Sestavljena obrestna mera. Sestavljene obrestne mere. Enostavne in zapletene obrestne mere

Sestavljena obrestna mera

Razširitvene formule

Sestavljena obrestna mera je obrestna mera, pri kateri je obračunska osnova v nasprotju s preprostimi obrestmi spremenljiva, tj. obresti se obračunavajo na obresti.

Prav tako se vnaprej določi določeno obdobje obračunavanja obresti na enoto (leto, mesec, četrtletje itd.) In obrestna mera i (ali i% = 100i). Naj bo začetni znesek dolga P. Nato bo po enem intervalu znesek dolga S 1 = P (1 + i), kot v primeru enostavnih obresti. Vendar bo do konca drugega intervala na enoto znesek dolga S2 = S 1 (1 + i) = P (1 + i) 2 (za razliko od formule S2 = P (1 + 2i) za preproste obresti. dobimo S 3 = S 2 (1 + i) = P (1 + i) 3. In tako naprej. Do konca n -ega intervala enote dobimo

Torej se bo po n intervalih začetna vsota P povečala (1 + i) n -krat. Faktor (1 + i) n se imenuje množilec kopičenja... Upoštevajte, da povečanje sestavljenih obresti predstavlja rast začetnega zneska po zakonu geometrijske progresije, katere prvi člen je P, imenovalec pa 1 + i.

Cilj 1. Začetni znesek depozita je P = 40.000 rubljev. Obrestna merai% = 10% letno. Določite povečanje sestavljenih obresti v treh letih in jih nato primerjajte z zneskom povečanja v shemi enostavnih obresti.

Rešitev. Z uporabo formule (1) imamo

S 3, spojina = P (1 + i) 3 = 40 000 (1 + 0,1) 3 = 53 240 str.

Izračunajmo natečeni znesek po enostavni shemi obresti:

S 3, pr = P (1 + 3i) = 40.000 (1 + 0.3) = 52.000 rubljev.< 53 240 р.

Tako v obravnavanem primeru uporaba sestavljenih obresti vodi do večjega natečenega zneska, kar je za vlagatelja bolj donosno v primerjavi s časovnim razmejitvijo po enostavni shemi obresti.

Formula za gradnjo sestavljenih obresti (1), izpeljana za celoto

Tu je P začetni znesek, n ​​k je trajanje k -tega obdobja obračunavanja obresti, i k pa preprosta obrestna mera v obdobju s številko k.

Cilj 3. V sporazumu o servisiranju bančnega depozita za 4 leta je spremenljiva obrestna mera sestavljenih obresti določena na naslednji način. V prvem letu - 6% letno, v 2. in 3. letu je stopnja enaka - 5% letno, v 4. letu

- osem%. Določite 4-letni množitelj kopičenja.

Rešitev. Naj bo P neka začetna vsota. Glede na stanje problema

i 1 = 0,06, i 2 = i 3 = 0,05, i 4 = 0,08.

Nastavimo i 23 = 0,05. V skladu s formulo (2) imamo:

S = P (1 i 1) 1 (1 i 23) 2 (1 i 4) 1 = P (1 + 0,06) (1 + 0,05) 2 (1 + 0,08).

Kot rezultat izračunov dobimo vrednost faktorja rasti:

S / P = (1 + 0,06) (1 + 0,05) 2 (1 + 0,08) = 1,262142.

Primerjava moči rasti enostavnih in sestavljenih obresti

Z isto obrestno mero i povečanje sestavljenih obresti:

gre hitreje od navadnih obresti, če je obdobje kopičenja večje od obdobja na enoto;

gre počasneje kot preproste obresti, če je dolžina obdobja kopičenja manjša od obdobja na enoto.

Prej je bilo ugotovljeno, da je obračunavanje za eno obdobje enako, ne glede na to, ali je shema obresti preprosta ali sestavljena.

Podkrepimo povedano. Dejansko za i> 0:

če je t> 1, potem (1 + i) t> 1 + it; če 0

Za dokazovanje tega dejstva upoštevamo funkcije f (t) = (1 + i) t in g (t) = 1 + it. Očitno je, da je f (0) = g (0), f (1) = g (1), obe funkciji pa se povečujeta kot t 0 ne le v svojem smiselnem pomenu, ampak tudi formalno zaradi pozitivnosti njunih derivatov f (t) = (1 + i) t ln (1 + i) in g (t) = i. Hkrati je derivat drugega reda f (t) = (1 + i) t ln 2 (1 + i) pozitiven pri t 0, kar pomeni konveksnost funkcije f (t) navzdol pri t 0 ( pospešena rast). Poleg tega funkcija g (t) linearno narašča

(g (t) = 0).

Graf prikazuje funkcije f (t) = (1 + i) t in g (t) = 1 + to, odvisno od t:

Primer. Naj se vsota P = 800 poveča po stopnji i = 8% enostavnih in sestavljenih obresti. Nato so obračunani zneski naslednji

Za oceno njihovih možnosti je pogosto pomembno, da upnik in dolžnik vesta, koliko časa traja, da se znesek posojila poveča za N -krat pri dani obrestni merii. To naredimo tako, da rastni faktor enačimo z vrednostjo N, zaradi česar dobimo:

a) za preproste obresti 1 + ni = N, od koder je n = (N –1) / i.

b) za sestavljene obresti (1 + i) n = N, od koder je n = lnN / ln (1 + i).

Rešitev. Po pogoju problema je i = 0,04, N = 2. Imamo

a) za preproste obresti n = (N –1) / i = 1 / i, od tod n = 1 / 0,04 = 25 let

b) za sestavljene obresti n = lnN / ln (1 + i), od tod n = ln 2 / ln (1,04) 17,67 let. S povečanjem obrestne mere se dolg hitreje podvoji.

Nekatere metode izračuna obresti z delnim številom let

V praksi finančnih institucij se za delno število let t obresti izračunajo na različne načine. Razmislimo o treh glavnih metodah obračunavanja.

1. Po formuli sestavljenih obresti: S = P (1 + i) t.

2. Na podlagi mešane metode, po kateri se sestavljene obresti izračunajo za celo število let in enostavne obresti za delno število: S = P (1 + i) n (1 + bi), kjer je t = n + b, n celo število let, b je delni del leta.

3. Številne poslovne banke uporabljajo pravilo, po katerem se obresti ne obračunavajo za obdobje, krajše od obdobja nastanka poslovnega dogodka, tj.

S = P (1+ i) n.

Naloga 5. Znesek posojila za 27 mesecev je 100.000 rubljev. Letna obrestna mera je 20%. Naračunani znesek izračunajte na tri navedene načine.

Rešitev. Glede na težavo je posojilo 2,25 leta. Imamo naslednje izračune.

Po 1. metodi: S I = 100.000 (1 + 0.2) 2. 2 5 150 715 rubljev 46 kopejk Po drugi metodi: S II = 100.000 (1 + 0.2) 2 (1 + 0.25 0.2) = 151.200 rubljev. Po tretji metodi: S III = 100.000 (1 + 0.2) 2 = 144.000 rubljev.

Formule za popust za sestavljene obresti

Naloga 6. Izpišite tabelo za diskontni faktor (1 + i) - n za obdobje posojila 5, 10 in 20 let; stopnja kopičenja spojine je 10% in 20%.

