Medpanožna bilanca (MOB, input-output method) je ekonomsko-matematični ravnotežni model, ki označuje medsektorska proizvodna razmerja v gospodarstvu države. Označuje razmerje med proizvodnjo v eni panogi in stroški, izdatki za izdelke vseh sodelujočih panog, ki so potrebni za zagotovitev te proizvodnje. Vhodno-izhodna bilanca se sestavlja v denarju in v naravi.
Vhodno-izhodna bilanca (IOB) je predstavljena v obliki sistema linearnih enačb. Je tabela, ki odraža proces oblikovanja in uporabe agregatnega družbenega proizvoda v sektorskem kontekstu. Tabela prikazuje strukturo proizvodnih stroškov za posamezen izdelek in strukturo njegove distribucije v gospodarstvu. Stolpci odražajo vrednostno sestavo bruto proizvodnje sektorjev gospodarstva po elementih vmesne potrošnje in dodane vrednosti. Črte odražajo smer, v kateri se uporabljajo viri posamezne industrije.
V modelu MOB obstajajo štirih kvadrantih... V najprej odraža vmesno potrošnjo in sistem proizvodnih povezav, v drugič- Struktura končne rabe BDP, v tretjič - stroškovna struktura BDP in v četrti - prerazporeditev nacionalnega dohodka.
Teorija vhodno-izhodnega ravnovesja omogoča:
1. analizirati in napovedati razvoj glavnih sektorjev nacionalnega gospodarstva na različnih ravneh – regionalni, znotrajpanožni, medproizvodni;
2. objektivno in ažurno napovedovati stopnje in naravo razvoja nacionalnega gospodarstva;
3. Določite značilnosti glavnih makroekonomskih kazalnikov, pri katerih bo prišlo do ravnotežnega stanja nacionalnega gospodarstva. Zaradi vpliva nanje se približamo ravnotežnemu stanju;
5. ugotavljati intenzivnost virov celotnega nacionalnega gospodarstva in njegovih posameznih sektorjev;
6. določiti smeri povečevanja učinkovitosti in racionalizacije mednarodne in regionalne delitve dela.
Sistem vhodno-izhodnih tabel izvaja dve funkcije: statistično in analitično.
1.Statistična funkcija je v tem, da sistem omogoča preverjanje doslednosti ekonomskih informacij (podjetja, gospodinjstva, proračuni, carinska plačila), ki označujejo tokove blaga in storitev.
2.Analitična funkcija sistem se izraža v možnostih njegove uporabe za analizo stanja, dinamike, procesov napovedovanja in modeliranja scenarijev razvoja gospodarstva kot posledica sprememb različnih dejavnikov. V. Leontiev je s simetričnim modelom input-output sistema razvil metode za analizo razmerja med primarnimi stroški in proizvodnjo v posameznih panogah ter končnim povpraševanjem po njih. Ta analiza temelji na predpostavki, da stroški izdelave izdelka v določenem časovnem obdobju so konstantni.
TO glavne cilje medsektorskega ravnovesja povezani:
- značilnosti reprodukcijskih procesov v gospodarstvu glede na materialno sestavo v podrobni sektorski razčlenitvi;
- odraz procesa proizvodnje in distribucije izdelkov, ustvarjenih na področju materialne proizvodnje in storitev;
- detajliranje obračunov blaga in storitev, proizvodnje, ustvarjanja dohodka in kapitalskih transakcij na ravni panožnih skupin izdelkov in storitev;
- Razkrivanje vloge proizvodnih dejavnikov in njihove učinkovite uporabe za gospodarski razvoj.
Uvod ................................................................. ................................................................ .. 3
1. Model vhodno-izhodnega ravnovesja .............................................. .. 4
1. 1. Dinamični Leontijev model .............................................. ......... 7
1. 2. Konstrukcija dinamičnega Leontijevega modela ......................... 12
2. Neumannov model ................................................. ................................................. 16
Zaključek ................................................................. ................................. dvajset
Reference ................................................. ................................ 21
Dinamični modeli gospodarstva so modeli, ki opisujejo gospodarstvo v razvoju (v nasprotju s statičnimi, ki označujejo njegovo stanje v določenem trenutku). Model je dinamičen, če se vsaj ena od njegovih spremenljivk nanaša na časovno obdobje, ki se razlikuje od časa, ki so mu dodeljene druge spremenljivke.
Na splošno so dinamični modeli gospodarstva reducirani na opis naslednjih ekonomskih pojavov: začetno stanje gospodarstva, tehnološke metode proizvodnje (vsaka "metoda" pravi, da je nabor izdelkov y mogoče proizvesti iz nabora virov x znotraj enota časa), kot tudi merilo optimalnosti.
Matematični opis dinamičnih modelov gospodarstva se izvaja z uporabo sistemov diferencialnih enačb (v modelih z neprekinjenim časom), diferencialnih enačb (v modelih z diskretnim časom) ter sistemov navadnih algebraičnih enačb.
S pomočjo dinamičnih modelov se rešujejo predvsem naslednje naloge načrtovanja in napovedovanja gospodarskih procesov: določanje trajektorije gospodarskega sistema, njegovih stanj v danih časovnih točkah, analiza stabilnosti sistema, analiza strukturnih premikov.
Z vidika teoretične analize je von Neumannov dinamični model pridobil velik pomen. Kar zadeva praktično uporabo dinamičnih modelov gospodarstva, je ta še v začetni fazi: izračuni na podlagi modela, ki je vsaj nekoliko blizu realnosti, so izjemno zapleteni. Toda razvoj v tej smeri se nadaljuje. Uporabljajo se zlasti večsektorski (večsektorski) dinamični modeli gospodarskega razvoja, ki vključujejo dinamične modele input-output ravnotežja, pa tudi proizvodno funkcijo, teorijo gospodarske rasti.
Medsektorsko modeliranje je del makroekonomije
modeliranje in služi za analizo in oceno stanja splošnega gospodarskega ravnovesja nacionalnega gospodarstva. nacionalni
gospodarstvo v medsektorskem ravnovesju predstavljajo številne čiste industrije,
medsebojno povezani finančni tokovi od prodaje izdelkov,
dela in storitve. Čiste industrije so pogojne industrije, ki predstavljajo
proizvodnja enega ali več homogenih izdelkov.
Dinamični modeli input-output bilance - poseben primer dinamičnih modelov gospodarstva; temeljijo na načelu medsektorskega ravnovesja, v katerem so dodatno uvedene enačbe, ki označujejo spremembe medsektorskih odnosov skozi čas na podlagi posameznih kazalnikov: na primer kapitalske naložbe in osnovna sredstva (kar omogoča ustvarjanje kontinuitete med bilancami). posameznih obdobij).
Ključne predpostavke modela input-output bilance:
Vsaka industrija proizvaja točno en izdelek
Vsak izdelek proizvaja natanko ena industrija
Število izdelkov je enako številu industrij
Intenzivnost industrije se lahko meri z obsegom proizvodnje ustreznega izdelka.
Stroški katerega koli izdelka v vsaki panogi so neposredno sorazmerni z njegovo intenzivnostjo
Vhodno-izhodna bilanca je ekonomsko-matematični model, ki ga tvori prekrivanje vrstic in stolpcev tabele, torej bilance distribucije izdelkov in stroškov njihove proizvodnje, povezanih glede na rezultate. Glavni kazalniki so razmerja med skupnimi in neposrednimi stroški.
Dinamični model input-output bilance označuje proizvodne odnose nacionalnega gospodarstva že vrsto let, odraža proces reprodukcije v dinamiki. Po modelu input-output bilance se izvajata dve vrsti izračunov: prvi, ko se izračuna uravnotežen obseg proizvodnje in distribucije izdelkov glede na dano raven končne potrošnje; druga vrsta, ki vključuje mešane izračune, ko se bilanca proizvodnje in distribucije izdelkov izračuna v celoti za dane obsege proizvodnje za eno industrijo (izdelek) in dano končno porabo v drugih panogah.
Najbolj razširjen je matrični ekonomsko-matematični model input-output bilance. Je pravokotna miza (matrika), katere elementi odražajo razmerje gospodarskih objektov. Kvantitativne vrednosti teh predmetov se izračunajo v skladu s pravili, določenimi v teoriji matrik. Matrični model odraža strukturo proizvodnih in distribucijskih stroškov ter na novo ustvarjeno vrednost.
Tabela input-output bilance proizvodnje in distribucije
izdelkov, del in storitev
Prvi kvadrant odraža podatke o medsebojnih dobavah izdelkov,
dela, storitve med panogami. Prvi kvadrant se imenuje kvadrant
vmesno porabo in označuje vmesno porabo
(stroški) ali vmesno povpraševanje industrij v proizvodnji blaga,
dela, storitve:
X ij- stroški izdelka jaz-th industrija dostavljena v j industrija v
med letom oziroma stroške proizvodnje jaz-th industrija porabljena j th
industrija skozi vse leto;
jaz-th line - vmesna poraba izdelkov jaz industrijo za vse
industrije;
j-th stolpec - poraba (stroški) v j industrija vseh
industrije pri proizvodnji svojih izdelkov;
X jaz- stroški proizvedenega bruto proizvoda jaz industrija v
skozi vse leto.
