Готовимся к ЕГЭ «Простые и сложные проценты

Навигация:

• Математика

  Задание 2.

  Задание:

  Ивану Кузьмичу начислена заработная плата 20 000 рублей. Из этой суммы вычитается налог на доходы физических лиц в размере 13%. Сколько рублей он получит после уплаты подоходного налога?

  Решение:

  100% это 20 000 рублей.

  Считаем, сколько рублей составляет один процент:
  20 000: 100 = 200

  Вычисляем сумму налога:

  Вычитаем налог из зарплаты:

  20 000 – 2600 = 17 400 (рублей)

  Ответ: 17 400.

  Источник: Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 2016, базовый уровень.

  Задание 4

  Задание:

  В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов. Только в двух билетах встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете будет вопрос о грибах.

  Решение:

  Из 25 билетов 23 не содержат вопроса о грибах, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос о грибах, равна

  2 / 25 = 2*4 / 25*4 = 8 / 100 = 0,08

  Ответ: 0,08.

  Источник: Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 2016, профильный уровень.

• Русский язык

  Задание 9

  Задание:

  Определите ряд, в котором в обоих словах пропущена одна и та же буква. Выпишите эти слова, вставив пропущенную букву.

  бе..цельный, ра..кол

  не..глядный, з..ходил

  пр..обрёл, пр..белый

  раз..скать, на..скось

  пре..стать, о..бойный

  Решение:

  Приведём верное написание:

  бесцельный, раскол

  неоглядный, заходил

  приобрёл, пребелый

  разыскать, наискось

  предстать, отбойный.

  Ответ: бесцельный, раскол.

  Источник: Демонстрационный вариант ЕГЭ по русскому языку 2016.

  Задание 12

  Задание:

  Определите предложение, в котором НЕ со словом пишется СЛИТНО. Раскройте скобки и выпишите это слово.

  Живопись И.К. Айвазовского получила признание зрителей (НЕ)ОБЫКНОВЕННО рано: уже в юности за этюд «Воздух над морем» художнику была присуждена серебряная медаль.

  Поэзия А.А. Ахматовой возвращает вещам первозданный смысл и останавливает внимание на том, что мы в обычном состоянии (НЕ)ОЦЕНИВАЕМ.

  (НЕ)ПРЕКРАЩАВШИЙСЯ всю ночь сильный восточный ветер поднял большие волны.

  С тёмного неба, из лохматых туч, в смятении давящих друг друга, (НЕ)ПЕРЕСТАВАЯ, раздаются раскаты грома.

  Решение:

  Приведём верное написание.

  Живопись И. К. Айвазовского получила признание зрителей НЕОБЫКНОВЕННО (можно заменить синонимом «очень») рано: уже в юности за этюд «Воздух над морем» художнику была присуждена серебряная медаль.

  Поэзия А. А. Ахматовой возвращает вещам первозданный смысл и останавливает внимание на том, что мы в обычном состоянии НЕ ОЦЕНИВАЕМ (НЕ с глаголом).

  НЕ ПРЕКРАЩАВШИЙСЯ (в составе причастного оборота, поэтому раздельно) всю ночь сильный восточный ветер поднял большие волны.

  С тёмного неба, из лохматых туч, в смятении давящих друг друга, НЕ ПЕРЕСТАВАЯ (НЕ с деепричастием), раздаются раскаты грома.

  Ответ: необыкновенно.

  Источник: Демонстрационный вариант ЕГЭ по русскому языку2016 .

• Обществознание

  Задание 5

  Задание:

  Установите соответствие между отличительными признаками и типами обществ, которые они иллюстрируют: к каждой позиции, данной в первом столбце, подберите соответствующую позицию из второго столбца.

  Запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

  А	Б	В	Г	Д

  Решение:

  Доиндустриальное (аграрное/традиционное):

  1. основа производства - земля, сельское хозяйство, труд;

  2. преобладание ручного труда;

  3. приспособление к окружающей среде, слияние с природой;

  4. экстенсивный путь развития.

