A világhírű Fibonacci-elméletet Leonardo Fibonacci olasz matematikus alapította 1710-ben. A világ körüli utazása után Leonardo kiadta a "Liber Abacci" ("Kalkulus könyve") című könyvét, amelyben felvázolta a tizedes rendszer elméletét. a kalkulus, amely akkor még nem ismert Európában.
Fibonacci fő tudományos munkája a numerikus sorrendet írja le: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 stb. Ez az elmélet az aranymetszés ősidők óta ismert fogalmát tükrözi. Például minden szám 1,618-szorosa az előző számnak, és minden előző szám 0,618-szorosa a következőnek. Az ilyen számokat antipódoknak nevezzük. Az 1,618 és 0,618 pár az egyetlen abszolút antipód az aritmetikában. Ezeket a felfedezéseket széles körben használják a Forex piac elemzésében.
Egy másik módszer az ún
Fibonacci ívek
(Fibonacci ívek). Miután meghúztuk a vonalat a mozgás kezdőpontjától a mozgás maximális befejezési pontjáig, íveket építünk, amelyeket bizonyos szinteken húzunk: 38,2%, 50% és 61,8%. Úgy gondolják, hogy ezek az ívek potenciális mutatói a támaszték és az ellenállás szintjének a pontok metszéspontjában.
Épület
Fibonacci "rajongói"
(rajongóknak) hasonló elve van. A vonal meghúzása után, mint az előző esetben, a vonalak 38,2%, 50% és 61,8% szinteken húzódnak. Ezek a vonalak a potenciális ferde erőszintet jelzik.
Egy másik módja -
korrekciós szintek
(retracements). Miután meghúztuk a vonalat a mozgás kezdőpontjától a mozgás maximális befejezési pontjáig, 9 vízszintes vonal húzódik a 0,0%, 23,6%, 38,2%, 50% és 61,8%, 100 szinteken. %, 161 ,8%, 261,8% és 423,6%. A szintek kiválasztása a diagram skálájától függ.
Fibonacci időzónák
függőleges vonalak sorozata 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 stb. intervallumokkal. Ezen vonalak közelében kell számítanunk a legjelentősebb árváltozásokra.
A Fibonacci-elméletet elemzők használják szerte a világon. Azonban nem szabad csak erre korlátozódnia.
Cikkek a "Technikai elemzés" alszakaszból:
Kockázati figyelmeztetés:
A kezdőknek tisztában kell lenniük azzal, hogy a Forex kereskedés magas kockázatokkal jár. Mielőtt elkezdené a valódi számlákon való kereskedést, elméleti és gyakorlati felkészítést kell végeznie, hogy megbizonyosodjon arról, hogy az Ön által választott kereskedési stratégia hatékony az ingyenes demószámlákon történő kereskedés során. Ne kereskedjen olyan pénzzel, amelyet nem hajlandó elveszíteni.
A Forex-Resource portál arra törekszik, hogy minden szükséges információt megadjon, amely hasznos lesz a kereskedők számára a sikeres kereskedéshez. A "Forex-Resource" azonban nem vállal felelősséget az Ön kereskedési tevékenységéért a portál oldalain megadott információk alapján.
Leonardo Fibonacci a középkor egyik legnagyobb matematikusa. Fibonacci egyik művében, a Számítások könyvében leírta az indoarab számítást és használatának előnyeit a rómaival szemben.
Meghatározás
A Fibonacci-számok vagy a Fibonacci-sorozat egy numerikus sorozat, amelynek számos tulajdonsága van. Például két szomszédos szám összege a sorozatban megadja a következő értékét (például 1+1=2; 2+3=5 stb.), ami megerősíti az úgynevezett Fibonacci együtthatók létezését , azaz állandó arányok.
A Fibonacci-sorozat így kezdődik: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
2.
A Fibonacci-számok teljes meghatározása
3.
A Fibonacci-szekvencia tulajdonságai
4.
1. Az egyes számok és a következő számok aránya a sorozatszám növekedésével egyre 0,618-ra hajlik. Az egyes számok aránya az előzőhöz képest 1,618 (fordítva 0,618). A 0,618-as számot (FI) hívják.
2. Ha minden számot elosztunk a következővel, a 0,382 számot egyen keresztül kapjuk; fordítva - 2,618.
3. Az arányokat így választva megkapjuk a Fibonacci-együtthatók fő halmazát: … 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236.
5.
A Fibonacci-szekvencia és az "aranymetszet" közötti kapcsolat
6.
A Fibonacci-szekvencia aszimptotikusan (egyre lassabban közelítve) valamilyen állandó arányra hajlik. Ez az arány azonban irracionális, vagyis olyan számról van szó, amelynek törtrészében végtelen, megjósolhatatlan tizedesjegyek sorozata van. Nem lehet pontosan kifejezni.
Ha a Fibonacci-sorozat bármely tagját elosztjuk az előtte lévővel (például 13:8), akkor az eredmény egy olyan érték lesz, amely az 1,61803398875 irracionális érték körül ingadozik, és egy idő után vagy meghaladja azt, vagy nem éri el. azt. De még az örökkévalóság után sem lehet pontosan tudni az arányt az utolsó tizedesjegyig. A rövidség kedvéért 1,618-as formában adjuk meg. Ennek az aránynak már azelőtt elkezdték különleges neveket adni, hogy Luca Pacioli (egy középkori matematikus) Isteni aránynak nevezte volna. Modern nevei között szerepel például az Aranyarány, az Aranyközép és a forgó négyzetek aránya. Kepler ezt a relációt a „geometria kincseinek” egyikének nevezte. Az algebrában általában a görög phi betűvel jelölik
Képzeljük el az aranymetszetet egy szakasz példáján.
Tekintsünk egy A és B végű szakaszt. Legyen C pont ossza fel az AB szakaszt úgy, hogy
AC/CB = CB/AB vagy
AB/CB = CB/AC.
Ezt így képzelheted el: A-–C--–B
7.
Az aranymetszet egy szakasznak olyan arányos felosztása egyenlőtlen részekre, amelyben az egész szakasz ugyanúgy viszonyul a nagyobb részhez, mint maga a nagyobb rész a kisebbhez; vagy más szóval, a kisebb rész úgy kapcsolódik a nagyobbhoz, mint a nagyobb mindenhez.
8.
Az aranymetszés szegmenseit 0,618 ... végtelen irracionális törtként fejezzük ki, ha AB-t egynek vesszük, AC = 0,382 .. Mint már tudjuk, a 0,618 és 0,382 számok a Fibonacci sorozat együtthatói.
9.
Fibonacci arányok és az aranymetszés a természetben és a történelemben
10.
Fontos megjegyezni, hogy Fibonacci mintegy emlékeztette az emberiséget a sorozatára. Az ókori görögök és egyiptomiak ismerték. Valójában azóta a Fibonacci-együtthatókkal leírt mintákat találtak a természetben, az építészetben, a képzőművészetben, a matematikában, a fizikában, a csillagászatban, a biológiában és sok más területen. Egyszerűen elképesztő, hogy a Fibonacci-szekvencia segítségével hány állandót lehet kiszámítani, és hogyan jelennek meg a kifejezései hatalmas számú kombinációban. Nem túlzás azonban azt állítani, hogy ez nem csupán egy számjáték, hanem a természeti jelenségek valaha felfedezett legfontosabb matematikai kifejezése.
11.
Az alábbi példák ennek a matematikai sorozatnak néhány érdekes alkalmazását mutatják be.
12.
1. A héj spirálban van csavarva. Ha kihajtja, a kígyó hosszánál valamivel alacsonyabb hosszt kap. Egy kicsi, tíz centiméteres kagyló spirálisa 35 cm, a spirálisan felgöndörödött kagyló alakja vonzotta Arkhimédész figyelmét. A helyzet az, hogy a héj volutáinak mérési aránya állandó, és egyenlő 1,618-val. Arkhimédész tanulmányozta a héjak spirálját, és levezette a spirál egyenletét. Az egyenlet által megrajzolt spirált az ő nevén nevezik. Lépésének növekedése mindig egyenletes. Jelenleg az Archimedes-spirált széles körben használják a mérnöki munkákban.
2. Növények és állatok. Már Goethe is hangsúlyozta a természet spiralitásra való hajlamát. A levelek spirális és spirális elrendeződését a faágakon már régen észrevették. A spirál a napraforgómagok elrendezésében, fenyőtobozokban, ananászokban, kaktuszokban stb. A botanikusok és matematikusok közös munkája rávilágított ezekre a csodálatos természeti jelenségekre. Kiderült, hogy a napraforgómagok, fenyőtobozok leveleinek elrendezésében a Fibonacci-sorozat nyilvánul meg, és ezért az aranymetszet törvénye nyilvánul meg. A pók spirálisan forgatja a hálóját. Egy hurrikán spirálisan forog. Egy ijedt rénszarvascsorda spirálszerűen szétszóródik. A DNS-molekula kettős spirálba csavarodik. Goethe a spirált "az élet görbéjének" nevezte.
Az út menti füvek között egy figyelemre méltó növény nő - a cikória. Nézzük meg közelebbről. A fő szárból ág alakult ki. Itt az első levél. A folyamat erős kilökődést hajt végre a térbe, megáll, kienged egy levelet, de már rövidebb, mint az első, ismét kilökést hajt végre a térbe, de kisebb erővel, egy még kisebb méretű levelet enged ki és ismét kilökődik. Ha az első kiugró értéket 100 egységnek vesszük, akkor a második 62 egység, a harmadik 38, a negyedik 24, és így tovább. A szirmok hossza is az aranymetszés függvénye. A növekedésben, a tér meghódításában a növény megtartott bizonyos arányokat. Növekedési impulzusai az aranymetszés arányában fokozatosan csökkentek.
A gyík életképes. A gyíkban első pillantásra a szemünknek tetsző arányok ragadnak meg - a farkának hossza a test többi részének hosszához viszonyítva 62-38.
Mind a növény-, mind az állatvilágban kitartóan áttör a természet alakító tendenciája - a növekedési és mozgási irány szimmetriája. Itt az aranymetszés a növekedési irányra merőleges részek arányában jelenik meg. A természet elvégezte a szimmetrikus részekre és arany arányokra való felosztást. Részekben az egész szerkezetének ismétlődése nyilvánul meg.
Pierre Curie századunk elején számos mélyreható szimmetriagondolatot fogalmazott meg. Azzal érvelt, hogy egyetlen test szimmetriáját sem lehet figyelembe venni anélkül, hogy ne vesszük figyelembe a környezet szimmetriáját. Az aranyszimmetria mintái az elemi részecskék energiaátmeneteiben, egyes kémiai vegyületek szerkezetében, bolygó- és térrendszerekben, élő szervezetek génszerkezetében nyilvánulnak meg. Ezek a minták, amint azt fentebb jeleztük, az egyes emberi szervek és a test egészének felépítésében jelennek meg, és megnyilvánulnak a bioritmusokban és az agy működésében és a vizuális észlelésben is.
3. Tér. A csillagászat történetéből ismert, hogy I. Titius, a 18. századi német csillagász ezt a sorozatot (Fibonacci) használva szabályosságot és rendet talált a Naprendszer bolygói közötti távolságokban.
Egy eset azonban törvénybe ütközőnek tűnt: a Mars és a Jupiter között nem volt bolygó. Az égbolt ezen területének célzott megfigyelése vezetett az aszteroidaöv felfedezéséhez. Ez Titius halála után történt, a 19. század elején.
A Fibonacci sorozatot széles körben használják: segítségével az élőlények és az ember alkotta szerkezetek építészetét, valamint a Galaxisok szerkezetét ábrázolják. Ezek a tények bizonyítják a számsor függetlenségét a megnyilvánulási feltételeitől, ami egyetemességének egyik jele.
4. Piramisok. Sokan próbálták megfejteni a gízai piramis titkait. Más egyiptomi piramisokkal ellentétben ez nem egy sír, hanem számkombinációk megoldhatatlan rejtvénye. A piramis építészeinek figyelemreméltó találékonysága, ügyessége, ideje és munkája, amelyet az örök szimbólum felépítésénél felhasználtak, jelzi annak az üzenetnek a rendkívüli fontosságát, amelyet a jövő nemzedékei felé akartak közvetíteni. Korszakuk az írástudás előtti, a hieroglifák előtti volt, és a szimbólumok jelentették az egyetlen eszközt a felfedezések rögzítésére. A gízai piramis geometriai-matematikai titkának kulcsát, amely oly sokáig rejtély volt az emberiség számára, valójában Hérodotosznak adták a templomi papok, akik közölték vele, hogy a piramist úgy építették, hogy minden egyes területe arca egyenlő volt a magasságának négyzetével.
Háromszög terület
356 x 440/2 = 78320
négyzet alakú terület
280 x 280 = 78400
A gízai piramis alapja élének hossza 783,3 láb (238,7 m), a piramis magassága 484,4 láb (147,6 m). Az alap élének hossza osztva a magassággal, az Ф=1,618 arányhoz vezet. A 484,4 láb magasság 5813 hüvelyknek (5-8-13) felel meg – ezek a számok a Fibonacci sorozatból. Ezek az érdekes megfigyelések arra utalnak, hogy a piramis építése a Ф=1,618 arányon alapul. Egyes modern tudósok hajlamosak úgy értelmezni, hogy az ókori egyiptomiak kizárólag abból a célból építették, hogy továbbadják azt a tudást, amelyet meg akartak őrizni a jövő generációi számára. A gízai piramis intenzív tanulmányozása megmutatta, milyen kiterjedt matematikai és asztrológiai ismeretek voltak akkoriban. A piramis minden belső és külső arányában az 1,618-as szám központi szerepet játszik.
Piramisok Mexikóban. Nemcsak az egyiptomi piramisok épültek az aranymetszés tökéletes arányai szerint, ugyanezt a jelenséget a mexikói piramisoknál is megtalálták. Felmerül az ötlet, hogy az egyiptomi és a mexikói piramisokat megközelítőleg egy időben emelték közös származású emberek.
Hallottad már, hogy a matematikát "minden tudomány királynőjének" nevezik? Egyetértesz ezzel az állítással? Amíg a matematika unalmas tankönyvi rejtvény marad számodra, alig érezheted ennek a tudománynak a szépségét, sokoldalúságát, sőt humorát.
De a matematikában vannak olyan témák, amelyek segítenek érdekes megfigyeléseket tenni a számunkra megszokott dolgokról és jelenségekről. És még az univerzumunk létrejöttének titkának fátylát is próbálja meg áthatolni. A világban vannak olyan furcsa minták, amelyek a matematika segítségével leírhatók.
Fibonacci számok nevezd meg egy sorozat elemeit. Ebben a sorozat minden következő számát a két előző szám összegzésével kapjuk.
Mintasorozat: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…
Így írhatod:
F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2
Negatív értékekkel indíthat Fibonacci-számok sorozatát n. Ráadásul a sorozat ebben az esetben kétoldalú (vagyis negatív és pozitív számokat takar), és mindkét irányban a végtelenbe hajlik.
Példa egy ilyen sorozatra: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.
A képlet ebben az esetben így néz ki:
F n = F n+1 - F n+2 vagy más módon megteheti így: F-n = (-1) n+1 Fn.
Amit ma "Fibonacci-számoknak" nevezünk, az ókori indiai matematikusok már jóval azelőtt ismerték, hogy Európában használták volna őket. És ezzel a névvel általában egy folyamatos történelmi anekdota. Kezdjük azzal a ténnyel, hogy maga Fibonacci életében soha nem nevezte magát Fibonaccinak – ezt a nevet csak néhány évszázaddal halála után kezdték alkalmazni Pisai Leonardora. De beszéljünk mindent sorban.
Egy kereskedő fia, aki matematikus lett, majd leszármazottai Európa első jelentős matematikusaként ismerték el a középkorban. Nem utolsósorban a Fibonacci-számoknak köszönhetően (amit akkor, emlékszünk, még nem így hívtak). Amit a 13. század elején írt le „Liber abaci” („Az abakusz könyve”, 1202) című művében.
Apjával keletre utazva Leonardo matematikát tanult arab tanárokkal (és akkoriban ők voltak az egyik legjobb szakember ebben a kérdésben és sok más tudományban). Az ókor és az ókori India matematikusainak műveit olvasta arab fordításban.
Miután megfelelően megértett mindent, amit olvasott, és összekapcsolta saját érdeklődő elméjét, Fibonacci számos tudományos értekezést írt a matematikáról, köztük a fentebb már említett „Abakusz könyvét”. Rajta kívül létrehozta:
A matematikai versenyek nagy szerelmese volt, ezért értekezéseiben nagy figyelmet fordított a különféle matematikai problémák elemzésére.
Nagyon kevés életrajzi információ maradt Leonardo életéről. Ami a Fibonacci nevet illeti, amellyel a matematika történetébe lépett, csak a XIX.
Fibonacci után számos probléma maradt meg, amelyek a következő évszázadokban nagyon népszerűek voltak a matematikusok körében. Megvizsgáljuk a nyulak problémáját, amelynek megoldásában a Fibonacci-számokat használjuk.
A nyulak nemcsak értékes szőrme
Fibonacci a következő feltételeket szabta: van egy pár újszülött nyúl (hím és nőstény), olyan érdekes fajtából, hogy rendszeresen (a második hónaptól kezdve) hoz utódokat - mindig egy pár új nyúlat. Továbbá, ahogy sejtheti, férfi és nő.
Ezeket a feltételes nyulakat zárt térben helyezik el, és lelkesen szaporodnak. Azt is előírják, hogy egyetlen nyúl sem hal meg valamilyen titokzatos nyúlbetegségben.
Ki kell számolnunk, hány nyulat kapunk egy évben.
A bent lévő nyulak száma n-. hónap = az előző hónap nyúlpárjainak száma + újszülött párok száma (2 hónappal korábban is ugyanannyi nyúl van). És mindezt a fent már megadott képlet írja le: F n \u003d F n-1 + F n-2.
Így kapunk egy ismétlődő (magyarázat rekurzió- lent) számsor. Ahol minden következő szám egyenlő az előző kettő összegével:
A sorozatot hosszan folytathatja: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. De mivel meghatározott időszakot - egy évet - határoztunk meg, a 12. "költözésnél" kapott eredmény érdekel. Azok. A sorozat 13. tagja: 377.
A válasz a feladatban rejlik: 377 nyulat kapunk, ha minden feltétel teljesül.
A Fibonacci-szekvencia egyik tulajdonsága nagyon érdekes. Ha két egymást követő párt veszünk ki egy sorból, és a nagyobb számot elosztjuk a kisebbel, az eredmény fokozatosan közeledik aranymetszés(Erről később a cikkben olvashat).
A matematika nyelvén, "kapcsolati határ a n+1 Nak nek a n egyenlő az aranymetszés.
Több probléma a számelméletben
Meghívjuk Önt, hogy önállóan találja meg a választ ezekre a kérdésekre. A cikkhez fűzött megjegyzésekben megadhatja nekünk a lehetőségeit. És akkor megmondjuk, hogy helyesek voltak-e a számításai.
rekurzió- egy tárgy vagy folyamat meghatározása, leírása, képe, amely magát ezt az objektumot vagy folyamatot tartalmazza. Azaz valójában egy tárgy vagy folyamat önmagának a része.
A rekurzió széles körben alkalmazható a matematikában és a számítástechnikában, sőt a művészetben és a populáris kultúrában is.
A Fibonacci-számok meghatározása rekurzív relációval történik. Számért n>2 n- e szám az (n - 1) + (n - 2).
aranymetszés- egy egész (például egy szegmens) felosztása olyan részekre, amelyek a következő elv szerint kapcsolódnak egymáshoz: egy nagy rész ugyanúgy tartozik egy kisebbhez, mint a teljes érték (például két szegmens összege) ) nagyobb részre.
Az aranymetszés első említése Euklidész "Kezdetek" című értekezésében található (kb. ie 300). Szabályos téglalap felépítésével összefüggésben.
A számunkra ismerős kifejezést 1835-ben Martin Ohm német matematikus vezette be.
Ha az aranymetszést hozzávetőlegesen írja le, akkor ez egy arányos felosztás két egyenlőtlen részre: körülbelül 62% és 38%. Számszerűen az aranymetszés a szám 1,6180339887 .
Az aranymetszés a képzőművészetben (Leonardo da Vinci és más reneszánsz festők festményei), az építészetben, a moziban (S. Ezenstein Potemkin csatahajója) és más területeken gyakorlati alkalmazást talál. Sokáig azt hitték, hogy az aranymetszés a legesztétikusabb arány. Ez a nézet ma is népszerű. Bár a kutatási eredmények szerint vizuálisan a legtöbben nem ezt az arányt tartják a legsikeresebb lehetőségnek, és túlságosan elnyújtottnak (aránytalannak) tartják.
Most térjünk vissza a Fibonacci-számokhoz. Vegyünk két egymást követő tagot a sorozatából. Ossza el a nagyobb számot a kisebbel, és kap körülbelül 1,618-at. És most használjuk ugyanazt a nagyobb számot és a sorozat következő tagját (azaz még nagyobb számot) - arányuk eleji 0,618.
Íme egy példa: 144, 233, 377.
233/144 = 1,618 és 233/377 = 0,618
Mellesleg, ha ugyanazt a kísérletet a sorozat elejétől kezdődő számokkal próbálja elvégezni (például 2, 3, 5), semmi sem fog működni. Majdnem. Az aranymetszés szabályát szinte nem tartják be a sorozat elején. De másrészt, ahogy haladsz a sorban, és a számok nőnek, ez jól működik.
A Fibonacci-számok teljes sorozatának kiszámításához pedig elegendő ismerni a sorozat három, egymást követő tagját. Magad is láthatod!
Egy másik furcsa párhuzam a Fibonacci-számok és az aranymetszés között lehetővé teszi az úgynevezett "arany téglalap" megrajzolását: oldalai 1,618-1 arányban állnak egymással. De már tudjuk, mi az 1,618, nem igaz?
Vegyük például a Fibonacci-sorozat két egymást követő tagját - 8-at és 13-at -, és építsünk egy téglalapot a következő paraméterekkel: szélesség = 8, hossza = 13.
És akkor a nagy téglalapot kisebbekre bontjuk. Kötelező feltétel: a téglalapok oldalhosszának meg kell egyeznie a Fibonacci számokkal. Azok. a nagyobb téglalap oldalhosszának meg kell egyeznie a két kisebb téglalap oldalainak összegével.
Az ábrán látható módon (az egyszerűség kedvéért az ábrák latin betűkkel vannak aláírva).
A téglalapokat egyébként fordított sorrendben is elkészítheti. Azok. 1-es oldalú négyzetekből kezdjünk el építeni. Amelyhez a fent hangoztatott elv alapján a Fibonacci-számokkal egyenlő oldalú ábrákat kell kitölteni. Elméletileg ez a végtelenségig folytatható – elvégre a Fibonacci-sorozat formailag végtelen.
Ha az ábrán kapott téglalapok sarkait sima vonallal összekötjük, logaritmikus spirált kapunk. Különleges esete inkább a Fibonacci spirál. Különösen az a tény jellemzi, hogy nincsenek határai, és nem változtatja alakját.
Ilyen spirál gyakran megtalálható a természetben. A puhatestű kagyló az egyik legszembetűnőbb példa. Sőt, néhány galaxis, amely a Földről látható, spirális alakú. Ha odafigyel a tévében az időjárás-előrejelzésekre, akkor észrevehette, hogy a ciklonok hasonló spirál alakúak, amikor műholdakról forgatják őket.
Érdekes, hogy a DNS-spirál is betartja az aranymetszet szabályát - a megfelelő mintázat látható a hajlítások intervallumában.
Az ilyen bámulatos „véletlenek” csak felizgatják az elméket, és egy bizonyos egyetlen algoritmusról beszélnek, amelynek az Univerzum életében minden jelenség engedelmeskedik. Most már érted, miért hívják ezt a cikket így? És milyen csodálatos világokat nyithat meg előtted a matematika?
A Fibonacci-számok és az aranymetszés kapcsolata furcsa mintákat sejtet. Annyira kíváncsi, hogy csábító a Fibonacci-számokhoz hasonló sorozatokat keresni a természetben, sőt a történelmi események során is. És a természet valóban okot ad ilyen feltételezésekre. De vajon az életünkben minden megmagyarázható és leírható a matematika segítségével?
Példák a Fibonacci-szekvenciával leírható vadon élő állatokra:
A Fibonacci-számokat széles körben használják a kombinatorika feladatok megoldásában.
Kombinatorika- ez a matematikának egy olyan ága, amely egy meghatározott halmazból adott számú elem kiválasztásának vizsgálatával, felsorolással stb.
Nézzünk példákat a középiskolai szintre tervezett kombinatorikai feladatokra (forrás - http://www.problems.ru/).
1. feladat:
Lesha felmászik egy 10 lépcsőből álló létrán. Egyszerre felugrik egyet vagy két lépést. Hányféleképpen tud Lesha felmászni a lépcsőn?
A számos mód, ahonnan Lesha fel tud mászni a lépcsőn n lépések, jelölje és n. Ebből következik tehát egy 1 = 1, a 2= 2 (végül is Lesha egy vagy két lépést ugrik).
Abban is megegyezés született, hogy Lesha felugrik a lépcsőn n > 2 lépések. Tegyük fel, hogy először ugrott két lépést. Tehát a probléma állapotának megfelelően neki kell ugrani egy másikat n-2 lépések. Ezután a mászás teljesítésének számos módja a következőképpen van leírva a n–2. És ha feltételezzük, hogy Lesha először csak egy lépést ugrott, akkor leírjuk a mászás befejezésének számos módját a n–1.
Innen a következő egyenlőséget kapjuk: a n = a n–1 + a n–2(ismerősnek tűnik, nem?).
Mióta tudjuk egy 1És a 2és ne feledje, hogy a probléma állapotától függően 10 lépés van, számolja ki sorrendben a n: a 3 = 3, egy 4 = 5, egy 5 = 8, egy 6 = 13, a 7 = 21, egy 8 = 34, egy 9 = 55, egy 10 = 89.
Válasz: 89 módon.
2. feladat:
Meg kell találni a 10 betűs szavak számát, amelyek csak az "a" és "b" betűkből állnak, és nem tartalmazhatnak két "b" betűt egymás után.
Jelölje a n szavak száma hosszú n olyan betűk, amelyek csak az "a" és "b" betűkből állnak, és nem tartalmaznak két "b" betűt egymás után. Eszközök, egy 1= 2, a 2= 3.
Sorban egy 1, a 2, <…>, a n minden következő kifejezést az előzőekkel fogunk kifejezni. Ezért a hosszúságú szavak száma n betűket, amelyek szintén nem tartalmaznak duplázott "b" betűt és "a" betűvel kezdődnek, ez a n–1. És ha a szó hosszú n betűk "b" betűvel kezdődik, logikus, hogy egy ilyen szóban a következő betű az "a" (elvégre nem lehet két "b" a probléma feltétele szerint). Ezért a hosszúságú szavak száma n betűk ebben az esetben, jelölése a n–2. Mind az első, mind a második esetben bármilyen szó (hosszúságú n-1És n-2 betűket, illetve) duplázott "b" nélkül.
Meg tudtuk magyarázni, miért a n = a n–1 + a n–2.
Most számoljunk a 3= a 2+ egy 1= 3 + 2 = 5, egy 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, egy 10= egy 9+ egy 8= 144. És megkapjuk az ismerős Fibonacci sorozatot.
Válasz: 144.
3. feladat:
Képzelje el, hogy van egy cellákra osztott szalag. Jobbra megy, és a végtelenségig tart. Helyezzen egy szöcskét a szalag első cellájára. Bármelyik cellán is van a szalagon, csak jobbra tud mozogni: vagy egy cellát, vagy kettőt. Hányféleképpen ugorhat a szöcske a szalag elejéről n sejt?
Jelöljük, hány módon mozog a szöcske a szalagon felfelé n th cell as a n. Ebben az esetben egy 1 = a 2= 1. Benne is n + 1-edik sejt, ahonnan a szöcske bármelyiket megkaphatja n cellában, vagy átugorva rajta. Innen n + 1 = a n – 1 + a n. Ahol a n = F n – 1.
Válasz: F n – 1.
Ön is létrehozhat hasonló problémákat, és megpróbálhatja megoldani őket a matematika órán az osztálytársaival.
Természetesen egy ilyen szokatlan jelenség, mint a Fibonacci-számok, nem vonhatja magára a figyelmet. Még mindig van valami vonzó, sőt titokzatos ebben a szigorúan ellenőrzött mintában. Nem meglepő, hogy a Fibonacci-szekvencia valahogy „világított” a modern tömegkultúra számos művében, különféle műfajokban.
Ezek közül néhányról mesélünk. És megpróbálod jobban keresni magad. Ha megtaláltad, oszd meg velünk kommentben – mi is kíváncsiak vagyunk!
0 Indulj el az úton
1 Kattintott az egyik illesztés
1 Az egyik ujja remegett
2 Mindent, hozd a személyzetet
Mindent, hozd a személyzetet
3 Forró víz kérése
A vonat a folyóhoz megy
A vonat a tajgába megy<…>.
A Fibonacci feleségek sűrű tápláléka
Ez csak a hasznukra volt, másként nem.
A feleségek a pletykák szerint súlyt mértek,
Mindegyik olyan, mint az előző kettő.
Reméljük, hogy sok érdekes és hasznos dolgot tudtunk ma elmondani. Például most megkeresheti a Fibonacci spirált a körülötte lévő természetben. Hirtelen te leszel az, aki képes lesz megfejteni "az élet, az univerzum és általában a titkát".
Használja a Fibonacci-számok képletét a kombinatorika feladatok megoldásához. A cikkben leírt példákra építhet.
blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.
A kód Python 3-ra vonatkozik, bár a Python 2-höz is működnie kell.
Először is hadd emlékeztessem a definícióra:
F n \u003d F n-1 + F n-2
És F 1 \u003d F 2 \u003d 1.
Mit csinál
Csökkentjük x n-2-t
Megoldjuk a másodfokú egyenletet:
Ahonnan az "aranymetszet" ϕ=(1+√5)/2 nő. Az eredeti értékeket behelyettesítve és további számításokat végezve a következőket kapjuk:
Ezt használjuk az F n kiszámításához.
__jövő__ import részlegből import math def fib(n): SQRT5 = math.sqrt(5) PHI = (SQRT5 + 1) / 2 return int(PHI ** n / SQRT5 + 0,5)
Jó:
Gyors és egyszerű kis n
Rossz:
Lebegőpontos műveletek szükségesek. Nagyobb n nagyobb pontosságot igényel.
Gonosz:
A komplex számok használata az F n kiszámításához matematikai szempontból szép, számítógépből viszont csúnya.
fib = lambda n: fib(n - 1) + fib(n - 2), ha n > 2 else 1
Jó:
Nagyon egyszerű megvalósítás, amely megismétli a matematikai definíciót
Rossz:
Exponenciális futási idő. A nagy n nagyon lassan
Gonosz:
Stack Overflow
Ezért csak emlékeznie kell az eredményekre, hogy ne számolja újra. Ez a megoldás lineárisan időt és memóriát fogyaszt. A megoldásban szótárt használok, de egy egyszerű tömb is használható.
M = (0:0, 1:1) def fib(n): ha n az M-ben: visszatérés M[n] M[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2) visszatérés M[n]
(Pythonban ez egy dekorátorral is megtehető, functools.lru_cache.)
Jó:
Csak alakítsa a rekurziót emlékezetes megoldássá. Az exponenciális végrehajtási időt lineáris végrehajtási idővé alakítja, ami több memóriát fogyaszt.
Rossz:
Sok memóriát pazarol
Gonosz:
Lehetséges veremtúlcsordulás, például rekurzió
Ezt a megoldást gyakran emlegetik a dinamikus programozás példájaként.
Def fib(n): a = 0 b = 1 __ esetén az(n) tartományban: a, b = b, a + b visszatér a
Jó:
Gyors kis n, egyszerű kód
Rossz:
Még mindig lineáris futásidő
Gonosz:
Igen, semmi különös.
És ennek az általánosítása az
Az x két korábban kapott értéke, amelyek közül az egyik az aranymetszés volt, a mátrix sajátértékei. Ezért a zárt képlet levezetésének másik módja a mátrixegyenlet és a lineáris algebra használata.
Akkor miért hasznos ez a kifejezés? Az a tény, hogy a hatványozás logaritmikus időben is elvégezhető. Ez négyzetre emeléssel történik. A lényeg az
Ahol az első kifejezést páros A-ra használjuk, a másodikat páratlanra. Már csak a mátrixok szorzásának megszervezése van hátra, és minden készen áll. Kiderül a következő kód. Megszerveztem a pow rekurzív megvalósítását, mert könnyebben érthető. Lásd iteratív verziót itt.
Def pow(x, n, I, mult): """ Az x-et n hatványára adja vissza. Feltételezi, hogy I az az azonosságmátrix, amely mult-tal szoroz, és n pozitív egész szám """, ha n == 0: I visszatérés elif n == 1: return x else: y = pow(x, n // 2, I, mult) y = mult(y, y) if n % 2: y = mult(x, y) return y def identitásmátrix (n): """Egy n x n azonossági mátrixot ad vissza""" r = lista(tartomány(n)) return [ for j in r] def matrix_multiply(A, B): BT = lista(zip(*B) ) return [ for A row_a in A] def fib(n): F = pow([, ], n, Identitásmátrix(2), Matrix_multiply) return F
Jó:
Rögzített memóriaméret, logaritmikus idő
Rossz:
A kód bonyolultabb
Gonosz:
Mátrixokkal kell dolgozni, bár nem olyan rosszak
N=10**6
Számítsa ki a fib_mátrixot: fib(n) összesen 208988 számjegyből áll, a számítás 0,24993 másodpercet vett igénybe.
A fib_dynamic számítása: fib(n) összesen 208988 számjegyből áll, a számítás 11,83377 másodpercet vett igénybe.
Számoljuk meg az n hosszúságú utak számát A-tól B-ig. Például n = 1 esetén egy utunk van, 1. n = 2 esetén ismét egy út van, 01. n = 3 esetén két út van , 001 és 101 Egész egyszerűen kimutatható, hogy az n hosszúságú utak száma A-tól B-ig pontosan F n . Miután felírtuk a gráf szomszédsági mátrixát, ugyanazt a mátrixot kapjuk, amelyet fentebb leírtunk. A gráfelméletből jól ismert eredmény, hogy egy adott A szomszédsági mátrix esetén az A n-beli előfordulások a gráf n hosszúságú utak száma (a Good Will Hunting című filmben említett problémák egyike).
Miért vannak ilyen jelölések a széleken? Kiderült, hogy ha figyelembe veszünk egy végtelen szimbólumsorozatot egy végtelen mindkét irányú útvonalsorozaton egy gráfon, akkor valami „véges típusú részeltolásnak” nevezett dolgot kapunk, amely a szimbolikus dinamika rendszerének egy típusa. Pontosabban, ez a véges típusú részeltolás „aranymetszés-eltolás” néven ismert, és a „tiltott szavak” halmaza adja meg (11). Más szavakkal, olyan bináris sorozatokat fogunk kapni, amelyek mindkét irányban végtelenek, és nem lesz pár egymás mellett. Ennek a dinamikus rendszernek a topológiai entrópiája egyenlő a ϕ aranymetszővel. Érdekes, hogy ez a szám periodikusan megjelenik a matematika különböző területein.
A Fibonacci-szekvencia, amelyet a Da Vinci-kód című film és könyv tett híressé, egy Pisai Leonardo olasz matematikus, ismertebb Fibonacci álnéven, a tizenharmadik században levezetett számsora. A tudós követői észrevették, hogy a képlet, amelyre ez a számsor vonatkozik, a körülöttünk lévő világban tükröződik, és más matematikai felfedezéseket visszhangoz, ezáltal megnyitja előttünk az univerzum titkait. Ebben a cikkben elmagyarázzuk, mi a Fibonacci-szekvencia, megfontolunk példákat arra, hogy ez a minta hogyan jelenik meg a természetben, és összehasonlítjuk más matematikai elméletekkel.
A Fibonacci sorozat egy matematikai sorozat, amelynek minden eleme egyenlő az előző kettő összegével. Jelöljük a sorozat egy bizonyos tagját x n-ként. Így a teljes sorozatra érvényes képletet kapunk: x n + 2 \u003d x n + x n + 1. Ebben az esetben a sorrend a következőképpen néz ki: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. A következő szám 55 lesz, mivel 21 és 34 összege 55. És így tovább ugyanazon elv szerint.
Ha megnézzük a növényt, különösen a levelek koronáját, észrevesszük, hogy spirálisan virágoznak. A szomszédos levelek között szögek alakulnak ki, amelyek viszont a helyes matematikai Fibonacci-sorozatot alkotják. Ennek a tulajdonságnak köszönhetően minden egyes fán növekvő levél maximális mennyiségű napfényt és hőt kap.
Egy híres matematikus találós kérdés formájában mutatta be elméletét. Ez így hangzik. Zárt térbe helyezhet egy pár nyulat, hogy megtudja, hány pár nyúl születik egy év alatt. Tekintettel ezeknek az állatoknak a természetére, arra a tényre, hogy minden hónapban egy pár képes új párt létrehozni, és két hónapos koruk után szaporodásra készen áll, ennek eredményeként megkapta híres számsorát: 1, 1, 2, 3, 5, 8 , 13, 21, 34, 55, 89, 144 - ami az új nyúlpárok számát mutatja minden hónapban.
Ennek a sorozatnak számos matematikai árnyalata van, amelyeket figyelembe kell venni. Ő lassabban és lassabban (aszimptotikusan) közeledve egy bizonyos arányos viszonyra hajlik. De ez irracionális. Más szóval, ez egy olyan szám, amelynek a tört részében megjósolhatatlan és végtelen decimális számsor van. Például a sorozat bármely elemének aránya 1,618 körül mozog, hol meghaladva, hol elérve. A következő analógia szerint megközelíti a 0,618-at. Ami fordítottan arányos az 1,618 számmal. Ha az elemeket egyre osztjuk, 2,618-at és 0,382-t kapunk. Mint már megértette, ezek fordítottan arányosak is. Az így kapott számokat Fibonacci-arányoknak nevezzük. Most magyarázzuk el, miért végeztük el ezeket a számításokat.
Bizonyos kritériumok szerint megkülönböztetünk minden körülöttünk lévő tárgyat. Az egyik a forma. Van, amelyik jobban vonz minket, van, amelyik kevésbé, és van, amelyik egyáltalán nem szereti. Észrevették, hogy a szimmetrikus és arányos tárgyat sokkal könnyebben érzékeli az ember, és a harmónia és a szépség érzetét kelti. Egy teljes kép mindig különböző méretű részeket tartalmaz, amelyek bizonyos arányban vannak egymással. Ebből következik a válasz arra a kérdésre, hogy mit nevezünk aranyaránynak. Ez a fogalom az egész és a részek arányának tökéletesítését jelenti a természetben, a tudományban, a művészetben stb. Matematikai szempontból nézzük meg a következő példát. Vegyünk egy tetszőleges hosszúságú szakaszt, és osszuk két részre úgy, hogy a kisebb rész a nagyobbhoz legyen viszonyítva, mint az összeg (a teljes szakasz hossza) a nagyobbhoz. Vegyünk tehát egy vágást Val vel egy méretre. része A 0,618 lesz, a második rész b, mint kiderült, egyenlő 0,382-vel. Így megfigyeljük az Aranymetszés állapotát. Szegmens arány c Nak nek a egyenlő: 1,618. És a részek viszonya cÉs b- 2,618. Megkapjuk a már ismert Fibonacci-együtthatókat. Az arany háromszög, az arany téglalap és az arany téglalap ugyanazon elv szerint épül fel. Azt is érdemes megjegyezni, hogy az emberi testrészek arányos aránya közel áll az Aranyarányhoz.
Próbáljuk meg ötvözni az Aranymetszet elméletét és az olasz matematikus jól ismert sorozatát. Kezdjük két első méretű négyzettel. Ezután a tetejére tegyünk egy másik méretű négyzetet. Rajzoljunk ugyanahhoz az ábrához, amelynek oldalhossza megegyezik az előző két oldal összegével. Hasonlóképpen rajzolunk egy ötödik méretű négyzetet. És így folytathatod a végtelenségig, amíg meg nem unod. A lényeg az, hogy minden következő négyzet oldalának mérete megegyezzen az előző kettő oldalainak összegével. Olyan sokszögek sorozatát kapjuk, amelyek oldalhossza Fibonacci-szám. Ezeket az alakzatokat Fibonacci-téglalapoknak nevezzük. Húzzunk egy sima vonalat sokszögeink sarkain, és érjük el... Archimedes spirálja! Ennek a számnak a lépésének növekedése, mint tudod, mindig egyenletes. Ha bekapcsolja a fantáziát, akkor a kapott mintát egy kagylóhéjhoz lehet társítani. Ebből arra következtethetünk, hogy a Fibonacci-sorrend a környező világ elemeinek arányos, harmonikus arányainak alapja.
Ha alaposan megnézzük, akkor az embert körülvevő sok ismerős természeti elemben nyomon követhető Arkhimédész spirálja (hol kifejezetten, de valahol burkoltan), és ennek következtében a Fibonacci-elv. Például ugyanaz a kagylóhéj, a közönséges brokkoli virágzata, egy napraforgó virág, egy tűlevelű növény kúpja és hasonlók. Ha tovább nézünk, a Fibonacci sorozatot végtelen galaxisokban fogjuk látni. A természettől ihletett és annak formáit átvevő ember is létrehoz olyan tárgyakat, amelyekben a fent említett sorozatok nyomon követhetők. Ideje emlékezni az Aranymetszetre. A Fibonacci-mintával együtt ennek az elméletnek az alapelvei is nyomon követhetők. Létezik egy olyan változat, amely szerint a Fibonacci-sorozat a természet egyfajta próbája, hogy alkalmazkodjon az Aranyarány tökéletesebb és alapvetőbb logaritmikus sorozatához, amely szinte azonos, de nincs kezdete és végtelen. A természet mintázata olyan, hogy saját kiindulóponttal kell rendelkeznie, amelyre építkezve újat alkothat. A Fibonacci-sorozat első elemeinek aránya távol áll az Aranymetszés elveitől. Azonban minél tovább folytatjuk, ez az eltérés annál inkább kisimul. Egy sorozat meghatározásához ismernie kell annak három egymást követő elemét. A Golden sorozathoz kettő is elég. Mivel ez egyszerre számtani és geometriai sorozat.
A fentiek alapján mégis logikus kérdéseket tehet fel: "Honnan jöttek ezek a számok? Ki ez az egész világ eszközének szerzője, aki megpróbálta ideálissá tenni? Mindig minden úgy volt, ahogy akarta? Ha igen? , miért történt a hiba? Mi lesz ezután?" Ha az egyik kérdésre megtalálod a választ, megkapod a következőt. Oldja meg – megjelenik még kettő. Ha megoldod őket, kapsz még hármat. Miután foglalkozott velük, öt megoldatlant kap. Aztán nyolc, majd tizenhárom, huszonegy, harmincnégy, ötvenöt...
