Составить пропорцию. В этой статье хочу поговорить с вами о пропорции. Понимать, что такое пропорция, уметь составлять её – это очень важно, она действительно спасает. Это вроде бы маленькая и незначительная «буковка» в большом алфавите математики, но без неё математика обречена быть хромой и неполноценной.
Для начала напомню, что такое пропорция. Это равенство вида:
что тоже самое (это разная форма записи).
Пример:
Говорят – один относится к двум также, как четыре относится к восьми. То есть это равенство двух отношений (в данном примере отношения числовые).
Основное правило пропорции:
a:b=c:d
произведение крайних членов равно произведению средних
то есть
a∙d=b∙c
Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее можно найти именно по этому правилу.
Если рассматривать форму записи вида:
то используют ещё следующее правило, его называют «правило креста»: записывается равенство произведений элементов (чисел или выражений) стоящих по диагонали
a∙d=b∙c
как видите результат тот же.
Если три элемента пропорции известны, то
мы всегда можем найти четвёртый.
Именно в этом суть пользы и необходимость
пропорции при решении задач.
Давайте рассмотрим все варианты, где неизвестная величина х находится в «любом месте» пропорции, где a, b, c – числа:
Величина стоящая по диагонали от х записывается в знаменатель дроби, а известные величины стоящие по диагонали записываются в числитель, как произведение. Его запоминать не обязательно, вы и так всё верно вычислите, если усвоили основное правило пропорции.
Теперь главный вопрос, связанный с названием статьи. Когда пропорция спасает и где используется? Например:
1. Прежде всего это задачи на проценты. Мы рассматривали их в статьях " " и " ".
2. Многие формулы заданы в виде пропорций:
> теорема синусов
> отношение элементов в треугольнике
> теорема тангенсов
> теорема Фалеса и другие.
3. В задачах по геометрии в условии часто задаётся отношение сторон (других элементов) или площадей, например 1:2, 2:3 и прочие.
4. Перевод единиц измерения, причём пропорция используется для перевода единиц как в одной мере, так и для перевода из одной меры в другую:
— часы в минуты (и наоборот).
— единицы объёма, площади.
— длины, например мили в километры (и наоборот).
— градусы в радианы (и наоборот).
здесь без составления пропорции не обойтись.
Ключевой момент в том, что нужно правильно установить соответствие, рассмотрим простые примеры:
Необходимо определить число, которое составляет 35% от 700.
В задачах на проценты за 100% принимается та величина, с которой сравниваем. Неизвестное число обозначим как х. Установим соответствие:
Можно сказать, что семисот тридцати пяти соответствует 100 процентов.
Иксу соответствует 35 процентов. Значит,
700 – 100%
х – 35 %
Решаем
Ответ: 245
Переведём 50 минут в часы.
Мы знаем, что одному часу соответствует 60 минут.
x часов это 50 минут. Значит,
1 – 60
х – 50
Решаем:
То есть 50 минут это пять шестых часа.
Ответ: 5/6
Николай Петрович проехал 3 километра. Сколько это будет в милях (учесть, что 1 миля это 1,6 км)?
Известно, что 1 миля это 1,6 километра. Число миль, которые проехал Николай Петрович примем за х. Можем установить соответствие:
Одной миле соответствует 1,6 километра.
Икс миль это три километра.
1 – 1,6
х – 3
Ответ: 1,875 миль
Вы знаете, что для перевода градусов в радианы (и обратно) существуют формулы. Я их не записываю, так как запоминать их считаю излишним, и так вам в памяти приходится держать много информации. Вы всегда сможете перевести градусы в радианы (и обратно), если воспользуетесь пропорцией.
Переведём 65 градусов в радианную меру.
Главное это запомнить, что 180 градусов это Пи радиан.
Обозначим искомую величину как х. Устанавливаем соответствие.
Ста восьмидесяти градусам соответствует Пи радиан.
Шестидесяти пяти градусам соответствует х радиан. изучить статью по этой теме на блоге. Материал в ней изложен несколько по иному, но принцип тот же. На этом закончу. Обязательно будет ещё что-нибудь интересненькое, не пропустите!