  Индустриальное:

  1. промышленность;

  2. крупная машинная промышленность;

  4. интенсивный путь развития.

  Постиндустриальное (информационное):

  1. знания, информация, высокие технологии;

  2. компьютеризация, широкое применение машинной техники;

  3. преобразование окружающей среды;

  4. интенсивный путь развития.

  Ответ: 32311.

  Задание 13

  Задание:

  Выберите верные суждения о функциях политической партии в демократическом обществе и запишите цифры, под которыми они указаны.

  1) Политические партии участвуют в организации, подготовке и проведении парламентских выборов.

  2) Политические партии участвуют в судопроизводстве.

  3) Политические партии мобилизуют граждан на осуществление политических действий.

  4) Политические партии участвуют в формировании правоохранительных органов.

  5) Политические партии проводят организационные мероприятия среди партийного актива.

  Решение:

  Политическая па́ртия - особая общественная организация, непосредственно ставящая перед собой задачи овладеть политической властью в государстве или принять в ней участие через своих представителей в органах государственной власти и местного самоуправления.

  Ответ: 135.

  Источник: Демонстрационный вариант ЕГЭ по обществознанию 2016.

• История

  Задание 3

  Задание:

  Ниже приведён список терминов. Все они, за исключением одного, относятся к событиям (явлениям) XIX в.

  1) вольные хлебопашцы;

  2) министерства;

  4) третьеиюньский переворот;

  5) мировые судьи;

  6) военные поселения.

  Найдите и запишите порядковый номер термина, относящегося к другому историческому периоду.

  Решение:

  Третьеиюньский переворот относится к XX веку.

  Ответ: 4.

  Задание 14

  Задание:

  Напишите название города, обозначенного на схеме цифрой «1».

  Решение:

  Цифрой «1» на карте обозначена столица Владимиро-Суздальского княжества г. Владимир.

  Ответ: Владимир.

  Источник: Демонстрационный вариант ЕГЭ по истории 2016.

• Биология

  Задание 8

  Задание:

  Сохранение признаков у гетерозисных гибридов растений возможно только при:

  1) половом размножении;

  2) вегетативном размножении;

  3) отдалённой гибридизации;

  4) использовании метода полиплоидии.

  Решение:

  Сохранение признаков у гетерозисных гибридов растений возможно только при вегетативном размножении.

  20% имеющихся средств клиентов банк собирается вложить в проект A на один год. Остальные 80% — в проект B . Исходя из того как сложатся обстоятельства, проект А может принести прибыль в размере от 27% до 32% годовых, а проект B — от 37% до 42% годовых. Банк должен вернуть деньги клиентам в конце года с выплатой процентов по фиксированной ставке. Уровень процентной ставки должен быть в пределах от 15% до 20% годовых. Найдите наибольшую и наименьшую чистую прибыль, которую может получить банк, от суммы вложений в проекты A и B в процентах годовых.

  Показать решение

  Решение

  Пусть N — сумма вложений. В проект A может быть вложено 0,2N , а в проект B — 0,8N . Тогда от участия в проекте A банк получит средств от 1,27 \cdot (0,2N) = 0,254N до 1,32 \cdot (0,2N) = 0,264N , а от участия в проекте B — от 1,37 \cdot (0,8N) =1,096N до 1,42 \cdot (0,8N) =1,136N. Суммарно банк может получить от 1,35N до 1,4N . То есть доходы P банка 1,35N \leq P \leq 1,4N . Пусть процентная ставка по вкладам, начисляемая банком, равна a . Тогда в конце года банк должен выплатить клиентам V=N\left (1+\frac{a}{100} \right) . Для выполнения условия задачи выплаты клиентам составят не менее 15% и не более 20% годовых от суммарных вложений в проекты A и B , то есть 1,15N \leq V \leq 1,2N .

  Чистая прибыль банка равна разности доходов и выплат клиентам, то есть P — V , а чистая прибыль в процентах от вложений равна

  \frac{P-V}{N} \cdot 100 % . Мы получили, что 1,35 \leq \frac{P}{N} \leq 1,4; 1,15 \leq \frac{V}{N} \leq 1,2; -1,2 \leq -\frac{V}{N} \leq -1,15.