Rešitev. Rezultati izračunov po formuli (3) so prikazani v tabeli

Če se diskontiranje izvaja po bančni (komercialni) računovodski shemi, se o diskontni stopnji d, 0d najprej pogaja<1. Она применяется не к начальной сумме, как при простой учетной ставке, а к сумме, уже дисконтированной на предыдущем промежутке времени. Размер дисконта, или учета, удерживаемого финансовым учреждением, равен

Naloga 7. Zadolžnica v višini 20.000 rubljev, ki zapade v plačilo v 1,5 letih, se obračuna po sestavljeni obrestni meri 18% letno. Določite znesek, ki ga je lastnik računa prejel med obračunavanjem, in ustrezen popust.

Rešitev. Tu je glede na izjavo problema S = 20.000, n = 1.5, d = 0.18. Nato s formulo (4) dobimo naslednje rezultate izračuna:

znesek, ki ga je prejel lastnik P = 20.000 (1 - 0.18) 1.5 14850 str. 83 kopejk,

popust D = S - P 20.000 - 14850.83 = 5149 str. 17 kopejk

Upoštevajte sestavljene obresti - obračunavanje obresti tako na glavnico dolga kot na predhodno natečene obresti.

Malo teorije

Lastnik kapitala, ki ga posoja za določen čas, pričakuje, da bo od te transakcije prejel dohodek. Velikost pričakovanega dohodka je odvisna od treh dejavnikov: od zneska kapitala, odobrenega za posojilo, od obdobja, za katerega je posojilo dano, in od zneska obresti za posojilo ali drugače od obrestne mere.

Obstajajo različne metode izračuna obresti. Njihova glavna razlika je v opredelitvi začetnega zneska (osnove), na podlagi katerega se obračunavajo obresti. Ta znesek lahko ostane nespremenjen skozi celotno obdobje ali se spreminja. Odvisno od tega se razlikuje način obračunavanja in sestavljene obresti.

Kadar se uporabljajo sestavljene obrestne mere, se dolgu prištejejo obresti, natečene po vsakem obračunskem obdobju. Tako se osnova za seštevanje v nasprotju z uporabo spreminja v vsakem obračunskem obdobju. Dodatek obračunanih obresti znesku, ki je bil podlaga za njihovo obračunavanje, se imenuje kapitalizacija obresti. Ta metoda se včasih imenuje "odstotek po odstotku".

Primer datoteke vsebuje graf za primerjavo natečenega zneska z uporabo enostavnih in sestavljenih obresti.

V tem članku bomo obravnavali izračun sestavljenih obresti v primeru konstantne obrestne mere. Spremenljiva obrestna mera v primeru sestavljenih obresti.

Obračunavanje obresti enkrat letno

Naj bo začetni znesek depozita enak P, potem bo po enem letu znesek depozita z dodanimi obrestmi = P * (1 + i), po 2 letih = P * (1 + i) * (1 + i) = P * (1 + i) ^ 2, po n letih - P * (1 + i) ^ n. Tako dobimo formulo za povečanje sestavljenih obresti:
S = P * (1 + i) ^ n
kjer je S natečeni znesek,
i - letna stopnja,
n - rok posojila v letih,
(1+ i) ^ n - faktor gradnje.

V zgornjem primeru se kapitalizacija izvede enkrat letno.
S kapitalizacijo m krat na leto je sestavljena formula za sestavljene obresti videti tako:
S = P * (1 + i / m) ^ (n * m)
i / m je obrestna mera za obdobje.
V praksi se običajno uporabljajo diskretne obresti (obresti, izračunane v istih časovnih intervalih: leto (m = 1), pol leta (m = 2), četrtletje (m = 4), mesec (m = 12)).

V MS EXCEL lahko obračunani natečeni znesek do konca roka vloge za sestavljene obresti na različne načine.

Razmislite o težavi: Naj bo začetni znesek depozita 20t.r., letna obrestna mera = 15%, rok depozita je 12 mesecev. Kapitalizacija se izvede ob koncu obdobja mesečno.

Metoda 1. Izračun z uporabo tabele s formulami
To je najbolj zamudna metoda, vendar najbolj intuitivna. Sestavljen je iz zaporednega izračuna zneska prispevka na koncu vsakega obdobja.
V primeru datoteke je to izvedeno na listu Konstantna stopnja.

Za prvo obdobje bodo obresti nastale v višini = 20.000 * (15% / 12), od kapitalizacija se izvaja mesečno in, kot veste, 12 mesecev na leto.
Pri izračunu obresti za drugo obdobje je treba za osnovo, na kateri je%, vzeti ne začetni znesek depozita, ampak znesek depozita na koncu prvega obdobja (ali na začetku drugega). nabranih. In tako vseh 12 obdobij.

Metoda 2. Izračun po formuli obračunanih obresti
Vrednosti iz problema nadomestimo v formulo zbrane vsote S = P * (1 + i) ^ n.
S = 20.000 * (1 + 15% / 12) ^ 12
Ne pozabite, da mora biti obrestna mera za obdobje (obdobje kapitalizacije) navedena kot obrestna mera.
Drug način za zapis formule je prek funkcije DEGREE ()
= 20.000 * STOPNJA (1 + 15% / 12; 12)

Metoda 3. Izračun s funkcijo BS ().
Funkcija BS () vam omogoča, da določite naložbe pod pogojem periodičnih enakih plačil in konstantne obrestne mere, tj. namenjen je predvsem poravnavi v primeru. Če pa izpustite tretji parameter (PMT = 0), ga lahko uporabite za izračun sestavljenih obresti.
= -BS (15% / 12; 12 ;; 20.000)

Ali pa = -BS (15% / 12; 12; 0; 20.000; 0)

Opomba. V primeru spremenljive obrestne mere poiščite prihodnjo vrednost z uporabo metode sestavljenih obresti BZRASPIS ().

Določite znesek obračunanih obresti

Razmislite o težavi: stranka banke je položila 150.000 rubljev na depozit. za 5 let z letnimi sestavljenimi obrestmi po 12% letno. Določite znesek obračunanih obresti.

Znesek obračunanih obresti I je enak razliki med zneskom natečenega zneska S in začetnim zneskom P. S formulo za določitev natečenega zneska S = P * (1 + i) ^ n dobimo:
I = S - P = P * (1 + i) ^ n - P = P * ((1 + i) ^ n –1) = 150.000 * ((1 + 12%) ^ 5-1)
Rezultat: 114 351,25 rubljev.
Za primerjavo: obračunavanje po preprosti stopnji bo dalo rezultat 90.000 rubljev. (glej primer datoteke).

Določite rok dolga

Razmislite o težavi: Bančna stranka je položila določen znesek z letnimi obrestnimi obrestmi po letni stopnji 12% letno. Po katerem času se bo znesek depozita podvojil?
Če vzamemo logaritem obeh strani enačbe S = P * (1 + i) ^ n, ga rešimo glede na neznani parameter n.

Primer datoteke ponuja rešitev, odgovor je 6,12 let.

Izračun sestavljene obrestne mere

Razmislite o težavi: stranka banke je položila 150.000 rubljev na depozit. z letnimi obrestnimi obrestmi. Po kakšni letni stopnji se bo znesek depozita v 5 letih podvojil?

Primer datoteke ponuja rešitev, odgovor je 14,87%.

Opomba... Učinkovita obrestna mera.

