V bančni praksi obstajajo različne metode in načini obračunavanja obresti.
Tako se v bančni praksi uporabljajo preproste in sestavljene obresti.
Preproste obresti se uporabljajo predvsem za kratkoročno posojanje, ko se enkrat v četrtletju ali drugem obdobju, določenem s pogodbo, obračunajo obresti in plačajo upniku. Praviloma se trenutno uporablja predvsem zgoraj opisana metoda. Znesek plačanih obresti (I) za obdobje d se izračuna po formuli:
kjer je P znesek depozita (začetni dolg);
i - velikost obresti;
d je obdobje hrambe depozita v dnevih;
k je število dni v letu.
Znesek depozita z obrestmi za hrambo (S) se izračuna po formuli:
Rok vezave v letih (n), rok vezave v dnevih (d) in letna diskontna mera enostavnih obresti (i) se izračunajo po formulah:
kjer je S znesek depozita z obrestmi;
Skupni znesek posojilojemalčevih plačil, ob upoštevanju glavnice dolga, se lahko izračuna tudi po naslednji formuli:
kjer je S znesek plačil posojila ob upoštevanju začetnega dolga;
R - začetni dolg;
i – obrestna mera;
n je trajanje posojila v letih oziroma razmerje med dobo koriščenja posojila v dnevih in porabljeno osnovo (360 ali 365 dni).
Zelo pogosto je v bančni praksi potrebno izvesti operacijo, ki je obratna od postopka za izračun obresti. Tako je na primer pri obtoku eskontnih menic. V tem primeru bo za določitev začetnega dolga uporabljena naslednja formula:
Recimo, da je banka izdala menico pod naslednjimi pogoji: nominalna vrednost računa je 100 milijonov rubljev. za obdobje 3 mesecev, ob plačilu 120% letno. Znesek plačila v primeru postavitve računa (kupnina) bo:
V pogojih visoke inflacije je še posebej pomembna opredelitev realnega dohodka od depozitnih (kreditnih) naložb. Znesek depozita s preračunanimi obrestmi ob upoštevanju inflacije (P t) se izračuna po formuli:
kjer je t r stopnja inflacije za obdobje skladiščenja.
Stopnja inflacije za obdobje skladiščenja t r se izračuna na naslednji način:
kjer je mn število mesecev v obdobju skladiščenja;
t m je mesečna stopnja inflacije.
Na primer, pod pogojem, da je znesek prispevka znašal 100 tisoč rubljev. za obdobje 6 mesecev pri 40% letno bo nominalni dohodek vlagatelja:
Vendar pod pogojem, da je povprečna mesečna stopnja inflacije za obdobje skladiščenja 5%, bo znesek dejanskega dohodka (preračunanega ob upoštevanju inflacije), ki ga bo prejel vlagatelj:
Tako bo vlagatelj v šestih mesecih prejel 120 tisoč rubljev, katerih kupna moč bo 89.750 rubljev.
V bančni praksi je mogoče uporabiti obrestne obresti praviloma za dolgoročno posojilo, ko se natečeni zneski ne plačajo upniku pred koncem transakcije, ampak povečajo glavnico dolga. Pri uporabi te metode se znesek natečenih sredstev vključi v dolg in se nanje še naprej obračunavajo obresti (tj. obresti se obračunajo na obresti). Formula za izračun obresti in določitev skupnega zneska dolga je lahko predstavljena kot:
Znesek natečenega depozita z obrestmi se izračuna po naslednji formuli:
kjer je S akumulirani znesek depozita z obrestmi;
n je rok depozita v letih;
m je število obračunskih obdobij v letu;
mn je število obdobij obračunavanja za obdobje hrambe.
Znesek natečenih obresti se izračuna po formuli:
Razmislimo o hipotetičnem primeru.
Recimo, da vlagatelj namerava položiti 200 tisoč rubljev v banko. za obdobje 10 mesecev. Na voljo so naslednji pogoji shranjevanja:
banka obračuna 70% letno na depozite po enostavni obrestni meri;
banka mesečno obračunava obresti na depozite po obrestni meri 60% letno (obresti, ki se obračunajo po prvem obdobju obračunavanja, se ne izplačajo, ampak se prištejejo k znesku depozita).
Izračunajte zbrani znesek depozita z obrestmi za 2 možnosti:
Tako kljub temu, da so obresti, ki jih banka obračunava na depozite pri enostavni obrestni meri, višje (70 % letno) kot pri obračunavanju po obrestni meri (60 % letno), dohodek, ki ga depozitarja pod obstoječimi pogoji bo večji pri uporabi druge možnosti skladiščenja.
Enake metode izračuna obresti se lahko uporabljajo, ko banka posoja svojim strankam. Hkrati mora banka skrbno analizirati vse točke, ki lahko v končni fazi vplivajo na donosnost bančnega poslovanja. Upoštevati je treba na primer naravo inflacije in v zvezi s tem ugotoviti, kaj je za banko bolj smotrno: ali povečati znesek dolga z natečenimi, a neuveljavljenimi obrestmi ali prejeti letno nadomestilo za posojilo.
Obresti se obračunavajo na različne načine: določajo jih narava merjenja števila dni koriščenja kredita in dolžina leta v dnevih (časovna osnova za izračun obresti). Tako je mogoče število dni izposoje določiti natančno ali približno, če je trajanje katerega koli polnega meseca priznano kot enako 30 dni. Časovna osnova je enaka bodisi dejanski dolžini leta (365 ali 366 dni) bodisi približno 360 dni. Oziroma Uporabljajo se naslednje obrestne mere:
1. Točne obresti z dejanskim številom dni izposoje; ta metoda daje najbolj natančne rezultate in jo uporabljajo številne centralne in velike poslovne banke. Zanj je značilno, da se za izračun uporablja točno število dni izposoje, časovna osnova je enaka dejanski dolžini leta. na primer
P - znesek posojila - 100.000 rubljev,
i - obrestna mera - 9% letno.
K je natančno število dni izposoje,
S je akumulirani znesek dolga.
Potem je S = 100000 x (1 + 0,09% x 260 dni: 365 dni) = 106411 rubljev.
2. Navadne obresti s točnim številom dni izposoje. IN V tem primeru, kot tudi v prejšnjem, se za izračun vzame natančno število dni posojila, vendar je časovna osnova enaka 360 dni. Če je obdobje posojila daljše od 360 dni, bo znesek natečenih obresti večji od letne obrestne mere (na primer, če je obdobje posojila 364 dni, potem 364:360 = 1,011). Razmislite o tej metodi z zgornjim primerom:
S 2 \u003d 100000 x (1 + 0,09% x 260 dni: 360 dni) \u003d 106499 rubljev.
3. Navadne obresti s približnim številom dni izposoje. Tu je trajanje izposoje v dnevih določeno približno, časovna osnova je 360 dni. Velja, da je natančno število dni posojila v večini primerov večje od okvirnega, zato je znesek natečenih obresti pri točnem številu dni običajno večji kot pri okvirnem.
V našem primeru je približno število dni izposoje 257 dni (S 3), če upoštevamo, da:
S 3 \u003d 10000 x (1 + 0,09% x 257 dni: 360 dni) \u003d 106424 rubljev.
Praksa kaže, da drugi način izračuna obresti, in sicer navadne obresti z natančnim številom dni posojila, daje nekoliko večji rezultat v primerjavi z drugima dvema možnostma, kar mora upoštevati posojilodajalec, ko zaprosi za posojilo. .
Poglavje 12. Finančni trg
Enostavne obresti (tj. shema preprostih obresti) so metoda obračunavanja obresti na ustanovni kapital v času trajanja posojila. Ta način se uporablja pri servisiranju hranilnih vlog z mesečnimi plačili obresti in v primerih, ko se obresti ne prištevajo k znesku dolga, ampak se periodično izplačujejo upniku. Enostavne obresti se uporabljajo pri dajanju kratkoročnih posojil do enega leta z enkratnim obrestovanjem.