  Сложим неравенства 1,35+(-1,2) \leq \frac{P}{N}+\left (-\frac{V}{N} \right) \leq 1,4+(-1,15) .

  0,15 \leq \frac{P-V}{N} \leq 0,25, \: 15% \leq \frac{P-V}{N} \cdot 100% \leq 25% .

  Рассмотрим задачи, связанные с банковскими операциями.

  31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

  Решение.

  Пусть сумма кредита равна a , ежегодный платеж равен x рублей, а годовые составляют k %. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент m = 1 + 0,01 k . После первой выплаты сумма долга составит: a 1 = am − x . После второй выплаты сумма долга составит:

  После третьей выплаты сумма оставшегося долга:

  По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому

  Откуда. При a = 9 930 000 и k = 10, получаем: m = 1,1 и

  Ответ: 3 993 000 рублей.

  31 декабря 2014 года Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а %), затем Пётр переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 392 000 рублей, то за 2 года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?

  Решение. Пусть - сумма кредита. Обозначим ежегодные платежи и соответственно. Сумма долга каждый год увеличивается на то есть сумма долга умножается на коэффициент После первой выплаты сумма долга станет равной после второй выплаты: после третье выплаты: после четвёртой выплаты: Причём долг будет погашен полностью, получаем, то есть Аналогично получаем уравнение для случая, когда выплаты совершаются платежами размером : Имеем систему уравнений:

  Подставим выражение для во второе уравнение: Преобразуем это уравнение:

  Подставляя числовые значения получаем:

  Отрицательные корни не подходят по условию задачи, значит, откуда то есть Пётр взял деньги в банке под 20%.

  Ответ: 20%.

  Примеры задач для самостоятельного решения.

  1. Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63%. Найдите месячную процентную ставку.

  2. Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% - в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект - от 22 до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.

  3. В банк был положен вклад под банковский процент 10%. Через год хозяин вклада снял со счета 2000 рублей, а еще через год снова внес 2000 рублей. Однако, вследствие этих действий через три года со времени первоначального вложения вклада он получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы получил в итоге вкладчик?

  4. Семья Ивановых ежемесячно вносит плату за коммунальные услуги, телефон и электричество. Если бы коммунальные услуги подорожали на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 35%. Если бы электричество подорожало на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 10%. Какой процент от общей суммы платежа приходится на телефон?

  5. Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?

  6. 1 марта 2010 года Аркадий взял в банке кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 1 марта каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Аркадий переводит в банк платеж. Весь долг Аркадий выплатил за 3 платежа, причем второй платеж оказался в два раза больше первого, а третий – в три раза больше первого. Сколько рублей взял в кредит Аркадий, если за три года он выплатил банку 2 395 800 рублей?

  7. Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу после начисления процентов Миша снял со своего счета 5000 рублей, а еще через год снова внес 5000 рублей. Маша, наоборот, через год доложила на свой счет 5000 рублей, а еще через год сразу после начисления процентов сняла со счета 5000 рублей. Кто через три года со времени первоначального вложения получит большую сумму и на сколько рублей?

  8. В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составила х % годовых, тогда как в январе 2001 года - у % годовых, причем известно, что x + y = 30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение х при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.

  9. В конце августа 2001 года администрация Приморского края располагала некой суммой денег, которую предполагалось направить на пополнение нефтяных запасов края. Надеясь на изменение конъюнктуры рынка, руководство края, отсрочив закупку нефти, положила эту сумму 1 сентября 2001 года в банк. Далее известно, что сумма вклада в банке увеличивалась первого числа каждого месяца на 26% по отношению к сумме на первое число предыдущего месяца, а цена барреля сырой нефти убывала на 10% ежемесячно. На сколько процентов больше (от первоначального объема закупок) руководство края смогло пополнить нефтяные запасы края, сняв 1 ноября 2001 года всю сумму, полученную из банка вместе с процентами, и направив ее на закупку нефти?

