Договор страхования представляет собой двустороннюю сделку, согласно которой страхователь уплачивает страховой взнос, а страховщик обязуется выплатить страховую сумму при наступлении указанных в договоре событий. Страховая премия - цена этой сделки, и с точки зрения определения ее величины необходимо подчеркнуть следующее: она уплачивается в начале договора страхования, а выплата страховой суммы, как правило, происходит через некоторое время (если вообще имеет место). События, в случае наступления которых страховщик обещает выплатить страховую сумму, могут носить только случайный характер.
Величина премии должна быть достаточной, чтобы:
Ситуация, когда оплата услуги производится заранее, до ее предоставления, представляет собой обратный («перевернутый») экономический цикл. Такой порядок действий имеет место в страховании. Обратный экономический цикл в страховании существенно затрудняет расчет страховых премий и служит причиной появления математических резервов.
Когда товар изготавливается на заказ и его оплата осуществляется заранее, то производитель может достаточно точно рассчитать себестоимость товара и установить цену, гарантирующую безубыточность подобной операции. Отклонения в себестоимости изделия могут произойти только в результате внезапного изменения цен на сырье и комплектующие. В стабильной экономике случаи резкого изменения цен встречаются не часто, а возможные небольшие отклонения можно учесть при формировании цены или при согласовании заказа. Кроме того, в подобных сделках оговаривается конкретное время, когда товар должен быть поставлен заказчику. Иными словами, степень неопределенности относительно себестоимости товара и сроков доставки мала, и, следовательно, при расчете цены можно оперировать детерминированными величинами.
Совсем другая ситуация складывается в страховании. Чтобы договор мог считаться договором страхования, необходимо присутствие в нем элемента случайности. В результате страховщик в момент заключения договора, как правило, не знает, произойдет ли страховой случай по данному договору вообще, и если произойдет, то когда именно в течение срока страхования, и в каком размере наступит ущерб. Элемент случайности должен существовать как для страхователя, так и для страховщика.
Любые действия страхователя или страховщика, приводящие к исчезновению из договора страхования элемента случайности (сговор между страхователем и страховщиком, действия страхователя, направленные на наступление страхового случая, и т. д.) противоречат основным принципам страхования.
При расчетах страховых премий следует исходить из предположения случайности факта наступления страхового случая и (или) величины ущерба и их независимости от воли страхователя и страховщика.
На практике в договоре страхования могут присутствовать следующие случайные факторы:
В итоге страховщик в момент заключения договора страхования не знает ни реальной «себестоимости» услуги, ни точного момента ее предоставления. Степень неопределенности очень велика, и добиться равновесной цены в пределах одной сделки невозможно. Необходимо иметь совокупность похожих договоров страхования. Только в этом случае при расчете премий можно использовать средние значения и достичь финансового равновесия в пределах всей совокупности. Чем больше объем совокупности, тем точнее определяются условия финансового равновесия.
Таким образом, при расчете премий необходимо оценивать случайные явления количественно, что требует применения особых подходов, основанных на положениях теории вероятностей и математической статистики. Кроме того, в страховании жизни приходится использовать методы долгосрочных финансовых исчислений и элементы демографической статистики. Указанные особенности позволили выделить совокупность приемов и методов, используемых при вычислении страховых премий, в отдельную отрасль математики - теорию риска и теорию актуарных расчетов.
Исторически понятие «актуарные расчеты » использовалось только для определения совокупности методов исчисления тарифов и резервов по страхованию жизни. Однако в последнее время термин все чаще распространяется и на расчеты по другим видам страхования.
Согласно теории риска величина выплаты по конкретному договору страхования представляет собой случайную величину. Следовательно, сумма выплат по всем договорам также будет величиной случайной: она может принять любое значение из диапазона от нуля до максимально возможной суммы выплат, равной совокупной страховой сумме по всем договорам. Если страховщик хочет обеспечить 100%-ную гарантию того, что сумма нетто-премий превысит сумму выплат, он должен сформировать страховой фонд в размере совокупной страховой суммы (в этом случае нетто-премия по каждому договору равна страховой сумме). В результате страхователь с учетом нагрузки должен был бы заплатить больше, чем может получить при наступлении страхового случая. Разумеется, такие условия неприемлемы, поэтому при расчете страховых премий страховщики вынуждены принимать гарантию безопасности меньше 100%, хотя и достаточно близкую к ней. На практике величина гарантии безопасности колеблется в пределах от 85 до 99,9%.
Исходное неравенство для определения величины нетто-премий можно записать следующим образом:
Вероятность {Сумма выплат < Сумма нетто-премий} ≥ γ, (3.13)
Где γ - заданная страховщиком величина гарантии безопасности.