Računovodstvo (diskontiranje) po sestavljenih obrestih

Diskontiranje temelji na konceptu časovne vrednosti denarja: denar, ki je trenutno na voljo, je zaradi svoje možnosti ustvarjanja dohodka vreden več kot enak znesek v prihodnosti.
Razmislite o dveh vrstah računovodstva: matematičnem in bančnem.

Matematično računovodstvo... V tem primeru je problem rešen obratno povečanju sestavljenih obresti, tj. izračuni so narejeni po formuli P = S / (1 + i) ^ n
Vrednost P, pridobljena z diskontiranjem S, se imenuje sodobna ali trenutna vrednost ali zmanjšana vrednost S.
Zneska P in S sta enakovredna v smislu, da je plačilo S v n letih enako znesku P, ki se trenutno plačuje. Tu se razlika D = S - P imenuje popust.

Primer... Po 7 letih bo zavarovancu izplačan znesek 2.000.000 rubljev. Določite sedanjo vrednost zneska pod pogojem, da se uporablja sestavljena obrestna mera 15% letno.
Z drugimi besedami, znano je:
n = 7 let,
S = 2.000.000 RUB,
i = 15%.

Rešitev. P = 2.000.000 / (1 + 15%) ^ 7
Vrednost trenutne vrednosti bo manjša, ker odpiranje danes depozit v višini P z letno kapitalizacijo po stopnji 15%, bomo v 7 letih prejeli znesek 2 milijona rubljev.

Enak rezultat je mogoče dobiti s formulo = PS (15%; 7 ;; - 2.000.000; 1)
Funkcija PS () vrne zmanjšano (do trenutnega trenutka) vrednost naložbe in.

Bančno računovodstvo... V tem primeru se predvideva uporaba kompleksne diskontne stopnje. Diskontiranje po kompleksni diskontni stopnji se izvede po formuli:
P = S * (1- dsl) ^ n
kjer je dc sestavljena letna diskontna stopnja.

Pri uporabi kompleksne diskontne stopnje se diskontni proces pojavi s postopnim upočasnjevanjem, saj se diskontna stopnja vsakič uporabi za znesek, zmanjšan za prejšnje obdobje za znesek popusta.

Če primerjamo formulo za obračunavanje sestavljenih obresti S = P * (1 + i) ^ n in formulo diskonta za sestavljeno diskontno mero P = S * (1- dsl) ^ n, pridemo do zaključka, da nadomeščanje znaka stopnje z nasprotnim, lahko za izračun diskontirane vrednosti uporabimo vse tri metode izračuna obračunanih obresti, obravnavane v razdelku članka Obračunavanje obresti večkrat letno.

In izračun parametrov te transakcije.

Tečaj finančne matematike je razdeljen na dva dela: enkratna plačila in plačilni tokovi. Enkratna plačila- gre za finančne transakcije, pri katerih vsaka stranka po uveljavitvi pogodbenih pogojev denarni znesek plača le enkrat (bodisi posoji ali odplača dolg). Plačilni tokovi- gre za finančne transakcije, pri katerih vsaka stranka pri izvajanju pogodbenih pogojev izvede vsaj eno plačilo.

V finančni transakciji sodelujeta dve stranki - posojilojemalec in posojilojemalec. Vsaka stranka je lahko tako banka kot stranka. Glavna finančna transakcija je posojanje določene količine denarja. Denar ni enak glede na čas. Sodobni denar je običajno bolj dragocen kot prihodnji denar. Vrednost denarja skozi čas se odraža v znesku natečenega denarja za obresti in shemi njihovega nastanka in plačila.

Matematični aparat za reševanje takšnih problemov je pojem "odstotek" in in.

Odstotek - osnovni pojmi

Odstotek- stotinka predhodno dogovorjene osnove (to pomeni, da osnova ustreza 100%).

Odgovor: več o tem

Obrestna mera

Obrestna mera- relativni znesek dohodka za določen čas. Razmerje dohodka (denar za obresti - absolutna vrednost dohodka od predstavitve denarja v dolgu) do zneska dolga.

Obračunsko obdobje- to je časovni interval, na katerega je obrestna mera omejena, ne smemo ga zamenjati z obračunskim obdobjem. Običajno si za takšno obdobje vzamem leto, pol leta, četrtletje, mesec, najpogosteje pa se ukvarjajo z letnimi stopnjami.

Kapitalizacija obresti- dodatek obresti k glavnici dolga.

Zgradba- postopek povečevanja denarnega zneska s časom v povezavi z dodajanjem obresti.

Popust- nazaj na povečanje, pri katerem se znesek denarja, ki ga je mogoče pripisati prihodnosti, zmanjša za znesek, ki ustreza popustu (diskontu).

Količina se imenuje obračunski faktor, količina pa se imenuje diskontni faktor v ustreznih shemah.

S shemo " preprosto obresti"Začetna podlaga za izračun obresti za celotno obdobje dolga ob vsakem obdobju uporabe obrestne mere je prvotni znesek dolga.

S shemo " obrestno obrestovanje"(v celoti) je začetna osnova za izračun obresti v celotnem obdobju za vsako obdobje uporabe obrestne mere znesek dolga, nakopičenega v preteklem obdobju.

Dodatek natečenih denarnih obresti k znesku, ki je podlaga za njihov izračun, se imenuje kapitalizacija obresti (ali ponovna naložba vloge). Pri uporabi sheme "sestavljenih obresti" se kapitalizacija obresti pojavi v vsakem obdobju.

S shemo "preprostih obresti" ( preprost popust) - začetna podlaga za izračun obresti v celotnem obdobju dolga ob vsakem obdobju uporabe diskontne stopnje je znesek, ki se plača ob koncu roka vloge.

S shemo sestavljenih obresti (za celoto) ( sestavljeni popust) - začetna osnova za izračun obresti v celotnem obdobju za vsako obdobje uporabe diskontne stopnje je znesek dolga na koncu vsakega obdobja.

Enostavne in zapletene obrestne mere

"Neposredne" formule

	Enostavno obresti	Obrestno obrestovanje
- obrestna mera			kopičenje
- obrestna mera			diskontiranje (bančno računovodstvo)

"Obratne" formule

Spremenljiva obrestna mera in reinvestiranje vlog

Naj ima rok dolga stopnje, katerih dolžina je,

- s preprosto shemo obresti

1 ... Pogodba predvideva obračunavanje a) enostavnih, b) sestavljenih obresti v naslednjem vrstnem redu: v prvi polovici leta po letni obrestni meri 0,09, nato v naslednjem letu se je obrestna mera znižala za 0,01, v naslednjih dveh semestra se je v vsakem od njih povečalo za 0,005 ... Poiščite vrednost natečenega depozita na koncu roka, če je vrednost začetnega depozita enaka 800 USD.

Tržna obrestna mera kot najpomembnejši makroekonomski kazalnik

Obrestna mera je pomembna. Obrestna mera je plačilo denarja, zagotovljenega. Bili so časi, ko zakon ni dovoljeval plačila za dejstvo, da je bil posojen nepotrošen, izposojen denar. V sodobnem svetu se pogosto uporabljajo posojila, za uporabo katerih je določen odstotek. Ker obrestne mere merijo stroške uporabe denarja s strani podjetnikov in nagrado za neuporabo denarja v potrošniškem sektorju, ima raven obrestnih mer pomembno vlogo v gospodarstvu države kot celote.

V ekonomski literaturi se pogosto uporablja izraz "obrestna mera", čeprav obstaja veliko obrestnih mer. Razlikovanje obrestnih mer je povezano s tveganjem posojilojemalca. Tveganje se povečuje s podaljševanjem roka posojila, saj je bolj verjetno, da bo posojilodajalec morda potreboval denar pred zapadlostjo odplačila posojila, temu pa se ustrezno poveča tudi obrestna mera. Poveča se, ko se za posojilo prijavi malo znani podjetnik. Majhno podjetje plačuje višjo obrestno mero kot veliko. Za potrošnike so tudi obrestne mere različne.

Ne glede na to, kako različne so obrestne mere, so vse pod vplivom: če se ponudba denarja zmanjša, se obrestne mere povečajo in obratno. Zato se upoštevanje vseh obrestnih mer lahko zmanjša na proučevanje pravilnosti ene obrestne mere in v prihodnje deluje z izrazom "obrestna mera"

Razlikovati med nominalnimi in realnimi obrestnimi merami

Realna obrestna mera se določi ob upoštevanju ravni. Je enaka nominalni obrestni meri, ki je določena pod vplivom ponudbe in povpraševanja, zmanjšana za stopnjo inflacije:

Če na primer banka da posojilo in zaračuna 15%, stopnja inflacije pa 10%, potem je realna obrestna mera 5%(15% - 10%).

Metode izračuna obresti:

Enostavna obrestna mera

Enostaven grafikon odstotne rasti

Določite obresti in znesek nakopičenega dolga, če je obrestna mera 20% letno, posojilo 700.000 rubljev, rok veljavnosti 4 leta.

• I = 700.000 * 4 * 0.2 = 560.000 rubljev.
• S = 700.000 + 560.000 = 1.260.000 rubljev.

Stanje, ko je posojilo krajše od obdobja nastanka kredita

• 360 dni. V tem primeru človek dobi običajni ali komercialni interes.
• 365 ali 366 dni. Uporablja se za izračun natančni odstotki.

• Natančno število dni posojila se določi s štetjem dni med datumom posojila in datumom njegovega odplačila. Dan izdaje in dan odkupa se štejeta kot en dan. Natančno število dni med dvema datumoma je mogoče določiti iz tabele rednih številk dni v letu.
• Približno število dni posojila je določeno iz pogoja, da je vsak mesec 30 dni.

• Natančne obresti z natančnim številom dni posojila (365/365)
• Navadne obresti z natančnim številom dni posojila (banka; 365/360). Ko število dni posojila preseže 360, ta metoda vodi v dejstvo, da bo znesek natečenih obresti večji od tistega, ki ga določa letna obrestna mera.
• Navadne obresti s približnim številom dni posojila (360/360). Uporablja se pri vmesnih izračunih, ker ni zelo natančen.

Posojilo v višini 1 milijon rubljev je bilo izdano od 20. januarja do vključno 5. oktobra pod 18% letno. Koliko mora dolžnik plačati na koncu roka pri izračunu preprostih obresti? Izračunajte tri možnosti za izračun enostavnih obresti.

Za začetek določimo število dni izposoje: 20. januar je 20. dan v letu, 5. oktober je 278 dni v letu. 278 - 20 = 258. S približnim izračunom - 255. 30. januar - 20. januar = 10,8 meseca, pomnoženo s 30 dnevi = 240. skupaj: 240 + 10 + 5 = 255.

1. Natančne obresti z natančnim številom dni posojila (365/365)

• S = 1.000.000 * (1 + (258/365) * 0.18) = 1.127.233 rubljev.

2. Navadne obresti z natančnim številom dni posojila (360/365)

• S = 1.000.000 * (1 + (258/360) * 0.18 = 1.129.000 rubljev.

3. Navadne obresti s približnim številom dni posojila (360/360)

• S = 1.000.000 (1 + (255/360) * 0,18 = 1.127.500 rubljev.

Spremenljive stopnje

Posojilne pogodbe včasih določajo obrestne mere, ki se s časom spreminjajo. Če gre za preproste stopnje, se znesek, nakopičen na koncu mandata, določi na naslednji način.

Ljudje so ves čas razmišljali o svojem jutri. Poskušali so in poskušajo zaščititi sebe in svoje otroke in vnuke pred finančnimi stiskami, s čimer so zgradili vsaj majhen otok zaupanja v prihodnost. Zdaj, ko ga začnete graditi s pomočjo majhnih bančnih vlog, lahko v prihodnosti zagotovite svojo stabilnost in neodvisnost.

Osnovno načelo bančnega poslovanja je, da se sredstva lahko povečajo le, če so v stalnem obtoku. Da bi stranke lahko samozavestno krmarile na področju finančnih storitev in lahko v določenem časovnem obdobju pravilno izbrale pogoje, ki so jim koristni, je treba poznati številna preprosta pravila. Ta članek se bo osredotočil na dolgoročne naložbe, ki omogočajo določeno število let od relativno majhnega zneska začetnega kapitala za prejemanje znatnega dobička ali za nadaljnjo uporabo vloge, pri čemer se odpravijo stroški za vsakodnevne potrebe.

Za pravilen izračun dobička morate izvesti preproste aritmetične operacije na podlagi spodnjih formul.

Formula sestavljenih obresti (izračun v letih)

Na primer, odločite se, da boste vložili 100.000,00 rubljev. 11% letno, da bi v desetih letih izkoristili prihranke, ki so se zaradi kapitalizacije močno povečali. Za izračun skupnega zneska uporabite metodo izračuna sestavljenih obresti.

Uporaba sestavljenih obresti pomeni, da se obračunani dobiček na koncu vsakega obdobja (leto, četrtletje, mesec) sešteje s prispevkom. Nastali znesek je osnova za kasnejše povečanje dobička.

Za izračun sestavljenih obresti uporabimo preprosto formulo:

• S - skupni znesek ("telo" depozita + obresti), ki ga je treba vlagatelju vrniti po poteku depozita;
• Р je začetna vrednost prispevka;
• n je skupno število operacij kapitalizacije obresti za celotno obdobje zbiranja sredstev (v tem primeru ustreza številu let);
• I - letna obrestna mera.

Če vrednosti nadomestimo s to formulo, vidimo, da:

čez 5 let bo znesek rub.,

in čez 10 let bo drgniti.

Če bi izračunali za kratek čas, bi bile sestavljene obresti primernejše za izračun po formuli

• K - število dni v tekočem letu,
• J je število dni v obdobju, po katerem banka kapitalizira obračunane obresti (druge oznake so enake kot v prejšnji formuli).

Toda za tiste, ki jim bolj ustreza mesečni dvig obresti na depozit, je bolje, da se seznanijo s konceptom "Kapitalizacija depozita", kar pomeni pripis preprostih obresti.

Graf prikazuje, kako se bo kapital povečal s kapitalizacijo obresti na depozitu, če vložite 100.000,00 rubljev. 10 let pri 10%, 15% in 20%

Formula sestavljenih obresti (izračun v mesecih)

Obstaja še en, za stranko bolj donosen način izračunavanja in dodajanja obrestnih mer - mesečno. Za to se uporablja naslednja formula:

kjer n ustreza tudi številu transakcij kapitalizacije, vendar je že izraženo v mesecih. Odstotek se dalje deli z 12, ker je v enem letu 12 mesecev in moramo izračunati mesečno obrestno mero.

Če bi to formulo uporabili za četrtletno obračunavanje prispevka, bi se letne obresti delile s 4, kazalnik n pa bi bil enak številu četrtletjev, in če bi bile obresti obračunane na pol leta, potem obrestno mero bi delili z 2, oznaka n pa bi ustrezala številu pol let.

Torej, če smo prispevali v višini 100.000,00 rubljev. z mesečno kapitalizacijo obresti, potem:

po 5 letih (60 mesecev) znesek depozita bi zrasel na 172.891,57 rubljev, kar je približno 10.000 rubljev. več kot v primeru letne kapitalizacije depozita; drgniti.

in po 10 letih (120 mesecev)"Povečan" znesek bi znašal 298.914,96 rubljev, kar je že za kar 15.000 rubljev. presega kazalnik, izračunan po formuli sestavljenih obresti, ki predvideva izračun v letih.

drgniti.

To pomeni, da je donosnost z mesečnimi obrestmi večja kot pri izračunu enkrat letno. In če se dobiček ne umakne, potem sestavljene obresti delujejo v korist vlagatelja.

Formula sestavljenih obresti za bančne depozite

Zgornje formule za sestavljene obresti so najverjetneje ilustrativni primeri za stranke, da lahko razumejo postopek za izračun sestavljenih obresti. Ti izračuni so nekoliko preprostejši formulo, ki jo banke uporabljajo za realne bančne depozite.

Tu je uporabljena enota razmerje obrestne mere za vloge (p). Izračuna se na naslednji način:

Sestavljene obresti ("natečeni" znesek) za bančne vloge se izračunajo po naslednji formuli:

Na podlagi tega in na podlagi enakih podatkov bomo z uporabo bančne metode izračunali sestavljene obresti.

Za začetek določimo obrestni koeficient za depozit:

Zdaj podatke nadomestimo z glavno formulo:

drgniti. - to je znesek vloge, "zrasle" v 5 letih *;

drgniti. - 10 let *.

* Izračuni v primerih so približni, saj ne vključujejo prestopnih let in različnega števila dni v mesecu.

Če primerjamo zneske iz teh dveh primerov s prejšnjimi, so ti nekoliko manjši, vendar je vseeno korist od kapitalizacije obresti očitna. Zato, če ste odločeni, da boste denar dolgo časa dali v banko, je bolje, da predhodno izračunate dobiček po formuli "banke" - to vam bo pomagalo, da se izognete razočaranju.

Splošne določbe
Skoraj vsi finančni in gospodarski izračuni so tako ali drugače povezani z obračunavanjem obresti. V bančni praksi se uporabljajo preproste in sestavljene obresti.
Obrestni denar (obresti) je znesek dohodka iz posojanja denarja v različnih oblikah (izdaja posojila, odpiranje depozitnih računov, nakup obveznic, najem opreme itd.).
Višina obresti je odvisna od treh dejavnikov:
znesek glavnega dolga (znesek posojila);
Datum zapadlosti;
obrestno mero, ki označuje intenzivnost obračunavanja obresti.
Obresti se lahko plačajo, ko se obračunajo ali prištejejo dolgovanemu znesku. Povečanje zneska dolga zaradi prištevanja obračunanih obresti se imenuje povečanje prvotnega zneska dolga.
Razmerje med natečenim zneskom in prvotnim zneskom dolga se imenuje obračunski faktor (koeficient):
Kn = 8 / R,
kjer je 8 natečeni znesek (unovčljiv);
P je začetni znesek dolga.
KN je vedno večji od enega.
Časovni interval, za katerega se obračunavajo obresti, se imenuje obdobje obračunavanja.
Pri uporabi enostavnih obrestnih mer se znesek denarja za obresti v celotnem obdobju dolga določi na podlagi njegovega prvotnega zneska, ne glede na obdobja nastanka poslovnega dogodka in njihovo trajanje, tj. ni kapitalizacije obresti (obračunavanje obresti na obresti).
Pri uporabi sestavljenih obrestnih mer se znesku dolga prištejejo obresti, natečene za preteklo obdobje, nanje pa se v naslednjem obdobju obračunajo obresti (pride do kapitalizacije obresti).
Vrednost samih obrestnih mer (enostavnih in zapletenih) se lahko spremeni ali ostane nespremenjena. Če se obrestna mera spremeni, vendar ni kapitalizacije, tj. obresti se zaračunajo vedno na isti znesek, potem bodo preproste. Če obstaja kapitalizacija tudi pri stalnih obrestnih merah, so obresti zapletene.
Enostavne in sestavljene obresti je mogoče izračunati na dva načina:
Dekurzivno - obresti se izračunajo na koncu vsakega intervala;
antisipativno - obresti se obračunajo na začetku vsakega intervala.
V prvem primeru se znesek obrestnega denarja določi na podlagi zneska danega posojila. Dekurzivna obrestna mera se imenuje posojilne obresti. To je razmerje med zneskom dohodka, natečenega v časovnem intervalu, do začetnega zneska (znesek na začetku intervala obračunavanja obresti):
1 = Dohodek x 100% / R.
Z protisistemsko (predhodno) metodo izračuna obresti se znesek denarja za obresti določi na podlagi natečenega zneska. Obrestne mere se imenujejo diskontne ali protiskupne:
ё = dohodek x 100% / 8.
Dekurzivna metoda je bolj razširjena v svetovni praksi.
Razmislimo o različnih vrstah obrestnih mer in metodah njihovega izračuna v skladu z naslednjim načrtom:
preproste dekurzivne obrestne mere;
zapletene obrestne mere za razgradnjo;
preproste protisistemske (diskontne) stopnje;
kompleksne protisistemske (diskontne) stopnje;
enakovredne obrestne mere.
Dekurzivna metoda izračuna enostavnih obresti
Obračunavanje enostavnih obrestnih mer se praviloma uporablja za kratkoročna posojila.
Uvedimo zapis:
8 - natečeni znesek, str .;
Р - začetni znesek dolga, str;
1 - letna obrestna mera (v deležih na enoto);
п - rok posojila v letih.
Konec prvega leta bo znesek natečenega dolga
81 = P + P 1 = P (1+ 1);
ob koncu drugega leta:
82 = 81 + P 1 = P (1+ 1) + P 1 = P (1+ 2 1); ob koncu tretjega leta:
83 = 82 + P1 = P (1+ 2 1) + P 1 = P (1 + 3 1) itd. Na koncu izraza n: 81 = P (1+ n 1).
To je preprosta formula za povečanje obrestnih mer.
Upoštevati je treba, da morata obrestna mera in rok med seboj ustrezati, tj. če se vzame letna stopnja, je treba izraz izraziti v letih (če četrtletno, potem izraz - v četrtletjih itd.).
Izraz v oklepajih predstavlja faktor povečanja pri preprosti obrestni meri:
Kn = (1+ n 1).
Zato,
81 = P Knjiga.
Naloga 5.1
Banka je izdala posojilo v višini 5 milijonov rubljev. za šest mesecev po preprosti obrestni meri 12% letno. Določite znesek za vračilo.
Rešitev:
8 = 5 milijonov (1 + 0,5 ¦ 0,12) = 5 300 000 rubljev.
Če je obdobje, za katerega je denar izposojen, določeno v dneh, bo zbrani znesek enak 8 = P (1 + d / K 1),
kjer je d trajanje izraza v dneh;
K je število dni v letu.
Vrednost K se imenuje časovna osnova.
Časovna osnova je lahko enaka dejanski dolžini leta - 365 ali 366 (takrat se odstotki imenujejo natančni) ali približno enaki 360 dni (potem so to običajni odstotki).
Natančno ali približno je mogoče določiti tudi vrednost števila dni, za katere je denar izposojen. V zadnjem primeru naj bi trajanje katerega koli meseca trajalo 30 dni. V obeh primerih se za datum izdaje dolga in datum njihovega vračila šteje en dan.
Naloga 5.2
Banka je izdala posojilo v višini 200 tisoč rubljev. od 12.03 do 25.12 (prestopno leto) po stopnji 7% letno. Določite velikost odplačanega zneska z različnimi možnostmi za časovno osnovo z natančnim in približnim številom dni posojila ter naredite zaključek o prednostnih možnostih z vidika banke in posojilojemalca.
Rešitev:
Natančno število dni posojila od 12.03. dne 25.12:
20+30+31+30+31+31+30+31+30+25=289.
Približno število dni posojila:
20+8-30+25=285;
a) Natančne obresti in natančno število dni posojila:
8 = 200.000 (1 + 289/366 ¦ 0,07) = 211.016 str .;
b) navadne obresti in natančno število dni posojila:
8 = 200.000 (1 + 289/360 ¦ 0,07) = 211.200;
c) navadne obresti in približno število dni posojila:
8 = 200.000 (1 + 285/360 ¦ 0,07) = 211.044;
d) natančne obresti in približno število dni posojila:
8 = 200.000 (1 + 285/366 ¦ 0.07) = 210.863.
Tako bo največji obračunani znesek pri možnosti b) - navadne obresti z natančnim številom dni posojila, najmanjši - pri možnosti d) - natančne obresti s približnim številom dni posojila.
Zato je z vidika banke kot posojilodajalca prednostna možnost b), z vidika posojilojemalca pa možnost d).
Upoštevati je treba, da je posojilodajalec v vsakem primeru bolj donosen običajni interes, posojilojemalec pa natančen (v vsakem primeru - preprost ali zapleten). V prvem primeru je obračunani znesek vedno višji, v drugem primeru pa manjši.
Če so obrestne mere v različnih časovnih obdobjih obračunavanja dolga različne, se natečeni znesek določi po formuli
n
8 = P (1 + X p 10,
1=1
kjer je N število intervalov za izračun obresti;
n - trajanje prvega obračunskega intervala;
^ - obrestna mera za I -ti interval obračunavanja.
Naloga 5.3
Banka sprejema depozite po preprosti obrestni meri, ki je v prvem letu 10%, nato pa se vsakih šest mesecev poveča za 2 odstotni točki. Določite višino prispevka pri 50 tisoč rubljih. z obrestmi v 3 letih.
Rešitev:
8 = 50.000 (1 + 0,1 + 0,5 0,12 + 0,5 0,14 + 0,5 0,16 + 0,5 0,18) = 70 000 rubljev.
S formulo za natečeni znesek lahko določite rok posojila pod drugimi določenimi pogoji.
Rok posojila v letih:
8 - Р N =.
R 1
Naloga 5.4
Določite rok posojila v letih, za katera je dolg 200 tisoč rubljev. se bo povečal na 250 tisoč rubljev. pri uporabi preproste obrestne mere - 16% letno.
Rešitev:
(250.000 - 200.000) / (200.000 0,16) = 1,56 (leta).
Iz formule za obračunani znesek lahko določite preprosto obrestno mero in prvotni znesek dolga.
Odločite se sami
Naloga 5.5
Pri izdaji posojila 600 tisoč rubljev. dogovorjeno je, da bo posojilojemalec v dveh letih vrnil 800 tisoč rubljev. Določite obrestno mero, ki jo uporablja banka.
Odgovor: 17%.
Cilj 5.6
Posojilo, izdano po preprosti obrestni meri 15% letno, je treba odplačati v 100 dneh. Določite znesek, ki ga je prejel posojilojemalec, in znesek obresti, ki jih je prejela banka, če mora biti vrnjeni znesek 500 tisoč rubljev. s časovno osnovo 360 dni.
Odgovor: 480.000 rubljev.
Operacija iskanja prvotnega zneska dolga za znano odplačilo se imenuje diskontiranje. V širšem smislu izraz "diskontiranje" pomeni določitev vrednosti P vrednosti v določenem času, pod pogojem, da bo v prihodnosti enaka dani vrednosti 8. Takšni izračuni se imenujejo tudi prinašanje vrednosti kazalca do določenega trenutka, vrednost P, določeno z diskontiranjem, pa se imenuje sodobna ali zmanjšana vrednost vrednosti. Diskontiranje vam omogoča, da pri izračunu stroškov upoštevate faktor časa. Faktor popusta je vedno manjši od enega.
Enostavna formula diskontiranja obrestnih mer:
P = 8 / (1 + w), kjer je 1 / (1 + w) diskontni faktor.
Metoda dekurzivne mešanice
V primeru dolgoročnih finančnih in kreditnih poslov se po naslednjem obračunskem obdobju k znesku dolga prištejejo obresti, v naslednjem obdobju pa se obresti obračunajo na skupni znesek, tj. z kapitalizacijo obresti. Takšne obresti se imenujejo sestavljene, osnova za njihovo obračunavanje pa se z vsakim zaporednim obračunskim obdobjem poveča.
Natečeni znesek za n let pri uporabi konstantne letne sestavljene obrestne mere 1c je določen s formulo
8 = P (1 + 1 s) str.
Cilj 5.7
Banka je izdala posojilo v višini 500 tisoč rubljev. za 3 leta. Določite znesek, ki ga želite odplačati, z uporabo sestavljene obrestne mere 18% na leto in zneska denarja za obresti.
Rešitev:
8 = 500.000 (1 + 0,18) 3 = 821,516 str.
Denar za obresti = 821.516 - 500.000 = 321.516 rubljev.
Izračun sestavljenih obresti za posojilo, daljše od enega leta, daje večji znesek denarja za obresti kot izračun enostavnih obresti.
Če se sestavljene obresti obračunavajo večkrat letno (po mesecih, četrtletjih, semestrih), se uporabi nominalna obrestna mera - letna obrestna mera, na podlagi katere se določi znesek obrestne mere, uporabljene v vsakem obračunskem obdobju.
V tem primeru se obračunani znesek določi po formuli
8 = P (1 +] / m) tp, kjer] - nominalna sestavljena obrestna mera, decimalni ulomek;
t - število obdobij obračunavanja obresti na leto;
п - rok posojila v letih;
] / t - obrestna mera v vsakem obračunskem obdobju, decimalni ulomek.
Cilj 5.8
Banka četrtletno zaračunava obresti za depozite po nominalni stopnji 16% letno. Določite znesek, ki ga je vlagatelj prejel po 5 letih, če je znesek začetnega depozita 100 tisoč rubljev.
Rešitev:
8 = 100.000 (1 + 0,16 / 4) 4 x 5 = 219 112,2 str.
Iz formule za obračunani znesek lahko določite vrednost zneska, izplačanega posojilojemalcu, tj. diskontirajte znesek 8 po sestavljeni obrestni meri.
Odločite se sami
Cilj 5.9
Določite sedanjo vrednost zneska 500 tisoč rubljev, ki bo plačan v treh letih z uporabo sestavljene obrestne mere 20% letno.
Odgovor: 289 351,8 rubljev.
Določitev roka posojila (po formuli natečenega zneska) bo določena
n = 1od (8 / P) / 1od (1 + 1).
Logaritme lahko vzamete s poljubnimi enakimi osnovami.
Naloga 5.10
Banka obračunava sestavljene obresti po stopnji 12% letno. Določite obdobje v letih, za katera je znesek depozita 25 tisoč rubljev. bo zrasel na 40 tisoč rubljev.
Odgovor: 4,15 let.
Naloga 5.11
Znesek dolga se je v treh letih podvojil. Določite uporabljeno letno sestavljeno obrestno mero.
Odgovor: 26%.
Antisipativna metoda izračuna preprostih obresti (preproste diskontne mere)
Pri uporabi diskontnih obrestnih mer se znesek denarja za obresti iz posojila določi glede na znesek, ki ga je treba vrniti, tj. znesek prejetega posojila ni prejeti znesek, ampak natečeni znesek. Obresti, nabrane po diskontni obrestni meri, se zadržijo neposredno ob izdaji posojila, posojilojemalec pa znesek posojila prejme takoj minus denar za obresti. Taka transakcija se imenuje diskontiranje diskontne mere ali bančno ali poslovno računovodstvo. Znesek obresti, nabran po diskontni stopnji, se imenuje diskont.
Znesek, ki ga bo prejel posojilojemalec, bo določen po formuli
P = 8 (1 - nth),
kjer je d preprosta diskontna stopnja;
(1 - n ё) - diskontni koeficient po preprosti diskontni stopnji.
Iz formule je razvidno, da za razliko od posojilnih obrestnih mer diskontne stopnje ne morejo sprejeti nobenih vrednosti, diskontni koeficient ne more biti negativen, t.j. n ^ d mora biti strogo manjši od enega. Vrednosti d, ki so blizu mejnih, se v praksi ne srečujejo. Cilj 5.12
Posojilojemalec najame posojilo za četrtino z obveznostjo odplačila 100 tisoč rubljev. Določite znesek, ki ga je prejel posojilojemalec, in znesek diskonta, ki ga banka zadrži po diskontni stopnji 15% letno.
Rešitev:
P = 100.000 (1 - 0.25 x 0.15) = 96.250 rubljev.
Popust = 8 - P = 100.000 - 96.250 = 3.750 rubljev.
Če je rok posojila določen v dneh (d), bo znesek, ki ga je prejel posojilojemalec, določen po formuli
P = 8 (1 - a d / K),
kjer je K število dni v letu (časovna osnova).
Odločite se sami
Naloga 5.13
Določite znesek, ki ga je prejel posojilojemalec, in znesek popusta, ki ga je prejela banka, če mora posojilojemalec po 200 dneh vrniti 100 tisoč rubljev. z diskontno stopnjo banke 10% letno in časovno osnovo 360 dni.
Odgovor: 94 444,44 rubljev; 5 555,56 RUR
V praksi se diskontne mere uporabljajo pri nakupu (računovodskih) menic in drugih denarnih obveznosti. V tem primeru ga banka ali druga finančna institucija odkupi od lastnika (dobavitelja) po ceni, ki je nižja od zneska, ki ga je treba plačati na koncu roka pred zapadlostjo računa, ali, kot pravijo, banka račun upošteva s popustom. Hkrati lastnik menice prejme denar prej od roka, ki je naveden v menici, minus dobiček banke v obliki popusta. Banka, ki je prejela določen znesek na dan zapadlosti računa, realizira (prejme) popust.
Ta operacija se lahko šteje za izdajo posojila v znesku, navedenem v menici, po diskontni stopnji, uporabljeni v njenem računovodstvu, za obdobje, ki je enako obdobju od datuma obračunavanja do datuma odkupa račun. Posledično bo znesek, izdan lastniku menice, določen po formuli
Р = 8 (1 - Дп -ё) = 8 (1 - ё -Дд / К), kjer je Дп = Дд / К - rok v dneh od datuma obračunavanja do datuma unovčenja zadolžnice;
Pekel - število dni od datuma obračunavanja do datuma unovčenja računa.
Naloga 5.14
Pri obračunu zadolžnice v višini 100 tisoč rubljev, do zapadlosti katere je ostalo 80 dni, je banka lastniku plačala 98 tisoč rubljev. Določite, kakšno diskontno stopnjo je banka uporabila s časovno osnovo 360 dni.
Rešitev:
d = (100.000 - 98.000) x 360 / (100.000 x 80) = 0,09 = 9%.
Odločite se sami
Naloga 5.15
Zadolžnica v višini 200 tisoč rubljev. računovodstvo v banki 30 dni pred zapadlostjo po diskontni stopnji 15% letno. Določite znesek, ki ga je prejel lastnik računa, in znesek popusta, ki ga je banka prejela, s časovno osnovo 360 dni.
Odgovor: 197 500 rubljev; 2 500 rub.
Naloga 5.16
Banka odobrava posojila po diskontni stopnji 15% letno. Določite rok posojila v letih, če želi posojilojemalec prejeti 500 tisoč rubljev, odplačani znesek pa mora biti 550 tisoč rubljev
... Odgovor: 0,61 let.
Metoda antisipativnega zlaganja (sestavljene obrestne mere)
Uvedimo naslednji zapis:
es - kompleksna diskontna stopnja;
^ - nominalna letna diskontna stopnja (uporablja se pri izračunu obresti po diskontni obrestni meri večkrat na leto);
Kompleksna diskontna formula za popust:
P = 8 (1 - ds) str.
Natečeni znesek v n letih: 8 = P / (1 - Ds) str.
Tu je 1 / (1 - ds) n stopnja povečanja pri kompleksni diskontni stopnji.
Če sta posojilna obrestna mera in diskontna mera enaki, je povečanje začetnega zneska v drugem primeru (po protisistemski metodi) hitrejše. Zato v literaturi lahko najdete trditev, da je dekurzivna metoda izračuna obresti bolj koristna za posojilojemalca, protivirusna metoda pa za posojilodajalca. Vendar se to lahko šteje za pravično le pri nizkih obrestnih merah, kadar odstopanje ni tako veliko. Ko pa se obrestna mera dvigne, razlika v natečenih zneskih postane velika (in raste z rastjo%), zato ni smiselno primerjati obeh metod.
Iz formule izhaja, da lahko diskontna stopnja sprejme le vrednosti, strogo manjše od 100%. Naračunani znesek se hitro povečuje z naraščanjem diskontne stopnje, ki teži do neskončnosti.
Če se diskontna mera med trajanjem posojila spremeni:
n
8 = R / P (1 - nth).
1=1
Tu je n1, n2, ... nN trajanje obračunskih intervalov v letih;
d1, ... ^ - diskontne stopnje v teh intervalih;
Če obračunavanje obresti t enkrat letno, potem
8 = P / (1 - G / t) ™
Če izvedemo izračune 8 za različne vrste obrestnih mer (preprosto in zapleteno posojilo in diskont) z enakimi P in obrestnimi merami, bomo največjo rast kapitala dosegli v primeru obračunavanja obresti po preprosti diskontni obrestni meri.
Naloga 5.17
Začetni znesek dolga je 25 tisoč rubljev. Natečeni znesek določite po treh letih pri uporabi dekurzivnih in protiskupnih metod izračuna obresti. Letna obrestna mera je 25%.
Rešitev:
= 25.000 (1 + 0.25) 3 = 48.828.125 rubljev;
= 25.000 (1 - 0.25) -3 = 59.255.747 str.
Odločite se sami
Naloga 5.18
Določite trenutno vrednost zneska 120.000 rubljev, ki bo plačan v 2 letih z uporabo kompleksne diskontne stopnje 20% letno.
Odgovor: 76 800 RUR
Naloga 5.19.
Določite natečene zneske za različne vrste obrestnih mer pod enakimi začetnimi pogoji: P = 10.000 rubljev, obrestna mera = 10%.
Rezultate izračuna povzemite v tabelo in primerjajte stopnje rasti. Vrsta obrestne mere in izračunska formula 8 Trajanje = 1 Trajanje = 3 Trajanje = 6 Enostavno posojilo: 8 = P (1 + t) 11.000 13.000 16.000 Sestavljeno posojilo: 8 = P (1 + 1s) p Neprekinjeno obračunavanje %% 8 = P e] p 11 044 Enostavno računovodstvo: 8 = P / (1 - dn) Sestavljeno računovodstvo: 8 = P / (1 - d) p
V zgornji vrstici so na primer prikazani rezultati izračunavanja natečenih zneskov po enostavni posojilni obrestni meri za pogoje posojila, enaka, tri in šest let. Prazne vrstice morate izpolniti sami.
V formuli za izračun nepretrganih obresti je e osnova naravnega logaritma. Za n = 1: 8 = 10.000 x 2.701 x 1 = 11.044.
Enakovredne obrestne mere Enakovredne obrestne mere so tiste stopnje različnih vrst, katerih uporaba pod enakimi začetnimi pogoji daje enake finančne rezultate. Poznati jih morate, ko obstaja možnost izbire pogojev finančnih transakcij in če je potrebno orodje za pravilno primerjavo različnih obrestnih mer.
Enačbe enakovrednosti se uporabljajo za iskanje enakovrednih obrestnih mer. Izbrana je vrednost, ki jo je mogoče izračunati z uporabo različnih vrst tečajev (običajno je to natečen znesek). Na podlagi enakosti obeh izrazov za dano vrednost sestavi enačba enakovrednosti, iz katere s pomočjo ustreznih transformacij dobimo razmerje, ki izraža razmerje med obrestnimi merami različnih vrst. Če želite na primer najti preprosto diskontno obrestno mero, ki je enakovredna enostavni obrestni meri, bo enačba enakovrednosti enaka
P (1 + w) = P / (1 - ni) ali (1 + w) = 1 / (1 - ni), tj. ustrezne faktorje kopičenja je treba izenačiti. Zato je d = 1 / (1 + w) in 1 = d / (1 - ni).
Cilj 5.20
Ročnost dolžniške obveznosti je šest mesecev, preprosta diskontna stopnja je 18%. Kakšna je donosnost te operacije, merjena kot preprosta posojilna obrestna mera?
Rešitev:
1 = 0,18 / (1 - 0,5 x 0,18) = 0,198 = 19,8%. Za iskanje enakovrednosti med letno kompleksno posojilno obrestno mero in letno kompleksno nominalno posojilno obrestno mero enačimo izraze: 8 = P (1 + 1c) n in 8 = P (1 + Ut) ™, tj. (1 + dp = (1 + Ut) ™
Zato je 1c = (1 + Ym) m - 1.
Nastala letna obrestna mera, ki je enakovredna nominalni obrestni meri, se imenuje efektivna obrestna mera. To morate vedeti, da ugotovite dejanski donos ali primerjate obresti pri uporabi različnih obračunskih intervalov.
Cilj 5.21
Izračunajte efektivno sestavljeno obrestno mero, če je nominalna obrestna mera 24% in se obresti obračunavajo mesečno.
Rešitev:
1s = (1 + 0,24 / 12) 12 - 1 = 0,268 = 26,8%.
Cilj 5.22
Ugotovite, po kateri obrestni meri je bolj donosno postaviti kapital v 10.000 tisoč rubljev. za 5 let:
a) po preprosti posojilni obrestni meri 20% letno;
b) po sestavljeni posojilni obrestni meri 12% letno s četrtletnimi obrestmi.
Rešitev:
Tu ni treba izračunati zneska natečenega zneska po različnih stopnjah. Zato velikost osnovnega kapitala ni pomembna. Dovolj je na primer najti preprosto obrestno mero, ki je enakovredna dani kompleksni obrestni meri, tj. uporabite formulo
1 = [(1 +] / m) tp - 1] / n = [(1 + 0,12 / 4) 20 - 1] / 5 = 0,1612 = 16,12%.
Ker je preprosta obrestna mera 16,12%, ki bi dala enak rezultat kot dana skupna obrestna mera (12%), bistveno nižja od obrestne mere, predlagane v prvi možnosti (20%), je jasno, da je prva naložbena možnost (po preprosti stopnji 20% letno) je veliko bolj donosna. ...
Zdaj pa izračunajmo natečene zneske v obeh primerih:
a) 8 = 10.000 (1 + 5 x 0.2) = 20.000 tisoč rubljev;
b) 8 = 10.000 (1 + 0.12 / 4) 20 = 18.061 tisoč rubljev.
Dobljeni rezultat potrjuje prejšnji sklep, da je prva možnost bolj donosna, saj daje veliko količino kopičenja. Hkrati se z uporabo enakovrednih stopenj izračuni prepolovijo.
Odločite se sami
Cilj 5.23
Zadolžnica je bila evidentirana tri mesece pred zapadlostjo po diskontni stopnji 20% letno. Določite vrednost enakovredne obrestne mere enostavnih obresti, ki določa donosnost računovodske operacije.
Odgovor: 21,1%.
Cilj 5.24
Enostavna obrestna mera je 20% letno. Določite vrednost enakovredne diskontne mere pri izdaji posojila za šest mesecev.
Odgovor: 18%.
Cilj 5.25
Dve leti posojila se daje po sestavljeni obrestni meri 16% letno. Določite vrednost enakovredne diskontne mere pri izdaji posojila za šest mesecev.
Odgovor: 14,5%.
Cilj 5.26
Potrdilo o vlogi za obdobje petih let se zaračuna z enostavnimi obrestmi za posojilo po stopnji 15% letno. Določite ekvivalentno sestavljeno obrestno mero.
Odgovor: 11,84%.
Cilj 5.27
Banka obračunava mesečne obresti na depozite po nominalni letni obrestni meri 12% letno. Določite donosnost vlog po kompleksni letni obrestni meri.
Odgovor: 12,68%.
Lahko pridemo do naslednjih zaključkov:
Vrednost efektivne stopnje je večja od vrednosti nominalne in sovpadata pri m = 1.
Enostavna diskontna stopnja je vedno nižja od enakovrednih drugih obrestnih mer (ker je zvišanje po tej stopnji, pri vseh drugih enakih pogojih, vedno hitrejše).
Enakovrednost različnih obrestnih mer ni odvisna od vrednosti začetnega zneska P (začetni znesek naj bi bil enak).
Enakovrednost obrestnih mer je vedno odvisna od dolžine obdobja obračunavanja obresti, razen v primerih enakovrednosti med različnimi vrstami sestavljenih obrestnih mer (če je obračunsko obdobje enako).