  Занятие вновь посвящено 17 задаче - сложной текстовой задаче, мы рассмотрим различные варианты нахождения банковского процента.

  Конспект занятия "Задача 17. Текстовые задачи."

  Задача 17. Задачи на проценты.

  В одной стра­не в об­ра­ще­нии на­хо­ди­лось 1 000 000 дол­ла­ров, 20% из ко­то­рых были фаль­ши­вы­ми. Некая кри­ми­наль­ная струк­ту­ра стала вво­зить в стра­ну по 100000 дол­ла­ров в месяц, 10% из ко­то­рых были фаль­ши­вы­ми. В это же время дру­гая струк­ту­ра стала вы­во­зить из стра­ны 50 000 дол­ла­ров еже­ме­сяч­но, из ко­то­рых 30% ока­за­лись фаль­ши­вы­ми. Через сколь­ко ме­ся­цев со­дер­жа­ние фаль­ши­вых дол­ла­ров в стра­не со­ста­вит 5%?

  Банк пла­ни­ру­ет вло­жить на 1 год 30% име­ю­щих­ся у него средств кли­ен­тов в акции зо­ло­то­до­бы­ва­ю­ще­го ком­би­на­та, а осталь­ные 70% - в стро­и­тель­ство тор­го­во­го ком­плек­са. В за­ви­си­мо­сти от об­сто­я­тельств пер­вый про­ект может при­не­сти банку при­быль в раз­ме­ре от 32% до 37% го­до­вых, а вто­рой про­ект - от 22 до 27% го­до­вых. В конце года банк обя­зан вер­нуть день­ги кли­ен­там и вы­пла­тить им про­цен­ты по за­ра­нее уста­нов­лен­ной став­ке, уро­вень ко­то­рой дол­жен на­хо­дить­ся в пре­де­лах от 10% до 20% го­до­вых. Опре­де­ли­те, какую наи­мень­шую и наи­боль­шую чи­стую при­быль в про­цен­тах го­до­вых от сум­мар­ных вло­же­ний в по­куп­ку акций и стро­и­тель­ство тор­го­во­го ком­плек­са может при этом по­лу­чить банк.

  В банк был по­ло­жен вклад под бан­ков­ский про­цент 10%. Через год хо­зя­ин вкла­да снял со счета 2000 руб­лей, а еще через год снова внес 2000 руб­лей. Од­на­ко, вслед­ствие этих дей­ствий через три года со вре­ме­ни пер­во­на­чаль­но­го вло­же­ния вкла­да он по­лу­чил сумму мень­ше за­пла­ни­ро­ван­ной (если бы не было про­ме­жу­точ­ных опе­ра­ций со вкла­дом). На сколь­ко руб­лей мень­ше за­пла­ни­ро­ван­ной суммы по­лу­чил в итоге вклад­чик?

  Мо­ло­дой семье на по­куп­ку квар­ти­ры банк вы­да­ет кре­дит под 20% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: ровно через год после вы­да­чи кре­ди­та банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 20%), затем эта семья в те­че­ние сле­ду­ю­ще­го года пе­ре­во­дит в банк опре­де­лен­ную (фик­си­ро­ван­ную) сумму еже­год­но­го пла­те­жа. Семья Ива­но­вых пла­ни­ру­ет по­га­шать кре­дит рав­ны­ми пла­те­жа­ми в те­че­ние 4 лет. Какую сумму может предо­ста­вить им банк, если еже­год­но Ива­но­вы имеют воз­мож­ность вы­пла­чи­вать по кре­ди­ту 810 000 руб­лей?

  Курс дол­ла­ра в те­че­ние двух ме­ся­цев уве­ли­чил­ся на одно и то же число про­цен­тов еже­ме­сяч­но, но не более, чем в 1,5 раза. За сумму, вы­ру­чен­ную от про­да­жи в на­ча­ле пер­во­го ме­ся­ца од­но­го дол­ла­ра, к концу вто­ро­го ме­ся­ца можно было ку­пить на 9 цен­тов мень­ше, чем в конце пер­во­го ме­ся­ца. На сколь­ко про­цен­тов умень­шил­ся курс рубля за два ме­ся­ца?

