Использование векторного произведения ВЕКТОРОВ
для вычисления площади
некоторых геометрических фигур
Исследовательская работа по математике
Ученика 10 Б класса
МОУ СОШ №73
Руководители:
Ассистент каф. математического анализа механико-математического факультета СГУ им. Н.Г. Чернышевского Бердников Глеб Сергеевич
Саратов, 2015
Введение.
1. Теоретический обзор.
1.1. Векторы и вычисления с векторами.
1.2. Использование скалярного произведения векторов в решении задач
1.4. Векторное произведение векторов в трёхмерном Евклидовом пространстве: определение понятия.
1.5. Координаты векторного произведения векторов.
2. Практическая часть.
2.1. Связь векторного произведения с площадью треугольника и параллелограмма. Выведение формулы и геометрический смысл векторного произведения векторов.
2.2. Зная только координаты точек, найти площадь треугольника. Доказательство теоремы
2.3. Проверка на примерах правильности формулы.
2.4. Практическое использование векторной алгебры и произведения векторов.
Заключение
Введение
Как известно, многие геометрические задачи имеют два ключевых способа решения – графический и аналитический. Графический метод связан с построением графиков и чертежей, а аналитический предполагает решение задач преимущественно с помощью алгебраических действий. В последнем случае алгоритм решений задач связан с аналитической геометрией. Аналитическая геометрия – это область математики, а точнее линейной алгебры, которая рассматривает решение геометрических задач средствами алгебры на основе метода координат на плоскости и в пространстве. Аналитическая геометрия позволяет анализировать геометрические образы, исследовать линии и поверхности, важные для практических приложений. При этом в этой науке для расширения пространственного понимания фигур помимо иногда применяется векторное произведение векторов.
В связи с широким распространением трехмерных пространственных технологий, изучение свойств некоторых геометрических фигур с использованием векторного произведения представляется актуальным.
В связи с этим была обозначена цель данного проекта – использование векторного произведения векторов для вычисления площади некоторых геометрических фигур.
В связи с поставленной целью решались следующие задачи:
1. Теоретически изучить необходимые основы векторной алгебры и дать определение векторному произведению векторов в системе координат;
2. Проанализировать наличие связи векторного произведения с площадью треугольника и параллелограмма;
3. Вывести формулу площади треугольника и параллелограмма в координатах;
4. Проверить на конкретных примерах верность выведенной формулы.
1. Теоретический обзор.
Векторы и вычисления с векторами
Векторомназывается направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:
В данном случае началом отрезка является точка А
, концом отрезка – точка В
. Сам вектор обозначен через или 
. Чтобы найти координаты вектора , зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки:
= {
B
x
- A
x
; B
y
- A
y
}
Коллинеарными называются векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой. При этом вектор отрезок, характеризующийся длиной и направлением.
Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора.
Длина вектора || в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.
С векторами можно совершать различные действия.
Например, сложение. Чтобы их сложить, нужно провести сначала второй вектор из конца первого, а потом соединить начало первого с концом второго (рис. 1). Суммой векторов является другой вектор с новыми координатами.
Сумму векторов = {a
x
; a
y
} и 
= {b
x
; b
y
} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
+
= {a
x
+ b
x
; a
y
+ b
y
}
Рис. 1. Действия с векторами
Вычитая векторы, нужно сначала провести их из одной точки, а потом соединить конец второго с концом первого.
Разность векторов = {a
x
; a
y
} и 
= {b
x
; b
y
}
можно найти по формуле:
-
= {
a
x
- b
x
; a
y
- b
y
}
Также, векторы можно умножать на число. Результатом также будет вектор, который в k раз больше (или меньше) данного. Его направление будет зависеть от знака k: при положительном k векторы сонаправлены, а при отрицательном – противоположно направлены.
Произведение вектора = {a
x
; a
y
}
и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:
k ·
= {k
· a
x
; k · a
y
}
А можно ли умножать вектор на вектор? Конечно, и даже двумя вариантами!
Первый вариант – скалярное произведение.
Рис. 2. Скалярное произведение в координатах
Для нахождения произведения векторов можно использовать угол между данными векторами, показанный на рисунке 3.
Из формулы следует, что скалярное произведение равно произведению длин данных векторов на косинус угла между ними, его результатом является число. Важно, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т.к. косинус прямого угла между ними равен нулю.
В координатной плоскости вектор также имеет координаты.
Вектора, их координаты и скалярное произведение являются одними из самых удобных методов вычисления угла между прямыми (или их отрезками), если введена система координат.