Сумма выплат представляет собой сумму отдельных случайных величин - выплат по договорам страхования. Возможность наступления страхового случая по одному договору не зависит, за редким исключением, от выплат по другим договорам. Иными словами, мы имеем дело с независимыми случайными величинами. Согласно центральной предельной теореме сумма большого числа независимых случайных величин при соблюдении определенных условий распределена по нормальному закону (распределения Гаусса). На основе характеристик каждой случайной величины теория вероятностей позволяет оценить параметры распределения их суммы. Зная закон распределения и его параметры, можно решить исходное неравенство и найти необходимую величину страхового фонда. Величина нетто-премии определяется исходя из требуемого размера фонда.
Выплаты осуществляются из страхового фонда, формируемого из нетто-премий. Следовательно, величина нетто-премий должна отражать риск, который представляет собой данный договор для страховщика. Количественно риск оценивается через вероятную величину выплаты (от нуля до максимально возможной выплаты по данному договору). Максимально возможная выплата по определению равна страховой сумме.
Если по договору страхования предусмотрена ответственность страховщика на случай наступления разного рода событий, т. е. одновременно предоставляются несколько видов гарантий, то нетто-премия по такому договору будет определяться как сумма нетто-премий по всем включенным видам гарантий.
Ожидаемую величину выплаты, а следовательно, и нетто-премию, можно выразить как произведение страховой суммы на коэффициент, отражающий степень риска страховщика. Он называется нетто-тарифом, или нетто-ставкой.
На размер нетто-ставки влияют:
Чаще всего нетто-ставка выражается в процентах от страховой суммы либо в рублях со 100 руб. страховой суммы.
Например: Т n = 10 руб. со 100 руб. страховой суммы, S = 100 000 руб., следовательно:
P n = 10 × (100 000: 100) = 10 000 руб.
Если нетто-ставка выражена в процентах, то формулу для расчета нетто-премии можно записать следующим образом:
| Р n = S × T n | (3.14) |
где Р n - нетто-премия, руб.;
S - страховая сумма, руб.;
T n - нетто-тариф, %.
Части страховой премии, уплачиваемые поэтапно, называются страховыми взносами, поэтому часто страховую премию отождествляют со страховыми взносами, или страховыми платежами.
Величина страховой суммы определяется соглашением страхователя со страховщиком. При страховании имущества или предпринимательского риска, страховая сумма не должна превышать их действительной стоимости (страховой стоимости). В договорах личного страхования и договорах страхования гражданской ответственности при добровольном страховании страховая сумма определяется сторонами по их усмотрению. В случае обязательного страхования страховая сумма устанавливается законом.
Нетто-премия представляет собой основную часть брутто-премии. По аналогии с ней брутто-премию тоже удобно представлять как произведение страховой суммы на страховой тариф, или тарифную ставку. Тарифная ставка, определяющая величину всего страхового взноса, называется брутто-ставкой и представляет собой платеж со 100 руб. страховой суммы или процентную ставку от страховой суммы:
| Р b = S × T b | (3.15) |
где Р b - страховая брутто-премия, руб.;
Т b - брутто-ставка, %;
S - страховая сумма, руб.
Брутто-ставка имеет ту же структуру, что и страховая премия. Она состоит из уже упомянутой нетто-ставки, которая определяет величину нетто-премии, и нагрузки, отражающей долю расходов страховщика в страховой премии.
Итак, показано, что нетто-премия, обеспечивающая безубыточность страхования, должна быть выше рисковой премии, рассчитанной на основе принципа эквивалентности обязательств сторон. Разность между ними называется рисковой надбавкой, а отношение этой разности к рисковой премии - относительной рисковой надбавкой. Рассмотрим процедуру формирования нетто-премии в договорах с распределенным ущербом.
В страховании принято оперировать специальной денежной суммой - единицей страховой суммы (е.с.с), зависящей от валюты страны, например, 1 е.с.с. = 100 руб.
Рассмотрим пример. Индивидуальный иск принимает три значения: 0; 1; 4 е.с.с. с вероятностями 0,9965, 0,0030, 0,0005 соответственно. Найти нетто-премию.
Среднее значение и дисперсия индивидуального иска:
Тогда условия обеспечения 95%-ой надежности (вероятности выживания) с использованием нормальной аппроксимации получим: используя рисковую премию и учитывая число договоров; найдем нетто-премию:
Тогда относительная надбавка равна:
Итак, рисковая премия равна 0,0050; рисковая надбавка равна 0,0017; нетто-премия равна 0,0067; брутто-премия (при) составит: 0,0067/0,88=0,76, это превысит рисковую премию в 1,5 раза.