  В двух бан­ках в конце года на каж­дый счет на­чис­ля­ет­ся при­быль: в пер­вом банке - 60% к те­ку­щей сумме на счете, во вто­ром - 40% к те­ку­щей сумме на счете. Вклад­чик в на­ча­ле года часть име­ю­щих­ся у него денег по­ло­жил в пер­вый банк, а осталь­ные день­ги – во вто­рой банк, с таким рас­че­том, чтобы через два года сум­мар­ное ко­ли­че­ство денег на обоих сче­тах уве­ли­чи­лось на 150%. Сколь­ко про­цен­тов денег вклад­чик по­ло­жил в пер­вый банк?

  В на­ча­ле года 5/6 не­ко­то­рой суммы денег вло­жи­ли в банк А, а то, что оста­лось - в банк Б. Если вклад на­хо­дит­ся в банке с на­ча­ла года, то к концу года он воз­рас­та­ет на опре­делённый про­цент, ве­ли­чи­на ко­то­ро­го за­ви­сит от банка. Из­вест­но, что к концу пер­во­го года сумма вкла­дов стала равна 670 у.е., к концу сле­ду­ю­ще­го - 749 у.е. Если пер­во­на­чаль­но 5/6 суммы было бы вло­же­но в банк Б, а остав­шу­ю­ся вло­жи­ли бы в банк А, то по ис­те­че­нии од­но­го года сумма вы­рос­ла бы до 710 у.е. Опре­де­ли­те сумму вкла­дов по ис­те­че­нии вто­ро­го года в этом слу­чае.

  Банк под опре­де­лен­ный про­цент при­нял не­ко­то­рую сумму. Через год чет­верть на­коп­лен­ной суммы была снята со счета. Банк уве­ли­чил про­цент го­до­вых на 40 про­цент­ных пунк­тов (то есть уве­ли­чил став­ку а% до (а + 40)%). К концу сле­ду­ю­ще­го года на­коп­лен­ная сумма в 1,44 раза пре­вы­си­ла пер­во­на­чаль­ный вклад. Каков про­цент новых го­до­вых?

  В ян­ва­ре 2000 года став­ка по де­по­зи­там в банке «Воз­рож­де­ние» со­ста­ви­ла х % го­до­вых, тогда как в ян­ва­ре 2001 года - у % го­до­вых, при­чем из­вест­но, что x + y = 30%. В ян­ва­ре 2000 года вклад­чик от­крыл счет в банке «Воз­рож­де­ние», по­ло­жив на него не­ко­то­рую сумму. В ян­ва­ре 2001 года, по про­ше­ствии года с того мо­мен­та, вклад­чик снял со счета пятую часть этой суммы. Ука­жи­те зна­че­ние х при ко­то­ром сумма на счету вклад­чи­ка в ян­ва­ре 2002 года ста­нет мак­си­маль­но воз­мож­ной.

  Алек­сей взял кре­дит в банке на срок 12 ме­ся­цев. По до­го­во­ру Алек­сей дол­жен вер­нуть кре­дит еже­ме­сяч­ны­ми пла­те­жа­ми. В конце каж­до­го ме­ся­ца к остав­шей­ся сумме долга до­бав­ля­ет­ся r % этой суммы и своим еже­ме­сяч­ным пла­те­жом Алек­сей по­га­ша­ет эти до­бав­лен­ные про­цен­ты и умень­ша­ет сумму долга. Еже­ме­сяч­ные пла­те­жи под­би­ра­ют­ся так, чтобы долг умень­шал­ся на одну и ту же ве­ли­чи­ну каж­дый месяц (на прак­ти­ке такая схема на­зы­ва­ет­ся «схе­мой с диф­фе­рен­ци­ро­ван­ны­ми пла­те­жа­ми»). Из­вест­но, что общая сумма, вы­пла­чен­ная Алек­се­ем банку за весь срок кре­ди­то­ва­ния, ока­за­лась на 13 % боль­ше, чем сумма, взя­тая им в кре­дит. Най­ди­те r.

