теперь давайте снизим производство на 5%. За 100% у нас уже принимается сумма 575, а не 500.

тогда

деталей, т.е. завод после первого снижения будет изготавливать 575 – 28,75 = 546,25 деталей в месяц.

А теперь снизим объем производства еще на 10%. За 100% принимаем 546,25 (мы ведь хотим найти 10% от того объема который завод выпускает сейчас, а не 2 месяца назад).

из пропорции

т.е. после второго снижения завод будет изготавливать 546,25-54,625=491,625 деталей в месяц.

Числа получились неудобоваримые, но суть, я надеюсь, ясна. Нужно обращать внимание на то, процент от какого числа просят найти. Если в задаче на последовательное повышение/понижение процента не оговаривается отдельно от чего считать проценты, то следует считать их от последнего значения.

Теперь давайте решим задачку посложнее.

Пример 4. Магазин приобрел 1000 рубашек для перепродажи по цене 9000 долларов за всю партию. В течение месяца магазин продавал рубашки с 80%-ой наценкой от стоимости приобретения, а со второго месяца снизил цену до уровня 20%-ой наценки от стоимости. В течение первого месяца было продано 75% рубашек, а в течение второго месяца было продано 50% оставшегося количества рубашек. Какую выручку заработал магазин на данной партии?
Решение:
Ух, как запутанно, но это только на первый взгляд, сейчас вместе во всем разберемся.

Для начала найдем стоимость приобретения одной рубашки: 9000 дол./1000 рубашек= 9 дол. за 1 штуку. Отлично. Идем дальше. Теперь нам говорят, что в первый месяц рубашки продавали с 80%-ой накруткой от стоимости приобретения. Найдем цену, по которой их продавали в первый месяц:

9 долларов – 100%

x долларов – 80%

Но это мы нашли только саму 80% -ую наценку, а конечная цена продажи = 9 дол. + 7,2 дол. = 16,2 долларов.

Еще про первый месяц нам сказано, что за него было продано 75% рубашек. А так как всего рубашек у нас было 1000, то получаем:

рубашек было продано за первый месяц.

750 рубашек продано по цене 16,2 доллара за штуку, т. е. выручка составила 750 * 16,2 = 12150 долларов.

Аналогично посчитаем выручку за второй месяц.

Для начала найдем стоимость 1-ой рубашки.

9 долларов – 100%

х долларов – 20%

Цена за 1 рубашку = 9 дол. + 1,8 дол. = 10,8 дол.

Про количество проданных рубашек нам сказано, что их было продано 50% от оставшихся после первого месяца продаж, т.е. закупили 1000 рубашек, в первый месяц продали 750 рубашек, значит осталось 250 рубашек и половину из них нам и надо найти. Не сложно посчитать, что во второй месяц было продано 125 рубашек. Выручка магазина за второй месяц продаж составила

125 * 10,8 = 1350 долларов.

Найдем общую выручку за 2 месяца 12150 дол. + 1350 дол. = 13500 дол.

Все, ответ получен. Задача оказалась не так уж и страшна.

И еще одна интересная задачка на закрепление материала.

Пример 5. Число а составляет 92% от числа b. Увеличим число b на 700, теперь новое число на 9% больше числа a. Найдите a и b.

Решение:

Мы уже знаем, что процент можно представить в виде дроби

По условию составим систему уравнений:

Решив систему, получим, а = 230000, b = 250000.

Ответ: 230000; 250000.

Несколько заданий для самостоятельного решения:

1. Посчитайте, сколько это:

20% от 1350 руб.
180% от 200 грамм
3% двоечников из 30 учащихся
80% от 30 литров воды.

