. «мерная палка»: Maß «мера», Stab «палка») - в общем случае отношение двух линейных размеров. Во многих областях практического применения масштабом называют отношение размера изображения к размеру изображаемого объекта.
Понятие наиболее распространено в геодезии, картографии и проектировании - отношение натуральной величины объекта к величине его изображения. не в состоянии изобразить большие объекты, например дом, в натуральную величину,и поэтому при изображении большого объекта в рисунке, чертеже, макете и так далее, человек уменьшает величину объекта в несколько раз: в два, пять, десять, сто, тысяча и так далее раз. , показывающее во сколько раз уменьшен изображенный объект, есть масштаб. Масштаб применяется и при изображении микромира. Человек не может изобразить живую клетку, которую рассматривает в микроскоп, в натуральную величину и поэтому увеличивает величину ее изображения в несколько раз.Число, показывающее во сколько раз произведено увеличение или уменьшение реального явления при его изображении, определено как масштаб. /Борис Донской/
Масштабом называется отношение длины линии на плане или карте к соответствующей проекции этой линии на местности. Иными словами, в геодезии масштаб - это уменьшения горизонтального положения линий местности на карте.
Масштабы на картах и планах могут представлены численно или графически.
Численный масштаб записывают в виде , в числителе которой стоит единица, а в знаменателе - степень уменьшения проекции. Например, масштаб 1:5 000 показывает, что 1 см на плане соответствует 5 000 см (50 м) на местности.
Более крупным является тот масштаб, у которого знаменатель меньше. Например, масштаб 1:1 000 крупнее, чем масштаб 1:25 000.
Графические масштабы подразделяются на линейные и поперечные. Линейный масштаб - это графический масштаб в виде масштабной линейки, разделённой на равные части. Поперечный масштаб - это графический масштаб в виде номограммы, построение которой основано на пропорциональности отрезков параллельных прямых, пересекающих стороны угла.Поперечный масштаб применяют для более точных измерений длин линий на планах. Поперечным масштабом пользуются следующим образом: откладывают на нижней линии поперечного масштаба замер длины т.о., чтобы один конец (правый) был на целом делении ОМ, а левый заходил за 0. Если левая ножка попадает между десятыми делениями левого отрезка (от 0), то поднимаем обе ножки измерителя вверх, пока левая ножка не попадёт на пересечение к-либо трансвенсали и к-либо горизонтальной линии. При этом правая ножка измерителя должна находиться на этой же горизонтальной линии. Наименьшая ЦД=0,2мм, а точность 0,1.
Точность масштаба - это горизонтального проложения линии, соответствующий 0,1 мм на плане. Значение 0,1 мм для определения точности масштаба принято из-за того, что это минимальный отрезок, который человек может различить невооруженным глазом. Например, для масштаба 1:10 000 точность масштаба будет равна 1 м. В этом масштабе 1 см на плане соответствует 10 000 см (100 м) на местности, 1 мм - 1 000 см (10 м), 0,1 мм - 100 см (1 м).
При фотосъёмке под масштабом понимают отношение линейного размера изображения, полученного на фотоплёнке или светочувствительной матрице, к линейному размеру проекции соответствующей части сцены на плоскость, перпендикулярную к направлению на камеру.
Некоторые фотографы измеряют масштаб как отношение размеров объекта к размерам его изображения на бумаге, экране или ином носителе. Правильная методика определения масштаба зависит от контекста, в котором используется изображение.
Масштаб имеет важное значение при расчете глубины резко изображаемого пространства. Фотографам доступен очень широкий диапазон масштабов - от практически бесконечно малого (например, при съемке небесных тел) до очень крупного (без использования специальной оптики возможно получение масштабов порядка 10:1).
Под макрофотографией традиционно понимают съёмку в масштабе 1:1 или крупнее. Однако с широким распространением компактных цифровых фотоаппаратов этим термином стали также называть съёмку расположенных близко к объективу (как правило, ближе 50 см) мелких объектов. Связано это с необходимым изменением режима работы системы автофокуса в таких условиях, однако зрения классического определения макросъёмки такое толкование является неверным.
