Pentru a calcula suma unei serii, trebuie doar să adăugați elementele rândului, de un anumit număr de ori. De exemplu:
În exemplul de mai sus, acest lucru s-a făcut foarte ușor, deoarece trebuia rezumat de un număr finit de ori. Dar dacă limita superioară a însumării este infinitul? De exemplu, dacă trebuie să găsim suma următoarelor serii:
Prin analogie cu exemplul anterior, putem scrie această sumă astfel:
Dar ce să faci în continuare?! În această etapă, este necesară introducerea conceptului suma parțială a seriei... Asa de, suma parțială a seriei(notat cu S n) este suma primilor n termeni ai seriei. Acestea. în cazul nostru:
Apoi, suma seriei originale poate fi calculată ca limită a sumei parțiale:
Astfel, pentru calcularea sumei unei serii, este necesar într-un fel să găsim o expresie pentru suma parțială a seriei (S n). În cazul nostru particular, seria este o progresie geometrică descrescătoare cu un numitor de 1/3. După cum știți, suma primelor n elemente ale unei progresii geometrice se calculează prin formula:
aici b 1 este primul element al unei progresii geometrice (în cazul nostru este 1) și q este numitorul progresiei (în cazul nostru 1/3). Prin urmare, suma parțială S n pentru seria noastră este egală cu:
Atunci suma seriei noastre (S), conform definiției date mai sus, este egală cu:
Exemplele discutate mai sus sunt destul de simple. De obicei, calcularea sumei unei serii este mult mai dificilă și cea mai mare dificultate constă tocmai în găsirea sumei parțiale a seriei. Calculatorul online de mai jos, bazat pe sistemul Wolfram Alpha, vă permite să calculați suma unor serii destul de complexe. Mai mult, dacă calculatorul nu a putut găsi suma seriei, este probabil ca seria dată să fie divergentă (în acest caz, calculatorul afișează un mesaj precum „sum diverges”), adică acest calculator ajută, de asemenea, indirect să vă faceți o idee despre convergența seriei.
Pentru a găsi suma seriei dvs., trebuie să specificați variabila seriei, limitele inferioare și superioare ale însumării, precum și expresia pentru al n-lea termen al seriei (adică expresia reală pentru seria în sine) .
Răspuns: rândul diverge.
Exemplul nr. 3
Aflați suma seriei $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $.
Deoarece limita inferioară a însumării este 1, termenul comun al seriei se scrie sub semnul sumei: $ u_n = \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $. Să compunem a n-a sumă parțială a seriei, i.e. Să însumăm primii $ n $ membri ai unei serii numerice date:
$$ S_n = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + \ ldots + u_n = \ frac (2) (3 \ cdot 5) + \ frac (2) (5 \ cdot 7) + \ frac (2) (7 \ cdot) 9 ) + \ frac (2) (9 \ cdot 11) + \ ldots + \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)). $$
De ce scriu exact $ \ frac (2) (3 \ cdot 5) $ și nu $ \ frac (2) (15) $, va fi clar din narațiunea ulterioară. Cu toate acestea, înregistrarea unei sume parțiale nu ne-a adus nici un pic mai aproape de obiectivul nostru. Trebuie să găsim $ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $, dar dacă scriem doar:
$$ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n = \ lim_ (n \ to \ infty) \ left (\ frac (2) (3 \ cdot 5) + \ frac (2) (5 \ cdot 7) + \ frac (2) (7 \ cdot 9) + \ frac (2) (9 \ cdot 11) + \ ldots + \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) \ dreapta), $$
atunci această înregistrare, complet corectă ca formă, nu ne va oferi nimic în esență. Pentru a găsi limita, expresia pentru suma parțială trebuie mai întâi simplificată.