Drugi kvadrant se imenuje kvadrant končne uporabe.
(potrošnja) ali končno povpraševanje. Predstavlja končno porabo proizvodov industrij, razporejenih na končno potrošnjo ( Z jaz), naložbe ( jaz jaz), izvoz ( E jaz) in uvoz ( M jaz), zunanjetrgovinska bilanca ( E jaz – M jaz). Končna potrošnja vključuje potrošnjo gospodinjstev (prebivalstvo), države in neprofitnih organizacij.
Tretji kvadrant se imenuje kvadrant dodane vrednosti. . V njem
predstavlja dodano vrednost stroškom v panogah
izdelki drugih panog pri proizvodnji izdelkov, del, storitev.
Dodana vrednost, proizvedena v sektorjih nacionalnega gospodarstva
vključuje: plače ( V j), amortizacija (poraba stalnega kapitala)
(C j), čisti prihodki ( m j). Četrti kvadrant ni zapolnjen.
Podružnice MOB vključujejo panoge materialne proizvodnje:
industrija (energetika, strojništvo, lahka in živilska
industrija, gradbeništvo, kmetijstvo) in industrije
nematerialne storitve (stanovanjsko-komunalne storitve, bančništvo, zdravstvo, izobraževanje, znanost itd.). Realna input-output bilanca vključuje približno 30 panog. Input-output bilanca za preteklo leto se imenuje bilanca poročanja input-output.
Input-output ravnovesje je v znanosti in praksi znano kot metoda "input-output", ki jo je razvil V.V. Leontijev. Ta metoda je reducirana na reševanje sistema linearnih enačb, kjer so parametri koeficienti stroškov proizvodnje. Koeficienti izražajo razmerje med sektorji gospodarstva (koeficienti tekočih materialnih stroškov), so stabilni in predvidljivi. Reševanje sistema enačb vam omogoča, da določite, kakšna naj bo proizvodnja in stroški v vsaki panogi, da se zagotovi proizvodnja končnega izdelka določenega obsega in strukture. Za to je sestavljena tabela medsektorskih tokov blaga. Neznanke so proizvodnja in stroški blaga, proizvedenega in uporabljenega v vsaki panogi. Njihov izračun s pomočjo koeficientov in pomeni obseg proizvodnje, ki zagotavlja splošno ravnotežje. Če se odkrije nesorazmerje ob upoštevanju naročil potrošnikov, vključno z državnimi, se izdela matrični načrt za sprostitev vseh vrst materialnih dobrin in stroškov njihove proizvodnje.
Input-output metoda je postala univerzalna metoda napovedovanja in načrtovanja tako v tržnem kot v direktivnem gospodarstvu. Uporablja se v sistemu ZN, v ZDA in drugih državah za napovedovanje in načrtovanje gospodarstva, strukture proizvodnje in medsektorskih odnosov.
Dinamični modeli odražajo proces gospodarskega razvoja. V njih
proizvodne kapitalske naložbe so ločene od končne
izdelkov, raziskuje njihovo strukturo in vpliv na rast proizvodnje.
Shema dinamičnega vhodno-izhodnega ravnovesja je prikazana v tabeli
Tabela vsebuje dve matriki. Elementi druge matrike kažejo, koliko izdelkov jaz-th industrija je v tekočem obdobju usmerjena v j industrija kot proizvodne kapitalske naložbe v osnovna in obratna sredstva.
V dinamični shemi je končni izdelek pri jaz vključuje izdelke jaz- industrija gre v osebno in javno porabo, akumulacijo
neproizvodna sfera, gradnja v teku, za izvoz. Vse
kazalniki so podani v vrednosti.
V tabeli so izpolnjena naslednja bilančna razmerja:
Tokovi medpanožnih kapitalskih naložb se nanašajo na obdobje
(t- 1,t). Dinamiko določajo dodatni odnosi:
Ekonomski pomen koeficientov ϕ ij = Кij / ΔХj naslednji: oni
pokaže, koliko izdelkov jaz-to industrijo je treba vlagati
j industriji povečati proizvodnjo svojih izdelkov na enoto v
zadevne enote. Kvote ϕ ij se imenujejo
kapitalskih naložb ali inkrementalnih
kapitalska intenzivnost. Sistem enačb (1) ob upoštevanju (2) lahko zapišemo kot:
(3) predstavljamo v matrični obliki:
(4)
Iz (4) sledi, da
Model (3) imenujemo Leontijev diskretni dinamični model vhodno-izhodnega ravnovesja. Sistem enačb (3) je sistem linearnih diferencialnih enačb 1. reda. Za preučevanje tega modela je potrebno v začetni fazi nastaviti vektorje X (0 ) in Y (t) za t = 1, 2, …, T. Rešitev modela bodo vrednosti vektorjev X (t), K (t), t = 1, 2, …, T.
Pogoj za rešljivost sistema (3) glede na vektor NS (t) je zahteva det ( E − A − F) ≠ 0
V tem modelu se predpostavlja, da se je proizvodnja v obdobju povečala
(t – 1, t) je posledica naložb, izvedenih v istem obdobju.
Za kratka obdobja je ta predpostavka nerealna, saj obstaja
časovni zamiki (časovni zamiki) med naložbami v
proizvodna sredstva in povečanje proizvodnje. modeli,
ob upoštevanju zaostankov kapitalskih naložb tvorijo posebno skupino
dinamični modeli vhodno-izhodnega ravnovesja.
Če gremo v neprekinjen čas, se enačbe (3) prepišejo kot sistem diferencialnih enačb 1. reda s konstantnimi koeficienti:
(6)
Da bi jo rešili, poleg matrik koeficientov trenutnih vrstic
materialni stroški A = (a ij) in koeficienti kapitalskih stroškov F = (ϕ ij)
treba je poznati ravni bruto proizvodnje v začetnem trenutku
t = 0 (x(0)) in zakon spremembe vrednosti končnega izdelka y (t) na segmentu .
Rešitev sistema enačb (6) bodo vrednosti vektorske funkcije x (t)
na segmentu . Pogoj rešljivosti za sistem (6) je det F ≠ 0 .
Bolj splošen dinamični medsektorski model je tisti, ki
ob upoštevanju proizvodnih zmogljivosti industrij. Spodaj je predstavljen v obliki naslednjih razmerij:
(7)
(9)
Stanje gospodarstva v letu t za katero je v dinamiki značilno naslednje
spremenljivke:
NS t- vektorski stolpec bruto proizvodnje industrij;
v t–Vektor zagona zmogljivosti podružnice;
γ je diagonalna matrika upokojitve zmogljivosti;
x t- stolpec vektorja sektorskih zmogljivosti (največji možni rezultati);
l t = (l 1 , l 2 ,..., l n)t vektor delovne intenzivnosti industrijske proizvodnje je lahko odvisen od časa;
L t – obseg delovnih virov v gospodarstvu.
Čas v modelu je diskreten in se spreminja v intervalih, enakih enem letu
(t = 1, 2, …, T). Matrični koeficienti neposrednih stroškov А = ║аij║ in matrice
kapitalska intenzivnost povečanja proizvodnih zmogljivosti Ф = ║фij║ lahko
odvisno od časa. Vektorska funkcija je eksogeno podana Y t in številsko funkcijo L t . Rešitev modela so vektorji NS t in x t ki izpolnjujejo sistem neenakosti (7) - (10).
Neenakosti (7) kažejo, da je vektor bruto produkta X t bi moral
zagotavljajo tekoče proizvodne stroške AX t, proizvodni stroški za
zagon proizvodnih objektov ФV t in za neproizvodno porabo Y t. Neenakosti (8) omejujejo bruto proizvodnjo panog z razpoložljivimi zmogljivostmi, neenakosti (9) predstavljajo sektorske bilance sprememb proizvodnih zmogljivosti ob upoštevanju njihovega odliva in vložka, neenakosti (10) kažejo, da je skupna zaposlenost omejena z razpoložljivimi delovnimi viri.