Для каждого вида масштабного (стендового) моделизма определены масштабные ряды, состоящие из нескольких масштабов разной степени уменьшения, причём для разных видов моделизма (авиамоделизм, судомоделизм, железнодорожный, автомобильный, военной техники) определены свои, исторически сложившиеся, масштабные ряды, которые обычно не пересекаются.
В операционных системах с разделением времени чрезвычайно важную роль играет предоставление отдельно взятым задачам так называемого "режима реального времени", при котором обработка внешних событий обеспечивается без дополнительных задержек и пропусков. Для этого употребляется также термин "реальный масштаб времени", однако это терминологическая условность, не имеющая к исходному значению слова "масштаб" никакого отношения.
Автор исследовательской работы:
Бетуганов Астемир
Руководитель проекта:
Шопагова Алла Сергеевна
МКОУ "СОШ №27" г. Нальчика
В представленной исследовательской работе по математике на тему "Масштаб и его применение" я постараюсь выяснить при каком масштабе будет удобно располагать объекты на листе А4. Работа над исследовательским проектом о масштабе поможет закрепить мне полученные знания по математике.
В ходе исследовательской работы по математике о масштабе и его применении я надеюсь, что масштабы которые я задам, позволят расположить мне объекты на альбомном листе А4.
Также, в практической части своей работы я рассмотрю и математически решу интересные задачи на расстояние и масштаб.
Введение
Основная часть
1. Определение масштаба.
2. Решение интересных задач на масштаб.
Выводы
Приложения.
Рисуя на бумаге изображение предметов, мы чаще всего вынуждены изменять их настоящие размеры: большие предметы приходится изображать в уменьшенном виде, а маленькие – увеличивать.
Участки земной поверхности изображают на бумаге в уменьшенном виде. Примером такого изображения служит любая карта, план. А маленькие детали изображают на чертежах в увеличенном виде.
Но чертеж, карта или план должны давать представление о настоящих размерах предметов. Поэтому на чертежах и картах делают специальную запись, показывающую отношение длины отрезка на карте или чертеже к его настоящей длине.
Тема моего исследовательского проекта по математике «Масштаб и его применение ».
Цель проекта: выяснить при каком масштабе будет удобно располагать объекты на листе А4.
Задачи проекта:
Гипотеза: выкройки наиболее эффективно чертить 1:10, планировку квартиры 1:100; паспорт дома 1:1000; карту города 1:10000; карту района 1:100000.
Ожидаемый результат: заданные мною масштабы, позволят расположить объекты на альбомном листе.
Оборудование:
линейка, карандаш, циркуль, калькулятор, карта.
лист А 4, линейка, карандаш.
Например: 1:1000 (одна тысячная) значит, все расстояния на местности уменьшены в тысячу раз. Чем больше число в знаменателе дроби, тем больше уменьшение и тем больше охват территории.
Посмотрим на карту. Вверху указан масштаб (1: 500 000). Говорят, что карта сделана в масштабе одна пятисоттысячная. Это значит, что 1 см на карте соответствует 500 000 см на местности. Значит, отрезок на карте в 1 см соответствует отрезку на местности в 5 км.
А если я возьму на карте отрезок длиной в 3 см, то на местности это будет отрезок длиной в 15 км.
Я скачал с интернета карту Кабардино-Балкарской Республики. Карта республики с масштабом 1:10000, то есть в 1 см 100 метров, а масштаб окрестностей 1:100000 в 1 см 1 километр. Я сразу нашёл по ней мое родное село.
Итак, масштаб (нем. Maßstab , букв. «мерная палка »: Maß «мера », Stab «палка ») - в общем, отношение двух линейных размеров.
Во многих областях практического применения масштабом называют отношение размера изображения к размеру изображаемого объекта .
Понятие масштаба наиболее распространено в геодезии, картографии и проектировании - отношение натуральной величины объекта к величине его изображения.
Человек не в состоянии изобразить большие объекты, например дом, в натуральную величину, и поэтому при изображении большого объекта в рисунке, чертеже, макете и так далее, человек уменьшает величину объекта в несколько раз: в два, пять, десять, сто, тысяча и так далее раз. Число показывающее, во сколько раз уменьшен изображенный объект, есть масштаб.
