Fibonacciként ismert pisai Leonardo volt a késő középkor első nagy európai matematikusa. Pisában született egy gazdag kereskedő családban, és pusztán gyakorlati igénye miatt lépett matematikába, hogy üzleti kapcsolatokat létesítsen. Fiatalkorában Leonardo sokat utazott, és elkísérte apját üzleti utakra. Például tudjuk, hogy hosszú ideig tartózkodott Bizáncban és Szicíliában. Az ilyen utazások során sokat érintkezett helyi tudósokkal.
A ma nevét viselő számsor abból a nyulakkal kapcsolatos problémából nőtt ki, amelyet Fibonacci vázolt fel 1202-ben írt Liber abaccijában:
Egy férfi egy pár nyulat egy karámba helyezett, minden oldalról fallal körülvéve. Hány pár nyulat tud világra hozni ez a pár egy év alatt, ha tudjuk, hogy minden hónapban, a másodiktól kezdődően, minden nyúl pár hoz egy párat?
Győződjön meg arról, hogy a párok száma a hónapok következő tizenkét hónapjában rendre lesz
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
Más szóval, a nyúlpárok száma egy sorozatot hoz létre, amelyben minden tag az előző kettő összege. Ő néven ismert Fibonacci sorozat, és maguk a számok fibonacci számok. Kiderült, hogy ennek a sorozatnak számos matematikailag érdekes tulajdonsága van. Íme egy példa: feloszthat egy vonalat két szegmensre úgy, hogy a nagyobb és a kisebb szakasz aránya arányos legyen a teljes vonal és a nagyobb szakasz arányával. Ez az arányossági tényező, amely megközelítőleg egyenlő 1,618-cal, az úgynevezett aranymetszés. A reneszánszban azt hitték, hogy ez az építészeti szerkezeteknél megfigyelt arány a leggyönyörűbb a szemnek. Ha egymás utáni Fibonacci-párokat veszünk, és az egyes párok nagyobb számát elosztjuk a kisebbel, az eredmény fokozatosan megközelíti az aranymetszést.
Mióta Fibonacci felfedezte sorozatát, még olyan természeti jelenségeket is találtak, amelyekben úgy tűnik, hogy ez a szekvencia fontos szerepet játszik. Egyikük - filotaxis(levélelrendezés) - az a szabály, amely szerint például a magvak a napraforgóvirágzatban helyezkednek el. A magvak két spirálsorban helyezkednek el, amelyek közül az egyik az óramutató járásával megegyező, a másik ellentétes irányban halad. És mennyi a magok száma minden esetben? 34 és 55.
Fibonacci sorozat. Ha felülről nézzük a növény leveleit, láthatjuk, hogy spirálisan virágoznak. A szomszédos levelek közötti szögek szabályos matematikai sorozatot alkotnak, amelyet Fibonacci-sorozatként ismerünk. Ennek köszönhetően minden egyes fán növekvő levél a rendelkezésre álló maximális hő- és fénymennyiséget kapja.
Piramisok Mexikóban
Nemcsak az egyiptomi piramisok épültek az aranymetszés tökéletes arányai szerint, ugyanezt a jelenséget a mexikói piramisoknál is megtalálták. Felmerül az ötlet, hogy mind az egyiptomi, mind a mexikói piramisokat megközelítőleg egy időben építették közös származású emberek.
A piramis keresztmetszetén egy lépcsőhöz hasonló forma látható, az első szinten 16, a másodikon 42, a harmadikon 68 lépcsőfok található.
Ezek a számok a következő Fibonacci-arányon alapulnak:
16 x 1,618 = 26
16 + 26 = 42
26 x 1,618 = 42
42 + 26 = 68
A sorozat első néhány száma után bármely tagjának aránya a következőhöz körülbelül 0,618, az előzőhöz pedig 1,618. Minél nagyobb a sorozat egy tagjának sorszáma, annál közelebb van az arány a phi számhoz, amely egy irracionális szám és egyenlő 0,618034-gyel... A sorozat tagjai közötti arány egy számmal elválasztva körülbelül 0,382 , reciproka pedig 2,618. ábrán A 3-2. ábra az összes Fibonacci-szám arányát mutatja 1-től 144-ig.
A Ф az egyetlen szám, amely 1-hez hozzáadva a reciprokát adja: 1 + 0,618 = 1: 0,618. Az összeadási és szorzási eljárások közötti kapcsolat a következő egyenletsorozathoz vezet:
Ha ezt a folyamatot folytatjuk, 13 x 21, 21 x 34 stb. téglalapokat fogunk létrehozni.
Most nézd meg. Ha 13-at elosztunk 8-cal, 1,625-öt kapunk. És ha a nagyobb számot elosztja a kisebb számmal, ezek az arányok egyre közelebb kerülnek az 1,618-hoz, amelyet sokan Arany arányként ismernek. Ez a szám évszázadok óta lenyűgözi a matematikusokat, tudósokat és művészeket.
Fibonacci arány táblázat
Ahogy az új progresszió növekszik, a számok egy harmadik sorozatot alkotnak, amely a négy és a Fibonacci-szám szorzatához hozzáadott számokból áll. Ezt az a tény teszi lehetővé hogy a sorozat két pozícióra lévő tagjai közötti arány 4.236. ahol a 0,236 szám a 4,236 reciproka és. emellett a 4,236 és a 4 közötti különbség. Más tényezők más szekvenciákhoz vezetnek, amelyek mindegyike Fibonacci-arányokon alapul.