  Два бро­ке­ра ку­пи­ли акции од­но­го до­сто­ин­ства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции воз­рос­ла, они про­да­ли часть акций на сумму 3927 р. Пер­вый бро­кер про­дал 75% своих акций, а вто­рой 80% своих. При этом сумма от про­да­жи акций, по­лу­чен­ная вто­рым бро­ке­ром, на 140% пре­вы­си­ла сумму, по­лу­чен­ную пер­вым бро­ке­ром. На сколь­ко про­цен­тов воз­рос­ла цена одной акции?

  31 де­каб­ря 2014 года Пётр взял в банке не­ко­то­рую сумму в кре­дит под не­ко­то­рый про­цент го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая - 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на а%), затем Пётр пе­ре­во­дит оче­ред­ной транш. Если он будет пла­тить каж­дый год по 2 592 000 руб­лей, то вы­пла­тит долг за 4 года. Если по 4 392 000 руб­лей, то за 2 года. Под какой про­цент Пётр взял день­ги в банке?

  31 де­каб­ря 2014 года Ти­мо­фей взял в банке 7 007 000 руб­лей в кре­дит под 20% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 20%), затем Ти­мо­фей пе­ре­во­дит в банк платёж. Весь долг Ти­мо­фей вы­пла­тил за 3 рав­ных пла­те­жа. На сколь­ко руб­лей мень­ше он бы отдал банку, если бы смог вы­пла­тить долг за 2 рав­ных пла­те­жа?

  31 де­каб­ря 2014 года Са­ве­лий взял в банке 7 378 000 руб­лей в кре­дит под 12,5% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 12,5%), затем Са­ве­лий Пе­ре­во­дит в банк платёж. Весь долг Са­ве­лий вы­пла­тил за 3 рав­ных пла­те­жа. На сколь­ко руб­лей мень­ше он бы отдал банку, если бы смог вы­пла­тить долг за 2 рав­ных пла­те­жа?

  Име­ет­ся три па­ке­та акций. Общее сум­мар­ное ко­ли­че­ство акций пер­вых двух па­ке­тов сов­па­да­ет с общим ко­ли­че­ством акций в тре­тьем па­ке­те. Пер­вый пакет в 4 раза де­шев­ле вто­ро­го, а сум­мар­ная сто­и­мость пер­во­го и вто­ро­го па­ке­тов сов­па­да­ет со сто­и­мо­стью тре­тье­го па­ке­та. Одна акция из вто­ро­го па­ке­та до­ро­же одной акции из из пер­во­го па­ке­та на ве­ли­чи­ну, за­клю­чен­ную в пре­де­лах от 16 тыс. руб. до 20 тыс. руб., а цена акции из тре­тье­го па­ке­та не мень­ше 42 тыс. руб. и не боль­ше 60 тыс. руб. Опре­де­ли­те, какой наи­мень­ший и наи­боль­ший про­цент от об­ще­го ко­ли­че­ства акций может со­дер­жать­ся в пер­вом па­ке­те.

  Из­вест­но, что вклад, на­хо­дя­щий­ся в банке с на­ча­ла года, воз­рас­та­ет к концу года на опре­де­лен­ный про­цент, свой для каж­до­го банка. В на­ча­ле года Сте­пан по­ло­жил 60% не­ко­то­рой суммы денег в пер­вый банк, а остав­шу­ю­ся часть суммы во вто­рой банк. К концу года сумма этих вкла­дов стала равна 590 000 руб., а к концу сле­ду­ю­ще­го года 701 000 руб. Если бы Сте­пан пер­во­на­чаль­но по­ло­жил 60% своей суммы во вто­рой банк, а остав­шу­ю­ся часть в пер­вый, то по ис­те­че­нии од­но­го года сумма вкла­дов стала бы рав­ной 610 000 руб. Ка­ко­ва была бы сумма вкла­дов в этом слу­чае к концу вто­ро­го года?

  Задания по теме для самостоятельного решения

  Задание 1

  (2 балла)

  В 2010 году в городском квартале проживало 50000 человек. В 2011 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 15%, а в 2012 году — на 10% по сравнению с 2011 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2012 году?