Formula za izračun dohodka od obresti z navadnimi obrestmi je:
F = p + jaz
F = p (1+ št),
kjer je F akumulirani znesek;
P - začetni kapital;
n izraz za izračun obresti;
r - obrestna mera (izražena v stotinkah odstotka).
Nato se obrestni dohodek (I) določi s formulo
jaz= P *n * r.
Ko je trajanje nče je finančna transakcija stara manj kot eno leto, se prihodki od obresti običajno določijo po formuli
jaz = p * t / T * r
kjer je t trajanje finančne transakcije v dnevih;
T je število dni v letu.
Pri določanju trajanja finančne transakcije je običajno, da se dan izdaje in dan odplačila posojila štejeta za en dan. Glede na trajanje leta (četrtletje, mesec) se šteje, da je enako, dobimo dve različici obresti:
- natančni odstotki, določeno na podlagi natančnega števila dni v letu (365 ali 366), v četrtini (od 89 do 92), v mesecu (od 28 do 31);
- navadne obresti določeno glede na okvirno število dni v letu, četrtletju in mesecu (oziroma 360, 90, 30 dni).
Pri določanju trajanja obdobja, za katerega je izdano posojilo, sta možni tudi dve možnosti izračuna:
1) v prvem primeru se upošteva točno število dni kreditiranja (izračun se izvede po dnevih);
2) v drugem primeru se upošteva okvirno število dni kreditiranja (glede na dolžino meseca 30 dni).
V bankah se pri servisiranju tekočih računov obresti pogosto izračunavajo z uporabo takih vrednosti, kot so odstotno številoin delilec
Odstotek se izračuna kot : k = pt / 100
Delitelj se izračuna kot : D = T / r
Potem lahko prihodke od obresti opredelimo na naslednji način :
jaz= vsota(k) / D
Običajno se znesek na računu pogosto spreminja zaradi prejemkov ali dvigov denarnih zneskov. Če želite ugotoviti skupni znesek natečenih obresti za določeno obdobje, najprej določite odstotne številke za vsako časovno obdobje, ko se znesek na računu ni spremenil. Nato se vsi odstotki seštejejo in dobljeno vrednost delijo z deliteljem.
Izračun obrestnih obresti.
Sestavljene obresti (ali "obresti na obresti") so metoda izračuna dohodka posojilodajalca, pri kateri se plačilo obresti v vsakem obračunskem obdobju prišteje kapitalu prejšnjega obdobja, v naslednjem obdobju pa se obresti obračunajo na natečene kapitala.
V tem primeru pride do kapitalizacije obresti, to pomeni, da se natečene obresti prištevajo k njihovi osnovi in posledično se osnova, od katere se obračunavajo obresti, ves čas povečuje.
Če se plačilo obresti obračuna in prišteje kapitalu enkrat letno, se šteje, da je kapitalizacija letna.
Če se plačilo obresti izračuna in doda kapitalu vsakih 6 mesecev, se to imenuje polletna kapitalizacija.
Obrestne obresti se lahko izračunajo in kapitalizirajo četrtletno, vsak mesec itd.
Obstajata dva načina izračun obresti: antisipativni (preliminarno) in dekurzivni (naknadni).
Antisipativne obresti so obračun obresti na začetku vsakega obračunskega obdobja. Ta metoda se uporablja v obdobju visoke inflacije.
Dekurzivne obresti so obračun obresti na koncu vsakega obračunskega obdobja. To je najpogostejši način za izračun obrestnih obresti.
Z dekurzivno metodo izračuna lahko končno ceno kapitala izračunamo po naslednji formuli:
F n = p * (1 + r) n
kjer je F n končni strošek kapitala
P - začetni strošek kapitala
r - obrestna mera, izražena v decimalnih delih
n je število obdobij obračunavanja
Vrednost (1 + r) imenujemo dekurzivni koeficient, n-to potenco tega koeficienta pa faktor rasti.
Celotno plačilo obresti po dekurzivnem obračunu je mogoče izračunati po naslednji formuli:
jaz = p * [ (1 + r) n – 1]
Tema 1. Metode obračunavanja
bančne obresti
Banka je kreditna institucija, ustanovljena za zbiranje sredstev pravnih in fizičnih oseb in njihovo plasiranje v svojem imenu pod pogoji odplačevanja, plačila in nujnosti ter za opravljanje drugih bančnih poslov.
V strukturi sredstev bank pretežni del zavzemajo izposojena sredstva. Običajno je lastniški kapital komercialnih bank manj kot 10 % vseh sredstev.
Sredstva, ki jih zberejo banke, lahko razdelimo v dve kategoriji:
Za uporabo kreditnih sredstev banke plačujejo njihovim lastnikom dohodke v obliki obresti, ki so za banke odhodek od obresti.
Obresti (obrestni denar) so znesek dohodka od posojanja denarja v različnih oblikah (odpiranje depozitnih računov, izdajanje posojil, nakup obveznic itd.). Višina obračunanih obresti je odvisna od višine dolga, roka njegovega plačila in obrestne mere. Obrestne mere se lahko plačajo, ko nastanejo, ali se dodajo dolgovanemu znesku.
Glede na način obračunavanja obresti delimo na enostavne in sestavljene.
Preproste obresti gre za metodo obračunavanja, pri kateri se višina obresti določa za celotno obdobje, glede na začetni znesek dolga, ne glede na število obračunskih obdobij in njihovo trajanje.
Enostavne obresti se izračunajo po formuli:
| , | (1) |
С začetni (prvotni) znesek depozita (dolg);
T obdobje, v katerem je prišlo do obračunavanja (v dnevih);
T year število dni v letu. Vzame se enako 360 ali 365 (odvisno od metode za določanje T);
K stopnja donosa (obrestna mera za depozite).
Obrestno obrestovanje način obračunavanja obresti, pri katerem pride do obračunavanja na začetni znesek vloge (dolga) in na povečanje vloge (dolga), t.j. znesek obresti, natečenih po prvem obračunskem obdobju. Tako se bo osnova za izračun obrestnih obresti (v nasprotju z navadnimi obrestmi) povečala z vsakim obračunskim obdobjem.
Bistvo obrestnih obresti je, da se obresti obračunavajo na obresti.
Formula obrestne obresti je naslednja:
ΔТ preostanek obdobja v letih.
Izračun mešanih obresti daje natančnejši rezultat, medtem ko je pri obrestnih obrestih rezultat približen.
Ena najpomembnejših lastnosti denarnih tokov je njihova porazdelitev skozi čas. Z uporabo obrestne mere lahko definiramo kot prihodnjo vrednost "današnjega" denarja (na primer, če ga bodo posodili) in sedanjo (moderno, trenutno) vrednost "jutrišnjega" denarja, na primer tistega, s katerim obljubljajo odplačilo. eno leto po dobavi blaga ali storitve. V prvem primeru govorimo o operaciji nastanka poslovnega dogodka, zato se bodoča vrednost denarja pogosto imenuje obračunana. V drugem primeru se izvede diskontiranje oziroma približevanje prihodnje vrednosti na sedanjo vrednost (trenutni trenutek). Ta vrednost denarja se imenuje diskontirana, sedanja ali tekoča.
Obrestna mera K prikazuje stopnjo intenzivnosti spremembe vrednosti denarja skozi čas in se določi tako, da se prihodki od obresti delijo s prvotnim zneskom.
Obrestna mera se uporablja pri določanju povečanja sedanje vrednosti, zato je K neke vrste "marža".
Povečanje začetnega zneska z uporabo obrestne mere se imenuje dekurzivna metoda obračun obresti.
Poleg obrestne mere obstaja diskontna stopnja(ali diskontna stopnja) Enak je razmerju med prihodki od obresti in končnim zneskom.
Diskontna stopnja se uporablja pri določanju zmanjšanja prihodnje vrednosti, to je Kuch "discount" biskont (nem.) diskont.
Vendar včasih diskontna stopnja povzroči povečanje vrednosti. Izračun obresti z uporabo diskontne mere (diskontna stopnja) se imenuje antisipativna metoda.
S pomočjo obravnavanih obresti se lahko obračunavajo enostavne in obrestne obresti.