1. Nincs két egymást követő Fibonacci-számnak közös osztója.
2. Ha a Fibonacci-sorozat tagjait 1-re, 2-re, 3-ra, 4-re, 5-re, 6-ra, 7-re stb. számozzuk, azt találjuk, hogy a negyedik tag (a 3-as szám) kivételével bármely Az a Fibonacci-szám, amely prímszám (azaz nincs más osztója, mint önmagán és az egységen), szintén egyszerű tiszta. Hasonlóképpen, a Fibonacci-sorozat negyedik tagjának (3-as szám) kivételével a sorozat tagjainak összes összetett száma (vagyis azoké, amelyeknek önmagán és egyen kívül legalább két osztója van) az összetett Fibonacci-számoknak felel meg. , ahogy az az alábbi táblázatban is látható. Ennek a fordítottja nem mindig igaz.
3. A sorozat bármely tíz tagjának összege osztható tizenegyel.
4. Az összes Fibonacci-szám összege a sorozat egy bizonyos pontjáig plusz egy megegyezik a Fibonacci-számmal, amely két pozícióval van távolabb az utolsó hozzáadott számtól.
5. Az első 1-gyel kezdődő, egymást követő tagok négyzetösszege mindig egyenlő lesz a sorozat utolsó (az adott mintából vett) számával, megszorozva a következő taggal.
6. A Fibonacci-szám négyzete mínusz a sorozat második tagjának négyzete mindig a Fibonacci-szám lesz.
7. Bármely Fibonacci-szám négyzete egyenlő a sorozat előző tagjával, megszorozva a sorozat következő számával, plusz vagy mínusz eggyel. Egy váltakozás összeadása és kivonása a sorozat előrehaladtával.
8. Az Fn szám négyzetének és a következő F Fibonacci-szám négyzetének összege egyenlő az F, Fibonacci-számmal. Az F - + F 2 \u003d F„ képlet derékszögű háromszögekre vonatkozik, ahol a két rövidebb oldal négyzeteinek összege egyenlő a leghosszabb oldal négyzetével. A jobb oldalon van egy példa az F5, F6 és az Fn négyzetgyökének használatára.
10. Az egyik elképesztő jelenség, amelyről tudomásunk szerint még nem esett szó, hogy a Fibonacci-számok közötti arányok megegyeznek más Fibonacci-számok ezredrészéhez közeli számokkal, különbségük pedig egy ezredrész egy másik Fibonacci szám (lásd 3-2. ábra). Tehát növekvő irányban két azonos Fibonacci-szám aránya 1, vagyis 0,987 plusz 0,013: a szomszédos Fibonacci-számok aránya 1,618. vagy 1,597 plusz 0,021; a sorozat valamely tagjának mindkét oldalán lévő Fibonacci-számok aránya 2,618, vagy 2,584 plusz 0,034, és így tovább. Ellenkező irányban a szomszédos Fibonacci-számok aránya 0,618. vagy 0,610 plusz 0,008: a sorozat valamely tagjának mindkét oldalán elhelyezkedő Fibonacci-számok aránya 0,382 vagy 0,377 plusz 0,005; Azon Fibonacci-számok aránya, amelyek között a sorozat két tagja van, 0,236 vagy 0,233 plusz 0,003: A Fibonacci-számok, amelyek között a sorozat három tagja van, aránya 0,146. vagy 0,144 plusz 0,002: A Fibonacci-számok, amelyek között van A sorozat négy tagjának aránya 0,090, vagy 0,089 plusz 0,001: A Fibonacci-számok, amelyek között a sorozat öt tagja van, aránya 0,056. vagy 0,055 plusz 0,001; A Fibonacci-számok, amelyek között a sorozat hat-tizenkét tagja van, maguk is a Fibonacci-számok ezredrészei, 0,034-től kezdve. Érdekes, hogy ebben az elemzésben a Fibonacci-számokra vonatkozó együttható, amelyek között a sorozat tizenhárom tagja található, ismét 0,001-gyel kezdi a sorozatot, ami a kezdeti szám ezredrésze! Minden számítással valóban hasonlóságot vagy "önreprodukciót végtelen sorozatban" kapunk, ami feltárja "a matematikai összefüggések legerősebb kapcsolatának" tulajdonságait.
Végül vegye figyelembe, hogy (V5 + 1)/2 = 1,618 és [\^5- 1)/2 = 0,618. ahol V5 = 2,236. Az 5 a hullámelv legfontosabb számának bizonyul, négyzetgyöke pedig az f szám matematikai kulcsa.
Az 1,618 (vagy 0,618) számot aranymetszésnek vagy arany középútnak nevezik. A hozzá kapcsolódó arányosság szemnek és fülnek kellemes. Megnyilvánul a biológiában, a zenében, a festészetben és az építészetben. A Smithsonian Magazine 1975 decemberében megjelent cikkében William Hoffer ezt mondta:
„... A 0,618034-es szám 1-hez viszonyított aránya a matematikai alapja a játékkártya és a Parthenon, a napraforgó és a kagyló, a görög vázák és a világűr spirálgalaxisainak alakjának. A görögök számos műalkotása és építészete ezen az arányon alapul. "Arany középútnak" hívták.
A termékeny Fibonacci nyulak a legváratlanabb helyeken bukkannak fel. A Fibonacci számok kétségtelenül egy misztikus természetes harmónia részei, amely jól érzi magát, jól néz ki, sőt még jól is hangzik. A zene például nyolc hangból álló oktávra épül. A zongorán ezt 8 fehér és 5 fekete billentyű képviseli - összesen 13. Nem véletlen, hogy a fülünknek legnagyobb örömet okozó zenei intervallum a hatodik. A „mi” hang 0,62500 arányban rezeg a „do” hanghoz képest. Ez csak 0,006966 távolságra van a pontos arany középúttól. A hatodik aránya kellemes rezgéseket közvetít a középfül csigájához - egy olyan szervhez, amely logaritmikus spirál alakú is.