1. Посчитайте, сколько процентов составляют:

200 рублей от 1200
150 страниц из 500
18 мужчин из 40 человек
6 от 8
8 от 6

1. Найдите число, 25 % которого равны 51.
2. Телефон стоил 5000 рублей, сначала он подорожал на 3%, а потом подешевел на 3%. Как и на сколько рублей изменилась цена телефона?
3. Леша прочитал 213 страниц учебника, что составляет 37 % числа всех страниц. Найдите сколько всего страниц в учебнике.
4. Из 100 яблок 13 оказались червивыми. Сколько процентов всех яблок составили червивые яблоки?
5. Первое число составляет 50% от второго. Сколько процентов от первого составляет второе?
6. В школе 340 учащихся, из которых 10% неуспевающих. После отчисления некоторого числа неуспевающих, их процент снизился до 5,4%. Сколько учащихся отчислено?
7. Цена на единицу товара понизилась на 30%, а затем еще на 15%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной ценой?
8. Первоначальная стоимость единицы продукции равнялась 75 руб. В течение первого года производства она повысилась на некоторое, число процентов, а в течение второго года снизилась (по отношению к повышенной стоимости) на такое же число процентов, в результате чего она стала равна 72 руб. Определите проценты повышения и понижения стоимости единицы продукции.

Я надеюсь, что Вы поняли как решать задачи на проценты и Ваши глаза больше не будут округляться при виде их.

А если по какой-либо причине у Вас не получается решить задачу самостоятельно, Вы можете заказать решение у нас. Стоимость решения одной задачи на проценты из школьного курса — 10 руб.

А в следующий раз мы научимся решать более сложный вид задач на проценты –

Как работают проценты

.

Проценты - одно из математических понятий, которое часто встречаются в повседневной жизни. Можно прочитать или услышать, например, что, в выборах приняли участие 57% избирателей, рейтинг победителя хит-парада равен 75%, успеваемость в классе 85%, банк начисляет 17% годовых, молоко содержит 1,5% жира, материал содержит 100% хлопка и т.д.

Ясно, что без понимания такого рода информации в современном обществе просто трудно было бы существовать.

Я провел опрос среди людей от 7 лет и старше, выясняя их понимание, что такое ПРОЦЕНТ и как он работает.

Процент – это сотая часть числа – 80%
Процент – это что-то из математики -15%
Процент – это прибыль – 3%
Затруднились ответить – 2%

Из этого следует, что большая часть населения знает, что такое процент, но не все понимают, как он работает.

История создания процентов.

Само слово «процент» происходит от лат. «pro centum», что означает в переводе «сотая доля». В 1685 году в Париже была издана книга «Руководство по коммерческой арифметике» Матье де ла Порта. В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали «cto» (сокращенно от cento). Однако наборщик принял это «cto» за дробь и напечатал «%». Так из-за опечатки этот знак вошёл в обиход.

Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычислили проценты, применяя так называемое тройное правило, то есть пользуясь пропорцией.

В Древнем Риме были широко распространены денежные расчеты с процентами. Римский сенат установил максимально доступный процент, взимавшийся с должника.

В Европе в средние века расширилась торговля и, следовательно, особое внимание обращалось на умение вычислять проценты. Тогда приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов (сложные проценты). Часто конторы и предприятия для облегчения расчетов разрабатывали особые таблицы вычисления процентов. Эти таблицы держались в тайне, составляли коммерческий секрет фирмы. Впервые таблицы были опубликованы в 1584 году Симоном Стевином.

Фламандский ученый, военный инженер Симон Стевин не был по профессии математиком, но его трудолюбие и талант позволили ему занять достойное место среди выдающихся европейских математиков. Он первым в Европе открыл десятичные дроби. Симон Стевин опубликовал таблицу для вычисления сложных процентов, которая использовалась в торгово-финансовых операциях.

В практической жизни полезно знать связь между простейшими значениями процентов и соответствующими дробями: половина - 50% , четверть - 25% , три четверти - 75% , пятая часть - 20% , три пятых - 60% и т.д.