Določimo vrednosti, ki označujejo spremembe bruto proizvodnje 5 panog v 7 časovnih intervalih.
| Rybnaya | -25056 | -46023 | -27579 | -9222 | 18357 | -22098 | -79866 |
| Logistika | 101607 | -1499 | 56461 | 8932 | 226650 | -181033 | -583399 |
| Popravilo ladij | -7076 | 29510 | 9728 | 55934 | -35028 | 15280 | -432869 |
| Hrana | 10100 | 11822 | 39809 | -54373 | 12350 | 35889 | -532456 |
| Stroji in instrumenti | 11706 | 2156 | 16085 | -97206 | 36989 | 9201 | -543768 |
Sedaj reproduciramo matriko D. Koeficient d ij matrike D je enako številu izdelkov v industriji i, potrebnih za povečanje zaloge industrije j za eno enoto (vrednostno). Kvote d ij se imenujejo koeficienti kapitalske intenzivnosti prirastkov OPF.
| Proizvodnja izdelkov, B | Poraba izdelka | Končni izdelek Y |
Bruto proizvodnja |
||||
| Rybnaya | Logistika | Popravilo ladij | Hrana | Stroji in instrumenti | |||
| Rybnaya | 1 | 5,5 | 1,5 | 5 | 6 | 56700 | 101964 |
| Logistika | 6 | 1 | 5 | 4,5 | 3 | 56430 | 204324 |
| Popravilo ladij | 4,5 | 5 | 1 | 6 | 6 | 390860 | 508326 |
| Hrana | 5 | 5 | 5 | 1 | 6 | 787890 | 1289754 |
| Stroji in instrumenti | 4 | 4 | 5 | 4 | 1 | 323630 | 734563 |
Konstruirajmo matriko K koeficientov kapitalskih izdatkov oziroma kapitalskih količnikov.
| Proizvodnja izdelkov, B | Poraba izdelka | Končni izdelek Y | Bruto proizvodnja | ||||
| Rybnaya | Logistika | Popravilo ladij | Hrana | Stroji in instrumenti | |||
| Rybnaya | 0,8 | 4,4 | 1,2 | 4 | 4,8 | 56700 | 101964 |
| Logistika | 4,8 | 0,8 | 4 | 3,6 | 2,4 | 56430 | 204324 |
| Popravilo ladij | 3,6 | 4 | 0,8 | 4,8 | 4,8 | 390860 | 508326 |
| Hrana | 4 | 4 | 4 | 0,8 | 4,8 | 787890 | 1289754 |
| Stroji in instrumenti | 3,2 | 3,2 | 4 | 3,2 | 0,8 | 323630 | 734563 |
Zdaj pa definirajmo
Naj je Ф 0 = 0,
(Matrika A je matrica neposrednih stroškov)
Torej, imamo prvi vektor
| Industrija | x pri t = 1 | Ф pri t = 1 | y pri t = 1 |
| Rybnaya | 191487 | -20044,8 | -3,601*10^4 |
| Logistika | 372281 | 81285,6 | 7,575*10^4 |
| Popravilo ladij | 364521 | -5660,8 | 2,697*10^3 |
| Hrana | 476859 | 8080 | 1,824*10^4 |
| Stroji in instrumenti | 564837 | 9364,8 | -8,428*10^3 |
Podobno dobimo tabele za t = 2, 3, 4, 5, 6.
| Industrija | x pri t = 2 | Ф pri t = 2 | y pri t = 2 |
| Rybnaya | 166431 | -56863,2 | -6,808*10^4 |
| Logistika | 473888 | 80086,4 | -6,632*10^3 |
| Popravilo ladij | 357445 | 17947,2 | 2,495*10^4 |
| Hrana | 486959 | 17537,6 | 2,816*10^4 |
| Stroji in instrumenti | 576543 | 11089,6 | 5,698*10^3 |
| Industrija | x pri t = 3 | Ф pri t = 3 | y pri t = 3 |
| Rybnaya | 120408 | -78926,4 | -4,702*10^4 |
| Logistika | 472389 | 125255,2 | 2,757*10^4 |
| Popravilo ladij | 386955 | 25729,6 | 8,966*10^3 |
| Hrana | 498781 | 49384,8 | 3,867*10^4 |
| Stroji in instrumenti | 578699 | 23957,6 | -3,451*10^3 |
| Industrija | x pri t = 4 | Ф pri t = 4 | y pri t = 4 |
| Rybnaya | 92829 | -86304 | -4,489*10^4 |
| Logistika | 528850 | 132400,8 | 5,323*10^4 |
| Popravilo ladij | 396683 | 70476,8 | 3,166*10^4 |
| Hrana | 538590 | 5886,4 | -3,038*10^4 |
| Stroji in instrumenti | 594784 | -53807,2 | -6,271*10^4 |
| Industrija | x pri t = 5 | Ф pri t = 5 | y pri t = 5 |
| Rybnaya | 83607 | -71618,4 | 8,141*10^3 |
| Logistika | 537782 | 313720,8 | 1,671*10^5 |
| Popravilo ladij | 452617 | 42454,4 | -2,388*10^4 |
| Hrana | 484217 | 15766,4 | -2,626*10^3 |
| Stroji in instrumenti | 497578 | -24216 | -2,208*10^4 |
| Industrija | x pri t = 6 | Ф pri t = 6 | y pri t = 6 |
| Rybnaya | 101964 | -89296,8 | -9,557*10^3 |
| Logistika | 764432 | 168894,4 | -1,595*10^5 |
| Popravilo ladij | 417589 | 54678,4 | 1,239*10^4 |
| Hrana | 496567 | 44477,6 | 3,563*10^4 |
| Stroji in instrumenti | 534567 | -16855,2 | 3,836*10^4 |
Neumannov model predstavlja n izdelki in m njihove načine
proizvodnjo. Vsak j- th metoda je podana s stolpcem vektorja stroškov izdelka
a j in stolpec vektorja sproščanja izdelkov b j na enoto
intenzivnost procesa:
(1)
To pomeni, da pri enotnih intenzivnostih j th proizvodni proces porabljenih vektorskih izdelkov a j in proizvedenih izdelkov b j... Vektorji (1) se upoštevajo v naravnih enotah ali v stalnih cenah.
Stroškovne matrike se oblikujejo iz vektorjev vhodov in izhodov A in težave
V z nenegativnimi razmerji stroškov a ij in težave b ij :
Matrice A in V imajo naslednje lastnosti:
1) 
a
ij
≥0 ,b
ij≥0, tj. vsi matrični elementi niso negativni;
2) kar pomeni: v vsakem od m načine
proizvodnja porabi vsaj en izdelek;
3) kar pomeni: vsak izdelek
proizvedeno z vsaj eno proizvodno metodo;
Tako vsak stolpec matrike A in vsako vrstico matrike V
mora imeti vsaj en pozitiven element.
Čez NS (t) označimo stolpec vektorja intenzivnosti
Potem AX (t) Je vektor stroškov, Bx (t) Je vektor izhodov za dano
vektor NS (t) intenzivnosti procesov.
Neumannov model je posplošitev dinamičnega modela
vhodno-izhodno ravnovesje Leontjeva, saj omogoča proizvodnjo enega izdelka z več načini proizvodnje in sovpada z njim, če B = E.
Neumannov model ima naslednja razmerja:
(2)
Odnosi (2) pomenijo, da pri proizvodnji izdelkov v letu
(t+ 1) izdelki, proizvedeni v enem letu, se porabijo t.
Vektor str (t)=(str 1 (t), str 2 (t),..., str n (t)) ≥0 se imenuje vektor cene
proizvedenih izdelkov na leto tče izpolnjuje naslednja razmerja:
(3)
Če so koeficienti matrik A in V So torej vrednosti v stalnih cenah R (t) bo vektor indeksov cen.
Prva vektorska neenakost v (3) pomeni, da so stroški proizvodnje
izdelkov za vsak tehnološki način proizvodnje na leto t+ 1 ne sme biti več kot strošek stroškov v cenah leta t.
Iz (2) in (3) sledi, da veljajo naslednja razmerja:
(4)
Prva relacija v (4) pomeni, da je cena jaz th izdelka na leto t je enaka nič, če je njena proizvodnja v enem letu t bo več kot njegovi stroški na leto ( t + 1).
Druga relacija (4) to pomeni j-. tehnološki proces na leto t ne bo veljal (intenzivnost je nič), če so stroški njegovih stroškov v enem letu t več kot stroški njegove izdaje na leto ( t + 1).
Opredelitev. Vektorji NS (t) in str (t), t = 1, 2, …, T imenujemo trajektorija
uravnotežena rast v Neumannovem modelu, če izpolnjujejo
pogoji:
(5)
Tukaj je λ stopnja, ρ je uravnotežen odstotek rasti.
Iz (5) sledi, da so v stanju uravnotežene rasti vrednosti komponent vektorja NS (t) sorazmerno naraščajo, vektorji pa str (t) zmanjšati. V tem primeru se pojavijo naslednji odnosi:
(6)
kje NS(0) in R(0) - začetne vrednosti vektorjev v letu t = 0.
Iz (5), (6) izhaja, da morajo biti na trajektoriji uravnotežene rasti izpolnjena razmerja.
(7)
Rešuje se vprašanje obstoja poti uravnotežene rasti
po naslednjih izrekih.
Neumannov prvi izrek... Če matriki A in B izpolnjujeta
lastnosti 1-3, potem ima sistem neenakosti (7) rešitev X (t), p (t), λ, ρ,
tiste. v Neumannovem modelu obstajajo uravnotežene poti rasti.
Neumannov drugi izrek. Obstaja rešitev X * (t), str * (t),λ * ,ρ *
sistema (7), ki bo imel največjo hitrost rasti λ * ≥ λ in
minimalna odstotna stopnja ρ * ≤ ρ v primerjavi z drugimi rešitvami.
V tem primeru je razmerje izpolnjeno:
(8)
Ta rešitev se imenuje avtocesta ali trajektorija
največja uravnotežena rast v Neumannovem modelu.
