Дидактическая цель: применить изученный материал в знакомой и новой учебной ситуации.
Тип урока: Урок-практикум.
Цели по содержанию:
Структура урока:
Методы:
Формы контроля: самоконтроль, взаимоконтроль, контроль учителя.
Формы организации деятельности: фронтальная, индивидуальная, работа в парах.
Ход урока
I. Орг. момент.
Я постараюсь учесть ваше настроение. Извините, если нарушу вашу установку!
II. Итак, сегодня у нас тема урока «Решение задач на процентный рост».
1. Что нам необходимо вспомнить, чтобы успешно справиться с заданиями?
S n – итоговая сумма.
S – первоначальная сумма.
p – процентная ставка.
2. Вычислите:
III. Как вы думаете, для чего мы изучаем данный материал?
1. Темп жизни очень высок, идёт большой поток информации.
И чтобы не потеряться, идти в ногу со временем, конечно, надо уметь разбираться в различной информации, в том числе и с процентным ростом, тем более он встречается довольно часто. Где? Приведите примеры:
3. Сегодня мы решаем сложные задачи, они встречаются на ЕГЭ.
Кто из вас собирается заканчивать 11-й класс? Тогда вам, в особенности, следует обратить серьёзное внимание на эти задачи.Чтобы быть конкурентно-способными при поступлении в учебные заведения, надо уметь решать задачи такого типа.
Итак, сформулируйте для себя цель урока. (Чему сегодня на уроке я могу научиться?). Запишите в тетрадь.
1. Как в любом фильме на самом интересном месте бывает реклама, так и у нас на очереди – реклама!
Ученики за неделю получили задание: найти в газетах рекламу банков.
Сейчас зачитывают и сдают. Два ученика получают задание: внести в таблицу на доске информацию о названии банка, вклада, процентной ставке,
Минимальной сумме вклада, сроке и видах процентов. (см. Приложение-2.)
Писатель фирмы, получив гонорар 100000 рублей, решил положить эти деньги в банк. Для уменьшения риска он разделил всю сумму на две равные части и положил их в два банка: в первый – государственный банк на три года под 7% годовых (простые %) и второй – коммерческий банк на два года под 10% годовых (сложные %). Какой вклад принёс больший доход?
Поставьте себя на место писателя и сделайте предположение: какой из банков принёс больший доход? К доске приглашаются два человека: один решает задачу для случая, когда рассматриваются простые проценты, другой – сложные проценты. Все решают самостоятельно, затем проверяем, сравниваем и делаем вывод.
Ответ: банки принесли одинаковый доход.
3. Работа с таблицей.
4. Составьте задачу по таблице и решите её. Если испытываете затруднение, продолжите решение задач № 2, 3, 4 на выбор. (см. Приложение-1) .
Через несколько минут учащиеся говорят о своём выборе и результатах.
5. Прошу обратить ваше внимание на задачу № 5. (см. Приложение-1) .
Данная задача из ЕГЭ 2005 года.
Решаем задачу:
V. Итак, наш урок подходит к концу. Давайте подведём итоги:
Изменился ли цвет вашей карточки? Если да, то как?
Достигли ли вы цели, поставленной в начале урока?
VI. Выберите для себя домашнее задание.
Дорешать задачи с листочка.
Или: выполнить творческую работу:
Найти в прессе рекламу какого – либо банка и составить задачу с интересным условием. Например: я стал профессиональным футболистом, заключил контракт с клубом «Арсенал» (Лондон) и получил гонорар 500000$. В каких банках выгоднее разместить данную сумму?
Или: поинтересуйтесь у родителей: есть ли у них вклады в банке. Составьте и решите задачу.
Или: сходите в какой – нибудь банк, возьмите там информацию: какие вклады и на каких условиях предлагает банк. Составьте и решите задачу.
В Сберегательном банке России для некоторых видов вкладов принята следующая система начисления денег. За первый год нахождения внесенной суммы на счете начисляется 40% от нее. В конце года вкладчик может снять со счета эти деньги – «проценты», как их обычно называют.
Если же он этого не сделал, то они присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года 40% начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются «проценты на проценты», или, как их обычно называют, сложные проценты.
Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик через 3 года, если он положил на срочный счет в банк1000 руб. и ни разу не будет брать деньги со счета:
40% от 1000 руб. составляют 0,4 * 1000 = 400 руб., и следовательно, через год на его счете будет
1000 + 400 = 1400 (руб.)
40% от новой суммы 1400 руб. составляют 0,4 * 1400 = 560 руб., и следовательно, через 2 года на его счете будет
1400 + 560 = 1960 (руб.)
40% от новой суммы 1960 руб. составляют 0,4 * 1960 = 784 руб., и следовательно, через 3 года на его счете будет
1960 + 784 = 2744 (руб.)
Нетрудно представить себе, сколько при таком непосредственном, «лобовом » подсчёте понадобилось бы времени для нахождения суммы вклада через 10 лет. Между тем, подсчёт можно вести значительно проще.
Именно через год начальная сумма увеличится на 40%, то есть составит 140% от начальной, или, другими словами, увеличится в 1,4 раза. В следующем году новая, уже увеличенная сумма тоже увеличится на те же 40%. Следовательно, через 2 года начальная сумма увеличится в 1,4 * 1,4 = 1,4 2 раза.
Еще через один год и эта сумма увеличится в 1,4 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,4 * 1,4 2 = 1,4 3 раза. При таком способе рассуждения получаем решение нашей задачи значительно более простое:
1,4 3 * 1000 = 2,744 * 1000 = 2744 (руб.)
Решим теперь эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет p% годовых, внесённая сумма равна S рублей, а сумма, которая будет на счёте через n лет, равна S n рублей.
p% от S составляют pS/100 рублей, и через год на счёте окажется сумма S 1 =(1+p/100)S
то есть начальная сумма увеличится в 1 + p/100 раза.
За следующий год сумма S 1 увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счёте будет сумма
S 2 = (1 +p/100) S 1 = (1 +p/100) (1+p/100) S =(1 +p/100) 2 S.
S n = (1 + p/100) 3 S.
Эту формулу называют формулой сложного процентного роста, или просто формулой сложных процентов.
Задача 1. Какая сумма будет на срочном счёте вкладчика через 4 года, если банк начисляет 10% годовых и внесённая сумма равна 2 000 рублей?
Подставим в формулу значения процентной ставки p = 10, количество лет n = 4 и величину первоначального вклада S = 2000, получим:
(1 + 10/100) 4 * 2000 = 1,1 4 * 2000 = 1,4641 * 2000 = 2928,2 (рублей).
Ответ: через 4 года на счёте будет сумма 2928,2 рубля.
Методика решения задач на простой и сложный процентный рост.
Это полезно знать.
Полезно понимать разные формы выражения одного и того же изменения величины, сформулированные без процентов и с помощью процентов.
Например, в сообщениях «заработная плата бюджетникам с января повышена на 50%» и «заработная плата бюджетникам с января повышена в 1,5 раза» говорится об одном и том же. Точно так же, увеличить в 2 раза - это значит увеличить на 100%, увеличить в 3 раза - значит на 200%, уменьшить в 2 раза - значит уменьшить на 50%.
Следует запомнить:
1) Если значение а выросло на p%, то новое значение будет
2) Если значение с уменьшилось на p%, то новое значение будет 
3) Если А больше В на p%, то 
Выразим из последней формулы p:
http://pandia.ru/text/78/441/images/image009_3.png" width="33" height="25">формула даёт ответ на вопрос: на сколько процентов А больше, чем В.
4) Если В меньше А на q%, то
В=А-А; 
Если требуется ответить на вопрос: на сколько процентов В меньше, чем А, то из последней формулы, выразив q, получим
http://pandia.ru/text/78/441/images/image013_1.png" width="12" height="25 src="> N);
По условию м=d+ м=
Тогда d= d=(1- )м; d=м - м; =20%
Ответ: девочек на 20% в классе меньше.
Простой процентный рост.
Рассмотрим задачу. Пусть S - ежемесячная квартплата, пеня составляет p% квартплаты за каждый день просрочки платежа, n- число просроченных дней. Какую сумму должен заплатить человек после n дней просрочки?
Обозначим сумму, которую должен заплатить человек после n дней просрочки Sn..png" width="23" height="33 src=">.png" width="23" height="33">)S
Эта формула будет получаться и во всех иных случаях, когда некоторая величина увеличивается на постоянное число процентов за каждый фиксированный период времени. Эта формула имеет специальное название: формула простого процентного роста.