A Fibonacci-számok és az aranyspirál állandó előfordulása a természetben pontosan megmagyarázza, miért olyan kellemes a 0,618034:1 arány a műalkotásokban. Az ember a művészetben az élet tükörképét látja, amelynek alapja az arany középút.
A természet az aranymetszést használja a legtökéletesebb alkotásaiban – az olyan kicsiktől, mint az agy és a DNS-molekulák mikrokonvolúciói (lásd 3 9. ábra), egészen az olyan nagyokig, mint a galaxisok. Olyan különféle jelenségekben nyilvánul meg, mint a kristályok növekedése, a fénysugár törése az üvegben, az agy és az idegrendszer felépítése, zenei konstrukciók, növények és állatok szerkezete. A tudomány egyre több bizonyítékot szolgáltat arra vonatkozóan, hogy a természetnek valóban van egy fő arányossági elve. Egyébként ezt a könyvet az öt ujja közül kettővel tartja, és mindegyik ujja három részből áll. Összesen: öt egység, amelyek mindegyike hárommal van osztva - 5-3-5-3-as progresszió, hasonló a hullámelv alapjául szolgálóhoz.
A szimmetrikus és arányos forma hozzájárul a legjobb vizuális érzékeléshez, valamint a szépség és a harmónia érzetét kelti. A holisztikus kép mindig különböző méretű részekből áll, amelyek bizonyos kapcsolatban állnak egymással és az egésszel. Az aranymetszés az egész és részei tökéletességének legmagasabb megnyilvánulása a tudományban, a művészetben és a természetben.
Ha egy egyszerű példán, akkor az aranymetszet egy szakasz két részre osztása olyan arányban, amelyben a nagyobbik rész a kisebbhez, az összegük (a teljes szakasz) a nagyobbhoz viszonyul.
Ha a teljes c szakaszt 1-nek vesszük, akkor az a szegmens 0,618, a b szegmens 0,382 lesz, csak így teljesül az Aranymetszet feltétele (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618). A c:a arány 2,618, a c:b pedig 1,618. Ezek mind ugyanazok, számunkra már ismert Fibonacci együtthatók.
Természetesen van arany téglalap, arany háromszög és még arany téglalap is. Az emberi test arányai sok tekintetben közel állnak az Aranymetszethez.
De a legérdekesebb akkor kezdődik, amikor egyesítjük a megszerzett tudást. Az ábrán jól látható a kapcsolat a Fibonacci-sorozat és az aranyarány között. Az első méretű két négyzetből indulunk ki. Felülről adunk hozzá egy második méretű négyzetet. Olyan négyzet mellé festünk, amelynek oldala megegyezik az előző kettő oldalainak összegével, a harmadik mérettel. Hasonlatosan egy ötödik méretű négyzet jelenik meg. És így tovább, amíg meg nem unod, a lényeg az, hogy minden következő négyzet oldalának hossza egyenlő legyen az előző két négyzet oldalhosszának összegével. Egy sor téglalapot látunk, amelyek oldalhossza Fibonacci-szám, és furcsa módon Fibonacci-téglalapoknak hívják őket.
Ha sima vonalat húzunk a négyzeteink sarkain, nem kapunk mást, mint egy Arkhimédész-spirált, aminek a magasságának növekedése mindig egyenletes.
Az arany logaritmikus sorozat minden tagja az aranyarány hatványa ( z). A sor egy része valahogy így néz ki: ... z -5 ; z 4; z-3; z-2; z -1; z0; z1; z2; z3; z 4; z 5... Ha három tizedesjegyre kerekítjük az Aranymetsző értékét, akkor azt kapjuk z=1,618, akkor a sor így néz ki: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Minden következő tag nem csak az előzőt megszorozva szerezhető meg 1,618 , hanem a két előző hozzáadásával is. Így a sorozat exponenciális növekedését két szomszédos elem egyszerű hozzáadásával biztosítjuk. Ez egy sorozat eleje és vége nélkül, és a Fibonacci sorozat éppen ehhez próbál hasonlítani. Jól körülhatárolható kezdete van, az ideálisra törekszik, soha nem éri el. Ez az élet.
Pedig minden látott és olvasott kapcsán egészen természetes kérdések merülnek fel:
Honnan jöttek ezek a számok? Ki ez a világegyetem építésze, aki megpróbálta tökéletessé tenni? Volt valaha olyan, amilyennek ő szerette volna? És ha igen, miért nem sikerült? Mutációk? Szabad választás? Mi lesz ezután? A tekercs csavarodik vagy kicsavarodik?
Ha az egyik kérdésre megtalálod a választ, megkapod a következőt. Ha megoldod, kapsz két újat. Foglalkozz velük, megjelenik még három. Ezek megoldása után öt megoldatlant szerez. Aztán nyolc, majd tizenhárom, 21, 34, 55...
Leonardo Fibonacci olasz matematikus a 13. században élt, és Európában az elsők között használt arab (indiai) számokat. Egy kissé mesterséges problémával állt elő a farmon nevelt nyulakkal kapcsolatban, mivel mindegyik nősténynek számít, a hímeket figyelmen kívül hagyják. A nyulak két hónapos koruk után kezdenek szaporodni, majd havonta szülnek egy nyulat. A nyulak soha nem halnak meg.
Meg kell határozni, hogy hány nyúl lesz a gazdaságban n hónap, ha a kezdeti pillanatban csak egy újszülött nyúl volt.
Nyilvánvaló, hogy a gazdának egy nyúl van az első hónapban, és egy nyúl a második hónapban. A harmadik hónapban két nyúl lesz, a negyedik hónapban három, és így tovább. Jelöljük a benne lévő nyulak számát n hónap tetszik. Ily módon 
,
,
,
,
,
…
Alkothatunk egy algoritmust a kereséshez 
bármilyen n.