Если вспомнить само определение математики, то в нём есть такие слова: математика изучает количественные ОТНОШЕНИЯ (ОТНОШЕНИЯ - здесь ключевое слово). Как видите в самом определении математики заложена пропорция. Вообщем, математика без пропорции это не математика!!!
Всего доброго!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Вычисление процентов - несложная математическая операция, которая довольно часто встречается в повседневной жизни. Например, нужно посчитать, сколько человек экономит, используя дисконтную карту магазина или покупая товар на распродаже со скидкой, под какой процент берет кредит. Проценты можно посчитать при помощи калькулятора или пропорции, пригодится формула вычисления процентов и знание элементарных известных соотношений.
Вычисление процентов в школьной программе изучается классе в 5-м, если не раньше. Согласно определению, процент - это одна сотая часть числа. Термин появился в Древнем Риме и буквально переводится как «со ста». Первоначально идея вычислять проценты зародилась еще в Вавилоне. Параллельно в Древней Индии научились считать проценты при помощи пропорции.
Для того чтобы найти процент от числа, необходимо данное число поделить на 100. Очевидно, что 1 % от 100 равняется единице.
Формула, позволяющая найти процент от числа, элементарна. Необходимо число поделить на 100, после чего умножить на нужный процент.
Если принять за Х исходное число, а за Y - искомый процент, то формула записывается в виде X/100*Y=...
Вычисление процентов можно производить, имея понимание метода пропорции. Пусть А - основное число, принятое за 100 %, В - число, соотношение которого с А в процентном соотношении необходимо высчитать, а Х - число искомых процентов. Тогда:
А - 100 %,
В - Х %.
Умножение крест-накрест даст равенство: А*Х=В*100. Следовательно, Х=В*100/А.
Например, необходимо узнать, сколько процентов от 300 составляет число 75. Получается: 75*100/300=25 %.
Представим один процент не десятичной, а простой дробью - 1/100. Аналогично можно записать любое количество процентов. Так, 10 % - это 0,1 или 1/10, 25 % - 0,25 или 25/100=1/4 и так далее. Следовательно, найти 10 % от числа довольно просто - нужно разделить исходное число на 10. Таким способом удобно вычислять 20, 25 и 50 процентов:
Но не всякий процент удобно рассчитать таким методом. К примеру, 33 % - это 33/100, что при записи десятичной дробью дает 0,3333 с бесконечным количеством троек после запятой.
Если возникают сомнения в правильности проводимых расчетов, всегда можно проверить себя на калькуляторе, который сейчас есть в любом мобильном устройстве и на любом компьютере.
Это отношение, взятое в обратном порядке по отношению к данному. Отношение b/a
называют обратным отношению a/b
.
Пропорция
- это равенство двух отношений.
В пропорции (или a: b = с: d
) числа a
и d
называют крайними
, а числа b
и с
- средними
членами пропорции.
Основное свойство пропорции
. В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению её средних членов. Если для двух отношений a: b
и с: d
выполняется равенство ad = bс
, то a: b = с: d
- верная пропорция.
Если в верной пропорции поменять местами средние члены или крайние члены, то получившиеся новые пропорции верны.
Перестановка членов пропорции
:
Производные пропорции
.
Дана пропорция , справедливы следующие пропорции:
Нахождение части от числа
Пример 1
.
Найти часть 5/16 от числа 800.
Решение
.
Если вы забыли, какое действие надо сделать, существует такой прием. Разберемся с «половиной», т.е. 1/2 числа, на примере, который составим сами. Например, 1/2 от 800 мы понимаем, что это 400.
800 ? 1/2 = 400. Какое действие мы сделали? Нетрудно догадаться, что это умножение.
Тогда легко найдем 5/16 от 800 как 800 · 5/16 = 250.
Ответ
: 250.
Нахождение числа по его части
Пример 2
.
Найти все число, если его 7/15 равны 210.
Решение
.