Рассмотрим задачу. Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 2% от внесённой суммы. Клиент внёс 500 рублей. Какая сумма будет на его счёте через полгода?
Решение: Для решения задачи подставим в формулу величину процентной ставки p=2, числа месяцев n=6 и первоначального вклада S=500:
S6=(1+ 500=1,12500=560(руб.)
Ответ: через полгода будет 560 рублей.
Аналогичная формула получится, если некоторая величина уменьшится за данный период времени на определённое число процентов. В этом случае 
Эта формула также называется формулой простого процентного роста. Хотя заданная величина в действительности убывает.
Сложный процентный рост.
В банках России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов , которые нельзя взять раньше, чем, например, через год) принята следующая система начисления денег. За первый год нахождения внесённой суммы на счёте начисляется p% от неё. В конце года вкладчик может снять со счёта эти деньги - «проценты».
Если же он этого не сделал, то они присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года p% начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. При этом ещё говорят, что эти проценты капитализируются. При такой системе, начисляются «проценты на проценты», или, как их обычно называют, сложные проценты.
Решим задачу в общем виде. Пусть банк начисляет p% годовых, внесённая сумма S рублей, а сумма, которая будет на счёте через n лет, равна Sn рублей.
P% от S составляет ( рублей и через год на счёте окажется сумма S1=S+ S=(1+
Через два года на счёте будет сумма
S2=S1+ S1=(1+ )S1=(1+ )(1+ )S=(1+ )2S
Другими словами, справедливо равенство
Эту формулу называют формулой сложного процентного роста или просто формулой сложных процентов.
Решим задачу.
Какая сумма будет на срочном вкладе вкладчика через 4 года, если банк начисляет 10% годовых и внесенная сумма равна 5000 рублей?
Подставим формулу Sn=(1+ )nS
Значение процентной ставки p=10, количество лет п=4 и величину первоначального вклада S=5000 рублей.
S4=(1+ )45000=1,145000=1,46415000=7320,5(руб.)
Ответ: через 4 года на счёте будет 7320,5 рублей.
Полученная выше формула применима, естественно, не только к задачам о росте вклада, но и к любой ситуации, когда рассматривается величина, которая за каждый заданный промежуток времени увеличивается на определённое число процентов, считая от предыдущего ее значения. При уменьшении величины на определённое число процентов, считая от предыдущего ее значения, в формуле, как и для простого роста, проявляется знак минус.
Рассмотрим задачу.
Численность населения в городе Т. В течение двух лет возрастала на 2% ежегодно. В результате число жителей возросло на 11312 человек. Сколько жителей было в городе Т. Первоначально?
Пусть х человек (хN) было первоначально. Тогда согласно условию задачи через два года количество жителей составило х(1+ )2 или (х+11312) человек. Получим уравнение:
х(1+ )2=х+11312
х1,022= х+11312
х(1,022-1)= 11312
х(1,02-1)(1,02+1)=11312
Ответ: 280000 жителей было в городе Т. Первоначально.
Список литературы
1. , и др. Сборник задач по математике для поступающих в вузы под редакцией М.: «ОНИКС 21 век», «Мир и Образоване», «Альянс-В», 2003г.
2. , . Задачи с процентами. Решаем с легкостью. Учебно-методическое пособие, 2008г. Риц «Школа».
Учитель математики Гимназии №27 Вахитовского района г. Казани
Учитель математики СОШ № 000 Приволжского района г. Казани
В Сберегательном банке России для некоторых видов вкладов принята следующая система начисления денег. За первый год нахождения внесенной суммы на счете начисляется 40% от нее. В конце года вкладчик может снять со счета эти деньги – «проценты», как их обычно называют.
Если же он этого не сделал, то они присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года 40% начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются «проценты на проценты», или, как их обычно называют, сложные проценты.
Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик через 3 года, если он положил на срочный счет в банк1000 руб. и ни разу не будет брать деньги со счета:
40% от 1000 руб. составляют 0,4 * 1000 = 400 руб., и следовательно, через год на его счете будет
1000 + 400 = 1400 (руб.)
40% от новой суммы 1400 руб. составляют 0,4 * 1400 = 560 руб., и следовательно, через 2 года на его счете будет
1400 + 560 = 1960 (руб.)