Izračun preprostih dekurzivnih obresti:
Izračun sestavljenih dekurzivnih obresti:
V Rusiji se trenutno uporablja predvsem dekurzivna metoda izračuna obresti. Antisipativna metoda se običajno uporablja za tehnične namene, na primer za določitev zneska, katerega diskontiranje pri dani diskontni stopnji in obdobju bo dalo želeni rezultat.
V mednarodni bančni praksi je število dni v letu in mesecih različno določeno.
IN nemški(komercialna) praksa je izračunavanje števila dni glede na leto, ki ima 360 dni, in mesece, ki imajo 30 dni. Na kratko lahko napišemo bistvo te metode:
12 mesecev x 30 dni = 360 / število dni v letu 360
notri francosko V praksi se domneva, da traja leto 360 dni, število dni v mesecu ustreza njihovemu dejanskemu koledarskemu trajanju (28, 29, 30, 31 dni).
365 / 360
IN angleščina praksa T leto = 365 (366) dni, dejansko trajanje vsakega meseca.
365 / 365
Obresti, izračunane po nemški osnovi, se imenujejo navadne ali komercialne, po angleško eksaktne.
Navadne obresti (360/360) so primernejše za uporabo pri izračunih. To pojasnjuje priljubljenost njihove uporabe v praksi v večini razvitih držav, vključno z ZDA.
V Rusiji se uporabljajo navadne (360/360) in natančne obresti (365/365). Natančni se uporabljajo v uradnih metodah Centralne banke Rusije in Ministrstva za finance Ruske federacije za izračun donosnosti državnih obveznosti. Navadne obresti se uporabljajo predvsem pri poslovanju z menicami.
Pri določanju števila dni za izračun obresti je treba upoštevati, da je v bankah običajno, da se dan sprejema in dan izdaje depozita (dolga) šteje za 1 dan.
Banke sredstva pridobivajo z depozitnimi operacijami.
Vloge (vloge) delimo na:
Vloge na vpogled so sredstva, ki jih lahko dvigne kadarkoli brez predhodnega obvestila banki s strani stranke. Na te račune se sredstva polagajo ali dvigujejo po delih in v celoti brez omejitev.
Vezani depoziti to so depoziti, ki jih banke pritegnejo za določeno obdobje.
Na vezane vloge se obresti izračunavajo po prej obravnavanih formulah.
Pri vezanih depozitih znesek ni konstanten. Zato banke za izračun obresti uporabljajo metodo z določitvijo odstotnih števil. Bistvo te metode je, da je ob spremembi zneska na računu skupni znesek obresti za celotno obdobje hrambe depozita znesek natečenih obresti za vsako obračunsko obdobje, v katerem je bil znesek na računu konstanten.
Odstotek se določi po formuli:
T število dni v letu (odvisno od načina določanja T);
K letna obrestna mera.
Obstajata dve vrsti obrestnih mer:
fiksno to je stalna obrestna mera za ves čas hrambe depozita oziroma veljavnosti posojilne pogodbe.
lebdeči je obrestna mera, ki se spreminja v obdobju. Spremljajoče obresti se lahko uporabljajo za izračun enostavnih in sestavljenih obresti.
Končni znesek, ki ga vlagatelj prejme pri izračunu obresti po spremenljivi obrestni meri, se določi z:
Obdobja T1, T2, Tn, v katerih veljajo ustrezne stopnje K 1 , K 2 , K n.
Izračun preprostih obresti z uporabo spremenljive obrestne mere se izvede po formuli:
Obrestne obresti se lahko izračunajo večkrat na leto (na primer mesečno, četrtletno, polletno). V teh primerih je potrebno določiti obdobno obrestno mero oziroma letno obrestno mero, na podlagi katere se določi obrestna mera za obračunsko dobo (nominalna obrestna mera).
Znesek depozita z obrestmi bo določen:
m število obračunskih obdobij na leto;
T·m število obračunskih obdobij med trajanjem depozita.
Vlagatelj lahko odpre depozitni račun in redno polaga enake zneske v istih obdobjih. Nato je znesek natečenih obresti na sredstva stranke odvisen od:
Če se vsako leto ob koncu vsakega leta več let isti znesek knjiži v dobro depozitnega računa in se obresti na položeni znesek obračunajo po obrestni meri, potem bo vlagatelj ob zaprtju računa prejel:
A znesek letnih prispevkov;
K obrestna mera za depozite;
T Obdobje hrambe vlog (v letih).
Če so enaki zneski položeni na začetku vsakega leta, se višina varčevanja za več let določi z:
Če stranka položi depozite na depozitni račun večkrat letno na začetku vsakega obračunskega obdobja in se nanje večkrat letno obračunajo obrestne mere, se končni znesek, ki ga prejme vlagatelj, določi z:
p število prispevkov na leto;
m število obračunanih obresti na leto;
T doba hrambe vlog v letih;
K obrestna mera.
Če se prispevki knjižijo v dobro računa večkrat letno ob koncu obračunskih obdobij (konec vsakega meseca, četrtletja itd.) in se na računu obračunavajo obrestne obresti večkrat letno, potem ob poteku celotno obdobje hrambe depozita bo stranka prejela znesek:
Tako prejem in odplačilo dolgoročnega posojila, odplačilo različnih vrst dolgov, denarni kazalniki naložbenega procesa ne predvidevajo posameznih enkratnih plačil, temveč niz časovno razporejenih plačil in prejemkov, imenovani plačilni tok. Poseben tok plačil, pri katerem so časovni intervali med dvema zaporednima enakima plačiloma konstantni, se imenuje finančna najemnina ali anuiteta. Finančna najemnina nastane na primer pri plačilu obresti na obveznice ali pri odplačevanju potrošniškega posojila.
Potrdilo o vlogi (varčevanju) vrednostni papir, ki potrjuje, da ima njegov imetnik pri banki odprto vezano vlogo. Potrdilo daje pravico do prejema zneska depozita in obresti, navedenih v njem, po izteku določenega obdobja.
Če kot vlagatelj nastopa pravna oseba, se izda potrdilo o vlogi (DS), če je fizična oseba pa potrdilo o varčevanju (SS). V tem primeru so lastniki potrdila o depozitu lahko pravne osebe, registrirane na ozemlju Ruske federacije ali druge države, ki uporablja rubelj kot uradno valuto.
Potrdila o vlogah in hranilnicah lahko izdajajo samo banke. Trenutno veljajo določene omejitve glede sestave komercialnih bank, ki lahko izdajajo potrdila o varčevanju.
Rok obtoka potrdil o vlogi je omejen na eno leto. Vsa plačila na njih potekajo na negotovinski način. Rok obtoka potrdil o varčevanju ne sme biti daljši od treh let, poravnave na njih se lahko izvajajo v gotovinski in negotovinski obliki.
Potrdila o vlogah imajo številne pomembne prednosti pred vezanimi vlogami:
Potrdila o vlogah glede na način pridobivanja dohodka s strani lastnikov so razdeljena na dve vrsti - obrestne in diskontne. Na obrestonosna potrdila o vlogah se obračunavajo navadne obresti podobno kot na depozitnih računih (formula 1).
Diskontna potrdila o depozitu se prodajajo po ceni, ki je nižja od nominalne vrednosti, in se unovčijo po nominalni vrednosti. Dohodek lastnika DS je opredeljen kot razlika (popust) med nominalno vrednostjo certifikata in ceno njegovega nakupa. Cena se izračuna po diskontni formuli po enostavni obrestni meri.
Izračun dohodka na hranilnih potrdilih z ročnostjo do 1 leta se izvede po formuli enostavnih obresti. V tem primeru se zaračunajo natančne obresti.
Če je depozit daljši od 1 leta, se zaračunajo obrestne obresti. Tako se določi dohodek od hranilnih potrdil Hranilnice Ruske federacije.
Če vlagatelj ne kupi certifikata od izdajatelja, ampak na sekundarnem trgu in ga čez nekaj časa ponovno proda, se prodajna cena določi z:
R 2 znesek prodaje certifikata;
obdobje posedovanja potrdila T v dnevih;
K Obrestna mera za to naložbo.
Potem bo donosnost te operacije vlagatelja:
Če vlagatelj, ki je kupil certifikat od izdajatelja, ne čaka na njegov odkup, ampak ga po določenem času na sekundarnem trgu ponovno proda drugemu vlagatelju, potem je nakupna cena certifikata od prvega vlagatelja določena z :
C nominalna vrednost potrdila;
T skupni čas obtoka potrdila v dnevih;
T r preostali čas do odkupa potrdila;
obrestna mera ES, določena ob izdaji potrdila;
K inv donosnost naložb v potrdilo poznejšega vlagatelja.
Donosnost naložbe v certifikat za prvega vlagatelja se lahko izračuna na naslednji način:
T year število dni v letu;
Т 1 čas lastništva certifikata s strani prvega vlagatelja.
Inverzna operacija glede na izračun obresti je izračun sedanje vrednosti bodočega diskontiranja denarja.
Glede na to, kakšna stopnja (odstotek ali popust) se uporablja za diskontiranje, obstajata dve vrsti diskontiranja:
pri matematično diskontiranje uporabljajo se enostavne in obrestne mere. Izračuni se izvajajo po formulah:
| C \u003d B / (1 + K), | (23) |
račun to je vrednostni papir ustaljene oblike, ki vsebuje brezpogojno denarno obveznost. Menica je predmet prodaje in nakupa, njena cena pa se spreminja glede na spremembo eskontne stopnje in preostalega roka do plačila na menici. Na menici so navedeni datum plačila, kraj plačila, ime osebe, ki ji je treba plačati ali po nalogu katere se plača, datum in kraj sestave menice. , obstaja podpis osebe, ki je izdala dokument.
zadolžnica(solo-menica) to je brezpogojna, neizpodbitna obljuba dolžnika, da bo ob izteku menice plačal določen znesek.
menica(draft) je pisna zahteva za plačilo določenega zneska. Izdaja menice se imenuje trasiranje. Oseba, ki izda menico trasant; oseba, ki ji je izdana menica in ki mora po njej plačati – trasat; oseba, v imenu katere mora dolžnik opraviti plačilo, je plačnik.
Značilna dejavnost bank je obračunavanje menic. Lastnik (enostavne ali prenosne) menice ne sme čakati na dospelost menice, ampak prodati, in prodati menico banki, t.j. upoštevati račun. Banka hrani menico in jo ob zapadlosti predloži v plačilo. Za svojo storitev bo banka prodajalcu menice zadržala določen odstotek zneska menice za njen predčasni prejem. Ta odstotek se imenuje popust. Diskontna stopnja se uporablja za določitev cene in višine popusta.
Popust pri obračunavanju računov se izračuna po formuli:
T obdobje v dnevih od trenutka sprejema računa v obračun do njegovega poplačila;
Na račun banke diskontna stopnja (v odstotkih).
Cena, po kateri imetnik menice banki proda menico, se določi kot razlika med nominalno vrednostjo menice in zneskom eskonta.
Na višino obrestnih mer komercialnih bank velik vpliv ima višina inflacije, ki vodi v depreciacijo denarnih prihodkov. Če je rast inflacije višja od rasti dohodkov vlagateljev, ki jih določajo obrestne mere, ki jih ponuja banka, lahko vlagatelji izberejo donosnejši vir vlaganja svojih začasno prostih sredstev. Pri kvantificiranju inflacije se uporabljata dva kazalnika - raven in indeks inflacije.
Stopnja inflacije (U T) kaže, za koliko odstotkov so se zvišale cene v obravnavanem obdobju. Indeks inflacije (IT) kaže, kolikokrat so se cene dvignile v istem časovnem obdobju. Indeks se lahko izrazi na naslednji način:
B znesek, ki ga je banka izdala stranki na dan zaprtja depozitnega računa;
I T indeks inflacije za obdobje T.
Obstajata dva bistveno različna načina izračuna obresti: dekurzivni in antisipativni.
pri dekurzivno obresti se izračunajo na koncu vsakega časovnega intervala na podlagi zneska kapitala, zagotovljenega na začetku časovnega intervala. Dekurzivna obrestna mera ( jaz) je poklican posojilne obresti in je določena s formulo:
i = I/PV,
Kje jaz PV- znesek denarja na začetku časovnega intervala.
pri antisipativni način obračunanih obresti, se izračunajo na začetku vsakega intervala obračunavanja na podlagi zbranega zneska denarja na koncu intervala (vključno s kapitalom in obrestmi). Antisipativna obrestna mera ( d) je poklican diskontna stopnja in je določena s formulo:
d = I/FV,
Kje jaz– prihodki od obresti za določen časovni interval; FV- zbrani znesek denarja ob koncu časovnega intervala.
V praksi je najbolj razširjena dekurzivna metoda obračunavanja obresti. Antisipativna metoda se uporablja pri obračunavanju menic in drugih denarnih obveznosti. Znesek denarja na koncu obračunskega intervala se šteje za znesek prejetega posojila. Ker se obresti obračunavajo na začetku časovnega intervala, posojilojemalec prejme znesek posojila zmanjšan za obresti. Takšna operacija se imenuje diskontirano po diskontni stopnji ali bančne račune. Popust- to je razlika med velikostjo posojila in neposredno izdanim zneskom, to je dohodkom, ki ga banka prejme po diskontni stopnji.
Tako dekurzivna kot antisipativna metoda lahko uporabljata sheme preprostih in sestavljenih obresti. Pri uporabi sheme preprostih obresti se zaračunajo na znesek začetnega depozita. Sestavljene obresti vključujejo kapitalizacijo obresti, to je izračun "obresti na obresti".
Z vidika posojilodajalca je pri izvajanju finančnih transakcij kratkoročne narave (manj kot eno leto) donosnejša shema preprostih obresti, pri dolgoročnih operacijah (več kot eno leto) pa obrestne obresti. shema je bolj donosna. Za dolgoročne posle z delnim številom let je ugodna tako imenovana mešana shema, ko se obrestne obresti obračunavajo za celo število let, navadne obresti pa za delni del leta.
V tabeli. sistematizirane formule za ugotavljanje akumulirane količine denarja, to je bodoče vrednosti depozita, z dekurzivno in antisipativno metodo izračuna obresti. V tem primeru je bil uporabljen naslednji zapis:
FV- prihodnji (akumulirani) znesek denarja;
PV- realno (trenutno) količino denarja;
jaz- obrestna mera;
d- diskontna stopnja;
n– število let v intervalu obračunavanja obresti;
m- število medletnih obračunanih obresti;
t- trajanje intervala obračuna obresti za kratkoročne posle, dnevi;
T– trajanje leta, dnevi;
w je celo število let v intervalu obračunavanja;
f je delni del leta v intervalu obračunavanja.
Tabela
Formule za izračun akumulirane količine denarja pod različnimi pogoji za izračun obresti
| Obrestni pogoji | Način izračuna obresti | |
| dekurzivno | antisipativno | |
| enostavne obresti, celo število let v obračunskem intervalu | FV = PV' (1 + in) | FV = PV / (1 - dn) |
| obrestne obresti, celo število let v obračunskem intervalu | FV = PV' (1 + i) n | FV = PV / (1 - d) n |
| preproste obresti, rok delovanja manj kot eno leto | |
|
| mešana shema izračuna obresti z delnim številom let v obračunskem intervalu | FV = PV' (1 + i) w (1 + če) | FV = PV / [(1 - d) w (1 + če)] |
| obrestne obresti, medletne časovne razmejitve s celim številom let v obrestnem intervalu | FV = PV'(1 + i/m) nm | FV = PV / (1 –d/m) nm |
Vrste obrestnih mer in načini izračuna obresti. Preproste obresti.
Glavna lastnost denarja je njegova časovna vrednost, povezana z
− prisotnost inflacije,
− kroženje kapitala.
Denar, ki se nanaša na različne časovne točke, ni enakovreden, na primer današnji denar je bolj vreden od prihodnjega denarja, prihodnji denar pa je manj vreden od današnjega denarja, če sta njuna zneska enaka.
Predmet finančne matematike so posebni modeli in algoritmi, povezani s problemom "denar - čas" in omogočajo oceno prihodnjega dohodka s položaja trenutnega trenutka.
Glavne naloge finančne matematike so:
− merjenje končnih rezultatov finančnega poslovanja;
− izdelava načrtov za izvedbo finančnih transakcij;
− ocena odvisnosti končnih rezultatov operacije od njenih pogojev;
− določitev dopustnih kritičnih vrednosti parametrov poslovanja in izračun parametrov enakovrednega (preloma) spremembe začetnih pogojev finančne operacije.
Vsaka finančna transakcija, naložbeni projekt ali komercialni dogovor vključuje številne pogoje za njihovo izvedbo, s katerimi se vpletene strani strinjajo.
Ti pogoji vključujejo naslednje kvantitativne podatke:
- vsote denarja,
− časovni parametri,
− obrestne mere.
Z obrestmi razumemo absolutni znesek dohodka iz posojanja denarja v kakršni koli obliki: dajanje posojila, prodaja blaga na kredit, polaganje denarja na depozitni račun, obračunavanje računa, nakup potrdila o varčevanju ali obveznic itd.
Obrestno mero razumemo kot relativni znesek dohodka za določeno časovno obdobje - razmerje med dohodkom (obresti) in zneskom dolga.
Izmeri se v odstotkih. Pri izračunih se obrestne mere običajno merijo v decimalnih ulomkih.
Časovni interval, na katerega je obrestna mera časovno določena, se imenuje obdobje obračunavanja. Kot tako obdobje se vzame leto, pol leta, četrtletje, mesec ali celo dan. Najpogosteje se v praksi ukvarjajo z letnimi stopnjami.
Obresti se po dogovoru med posojilodajalcem in posojilojemalcem plačujejo sproti ali pa se prištevajo glavnici dolga (kapitalizacija obresti).
Postopek povečanja zneska denarja v času v povezavi z dodajanjem obresti se imenuje povečanje tega zneska.
Možno je določiti tudi odstotke pri gibanju v času v nasprotni smeri - iz prihodnosti v sedanjost. V tem primeru se znesek denarja, ki se nanaša na prihodnost, zmanjša za znesek ustreznega popusta (popusta). Ta metoda se imenuje diskontiranje (zmanjšanje).
Obrestna mera je odvisna od:
− splošno stanje gospodarstva, vključno z denarnim trgom;
− kratkoročna in dolgoročna pričakovanja njegove dinamike; vrsta transakcije, njena valuta; rok posojila;
− značilnosti posojilojemalca (njegova zanesljivost) in posojilodajalca, zgodovina njunega prejšnjega odnosa itd.
Preproste obresti
Obračunani znesek posojila (depozit, vložena sredstva, obveznost plačila itd.) se razume kot njegov začetni znesek z obrestmi, ki se obračunajo nanj do konca obračunskega obdobja. Znesek je večji od prvotnega zneska. Glede na uporabljeno obrestnih mer in pogojev obračunavanja se formula za izračun množitelja nastanka poslovnih dogodkov zapiše na različne načine.
Na primer, za obračun navadnih obresti bo obračunani znesek (S) izračunan na naslednji način:
Kje R- začetni znesek posojila, den. enote; p– rok posojila (v dnevih, mesecih, letih itd.); jaz– stopnja kopičenja (enostavna konstanta), enote.
Izraz (1 + ni) imenujemo rastni faktor.
V finančnih in ekonomskih izračunih se rok posojila običajno meri v letih, torej vrednost obračunske stopnje jaz je letna obrestna mera. Obresti, obračunane za celotno obdobje posojila, bodo v tem primeru:
,
kjer je I odstotni znesek (znesek dohodka), denar. enote
Zgoraj predstavljena formula se imenuje formula preprostih obresti, vrednost I pa lahko opredelimo kot obrestni dohodek ali obrestni denar (obresti).
Pri praktičnem delu so banke, gospodarske organizacije, finančne institucije itd. na različne načine spremenite število dni izposoje (t) in dolžino leta (časovna osnova za izračun obresti) v dnevih (K). Glede na to, kako sta določeni vrednosti t in K, se natančno ali približno uporabljajo naslednje možnosti (»prakse«, »sistemi«) za izračun preprostih obresti .
1. Točne obresti z dejanskim številom dni izposoje (tako imenovana "angleška" praksa). Ta možnost daje najbolj natančne rezultate in jo uporabljajo številne centralne in velike poslovne banke po svetu. V tem primeru je K=365 dni, v mesecih pa je 28, 29, 30 in 31 dni.
2. Navadne obresti z natančnim številom dni izposoje (t. i. "francoska" praksa oz. bančna metoda). Ta možnost daje nekoliko boljši rezultat kot uporaba natančnih obresti. Torej, če število dni izposoje presega 360, potem ta metoda merjenja časovnih prednosti Za dejstvo, da bo znesek natečenih obresti večji od predvidenega z letno obrestno mero. Na primer, pri t = 363 dneh je n=363:З60=1,0083, množitelj nastanka poslovnega dogodka za to obdobje pa bo: 1+1,0083*i.
3. Navadne obresti s približnim številom dni izposoje (»nemška« praksa). Izračun števila dni v tej varianti temelji na letu 360 dni in mesecih 30 dni. Ker je točno število dni izposoje v večini primerov večje od okvirnega števila, so obresti s točnim številom dni običajno večje kot z okvirnim, zato je natečeni znesek obresti s točnim številom dni običajno višji. .
Kopičenje zneska v primeru spremembe enostavne obrestne mere v času trajanja posojila V praksi pogosto pride do situacije, ko posojilne pogodbe (pogodbe) predvidevajo spremembo obrestne mere v obdobju posojila (npr. zaradi spremembe obrestne mere refinanciranja, želje banke po upoštevanju stopnje inflacije itd. V tem primeru se letna obrestna mera, navedena v posojilni pogodbi, imenuje nominalna.V tem primeru se natečeni znesek izračuna na naslednji način:
kjer je i t enostavna obrestna mera v obdobju t; t=l,2,...,m; enote;
n t,- trajanje obdobja; 
leta;
T– število obdobij, enot.
Kopičenje zneska med ponovnim vlaganjem Da bi povečali zanimanje vlagateljev in hitro pritegnili dodatna sredstva, na primer v kratkoročnih in srednjeročnih depozitih, lahko banke in finančne družbe svojim strankam ponudijo večkratno povečanje vloženega zneska v okviru celotnega rok posojila, tj. ponovno vlagati. Z drugimi besedami, reinvestiranje pomeni prištevanje natečenih obresti k prvotnemu (začetnemu) znesku in obračunavanje obresti na že povečan znesek in tako naprej večkrat v obdobju.Pri takem reinvestiranju se natečeni znesek izračuna po formuli:
Kje n 1, n 2,...n t– trajanje obdobij kopičenja, leta;
in 
(skupni rok transakcije);
i 1, i 2, … i t, – stopnje reinvestiranja, enote.
V posebnem primeru, ko 
in 
, tj. kadar so obračunska obdobja in obrestne mere enake, formula upošteva
,
Kje m– število operacij reinvestiranja, enot.
Primer 1.1. Za znesek depozita v višini 50 tisoč rubljev. v enem mesecu se zaračunajo navadne obresti po 24% letni stopnji. Kolikšen bo akumulirani znesek, če se ta operacija ponovi v 6 mesecih. tekočem letu (tj. šestkratno reinvestiranje tega zneska) pri izračunu točnih obresti z dejanskim številom dni izposoje od 1. marca?
Glede na primer P = 50 tisoč rubljev; i = 0,24. Točno število dni v neprestopnem letu od marca do avgusta je: 31+30+31+30+31->-31=184 dni.
Po formuli dobimo:
Primer 1.2. Potencialna stranka številnih zanesljivih bank, ki se nahajajo v bližini mesta, ima začasno prosto gotovino v višini 10 tisoč rubljev. in jih želi položiti na depozitni račun za obdobje 1 leta. Prva banka (banka A) mu ponudi depozit pod pogoji četrtletnega obračunavanja po 20-odstotni letni stopnji in kapitalizacijo (reinvestiranje) obresti. Druga banka (banka B) pod naslednjimi pogoji: obračunavanje depozita po letni stopnji 24% dvakrat letno s kapitalizacijo obresti. Banka B ponuja mesečno obračunavanje obresti po 20% letni stopnji in kapitalizacijo natečenih obresti. In končno, Banka D predlaga depozit pod pogoji obračunavanja 25% letno brez kapitalizacije obresti in njihovega obračunavanja ob koncu roka depozita.
V kateri od bank lahko vlagatelj ob izteku pogodbe prejme največji znesek?
Glede na pogoje primera R =
10 tisoč R.; i 1 \u003d 20%; i 2 \u003d 24%; i 3 = 20 %; i 4 = 25 %. Glede na to, da se obresti obračunavajo četrtletno, polletno in mesečno s kapitalizacijo in samo v banki G - ob koncu leta (brez reinvestiranja), po formuli in dobite (tisoč rubljev):
Obračunani znesek za depozite na koncu in na začetku vsakega leta.
Precej pogosto banke pod pogoji depozitnih pogodb, depozitnih pogodb predvidevajo možnost dodajanja določenega (pogosto ne več kot začetnega) zneska denarja.
Če se depoziti opravijo ob koncu vsakega leta, bo akumulirani znesek:
Kje m– število depozitov, enot; D- znesek prispevka, den. enote
Če so prispevki enaki po vrednosti, tiste. D 1 \u003d D 2 \u003d D 3 \u003d D m, Formulo lahko zapišemo takole: 
,
ali glede na to 
,
končno lahko napišeš: 
.
Očitno je, da je akumulacija po meri navadnih obresti v primeru, ko se prištevajo na začetku leta, bistveno bolj donosna kot pri pribitkih ob koncu leta, ker v prvem primeru poveča z enim letom kopičenja.
Izračun zneska zahtevanega depozita za letna plačila. Precej pogosto (zlasti pri delu s strankami - upokojenci, z vlogami za mladoletnike itd.) Se bančni uslužbenci, ki delajo z vlogami prebivalstva, soočajo z nalogo določitve zahtevanega začetnega zneska depozita (depozita) stranke, ki bi lahko zagotovil ga z določenimi letnimi plačili za n let po vnaprej določeni obrestni meri. V splošnem primeru se ta problem zreducira na reševanje problema določanja »večne« najemnine, ki bo podrobneje obravnavan v nadaljevanju. Zdaj pa razmislimo o njegovi rešitvi na podlagi znanja, ki ga že imamo.
S pomočjo formule lahko zapišete naslednjo enačbo:
Kje Р 1 ,Р 2 ,…,Р n- določena letna plačila, den, enote; p– plačilni rok, leta.
Ob upoštevanju enakosti letnih plačil, tj. pri P 1 \u003d P 2 \u003d P 3 \u003d Pn formulo lahko pretvorimo v izraz naslednje oblike:
.
Za približne, ocenjene izračune vrednosti začetnega vložka lahko uporabite približno enakost izrazov:
.
Primer 1.3. Izračunajte zahtevani začetni znesek depozita stranke, da bo lahko prejel znesek 6 tisoč rubljev s svojega bančnega računa letno 5 let. z enostavno obrestno mero 30 % letno.
Glede na primer P=6 tisoč rubljev; i n = 30 %; n=5 let. Z uporabo formule dobimo (tisoč rubljev):
Izračun formule daje naslednji rezultat:
Razlika v primerjavi z rezultatom, dobljenim s prvo formulo, je 0,046 tisoč rubljev ali manj kot 0,3%. Kot lahko vidite, izračun po drugi formuli daje povsem sprejemljiv rezultat.
Izračun ročnosti kredita in višine obrestne mere Pri pripravi utemeljitve za pridobitev kredita in izračunu njegove učinkovitosti se pojavi problem določitve ročnosti kredita in višine obrestne mere ob obstoječih drugih pogojih. . V tem primeru je rok posojila mogoče določiti v letih in dnevih:
v letih 
;
v dneh 
.
Skladno s tem se lahko velikost obrestne mere pri izračunu dobe posojila v letih določi kot: 
,
in pri izračunu roka posojila v dnevih, kot sledi: 
.
Povečanje in enotno plačilo obresti pri potrošniških kreditih. Pri potrošniških kreditih, tj. kredit praviloma za osebne potrebe za nakup blaga (ali storitev), obresti se zaračunajo na celoten znesek posojila in se prištejejo glavnemu dolgu, najpogosteje že ob odprtju posojila. Ta pristop se imenuje enkratni obračun obresti; v tem primeru se odplačilo dolga z obrestmi običajno izvede v enakih zneskih skozi celotno obdobje posojila. Akumulirani znesek dolga pri tem pristopu se izračuna po formuli, vrednost enkratnega odplačila (R) pa je naslednja:
,
Kje T- število odplačil posojila na leto, enot.
Upoštevajte, da se zaradi dejstva, da se obresti obračunajo na začetni znesek dolga in se njegova dejanska vrednost sčasoma nenehno znižuje, dejanska obrestna mera (na dejansko uporabljeno posojilo) izkaže, da je opazno višja od obrestne mere po prvotne pogodbene pogoje.
Vprašanja za samopregledovanje:
1. Kaj so predmeti finančne matematike?
2. Kakšno vlogo ima čas v finančnih izračunih?
3. Naštejte vrste obrestnih mer.
4. Kakšen je obračunani znesek?
5. Kaj je diskontiranje?
6. Kako se določi obrestna mera?
7. Kako se izračuna rok posojila.
Tema 3.1.-3.2. Koncept enakovrednosti obrestnih mer. Izpeljava formul za ekvivalentnost obrestnih mer na podlagi enakosti množiteljev nastanka poslovnega dogodka. Načelo finančne enakovrednosti obveznosti. Ekvivalenčna enačba. Konsolidacija (združevanje) plačil.
Težave, ki jih je treba upoštevati:
1. Ekvivalentnost obrestnih mer. Splošna načela.
2. Ekvivalentnost enostavnih in sestavljenih obrestnih mer z obrestmi, ki se obračunavajo enkrat letno.
3. Ekvivalentnost enostavne obrestne mere in sestavljene obrestne mere, ki se obrestuje m-krat letno.
4. Ekvivalentnost obrestne mere z obrestovanjem 1-krat na leto in obrestne mere z obrestovanjem m-krat na leto.
5. Enakovrednost zvezne obrestne mere in navadne obrestne mere.
6. Ekvivalentnost kontinuirane obrestne mere in obrestne mere z obračunavanjem 1-krat letno.
7. Ekvivalentnost zvezne obrestne mere in enostavne obrestne mere z m letnim obračunom.
8. Povprečna obrestna mera.
9. Finančna enakovrednost obveznosti.
1. Načelo finančne enakovrednosti obveznosti
V finančni praksi pogosto prihaja do situacij, ko je treba eno obveznost nadomestiti z drugo, na primer z daljšo zapadlostjo, predčasno odplačati dolgove, združiti več plačil v eno (konsolidirati plačila), spremeniti shemo obračunavanja obresti itd. Ob tako splošno sprejetem načelu, na katerem temeljijo spremembe pogodbenih pogojev, je finančna enakovrednost obveznosti.
Sprememba pogojev pogodbe temelji na načelo finančne enakovrednosti obveznosti, ki vam omogoča ohranjanje ravnovesja interesov pogodbenih strank. To načelo predvideva nespremenljivost finančnih odnosov pred in po spremembi pogojev pogodbe. Pri menjavi poti dajatve obresti morajo upoštevati zamenljivost med različnimi vrstami obrestnih mer.
enakovreden klical obrestne mere, ki ob zamenjavi enega z drugim vodijo do enakih finančnih rezultatov, tj. razmerja strank se v okviru ene finančne transakcije ne spremenijo.
Ko se spremeni plačilni pogoji Upoštevati je treba tudi raznolikost plačil, ki se izvedejo v okviru izpolnjevanja pogojev pogodbe pred in po njeni spremembi. enakovreden takega plačila, ki se izkažejo za enake, potem ko se zmanjšajo pri dani obrestni meri na eno časovno točko ali potem, ko se eden od njih zmanjša na čas drugega pri dani obrestni meri.
Znižanje se izvede z diskontiranjem (zmanjšanje na zgodnejši datum) ali, nasprotno, s povečanjem zneska plačila (če je ta datum v prihodnosti).
Če pri spreminjanju pogodbenih pogojev ni upoštevano načelo finančne enakovrednosti, potem eni od vpletenih strank nastane škoda, katere višina se lahko določi vnaprej.
2. Ekvivalentnost obrestnih mer
Za iskanje vrednosti enakovrednih obrestnih mer je treba sestaviti enačbo enakovrednosti.
Enakovrednost enostavnih obrestnih in enostavnih diskontnih mer. Začetne enačbe za izpeljavo ekvivalence
S=P(1 + n ∙ i) In 
Če sta rezultata prirastka enaka, dobimo enačbo
p(1 + n ∙ i) = 
.
Od tod 1 + n ∙ i =
in 
.
Za enake parametre posojila pogoj enakovrednosti vodi do dejstva, da d < jaz. Hkrati se z rastjo roka finančne transakcije razlika med tečaji povečuje.
Primer 1. Določite preprosto diskontno mero, ki ustreza običajni obrestni meri 12 % letno, obračunani v 2 letih.
rešitev . Parametri naloge: n= 2 leti jaz= 12 %. Potem
d= 0,12/(1 + 2 ∙ 0,12) = 0,0968 ali 9,7 %.
Zato transakcija, pri kateri je sprejeta diskontna stopnja 9,7 %, daje enak finančni rezultat za 2-letno obdobje kot enostavna stopnja 12 % letno.
Enakovrednost enostavnih in sestavljenih obrestnih mer. Obračunani zneski po enostavnih in obrestni meri so enaki
in 
.
Če sta rezultata prirastka enaka, potem velja ekvivalenčna enačba
= 
.
Od tod 
in 
.
Pri obračunu obresti m enkrat letno, podobno trdimo, dobimo: 
in 
.
Primer 2. Kapital se predlaga za 4 leta po obrestni meri 20 % letno s polletnimi obrestmi ali po navadni obrestni meri 26 % letno. Poiščite najboljšo možnost.
rešitev . Parametri naloge: n= 4 leta m = 2, jaz c = 20%, jaz n = 26 %. Poiščite enakovredno preprosto obrestno mero za sestavljeno obrestno mero:
0,2859 ali 28,59 %.
Tako je enakovredna obrestni meri pri prvi možnosti enostavna obrestna mera 28,59 % letno, kar je višje od predlagane enostavne obrestne mere 26 % letno pri drugi možnosti. Zato je bolj donosno razporediti kapital po prvi možnosti, tj. po 20 % letno s polletnimi obrestmi.
Primer 3 . Za trimesečni depozit je dodeljena obrestna mera 10,2% letno. Kakšno letno obrestno mero je treba pripisati mesečnim depozitom, da bi zaporedno prevpisovanje teh depozitov privedlo do enakega rezultata kot koriščenje trimesečnega depozita, če zanemarimo dva dneva, ki se izgubita pri prevpisu depozitov ( T=360)?
rešitev. Izenačimo ustrezne multiplikatorje rasti:
Zato to dobimo jaz = 0,101 1 ali 10,11 %.
Preproste obresti.
. Iz enakosti: 
dobimo: 
, Kje jaz- navadna obrestna mera, ki označuje zahtevano realno donosnost finančne transakcije (neto obrestna mera); jazτ je obrestna mera, prilagojena inflaciji.
Ta stopnja, prilagojena inflaciji, se imenuje bruto stopnja.
Obrestno obrestovanje.
Obresti enkrat letno:
Akumulirani znesek brez inflacije je enak 
, njegov ekvivalent glede na inflacijo pa je enak 
. Iz enakosti: 
dobimo: 
iz katerega je mogoče primerjati višino obrestne mere in inflacije, analizirati učinkovitost naložb in ugotoviti realno povečanje vloženega kapitala.
Obresti m-krat na leto:
Ko se obresti seštevajo večkrat na leto:
.
Ti modeli omogočajo upoštevanje inflacije in prilagajanje obrestnih mer.
Letna obrestna mera, ki zagotavlja realno donosnost kreditnega posla, se določi po formuli Fisher, povezuje tri indikatorje:
R - nominalna obrestna mera, α - stopnja inflacije
r - realna obrestna mera (donos finančne transakcije)
, 
, .
Primer 4.1. Letna stopnja inflacije je 20-odstotna. Banka pričakuje, da bo zaradi zagotavljanja kreditnih sredstev prejela 10% realnih prihodkov. Kakšna je nominalna obrestna mera, po kateri bo banka posojala?
V praksi se človek pogosto zadovolji s primerjavo jaz in τ z izračunom realna stopnja, tj. znižana stopnja donosa na inflacijo:
jaz = (jaz- τ) / (1 + τ)
Ker se kupna moč denarja z inflacijo zmanjša, pride do depreciacije denarnega dohodka. Zato mora vlagatelj pri kopičenju denarja na depozitu ustrezati nominalni obrestni meri, tj. tečaju, določenem v pogodbi, z vrednostjo indeksa cen življenjskih potrebščin.
Izračun vnaprej vračunanih zneskov
Dobimo formulo: 
oz 
, Kje -
stopnja inflacije.
Realni stroški Z zneski S, amortiziran s časom zaradi inflacije pri indeksu cen , se izračuna po formuli:
Če se akumulacija izvaja po enostavni stopnji znotraj n leta, potem. Realna vrednost zneska, prilagojena inflaciji S bo
Za določitev realne kupne moči je treba akumulirani znesek približati cenam baznega obdobja: 
.
Zaradi obračunavanja obresti se količina denarja povečuje, vendar se njegova vrednost pod vplivom inflacije zmanjšuje. Ker vsaka denarna enota zaradi inflacije amortizira, potem že amortiziran denar v prihodnosti amortizira.
Povečanje se izvaja na navadne ali obrestne obresti, vendar se inflacija vedno meri na obrestne obresti.
Akumulirani znesek za n let, ob upoštevanju njegove amortizacije, bo: 
, tukaj je multiplikator akumulacije, ki upošteva stopnjo inflacije.
− Če je stopnja inflacije višja od natečene obrestne mere, potem akumulirani prejeti znesek ne nadomesti izgube kupne moči denarja. Bančna obrestna mera se imenuje negativna.
− Če je stopnja inflacije nižja od natečene obrestne mere, potem gre za realno povečanje kupne moči denarja. Bančna stopnja se imenuje pozitivna.
− Če je stopnja inflacije enaka stopnji natečenih obresti, potem je kupna moč akumuliranega zneska enaka kupni moči prvotnega zneska.
Vprašanja za samopregledovanje:
1. Kaj je inflacija? Naštej vrste inflacije.
2. Kaj je CPI?
3. Kakšen je namen obračunavanja inflacije?
4. Kakšna je nominalna obrestna mera? Kako se razlikuje od realne stopnje?
5. Kaj je finančna transakcija?
6. Kako izmeriti realno donosnost finančne transakcije?
Tema 5.1.-5.2. Koncepti vrst plačilnih tokov in njihovi glavni parametri. Pojem finančne rente. Osnovni parametri najemnine in njihov izračun. Različne vrste finančnih najemnin. Vrste variabilnih najemnin. Trajni neprekinjeni najem. Pretvorbe najemnin.
Težave, ki jih je treba upoštevati:
1. Anuitete. Razvrstitev najemnin.
2. Akumulirani znesek finančne rente postnumerand.
3. Sodobna vrednost finančne rente postnumerand.
4. Trajanje finančne rente je postnumerand.
5. Član finančne rente postnumerand.