Neumannov model je neizračunljiv, čisto teoretični model. Dostop do praktičnih rezultatov poteka preko dinamičnega modela V. Leont'eva, ki je poseben primer Neumannovega modela. Cene, pridobljene na podlagi dinamičnega ravnovesja, imajo lastnosti cen Neumannovega modela. Leontiefov model uporablja podatke iz dinamičnega vhodno-izhodnega ravnovesja. Na podlagi dinamičnega ravnovesja je mogoče konstruirati tudi Neumannov žarek največje uravnotežene gospodarske rasti in izračunati cene, ki ustrezajo temu žarku, ki odražajo oportunitetne stroške. Razlika med dinamičnim medsektorskim modelom in Neumannovim modelom je v tem, da temelji na predpostavki, da je v vsaki panogi možen en in samo en proizvodni proces. Tako se izbira rešitve za vsako industrijo zmanjša le na določitev intenzivnosti proizvodnega načina.
Za zaključek ugotavljamo, da s pomočjo medsektorskega ravnovesja rešujejo
naslednje naloge:
1. S pomočjo tabele input-output bilance poiščite matriko neposrednih in skupnih stroškov.
2. Ko nastavite vektor končne proizvodnje, določite vektor bruto proizvodnje.
3. Po danem vektorju bruto proizvodnje določimo vektor končnega proizvoda.
4. Z novimi vrednostmi dodane vrednosti poiščite indekse cen in zgradite novo tabelo input-output ravnotežja.
5. Poiščite vektorje bruto proizvodnje, dodane vrednosti, stroškov,
delež stroškov in dodane vrednosti v bruto proizvodu, medsektorski
dobavo izdelkov, sestavi tabelo input-output bilance.
Analitična metoda "input-output" je teorijo splošnega gospodarskega ravnovesja napolnila s praktično vsebino, prispevala je k izboljšanju matematičnega aparata. Leontiefovo metodo odlikujejo jasnost in preprostost, univerzalnost in globalnost, z drugimi besedami, primernost za gospodarstvo posameznih držav in regij, za svetovno gospodarstvo kot celoto.
Leontijev input-output model temelji na shemi input-output bilance ob predpostavki, da vsaka industrija proizvaja en in samo svoj izdelek z uporabo izdelkov drugih industrij in z linearno tehnologijo. Pomaga analizirati pretok blaga med panogami in odgovarja na vprašanje: ali je v pogojih te tehnologije mogoče zadovoljiti končno povpraševanje prebivalstva po blagu?
Glavna pot je Neumannov žarek. Glavno vprašanje teorije hrbtenice je analiza bližine poti optimizacijskih modelov ustreznim hrbtenicam. Optimalne trajektorije v dinamičnih modelih Leontiev in Neumann imajo takšne lastnosti pod določenimi dodatnimi pogoji.
1. Kolemaev V.A. "Ekonomsko-matematično modeliranje" UNITY-DANA, 2005 295 str.
2. Pottosina S. A., Zhuravlev V. A. "Ekonomski in matematični modeli in metode" Učbenik za študente ekonomskih smeri, 2003. - 94 str.
3. Ekonomsko-matematični modeli in metode / Ed. A.V. Kuznecov. - Minsk: BSEU, 2000.
4.http: //slovari.yandex.ru/dict/lopatnikov/article/lop/lop-0879.htm
5.http: //www.sseu.ru/edumat/v_mat/course2/razd10_2/par10_4k2.htm
Pogosto je pri gospodarskem načrtovanju na ravni regij ali države kot celote potrebno določiti obseg proizvodnje blaga, ki ustreza danemu povpraševanju prebivalstva in proizvodnim potrebam. Ta problem je mogoče rešiti z uporabo uravnoteženih modelov proizvodnje in distribucije izdelkov. V. osnova za konstrukcijo teh modelov je bilančna metoda, to je metoda medsebojne primerjave razpoložljivih materialnih, delovnih in finančnih sredstev s potrebo po njih.
Metode bilančnega načrtovanja je mogoče obravnavati na različnih ravneh hierarhije gospodarskih objektov: podjetja, združenja, industrije, nacionalno gospodarstvo kot celota. Model input-output bilance (IOB) je v preteklosti prvi ekonomsko-matematični model konsolidiranega nacionalnega gospodarskega načrtovanja. Prve bilance nacionalnega gospodarstva je v letih razvila Centralna statistična uprava ZSSR. Trenutno se bilance input-output na nacionalni ravni sestavljajo v približno osemdesetih državah po svetu. Prav tako se gradijo medsektorska ravnovesja na ravni regij in velikih mest.
Predhodniki MOB so bili: ekonomska tabela F. Quesnaya (1758) in sheme družbene reprodukcije K. Marxa (XIX stoletje). Ruski ekonomist (), ki je preučeval medsektorske odnose, je bil prvi, ki je v ta namen uporabil linearne enačbe in predlagal tehnološke koeficiente. Avtor sodobnega modela input-output analize (v angleško govorečih državah se imenuje "input-output analysis") je ameriški znanstvenik (Rus po izvoru) Vasilij Leontijev. Leta 1973 je prejel Nobelovo nagrado za razvite metode ekonomske analize (input-output model).
Ta model omogoča izračun skupnih stroškov bruto proizvodnje, neposrednih in posrednih stroškov na enoto proizvodnje, omogoča pa tudi vzpostavitev jasnih količinskih razmerij med bruto družbenim proizvodom, nacionalnim dohodkom in razvojem posameznih sektorjev gospodarstva. ekonomičnost Metoda je univerzalna. Z njeno pomočjo so Američani na primer izvedli prestrukturiranje gospodarstva iz vojaškega tira v mirno. Služil je kot osnova za indikativne načrte, ki so se uporabljali na Japonskem.
Medpanožna bilanca proizvodnja in distribucija izdelkov - orodje za analizo in načrtovanje strukture družbene proizvodnje ob upoštevanju zapletenih medsebojnih odnosov panog proizvodne sfere. Glede na enote, v katerih se merijo tokovi proizvoda v tehtnici, obstajajo različne možnosti za medpanožne bilance: v naravi, v vrednosti, v naravi, v delovnem smislu... Glede na ekonomsko vsebino informacij lahko bilance razdelimo na načrtovanje in poročanje; glede na naravo uporabljenega modela - v statično in dinamično.
Razmislite o fragmentu (trije odseki) poročevalskega input-output bilance (IOB), v katerem se tokovi izdelkov merijo na podlagi vrednosti blaga, proizvedenega v nekaterih fiksnih cenah (tabela 1). Osnova bilance je sklop panog materialne proizvodnje. V medsektorskem ravnovesju se koncept industrije razlikuje od splošno sprejetega, tukaj se uporablja koncept "čiste" (ali tehnološke), to je pogojna industrija, ki združuje vso proizvodnjo določenega izdelka, ne glede na oddelek. podrejenost podjetij in podjetij.
Tabela 1
Fragment tabele ravnotežja vhod-izhod
Vsaka panoga je v bilanci stanja prikazana dvakrat: kot proizvajalec in kot poraba. Industrija kot proizvajalec izdelkov ustreza določeni vrstici v tabeli, kot potrošnik izdelkov pa določenemu stolpcu. Ker so panoge čiste, je indeks industrije mogoče identificirati tako z vrsto izdelka kot s tehnološkim procesom.
Prvi del vsebuje informacije o medsektorskih povezavah. Vrednosti na presečišču panog (tj. vrstice in stolpci tabele) je treba razumeti kot vrednost proizvodnih sredstev, proizvedenih v i-ti industriji in porabljenih kot materialne stroške v i-ti industriji (medpanožna dobava izdelki zaradi proizvodnih dejavnosti industrij). ...
Tako vsaka vrstica prvega razdelka prikazuje porazdelitev proizvodov --ega sektorja med drugimi sektorji nacionalnega gospodarstva. - proizvodna poraba proizvodov -th sektorja s strani gospodarskega sistema (vmesni produkt -th sektorja).
Stolpci prvega dela bilance stanja odražajo strukturo stroškov materiala za posamezno panogo. - skupni proizvodni stroški -. panoge v poročevalskem obdobju. - skupni proizvodni stroški vseh sektorjev ali celotni vmesni proizvod nacionalnega gospodarstva.
Tako je v prvem delu MB prikazana splošna slika proizvodnih stroškov in distribucije izdelkov panog za proizvodne namene. Podatki kvadranta I imajo odločilno vlogo pri analizi strukture materialnih stroškov panog, deležev in proizvodnih povezav med panogami, tokov materialno-tehničnega sistema oskrbe.
Drugi razdelek vsebuje količine - vrednosti končnega izdelka in - vrednosti bruto proizvoda ().
Končni izdelek- to so izdelki panog materialne proizvodnje, ki prihajajo za namene osebne in javne neproizvodne potrošnje, kopičenja in povračila odtujitve osnovnih sredstev, povečanja zalog, stroškov izobraževanja, zdravstvenega varstva, izvoza itd.).
- skupni končni produkt gospodarskega sistema oziroma nacionalnega dohodka, stolpec pa označuje materialno strukturo nacionalnega dohodka.
V podrobnih bilančnih diagramih je končni produkt vsake panoge prikazan diferenciran po smereh uporabe: za potrošnjo, naložbe, povečanje zalog in rezerv, izvoz in druge stroške.