A probléma állapotának megfelelően a nyulak összlétszáma 
v n A +1 hónap három részre bontható:
egyhónapos, szaporodásra nem képes nyulak, mennyiségben
;
Így kapunk
. (8.1)
A (8.1) képlet lehetővé teszi számsorok kiszámítását: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . ..
Az ebben a sorozatban szereplő számokat hívják Fibonacci számok .
Ha elfogadja 
és 
, akkor a (8.1) képlet segítségével meghatározható az összes többi Fibonacci-szám. A (8.1) képletet ún visszatérő
képlet ( ismétlődés
- „visszatérés” latinul).
8.1. példa. Tegyük fel, hogy van egy lépcsőház n lépések. Felmászhatunk rá egy, vagy kétlépcsős lépéssel. Hányféle emelési mód kombinációja létezik?
Ha n= 1, a feladatnak csak egy megoldása van. Mert n= 2 2 lehetőség van: két szimpla lépés vagy egy dupla lépés. Mert n= 3 3 lehetőség van: három szimpla lépés, vagy egy szimpla és egy dupla, vagy egy dupla és egy szimpla.
A következő esetben n= 4, 5 lehetőségünk van (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).
Ahhoz, hogy egy adott kérdésre tetszőleges választ adjunk n, jelölje az opciók számát mint 
, és próbálja meghatározni 
híres szerint 
és 
. Ha egyetlen lépésből indulunk ki, akkor megvan 
kombinációk a maradékhoz n lépések. Ha dupla lépéssel kezdjük, akkor megvan 
kombinációk a maradékhoz n-1 lépés. A következő opciók teljes száma n+1 lépés egyenlő
. (8.2)
A kapott képlet, mint egy iker, hasonlít a (8.1) képletre. Ez azonban nem teszi lehetővé a kombinációk számának azonosítását 
Fibonacci számokkal 
. Azt látjuk például 
, de 
. Van azonban a következő kapcsolat:
.
Ez erre igaz n= 1, 2, és mindegyikre is érvényes n. Fibonacci számok és kombinációk száma 
ugyanazzal a képlettel számítják ki, de a kezdeti értékeket 
,
és 
,
különböznek egymástól.
8.2. példa. Ez a példa gyakorlati jelentőséggel bír a hibajavító kódolás problémáinál. Keresse meg az összes hosszúságú bináris szó számát n, amely nem tartalmaz több nullát egymás után. Jelöljük ezt a számot 
. Nyilvánvalóan, 
, és a 2-es hosszúságú szavak, amelyek kielégítik a megkötésünket: 10, 01, 11, azaz. 
. Hadd 
- egy szó tőle n karakterek. Ha a szimbólum 
, azután 
tetszőleges lehet ( 
)-szó szerinti szó, amely nem tartalmaz több nullát egymás után. Tehát azoknak a szavaknak a száma, amelyeknek a végén egy egység van 
.
Ha a szimbólum 
, akkor feltétlenül 
, és az első 
szimbólum 
tetszőleges lehet, figyelembe véve a figyelembe vett korlátozásokat. Ezért van 
szó hossza
n nullával a végén. Így a számunkra érdekes szavak száma összesen:
.
Figyelembe véve azt a tényt, hogy 
és 
, a kapott számsorozat a Fibonacci-számok.
8.3. példa. A 7.6. példában azt találtuk, hogy az állandó súlyú bináris szavak száma t(és hossza k) egyenlő 
. Most keressük meg az állandó súlyú bináris szavak számát t, amely nem tartalmaz több nullát egymás után.
Így érvelhetsz. Hadd 
a nullák száma a szóban forgó szavakban. Minden szónak van 
hézagok a legközelebbi nullák között, amelyek mindegyike egy vagy több egyet tartalmaz. Feltételezhető, hogy 
. Egyébként egyetlen szó sincs szomszédos nullák nélkül.
Ha minden intervallumból pontosan egy egységet távolítunk el, akkor egy hosszúságú szót kapunk 
tartalmazó 
nullák. Bármely ilyen szó a megadott módon beszerezhető néhánytól (és csak egy) k-szó szerinti szót tartalmazó 
nullák, amelyek közül nincs két szomszédos. Ezért a szükséges szám egybeesik az összes hosszúságú szó számával 
pontosan tartalmazza 
nullák, azaz egyenlő 
.
8.4. példa. Bizonyítsuk be, hogy az összeg 
egyenlő a Fibonacci számokkal bármely egész számra 
. Szimbólum 
jelentése a legkisebb egész szám, amely nagyobb vagy egyenlő, mint
. Például ha 
, azután 
; és ha 
, azután 
ceil("mennyezet"). Van egy szimbólum is 
, ami azt jelenti legnagyobb egész szám kisebb vagy egyenlő, mint
. Magyarul ezt a műveletet hívják padló
("padló").
Ha 
, azután 
. Ha 
, azután 
. Ha 
, azután 
.
Így a vizsgált esetekben az összeg valóban megegyezik a Fibonacci-számokkal. Most egy bizonyítást adunk az általános esetre. Mivel a Fibonacci-számok a (8.1) rekurzív egyenlettel kaphatók meg, az egyenlőségnek teljesülnie kell:
.
És valójában ezt teszi:
Itt a korábban kapott (4.4) képletet használtuk: 
.
Fibonacci-számok összege
Határozzuk meg az első összegét n Fibonacci számok.
0+1+1+2+3+5 = 12,
0+1+1+2+3+5+8 = 20,
0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.
Könnyen belátható, hogy ha minden egyenlet jobb oldalához adunk egyet, ismét megkapjuk a Fibonacci-számot. Az első összegének meghatározására szolgáló általános képlet n A Fibonacci-számok alakja:
Ezt a matematikai indukció módszerével fogjuk bizonyítani. Ehhez ezt írjuk:
Ennek az összegnek egyenlőnek kell lennie 
.