И если координаты 
, то их скалярное произведение равно:
В трехмерном пространстве существует 3 оси и, соответственно, у точек и векторов в такой системе будет по 3 координаты, а скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:
1.2. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве.
Вторым вариантом вычисления произведения векторов является векторное произведение. Но, чтобы его определить требуется уже не плоскость, а трехмерное пространство, в котором начало и конец вектора имеют по 3 координаты.
В отличие от скалярного произведения векторов в трёхмерном пространстве операция «векторное умножение» над векторами приводит к иному результату. Если в предыдущем случае скалярного умножения двух векторов результатом было число, то в случае векторного умножения векторов результатом будет другой вектор, перпендикулярный обоим вступившим в произведение векторам. Поэтому это произведение векторов называется векторным.
Очевидно, что при построении результирующего вектора 
, перпендикулярного двум, вступившим в произведение - и , может быть выбрано два противоположных направления. При этом направление результирующего вектора определяется по правилу правой руки, или правилу буравчика.Если нарисовать векторы так, чтобы их начала совпадали и вращать первый вектор-сомножитель кратчайшим образом ко второму вектору-сомножителю, а четыре пальца правой руки показывали направление вращения (как бы охватывая вращающийся цилиндр), то оттопыренный большой палец покажет направление вектора-произведения (рис. 7).
Рис. 7. Правило правой руки
1.3. Свойства векторного произведения векторов.
Длина результирующего вектора определяется по формуле
.
При этом 
векторное произведение. Как было сказано выше, результирующий вектор будет перпендикулярен 
, а его направление определяется по правилу правой руки.
Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:
Векторное произведение ненулевых векторов равно 0, если они коллинеарны, тогда синус угла между ними будет равен 0.
Координаты векторов в трехмерном пространстве выражаются следующим образом: . Тогда координаты результирующего вектора находим по формуле
Длина результирующего вектора находится по формуле:
.
2. Практическая часть.
2.1. Связь векторного произведения с площадью треугольника и параллелограмма в плоскости. Геометрический смысл векторного произведения векторов.
Пусть нам дан треугольник ABC (рис. 8). Известно, что .
длина векторного произведения векторов равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы и , если их отложить от одной точки.
Другими словами, длина векторного произведения векторов и равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , со сторонами и и углом между ними, равным .
Рис. 9. Геометрический смысл векторного произведения векторов
В связи с этим, можно привести еще одно определение векторного произведения векторов:
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор 
, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах и , перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от к вокруг вектора осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора (рис. 10).
Рис. 10. Определение векторного произведения векторов
с использованием параллелограмма
2.2. Вывод формулы для нахождения площади треугольника в координатах.
Итак, нам дан треугольник АВС в плоскости и координаты его вершин. Найдем площадь этого треугольника (рис. 11).
Рис. 11. Пример решения задачи на нахождение площади треугольника по координатам его вершин
Решение.
Для начала, рассмотрим координаты вершин в пространстве и вычислим координаты векторов АВ и АС.
По данной прежде формуле подсчитаем координаты их векторного произведения. Длина этого вектора равна 2 площадям треугольника АВС. Площадь треугольника равна 10.
Более того, если мы рассмотрим треугольник на плоскости, то первые 2 координаты векторного произведения всегда будут равны нулю, поэтому мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема: Пусть дан треугольник АВС и координаты его вершин (рис. 12).
Тогда .
Рис. 12. Доказательство теоремы
Доказательство.
Рассмотрим точки в пространстве и вычислим координаты векторов ВС и ВА. . По приведенной раньше формуле вычислим координаты векторного произведения этих векторов. Обратим внимание, что все члены, содержащие z 1 или z 2, равны 0, т.к. z 1и z 2 = 0. УБРАТЬ!!!
Итак, следовательно,
2.3. Проверка правильности формулы на примерах
Найти площадь треугольника образованного векторами a = {-1; 2; -2} и b = {2; 1; -1}.
Решение: Найдем векторное произведение этих векторов:
a × b=
I(2 · (-1) - (-2) · 1) - j((-1) · (-1) - (-2) · 2) + k((-1) · 1 - 2 · 2) =
I(-2 + 2) - j(1 + 4) + k(-1 - 4) = -5 j - 5 k = {0; -5; -5}
Из свойств векторного произведения:
SΔ =
| a × b| =
√ 02 + 52 + 52 =
√ 25 + 25 =
√ 50 =
5√ 2
Ответ: SΔ = 2.5√2.
2.4. Приложения векторной алгебры
и скалярного и векторного произведения векторов.
Где же нужны векторы? Векторное пространство и векторы носят не только теоретический характер, но и имеют вполне реальное практическое применение в современном мире.