Увеличить в 2 раза - это значит увеличить на 100%, уменьшить в 2 раза - это значит уменьшить на 50%. Современная нам жизнь снова делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Везде - в газетах, по радио и телевидению, в транспорте и на работе обсуждаются повышение цен, зарплат, рост стоимости акций, снижение покупательной способности населения и т.п. Добавим сюда объявления коммерческих банков, привлекающих деньги населения на различных условиях, сведения о доходах по акциям различных предприятий и фондов, об изменении процента банковского кредита и пр. Все это требует умения производить хотя бы несложные процентные расчеты для сравнения и выбора более выгодных условий. Формирование соответствующих умений в настоящее время оставляет желать лучшего.

Особый для меня интерес представляет процент в банковских операциях.

Значит, если при вычислении каких-либо данных проценты упрощают математические расчеты, то есть необходимость их изучения.

Цель работы: изучение практического применения процентных расчетов.

Задачи:

1. Определить понятие «процент»;
2. Изучить историю происхождения процента;
3. Определить сферу практического применения процента;
4. Решить простейшие задачи на проценты и задачи на банковские операции;
5. Сделать вывод.

Объект исследования: процент.

Предмет исследования: задачи на вычисления процентов в банковских операциях.

Простейшие задачи на проценты.

1. Нахождение процента от числа.

Чтобы найти процент от числа, надо это число умножить на соответствующую дробь.

Например.
20% от 45 кг пшеницы равны 45*0,2=9 кг.

2. Нахождение числа по проценту.

Чтобы найти число по его проценту, надо часть, соответствующую этому проценту, разделить на дробь.

Например.
Если 8% от длины бруска составляют 2,4 см, то длина всего бруска равна 2,4:0,08=30 см.

3. Нахождение процентного отношения двух чисел.

Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100%.

Например.
9 г соли в растворе массой 180 г составляют 9:180*100%= 5%.

Банковский процент.

Теперь рассмотрим задачи на вычисления процентов в банковских операциях.

Существует много видов банковских операций. Например: кредитование физических лиц, кредитование юридических лиц, депозит и др.

Покажем формулы и примеры их использования.

Как составить расчет процентов по депозитам?
Чтобы квалифицированно управлять своими денежными средствами, размещаемыми в банковские депозиты, необходимо анализировать ожидаемую доходность по выбираемым видам вкладов, составляя для этого расчет процентов по депозитам.
Для этого необходимо знать: величину процентной ставки, порядок и цикличность начисления процентов, порядок получения процентов (причисление к вкладу, выдача наличными, перечисление на счет до востребования или на карточку). Все это оговаривается банками в договорах банковских вкладов и зависит от вида вклада.

Для расчета процентов по вкладам физических лиц банками используются следующие виды процентных ставок:

• Фиксированная ставка - это когда процентная ставка банка, закреплена в депозитном договоре и не меняется в течении всего срока вклада по договору.
• Плавающая ставка - это когда первоначально установленная по договору процентная ставка может меняться в течение всего срока вклада, в связи с изменением ставки рефинансирования, с изменением курса валюты и другими факторами, оговоренными банком в договоре.

Расчет процентов по привлеченным во вклады (депозиты) средствам производится с применением стандартных формул. Применяются следующие формулы расчета процентов:

1) Формула расчета простых процентов.

Если начисляемые на вклад проценты причисляются к вкладу в конце срока депозита или вообще не причисляются, а переводятся на отдельный счет, то в этих случаях сумма процентов рассчитывается по формуле простых процентов. Простые проценты не предусматривают капитализации процентов. При выборе вида вклада, на это стоит обращать внимание. Когда сумма вклада большая, а применяется формула начисления простых процентов, то можно недополучить значительную сумму дохода. Формула простых процентов по вкладам выглядит так:
Sp = : 100, где




Sp - сумма процентов (доходов).
S = P + : 100, где
S - сумма банковского вклада (депозита) с процентами;
I - годовая процентная ставка;
t - количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу;
K - количество дней в календарном году(365 или 366);
P - сумма привлеченных в депозит денежных средств.

Для большей понятности приведу условные примеры расчета простых процентов и суммы банковского депозита с простыми процентами.

Пример. Предположим что банком принят депозит в сумме 50 000 рублей сроком на 3 месяца по ставке 10,5 процентов «годовых».