Az egyenlet bal és jobb oldalát –1-gyel redukálva megkapjuk a (6.1) egyenletet.
A Fibonacci-számok képlete
8.1. Tétel. A Fibonacci-számokat a képlet segítségével lehet kiszámítani
.
Bizonyíték. Ellenőrizzük ennek a képletnek az érvényességét n= 0, 1, majd igazoljuk ennek a képletnek az érvényességét egy tetszőlegesre n indukcióval. Számítsuk ki a két legközelebbi Fibonacci-szám arányát:
Látjuk, hogy ezeknek a számoknak az aránya 1,618 körül ingadozik (ha figyelmen kívül hagyjuk az első néhány értéket). A Fibonacci-számoknak ez a tulajdonsága egy geometriai progresszió tagjaihoz hasonlít. Elfogad 
,
(
). Aztán a kifejezés
átalakítva
ami leegyszerűsítés után így néz ki
.
Kaptunk egy másodfokú egyenletet, amelynek gyökei egyenlők:
Most írhatjuk:
(ahol c egy állandó). Mindkét tag 
és 
ne adj meg például Fibonacci számokat 
, míg 
. Azonban a különbség 
kielégíti a rekurzív egyenletet:
Mert n=0 ezt a különbséget adja 
, vagyis: 
. Azonban mikor n=1 van 
. Megszerezni 
el kell fogadni: 
.
Most két sorozatunk van: 
és 
, amelyek ugyanazzal a két számmal kezdődnek, és ugyanazt a rekurzív képletet teljesítik. Egyenlőnek kell lenniük: 
. A tétel bizonyítást nyert.
A növekvő n tag 
közben nagyon nagy lesz 
és a tag szerepe 
csökken a különbség. Ezért nagyban n körülbelül írhatunk
.
Figyelmen kívül hagyjuk az 1/2-t (mert a Fibonacci-számok a végtelenségig nőnek, mint n a végtelenig).
Hozzáállás 
hívott aranymetszés, a matematikán kívül használják (például szobrászatban és építészetben). Az aranymetszés az átló és az oldal aránya szabályos ötszög(8.1. ábra).
Rizs. 8.1. Szabályos ötszög és átlói
Az aranymetszet jelölésére a betűt szokás használni 
a híres athéni szobrász, Phidias tiszteletére.
prímszámok
Minden természetes szám, a nagy is, két osztályba sorolható. Az első olyan számokat tartalmaz, amelyeknek pontosan két természetes osztójuk van, egy és saját maga, a második tartalmazza az összes többit. Az első osztályú számokat nevezzük egyszerű, és a második alkotó. Prímszámok az első három tízben: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
A prímszámok tulajdonságait és kapcsolatukat minden természetes számmal Eukleidész (Kr. e. 3. század) vizsgálta. Ha prímszámokat írunk ki egymás után, láthatjuk, hogy a relatív sűrűségük csökken. Közülük az első tíz 4, azaz 40%-ot tesz ki, a száznak - 25, azaz. 25%, ezrelék - 168, i.e. kevesebb, mint 17%, millióanként - 78498, i.e. kevesebb, mint 8%, stb. Összes számuk azonban végtelen.
A prímszámok között vannak olyan párok, amelyek különbsége kettő (az ún egyszerű ikrek), de az ilyen párok végessége vagy végtelensége nem bizonyított.
Eukleidész kézenfekvőnek tartotta, hogy csak prímszámok szorzásával minden természetes szám megkapható, és minden természetes szám egyedi módon (a tényezők sorrendjéig) prímszámok szorzataként ábrázolható. Így a prímszámok a természetes sorozat multiplikatív alapját képezik.
A prímek eloszlásának tanulmányozása egy olyan algoritmus létrehozásához vezetett, amely lehetővé teszi prímtáblázatok előállítását. Egy ilyen algoritmus az Eratoszthenész szitája(Kr. e. 3. század). Ez a módszer egy adott sorozat egész számainak szitálásából áll (például áthúzással). 
, amelyek oszthatók legalább az egyiknél kisebb prímszámokkal 
.
Tétel 8 . 2 . (Euklidész tétele). A prímszámok száma végtelen.
Bizonyíték. Euklidész tételét a prímszámok végtelenségéről Leonhard Euler (1707–1783) által javasolt módszerrel igazoljuk. Euler a szorzatot minden prímszám felett figyelembe vette p:
nál nél 
. Ez a szorzat konvergál, és ha kibővítjük, akkor a természetes számok prímtényezőkre való felosztásának egyedisége miatt kiderül, hogy egyenlő a sorozat összegével 
, ahonnan az Euler-azonosság következik:
.
Mivel at 
a jobb oldali sorozatok divergálnak (harmonikus sorozatok), akkor az Euler-azonosság magában foglalja Euklidész tételét.
Orosz matematikus P.L. Csebisev (1821–1894) levezetett egy képletet, amely meghatározza, hogy a prímszámok milyen korlátokon belül vannak. 
, Nem haladja meg x:
,
ahol 
,
.
A világhírű Fibonacci-elméletet Leonardo Fibonacci olasz matematikus alapította 1710-ben. A világ körüli utazása után Leonardo kiadta a "Liber Abacci" ("Kalkulus könyve") című könyvét, amelyben felvázolta a decimális rendszer elméletét. a kalkulus, amely akkor még nem ismert Európában.
Fibonacci fő tudományos munkája a numerikus sorozatot írja le: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 stb. Ez az elmélet az ősidők óta ismert aranymetszés fogalmát tükrözi. Például minden szám 1,618-szorosa az előző számnak, és minden előző szám 0,618-szorosa a következőnek. Az ilyen számokat antipódoknak nevezzük. Az 1,618 és 0,618 pár az egyetlen abszolút antipód az aritmetikában. Ezeket a felfedezéseket széles körben használják a Forex piac elemzésében.