В механике и физике многие величины имеют не только численное значение, но и направление. Такие величины называются векторными. Вместе с использованием элементарных механических понятий, опираясь на их физический смысл, многие величины рассматриваются как скользящие векторы, а их свойства описываются как аксиомами, как это принято в теоретической механике, так и при помощи математических свойств векторов. Наиболее яркими примерами векторных величин являются скорость, импульс и сила (рис. 12). Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются с помощью векторов.
В физике важны не только сами вектора, но в большой степени важны и их произведения, которые помогают вычислять некоторые величины. Векторное произведение полезно для определения коллинеарности векторов модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы сонаправленны или противоположно направленны.
Еще один пример: скалярное произведение используется для вычисления работы по приведенной ниже формуле, где F – вектор силы, а s – вектор перемещения.
Одним из примеров использования произведения векторов является момент силы, равный произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы.
Многое из того, что вычисляется в физике по правилу правой руки является векторным произведением. Найти подтверждения, привести примеры.
Стоит еще заметить, что двухмерным и трехмерным пространством не исчерпываются возможные варианты векторных пространств. Высшая математика рассматривает пространства большей размерности, в которых также определяются аналоги формул для скалярного и векторного произведения. Несмотря на то, что пространства большей размерности, чем 3, человеческое сознание неспособно представить визуально, они удивительным образом находят себе приложения во многих областях науки и промышленности.
В то же время результатом векторного произведения векторов в трёхмерном Евклидовом пространстве является не число, а результирующий вектор со своими координатами, направлением и длиной.
Направление результирующего вектора определяется по правилу правой руки, что является одним из самых удивительных положений аналитической геометрии.
Векторное произведение векторов может быть использовано в нахождении площади треугольника или параллелограмма по заданным координатам вершин, что было подтверждено выведением формулы, доказательством теоремы и решением практических задач.
Векторы широко используются в физике, где такие показатели как скорость, импульс и сила могут быть представлены в виде векторных величин и вычисляются геометрически.
Список использованных источников
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7-9 классы: учебник для общеобразовательных организаций. М.: , 2013. 383 с.
Атанасян Л.С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных организаций: базовый и профильный уровни. М.: , 2013. 255 с.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, Физматлит, 1998.
Аналитическая геометрия.
Математика. Клевер.
Изучение математики онлайн.
http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/multiply1/
Сайт В. Глазнева.
http://glaznev.sibcity.ru/1kurs/analit/common/html/anlek7.htm
Википедия.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%E5%EA%F2%EE%F0%ED%EE%E5_%EF%F0%EE%E8%E7%E2%E5%E4%E5%ED%E8%E5
При выяснении вопроса о применимости векторного метода к решению той или иной задачи, необходимо установить возможность выражения всех данных соотношений между известными и искомыми величинами на языке векторов. Если это можно сделать без больших затруднений, то есть смысл при решении такой задачи использовать векторы.
Решение геометрических задач с помощью векторов протекает успешнее, если вы будете придерживаться общих правил поиска решения. Полезно использовать девять таких правил:
1. Начиная решать задачу, посмотрите, что дано и что требуется доказать; отделите условие задачи от ее заключения; запишите условие и заключение задачи через общепринятые обозначения.
2. Выясните все (по возможности) соотношения, из которых следует заключение задачи; запишите их в векторной форме.
3. Сопоставьте каждое из рассматриваемых соотношений с тем, что дано, и с рисунком и посмотрите, какое из них лучше выбрать для доказательства.
4. Из того, что дано, получите следствия, которые связаны (или могут быть связаны) с выбранным вами соотношением.
5. Выделяя на рисунке векторы, входящие в выбранное вами соотношение, постоянно задавайте себе вопрос: «Через какие векторы можно их выразить? » Для ответа на поставленный вопрос рассматривайте эти векторы во всех целесообразных (обнадеживающих) соотношениях с другими.
6. Если для выражения вектора через другие нужно сделать дополнительные построения на рисунке, сделайте их так, чтобы это выражение было наиболее простым.
7. Постоянно помните, что дано в условии задачи, и в случае затруднений проверьте, не упустили ли вы что-либо из условия.
8. Так как затруднения могут быть связаны также с тем, что вы не применили какую-либо задачу или теорему, то в случае затруднения постарайтесь мысленно перебрать известные вам теоремы и решенные задачи и подумать, нельзя ли воспользоваться какой-нибудь из них.
9. Если выбранное вами соотношение (по правилу 2) не удалось доказать, применив все правила 4-8, то выберите другое и снова выполняйте правила 4-8 уже относительно него.