Pentru aceasta, există o transformare standard, care constă în extinderea fracției $ \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $, care reprezintă termenul comun al seriei, în fracții elementare. Un subiect separat este dedicat problemei descompunerii fracțiilor raționale în fracții elementare (a se vedea, de exemplu, exemplul # 3 de pe această pagină). Extinderea fracției $ \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $ în fracții elementare, vom avea:
$$ \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) = \ frac (A) (2n + 1) + \ frac (B) (2n + 3) = \ frac (A \ cdot (2n) +3) + B \ cdot (2n + 1)) ((2n + 1) (2n + 3)). $$
Echivalăm numărătorii fracțiilor din stânga și dreapta egalității rezultate:
$$ 2 = A \ cdot (2n + 3) + B \ cdot (2n + 1). $$
Există două moduri de a găsi valorile $ A $ și $ B $. Puteți extinde parantezele și rearanja termenii sau puteți pur și simplu înlocui câteva valori potrivite cu $ n $. Strict pentru o schimbare, în acest exemplu vom merge pe prima cale, iar următoarea - vom înlocui valorile particulare ale $ n $. Extindem parantezele și rearanjam termenii, obținem:
$$ 2 = 2An + 3A + 2Bn + B; \\ 2 = (2A + 2B) n + 3A + B. $$
Există un zero în partea stângă a egalității înainte de $ n $. Dacă doriți, pentru claritate, partea stângă a egalității poate fi reprezentată ca $ 0 \ cdot n + 2 $. Deoarece în partea stângă a egalității înainte de $ n $ există zero, iar în partea dreaptă a egalității înainte de $ n $ există $ 2A + 2B $, avem prima ecuație: $ 2A + 2B = 0 $. Împărțim imediat ambele părți ale acestei ecuații la 2, după care obținem $ A + B = 0 $.
Deoarece în partea stângă a egalității termenul liber este egal cu 2, iar în partea dreaptă a egalității termenul liber este egal cu $ 3A + B $, atunci $ 3A + B = 2 $. Deci avem un sistem:
$$ \ stânga \ (\ începe (aliniat) & A + B = 0; \\ & 3A + B = 2. \ final (aliniat) \ dreapta. $$
Demonstrarea se va realiza prin metoda inducției matematice. La primul pas, este necesar să verificăm dacă egalitatea care se dovedește este valabilă: $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ pentru $ n = 1 $. Știm că $ S_1 = u_1 = \ frac (2) (15) $, dar expresia $ \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ va da valoarea $ \ frac ( 2 ) (15) $, dacă înlocuiți $ n = 1 $? Sa verificam:
$$ \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2 \ cdot 1 + 3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (5) = \ frac (5-3) (15) = \ frac (2) (15). $$
Deci, pentru $ n = 1 $, egalitatea $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ este valabilă. Aceasta completează primul pas al metodei de inducție matematică.
Să presupunem că pentru $ n = k $ egalitatea este valabilă, adică $ S_k = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2k + 3) $. Să demonstrăm că aceeași egalitate este valabilă pentru $ n = k + 1 $. Pentru a face acest lucru, luați în considerare $ S_ (k + 1) $:
$$ S_ (k + 1) = S_k + u_ (k + 1). $$
Deoarece $ u_n = \ frac (1) (2n + 1) - \ frac (1) (2n + 3) $, atunci $ u_ (k + 1) = \ frac (1) (2 (k + 1) + 1 ) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3) = \ frac (1) (2k + 3) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3) $. Conform ipotezei de mai sus, $ S_k = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2k + 3) $, prin urmare formula $ S_ (k + 1) = S_k + u_ (k + 1) $ ia forma:
$$ S_ (k + 1) = S_k + u_ (k + 1) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2k + 3) + \ frac (1) (2k + 3) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3). $$
Concluzie: formula $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ este corectă pentru $ n = k + 1 $. Prin urmare, conform metodei de inducție matematică, formula $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ este adevărată pentru orice $ n \ în N $. Egalitatea este dovedită.
În cursul standard de matematică superioară, ei sunt de obicei mulțumiți să „șteargă” termenii de anulare fără a necesita nicio dovadă. Deci, am obținut expresia pentru a n-a sumă parțială: $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $. Aflați valoarea lui $ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $:
Concluzie: seria dată converge iar suma ei este $ S = \ frac (1) (3) $.
Sincer să fiu, eu prefer această metodă :) Să notăm suma parțială într-o formă prescurtată:
$$ S_n = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) u_k = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)). $$
Am obținut mai devreme că $ u_k = \ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) $, deci:
$$ S_n = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)) = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ left (\ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) \ dreapta). $$
Suma $ S_n $ conține un număr finit de termeni, așa că îi putem rearanja după bunul plac. Vreau să adaug mai întâi toți termenii formei $ \ frac (1) (2k + 1) $ și abia apoi să merg la termenii formei $ \ frac (1) (2k + 3) $. Aceasta înseamnă că vom reprezenta suma parțială în următoarea formă:
$$ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (5) + \ frac (1) (5) - \ frac (1) (7) + \ frac (1) (7) - \ frac (1) (9) + \ frac (1) (9) - \ frac (1) (11) + \ ldots + \ frac (1) (2n + 1) - \ frac (1) (2n + 3) = \\ = \ frac (1) (3) + \ frac (1) (5) + \ frac (1) (7) + \ frac (1) (9) + \ ldots + \ frac (1) (2n + 1 ) - \ stânga (\ frac (1) (5) + \ frac (1) (7) + \ frac (1) (9) + \ ldots + \ frac (1) (2n + 3) \ dreapta) . $$
Desigur, notația extinsă este extrem de incomod, astfel încât egalitatea prezentată mai sus poate fi formatată mai compact:
$$ S_n = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ stânga (\ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) \ dreapta) = \ sum \ limits_ ( k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3). $$
Acum transformăm expresiile $ \ frac (1) (2k + 1) $ și $ \ frac (1) (2k + 3) $ în aceeași formă. Cred că este convenabil să se reducă la forma unei fracții mai mari (deși este posibil să o reducă, aceasta este o chestiune de gust). Deoarece $ \ frac (1) (2k + 1)> \ frac (1) (2k + 3) $ (cu cât numitorul este mai mare, cu atât fracția este mai mică), atunci vom reduce fracția $ \ frac (1) (2k + 3) $ la forma $ \ frac (1) (2k + 1) $.
Voi reprezenta expresia în numitorul fracției $ \ frac (1) (2k + 3) $ după cum urmează:
$$ \ frac (1) (2k + 3) = \ frac (1) (2k + 2 + 1) = \ frac (1) (2 (k + 1) +1). $$
Și suma $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) $ poate fi acum scrisă astfel:
$$ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k + 1) ) +1) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1). $$
Dacă egalitatea $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) $ nu ridică întrebări, atunci să mergem mai departe. Dacă aveți întrebări, vă rugăm să extindeți nota.
Cum am obținut suma convertită? arată ascunde
Am avut un rând $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 ( k + 1) +1) $. Să introducem o nouă variabilă în loc de $ k + 1 $ - de exemplu, $ t $. Deci, $ t = k + 1 $.
Cum s-a schimbat vechea variabilă $ k $? Și s-a schimbat de la 1 la $ n $. Să aflăm cum se va schimba noua variabilă $ t $. Dacă $ k = 1 $, atunci $ t = 1 + 1 = 2 $. Dacă $ k = n $, atunci $ t = n + 1 $. Deci expresia $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k + 1) +1) $ este acum $ \ sum \ limits_ (t = 2) ^ (n +1) ) \ frac (1) (2t + 1) $.
$$ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k + 1) +1) = \ sum \ limits_ (t = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) ) (2t + 1). $$
Avem suma $ \ sum \ limits_ (t = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2t + 1) $. Întrebarea este: chiar contează ce scrisoare să folosești în această sumă? :) Trite scriind litera $ k $ în loc de $ t $, obținem următoarele:
$$ \ sum \ limits_ (t = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2t + 1) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k +1). $$
Așa obținem egalitatea $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k + 1) +1) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) $.
Astfel, suma parțială poate fi reprezentată după cum urmează:
$$ S_n = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) ) = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) ). $$
Rețineți că sumele $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) $ și $ \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) ) (2k + 1) $ diferă doar în limitele însumării. Să facem aceleași limite. Luând primul element din suma $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) $ vom avea:
$$ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) = \ frac (1) (2 \ cdot 1 + 1) + \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) = \ frac (1) (3) + \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1). $$
Luând ultimul element din suma $ \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) $, obținem:
$$ \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) ) + \ frac (1) (2 (n + 1) +1) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) + \ frac (1) (2n + 3). $$
Atunci expresia pentru suma parțială va lua forma:
$$ S_n = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k +1) = \ frac (1) (3) + \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ left (\ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) + \ frac (1) (2n + 3) \ dreapta) = \\ = \ frac (1) (3) + \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2n + 3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3). $$
Dacă sărim peste toate explicațiile, atunci procesul de găsire a unei formule prescurtate pentru a n-a sumă parțială va lua următoarea formă:
$$ S_n = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) u_k = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)) = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ left (\ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) \ right) = \\ = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ frac (1) (3) + \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ left (\ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) ) + \ frac (1) (2n + 3) \ dreapta) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3). $$
Permiteți-mi să vă reamintesc că am redus fracția $ \ frac (1) (2k + 3) $ la forma $ \ frac (1) (2k + 1) $. Desigur, puteți face opusul, adică. reprezentați fracția $ \ frac (1) (2k + 1) $ ca $ \ frac (1) (2k + 3) $. Expresia finală pentru suma parțială nu se va modifica. În acest caz, voi ascunde procesul de găsire a sumei parțiale sub o notă.
Cum să găsim $ S_n $ dacă îl reducem la o altă fracție? arată ascunde
$$ S_n = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) ) = \ sum \ limits_ (k = 0) ^ (n-1) \ frac (1) (2k + 3) - \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) ) = \\ = \ frac (1) (3) + \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n-1) \ frac (1) (2k + 3) - \ left (\ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n-1) \ frac (1) (2k + 3) + \ frac (1) (2n + 3) \ dreapta) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3). $$
Deci $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $. Găsiți limita $ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $:
$$ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n = \ lim_ (n \ to \ infty) \ stânga (\ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) \ dreapta) = \ frac (1) (3) -0 = \ frac (1) (3). $$
Seria dată converge și suma ei este $ S = \ frac (1) (3) $.
Răspuns: $ S = \ frac (1) (3) $.
Continuarea subiectului găsirii sumei unei serii va fi luată în considerare în partea a doua și a treia.
Puteți calcula suma unei serii numai dacă seria converge. Dacă seria diverge, atunci suma seriei este infinită și nu are rost să calculezi ceva. Mai jos sunt exemple din practica de a găsi suma unei serii care a fost solicitată la Universitatea Națională Ivan Franko din Lviv. Sarcinile pentru serie sunt selectate astfel încât condiția de convergență să fie întotdeauna îndeplinită, dar vom efectua verificarea convergenței. Acesta și următoarele articole constituie soluția testului de analiză a seriei.
Exemplul 1.4 Calculați suma rândurilor:
A)
Calcule: Deoarece limita termenului comun al seriei la următorul număr până la infinit este 0 
atunci această serie converge. Să calculăm suma seriei. Pentru a face acest lucru, transformăm termenul comun extinzându-l în cele mai simple fracții de tipurile I și II. Metoda de descompunere în fracții simple nu va fi prezentată aici (este bine descrisă la integrarea fracțiilor), ci vom nota doar forma finală a descompunerii 
În conformitate cu aceasta, putem scrie suma prin suma seriei formate din cele mai simple fracții și apoi din diferența dintre sumele seriei 
Apoi, scriem fiecare rând într-o sumă explicită și selectăm termenii (subliniere), care vor deveni 0 după adăugare. Astfel, suma seriei va fi simplificată la suma a 3 termeni (marcați cu negru), ceea ce va rezulta în 33/40. 
Întreaga parte practică a găsirii sumei pentru serii simple se bazează pe aceasta.
Exemplele pentru serii complexe sunt reduse la suma progresiilor și seriilor infinit descrescătoare, care se găsesc prin formulele corespunzătoare, dar nu vom lua în considerare astfel de exemple aici.
b) 
Calcule: Aflați limita celui de-al n-lea termen al sumei 
Este egal cu zero, prin urmare, seria dată converge și are sens să-i cauți suma. Dacă granița este diferită de zero, atunci suma seriei este egală cu infinitul cu semnul plus sau minus.
Să găsim suma seriei. Pentru aceasta, termenul general al seriei, care este o fracție, se transformă prin metoda coeficienților nedeterminați în suma fracțiilor simple de tip I. 
În plus, conform instrucțiunilor care au fost date mai devreme, notăm suma seriei prin sumele corespunzătoare ale celor mai simple fracții 
Scriem sumele și selectăm termenii care vor deveni egali cu 0 atunci când sunt însumați. 
Ca rezultat, obținem suma mai multor termeni (evidențiați cu negru) care este egală cu 17/6.
Exemplul 1.9 Aflați suma unei serii:
A)
Computing: Computing Boundary 
ne asigurăm că această serie converge și puteți găsi suma. În plus, numitorul funcției numărului n este extins în factori primi și întreaga fracție este convertită într-o sumă de fracții simple de tip I. 
În continuare, suma seriei conform orarului este scrisă în două simple 
Scriem seria în mod explicit și selectăm termenii care, după adăugare, se vor aduna până la zero. Restul termenilor (evidențiați cu negru) reprezintă suma finală a seriei 
Astfel, pentru a afla suma seriei este necesar in practica sa se reduca 3 fractii simple sub un numitor comun.
b) 
Calcule: Granița unui membru al seriei tinde spre zero la valori mari ale numărului 
De aici rezultă că seria converge, iar suma sa este finită. Să găsim suma seriei, pentru aceasta, mai întâi, prin metoda coeficienților nedeterminați, extindem termenul comun al seriei în trei tipuri cele mai simple 
În consecință, suma unei serii poate fi transformată în suma a trei serii simple 
În continuare, căutăm termeni din toate cele trei sume, care, după însumare, devin zero. În rândurile care conțin trei fracții simple, una dintre ele devine egală cu zero atunci când este însumată (evidențiată cu roșu). Acesta servește ca un fel de indiciu în calcule. 
Suma seriei este egală cu suma a 3 termeni și este egală cu unu.
Exemplul 1.15 Calculați suma seriei:
A) 
Calcule: Când termenul total al seriei tinde spre zero 
această serie converge. Transformăm termenul comun în așa fel încât să avem suma celor mai simple fracții 
În plus, seria dată, conform formulelor de orar, este scrisă prin suma a două serii 
După scrierea într-o formă explicită, majoritatea membrilor seriei vor deveni egale cu zero ca urmare a însumării. Rămâne de calculat suma celor trei termeni. 
Suma seriei numerice este -1/30.
b) 
Calcule: Deoarece limita termenului comun din serie este zero, 
apoi seria converge. Pentru a găsi suma seriei, extindem termenul comun în fracții de cel mai simplu tip. 
Descompunerea a folosit metoda coeficienților nedefiniti. Notam suma seriei din orarul gasit 
Următorul pas este selectarea termenilor care nu aduc nicio contribuție la suma finală și restul celor rămase 
Suma seriei este 4,5.
Exemplul 1.25 Calculați suma rândurilor:
A) 
Deoarece este egal cu zero, seria converge. Putem afla suma seriei. Pentru a face acest lucru, conform schemei exemplelor anterioare, extindem termenul comun al seriei în ceea ce privește cele mai simple fracții 
Acest lucru vă permite să scrieți o serie prin suma unor serii simple și prin selectarea termenilor din ea, simplificând în același timp sumarea. 
În acest caz, va exista un termen care este egal cu unul.
b)
Calcule: Aflați limita termenului comun al seriei 
și asigurați-vă că seria converge. Mai mult, termenul comun al seriei numerice prin metoda coeficienților nedefiniți este descompus în fracții de cel mai simplu tip. 
Folosind aceleași fracții, notăm suma seriei 
Scriem seria explicit și simplificăm la suma a 3 termeni 
Suma seriei este 1/4.
Acest lucru completează cunoașterea schemelor de însumare a seriei. Serii care se reduc la suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare, conținând factoriali, dependențe de putere și altele asemenea, nu au fost încă luate în considerare aici. Cu toate acestea, materialul oferit va fi util studenților la examene și teste.
etc. - cele mai minime cunoștințe despre serii numerice... Este necesar să înțelegeți ce este o serie, să o puteți picta în detaliu și să nu vă rotunjiți ochii după expresiile „rândul converge”, „rândul diverge”, „suma rândului”. Prin urmare, dacă starea de spirit este complet la zero, vă rugăm să luați 5-10 minute pentru a scrie Rânduri pentru manechine(literal primele 2-3 pagini), apoi reveniți aici și nu ezitați să începeți să rezolvați exemple!
Trebuie remarcat faptul că, în majoritatea cazurilor, nu este ușor să găsiți suma unei serii, iar această problemă este de obicei rezolvată prin rânduri funcționale (sa traim si sa traim :))... Deci, de exemplu, suma unui artist popular 
retras prin Seria Fourier... În acest sens, în practică, aproape întotdeauna se cere să se stabilească însuşi faptul convergenţei, dar nu găsiți un număr anume (mulți, cred, au observat deja acest lucru). Cu toate acestea, printre marea varietate de serii de numere, există câțiva reprezentanți care permit chiar și unui ceainic plin să atingă sfânta sfintelor fără probleme. Și în lecția introductivă, am dat un exemplu de progresie geometrică infinit descrescătoare 
, a cărui sumă se calculează ușor după cunoscuta formulă școlară.
În acest articol, vom continua să luăm în considerare exemple similare, în plus, vom învăța definiția strictă a unei sume și, pe parcurs, ne vom familiariza cu unele proprietăți ale seriei. Incalzire... da, chiar pe progresii si incalzire:
Exemplul 1
Aflați suma unei serii 
Soluţie: reprezentăm seria noastră ca suma a două serii:
De ce in acest caz poti face asta? Pașii luați se bazează pe două afirmații simple:
1) Dacă seriile converg 
, atunci va converge si seria compusa din sumele sau diferentele termenilor corespunzatori:. În acest caz, este esențial despre care vorbim convergente ranguri. În exemplul nostru, noi stim dinainte că ambele progresii geometrice vor converge, ceea ce înseamnă, fără nicio îndoială, așezăm rândul original în două rânduri.
2) A doua proprietate este și mai evidentă. Constanta poate fi mutată în afara intervalului: 
, iar acest lucru nu va afecta convergența sau divergența acesteia și totalul. De ce să scoți o constantă? Da, doar pentru ca ea „să nu ia în cale”. Dar uneori este profitabil să nu o faci.
Aspectul final al exemplului arată cam așa:
Folosim formula de două ori pentru a găsi suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare: unde este primul termen al progresiei, este baza progresiei.
Răspuns: suma seriei
Începutul soluției poate fi proiectat într-un stil ușor diferit - scrieți seria direct și regrupați membrii săi:
Mai departe de-a lungul celei moletate.
Exemplul 2
Aflați suma unei serii
Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul tutorialului.
Nu există delicii speciale aici, dar odată am dat peste un serial neobișnuit care poate lua prin surprindere o persoană fără experiență. Aceasta... este, de asemenea, o progresie geometrică în scădere infinită! Într-adevăr, iar suma este calculată în doar câteva momente: 
.
Și acum o suflare dătătoare de viață de analiză matematică, necesară pentru rezolvarea altor probleme:
O definiție riguroasă a convergenței/divergenței și a sumei unei serii în teorie este dată prin așa-numitul sume parțiale rând. Parțial înseamnă incomplet. Să notăm sumele parțiale ale unei serii de numere 
:
Și un rol special îl joacă suma parțială a membrilor „en” ai seriei:
Dacă limita sumelor parțiale ale unei serii de numere este finala număr:, atunci se numește o astfel de serie convergente, iar numărul în sine este suma seriei... Dacă limita este infinită sau nu există, atunci seria se numește divergente.
Înapoi la rândul demonstrativ 
și notează-i sumele parțiale: 
Limita sumelor parțiale este exact o progresie geometrică infinit descrescătoare, a cărei sumă este egală cu:. Am considerat o limită similară în lecție despre secvențele de numere... De fapt, formula în sine este o consecință directă a calculelor teoretice de mai sus (vezi al 2-lea volum al matanului).
Astfel, este desenat algoritm general pentru rezolvarea problemei noastre: este necesar să faceți a n-a sumă parțială a seriei și să găsiți limita. Să vedem cum se face acest lucru în practică:
Exemplul 3
Calculați suma unei serii 
Soluţie: primul pas este extinderea termen comunîn suma fracţiilor. Folosim metoda coeficientului nedefinit:
Ca rezultat:
O dată este util să faci invers, verificând:
Termenul general al seriei a fost obținut în forma sa originală, prin urmare, extinderea în suma fracțiilor a fost realizată cu succes.
Acum să alcătuim suma parțială a seriei. În general, acest lucru se face pe cale orală, dar odată voi descrie cât mai detaliat posibil din ce a venit: 
Cum se scrie este perfect clar, dar cu ce este egal termenul anterior? În termenul general al seriei 
IN LOC DE Inlocuim "en":
Aproape toți termenii sumei parțiale pot fi reduse în siguranță: 
Facem astfel de semne cu un creion într-un caiet. Destul de convenabil.
Rămâne să calculăm limita elementară și să aflați suma seriei: 
Răspuns:
O serie similară pentru o soluție independentă:
Exemplul 4
Calculați suma unei serii 
O mostră aproximativă a proiectului final al soluției la sfârșitul lecției.
Evident, găsirea sumei unei serii este în sine o dovadă a convergenței acesteia (în plus față de semne de comparație, D'Alembert, Cauchyși altele), care, în special, este sugerată de formularea următoarei atribuții:
Exemplul 5
Aflați suma unei serii sau stabiliți divergența acesteia 
După apariția unui membru comun, puteți spune imediat cum se comportă acest tovarăș. Fara complexe. Prin intermediul criteriul de comparare a limitei este ușor de aflat (chiar și verbal) că un rând dat va converge cu un rând. Dar în fața noastră este un caz rar când și suma este calculată fără prea multe bătăi de cap.
Soluţie: extinde numitorul fracției într-un produs. Pentru a face acest lucru, trebuie să decideți ecuație pătratică:
În acest fel:
Este mai bine să aranjați factorii în ordine crescătoare:.
Să facem o verificare intermediară:
O.K
Astfel, termenul comun al seriei: 
În acest fel: 
Nu suntem leneși:
Ceea ce trebuia verificat.
Să notăm suma parțială a „en” a membrilor seriei, acordând atenție faptului că „contorul” seriei „începe să funcționeze” de la număr. Ca și în exemplele anterioare, este mai sigur să întindeți cobra la o lungime decentă:
Totuși, dacă scriem pe unul sau două rânduri, va fi totuși destul de greu de navigat în abrevierile termenilor (sunt câte 3 în fiecare termen). Și aici... geometria ne va veni în ajutor. Să facem șarpele să danseze pe tonul nostru: 
Da, chiar așa, scriem un termen sub celălalt în caiet și le tăiem exact așa. Apropo, propria mea invenție. După cum înțelegeți, nu din cea mai ușoară sarcină din viața asta =)
Ca rezultat al tuturor abrevierilor, obținem:
Și în sfârșit, suma seriei:
Răspuns:
Exemplul 8
Calculați suma unei serii 
Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself.
Problema luată în considerare, desigur, nu ne mulțumește cu diversitatea sa - în practică, întâlnim fie o progresie geometrică infinit descrescătoare, fie o serie cu un termen comun fracțional-rațional și un polinom expandabil la numitor (apropo, nu orice astfel de polinom face posibilă găsirea sumei unei serii). Dar, cu toate acestea, uneori apar exemplare neobișnuite și, conform bunei tradiții stabilite, termin lecția cu o problemă interesantă.