Prvi in drugi del vhodno-izhodne bilance se imenujeta vhodno-izhodna tabela. Glede na vrstice te tabele je zgrajeno naslednje razmerje ravnotežja:
, (),
(2.1),
to pomeni, da je bruto proizvod vsake industrije enak vsoti končnih in vmesnih proizvodov.
Tretji del MB odraža strukturo stroškov bruto proizvoda panog. V naši tabeli je tretji del predstavljen z 2 vrsticama. Prvi vsebuje vrednosti, od katerih vsaka pomeni dodano vrednost (pogojno neto proizvodnjo) industrije, drugi pa bruto proizvod. Začasna neto proizvodnja je opredeljena kot razlika med bruto proizvodnjo in skupnimi proizvodnimi stroški:
(2.2)
Dodana vrednost je tisti del vrednosti izdelka, ki je ustvarjen v določeni panogi. Odraža dobičke, plače, amortizacijo, davke in druge stroške, ki jih ima vsak predmet (panoga) poleg plačil za vire, prejete iz drugih panog.
Običajno je pri razporejenih MB namišljena neto proizvodnja razdeljena na amortizacijske stroške in neto proizvodnjo.
Relaciji (2.1) in (2.2) implicirata
(2.3),
od koder dobimo: (2.4)
To razmerje kaže, da je celotni končni produkt gospodarskega sistema (narodni dohodek) enak skupni pogojno neto proizvodnji. Tako tretji razdelek označuje tudi nacionalni dohodek, vendar s strani njegove vrednostne sestave kot vsote plač in neto dohodka vseh vej materialne proizvodnje, vrednosti pa kažejo prispevek industrije k nacionalnemu dohodku.
Podatki tretjega poglavja so potrebni za analizo razmerja med na novo ustvarjeno in preneseno vrednostjo, med vrednostjo nujnega in presežnega proizvoda na splošno za materialno proizvodnjo in v sektorskem kontekstu. V celoti gledano enačba (2.4) kaže, da se v medsektorskem ravnovesju upošteva najpomembnejše načelo enotnosti materialne, materialne in vrednostne sestave nacionalnega dohodka.
Treba je opozoriti, da bilanca v fizičnem smislu običajno vsebuje le kazalnike I in II oddelkov sheme input-output bilance. Razvit je za najpomembnejše vrste izdelkov in običajno ne zajema celotne družbene proizvodnje.
Naj poudarimo, da poročevalski IB, ki smo ga obravnavali, še ni model, ampak le način predstavitve statističnih informacij o gospodarstvu države. Zgrajena je na podlagi agregiranja rezultatov posameznih podjetij. Poleg poročevalskih MB se razvijajo načrtovani MB. Za njihovo izgradnjo je treba uporabiti modele medsektorskega ravnotežja.
Model bilance temelji na naslednjih predpostavkah o lastnostih gospodarskega objekta:
· Gospodarski sistem sestavlja več gospodarskih subjektov. Količino izdelkov, ki jih proizvede vsak predmet, lahko označimo z eno številko, ki se najpogosteje šteje za bruto proizvodnjo v nekaterih fiksnih cenah.
Produkte, ki jih proizvede vsak objekt, delno porabijo drugi objekti sistema, delno pa vstopijo navzven kot končni produkt tega sistema, to je relacija
(2.5)
· Namen sistema je izdelati vnaprej določeno količino končnega izdelka.
· Lastnost konzumne popolnosti: za sprostitev določene količine izdelka mora predmet prejeti strogo določeno količino drugih izdelkov.
· Lastnost linearnosti porabe: povečanje proizvodnje za določeno število krat zahteva povečanje porabe predmeta vseh drugih izdelkov za enako število krat.
Očitno je, da oblikovane predpostavke le približno odražajo realno gospodarsko stanje, na primer predpostavka o popolnosti porabe, ki predpostavlja, da proizvodna tehnologija v vsakem objektu ostane nespremenjena v obravnavanem časovnem obdobju, vsaka panoga pa ima en sam proizvodne tehnologije, ni dovoljeno nadomestiti enega vira z drugim.
V realni proizvodnji lahko isti izdelek, odvisno od uporabljene tehnologije, zahteva različno količino sestavin, model pa predpostavlja, da je izdelek proizveden na nek povprečen način. Kljub tem poenostavitvam je model bilance zaradi svoje preprostosti in možnosti izračunavanja vseh kazalnikov načrta priročno orodje za načrtovanje.
Gradnja modela.
Izberimo kot spremenljivke modela vrednost bruto proizvodnje -. (). Na podlagi predpostavke 2 del tega produkta zapusti sistem kot končni produkt. Vrednosti se v modelu obravnavajo kot načrtovana naloga, medtem ko je relacija (2.5) izpolnjena:
()
Lastnosti linearnosti in popolnosti porabe določajo zakonitosti, ki urejajo preoblikovanje virov v sistemu, in sicer glede na lastnost popolnosti za sprostitev proizvodne enote mora predmet uporabiti druge produkte zadevnega ekonomskega sistema v določeno razmerje. Naj ` 
je vektor, ki določa to razmerje, pri čemer se količine imenujejo tehnološki koeficienti ali koeficienti neposrednih stroškov
- količina izdelkov - th industrija, potrebna za proizvodnjo enote proizvodnje v j-ti industriji. Količine niso odvisne od obsega proizvodnje in so skozi čas relativno stabilne.
Matrika, sestavljena iz količin, se imenuje matrika tehnoloških koeficientov ali matrika neposrednih stroškov
A = 
Iz ekonomskega pomena veličin izhaja, da vsi elementi matrike niso negativni. To lastnost bomo zapisali na naslednji način:. Ker postopka reprodukcije ne bi bilo mogoče izvesti, če bi v industriji za lastno proizvodnjo porabili večjo količino izdelka, kot je bila ustvarjena, je očitno, da so diagonalni elementi matrike manjši od 1: < 1
Na podlagi lastnosti linearnosti lahko trdimo, da. če th objekt ne proizvede enote proizvodnje, potem pa bo potreboval () proizvodne enote th industrije, t.j. medpanožna dobava izdelkov iz te industrije v drugo je
Napaka! Objekta ni mogoče ustvariti iz kod za urejanje polj. (2.6)Napaka! Objekta ni mogoče ustvariti iz kod za urejanje polj.
(2.6) nadomestimo v (2.5) in dobimo naslednji sistem ravnotežnih enačb:
() (2.7)
Iz ekonomskega pomena velikosti Napaka! Objekta ni mogoče ustvariti iz kod za urejanje polj. (2.8)
Relaciji (2.7) in (2.8) skupaj z navedeno interpretacijo koeficientov in vektorjev definirata preprost model Leontjevega ravnovesja.
V matrični obliki lahko model zapišemo takole:
(2.9).
V bilančnem modelu se šteje, da sta podana: matrika A in vektor končne proizvodnje Y. Določiti je treba matriko X (bruto proizvodnja).
Pri obravnavanju bilančnih modelov se postavlja vprašanje določanja koeficientov neposrednih stroškov. (matrice A). V poenostavljenem modelu se predpostavlja, da so koeficienti neposrednih stroškov v obravnavanem časovnem obdobju konstantni in odvisni le od obstoječe proizvodne tehnologije, kar omogoča, da jih izračunamo na podlagi obdelave podatkov o dejanskih proizvodnih tokovih za preteklo obdobje, predstavljeno v poročevalskem MB: (2.10)
Razmislite o modelu bilance stanja:
Preučevanje sistema enačb (2.11) pomeni najprej razjasnitev pogojev, ki zagotavljajo obstoj in edinstvenost nenegativne rešitve tega sistema. (2.11) je linearni sistem enačb s spremenljivkami. Takšni sistemi imajo edinstveno rešitev, če njihova determinanta ni enaka nič. Uvedemo enotno matriko E in zapišemo (2.11) v obliki:
Torej, da bi imel sistem enačb (2.11) rešitev, je potrebno, da je determinanta matrike nenič: ( 
). V tem primeru obstaja matrika obratno za .
Potem lahko rešitev sistema (2.11) definiramo na naslednji način:
Da pa ima rešitev ekonomski pomen, mora biti nenegativna, t.j. ... Upoštevajte, da obstoj matrike ne zagotavlja nenegativnosti nastale rešitve. Poleg tega so z ekonomskega vidika še posebej zanimivi sistemi, ki imajo nenegativno rešitev za kateri koli dani vektor končne proizvodnje, tj. .
Tako je glavno vprašanje, ki se poraja pri preučevanju Leontijevega modela, naslednje: ali je obravnavana tehnologija, podana z matriko, sposobna zagotoviti kakršno koli končno povpraševanje. Z matematičnega vidika to pomeni določitev pogojev, ki jih mora matrica izpolnjevati, da ima sistem ravnotežnih enačb nenegativno rešitev za katero koli. Odgovor na to vprašanje je povezan s konceptom matrične produktivnosti.
Opredelitev. Matrica se imenuje produktivna, če obstaja takšen nenegativen vektor
, tj. (2.15).