Выясним с помощью «половины», т.е. 1/2 числа, какое действие мы должны сделать. Пусть, например, надо найти число, если его половина равна 300. Очевидно, что это число 600. Какое действие мы сделали?
300 ? 1/2 = 600. Можно догадаться, что это деление. Тогда легко найдем чему равно все число, если его 7/15 равны 210:
210: 7/15 = 210 ·15: 7 = 450.
Ответ
: 450.
Пример 3
.
Отношение с
к d
равно 7/9. Найдите их обратное отношение.
1) - 7/9; 2) ; 3) 0,8; 4) 1,4.
Решение
.
Отношением, обратным к 7/9, является . Из предложенных ответов верным является 2).
Ответ
: 2.
Пример 4
.
Масса печенья 15 кг, а масса упаковки 600 г. Найдите отношение массы печенья к массе упаковки.
1) 15/600; 2)5/6; 3)1/25; 4)25.
Решение
.
600 г = 0,6 кг
. Отношение массы печенья к массе упаковки равно 15/0,6 = 150/6 = 25
. Из предложенных ответов верным является 4).
Ответ
: 4.
Пример 5
.
Из каких отношений А = 4,8: 0,9; Б = 1,6: 0,3; В = 0,48: 0,9; Г = 25: 12
можно составить пропорцию?
1) А
и Б
; 2) Б
и В
; 3) А
и В
; 4) Б
и Г
.
Решение
.
Проверим предложенные отношения на выполнение основного свойства пропорции.
1) Для отношений А
и Б
произведение крайних членов 4,8·0,3 = 1,44
; произведение средних членов 0,9 · 1,6 = 1,44; 1,44 = 1,44
. Следовательно, из этих отношений можно составить пропорцию.
2) Для отношений Б
и В
произведение крайних членов 1,6·0,9 = 1,44
; произведение средних членов 0,3 · 0,48 = 0,144; 1,44 0,144
3) Для отношений А
и В
произведение крайних членов 4,8·0,9 = 4,32
; произведение средних членов 0,9 · 0,48 = 0,432; 4,32 0,432
. Следовательно, из этих отношений нельзя составить пропорцию.
4) Для отношений Б
и Г
произведение крайних членов 1,6· 12 = 19,2
, произведение средних членов 0,3· 25 = 7,5; 19,2 7,5
. Следовательно, из этих отношений нельзя составить пропорцию.
Из предложенных ответов верным является 1).
Ответ
: 1.
Пример 6
.
Из пропорции 20: 15 = 16: 12
составлены 4 равенства, укажите верное.
1) 15: 20 = 16: 12
;
2) 20: 12 = 15: 16
;
3) 12: 16= 15: 20
;
4) 20: 16 = 12: 15
.
Решение
.
Заданная пропорция останется верной, если в ней поменять местами средние или крайние члены. Следовательно, из предложенных пропорций верной является только 3).
Ответ
: 3.
Пример 7
.
Какое из перечисленных ниже равенств отношений составлено неверно, если 13 · 6 = 0,78 · 100
?
1) 13: 6 = 0,78: 100
;
2) 13: 100 = 0,78: 6
;
3) 6: 100 = 0,78: 1
3;
4) 13: 0,78 = 100: 6
.
Решение
.
Из заданного равенства произведений, на основе перестановки сомножителей и основного свойства пропорции, можно составить четыре верные пропорции:
13: 0,78 = 100: 6
;
6: 0,78 = 100: 13
;
13: 100 = 0,78: 6
;
6: 100 = 0,78: 13
.
Следовательно, из предложенных ответов неверным равенством является 1).
Ответ
: 1.
Пример 8
.
На пошив 9 рубашек ушло 18,9 м ткани. Сколько метров такой же ткани потребуется на пошив 15 рубашек?
1) 27; 2) 35; 3) 31,5; 4) 30.
Решение
.
Пусть на пошив 15 рубашек требуется х
м ткани. Тогда, согласно условию,
9 рубашек - 18,9 м;
15 рубашек - х
м
Так как расход ткани прямо пропорционален количеству рубашек, то справедливо равенство . По правилу нахождения крайнего члена пропорции х = 15 ·18,9: 9 = 31,5
. Из предложенных ответов верным является 3).