Egy másik módszer az ún
Fibonacci ívek
(Fibonacci ívek). Miután meghúztuk a vonalat a mozgás kezdetének maximális pontjától a mozgás befejezésének maximális pontjáig, íveket építenek, amelyeket bizonyos szinteken húznak: 38,2%, 50% és 61,8%. Úgy gondolják, hogy ezek az ívek a támaszték és az ellenállás szintjének potenciális mutatói a pontok metszéspontjában.
Épület
Fibonacci "rajongói"
(rajongóknak) hasonló elve van. A vonal meghúzása után, mint az előző esetben, a vonalak 38,2%, 50% és 61,8% szinteken húzódnak. Ezek a vonalak a potenciális ferde erőszint mutatói.
Egy másik módja -
korrekciós szintek
(retracements). Miután meghúztuk a vonalat a maximális mozgási ponttól a mozgás maximális végpontjáig, 9 vízszintes vonalat húzunk a 0,0%, 23,6%, 38,2%, 50% és 61,8%, 100%, 161 ,8 szinteken. %, 261,8% és 423,6%. A szintek kiválasztása a diagram skálájától függ.
Fibonacci időzónák
függőleges vonalak sorozata 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 stb. intervallumokkal. Ezen vonalak közelében kell számítanunk a legjelentősebb árváltozásokra.
A Fibonacci-elméletet elemzők használják szerte a világon. Nem szabad azonban csak erre korlátozódnia.
Cikkek a "Műszaki elemzés" alszakaszból:
Kockázati figyelmeztetés:
A kezdőknek tisztában kell lenniük azzal, hogy a Forex kereskedés magas kockázatokkal jár. Mielőtt elkezdené a valódi számlákon történő kereskedést, elméleti és gyakorlati felkészülésre van szüksége, hogy megbizonyosodjon arról, hogy az Ön által választott kereskedési stratégia hatékony az ingyenes demószámlákon történő kereskedés során. Ne kereskedjen olyan pénzzel, amelyet nem hajlandó elveszíteni.
A Forex-Resource portál arra törekszik, hogy minden olyan információt megadjon, amely a kereskedők számára hasznos lesz a sikeres kereskedéshez. A "Forex-Resource" azonban nem vállal felelősséget az Ön kereskedési tevékenységéért a portál oldalain megadott információk alapján.
Leonardo Fibonacci a középkor egyik legnagyobb matematikusa. Fibonacci egyik művében, a Számítások könyvében leírta az indoarab számítást és annak előnyeit a rómaival szemben.
Meghatározás
A Fibonacci-számok vagy Fibonacci-sorozat egy numerikus sorozat, amely számos tulajdonsággal rendelkezik. Például két szomszédos szám összege a sorozatban megadja a következő értékét (például 1+1=2; 2+3=5 stb.), ami megerősíti az úgynevezett Fibonacci együtthatók létezését. , azaz állandó arányok.
A Fibonacci-sorozat így kezdődik: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
2.
A Fibonacci-számok teljes meghatározása
3.
A Fibonacci-szekvencia tulajdonságai
4.
1. Az egyes számok aránya a következőhöz képest a sorozatszám növekedésével egyre 0,618-ra hajlik. Az egyes számok aránya az előzőhöz képest 1,618-ra hajlamos (fordítva 0,618). A 0,618-as számot (FI) hívják.
2. Ha minden számot elosztunk a következővel, a 0,382-es számot egyen keresztül kapjuk; fordítva - illetve 2,618.
3. Az arányokat így választva megkapjuk a Fibonacci-együtthatók fő halmazát: … 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236.
5.
A Fibonacci-szekvencia és az "aranymetszet" közötti kapcsolat
6.
A Fibonacci-szekvencia aszimptotikusan (egyre lassabban közelítve) valamilyen állandó arányra hajlik. Ez az arány azonban irracionális, vagyis olyan számról van szó, amelynek törtrészében végtelen, megjósolhatatlan tizedesjegyek sorozata van. Nem lehet pontosan kifejezni.
Ha a Fibonacci-sorozat bármely tagját elosztjuk az előtte lévővel (például 13:8), az eredmény egy olyan érték lesz, amely az 1,61803398875 irracionális érték körül ingadozik, és egy idő után vagy meghaladja azt, vagy nem éri el. azt. De még ha az örökkévalóságot is eltöltöttük rá, lehetetlen pontosan tudni az arányt az utolsó tizedesjegyig. A rövidség kedvéért 1,618-as formában adjuk meg. Ennek az aránynak már azelőtt elkezdték különleges neveket adni, hogy Luca Pacioli (egy középkori matematikus) Isteni aránynak nevezte volna. Modern nevei között szerepel az Aranyarány, az Aranyközép és a forgó négyzetek aránya. Kepler ezt a relációt a „geometria kincseinek” egyikének nevezte. Az algebrában általában a görög phi betűvel jelölik
Képzeljük el az aranymetszetet egy szakasz példáján.
Tekintsünk egy A és B végű szakaszt. A C pont ossza el az AB szakaszt úgy, hogy
AC/CB = CB/AB vagy
AB/CB = CB/AC.
Ezt így képzelheted el: A-–C--–B
7.
Az aranymetszet egy szakasznak olyan arányos felosztása egyenlőtlen részekre, amelyben az egész szakasz ugyanúgy viszonyul a nagyobb részhez, mint maga a nagyobb rész a kisebbhez; vagy más szóval a kisebb rész a nagyobbhoz kapcsolódik, mint a nagyobb mindenhez.
8.