  Задание 2

  (3 балла)

  Алек-сей взял кре-дит в банке на срок 17 ме-ся-цев. По до-го-во-ру Алек-сей дол-жен вер-нуть кре-дит еже-ме-сяч-ны-ми пла-те-жа-ми. В конце каж-до-го ме-ся-ца к остав-шей-ся сумме долга до-бав-ля-ет-ся r % этой суммы и своим еже-ме-сяч-ным пла-те-жом Алек-сей по-га-ша-ет эти до-бав-лен-ные про-цен-ты и умень-ша-ет сумму долга. Еже-ме-сяч-ные пла-те-жи под-би-ра-ют-ся так, чтобы долг умень-шал-ся на одну и ту же ве-ли-чи-ну каж-дый месяц (на прак-ти-ке такая схема на-зы-ва-ет-ся «схе-мой с диф-фе-рен-ци-ро-ван-ны-ми пла-те-жа-ми»). Из-вест-но, что общая сумма, вы-пла-чен-ная Алек-се-ем банку за весь срок кре-ди-то-ва-ния, ока-за-лась на 27 % боль-ше, чем сумма, взя-тая им в кре-дит. Най-ди-те r.

  Задание 3

  (3 балла)

  Алек-сей при-обрёл цен-ную бу-ма-гу за 8 тыс. руб-лей. Цена бу-ма-ги каж-дый год воз-рас-та-ет на 1 тыс. руб-лей. В любой мо-мент Алек-сей может про-дать бу-ма-гу и по-ло-жить вы-ру-чен-ные день-ги на бан-ков-ский счёт. Каж-дый год сумма на счёте будет уве-ли-чи-вать-ся на 8%. В те-че-ние ка-ко-го года после по-куп-ки Алек-сей дол-жен про-дать цен-ную бу-ма-гу, чтобы через два-дцать пять лет после по-куп-ки этой бу-ма-ги сумма на бан-ков-ском счёте была наи-боль-шей? (ответ записать числом)

  В этой видеолекции показаны основные подходы к решению нового типа задач из второй части ЕГЭ по математике - задач с "экономическим содержанием ", это немного усложненный вариант задач на проценты .

  Посмотрев видеолекцию, вы научитесь решать задачи этого типа.

  Видеолекция содержит всю необходимую о теорию решения задач на проценты и пошаговое решение следующих задач:

  1.Цена товара a руб. была повышена на 25%. На сколько процентов надо теперь ее снизить, чтобы получить первоначальную цену товара.

  2.Число a составляет 80% числа b, а число c составляет 140% числа b. Найдите числа a, b и c, если известно, что c больше a на 72.

  3. Цена первого товара поднялась на 40%, а потом еще на 25%. Цена второго товара поднялась на 30%, после чего оказалось, что цена первого товара на 40 процентов выше второго. На сколько процентов первоначальная цена первого товара была больше первоначальной цены второго товара?

  4. Популярность продукта A за 2002 год выросла на 10%, в следующем году она снизилась на 20%, а в конце 2004 года сравнялась с популярностью продукта B. Популярность продукта B в 2002 году выросла на 20% , затем на протяжении одного года не изменялась, а за 2004 год снизилась на 10% . Как изменилась популярность продукта A за 2004 год, если в начале 2002 года она составляла 3/4 от популярности продукта B.

  5. В магазине одежды проводилась распродажа. Костюмы продавались со скидкой 20%, плащи - со скидкой 40%. Покупатель купил костюм и плащ за 9180 рублей в сумме, заплатив на 32% меньше их суммарной первоначальной цены. Найдите первоначальные цены костюма и плаща.

  6. В банк положен вклад под определенный процент годовых. Через год вкладчик снял ¼ получившейся суммы. Банк увеличил процент годовых в два раза по сравнению с предыдущим годом, и еще через год получившаяся сумма превысила первоначальный вклад на 164%. Каков новый процент годовых у банка?