Ответ
: 3.
Пример 9
.
С помощью 6 одинаковых труб бассейн заполняется водой за 32 минуты. За сколько минут можно заполнить бассейн с помощью 8 таких труб?
1) 36 ; 2) 42; 3) 64; 4) 24.
Решение
.
Пусть с помощью 8 труб бассейн можно заполнить за х
минут. Тогда
6 труб - 32 мин;
8 труб - х
мин.
Так как время заполнения бассейна обратно пропорционально количеству труб, то справедливо равенство 6: 8 = х: 32
. По правилу нахождения среднего члена пропорции х = 6 ·32: 8 = 24
. Из предложенных ответов верным является 4).
Ответ
: 4.
Пример 10
.
Угол в 140° разделен на 4 части, градусные меры которых относятся как 2:3:4:5. Найдите градусную меру меньшего из полученных углов.
1) 10° ; 2) 20°; 3) 70°; 4) 120°.
Решение
.
Пусть х
- градусная мера одной части. Тогда градусные меры углов соответственно равны 2х, Зх, 4х
и 5х
. Следовательно, 2х + Зх + 4х + 5х = 140; 14х = 140; х = 10; 10°
- приходится на одну часть. Градусная мера меньшего из полученных углов равна 2·10° = 20°
. Из предложенных ответов верным является 2).
Ответ
: 2.
Пример 11
.
Для строительства стадиона 5 бульдозеров расчистили площадку за 2 часа 20 минут. За какое время 7 таких бульдозеров расчистят эту площадку?
1) 7/5 ч; 2) 3 ч 60 мин; 3) 1ч 40 мин; 4) 3 ч 16 мин.
Решение
.
Составим пропорцию, учитывая, что у нас обратная пропорциональность, так как чем больше бульдозеров задействовано, тем меньше время.
5 бульдозеров - 7/3 часа
7 бульдозеров - х
часов.
, что соответствует третьему варианту.
Ответ
: 3.
Пример 12
.
Кочан капусты на 4/5 кг тяжелее 4/5 этого же кочана. Какова масса кочана капусты (в кг)?
1) 5; 2) 4,5; 3) 3; 4) 4.
Решение
.
Пусть кочан капусты весит х
кг. Тогда по условию задачи 4/5х + 4/5 = х
. Откуда находим 1/5х = 4/5; х = 4 кг
, что соответствует четвертому варианту.
Ответ
: 4.
Пример 13
.
Три числа относятся как 8/19: 0,6: 93/95
. Третье число больше половины первого на 36,5. Найти большее из чисел.
Решение
.
Пусть первое число 8Х/19
; второе – 0,6Х
; третье – 93Х/95
.
По условию 3-е больше 1/2 первого на 36,5:
93/95 Х- 1/2 · 8/19 Х=36,5; Х(93/95-4/19)=73/2; 73/95 Х= 73/2; Х = 46,5
. Тогда
первое число (8/19) · 46,5 = 20
;
второе число 0,6 · 46,5 = 28,5
;
третье число (93/95) · 46,5 = 41,5
- наибольшее из чисел.
Ответ
: 41,5.
Проценты
1%
- это сотая (1/100) часть от целого.
Чтобы найти процент от числа, нужно число процентов представить в виде десятичной дроби и данное число умножить на эту десятичную дробь.
Найти процент от числа сводится к задаче нахождения части от числа.
Найти число по его проценту сводится к задаче нахождения числа по его части.
Формула простого процентного роста
(формула простых процентов)
:
, где S n
- наращенная сумма (исходная сумма вместе с начисленными процентами); S
- исходная сумма; р%
- процентная ставка от суммы, выраженная в долях за период; n
- число периодов начисления.
Нахождение процента от числа
Процент
- это сотая часть числа. Значит, задача сводится к нахождению части числа. Например, 3% = 0,03; 0,15% = 0,015; 29,34% =0,2934
.