Продолжим рассматривать вышеизложенную задачу (о рисковой надбавке).
Напомним: надо исследовать процесс:
Собранные нетто-премии обеспечивают возможность выполнить свои обязательства по выплате возмещений, если число страховых случаев не превысит 110. Для надежности 96% (если то) необходимо иметь возможность оплатить случаи до 117-го включительно. Отметим, что 117-ый случай либо произойдет, либо нет, поэтому необходимо округлить 116,6 до ближайшего целого большего числа. Надо обеспечить возможность выплаты страховой суммы по 117 случаям. Действительная вероятность разорения при этом составит:
Надежность несколько выше, чем требует Страхнадзор.
Если на рынке установилась средняя относительная рисковая надбавка 10%, то произвольно повысит её до 16,6% (или до 17%) страховщик не может из-за конкуренции. Поэтому он вынужден для повышения своей надежности либо вкладывать свои средства (т.е. капитал) - создавать начальный резерв, либо прибегнуть к перестрахованию.
Рассмотрим первую возможность. Итак, страховщику не достает средств для выплаты 7 страховых случаев, т.е. ему нужен капитал в размере 7 страховых возмещений. Например, если страховая сумма равна 500, то капитал, при котором гарантируется заданная надежность, равен а не
Анализируем вторую возможность. Предположим, что на перестрахование передаются случаи от 111-го до 117-го включительно. Это означает, что если число случаев превысит 117, то перестраховщик оплачивает указанные случаи, а все следующие возмещает цедент. Поэтому будем использовать локальную теорему Лапласа (так как размер выплат фиксирован) и найдем вероятности:
Например,
Так получены вероятности: 0,0021; 0,0019; 0,0016; 0,0014; 0,0012; 0,0010; 0,0008. Вероятность придется искать по интегральной теореме Лапласа:
Тогда математическое ожидание выплат перестраховщика равно:
Это и есть рисковая премия в перестраховочном договоре.
Если известна относительная надбавка у перестраховщика, то можно найти нетто-премию в этом договоре. Например, тогда: (Около 2/3 одной страховой суммы.) Следовательно, цедент имеет альтернативу: либо держать резерв в 7 страховых сумм, либо безвозвратно заплатить перестраховщику 2/3 одной страховой суммы. Если цедент может инвестировать свои временно свободные средства под процент, больший, чем 0,654/7,0=9,4%, то перестрахование может быть оплачено за счет прибыли.
Если у страховщика своих средств для резерва нет (или он считает целесообразным пустить свои средства в оборот), заключается договор о перестраховании. Распределим зоны ответственности.
При страховщик выплачивает возмещение за счет собранных нетто-премий. При ответственность делится между страховщиком и перестраховщиком. Первый выплачивает фиксированное число возмещений: , а второй - все остальное: . Наконец, при риск не обеспечен, это и составляет предпринимательский риск страховщика. (Страховщик считает, что в его портфеле не может произойти более 117 случаев. Поэтому он не принимает мер на случай этой ситуации. Он не создает резерв и не вносит в перестраховочный договор условие выплаты перестраховщиком возмещения в 118-м страховом случае. Если произойдет 118-й страховой случай, перестраховщик оплатит лишь 7 случаев, возникает техническое разорение цедента).
Отметим, что левая граница ответственности перестраховщика может быть сдвинута. За перестрахование надо платить, своих средств у страховщика нет, поэтому он пытается расплатиться деньгами своих клиентов. (В принципе, страховщик всегда использует деньги клиентов для решения возникающих проблем. Здесь имеется в виду собранная в этом году единовременная суммарная нетто-премия).
Он собрал взносов на сумму: , а средние ожидаемые выплаты составляют, поэтому ожидаемая прибыль (до перестрахования) составит 5000. Страховщик делится ожидаемой прибылью с перестраховщиком для повышения своей надежности. Но это означает, что собранных средств недостаточно для оплаты возмещения, по крайней мере, 110-го случая.
Весь риск X можно разбить на три части: Y - риск страховщика, Z - риск перестраховщика, W - необеспеченный риск. Очевидно, X=Y+Z+W , тогда M(X)=M(Y)+M(Z)+M(W). При расчете дисперсий следует учесть ковариацию. Для анализа дисперсии (и процесса в целом) надо выбрать аппроксимацию. Поскольку, то применить закон Пуассона нельзя, но допустима нормальная аппроксимация.