Pogoj (2.15) pomeni, da se proizvede več proizvodnje, kot se porabi za proizvodno porabo (vmesni izdelek). ). Posledično vsak predmet proizvede določeno količino končnega izdelka. V primeru produktivne matrike se model (2.11-2.12) imenuje tudi produktiven.
Izrek - 1... Produktivnost matrike je nujen in zadosten pogoj za obstoj in edinstvenost nenegativne rešitve sistema ravnotežnih enačb (2.11).
Izrek - 2(potreben in zadosten pogoj za produktivnost). Matrika Napaka! Objekta ni mogoče ustvariti iz kod za urejanje polj. produktivno, če in samo če obstaja matrika in vsi njegovi elementi niso negativni.
Izrek - 3(zadostni pogoj za produktivnost)
Matrica je produktivna, če so vsi njeni elementi nenegativni in vsota elementov za vsak stolpec ni več kot ena ( 
).
Zadostni pogoj se lahko uporabi samo za matriko v metrih vrednosti. Poleg tega je treba opozoriti, da je matrika lahko produktivna, tudi če ta pogoj ni izpolnjen (saj je to zadostna, ne nujna lastnost).
Torej, za produktivno matriko lahko rešitev sistema ravnotežnih enačb zapišemo:
torej na podlagi koeficientov neposrednih stroškov za dani končni izdelek lahko takoj določimo bruto proizvodnjo panog. To je osnovna ideja uporabe modelov med panogami za načrtovanje proizvodnje. Iz linearnosti Leontijevega modela sledi, da sta prirast vektorja in ustrezen prirast vektorja povezana z enačbo. Posledično vam matrika omogoča izračun spremembe bruto proizvodnje, ki jo povzroči sprememba končne potrošnje. Zato matrika 
pogosto imenovan matrični množitelj ali Leontijev množitelj.
Označimo z 
elementov matrike in ugotoviti njihov ekonomski pomen. Poglejmo si poseben primer: naj neka industrija proizvede eno enoto končnega izdelka, ostale panoge pa ne proizvedejo končnega izdelka, t.j.
(2.17)
Če - produktivno torej , tj.
=
(2.18)
Iz enakosti vektorjev v (2.18) sledi, da () (2.19).
Relacije (2.19) razkrivajo ekonomski pomen elementov matrike:
tukaj je bruto količina izdelkov, ki jih mora proizvesti industrija, da lahko industrija proizvede eno enoto končnega izdelka. Zato se elementi imenujejo koeficienti skupnih stroškov materiala, matrika pa se imenuje matrika skupnih stroškov materiala (materialni stroški v tem primeru so izdelki, ki jih proizvajajo predmeti obravnavanega gospodarskega sistema).
Koeficienti neposrednih stroškov označujejo neposredne stroške izdelkov -te industrije za proizvodnjo enote izdelkov -te industrije. Vendar pa poleg neposrednih stroškov obstajajo posredni ali posredni stroški. Na primer, razmislite o oblikovanju stroškov električne energije pri proizvodnji avtomobilov. Omejili se bomo na naslednjo tehnološko verigo:
avto - karoserija - jeklena pločevina - valjana.
Stroški električne energije neposredno med montažo avtomobila (1. faza) bodo neposredni stroški. Toda pri izdelavi karoserije iz jeklene pločevine in jekla iz valjanih izdelkov je potrebna tudi električna energija. Ti neposredni stroški pri izdelavi karoserije in jeklene pločevine so posredni (posredni) stroški prvega oziroma drugega reda pri izdelavi avtomobila.
Uvedba posrednih stroškov nam omogoča, da podamo naslednjo definicijo skupnih stroškovnih razmerij:
razmerje med skupnimi materialnimi stroški se imenuje skupna količina proizvodnje i-te industrije, potrebna za proizvodnjo enote proizvodnje i-te industrije, tako neposredno kot posredno, ob upoštevanju vseh vmesnih izdelkov na vseh stopnjah proizvodnje, potrebnih za proizvodnjo izdelkov i-te industrije .
Za proizvodnjo enote proizvodnje v industriji je potrebno neposredno porabiti nabor izdelkov 
, ki je formalno opisan s th stolpcem matrike ... Po drugi strani pa so za proizvodnjo nabora izdelkov potrebni tudi izdelki gospodarskih sektorjev. Ta nabor izdelkov bomo označili z. Zaradi lastnosti linearnosti = ... Elementi vektorja se imenujejo koeficienti posrednih stroškov prvega reda za proizvodnjo enote izdelka - th industrija. Matrika, sestavljena iz stolpcev (), se imenuje matrika prvega reda. To je očitno 
Posredni stroški drugega reda so stroški, potrebni za zagotavljanje posrednih stroškov prvega reda, t.j. 
ali v matrični obliki: itd.
Polni stroški so opredeljeni kot vsota neposrednih in posrednih stroškov vseh naročil:
Ob upoštevanju tega dobimo
Izrek... Če je matrika produktivna, se lahko matrika predstavi kot vsota konvergentne serije matrik moči:
(dokažite sami! Dokaz temelji na lemi :
če je matrica A produktivna, potem 
)
Primerjava relacij (2.21) in (2.22) omogoča vzpostavitev razmerja med matricami in skupnimi materialnimi stroški: Ta odnos določa ekonomski pomen razlike med matricami in enoto končnega izdelka. Poznavanje matrike skupnih stroškov omogoča analiziranje razmerja med končnim in bruto proizvodom, določanje skupnih stroškov proizvodnje te ali drugačne vrste končnega izdelka ter izračun različnih možnosti načrta za različne količine in strukturo končne potrošnje.
Opredelitev. Matrica 
imenujemo matrica posrednih materialnih stroškov. Z uporabo relacije (2.22) lahko zapišemo:
Posredni stroški višjega reda so zelo majhni, zato jih je pri praktičnih izračunih mogoče zanemariti. Relaciji (2.22) in (2.23) lahko poiščemo približne vrednosti ustreznih matrik. Več kot je izbranih članov za njihov izračun, bolj so natančni.
Za delovanje gospodarskih objektov niso potrebni le proizvodi drugih predmetov tega sistema, ampak tudi takšni proizvodni dejavniki, kot so proizvodna sredstva (oprema, proizvodne zmogljivosti, delovna sila itd.). Poleg tega lahko gospodarski sistem prejema izdelke iz drugi ekonomski sistemi so običajno omejeni, kar je razlog, da gospodarski sistem ne more proizvesti vsakega vektorja končnega proizvoda tudi v primeru produktivnosti matrike A. Zato je za določitev načrta potrebno izračunati potrebe sistema po proizvodnih faktorjih Razpoložljive količine faktorjev.
Potrebo sistema po proizvodnih faktorjih označujemo z 
, kjer je potreba po --tem faktorju. Potrebo je mogoče meriti tako v naravnih enotah (ure, m² itd.) kot v denarnih enotah. Za vsak gospodarski objekt bo značilen vektor stroškov proizvodnih faktorjev na enoto proizvodnje: tukaj je znesek --ega faktorja, ki ga potrebuje objekt za proizvodnjo enote proizvodnje. Količine se imenujejo koeficienti neposrednih stroškov proizvodnih faktorjev in matrika ,
sestavljen iz teh koeficientov – matrika neposrednih stroškov proizvodnih faktorjev.
Vsak stolpec matrike = določa neposredne stroške dejavnikov določene panoge, vsaka vrstica pa opisuje potrebo sistema po --tem proizvodnem faktorju. Menimo, da sta za proizvodne faktorje izpolnjeni lastnosti linearnosti in popolnosti potrošnje. Če je vektor bruto proizvodnje, potem je skupno povpraševanje gospodarskega sistema v faktorju: 
... To razmerje lahko zapišemo v matrični obliki:
od kje .
Matrika . določa skupne stroške proizvodnih faktorjev na enoto proizvodnje. Kot smo že omenili, je število vsakega faktorja omejeno in je podano z matriko 
... Potem je načrt za končni izdelek sprejemljiv, če obseg proizvodnih dejavnikov, potrebnih za njegovo izvedbo, ne presega njihove razpoložljivosti, torej je izpolnjeno razmerje:
Napišimo model ravnotežja s proizvodnimi faktorji:
(2.26)
V nasprotju s preprostim ravnotežnim modelom je ta model tudi v primeru produktivne matrike rešljiv ne za katero koli, ampak samo za zadovoljivo relacijo (2.25), torej v tem primeru ni več mogoče govoriti o zadovoljevanje morebitnega končnega povpraševanja.
Zato je treba pred nadaljevanjem reševanja sistema ravnotežnih enačb preveriti izpolnjevanje pogoja (2.25) za dani načrt. Če ta pogoj ni izpolnjen, je treba spremeniti obseg proizvodnje končnega izdelka, ohraniti njegovo strukturo, torej je treba vse elemente načrta spremeniti enako število krat. Faktor skaliranja se določi na naslednji način:
Doslej smo razmišljali le o proizvodni tehnologiji. Oglejmo si stanje v stolpcu in raziščimo cenovni vidik modelov ravnotežja. Zapišimo bilančna razmerja glede na stolpce stroškov MB:
(2.27)
Tukaj je dodana vrednost.