Sp = 50 000 * 10,5 * 90: 365: 100 = 1294,52

S = 50 000 + 50 000 * 10,5 * 30: 365: 100 = 51 294,52

2) Формула расчета сложных процентов.

Если начисляемые по вкладу проценты, причисляются к вкладу через равные промежутки времени (ежедневно, ежемесячно, ежеквартально), то в этих случаях сумма процентов рассчитывается по формуле сложных процентов. Сложные проценты предусматривают капитализацию процентов (начисление процентов на проценты). Для расчета сложных процентов можно применять две формулы сложных процентов по вкладам, которые выглядят так:
Sp = P*[(1 + I * t: K:100) n - 1] или

Sp = S - P = P * (1 + I * t: K: 100) n - P, где

I - годовая процентная ставка;
t - количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу;
K - количество дней в календарном году (365 или 366);
P - сумма привлеченных в депозит денежных средств;
Sp - сумма процентов (доходов);
n - число периодов начисления процентов;
S - сумма вклада (депозита) с процентами.

Однако, при расчете процентов проще сначала вычислить общую сумму вклада с процентами, и только затем вычислять сумму процентов (доходов). Формула расчета вклада с процентами будет выглядеть так:

S = P * (1 + I * t: K: 100) n

Приведу условные примеры расчета сложных процентов и суммы банковского депозита со сложными процентами.

Пример. Принят депозит в сумме 50 000 рублей сроком на 90 дней по ставке 10,5 процентов годовых с начислением процентов каждые 30 дней.

S = 50 000 * (1 + 10,5 * 30: 365:100)3 = 51 305,72

Sp = 50 000 * [(1 + 10,5 * 30: 365: 100)3 -1] = 1 305,72

Правильность расчета процентов по приведенному выше примеру можно перепроверить. Для этого разобьем срок депозита на 3 периода (месяц) и рассчитаем начисление процентов для каждого периода. Использую формулу простых процентов.

1 месяц S1 = 50 000+50 000*10,5*30:365:100 = 50431,51

Sp1 = 50 000*10,5*30:365:100 = 431,51

2 месяц S2 = 50 431,51+50 431,51*10,5*30:365:100 = 50 866,74

Sp2 = 50 431,51*10,5*30:365:100 = 435,23

3 месяц S3 = 50866,74+50866,74*10.5*30:365:100 = 51305.72

Sp3 = 50866.74 * 10.5*30:365:100 = 438,98

Итак, общая сумма процентов с учетом ежемесячной капитализации (начисления процентов на проценты) составляет:

Sp = Sp1+Sp2+Sp3 = 1305.72, что соответствует сумме, рассчитанной по сложным процентам. Таким образом, расчет по расчет по формуле сложных процентов, составлен и рассчитан верно.

А теперь давайте сделаем простое сравнение результатов расчета процентов, при применении двух различных формул. В обоих примерах за основу были взяты одни и те же данные, т.е. сбережения в сумме 50000,00 рублей, размещены во вклад со сроком 90 дней.

При расчете процентов по формуле простых процентов доход составил 1294,52 руб. При расчете процентов по формуле сложных процентов, доход составил 1305,72 руб. Капитализация процентов составила 11,2 руб. (1305,72 - 1294,52).

Выводы.

• Больший доход получается с капитализацией процентов, в этом случае при вычислении применяется формула сложных процентов. Обращаю ваше внимание на то, что в приводимых примерах, для удобства использовалась только фиксированная ставка.
• Данные формулы можно использовать для расчета процентов по кредитам.

Список используемой литературы.

1. Брю Л.П. Деньги, банки, кредитные функции М. ВШ 1993
2. Банковское дело. Справочное пособие. Под ред. Ю. А. Бабичевой. - М.: экономика, 1994 г.
3. Материал из Википедии - свободной энциклопедии www.wikipedia.ru
4. А.В. Шевкин «Решение текстовых задач» Москва «Русское слово» 2002 г.