6. Akumulirani znesek in sedanja vrednost drugih vrst finančnih najemnin.
7. Določitev parametrov drugih vrst finančnih najemnin.
8. Določitev obrestne mere finančne rente.
Zelo pogosto pogodbe finančne narave ne predvidevajo posameznih enkratnih plačil, temveč vrsto plačil, porazdeljenih skozi čas. Primeri so lahko redna vplačila za odplačilo dolgoročnega posojila skupaj z obračunanimi obrestmi, periodični prispevki na tekoči račun, na katerem se oblikuje določen sklad za različne namene (investicijski, pokojninski, zavarovalni, rezervni, varčevalni itd.), izplačane dividende. na vrednostne papirje, izplačila pokojnin iz pokojninskega sklada itd. Niz zaporednih izplačil in prejemkov se imenuje plačilni tok. Izplačila so prikazana kot negativne vrednosti, prejemki pa kot pozitivni.
Splošni značilnosti toka plačil sta akumulirani znesek in sedanja vrednost. Vsaka od teh značilnosti je številka.
Obračunani znesek plačilnega toka je vsota vseh članov zaporedja plačil z natečenimi obrestmi do konca obdobja rente.
Spodaj trenutna vrednost toka plačil razumeti vsoto vseh svojih članov, diskontiranih (zmanjšanih) v nekem trenutku, ki sovpada z začetkom toka plačil ali pred njim.
Poseben pomen teh generalizirajočih značilnosti določa narava toka plačil, razlog, ki ga ustvarja. Na primer, vračunani znesek lahko predstavlja končno velikost naložbe ali katerega drugega sklada, ki se oblikuje, skupni znesek dolga. Trenutna vrednost lahko označuje zmanjšan dobiček, zmanjšane stroške.
5.1. Pojem finančne rente (anuitete)
potek plačila, katerega vsi členi so pozitivne vrednosti, časovni intervali pa konstantni, se imenuje finančna najemnina oz renta.
Finančna najemnina ima naslednje parametre: rentni član- znesek posameznega plačila, rentno obdobje- časovni interval med dvema sosednjima plačiloma, rok rente- čas, merjen od začetka finančne rente do konca njenega zadnjega obdobja, obrestna mera- stopnja, ki se uporablja pri obračunavanju ali diskontiranju plačil, ki tvorijo anuiteto, število plačil na leto, število obračunanih obresti na leto, trenutki plačila v obdobju anuitete.
Vrste finančnih najemnin
Najemnine lahko razvrstimo po različnih kriterijih. Upoštevajmo jih.
Glede na dolžino obdobja delimo anuitete na letne in p-nujne, kjer je p število vplačil na leto. Pogosto se v praksi pojavljajo anuitete, pri katerih rok plačila presega eno leto ali več (na primer pri naložbenih dejavnostih).
Glede na število obračunanih obresti ločimo anuitete z obračunavanjem enkrat letno, m-krat ali neprekinjeno. Trenutki obračunavanja obresti morda ne sovpadajo s trenutki plačila najemnine.
Glede na velikost članov se razlikujejo trajno(z enakopravnimi člani) in spremenljive rente. Če se zneski plačil spreminjajo v skladu z nekaterimi matematičnimi zakoni, je pogosto mogoče izpeljati standardne formule, ki močno poenostavijo izračune.
Glede na verjetnost plačila članov ločijo anuitete so resnične in pogojno. Prave anuitete so predmet brezpogojnega plačila, na primer ob odplačilu posojila. Plačilo pogojne najemnine je odvisno od nastopa nekega naključnega dogodka. Zato število njenih članov ni vnaprej znano. Na primer, število izplačil pokojnine je odvisno od pričakovane življenjske dobe upokojenca.
Glede na število članov ločimo rente s končnim številom članov ali omejene ter neskončne ali večne. Kot večno rento lahko upoštevate plačila obvezniških posojil z neomejenimi ali nedoločenimi roki.
Tako se je treba na primer soočiti s potrebo po obračunavanju in izračunu trajne rente v finančnih izračunih v zvezi z vlaganjem denarja ali nakupom finančnega instrumenta (materialnega predmeta), če je doba njihovega delovanja (možnega ustvarjanja dohodka) dovolj dolga. in ni določeno s posebnimi pogoji (torej možnost pridobitve trajne, t.i. »večne« najemnine), kot primer lahko navedemo vlaganje v vrednostne papirje največjih multinacionalk in države (v kolikor ni roka njihovega izteka). obtok), nakup donosnih hotelov, kmetij, zemljišč, industrije itd. P.
Glede na prisotnost premika v trenutku začetka rente glede na začetek pogodbe ali drug trenutek rente, se delijo na takojšnje in z zamudo oz z zamudo. Pri takojšnjih rentah začne teči takoj, pri odloženih rentah pa pozno.
Anuitete se razlikujejo po trenutku plačila plačil. Če se plačila izvajajo ob koncu vsakega obdobja - leto, pol leta, mesec itd., potem se takšne rente imenujejo vsakdanji oz postnumerando. Če so plačila izvedena na začetku vsakega obdobja, se anuitete imenujejo prenumerando. Včasih se plačila izvedejo sredi vsakega obdobja.
postnumerando (ko so plačila izvedena ob koncu ustreznih obdobij) in anuitete prenumerando (ko so zadevna plačila izvršena na začetku določenih obdobij). Prenumerando tok je pomemben pri analizi različnih shem za kopičenje sredstev za njihovo kasnejšo naložbo.
Prenumerando anuiteta se od navadne rente razlikuje po številu obrestnih obdobij. Zato bo akumulirani znesek rente prenumerando večji od akumuliranega zneska navadne rente v (1 + jaz) enkrat.
Redko, vendar se v praksi pojavljajo tudi rente, katerih izplačila se izvajajo sredi obdobij. Take najemnine imenujemo minnumerando.Primer takšne najemnine so lahko v nekaterih primerih akontacije za najem prostorov, pa tudi polletna plačila za stroške po zunanjetrgovinskih pogodbah.
Najpogosteje se v praktičnih finančnih in ekonomskih izračunih v bistvu rešuje dvostranska naloga določitve akumuliranega zneska ali trenutne vrednosti (vrednosti) plačilnega toka. . V tem kontekstu se trenutna vrednost plačilnega toka razume kot vsota vseh njegovih članov, diskontirana v nekem trenutku, ki sovpada z začetkom plačilnega toka ali ga predvideva. Lahko označuje kapitalizirani dohodek, čisti sedanji dobiček, sedanje stroške, učinkovitost naložb ter denarne in finančne pogoje zunanjetrgovinskih pogodb, donosnost depozitov in drugih finančnih, gospodarskih in komercialnih transakcij.
Formule obračunanega zneska
Redna renta
Naj ob koncu vsakega leta za n let na TRR polaga po R rubljev, obresti se obračunajo enkrat letno po stopnji jaz. V tem primeru se prvi obrok do konca anuitete poveča na vrednost 
, saj so se na znesek R med n-1 leta. Drugi obrok se poveča na 
itd. Na zadnji obrok se ne obračunajo obresti. Tako bo ob koncu obdobja rente njen akumulirani znesek enak vsoti članov geometrijskega napredovanja.
v katerem je prvi izraz R, imenovalec (1+i), število članov n. Ta znesek je enak
Kje 
- po shemi postnumerando.
- po shemi prenumerando. (1,2)
primer: V treh letih se na tekoči račun ob koncu vsakega leta nakaže 10 milijonov rubljev, na katere se obračunajo obresti po 10-odstotni letni obrestni meri. Do konca navedenega obdobja je potrebno določiti znesek na TRR.
rešitev: 
milijonov rubljev
Redna renta
Naj bo rok rente R, obrestna mera jaz, obresti se obračunajo enkrat ob koncu leta, v času trajanja rente n. Potem je diskontirana vrednost prvega vplačila enaka
, kjer je faktor popusta.
Vrednost drugega plačila, zmanjšana na začetek najemnine, je enaka Rn 2 itd. Kot rezultat, dane vrednosti tvorijo geometrijsko napredovanje: Rn, Rn 2, Rn 3, ..., R n n, katere vsota je enaka