Recimo, da obstaja napoved sprememb cen v vsaki panogi naslednje leto krat glede na tekoče leto z enakimi naravnimi vrednostmi vektorjev. Vrednosti se imenujejo indeksi sprememb cen.
Indekse cen uvedemo v razmerje (2.27), ki jih v tem primeru nadomestimo z 
.
Potem lahko zapišemo (2.27). :
(2.28)
(2.28) delimo z bruto proizvodnjo in dobimo:
, (2.29),
kjer je delež dodane vrednosti na enoto -Th izdelkov.
Model cenovne bilance v matrični obliki bo zapisan:
(2.30)
Tukaj je matrika prenesena v matriko A tehnoloških koeficientov, je matrika deležev dodane vrednosti na enoto proizvodnje. V modelu in se štejejo za podane. Izračuna se matrika indeksov spremembe cen.
Če predpostavimo, da so bile cene proizvodov industrij v poročevalskem obdobju enake ena, potem lahko razlagamo kot ceno na enoto industrije.
Ni težko vzpostaviti ujemanja med modelom oblikovanja cen in modelom proizvodnje, in sicer:. Ob upoštevanju teh medsebojnih ujemanja se imenujeta model proizvodnje in model cene ambivalenten
Za cenovni model veljajo enake teoretične predpostavke kot za model obsega proizvodnje. Zlasti, če je A produktiven, obstaja edinstvena nenegativna rešitev modela (2.30):
(2.31).
Lahko se pokaže, da), potem
V modelu cenovne bilance je matrika multiplikator razpona spremembe deleža dodane vrednosti, tj.
(2.33).
V primeru, ko dodano vrednost predstavljajo samo plače, so indeksi cen sorazmerni s koeficienti celotnega povpraševanja po delu, ne glede na načrtovani cilj za končni izdelek, koeficient sorazmernosti pa sovpada s koeficientom nagrajevanja, t.j. Pokažimo.
Naj bo 
vektor neposrednih stroškov dela, nato - plače, pri izdelavi enote - th proizvodnje. Predvidevamo, da .
Potem
zato
Cilj 1. Zgradite model ravnotežja in poiščite njegovo rešitev za dani načrt za končni izdelek 
... Zgradite načrtovano ravnovesje. Kako se bo bruto proizvodnja spremenila ob povečanju končnega povpraševanja v 1. panogi za 20 %. Stanje poročane vrednosti je navedeno v naslednji tabeli
Input-output balance (IOB) je orodje za analizo in napovedovanje strukturnih razmerij v gospodarstvu. Metoda njegove konstrukcije je sestavljena iz dvojnega upoštevanja različnih panog in sektorjev gospodarstva: na eni strani kot proizvodov, ki porabljajo, na drugi kot proizvajanja določenih vrst blaga in storitev za lastno porabo in potrebe drugih sektorjev. gospodarstva.
Input-output bilanca je "šahovnica" panog, v kateri so materialni stroški za proizvodnjo izdelkov določenega sektorja gospodarstva prikazani navpično, količina izdelkov, prenesenih iz te industrije v druge za proizvodne potrebe (vmesni izdelek), kot tudi končna poraba izdelkov v industriji, so prikazani vodoravno ... S temi podatki lahko določite stroške na enoto vira za izdajo končnega izdelka. V ta namen se izbrani kazalnik stolpca ali vrstice deli z vrednostjo bruto proizvoda. Na primer, če količino porabe električne energije delimo s količino strojno-gradbenih izdelkov, dobimo specifično porabo energije strojno-gradbene proizvodnje.
Ta model je v svetovno gospodarsko misel vstopil iz publikacij Vasilija Leontijeva, slavnega ameriškega ekonomista ruskega porekla. V. Leontiev je ustvaril znanstveno utemeljeno input-output metodo, ki omogoča analizo medsektorskih odnosov v nacionalnem gospodarstvu in določanje možnih smeri optimizacije sektorske strukture. Za ta znanstveni dosežek je prejel Nobelovo nagrado.
Na splošno ima model Leontief MOB naslednjo obliko:
kjer je X obseg proizvodnje katere koli industrije;
Y je končni produkt te industrije;
A - matrika tehnoloških koeficientov neposrednih stroškov
aij, ki prikazujejo, koliko proizvodnje industrije je treba porabiti za proizvodnjo enote industrijske proizvodnje.
Ta model prikazuje razmerje med proizvodnjo in končnim izdelkom. Razširja se v sistem enačb, kjer so prikazane različne panoge s posebnimi tehnološkimi koeficienti.
Z uporabo input-output tabel je mogoče slediti, kako rast proizvodnje katere koli panoge povzroča ustrezno rast drugih panog.
Model MOB se uporablja za posebno analizo makroekonomskega ravnovesja delovnih virov družbe in obsega proizvodnje izdelkov, proizvodnje in razporeditve osnovnih sredstev za druge namene. Input-output ravnotežje omogoča analizo soodvisnosti cen v makroekonomiji, oceno stroškov materiala in dela ter določanje dodane vrednosti. Input-output metoda zagotavlja informacije, ki jih z drugimi metodami in modeli makroekonomske analize skoraj ni mogoče dobiti.
Vendar pa ima ta model z vidika gospodarskega napovedovanja pomembno pomanjkljivost, ki se pri napovedovanju dinamično razvijajoče se družbe še poslabša. Model prikazuje formulo gospodarskega razvoja na podlagi že uveljavljenih tehnoloških koeficientov. Z obsežnim razvojem je ta možnost možna, vendar v pogojih intenziviranja proizvodnje tehnološki koeficienti postanejo mobilni, zato ni povsem upravičeno dajati napovedi na podlagi starih razmerij.
»Interpanožna bilanca« in drugo
Medpanožna bilanca (MOB, vhodno-izhodni model, vhodno-izhodna metoda) je ekonomsko-matematični ravnotežni model, ki označuje medsektorska proizvodna razmerja v gospodarstvu države. Označuje razmerje med proizvodnjo v eni panogi in stroški, izdatki za izdelke vseh sodelujočih panog, ki so potrebni za zagotovitev te proizvodnje. Vhodno-izhodna bilanca se sestavlja v denarju in v naravi.
Vhodno-izhodno ravnovesje je predstavljeno v obliki sistema linearnih enačb. Input-output bilanca (IOB) je tabela, ki odraža proces oblikovanja in uporabe agregatnega družbenega proizvoda v sektorskem kontekstu. Tabela prikazuje strukturo proizvodnih stroškov za posamezen izdelek in strukturo njegove distribucije v gospodarstvu. Stolpci odražajo vrednostno sestavo bruto proizvodnje sektorjev gospodarstva po elementih vmesne potrošnje in dodane vrednosti. Črte odražajo smer, v kateri se uporabljajo viri posamezne industrije.
V modelu MOB so štirje kvadranti. Prvi odraža vmesno potrošnjo in sistem proizvodnih vezi, drugi odraža strukturo končne porabe BDP, tretji odraža strukturo stroškov BDP, četrti pa prerazporeditev nacionalnega dohodka.
1 / 5
Teoretične osnove input-output bilance je razvil V. V. Leontiev v Berlinu, rusko različico svojega članka z naslovom » Bilanca nacionalnega gospodarstva ZSSR"Objavljal revijo "Plansko gospodarstvo" v št. 12 za leto 1925. Znanstvenik je v svojem članku pokazal, da so koeficienti, ki izražajo povezave med sektorji gospodarstva, precej stabilni in jih je mogoče predvideti.
V tridesetih letih prejšnjega stoletja je V. V. Leontjev uporabil metodo analize medsektorskih odnosov z uporabo aparata linearne algebre za preučevanje gospodarstva ZDA. Metoda je postala znana kot input-output. Med drugo svetovno vojno je Leontiefova vhodno-izhodna matrika za nemško gospodarstvo služila za izbiro ciljev za ameriške letalske sile. Podobno bilanco za ZSSR, ki jo je razvil Leontyev, so ameriške oblasti uporabile za odločanje o obsegu in strukturi Lend-Lease.
Ker se zaveda, da so sovjetske medsektorske raziskave na številnih področjih zasedle vredno mesto v svetovni znanosti, je Leontjev jasno razumel, da teoretični razvoj sovjetskih znanstvenikov ni našel praktične uporabe v realnem gospodarstvu, kjer so bile vse odločitve sprejete na podlagi političnih razmer. :
Zahodni ekonomisti so pogosto poskušali odkriti "načelo" sovjetske metode načrtovanja. Ni jim uspelo, saj do zdaj taka metoda sploh ne obstaja.
Naj bo y i (\ displaystyle y_ (i)) je končna proizvodnja (za končno porabo) izdelkov i-te industrije, in y = (y 1, y 2,..., y n) T (\ displaystyle y = (y_ (1), y_ (2), ..., y_ (n)) ^ (T))- vektor končne proizvodnje (za končno porabo) vseh industrij i = 1..n. Označujemo A (\ slog prikaza A)- matrika tehnoloških koeficientov, kjer so elementi matrike a i j (\ displaystyle a_ (ij))- zahtevani obseg izdelkov i-te industrije za proizvodnjo enote izdelkov j-te industrije. Naj tudi x i (\ displaystyle x_ (i))- kumulativna proizvodnja i-te industrije oz x = (x 1, x 2,... x n) T (\ displaystyle x = (x_ (1), x_ (2), ... x_ (n)) ^ (T))- vektorji celotne proizvodnje vseh industrij.
Skupna proizvodnja vseh industrij x (\ slog prikaza x) sestoji iz dveh komponent - proizvodnje za končno porabo y (\ displaystyle y), in proizvodnja za medsektorsko potrošnjo (za zagotovitev proizvodnje izdelkov drugih industrij). Proizvodnja za medpanožno potrošnjo z uporabo matrike tehnoloških koeficientov se določi kot A x (\ displaystyle Ax), oziroma skupaj s končno porabo y (\ displaystyle y) dobimo kumulativni rezultat x (\ slog prikaza x):
X = A x + y (\ displaystyle x = Ax + y)
X = (I - A) - 1 y (\ displaystyle x = (I-A) ^ (- 1) y)
Matrika (I - A) - 1 (\ slog prikaza (I-A) ^ (- 1)) je matrični množitelj, saj dobljeni izraz dejansko velja (zaradi linearnosti modela) za prirastke izhodov:
Δ x = (I - A) - 1 Δ y (\ displaystyle \ Delta x = (I-A) ^ (- 1) \ Delta y)
Model se imenuje produktiven, če so vsi elementi vektorja x (\ slog prikaza x) niso negativni. Zadosten pogoj za produktivnost modela je reverzibilnost in nenegativna določenost reverzibilnosti matrike. I - A (\ displaystyle I-A).
Dvojni model Leontijeva je naslednji
P = A T p + ν (\ displaystyle p = A ^ (T) p + \ nu)
kje p (\ displaystyle p)- vektor cen industrij, ν (\ displaystyle \ nu) je vektor dodane vrednosti na enoto proizvodnje, A T p (\ slog prikaza A ^ (T) p)- vektor stroškov panog na enoto proizvodnje. V skladu s tem je p-A ^ Tp vektor neto dohodka na enoto proizvodnje, ki je enačen z vektorjem dodanih vrednosti, oziroma rešitev dvojnega modela
P = (I - A T) - 1 ν (\ displaystyle p = (I-A ^ (T)) ^ (- 1) \ nu)
Razmislite o dveh panogah: proizvodnji premoga in jekla. Premog je potreben za izdelavo jekla, nekaj jekla v obliki orodja pa je potrebno za pridobivanje premoga. Recimo, da so pogoji naslednji: za proizvodnjo 1 tone jekla so potrebne 3 tone premoga, za 1 tono premoga pa 0,1 tone jekla.
Želimo, da bi neto proizvodnja premogovništva znašala 200.000 ton premoga, črne metalurgije pa 50.000 ton jekla. Če pridelajo le 200.000 oziroma 50.000 ton, potem bodo del njihove proizvodnje porabili sami in neto donos bo manjši.
Dejansko je potrebna proizvodnja 50.000 ton jekla 3 ⋅ 5 ⋅ 10 4 = 15 ⋅ 10 4 (\ displaystyle 3 \ cdot 5 \ cdot 10 ^ (4) = 15 \ cdot 10 ^ (4)) ton premoga in neto donos od 200.000 ton proizvedenega premoga bo: 2 ⋅ 10 5 - 1,5 ⋅ 10 5 (\ displaystyle 2 \ cdot 10 ^ (5) -1,5 \ cdot 10 ^ (5))= 50.000 ton premoga. Za proizvodnjo 200.000 ton premoga potrebujete 0, 1 ⋅ 2 ⋅ 10 5 (\ displaystyle 0.1 \ cdot 2 \ cdot 10 ^ (5))= 20.000 ton jekla in neto donos 50.000 ton proizvedenega jekla bo 5 ⋅ 10 4 - 2 ⋅ 10 4 (\ displaystyle 5 \ cdot 10 ^ (4) -2 \ cdot 10 ^ (4))= 30.000 ton jekla.
To pomeni, da je za proizvodnjo 200.000 ton premoga in 50.000 ton jekla, ki bi jih lahko porabile panoge, ki ne proizvajajo premoga in jekla (neto proizvodnja), je treba dodatno proizvajati premog in jeklo, ki se uporabljata za njihovo proizvodnjo. . Označujemo x 1 (\ displaystyle x_ (1))- zahtevana skupna količina premoga (bruto proizvodnja), x 2 (\ displaystyle x_ (2))- zahtevana skupna količina (bruto proizvodnja) jekla. Bruto proizvodnja vsakega izdelka je rešitev sistema enačb:
(x 1 - 3 x 2 = 2 ⋅ 10 5 - 0, 1 x 1 + x 2 = 5 ⋅ 10 4 (\ displaystyle \ left \ ((\ začetek (matrika) (lcr) x_ (1) -3x_ (2) ) & = 2 \ cdot 10 ^ (5) \\ - 0,1x_ (1) + x_ (2) & = 5 \ cdot 10 ^ (4) \\\ konec (matrika)) \ desno.)
Rešitev: 500.000 ton premoga in 100.000 ton jekla. Za sistematično reševanje problemov izračunavanja input-output bilance ugotovijo, koliko premoga in jekla je potrebno za proizvodnjo 1 tone posameznega izdelka.
(x 1 - 3 x 2 = 1 - 0, 1 x 1 + x 2 = 0. (\ slog prikaza \ levo \ ((\ začetek (matrika) (lcr) x_ (1) -3x_ (2)) & = 1 \ \ -0,1x_ (1) + x_ (2) & = 0. \\\ konec (matrika)) \ desno.)
X 1 = 1,42857 (\ displaystyle x_ (1) = 1,42857) in x 2 = 0,14286 (\ displaystyle x_ (2) = 0,14286)... Če želite ugotoviti, koliko premoga in jekla je potrebno za čisto proizvodnjo ton premoga, morate te številke pomnožiti z 2 ⋅ 10 5 (\ displaystyle 2 \ cdot 10 ^ (5))... Dobimo: (285714; 28571) (\ displaystyle (285714; 28571)).
Podobno sestavimo enačbe, da dobimo količino premoga in jekla za proizvodnjo 1 tone jekla:
(x 1 - 3 x 2 = 0 - 0, 1 x 1 + x 2 = 1. (\ slog prikaza \ levo \ ((\ začetek (matrika) (lcr) x_ (1) -3x_ (2)) & = 0 \ \ -0,1x_ (1) + x_ (2) & = 1. \\\ konec (matrika)) \ desno.)
X 1 = 4,28571 (\ displaystyle x_ (1) = 4,28571) in x 2 = 1,42857 (\ displaystyle x_ (2) = 1,42857)... Za neto proizvodnjo ton jekla potrebujete: (214286; 71429).
Bruto proizvodnja za proizvodnjo 2 ⋅ 10 5 (\ displaystyle 2 \ cdot 10 ^ (5)) ton premoga in 5 ⋅ 10 4 (\ displaystyle 5 \ cdot 10 ^ (4)) ton jekla: (285714 + 214286; 28571 + 71429) = (500000; 100000) (\ displaystyle (285714 + 214286; 28571 + 71429) = (500000; 100000).
Prvi v ZSSR in eden prvih na svetu, dinamičen medsektorski model nacionalnega gospodarstva je v Novosibirsku razvil doktor ekonomije N.F.Shatilov. Ta model in analiza izračunov zanj sta opisana v njegovih knjigah: "Modeliranje razširjene reprodukcije" (M., Ekonomija, 1967), "Analiza odvisnosti socialistične razširjene reprodukcije in izkušnje njenega modeliranja" (Novosibirsk: Nauka, Sib.otd., 1974) in v knjigi "Uporaba nacionalnih gospodarskih modelov pri načrtovanju" (pod uredništvom A. G. Aganbegyana in K. K. Valtukha; Moskva: Ekonomija, 1974).
V prihodnosti so se za različne specifične naloge razvili tudi drugi dinamični modeli MOB.
Na podlagi Leontijevega modela medpanožnega ravnovesja in lastnih izkušenj je ustanovitelj "Znanstvene šole za strateško načrtovanje" N.I. Veduta (1913-1998) je razvil lasten dinamični model MOB.
V njeni shemi so bilance prihodkov in odhodkov proizvajalcev in končnih potrošnikov – države (meddržavni blok), gospodinjstev, izvoznikov in uvoznikov (zunanjegospodarska bilanca) – sistematično usklajena.
Dinamični model MPS je razvil po metodi ekonomske kibernetike. Gre za sistem algoritmov, ki učinkovito povezujejo naloge končnih uporabnikov z zmožnostmi (materialnimi, delovnimi in finančnimi) proizvajalcev vseh oblik lastništva. Na podlagi modela je določena učinkovita alokacija investicij javne proizvodnje. Z uvedbo dinamičnega modela MOB dobi vodstvo države možnost prilagajanja razvojnih ciljev v realnem času, odvisno od izpopolnjenih proizvodnih zmogljivosti prebivalcev in dinamike povpraševanja končnih uporabnikov. Dinamični model MPS je opisan v knjigi "Socialno učinkovita ekonomija", ki je bila izdana leta 1998.