I. Для овладения умением переходить от геометрического языка к векторному и обратно необходимо знать, как то или иное векторное соотношение выражается на геометрическом языке. Например:
а) Равенство = k (k –некоторое число) , означает, что прямые АВ и СД параллельны.
б) Равенства = m/n и = n/(m+n) + m/(m+n) , (m,n –некоторые числа, Q –произвольная точка плоскости) означают, что точка С делит некоторый отрезок АВ в отношении m к n, т. е. AC: CB = m: n. При этом точка Q может быть выбрана так, чтобы последнее равенство доказывалось наиболее просто (это равенство следует из теоремы о делении отрезка в данном отношении) .
в) Каждое из равенств = k1 , = k2 , = k3 , = p +q (где k1, k2, k3, p, q - некоторые числа, p+q=1, Q – произвольная точка плоскости) , a +b +g = 0 (a, b, g - некоторые числа, a+b+g = 0, Q -произвольная точка плоскости) означает принадлежность трех точек А, В, С одной прямой (два последних равенства следуют из теоремы о принадлежности трех точек одной прямой) .
г) . Равенство. = 0, где A ¹ B; C¹D, означает, что прямые АВ и СД перпендикулярны. (Указанное равенство следует из свойств скалярного произведения векторов.)
Продолжаем разбираться с векторами. На первом уроке Векторы для чайников мы рассмотрели понятие вектора, действия с векторами, координаты вектора и простейшие задачи с векторами. Если вы зашли на эту страничку впервые с поисковика, настоятельно рекомендую прочитать вышеуказанную вводную статью, поскольку для усвоения материала необходимо ориентироваться в используемых мной терминах, обозначениях, обладать базовыми знаниями о векторах и уметь решать элементарные задачи. Данный урок является логическим продолжением темы, и на нём я подробно разберу типовые задания, в которых используется скалярное произведение векторов. Это ОЧЕНЬ ВАЖНОЕ занятие . Постарайтесь не пропускать примеры, к ним прилагается полезный бонус – практика поможет вам закрепить пройденный материал и «набить руку» на решении распространенных задач аналитической геометрии.
Сложение векторов, умножение вектора на число…. Было бы наивным думать, что математики не придумали что-нибудь ещё. Помимо уже рассмотренных действий, существует ряд других операций с векторами, а именно: скалярное произведение векторов , векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов . Скалярное произведение векторов знакомо нам со школы, два других произведения традиционно относятся к курсу высшей математики. Темы несложные, алгоритм решения многих задач трафаретен и понятен. Единственное. Информации прилично, поэтому нежелательно пытаться освоить-прорешать ВСЁ И СРАЗУ. Особенно это касается чайников, поверьте, автор совершенно не хочет чувствовать себя Чикатило от математики. Ну и не от математики, конечно, тоже =) Более подготовленные студенты могут использовать материалы выборочно, в известном смысле, «добирать» недостающие знания, для вас я буду безобидным графом Дракулой =)
Приоткроем же, наконец, дверь и увлечённо посмотрим, что происходит, когда два вектора встречают друг друга….
Сначала про угол между векторами
. Думаю, всем интуитивно понятно, что такое угол между векторами, но на всякий случай чуть подробнее. Рассмотрим свободные ненулевые векторы и . Если отложить данные векторы от произвольной точки , то получится картинка, которую многие уже представили мысленно:
Признаюсь, здесь я обрисовал ситуацию только на уровне понимания. Если необходимо строгое определение угла между векторами, пожалуйста, обратитесь к учебнику, для практических же задач оно нам, в принципе, ни к чему. Также ЗДЕСЬ И ДАЛЕЕ я буду местами игнорировать нулевые векторы ввиду их малой практической значимости. Оговорку сделал специально для продвинутых посетителей сайта, которые могут меня упрекнуть в теоретической неполноте некоторых последующих утверждений.
может принимать значения от 0 до 180 градусов (от 0 до радиан) включительно. Аналитически данный факт записывается в виде двойного неравенства:
либо 
(в радианах).
В литературе значок угла часто пропускают и пишут просто .
Определение:
Скалярным произведением двух векторов и называется ЧИСЛО, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
Вот это вот уже вполне строгое определение.
Акцентируем внимание на существенной информации:
Обозначение: скалярное произведение обозначается через или просто .
Результат операции является ЧИСЛОМ
: Умножается вектор на вектор, а получается число. Действительно, если длины векторов – это числа, косинус угла – число, то их произведение 
тоже будет числом.
Сразу пара разминочных примеров:
Пример 1
Решение:
Используем формулу 
. В данном случае:
Ответ:
Значения косинуса можно найти в тригонометрической таблице . Рекомендую её распечатать – потребуется практически во всех разделах вышки и потребуется много раз.
Чисто с математической точки зрения скалярное произведение безразмерно, то есть результат, в данном случае , просто число и всё. С точки же зрения задач физики скалярное произведение всегда имеет определенный физический смысл, то есть после результата нужно указать ту или иную физическую единицу. Канонический пример по вычислению работы силы можно найти в любом учебнике (формула в точности представляет собой скалярное произведение). Работа силы измеряется в Джоулях, поэтому, и ответ запишется вполне конкретно, например, .
Пример 2
Найти , если 
, а угол между векторами равен .
Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока.
В Примере 1 скалярное произведение получилось положительным, а в Примере 2 – отрицательным. Выясним, от чего зависит знак скалярного произведения. Смотрим на нашу формулу: 
. Длины ненулевых векторов всегда положительны: , поэтому знак может зависеть только от значения косинуса.
Примечание: Для более качественного понимания нижеприведенной информации лучше изучить график косинуса в методичке Графики и свойства функции . Посмотрите, как ведёт себя косинус на отрезке .
Как уже отмечалось, угол между векторами может изменяться в пределах 
, и при этом возможны следующие случаи:
1) Если угол
между векторами острый
: 
(от 0 до 90 градусов), то 
, и скалярное произведение будет положительным
сонаправлены
, то угол между ними считается нулевым , и скалярное произведение также будет положительным. Поскольку , то формула упрощается: .
2) Если угол
между векторами тупой
: 
(от 90 до 180 градусов), то 
, и, соответственно, скалярное произведение отрицательно
: . Особый случай: если векторы направлены противоположно
, то угол между ними считается развёрнутым
: (180 градусов). Скалярное произведение тоже отрицательно, так как
Справедливы и обратные утверждения:
1) Если , то угол между данными векторами острый. Как вариант, векторы сонаправлены.
2) Если , то угол между данными векторами тупой. Как вариант, векторы направлены противоположно.
Но особый интерес представляет третий случай:
3) Если угол
между векторами прямой
: (90 градусов), то и скалярное произведение равно нулю
: . Обратное тоже верно: если , то . Компактно утверждение формулируется так: Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы ортогональны
. Короткая математическая запись: 
! Примечание
: повторим основы математической логики
: двусторонний значок логического следствия обычно читают «тогда и только тогда», «в том и только в том случае». Как видите, стрелки направлены в обе стороны – «из этого следует это, и обратно – из того, следует это». В чём, кстати, отличие от одностороннего значка следования ? Значок утверждает, только то
, что «из этого следует это», и не факт, что обратное справедливо. Например: , но не каждый зверь является пантерой, поэтому в данном случае нельзя использовать значок . В то же время, вместо значка можно
использовать односторонний значок. Например, решая задачу, мы выяснили, что и сделали вывод, что векторы ортогональны: 
– такая запись будет корректной, и даже более уместной, чем 
.
Третий случай имеет большую практическую значимость , поскольку позволяет проверить, ортогональны векторы или нет. Данную задачу мы решим во втором разделе урока.
Вернёмся к ситуации, когда два вектора сонаправлены . В этом случае угол между ними равен нулю, , и формула скалярного произведения принимает вид: .
А что будет, если вектор умножить на самого себя? Понятно, что вектор сонаправлен сам с собой, поэтому пользуемся вышеуказанной упрощенной формулой:
Число называется скалярным квадратом вектора , и обозначатся как .
Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату длины данного вектора:
Из данного равенства можно получить формулу для вычисления длины вектора:
Пока она кажется малопонятной, но задачи урока всё расставят на свои места. Для решения задач нам также потребуются свойства скалярного произведения .
Для произвольных векторов и любого числа справедливы следующие свойства:
1) – переместительный или коммутативный закон скалярного произведения.
2) 
– распределительный или дистрибутивный
закон скалярного произведения. Попросту, можно раскрывать скобки.
3) 
– сочетательный или ассоциативный
закон скалярного произведения. Константу можно вынести из скалярного произведения.
Зачастую, всевозможные свойства (которые ещё и доказывать надо!) воспринимаются студентами как ненужный хлам, который лишь необходимо вызубрить и сразу после экзамена благополучно забыть. Казалось бы, чего тут важного, все и так с первого класса знают, что от перестановки множителей произведение не меняется: . Должен предостеречь, в высшей математике с подобным подходом легко наломать дров. Так, например, переместительное свойство не является справедливым для алгебраических матриц . Неверно оно и для векторного произведения векторов . Поэтому, в любые свойства, которые вам встретятся в курсе высшей математики, как минимум, лучше вникать, чтобы понять, что можно делать, а чего нельзя.
Пример 3
.
Решение: Сначала проясним ситуацию с вектором . Что это вообще такое? Сумма векторов и представляет собой вполне определенный вектор, который и обозначен через . Геометрическую интерпретацию действий с векторами можно найти в статье Векторы для чайников . Та же петрушка с вектором – это сумма векторов и .
Итак, по условию требуется найти скалярное произведение . По идее, нужно применить рабочую формулу 
, но беда в том, что нам неизвестны длины векторов и угол между ними. Зато в условии даны аналогичные параметры для векторов , поэтому мы пойдём другим путём:
(1) Подставляем выражения векторов .
(2) Раскрываем скобки по правилу умножения многочленов, пошлую скороговорку можно найти в статье Комплексные числа или Интегрирование дробно-рациональной функции . Повторяться уж не буду =) Кстати, раскрыть скобки нам позволяет дистрибутивное свойство скалярного произведения. Имеем право.
(3) В первом и последнем слагаемом компактно записываем скалярные квадраты векторов: 
. Во втором слагаемом используем перестановочность скалярного произведения: .
(4) Приводим подобные слагаемые: .
(5) В первом слагаемом используем формулу скалярного квадрата , о которой не так давно упоминалось. В последнем слагаемом, соответственно, работает та же штука: . Второе слагаемое раскладываем по стандартной формуле 
.
(6) Подставляем данные условия 
, и ВНИМАТЕЛЬНО проводим окончательные вычисления.
Ответ:
Отрицательное значение скалярного произведения констатирует тот факт, что угол между векторами является тупым.
Задача типовая, вот пример для самостоятельного решения:
Пример 4
Найти скалярное произведение векторов и , если известно, что 
.
Теперь ещё одно распространённое задание, как раз на новую формулу длины вектора . Обозначения тут будут немного совпадать, поэтому для ясности я перепишу её с другой буквой:
Пример 5
Найти длину вектора , если 
.
Решение
будет следующим:
(1) Поставляем выражение вектора .
(2) Используем формулу длины: , при этом в качестве вектора «вэ» у нас выступает целое выражение .
(3) Используем школьную формулу квадрата суммы . Обратите внимание, как она здесь любопытно работает: – фактически это квадрат разности, и, по сути, так оно и есть. Желающие могут переставить векторы местами: – получилось то же самое с точностью до перестановки слагаемых.
(4) Дальнейшее уже знакомо из двух предыдущих задач.
Ответ:
Коль скоро речь идёт о длине, не забываем указать размерность – «единицы».
Пример 6
Найти длину вектора , если 
.
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Продолжаем выжимать полезные вещи из скалярного произведения. Снова посмотрим на нашу формулу 
. По правилу пропорции сбросим длины векторов в знаменатель левой части:
А части поменяем местами:
В чём смысл данной формулы? Если известны длины двух векторов и их скалярное произведение, то можно вычислить косинус угла между данными векторами, а, следовательно, и сам угол.
Скалярное произведение – это число? Число. Длины векторов – числа? Числа. Значит, дробь тоже является некоторым числом . А если известен косинус угла: 
, то с помощью обратной функции легко найти и сам угол: 
.
Пример 7
Найти угол между векторами и , если известно, что .
Решение:
Используем формулу:
На заключительном этапе вычислений использован технический приём – устранение иррациональности в знаменателе. В целях устранения иррациональности я домножил числитель и знаменатель на .
Итак, если 
, то:
Значения обратных тригонометрических функций можно находить по тригонометрической таблице . Хотя случается это редко. В задачах аналитической геометрии значительно чаще появляется какой-нибудь неповоротливый медведь вроде , и значение угла приходится находить приближенно, используя калькулятор. Собственно, такую картину мы ещё неоднократно увидим.
Ответ:
Опять, не забываем указывать размерность – радианы и градусы. Лично я, чтобы заведомо «снять все вопросы», предпочитаю указывать и то, и то (если по условию, конечно, не требуется представить ответ только в радианах или только в градусах).
Теперь вы сможете самостоятельно справиться с более сложным заданием:
Пример 7*
Даны – длины векторов , и угол между ними . Найти угол между векторами , .
Задание даже не столько сложное, сколько многоходовое.
Разберём алгоритм решения:
1) По условию требуется найти угол между векторами и , поэтому нужно использовать формулу 
.
2) Находим скалярное произведение (см. Примеры № 3, 4).
3) Находим длину вектора и длину вектора (см. Примеры № 5, 6).
4) Концовка решения совпадает с Примером № 7 – нам известно число , а значит, легко найти и сам угол: 
Краткое решение и ответ в конце урока.
Второй раздел урока посвящен тому же скалярному произведению. Координаты. Будет даже проще, чем в первой части.
Ответ:
Что и говорить, иметь дело с координатами значительно приятнее.
Пример 14
Найти скалярное произведение векторов и , если
Это пример для самостоятельного решения. Здесь можно использовать ассоциативность операции, то есть не считать , а сразу вынести тройку за пределы скалярного произведения и домножить на неё в последнюю очередь. Решение и ответ в конце урока.
В заключение параграфа провокационный пример на вычисление длины вектора:
Пример 15
Найти длины векторов 
, если
Решение: снова напрашивается способ предыдущего раздела: , но существует и другая дорога:
Найдём вектор :
И его длину по тривиальной формуле 
:
Скалярное произведение здесь вообще не при делах!
Как не при делах оно и при вычислении длины вектора :
Стоп. А не воспользоваться ли очевидным свойством длины вектора? Что можно сказать о длине вектора ? Данный вектор длиннее вектора в 5 раз. Направление противоположно, но это не играет роли, ведь разговор о длине. Очевидно, что длина вектора равна произведению модуля
числа на длину вектора :
– знак модуля «съедает» возможный минус числа .
Таким образом:
Ответ:
Теперь у нас есть полная информация, чтобы ранее выведенную формулу косинуса угла между векторами 
выразить через координаты векторов :
Косинус угла между векторами плоскости
и , заданными в ортонормированном базисе , выражается формулой
:
.
Косинус угла между векторами пространства
, заданными в ортонормированном базисе , выражается формулой
: 
Пример 16
Даны три вершины треугольника . Найти (угол при вершине ).
Решение:
По условию чертёж выполнять не требуется, но всё-таки:
Требуемый угол помечен зелёной дугой. Сразу вспоминаем школьное обозначение угла: – особое внимание на среднюю
букву – это и есть нужная нам вершина угла. Для краткости можно было также записать просто .
Из чертежа совершенно очевидно, что угол треугольника совпадает с углом между векторами и , иными словами: 
.
Проведённый анализ желательно научиться выполнять мысленно.
Найдём векторы:
Вычислим скалярное произведение:
И длины векторов:
Косинус угла:
Именно такой порядок выполнения задания рекомендую чайникам. Более подготовленные читатели могут записывать вычисления «одной строкой»:
Вот и пример «плохого» значения косинуса. Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе.
Найдём сам угол:
Если посмотреть на чертёж, то результат вполне правдоподобен. Для проверки угол также можно измерить и транспортиром. Не повредите покрытие монитора =)
Ответ:
В ответе не забываем, что спрашивалось про угол треугольника
(а не про угол между векторами), не забываем указать точный ответ: и приближенное значение угла: 
, найденное с помощью калькулятора.
Те, кто получил удовольствие от процесса, могут вычислить углы , и убедиться в справедливости канонического равенства
Пример 17
В пространстве задан треугольник координатами своих вершин . Найти угол между сторонами и
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока
Небольшой заключительный раздел будет посвящен проекциям, в которых тоже «замешано» скалярное произведение:
Рассмотрим векторы и :
Спроецируем вектор на вектор , для этого из начала и конца вектора опустим перпендикуляры
на вектор (зелёные пунктирные линии). Представьте, что на вектор перпендикулярно падают лучи света. Тогда отрезок (красная линия) будет «тенью» вектора . В данном случае проекцией вектора на вектор является ДЛИНА отрезка . То есть, ПРОЕКЦИЯ – ЭТО ЧИСЛО.
Данное ЧИСЛО обозначается следующим образом: , «большим вектором» обозначают вектор КОТОРЫЙ проецируют, «маленьким подстрочным вектором» обозначают вектор НА который проецируют.
Сама запись читается так: «проекция вектора «а» на вектор «бэ»».
Что произойдёт, если вектор «бэ» будет «слишком коротким»? Проводим прямую линию, содержащую вектор «бэ». И вектор «а» будет проецироваться уже на направление вектора «бэ» , попросту – на прямую, содержащую вектор «бэ». То же самое произойдёт, если вектор «а» отложить в тридесятом царстве – он всё равно легко спроецируется на прямую, содержащую вектор «бэ».
Если угол между векторами острый (как на рисунке), то
Если векторы ортогональны , то (проекцией является точка, размеры которой считаются нулевыми).
Если угол между векторами тупой (на рисунке мысленно переставьте стрелочку вектора ), то (та же длина, но взятая со знаком минус).