  7. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк ¾ от всей суммы, которую он должен был банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

  8. Банк начисляет на вклады p процентов (p<25%) один раз в год. Вкладчик положил некоторую сумму на счет в банк. Через год вкладчик добавил к получившейся сумме столько, что сумма вклада стала в два раза больше первоначальной. Еще через два года его вклад увеличился до 43 тыс. 200 руб. Сколько процентов начисляет банк по вкладам в год, если за первый год процентные деньги составляли 3 тыс. руб.

  9. Антикварный магазин продал картину со скидкой в 10% по сравнению с первоначально назначенной ценой и получил при этом 8% прибыли. Сколько процентов прибыли магазин предполагал получить первоначально?

  10. Предприниматель вложил 3/7 своего капитала в покупку товара А, 70% оставшегося капитала в покупку товара Б, а все средства, оставшиеся после приобретения товаров А и Б, вложил в покупку товара В. При реализации товара А предприниматель потерпел убыток в 20%, а при реализации товара Б получил прибыль в размере 10%. Какой процент прибыли получил предприниматель от реализации товара В, если общая прибыль от реализации всех трех товаров составила 1%.

  11. В банк помещен вклад в размере 3900 тыс руб под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после начисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял ко вкладу?

  12. В двух банках в конце года на каждый счет начисляется прибыль: в первом банке 50% к текущей сумме на счете, во втором – 75% к текущей сумме на счете. Вкладчик в начале года часть имеющихся у него денег положил в первый банк, а остальные деньги – во второй банк с таким расчетом, чтобы через два года суммарное количество денег на обоих счетах утроилось. Какую часть денег вкладчик положил в первый банк?

  13. Известно, что вклад, находящийся в банке, с начала года возрастает к концу года на определённый процент (свой для каждого банка). В начале года 5/6 некоторого количества денег положили в первый банк. К концу года сумма этих вкладов стала равной 670 у.е., а к концу второго года – 749 у.е. Было подсчитано, что если бы первоначально 5/6 исходного количества денег положили во второй банк, то по истечении одного года сумма вкладов в эти банки стала бы равной 710 у.е. В предложении, что исходное количество денег первоначально целиком положено в первый банк, определить величину вклада по истечении двух лет.

  14. Вновь созданное акционерное общество продало населению 1000 своих акций, установив скидку 10% на каждую пятую продаваемую акцию и 25 % на каждую тринадцатую продаваемую акцию. В случае, если на одну акцию выпадает обе скидки, то применяется большая из них. Определите сумму, вырученную от продажи всех акций, если цена акции составляет 1000 руб.

  15. Магазин закупил некоторое количество товара и начал его реализацию по цене на 25% выше цены, назначенной производителем, чтобы чтобы покрыть затраты, связанные с его транспортировкой, и другие дополнительные расходы. Оставшуюся после реализации часть товара магазин уценил на 16% с тем, чтобы покрыть только затраты на покупку этой части товара у производителя и его транспортировку. Сколько процентов от цены, назначенной производителем, составляла цена транспортировки товара?

  16. Бригаде грузчиков выделена некоторая сумма денег на разгрузку баржи, однако 3 человека заболели и в работе не участвовали. Оставшиеся выполнили задание, заработав каждый на 1,5 тысячи рублей больше, чем в случае работы в составе полной бригады. Определите выделенную бригаде сумму денег, если 5%-ный сбор за её банковский перевод обошелся работодателю дополнительно в величину, находящуюся в пределах от 1,2 до 1,6 тысяч рублей.

  17. Банк планирует вложить на год 40% имеющихся у него средств в проект X, а остальные 60% - в проект Y. В зависимости от обстоятельств проект X может принести прибыль в размере от 19% до 24 процентов годовых, а проект Y – от 29% до 34% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить проценты по заранее установленной ставке. Определите наименьший и наибольший уровень процентной ставки по вкладам, при которых чистая прибыль банка составит не менее 10% и не более 15% годовых от суммарных вложений в проекты X и Y.

  18. За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом %, и, наконец, 12,5% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на %. Определите срок хранения вклада.

  Посмотрите фрагмент видеолекции: