Hallottad már, hogy a matematikát "minden tudomány királynőjének" nevezik? Egyetértesz ezzel az állítással? Amíg a matematika unalmas tankönyvi rejtvény marad számodra, alig érezheted ennek a tudománynak a szépségét, sokoldalúságát, sőt humorát.
De a matematikában vannak olyan témák, amelyek segítenek érdekes megfigyeléseket tenni a számunkra megszokott dolgokról és jelenségekről. És még az univerzumunk létrejöttének titkának fátylát is próbálja meg áthatolni. A világban vannak olyan furcsa minták, amelyek a matematika segítségével leírhatók.
Fibonacci számok nevezd meg egy sorozat elemeit. Ebben a sorozat minden következő számát a két előző szám összegzésével kapjuk.
Mintasorozat: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…
Így írhatod:
F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2
Negatív értékekkel indíthat Fibonacci-számok sorozatát n. Ráadásul a sorozat ebben az esetben kétoldalú (vagyis negatív és pozitív számokat takar), és mindkét irányban a végtelenbe hajlik.
Példa egy ilyen sorozatra: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.
A képlet ebben az esetben így néz ki:
F n = F n+1 - F n+2 vagy más módon megteheti így: F-n = (-1) n+1 Fn.
Amit ma "Fibonacci-számoknak" nevezünk, az ókori indiai matematikusok már jóval azelőtt ismerték, hogy Európában használták volna őket. És ezzel a névvel általában egy folyamatos történelmi anekdota. Kezdjük azzal a ténnyel, hogy maga Fibonacci életében soha nem nevezte magát Fibonaccinak – ezt a nevet csak néhány évszázaddal halála után kezdték alkalmazni Pisai Leonardora. De beszéljünk mindent sorban.
Egy kereskedő fia, aki matematikus lett, majd leszármazottai Európa első jelentős matematikusaként ismerték el a középkorban. Nem utolsósorban a Fibonacci-számoknak köszönhetően (amit akkor, emlékszünk, még nem így hívtak). Amit a 13. század elején írt le „Liber abaci” („Az abakusz könyve”, 1202) című művében.
Apjával keletre utazva Leonardo matematikát tanult arab tanárokkal (és akkoriban ők voltak az egyik legjobb szakember ebben a kérdésben és sok más tudományban). Az ókor és az ókori India matematikusainak műveit olvasta arab fordításban.
Miután megfelelően megértett mindent, amit olvasott, és összekapcsolta saját érdeklődő elméjét, Fibonacci számos tudományos értekezést írt a matematikáról, köztük a fentebb már említett „Abakusz könyvét”. Rajta kívül létrehozta:
A matematikai versenyek nagy szerelmese volt, ezért értekezéseiben nagy figyelmet fordított a különféle matematikai problémák elemzésére.
Nagyon kevés életrajzi információ maradt Leonardo életéről. Ami a Fibonacci nevet illeti, amellyel a matematika történetébe lépett, csak a XIX.
Fibonacci után számos probléma maradt meg, amelyek a következő évszázadokban nagyon népszerűek voltak a matematikusok körében. Megvizsgáljuk a nyulak problémáját, amelynek megoldásában a Fibonacci-számokat használjuk.
A nyulak nemcsak értékes szőrme
Fibonacci a következő feltételeket szabta: van egy pár újszülött nyúl (hím és nőstény), olyan érdekes fajtából, hogy rendszeresen (a második hónaptól kezdve) hoz utódokat - mindig egy pár új nyúlat. Továbbá, ahogy sejtheti, férfi és nő.
Ezeket a feltételes nyulakat zárt térben helyezik el, és lelkesen szaporodnak. Azt is előírják, hogy egyetlen nyúl sem hal meg valamilyen titokzatos nyúlbetegségben.
Ki kell számolnunk, hány nyulat kapunk egy évben.
A bent lévő nyulak száma n-. hónap = az előző hónap nyúlpárjainak száma + újszülött párok száma (2 hónappal korábban is ugyanannyi nyúl van). És mindezt a fent már megadott képlet írja le: F n \u003d F n-1 + F n-2.
Így kapunk egy ismétlődő (magyarázat rekurzió- lent) számsor. Ahol minden következő szám egyenlő az előző kettő összegével:
A sorozatot hosszan folytathatja: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. De mivel meghatározott időszakot - egy évet - határoztunk meg, a 12. "költözésen" kapott eredmény érdekel. Azok. A sorozat 13. tagja: 377.
A válasz a feladatban rejlik: 377 nyulat kapunk, ha minden feltétel teljesül.
A Fibonacci-szekvencia egyik tulajdonsága nagyon érdekes. Ha két egymást követő párt veszünk ki egy sorból, és a nagyobb számot elosztjuk a kisebbel, az eredmény fokozatosan közeledik aranymetszés(Erről később a cikkben olvashat).
A matematika nyelvén, "kapcsolati határ a n+1 nak nek a n egyenlő az aranymetszés.
Több probléma a számelméletben
Meghívjuk Önt, hogy önállóan találja meg a választ ezekre a kérdésekre. A cikkhez fűzött megjegyzésekben megadhatja nekünk a lehetőségeit. És akkor megmondjuk, hogy helyesek voltak-e a számításai.
rekurzió- egy tárgy vagy folyamat meghatározása, leírása, képe, amely magát ezt az objektumot vagy folyamatot tartalmazza. Azaz valójában egy tárgy vagy folyamat önmagának a része.
A rekurzió széles körben alkalmazható a matematikában és a számítástechnikában, sőt a művészetben és a populáris kultúrában is.
A Fibonacci-számok meghatározása rekurzív relációval történik. Számért n>2 n- e szám az (n - 1) + (n - 2).
aranymetszés- egy egész (például egy szegmens) felosztása olyan részekre, amelyek a következő elv szerint kapcsolódnak egymáshoz: egy nagy rész ugyanúgy tartozik egy kisebbhez, mint a teljes érték (például két szegmens összege) ) nagyobb részre.
Az aranymetszés első említése Euklidész "Kezdetek" című értekezésében található (kb. ie 300). Szabályos téglalap felépítésével összefüggésben.
A számunkra ismerős kifejezést 1835-ben Martin Ohm német matematikus vezette be.
Ha az aranymetszést hozzávetőlegesen írja le, akkor ez egy arányos felosztás két egyenlőtlen részre: körülbelül 62% és 38%. Számszerűen az aranymetszés a szám 1,6180339887 .
Az aranymetszés a képzőművészetben (Leonardo da Vinci és más reneszánsz festők festményei), az építészetben, a moziban (S. Ezenstein Potemkin csatahajója) és más területeken gyakorlati alkalmazást talál. Sokáig azt hitték, hogy az aranymetszés a legesztétikusabb arány. Ez a nézet ma is népszerű. Bár a kutatási eredmények szerint vizuálisan a legtöbben nem ezt az arányt tartják a legsikeresebb lehetőségnek, és túlságosan elnyújtottnak (aránytalannak) tartják.
Most térjünk vissza a Fibonacci-számokhoz. Vegyünk két egymást követő tagot a sorozatából. Ossza el a nagyobb számot a kisebbel, és kap körülbelül 1,618-at. És most használjuk ugyanazt a nagyobb számot és a sorozat következő tagját (azaz még nagyobb számot) - arányuk eleji 0,618.
Íme egy példa: 144, 233, 377.
233/144 = 1,618 és 233/377 = 0,618
Mellesleg, ha ugyanazt a kísérletet a sorozat elejétől kezdődő számokkal próbálja elvégezni (például 2, 3, 5), semmi sem fog működni. Majdnem. Az aranymetszés szabályát szinte nem tartják be a sorozat elején. De másrészt, ahogy haladsz a sorban, és a számok nőnek, ez jól működik.
A Fibonacci-számok teljes sorozatának kiszámításához pedig elegendő ismerni a sorozat három, egymást követő tagját. Magad is láthatod!
Egy másik furcsa párhuzam a Fibonacci-számok és az aranymetszés között lehetővé teszi az úgynevezett "arany téglalap" megrajzolását: oldalai 1,618-1 arányban állnak egymással. De már tudjuk, mi az 1,618, nem igaz?
Vegyük például a Fibonacci-sorozat két egymást követő tagját - 8-at és 13-at -, és építsünk egy téglalapot a következő paraméterekkel: szélesség = 8, hossza = 13.
És akkor a nagy téglalapot kisebbekre bontjuk. Kötelező feltétel: a téglalapok oldalhosszának meg kell egyeznie a Fibonacci számokkal. Azok. a nagyobb téglalap oldalhosszának meg kell egyeznie a két kisebb téglalap oldalainak összegével.
Az ábrán látható módon (az egyszerűség kedvéért az ábrák latin betűkkel vannak aláírva).
A téglalapokat egyébként fordított sorrendben is elkészítheti. Azok. 1-es oldalú négyzetekből kezdjünk el építeni. Amelyhez a fent hangoztatott elv alapján a Fibonacci-számokkal egyenlő oldalú ábrákat kell kitölteni. Elméletileg ez a végtelenségig folytatható – elvégre a Fibonacci-sorozat formailag végtelen.
Ha az ábrán kapott téglalapok sarkait sima vonallal összekötjük, logaritmikus spirált kapunk. Különleges esete inkább a Fibonacci spirál. Különösen az a tény jellemzi, hogy nincsenek határai, és nem változtatja alakját.
Ilyen spirál gyakran megtalálható a természetben. A puhatestű kagyló az egyik legszembetűnőbb példa. Sőt, néhány galaxis, amely a Földről látható, spirális alakú. Ha odafigyel a tévében az időjárás-előrejelzésekre, akkor észrevehette, hogy a ciklonok hasonló spirál alakúak, amikor műholdakról forgatják őket.
Érdekes, hogy a DNS-spirál is betartja az aranymetszet szabályát - a megfelelő mintázat látható a hajlítások intervallumában.
Az ilyen bámulatos „véletlenek” csak felizgatják az elméket, és egy bizonyos egyetlen algoritmusról beszélnek, amelynek az Univerzum életében minden jelenség engedelmeskedik. Most már érted, miért hívják ezt a cikket így? És milyen csodálatos világokat nyithat meg előtted a matematika?
A Fibonacci-számok és az aranymetszés kapcsolata furcsa mintákat sejtet. Annyira kíváncsi, hogy csábító a Fibonacci-számokhoz hasonló sorozatokat keresni a természetben, sőt a történelmi események során is. És a természet valóban okot ad ilyen feltételezésekre. De vajon az életünkben minden megmagyarázható és leírható a matematika segítségével?
Példák a Fibonacci-szekvenciával leírható vadon élő állatokra:
A Fibonacci-számokat széles körben használják a kombinatorika feladatok megoldásában.
Kombinatorika- ez a matematikának egy olyan ága, amely egy meghatározott halmazból adott számú elem kiválasztásának vizsgálatával, felsorolással stb.
Nézzünk példákat a középiskolai szintre tervezett kombinatorikai feladatokra (forrás - http://www.problems.ru/).
1. feladat:
Lesha felmászik egy 10 lépcsőből álló létrán. Egyszerre felugrik egyet vagy két lépést. Hányféleképpen tud Lesha felmászni a lépcsőn?
A számos mód, ahonnan Lesha fel tud mászni a lépcsőn n lépések, jelölje és n. Ebből következik tehát egy 1 = 1, a 2= 2 (végül is Lesha egy vagy két lépést ugrik).
Abban is megegyezés született, hogy Lesha felugrik a lépcsőn n > 2 lépések. Tegyük fel, hogy először ugrott két lépést. Tehát a probléma állapotának megfelelően neki kell ugrani egy másikat n-2 lépések. Ezután a mászás teljesítésének számos módja a következőképpen van leírva egy n-2. És ha feltételezzük, hogy Lesha először csak egy lépést ugrott, akkor leírjuk a mászás befejezésének számos módját a n-1.
Innen a következő egyenlőséget kapjuk: a n = a n–1 + a n–2(ismerősnek tűnik, nem?).
Mióta tudjuk egy 1és a 2és ne feledje, hogy a probléma állapotától függően 10 lépés van, számolja ki sorrendben a n: a 3 = 3, egy 4 = 5, egy 5 = 8, egy 6 = 13, a 7 = 21, egy 8 = 34, egy 9 = 55, egy 10 = 89.
Válasz: 89 módon.
2. feladat:
Meg kell találni a 10 betűs szavak számát, amelyek csak az "a" és "b" betűkből állnak, és nem tartalmazhatnak két "b" betűt egymás után.
Jelölje a n szavak száma hosszú n olyan betűk, amelyek csak az "a" és "b" betűkből állnak, és nem tartalmaznak két "b" betűt egymás után. Eszközök, egy 1= 2, a 2= 3.
Sorban egy 1, a 2, <…>, a n minden következő kifejezést az előzőekkel fogunk kifejezni. Ezért a hosszúságú szavak száma n betűket, amelyek szintén nem tartalmaznak duplázott "b" betűt és "a" betűvel kezdődnek, ez a n-1. És ha a szó hosszú n betűk "b" betűvel kezdődik, logikus, hogy egy ilyen szóban a következő betű az "a" (elvégre nem lehet két "b" a probléma feltétele szerint). Ezért a hosszúságú szavak száma n betűk ebben az esetben, jelölése egy n-2. Mind az első, mind a második esetben bármilyen szó (hosszúságú n-1és n-2 betűket, illetve) duplázott "b" nélkül.
Meg tudtuk magyarázni, miért a n = a n–1 + a n–2.
Most számoljunk a 3= a 2+ egy 1= 3 + 2 = 5, egy 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, egy 10= egy 9+ egy 8= 144. És megkapjuk az ismerős Fibonacci sorozatot.
Válasz: 144.
3. feladat:
Képzelje el, hogy van egy cellákra osztott szalag. Jobbra megy, és a végtelenségig tart. Helyezzen egy szöcskét a szalag első cellájára. Bármelyik cellán is van a szalagon, csak jobbra tud mozogni: vagy egy cellát, vagy kettőt. Hányféleképpen ugorhat a szöcske a szalag elejéről n sejt?
Jelöljük, hány módon mozog a szöcske a szalagon felfelé n th cell as a n. Ebben az esetben egy 1 = a 2= 1. Benne is n + 1-edik sejt, ahonnan a szöcske bármelyiket megkaphatja n cellában, vagy átugorva rajta. Innen n + 1 = a n – 1 + a n. Ahol a n = F n – 1.
Válasz: F n – 1.
Ön is létrehozhat hasonló problémákat, és megpróbálhatja megoldani őket a matematika órán az osztálytársaival.
Természetesen egy ilyen szokatlan jelenség, mint a Fibonacci-számok, nem vonhatja magára a figyelmet. Még mindig van valami vonzó, sőt titokzatos ebben a szigorúan ellenőrzött mintában. Nem meglepő, hogy a Fibonacci-szekvencia valahogy „világított” a modern tömegkultúra számos művében, különféle műfajokban.
Ezek közül néhányról mesélünk. És megpróbálod jobban keresni magad. Ha megtaláltad, oszd meg velünk kommentben – mi is kíváncsiak vagyunk!
0 Indulj el az úton
1 Kattintott az egyik illesztés
1 Az egyik ujja remegett
2 Mindent, hozd a személyzetet
Mindent, hozd a személyzetet
3 Forró víz kérése
A vonat a folyóhoz megy
A vonat a tajgába megy<…>.
A Fibonacci feleségek sűrű tápláléka
Ez csak a hasznukra volt, másként nem.
A feleségek a pletykák szerint súlyt mértek,
Mindegyik olyan, mint az előző kettő.
Reméljük, hogy sok érdekes és hasznos dolgot tudtunk ma elmondani. Például most megkeresheti a Fibonacci spirált a körülötte lévő természetben. Hirtelen te leszel az, aki képes lesz megfejteni "az élet, az univerzum és általában a titkát".
Használja a Fibonacci-számok képletét a kombinatorika feladatok megoldásához. A cikkben leírt példákra építhet.
oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.
Biztosan ismeri azt a gondolatot, hogy a matematika a legfontosabb tudományok közül. De lehet, hogy ezzel sokan nem értenek egyet, mert. néha úgy tűnik, hogy a matematika csak problémák, példák és hasonló unalmas dolgok. A matematika azonban könnyen megmutathat nekünk ismerős dolgokat egy teljesen ismeretlen oldalról. Sőt, még az univerzum titkait is felfedheti. Hogyan? Nézzük a Fibonacci-számokat.
A Fibonacci-számok egy numerikus sorozat elemei, ahol minden következő a két előző összegével következik, például: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 ... szabály szerint egy ilyen sorozatot a következő képlettel írunk fel: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2.
A Fibonacci-számok negatív "n" értékekkel is kezdődhetnek, de ebben az esetben a sorozat kétoldalas lesz - pozitív és negatív számokat is lefed, két irányban a végtelenig. Példa egy ilyen sorozatra: -34, -21, -13, -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 , 21, 34, és a képlet a következő lesz: F n \u003d F n + 1 - F n + 2 vagy F -n \u003d (-1) n + 1 Fn.
A Fibonacci-számok megalkotója a középkor egyik első európai matematikusa, Pisai Leonardo, akit valójában Fibonacci néven ismernek – ezt a becenevet sok évvel halála után kapta.
Pisai Leonardo élete során nagyon szerette a matematikai versenyeket, ezért munkáiban ("Liber abaci" / "Abacus könyve", 1202; "Practica geometriae" / "Practice of Geometry", 1220, "Flos") ” / „Virág”, 1225 - egy tanulmány a köbegyenletekről és a "Liber quadratorum" / "Book of Squares", 1225 - problémák határozatlan másodfokú egyenletekkel) nagyon gyakran elemzett mindenféle matematikai problémát.
Fibonacci életútjáról nagyon keveset tudunk. De amit biztosan tudunk, az az, hogy problémái rendkívül népszerűek voltak a matematikai körökben a következő évszázadokban. Az alábbiakban ezek közül egyet fogunk megvizsgálni.
A feladat elvégzéséhez a szerző a következő feltételeket szabta: van egy újszülött nyúlpár (nőstény és hím), amelyek egy érdekes tulajdonságban különböznek egymástól - életük második hónapjától új nyúlpárt hoznak létre - szintén egy nőstény, ill. egy férfi. A nyulak zárt helyen vannak, és folyamatosan szaporodnak. És egyetlen nyúl sem hal meg.
Egy feladat: határozza meg a nyulak számát egy évben.
Megoldás:
Nekünk van:
A havi nyulak száma "n" = az előző hónap nyulak száma + az új nyúlpárok száma, más szóval a fenti képlet: F n = F n-1 + F n-2. Ez egy ismétlődő numerikus sorozatot eredményez (a rekurzióról később lesz szó), ahol minden új szám az előző két szám összegének felel meg:
1 hónap: 1 + 1 = 2
2. hónap: 2 + 1 = 3
3. hónap: 3 + 2 = 5
4. hónap: 5 + 3 = 8
5. hónap: 8 + 5 = 13
6. hónap: 13 + 8 = 21
7. hónap: 21 + 13 = 34
8 hónap: 34 + 21 = 55
9. hónap: 55 + 34 = 89
10. hónap: 89 + 55 = 144
11. hónap: 144 + 89 = 233
12. hónap: 233+ 144 = 377
És ez a sorozat a végtelenségig folytatódhat, de tekintettel arra, hogy a feladat egy év után a nyulak számának megállapítása, 377 pár derül ki.
Itt még fontos megjegyezni, hogy a Fibonacci-számok egyik tulajdonsága, hogy ha összehasonlítunk két egymás utáni számpárt, majd a nagyobbat elosztjuk a kisebbel, akkor az eredmény az aranymetszés irányába fog elmozdulni, amit szintén tárgyalunk. lent.
Addig is kínálunk még két problémát a Fibonacci-számokkal kapcsolatban:
Az ilyen feladatok nemcsak az elme fejlesztésének nagyszerű módjai lesznek, hanem szórakoztató időtöltés is. Azt is megtudhatja, hogyan oldják meg ezeket a problémákat, ha információkat keres az interneten. Nem rájuk koncentrálunk, hanem folytatjuk történetünket.
Mi a rekurzió és az aranymetszés?
A rekurzió egy objektum vagy folyamat leírása, meghatározása vagy képe, amely magát az adott objektumot vagy folyamatot tartalmazza. Más szavakkal, egy tárgyat vagy folyamatot önmaga részének nevezhetünk.
A rekurziót nemcsak a matematikai tudományokban, hanem a számítástechnikában, a populáris kultúrában és a művészetben is széles körben alkalmazzák. Fibonacci számokra vonatkoztatva azt mondhatjuk, hogy ha a szám "n>2", akkor "n" = (n-1)+(n-2).
Az aranymetszés az egész részekre osztása, amely az elv szerint korrelál: a nagyobb ugyanúgy viszonyul a kisebbhez, mint az összérték a nagyobb részhez.
Eukleidész először említi az aranymetszetet (a „Kezdetek” értekezést kb. ie 300), beszélve és szabályos téglalap felépítésével. Egy ismertebb fogalmat azonban Martin Ohm német matematikus vezetett be.
Körülbelül az aranymetszés két különböző részre való arányos felosztásként ábrázolható, például 38% és 68%. Az aranymetszés számszerű kifejezése körülbelül 1,6180339887.
A gyakorlatban az aranymetszés az építészetben, a képzőművészetben (lásd művek), a moziban és más területeken használatos. Sokáig azonban, mint most is, az aranymetszés esztétikai aránynak számított, bár a legtöbben aránytalannak - elnyújtottnak tartják.
Megpróbálhatja saját maga megbecsülni az aranymetszetet, a következő arányok alapján:
Most alkalmazzuk az aranymetszést a Fibonacci-számokra: vesszük a sorozat két szomszédos tagját, és elosztjuk a nagyobbat a kisebbel. Körülbelül 1,618-at kapunk. Ha ugyanazt a nagyobb számot vesszük, és elosztjuk az utána következő nagyobb számmal, akkor körülbelül 0,618-at kapunk. Próbáld ki te is: "játssz" a 21-es és 34-es számokkal vagy másokkal. Ha ezt a kísérletet a Fibonacci sorozat első számaival hajtjuk végre, akkor nem lesz ilyen eredmény, mert az aranymetszés "nem működik" a sorozat elején. Egyébként az összes Fibonacci-szám meghatározásához csak az első három egymást követő számot kell ismernie.
És végül még egy kis elgondolkodtató.
Az "arany téglalap" egy másik kapcsolat az aranyarány és a Fibonacci-számok között, mivel a képaránya 1,618:1 (emlékezz az 1,618 számra!).
Íme egy példa: a Fibonacci-sorozatból veszünk két számot, például 8-at és 13-at, és rajzolunk egy 8 cm széles és 13 cm hosszú téglalapot, amely egyenlő a kisebbik két laphosszával.
Ezután az összes rendelkezésünkre álló téglalap sarkait sima vonallal összekötjük, és megkapjuk a logaritmikus spirál speciális esetét - a Fibonacci spirált. Fő tulajdonságai a határok hiánya és a formák változása. Ilyen spirál gyakran megtalálható a természetben: a legszembetűnőbb példák a puhatestűek héjai, a műholdfelvételeken látható ciklonok, sőt számos galaxis. De még érdekesebb, hogy az élő szervezetek DNS-e ugyanezen szabálynak engedelmeskedik, emlékszel arra, hogy spirál alakú?
Ezek és még sok más "véletlen" egybeesés még ma is izgatja a tudósok elméjét, és azt sugallja, hogy az Univerzumban minden egyetlen, ráadásul matematikai algoritmusnak van alávetve. És ez a tudomány rengeteg teljesen unalmas titkot és rejtélyt rejt.
Rajongók - "rajongók". A ventilátorvonalak kialakításának ötlete sok tekintetben hasonló az előző esethez. Először egy trendvonalat húzunk (egyenes vonal a mozgás kezdetének megfelelő szélső ponttól a mozgás szélső végpontjáig (valószínű vége). Ezután egy láthatatlan függőleges vonal ereszkedik le (felemelkedik). Továbbá ferde vonalakat húzunk a trendvonal első pontjától úgy, hogy azok a 38,2 Fibonacci-szinten keresztezzék a függőleges vonalat; 50 és 61,8% (hasonlítsa össze az előzővel) (3.29. ábra).
A megszerkesztett vonalakat kézenfekvő módon értelmezzük: potenciális ferde erőszintek.
Retracements - korrekciós szintek. A korrekciós szintek nem kivételek az általános szabály alól. Megrajzolódik egy trendvonal, majd kilenc vízszintes vonal, amelyek 0,0 Fibonacci szinten keresztezik a trendvonalat; 23,6; 38,2; ötven; 61,8; 100; 161,8; 261,8 és 423,6%, a kiválasztott léptéktől függően előfordulhat, hogy egyes vonalak nem férnek el a diagramon. Ezenkívül a gyakorlatban gyakran csak a 0,0-nak megfelelő szinteket alkalmaznak; 38,2; ötven; 61,8 és 100%-os árakció (3.30. ábra). 
Az „erkölcs” egyszerű: egy erős emelkedés (esés) után az árak gyakran visszatérnek, korrigálva kezdeti mozgásuk jelentős részét (néha teljesen). Egy ilyen visszatérési mozgás során az árak gyakran találkoznak a Fibonacci-visszakövetési szinteken vagy ahhoz közeli támogatással (ellenállással).
Időzónák – időzónák. A Fibonacci időzónák függőleges vonalak sorozata Fibonacci intervallumokkal: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 stb. Általánosan elfogadott, hogy ezen vonalak közelében jelentős árváltozásokra kell számítani (3.31. ábra). 
A leírt sorok értelmezése már nem kétséges.
Végezetül tegyük fel a Fibonacci-elmélet használatának jogosságát a határidős piac dinamikájának előrejelzésére vonatkozóan. Úgy tűnik, helyesebb lenne ezt mondani: a piaci szereplők többsége "hisz" ebben az elméletben, és ennek megfelelően cselekszik. Ami viszont magát az elméletet támasztja alá. De lehet fordítva is...
Fibonacci számok... a természetben és az életbenLeonardo Fibonacci a középkor egyik legnagyobb matematikusa. Fibonacci egyik művében, a Számítások könyvében leírta az indoarab számítást és használatának előnyeit a rómaival szemben.
Meghatározás
A Fibonacci-számok vagy a Fibonacci-sorozat egy numerikus sorozat, amelynek számos tulajdonsága van. Például két szomszédos szám összege a sorozatban megadja a következő értékét (például 1+1=2; 2+3=5 stb.), ami megerősíti az úgynevezett Fibonacci együtthatók létezését , azaz állandó arányok.
A Fibonacci-sorozat így kezdődik: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
2.
A Fibonacci-számok teljes meghatározása
3.
A Fibonacci-szekvencia tulajdonságai
4.
1. Az egyes számok és a következő számok aránya a sorozatszám növekedésével egyre 0,618-ra hajlik. Az egyes számok aránya az előzőhöz képest 1,618 (fordítva 0,618). A 0,618-as számot (FI) hívják.
2. Ha minden számot elosztunk a következővel, a 0,382 számot egyen keresztül kapjuk; fordítva - 2,618.
3. Az arányokat így választva megkapjuk a Fibonacci-együtthatók fő halmazát: … 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236.
5.
A Fibonacci-szekvencia és az "aranymetszet" közötti kapcsolat
6.
A Fibonacci-szekvencia aszimptotikusan (egyre lassabban közelítve) valamilyen állandó arányra hajlik. Ez az arány azonban irracionális, vagyis olyan számról van szó, amelynek törtrészében végtelen, megjósolhatatlan tizedesjegyek sorozata van. Nem lehet pontosan kifejezni.
Ha a Fibonacci-sorozat bármely tagját elosztjuk az előtte lévővel (például 13:8), akkor az eredmény egy olyan érték lesz, amely az 1,61803398875 irracionális érték körül ingadozik, és egy idő után vagy meghaladja azt, vagy nem éri el. azt. De még az örökkévalóság után sem lehet pontosan tudni az arányt az utolsó tizedesjegyig. A rövidség kedvéért 1,618-as formában adjuk meg. Ennek az aránynak már azelőtt elkezdték különleges neveket adni, hogy Luca Pacioli (egy középkori matematikus) Isteni aránynak nevezte volna. Modern nevei között szerepel például az Aranyarány, az Aranyközép és a forgó négyzetek aránya. Kepler ezt a relációt a „geometria kincseinek” egyikének nevezte. Az algebrában általában a görög phi betűvel jelölik
Képzeljük el az aranymetszetet egy szakasz példáján.
Tekintsünk egy A és B végű szakaszt. Legyen a C pont az AB szakaszt úgy, hogy
AC/CB = CB/AB vagy
AB/CB = CB/AC.
Ezt így képzelheted el: A-–C--–B
7.
Az aranymetszet egy szakasznak olyan arányos felosztása egyenlőtlen részekre, amelyben az egész szakasz ugyanúgy viszonyul a nagyobb részhez, mint maga a nagyobb rész a kisebbhez; vagy más szóval, a kisebb rész úgy kapcsolódik a nagyobbhoz, mint a nagyobb mindenhez.
8.
Az aranymetszés szegmenseit 0,618 ... végtelen irracionális törtként fejezzük ki, ha AB-t egynek vesszük, AC = 0,382 .. Mint már tudjuk, a 0,618 és 0,382 számok a Fibonacci sorozat együtthatói.
9.
Fibonacci arányok és az aranymetszés a természetben és a történelemben
10.
Fontos megjegyezni, hogy Fibonacci mintegy emlékeztette az emberiséget a sorozatára. Az ókori görögök és egyiptomiak ismerték. Valójában azóta a Fibonacci-együtthatókkal leírt mintákat találtak a természetben, az építészetben, a képzőművészetben, a matematikában, a fizikában, a csillagászatban, a biológiában és sok más területen. Egyszerűen elképesztő, hogy a Fibonacci-szekvencia segítségével hány állandót lehet kiszámítani, és hogyan jelennek meg a kifejezései hatalmas számú kombinációban. Nem túlzás azonban azt állítani, hogy ez nem csupán egy számjáték, hanem a természeti jelenségek valaha felfedezett legfontosabb matematikai kifejezése.
11.
Az alábbi példák ennek a matematikai sorozatnak néhány érdekes alkalmazását mutatják be.
12.
1. A héj spirálban van csavarva. Ha kihajtja, a kígyó hosszánál valamivel alacsonyabb hosszt kap. Egy kicsi, tíz centiméteres kagyló spirálisa 35 cm, a spirálisan felgöndörödött kagyló alakja vonzotta Arkhimédész figyelmét. A helyzet az, hogy a héj volutáinak mérési aránya állandó, és egyenlő 1,618-val. Arkhimédész tanulmányozta a héjak spirálját, és levezette a spirál egyenletét. Az egyenlet által megrajzolt spirált az ő nevén nevezik. Lépésének növekedése mindig egyenletes. Jelenleg az Archimedes-spirált széles körben használják a mérnöki munkákban.
2. Növények és állatok. Már Goethe is hangsúlyozta a természet spiralitásra való hajlamát. A levelek spirális és spirális elrendeződését a faágakon már régen észrevették. A spirál a napraforgómagok elrendezésében, fenyőtobozokban, ananászokban, kaktuszokban stb. A botanikusok és matematikusok közös munkája rávilágított ezekre a csodálatos természeti jelenségekre. Kiderült, hogy a napraforgómagok, fenyőtobozok leveleinek elrendezésében a Fibonacci-sorozat nyilvánul meg, és ezért az aranymetszet törvénye nyilvánul meg. A pók spirálisan forgatja a hálóját. Egy hurrikán spirálisan forog. Egy ijedt rénszarvascsorda spirálszerűen szétszóródik. A DNS-molekula kettős spirálba csavarodik. Goethe a spirált "az élet görbéjének" nevezte.
Az út menti füvek között egy figyelemre méltó növény nő - a cikória. Nézzük meg közelebbről. A fő szárból ág alakult ki. Itt az első levél. A folyamat erős kilökődést hajt végre a térbe, megáll, kienged egy levelet, de már rövidebb, mint az első, ismét kilökést hajt végre a térbe, de kisebb erővel, egy még kisebb méretű levelet enged ki és ismét kilökődik. Ha az első kiugró értéket 100 egységnek vesszük, akkor a második 62 egység, a harmadik 38, a negyedik 24, és így tovább. A szirmok hossza is az aranymetszés függvénye. A növekedésben, a tér meghódításában a növény megtartott bizonyos arányokat. Növekedési impulzusai fokozatosan csökkentek az aranymetszet arányában.
A gyík életképes. A gyíkban első pillantásra a szemünknek tetsző arányok ragadnak meg - a farkának hossza a test többi részének hosszához viszonyítva 62-38.
Mind a növény-, mind az állatvilágban kitartóan áttör a természet alakító tendenciája - a növekedési és mozgási irány szimmetriája. Itt az aranymetszés a növekedési irányra merőleges részek arányában jelenik meg. A természet elvégezte a szimmetrikus részekre és arany arányokra való felosztást. Részekben az egész szerkezetének ismétlődése nyilvánul meg.
Pierre Curie századunk elején számos mélyreható szimmetriagondolatot fogalmazott meg. Azzal érvelt, hogy egyetlen test szimmetriáját sem lehet figyelembe venni anélkül, hogy ne vesszük figyelembe a környezet szimmetriáját. Az aranyszimmetria mintái az elemi részecskék energiaátmeneteiben, egyes kémiai vegyületek szerkezetében, bolygó- és térrendszerekben, élő szervezetek génszerkezetében nyilvánulnak meg. Ezek a minták, amint azt fentebb jeleztük, az egyes emberi szervek és a test egészének felépítésében jelennek meg, és megnyilvánulnak a bioritmusokban és az agy működésében és a vizuális észlelésben is.
3. Tér. A csillagászat történetéből ismert, hogy I. Titius, a 18. századi német csillagász ezt a sorozatot (Fibonacci) használva szabályosságot és rendet talált a Naprendszer bolygói közötti távolságokban.
Egy eset azonban törvénybe ütközőnek tűnt: a Mars és a Jupiter között nem volt bolygó. Az égbolt ezen területének célzott megfigyelése vezetett az aszteroidaöv felfedezéséhez. Ez Titius halála után történt, a 19. század elején.
A Fibonacci sorozatot széles körben használják: segítségével az élőlények és az ember alkotta szerkezetek építészetét, valamint a Galaxisok szerkezetét ábrázolják. Ezek a tények bizonyítják a számsor függetlenségét a megnyilvánulási feltételeitől, ami egyetemességének egyik jele.
4. Piramisok. Sokan próbálták megfejteni a gízai piramis titkait. Más egyiptomi piramisokkal ellentétben ez nem egy sír, hanem számkombinációk megoldhatatlan rejtvénye. A piramis építészeinek figyelemreméltó találékonysága, ügyessége, ideje és munkája, amelyet az örök szimbólum felépítésénél felhasználtak, jelzi annak az üzenetnek a rendkívüli fontosságát, amelyet a jövő nemzedékei felé akartak közvetíteni. Korszakuk az írástudás előtti, a hieroglifák előtti volt, és a szimbólumok jelentették az egyetlen eszközt a felfedezések rögzítésére. A gízai piramis geometriai-matematikai titkának kulcsát, amely oly sokáig rejtély volt az emberiség számára, valójában Hérodotosznak adták a templomi papok, akik közölték vele, hogy a piramist úgy építették, hogy minden egyes területe arca egyenlő volt a magasságának négyzetével.
Háromszög terület
356 x 440/2 = 78320
négyzet alakú terület
280 x 280 = 78400
A gízai piramis alapja élének hossza 783,3 láb (238,7 m), a piramis magassága 484,4 láb (147,6 m). Az alap élének hossza osztva a magassággal, az Ф=1,618 arányhoz vezet. A 484,4 láb magasság 5813 hüvelyknek (5-8-13) felel meg – ezek a számok a Fibonacci sorozatból. Ezek az érdekes megfigyelések arra utalnak, hogy a piramis építése a Ф=1,618 arányon alapul. Egyes modern tudósok hajlamosak úgy értelmezni, hogy az ókori egyiptomiak kizárólag abból a célból építették, hogy továbbadják azt a tudást, amelyet meg akartak őrizni a jövő generációi számára. A gízai piramis intenzív tanulmányozása megmutatta, milyen kiterjedt matematikai és asztrológiai ismeretek voltak akkoriban. A piramis minden belső és külső arányában az 1,618-as szám központi szerepet játszik.
Piramisok Mexikóban. Nemcsak az egyiptomi piramisok épültek az aranymetszés tökéletes arányai szerint, ugyanezt a jelenséget a mexikói piramisoknál is megtalálták. Felmerül az ötlet, hogy az egyiptomi és a mexikói piramisokat megközelítőleg egy időben emelték közös származású emberek.
Leonardo Fibonacci olasz matematikus a 13. században élt, és Európában az elsők között használt arab (indiai) számokat. Egy kissé mesterséges problémával állt elő a farmon nevelt nyulakkal kapcsolatban, mivel mindegyik nősténynek számít, a hímeket figyelmen kívül hagyják. A nyulak két hónapos koruk után kezdenek szaporodni, majd havonta szülnek egy nyulat. A nyulak soha nem halnak meg.
Meg kell határozni, hogy hány nyúl lesz a gazdaságban n hónap, ha a kezdeti pillanatban csak egy újszülött nyúl volt.
Nyilvánvaló, hogy a gazdának egy nyúl van az első hónapban, és egy nyúl a második hónapban. A harmadik hónapban két nyúl lesz, a negyedik hónapban három, és így tovább. Jelöljük a nyulak számát n hónap tetszik. Ily módon 
,
,
,
,
,
…
Alkothatunk egy algoritmust a kereséshez 
bármilyen n.
A probléma állapotának megfelelően a nyulak összlétszáma 
ban ben n A +1 hónap három részre bontható:
egyhónapos, szaporodásra nem képes nyulak, mennyiségben
;
Így kapunk
. (8.1)
A (8.1) képlet lehetővé teszi számsorok kiszámítását: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . ..
Az ebben a sorozatban szereplő számokat hívják Fibonacci számok .
Ha elfogadja 
és 
, akkor a (8.1) képlet segítségével meghatározható az összes többi Fibonacci-szám. A (8.1) képletet ún visszatérő
képlet ( ismétlődés
- „visszatérés” latinul).
8.1. példa. Tegyük fel, hogy van egy lépcsőház n lépések. Felmászhatunk rá egy lépéssel, vagy két lépcsővel. Hány különböző emelési mód kombinációja létezik?
Ha egy n= 1, a feladatnak csak egy megoldása van. Mert n= 2 2 lehetőség van: két szimpla lépés vagy egy dupla lépés. Mert n= 3 3 lehetőség van: három szimpla lépés, vagy egy szimpla és egy dupla, vagy egy dupla és egy szimpla.
A következő esetben n= 4, 5 lehetőségünk van (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).
Annak érdekében, hogy egy adott kérdésre tetszőleges választ adjunk n, jelölje az opciók számát mint 
, és próbálja meghatározni 
híres szerint 
és 
. Ha egyetlen lépésből indulunk ki, akkor megvan 
kombinációk a maradékhoz n lépések. Ha kettős lépéssel kezdjük, akkor megvan 
kombinációk a maradékhoz n-1 lépés. A következő opciók teljes száma n+1 lépés egyenlő
. (8.2)
A kapott képlet, mint egy iker, hasonlít a (8.1) képletre. Ez azonban nem teszi lehetővé a kombinációk számának azonosítását 
Fibonacci számokkal 
. Azt látjuk például 
, de 
. Van azonban a következő kapcsolat:
.
Ez erre igaz n= 1, 2, és mindegyikre is érvényes n. Fibonacci számok és kombinációk száma 
ugyanazzal a képlettel számítják ki, de a kezdeti értékeket 
,
és 
,
különböznek egymástól.
8.2. példa. Ez a példa gyakorlati jelentőséggel bír a hibajavító kódolás problémáinál. Keresse meg az összes hosszúságú bináris szó számát n, amely nem tartalmaz több nullát egymás után. Jelöljük ezt a számot 
. Nyilvánvalóan, 
, és a 2-es hosszúságú szavak, amelyek kielégítik a megkötésünket: 10, 01, 11, azaz. 
. Hadd 
- egy szó tőle n karakterek. Ha a szimbólum 
, akkor 
tetszőleges lehet ( 
)-szó szerinti szó, amely nem tartalmaz több nullát egymás után. Tehát azoknak a szavaknak a száma, amelyeknek a végén egy egység van 
.
Ha a szimbólum 
, akkor feltétlenül 
, és az első 
szimbólum 
tetszőleges lehet, figyelembe véve a figyelembe vett korlátozásokat. Ezért van 
szó hossza
n nullával a végén. Így a számunkra érdekes szavak száma összesen:
.
Figyelembe véve azt a tényt, hogy 
és 
, a kapott számsorozat a Fibonacci-számok.
8.3. példa. A 7.6. példában azt találtuk, hogy az állandó súlyú bináris szavak száma t(és hossza k) egyenlő 
. Most keressük meg az állandó súlyú bináris szavak számát t, amely nem tartalmaz több nullát egymás után.
Így érvelhetsz. Hadd 
a nullák száma a szóban forgó szavakban. Minden szónak van 
hézagok a legközelebbi nullák között, amelyek mindegyike egy vagy több egyet tartalmaz. Feltételezhető, hogy 
. Egyébként egyetlen szó sincs szomszédos nullák nélkül.
Ha minden intervallumból pontosan egy egységet távolítunk el, akkor egy hosszúságú szót kapunk 
tartalmazó 
nullák. Bármely ilyen szó a megadott módon beszerezhető néhánytól (és csak egy) k-szó szerinti szót tartalmazó 
nullák, amelyek közül nincs két szomszédos. Ezért a szükséges szám egybeesik az összes hosszúságú szó számával 
pontosan tartalmazza 
nullák, azaz egyenlő 
.
8.4. példa. Bizonyítsuk be, hogy az összeg 
egyenlő a Fibonacci számokkal bármely egész számra 
. Szimbólum 
jelentése a legkisebb egész szám, amely nagyobb vagy egyenlő, mint
. Például ha 
, akkor 
; mi van ha 
, akkor 
ceil("mennyezet"). Van egy szimbólum is 
, ami azt jelenti legnagyobb egész szám kisebb vagy egyenlő, mint
. Magyarul ezt a műveletet hívják padló
("padló").
Ha egy 
, akkor 
. Ha egy 
, akkor 
. Ha egy 
, akkor 
.
Így a vizsgált esetekben az összeg valóban megegyezik a Fibonacci-számokkal. Most egy bizonyítást adunk az általános esetre. Mivel a Fibonacci-számok a (8.1) rekurzív egyenlettel kaphatók meg, az egyenlőségnek teljesülnie kell:
.
És valójában ezt teszi:
Itt a korábban kapott (4.4) képletet használtuk: 
.
Fibonacci számok összege
Határozzuk meg az első összegét n Fibonacci számok.
0+1+1+2+3+5 = 12,
0+1+1+2+3+5+8 = 20,
0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.
Könnyen belátható, hogy ha minden egyenlet jobb oldalához adunk egyet, ismét megkapjuk a Fibonacci-számot. Az első összegének meghatározására szolgáló általános képlet n A Fibonacci-számok alakja:
Ezt a matematikai indukció módszerével fogjuk bizonyítani. Ehhez ezt írjuk:
Ennek az összegnek egyenlőnek kell lennie 
.
Az egyenlet bal és jobb oldalát –1-gyel redukálva megkapjuk a (6.1) egyenletet.
A Fibonacci-számok képlete
8.1. Tétel. A Fibonacci-számokat a képlet segítségével lehet kiszámítani
.
Bizonyíték. Ellenőrizzük ennek a képletnek az érvényességét n= 0, 1, majd igazoljuk ennek a képletnek az érvényességét egy tetszőlegesre n indukcióval. Számítsuk ki a két legközelebbi Fibonacci-szám arányát:
Látjuk, hogy ezeknek a számoknak az aránya 1,618 körül ingadozik (ha figyelmen kívül hagyjuk az első néhány értéket). A Fibonacci-számok ezen tulajdonsága egy geometriai progresszió tagjaihoz hasonlít. Elfogad 
,
(
). Aztán a kifejezés
átalakítva
ami leegyszerűsítés után így néz ki
.
Kaptunk egy másodfokú egyenletet, amelynek gyökei egyenlők:
Most írhatjuk:
(ahol c egy állandó). Mindkét tag 
és 
ne adj meg például Fibonacci számokat 
, míg 
. Azonban a különbség 
kielégíti a rekurzív egyenletet:
Mert n=0 ezt a különbséget adja 
, vagyis: 
. Azonban mikor n=1 van 
. Megszerezni 
el kell fogadni: 
.
Most két sorozatunk van: 
és 
, amelyek ugyanazzal a két számmal kezdődnek, és ugyanazt a rekurzív képletet teljesítik. Egyenlőnek kell lenniük: 
. A tétel bizonyítást nyert.
A növekvő n tag 
közben nagyon nagy lesz 
és a tag szerepe 
csökken a különbség. Ezért nagyban n körülbelül írhatunk
.
Figyelmen kívül hagyjuk az 1/2-t (mert a Fibonacci-számok a végtelenségig nőnek, mint n a végtelenig).
Hozzáállás 
hívott aranymetszés, a matematikán kívül használják (például szobrászatban és építészetben). Az aranymetszés az átló és az oldal aránya szabályos ötszög(8.1. ábra).
Rizs. 8.1. Szabályos ötszög és átlói
Az aranymetszet jelölésére a betűt szokás használni 
a híres athéni szobrász, Phidias tiszteletére.
prímszámok
Minden természetes szám, a nagy is, két osztályba sorolható. Az első olyan számokat tartalmaz, amelyeknek pontosan két természetes osztójuk van, egy és saját maga, a második tartalmazza az összes többit. Az első osztályú számokat nevezzük egyszerű, és a második alkotó. Prímszámok az első három tízben: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
A prímszámok tulajdonságait és az összes természetes számmal való kapcsolatukat Eukleidész (Kr. e. 3. század) vizsgálta. Ha prímszámokat írunk ki egymás után, láthatjuk, hogy a relatív sűrűségük csökken. Közülük az első tíz 4, azaz 40%-ot tesz ki, száznál 25, azaz. 25%, ezrelék - 168, i.e. kevesebb, mint 17%, millióanként - 78498, i.e. kevesebb, mint 8%, stb. Összes számuk azonban végtelen.
A prímszámok között vannak olyan párok, amelyek különbsége kettő (az ún egyszerű ikrek), de az ilyen párok végessége vagy végtelensége nem bizonyított.
Eukleidész kézenfekvőnek tartotta, hogy csak prímszámok szorzásával minden természetes szám megkapható, és minden természetes szám egyedi módon (a tényezők sorrendjéig) prímszámok szorzataként ábrázolható. Így a prímszámok a természetes sorozat multiplikatív alapját képezik.
A prímszámok eloszlásának tanulmányozása egy olyan algoritmus létrehozásához vezetett, amely lehetővé teszi prímtáblázatok előállítását. Egy ilyen algoritmus az Eratoszthenész szitája(Kr. e. 3. század). Ez a módszer egy adott sorozat egész számainak szitálásából áll (például áthúzással). 
, amelyek oszthatók legalább az egyiknél kisebb prímszámmal 
.
Tétel 8 . 2 . (Euklidész tétele). A prímszámok száma végtelen.
Bizonyíték. Euklidész tételét a prímszámok végtelenségéről Leonhard Euler (1707–1783) által javasolt módszerrel igazoljuk. Euler a szorzatot minden prímszám felett figyelembe vette p:
nál nél 
. Ez a szorzat konvergál, és ha kibővítjük, akkor a természetes számok prímtényezőkre való felbontásának egyedisége miatt kiderül, hogy egyenlő a sorozat összegével 
, ahonnan az Euler-azonosság következik:
.
Mivel at 
a jobb oldali sorozat divergál (harmonikus sorozat), akkor az Euler-azonosság magában foglalja Euklidész tételét.
Orosz matematikus P.L. Csebisev (1821–1894) levezetett egy képletet, amely meghatározza, hogy a prímszámok milyen határokon belül vannak. 
, Nem haladja meg x:
,
ahol 
,
.