Отложим данные векторы от одной точки:
Очевидно, что при перемещении вектора его проекция не меняется
Процент сотая часть числа
- Если, например, в городе 45 тысяч жителей, то 450 человек составляют один П. населения. Предположим, что на какое-нибудь предприятие истрачено 20 тыс. руб. и чистого дохода получено 3 тыс. руб. В этом случае доход составляет 15/100 частей капитала или 15 П., что, обыкновенно, обозначают так: 15%. Если не желают участвовать в рисках предприятия, то дают деньги взаймы, довольствуясь небольшим доходом, получая, например, 4% или 5%. Это значит, что в продолжение года
доход составляет 4/100 или 5/100 частей капитала, отданного взаймы. Этот доход называется процентными деньгами.
В обыденной речи употребляют выражение "получать проценты" вместо правильного "получать процентные деньги".
Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. - С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон . 1890-1907 .
Если, например, в городе 45 тысяч жителей, то 450 человек составляют один П. населения. Предположим, что на какое нибудь предприятие истрачено 20 тыс. руб. и чистого дохода получено 3 тыс. руб. В этом случае доход составляет 15/100 частей… …
ПРОЦЕНТ - сотая часть числа, принимаемого за единицу; обозначается знаком % … Большая политехническая энциклопедия
- (лат.). Цифра, означающая прибыль или плату с сотни. В химии: выраженное в числах отношение различных составных частей вещества. В статистике: отношение народонаселения и т. д. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А … Словарь иностранных слов русского языка
- % Процент (лат. per cent на сотню) одна сотая доля. Обозначается знаком «%». Используется для обозначения доли чего либо по отношению к целому. Например, 17 % от 500 кг означает 17 частей по 5 кг каждая, то есть… … Википедия
ИНВЕСТИРОВАНИЕ - INVESTINGПод И. понимается вложение капитала с целью получения прибыли. Ожидаемая прибыль может быть в виде дивидендов, процентов или увеличения реального капитала. Попытка извлечь выгоду из кратковременных изменений стоимости актива называется… … Энциклопедия банковского дела и финансов
Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Древность не знала ныне всюду распространенных видов водки (Eau de vie, Branntwein, Schnaps, Brandy, whiskey, см. Водка), как перегнанного крепкого, или спиртового, напитка, потому что искусство перегонки (см. это сл.) выработано в эпоху… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
У этого термина существуют и другие значения, см. Автомат Калашникова (значения). Автомат Калашникова … Википедия
CHF - (Швейцарский франк) Национальная валюта Швейцарии, история появления, развития Информация о швейцарском франке, истории появления и развитияю месте франка в современной экономике Содержание денежная единица. Швейцарский Франк - это(код по… … Энциклопедия инвестора
Если, например, в городе 45 тысяч жителей, то 450 человек составляют один П. населения. Предположим, что на какое нибудь предприятие истрачено 20 тыс. руб. и чистого дохода получено 3 тыс. руб. В этом случае доход составляет 15/100 частей… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
I ж. жен. к сущ. сотый I II прил. разг. Очень малая, незначительная, небольшая часть, доля чего либо. III числ. разг. Часть, доля, полученная от деления чего либо на сто равных частей; одна сотая. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
I ж. жен. к сущ. сотый I II прил. разг. Очень малая, незначительная, небольшая часть, доля чего либо. III числ. разг. Часть, доля, полученная от деления чего либо на сто равных частей; одна сотая. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
Сотая часть процента В таких единицах принято измерять разницу в процентных ставках. Например, если ставка процента повысилась с 10,4 % до 10,8 %, то она изменилась на 40 базисных пунктов … Энциклопедический словарь экономики и права
ПУНКТ, БАЗИСНЫЙ - сотая часть процента; показатель, используемый для характеристики разницы в процентных ставках изменения дохода по ценным бумагам и т.д. Например, если казначейский вексель приносит доход в 7,17% и его цена меняется так, что он теперь приносит… … Большой экономический словарь
базисный пункт - сотая часть процента. В таких единицах принято характеризовать, измерять разницу в процентных ставках. Например, если ставка процента повысилась с 6,2% до 6,5%, то она изменилась на 20 базисных пунктов … Словарь экономических терминов
Процент - сотая часть чего нибудь, обозначается % … Популярный политический словарь
Перечень единиц измерения денежных сумм, равных определённой доле базовой денежной единицы (валюты). Как правило, это монеты, реже банкноты или не имеющие физической формы счётные единицы, которые используется для мелких расчётов и называются… … Википедия
- (лат.). Цифра, означающая прибыль или плату с сотни. В химии: выраженное в числах отношение различных составных частей вещества. В статистике: отношение народонаселения и т. д. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А … Словарь иностранных слов русского языка