40% от новой суммы 1960 руб. составляют 0,4 * 1960 = 784 руб., и следовательно, через 3 года на его счете будет
1960 + 784 = 2744 (руб.)
Нетрудно представить себе, сколько при таком непосредственном, «лобовом » подсчёте понадобилось бы времени для нахождения суммы вклада через 10 лет. Между тем, подсчёт можно вести значительно проще.
Именно через год начальная сумма увеличится на 40%, то есть составит 140% от начальной, или, другими словами, увеличится в 1,4 раза. В следующем году новая, уже увеличенная сумма тоже увеличится на те же 40%. Следовательно, через 2 года начальная сумма увеличится в 1,4 * 1,4 = 1,4 2 раза.
Еще через один год и эта сумма увеличится в 1,4 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,4 * 1,4 2 = 1,4 3 раза. При таком способе рассуждения получаем решение нашей задачи значительно более простое:
1,4 3 * 1000 = 2,744 * 1000 = 2744 (руб.)
Решим теперь эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет p% годовых, внесённая сумма равна S рублей, а сумма, которая будет на счёте через n лет, равна S n рублей.
p% от S составляют pS/100 рублей, и через год на счёте окажется сумма S 1 =(1+p/100)S
то есть начальная сумма увеличится в 1 + p/100 раза.
За следующий год сумма S 1 увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счёте будет сумма
S 2 = (1 +p/100) S 1 = (1 +p/100) (1+p/100) S =(1 +p/100) 2 S.
S n = (1 + p/100) 3 S.
Эту формулу называют формулой сложного процентного роста, или просто формулой сложных процентов.
Задача 1. Какая сумма будет на срочном счёте вкладчика через 4 года, если банк начисляет 10% годовых и внесённая сумма равна 2 000 рублей?
Подставим в формулу значения процентной ставки p = 10, количество лет n = 4 и величину первоначального вклада S = 2000, получим:
(1 + 10/100) 4 * 2000 = 1,1 4 * 2000 = 1,4641 * 2000 = 2928,2 (рублей).
Ответ: через 4 года на счёте будет сумма 2928,2 рубля.
Методика решения задач на простой и сложный процентный рост.
Это полезно знать.
Полезно понимать разные формы выражения одного и того же изменения величины, сформулированные без процентов и с помощью процентов.
Например, в сообщениях «заработная плата бюджетникам с января повышена на 50%» и «заработная плата бюджетникам с января повышена в 1,5 раза» говорится об одном и том же. Точно так же, увеличить в 2 раза - это значит увеличить на 100%, увеличить в 3 раза- значит на 200%, уменьшить в 2 раза- значит уменьшить на 50%.
Следует запомнить:
Выразим из последней формулы p:
Формула даёт ответ на вопрос: на сколько процентов А больше, чем В.
Если В меньше А на q%, то
В=А- А;
Если требуется ответить на вопрос: на сколько процентов В меньше, чем А, то из последней формулы, выразив q, получим
Внимательный читатель заметил, что если А больше, чем В на p%, то это не означает , что В меньше А на p%. Убедимся в этом высказывании ещё раз, решив следующую задачу: В классе мальчиков на 25% больше, чем девочек. На сколько процентов девочек в этом классе меньше, чем мальчиков?
Читая данную задачу можно сразу дать ответ: на 25%. Но это не так.
Пусть м- количество мальчиков, d- количество девочек; (м, d N);
По условию м=d+ м=
Тогда d= d=(1- )м; d=м- м; =20%
Ответ: девочек на 20% в классе меньше.
Простой процентный рост.
Рассмотрим задачу. Пусть S- ежемесячная квартплата, пеня составляет p% квартплаты за каждый день просрочки платежа, n- число просроченных дней. Какую сумму должен заплатить человек после n дней просрочки?
Обозначим сумму, которую должен заплатить человек после n дней просрочки Sn. За n дней просрочки пеня составит (pn)% от S или S, а всего придется заплатить S+ S или, что то же самое, (1+ S
Получим S n =(1+ )S
Эта формула будет получаться и во всех иных случаях, когда некоторая величина увеличивается на постоянное число процентов за каждый фиксированный период времени. Эта формула имеет специальное название: формула простого процентного роста.
Рассмотрим задачу. Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 2% от внесённой суммы. Клиент внёс 500 рублей. Какая сумма будет на его счёте через полгода?
Решение: Для решения задачи подставим в формулу величину процентной ставки p=2, числа месяцев n=6 и первоначального вклада S=500:
S 6 =(1+ 500=1,12500=560(руб.)
Ответ: через полгода будет 560 рублей.
Аналогичная
формула получится, если некоторая
величина уменьшится за данный период
времени на определённое число процентов.
В этом случае 
Эта формула также называется формулой простого процентного роста. Хотя заданная величина в действительности убывает.
Сложный процентный рост.
В банках России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять раньше, чем, например, через год) принята следующая система начисления денег. За первый год нахождения внесённой суммы на счёте начисляется p% от неё. В конце года вкладчик может снять со счёта эти деньги- «проценты».
Если же он этого не сделал, то они присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года p% начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. При этом ещё говорят, что эти проценты капитализируются. При такой системе, начисляются «проценты на проценты», или, как их обычно называют, сложные проценты.
Решим задачу в общем виде. Пусть банк начисляет p% годовых, внесённая сумма S рублей, а сумма, которая будет на счёте через n лет, равна Sn рублей.
P% от S составляет ( рублей и через год на счёте окажется сумма S 1 =S+ S=(1+
Через два года на счёте будет сумма
S 2 =S 1 + S 1 =(1+ )S 1 =(1+ )(1+ )S=(1+ ) 2 S
Другими словами, справедливо равенство
Эту формулу называют формулой сложного процентного роста или просто формулой сложных процентов.
Решим задачу.
Какая сумма будет на срочном вкладе вкладчика через 4 года, если банк начисляет 10% годовых и внесенная сумма равна 5000 рублей?
Подставим формулу S n =(1+ ) n S
Значение процентной ставки p=10, количество лет п=4 и величину первоначального вклада S=5000 рублей.
S 4 =(1+ ) 4 5000=1,1 4 5000=1,46415000=7320,5(руб.)
Ответ: через 4 года на счёте будет 7320,5 рублей.
Полученная выше формула применима, естественно, не только к задачам о росте вклада, но и к любой ситуации, когда рассматривается величина, которая за каждый заданный промежуток времени увеличивается на определённое число процентов, считая от предыдущего ее значения. При уменьшении величины на определённое число процентов, считая от предыдущего ее значения, в формуле, как и для простого роста, проявляется знак минус.
Рассмотрим задачу.
Численность населения в городе Т. В течение двух лет возрастала на 2% ежегодно. В результате число жителей возросло на 11312 человек. Сколько жителей было в городе Т. Первоначально?
Пусть х человек (хN) было первоначально. Тогда согласно условию задачи через два года количество жителей составило х(1+ ) 2 или (х+11312) человек. Получим уравнение:
х(1+ ) 2 =х+11312
х1,02 2 = х+11312
х(1,02 2 -1)= 11312
х(1,02-1)(1,02+1)=11312
Ответ: 280000 жителей было в городе Т. Первоначально.
Список литературы
Егерев В.К., Зайцев В.В., Кордемский Б.А. и др. Сборник задач по математике для поступающих в вузы под редакцией Сканави М.И. М.: «ОНИКС 21 век», «Мир и Образоване», «Альянс-В», 2003г.
2. Г.Г.Гильмиева, Р.Г.Хамитов. Задачи с процентами. Решаем с легкостью. Учебно-методическое пособие, 2008г. Риц «Школа». и сложные . Простые ферменты - это простые ... методика проведения электрофореза на колонке... необходимо знать : 1) ... готовят меньший процентный гомогенат). По... не решенной задачей . Серьезным... полезными при...
Учителю необходимо знать , как... этого служит закладка и указка - полезные пособия на ... , 100-процентным ). Необходимость... упражнениям, к решению орфографических задач на основе простых и сложных правил, к... методику предложила О. П. Лемени-Македон (Ростов -на - ...
... задачи с физическим содержанием; знают схему решения задачи на компьютере и без него; умеют ставить простейшие исследовательские задачи ...
Деятельность на уроке, использованных в опыте, является постановка и решение проблемы. Проблема - сложная познавательная задача , решение ... молекул. До XYIII в. Это сложное вещество считалось простым . Это вещество может самостоятельно передвигаться...