Однако надо быть готовым к появлению неточностей, вызванных изменением закона распределения. Например, потерей «хвостов» нормального распределения, невозможностью принять отрицательные значения, погрешностями при замене дискретного распределения непрерывными, различием результатов при использовании локальной теоремы Лапласа и интегральной теоремы Лапласа и т.д. (Кстати, если ущерб фиксирован, т.е. общий ущерб в портфеле кратен числу страховых случаев, то локальная теорема предпочтительнее!). Наконец, есть и вычислительные погрешности.
Это обстоятельство иллюстрирует сложность актуарных задач. В учебном курсе демонстрируется лишь принципиальный подход. На цивилизованном страховом рынке в условиях жесткой конкуренции выигрывает тот, кто считает точнее (!).
Итак, надо найти M(X), M(Y), M(Z) (и возможно, M(W)).
Для нормального закона распределения плотность
выполняется условие:
тогда понятно, что при сужении интервала интегрирования до (0,n) интеграл от положительной функции уменьшится, поэтому математическое ожидание всего риска X будет несколько меньше, чем
Обратите внимание!
Структура брутто-премии содержит два элемента - нетто- премию и нагрузку.
Соотношение нетто-премии и нагрузки может быть различным и зависит от вида и объема страхования, а также от уровня затрат на ведение дела. В настоящее время доля нетто-премии по различным видам страхования колеблется в промежутке 70-85%.
Особая значимость структурного элемента брутто-премии, предназначенного для формирования резерва предупредительных (превентивных) мероприятий, обусловливает другой вариант структуры брутто-премии (см. рис. 3.5).
БРУТТО-ПРЕМИЯ
Рис. 3.5. Структура брутто-премии, выделяющая резерв предупредительных мероприятий
В общем случае нетто-премия может включать следующие структурные элементы: рисковый взнос, рисковую (гарантийную) надбавку и накопительный (сберегательный) взнос (см. рис. 3.6).
НЕТТО-ПРЕМИЯ
Рис. 3.6. Возможная структура нетто-премии
Рисковый взнос предназначен для покрытия риска по всем видам страхования, т. е. он используется для страховых выплат при наступлении страхового случая. В структуре нетто-премии он присутствует всегда.
Накопительный (сберегательный) взнос предназначен для накопления суммы, выплачиваемой по условиям долгосрочного договора страхования жизни в случае дожития застрахованного до определенной даты (по риску дожития). Накопительный взнос должен инвестироваться с целью получения дохода. Он является структурным элементом нетто-премии долгосрочных договоров страхования жизни, например при смешанном страховании жизни, страховании пенсий.
Рисковая (гарантийная, или стабилизационная) надбавка предназначена для компенсации возможного превышения фактических выплат над расчетными, учтенными в виде рискового взноса. В структуру нетто-премии может не включаться - это зависит от выбранной страховщиком стратегии управления. Если он поставил перед собой цель завоевать страховой рынок за счет цен, более низких по сравнению с другими страховщиками, этот элемент (рисковая надбавка) не включается в структуру нетто-премии. Если же страховщик желает укрепить свою финансовую устойчивость, этот элемент включается в нетто- премию.
Обратите внимание! --- -
В структуре нетто-премии рисковых видов страхования всегда присутствует рисковый взнос и может присутствовать рисковая (гарантийная) надбавка.
Размер рискового взноса в нетто-премии зависит от страховой суммы и вероятности наступления страхового случая.
Размер рисковой надбавки, закладываемой в структуру страхового взноса, зависит от принятой вероятности превышения фактических выплат над расчетными. Чем меньше заданная вероятность превышения фактических выплат над расчетными, тем выше размер рисковой надбавки. Соотношение же между рисковым взносом и рисковой надбавкой для разных видов страхования может быть различным.
Вниманию страхователя! ^
Уплата страхового взноса означает возможность получения страховых выплат.
Выполнение обязательств страховщика ггеред страхователями по страховым выплатам основано на соблюдении принципа объединения экономического риска, в соответствии с которым все, что собрано со страхователей для выполнения страховых обязательств, аккумулируется в страховых фондах. Источниками разных страховых фондов, предназначенных для выплат по условиям договора страхования, являются элементы иетто-премии - рисковый взнос, рисковая надбавка и накопительный взнос.
Как уже отмечалось, нагрузка представляет собой часть брутто- премии, предназначенную для покрытия расходов на ведение дела и для получения прибыли от страховых операций (см. рис. 3.7).
Первый структурный элемент нагрузки - затраты на ведение дела - относится к себестоимости страховых услуг; второй элемент является плановой прибылью страховой организации от страховых операций.
Традиционные, Специфические
характерные для страхования,
для любого вида в том числе:
деятельности комиссионные вознаграждения, на проведение экспертизы, изготовление полиса и т. п.
Затраты на ведение дела делятся на традиционные, которые имеют место в любом виде бизнеса, и специфические, характерные именно для страхового дела. К специфическим видам издержек относятся комиссионные вознаграждения агентам и брокерам за посредническую деятельность в распространении страховых продуктов, издержки, связанные, например, с проведением начальной экспертизы (при заключении договора), а также экспертизы, проводимой с наступлением страхового случая, и т. п.
Обратите внимание!
Расходы на проведение предупредительных (превентивных) мероприятий могут быть:
а) выделены в структуре брутто-премии отдельно - в этом случае они не входят в состав специфических затрат на ведение дела;
б) не выделены в структуре брутто-премии отдельно - в этом случае они входят в состав специфических затрат на ведение дела.
Опыт экономически развитых стран показывает, что доля расходов на проведение предупредительных мероприятий может составлять 4-6% брутто-премии, а доля комиссионных вознаграждений может доходить до 20% брутто-премии.
Структура страхового взноса (страховой премии) отражает целевое использование его отдельных частей.
Обратите внимание!
Структура страхового взноса отражает целевое назначение каждого из ее элементов и связана со структурой финансов страховой организации.
Согласно теории риска, величина выплаты по конкретному договору страхования является случайной величиной. Следовательно, сумма выплат по всем договорам также будет являться случайной величиной. То есть она может принимать любое значение от нуля до максимально возможной величины выплат, равной совокупной страховой сумме по всем договорам.
Для обеспечения 100% гарантии страховых выплат, страховщик должен сформировать страховой фонд в размере совокупной страховой суммы. В этом случае нетто-премия по каждому договору будет равна страховой сумме. Таким образом, с учетом нагрузки страхователь должен будет заплатить больше, чем получит при наступлении страхового случая. Поэтому при расчете страховых премий страховщики вынуждены принимать гарантию безопасности меньше 100%. На практике ее величина находится в пределах от 85 до 99,9%.
Исходное неравенство для определения величины нетто-премий имеет вид:
вероятность {сумма выплат < величина страхового фонда} ³ g,
где γ - величина гарантии безопасности.
Величина нетто-премий определяется исходя из требуемого размера страхового фонда, который формируется за счет них.
Величина нетто-премий отражает тот риск, который представляет собой данный договор для страховщика. Количественно этот риск оценивается через вероятную величину выплаты, причем максимально возможная выплата, по определению, равна страховой сумме.
Ожидаемую величину выплаты, и, следовательно, нетто-премию можно выразить:
Нетто-премия = Страховая сумма * Нетто-ставка/100,
Нетто-ставка (нетто-тариф) отражает степень риска страховщика и выражается либо в % от страховой суммы, либо в рублях со 100 рублей страховой суммы. На размер нетто-ставки влияют два фактора:
Вероятность наступления страхового случая по данному договору;
Ожидаемая тяжесть страхового случая, которая определяется отношением ожидаемой величины выплаты по страховому случаю к страховой сумме по договору.
Величина страховой суммы выбирается страхователем. Верхним ее пределом является стоимость страхуемого имущества.
Нетто-премия представляет собой основную часть брутто-премии. Брутто-премию можно представить как произведение страховой суммы на страховой тариф или тарифную ставку. Тарифная ставка, которая определяет величину страхового взноса, называется брутто-ставкой и представляет собой платеж со 100 рублей страховой суммы или % ставку от страховой суммы:
Страховая премия = Страховая сумма * Брутто-ставка/100,
Брутто-ставка состоит из нетто-ставки и нагрузки. Доля нагрузки в брутто-ставке обозначается f и выражается в % или долях единицы. Общая формула расчета брутто-ставки имеет вид:
f
Если доля нагрузки выражена в %, то:
Брутто-ставка = Нетто-ставка/1- f *100
Данная формула для определения брутто-ставки является общей для всех видов страхования. Однако методы расчета входящей в эту формулу нетто-ставки различаются по видам страхования.
План практического занятия:
1. Состав и структура тарифной ставки.
2. Общие принципы расчета нетто - и брутто - ставки.
Вопросы, обсуждаемые на практическом занятии:
1. Цена страховой услуги и факторы, влияющие на ее величину.
2. Структура страховой премии.
3. Методология обоснования нетто – премии по риску. Уровень гарантии безопасности.
4. Методические основы расчет брутто – ставки и брутто- премии.