Az aranymetszés szegmenseit 0,618 ... végtelen irracionális törtként fejezzük ki, ha AB-t egynek vesszük, AC = 0,382 .. Mint már tudjuk, a 0,618 és 0,382 számok a Fibonacci-sorozat együtthatói.
9.
Fibonacci arányok és aranymetszés a természetben és a történelemben
10.
Fontos megjegyezni, hogy Fibonacci mintegy emlékeztette az emberiséget a sorozatára. Az ókori görögök és egyiptomiak ismerték. Valójában azóta a Fibonacci-együtthatókkal leírt mintákat találtak a természetben, az építészetben, a képzőművészetben, a matematikában, a fizikában, a csillagászatban, a biológiában és sok más területen. Egyszerűen elképesztő, hogy a Fibonacci-szekvencia segítségével hány állandót lehet kiszámítani, és hogyan jelennek meg a kifejezései hatalmas számú kombinációban. Nem túlzás lenne azonban azt állítani, hogy ez nem csupán egy számjáték, hanem a természeti jelenségek valaha felfedezett legfontosabb matematikai kifejezése.
11.
Az alábbi példák ennek a matematikai sorozatnak néhány érdekes alkalmazását mutatják be.
12.
1. A héj spirálban van csavarva. Ha kihajtja, a kígyó hosszánál valamivel alacsonyabb hosszt kap. Egy kicsi, tíz centiméteres kagyló spirálisa 35 cm. A spirálisan felgöndörödött kagyló alakja felkeltette Arkhimédész figyelmét. A helyzet az, hogy a héj volutáinak mérési aránya állandó, és egyenlő 1,618-val. Arkhimédész tanulmányozta a héjak spirálját, és levezette a spirál egyenletét. Az egyenlet által megrajzolt spirált az ő nevén nevezik. Lépésének növekedése mindig egyenletes. Jelenleg az Archimedes-spirált széles körben használják a mérnöki munkákban.
2. Növények és állatok. Már Goethe is hangsúlyozta a természet spiralitásra való hajlamát. A levelek spirális és spirális elrendeződését a faágakon már régen felfigyelték. A spirál a napraforgómagok elrendezésében, fenyőtobozokban, ananászokban, kaktuszokban stb. A botanikusok és matematikusok közös munkája rávilágított ezekre a csodálatos természeti jelenségekre. Kiderült, hogy a napraforgómagok, fenyőtobozok leveleinek elrendezésében a Fibonacci-sorozat nyilvánul meg, és ezért az aranymetszet törvénye nyilvánul meg. A pók spirálisan forgatja hálóját. Egy hurrikán spirálisan forog. Egy ijedt rénszarvascsorda spirálszerűen szétszóródik. A DNS-molekula kettős spirálra van csavarva. Goethe a spirált "az élet görbéjének" nevezte.
Az út menti füvek között egy figyelemre méltó növény nő - a cikória. Nézzük meg közelebbről. A fő szárból ág alakult ki. Itt az első levél. A folyamat erős kilökődést hajt végre a térbe, megáll, kienged egy levelet, de rövidebb, mint az első, ismét kilökést hajt végre a térbe, de kisebb erővel, egy még kisebb levelet enged ki és ismét kilökődik. Ha az első kiugró értéket 100 egységnek vesszük, akkor a második egyenlő 62 egységgel, a harmadik 38, a negyedik 24, és így tovább. A szirmok hossza is az aranymetszés függvénye. A növekedésben, a tér meghódításában a növény megtartott bizonyos arányokat. Növekedési impulzusai fokozatosan csökkentek az aranymetszet arányában.
A gyík életképes. A gyík első pillantásra a szemünknek tetsző arányokat ragadja meg - a farkának hossza a test többi részének hosszához kapcsolódik, 62-38.
Mind a növény-, mind az állatvilágban kitartóan áttör a természet formaépítő tendenciája - a növekedési és mozgási irány szimmetriája. Itt az aranymetszés a növekedési irányra merőleges részek arányában jelenik meg. A természet elvégezte a szimmetrikus részekre és arany arányokra való felosztást. Részekben az egész szerkezetének ismétlődése nyilvánul meg.
Pierre Curie századunk elején számos mélyreható szimmetriagondolatot fogalmazott meg. Azzal érvelt, hogy egyetlen test szimmetriáját sem lehet figyelembe venni anélkül, hogy ne vegyük figyelembe a környezet szimmetriáját. Az aranyszimmetria mintái az elemi részecskék energiaátmeneteiben, egyes kémiai vegyületek szerkezetében, bolygó- és térrendszerekben, élő szervezetek génszerkezetében nyilvánulnak meg. Ezek a minták, amint azt fentebb jeleztük, egy személy egyes szerveinek és a test egészének szerkezetében vannak, és a bioritmusokban, valamint az agy működésében és a vizuális észlelésben is megnyilvánulnak.
3. Tér. A csillagászat történetéből ismert, hogy I. Titius, a 18. századi német csillagász ennek a sorozatnak a segítségével (Fibonacci) szabályosságot és rendet talált a Naprendszer bolygói közötti távolságokban.
Egy eset azonban törvénybe ütközőnek tűnt: a Mars és a Jupiter között nem volt bolygó. Az égbolt ezen területének célzott megfigyelése vezetett az aszteroidaöv felfedezéséhez. Ez Titius halála után történt a 19. század elején.
A Fibonacci sorozatot széles körben használják: segítségével az élőlények és az ember alkotta építmények építészetét, valamint a Galaxisok szerkezetét ábrázolják. Ezek a tények bizonyítják a számsor függetlenségét a megnyilvánulási feltételeitől, ami egyetemességének egyik jele.
4. Piramisok. Sokan próbálták megfejteni a gízai piramis titkait. Más egyiptomi piramisokkal ellentétben ez nem egy sír, hanem számkombinációk megoldhatatlan rejtvénye. A piramis építészeinek figyelemreméltó találékonysága, ügyessége, ideje és munkája, amelyet az örök szimbólum felépítésénél felhasználtak, jelzi annak az üzenetnek a rendkívüli fontosságát, amelyet a jövő nemzedékei felé akartak közvetíteni. Korszakuk az írástudás előtti, a hieroglifák előtti volt, és a szimbólumok jelentették az egyetlen eszközt a felfedezések rögzítésére. A gízai piramis geometriai-matematikai titkának kulcsát, amely oly sokáig rejtély volt az emberiség számára, valójában Hérodotosznak adták át a templomi papok, akik közölték vele, hogy a piramist úgy építették, hogy mindegyik terület arca egyenlő volt a magasságának négyzetével.
Háromszög terület
356 x 440/2 = 78320
négyzet alakú terület
280 x 280 = 78400
A gízai piramis alapja élének hossza 783,3 láb (238,7 m), a piramis magassága 484,4 láb (147,6 m). Az alap élének hossza osztva a magassággal, az Ф=1,618 arányhoz vezet. A 484,4 láb magasság 5813 hüvelyknek (5-8-13) felel meg – ezek a számok a Fibonacci sorozatból. Ezek az érdekes megfigyelések arra utalnak, hogy a piramis építése az Ф=1,618 arányon alapul. Egyes modern tudósok hajlamosak úgy értelmezni, hogy az ókori egyiptomiak kizárólag abból a célból építették, hogy továbbadják azt a tudást, amelyet meg akartak őrizni a jövő generációi számára. A gízai piramis intenzív tanulmányozása megmutatta, milyen kiterjedt matematikai és asztrológiai ismeretek voltak akkoriban. A piramis minden belső és külső arányában az 1,618-as szám központi szerepet játszik.
Piramisok Mexikóban. Nemcsak az egyiptomi piramisok épültek az aranymetszés tökéletes arányai szerint, ugyanezt a jelenséget a mexikói piramisoknál is megtalálták. Felmerül az ötlet, hogy az egyiptomi és a mexikói piramisokat is megközelítőleg egy időben emelték közös származású emberek.
A Fibonacci számok – a Forexen egy matematikai összefüggést jelentenek, és a Forex-e technikai elemzésének különféle módszerei és stratégiái alapját képezik. Ezek a számok képezik az alapját, és sok más Forex piaci stratégiában.
Tiszteletére egy kicsit később az ilyen számok sorozatát magáról az alapítóról nevezték el - " Fibonacci sorozat».
Ennek a könyvnek a segítségével az európaiak megtanulták az indo-arab számsort, ami után a római számokat a matematikában és a geometriában kiszorították a használatból. Leonardo Fibonacci összes munkája nagy előnyökkel járt a fizika, a matematika, a csillagászat és a. A nagyon egyedi Fibonacci-képlet meglepően egyszerű: 1, 2, 3, 5, 8 (és így tovább a végtelenségig).
A Fibonacci számsorozat nagyon szokatlan tulajdonságokkal rendelkezik, nevezetesen, hogy minden szám összefügg az előzővel. Két szomszédos Fibonacci-szám összegének összege az első kettőt követő számot eredményezi. Példaként a következőket adhatjuk: 2 + 2 = 4. Bármely szám és az előző szám aránya közeli az arany középúthoz 1, 618. Például: 13: 8 = 1, 625; vagy 21: 13 = 1,615; stb.
Nézzünk egy másik példát Leonardo Fibonacci szekvenciális sorozatára is:
Figyeld meg, hogyan ingadozik a számok aránya a 0,618 érték körül!
Valójában magát Leonardo Fibonaccit sem tekintik ennek a számsorozatnak az első felfedezettjének. Mióta ennek a matematikai kapcsolatnak a nyomait megtalálták a zenében, a biológiában és az építészetben. Még a bolygók és az egész naprendszer helyzete is ezeken a szabályokon alapul.
A Fibonacci-számokat a görögök a Parthenon építésekor, az egyiptomiak pedig a híres gízai piramis építésekor használták. A "numerikus átlag" egyedi tulajdonságait az ókor legnagyobb tudósai is ismerték, mint Platón, Pythagoras, Archimedes és Leonardo da Vinci.
A csodálatos Fibonacci számminta
Általános szabály, hogy a korrekció folyamatosan 3 ugrásból áll ...
A normál korrekció 2 típusra oszlik:
A negyediken általában háromszögek alakulnak ki, amelyek folyamatosan megelőzik az utolsó kialakult hullámot. Ez a formáció egy B korrekciós hullám is lehet.
Mindegyik hullám kisebbre oszlik, és egy hosszabb hullám összetevője.
Előfordul, hogy az egyik impulzushullám megnyúlik, míg a másik kettőnek általában azonosnak kell lennie a méretben és a kialakulási időben.
A megtaláláshoz a Fibonacci-számok együtthatóit és a korrekciós méretek arányait használjuk, amelyeket ezekből a számokból származtatunk.
A korrekció mértékének viszonya az előző trendmozgáshoz általában egyenlő: 62, 50, 38 százalékkal.
A váltakozó módszer azt mondja: nem szabad megvárni az árdinamika ugyanazt a megnyilvánulását kétszer egymás után.
Az aktív bikapiac nem eshet lejjebb, mint az előző 4. hullám kezdete.
Ezenkívül a 4. hullámnak nem szabad kereszteznie az elsőt.
1) hullámforma;
2) hosszuk aránya;
3) fejlődésük időszaka.
Ezen kívül, mint már említettük, sok más is a Leonardo Fibonacci által levezetett szekvencián alapul, amelyet minden bizonnyal érinteni fognak ennek az oldalnak az anyagai.