Масштаб применяется и при изображении микромира. Человек не может изобразить живую клетку, которую рассматривает в микроскоп, в натуральную величину и поэтому увеличивает величину ее изображения в несколько раз.
Число, показывающее во сколько раз, произведено увеличение или уменьшение реального явления при его изображении, определено как масштаб.
Некоторые фотографы измеряют масштаб как отношение размеров объекта к размерам его изображения на бумаге, экране или ином носителе.
Правильная методика определения масштаба зависит от контекста, в котором используется изображение.
Сравнил свои предположения, выдвинутые в моей гипотезе с надписями на выкройках, картах и технических планах дома и квартиры. Оказалось , что кое-где я ошибся в 10 и даже в 100 раз.
На самом деле, план квартиры обычно берут в масштабе 1:200; масштабы карт оказались точно такими же, как и в оригинале, но располагаются они аж на 6 альбомных листах!
Так что в который раз, я убеждаюсь, что прежде чем предполагать, нужно несколько раз пересчитать.
Таким образом , мы сформировали понятие масштаба, карты, чертежа, отрабатывали решение задач на вычисление длины отрезка на местности и на карте.
Задача 1. Расстояние между двумя городами равно 400 км. Найдите длину отрезка, соединяющего эти города на карте, выполненной в масштабе 1:5000000.
Решение:
400км = 400000м = 40000000см
40000000: 5000000 = 40: 5 = 8 (см)
Задача 2.
Расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга по прямой составляет примерно 635 км от центра до центра. По автотрассе протяженность маршрута 700 км.
Во сколько раз надо уменьшить это расстояние, чтобы его можно было изобразить на слайде в виде отрезка длиной в 14 см?
Решение:
700км = 700000м = 70000000см
70000000см: 14см = 5000000(раз)
Задача 3.
По физической карте России определите реальное расстояние между Москвой и Санкт-Петербургом.
М1: 20000000, если на карте расстояние равно 3 см.
Решение:
Задача 5.
На карте с масштабом 1: 150000 расстояние между деревней и станцией равно 2,8 см. Найти расстояние между ними на местности.
Решение:
2,8 см ∙ 150000 = 420000 см = 4200 м = 4,2 км.
Цель моей исследовательской работы по математике "Масштаб и его применение" достигнута, так как в ходе проекта я выяснил масштаб, в котором будет удобно располагать объекты на листе А4.
Также, в процессе исследовательского проекта по математике о применении масштаба я закрепил знания, полученные на уроках математики, а также подтвердил свою гипотезу. Все-таки выкройки наиболее эффективно чертить в масштабе 1:10, планировку квартиры 1:100; паспорт дома 1:1000; карту города 1:10000, а карту района в масштабе 1:100000.
В итоге работы я получил, что заданные мною масштабы позволяют расположить объекты на альбомном листе.
Конечным результатом топографо-геодезических работ являются чертежи земной поверхности, числовые данные для составления цифровых моделей местности и др. материал, представленный в упорядоченном виде. Чертежи могут быть составлены на бумажной основе, представлены в электронной форме или в виде компьютерной базы данных. Традиционными формами чертежей являются: карта, план, профиль .
При изображении на бумаге, т.е. на плоскости всей земной поверхности или значительных её участков невозможно избежать искажений изображения вследствие кривизны изображаемой поверхности, поскольку при любом способе проектирования на плоскость возникают искажения в длинах линий и углах между ними.
Уменьшенное искаженное за счёт влияния кривизны Земли, плоское изображение всей земной поверхности или значительной её части, построенное по определённым математическим законам, называется картой .
В зависимости от назначения карты при её создании выбирается определённая картографическая проекция, т.е. математический закон проектирования местности на плоскость.
Ортогональную проекцию небольших участков местности (до 20×20 км) на уровенную поверхность можно считать плоской, пренебрегая кривизной Земли. Уменьшенное изображение такой проекции на бумаге будет без искажений, вызванных кривизной Земли, и подобным участку местности.
Таким образом, уменьшенное, подобное изображение на плоскости горизонтального проложения сравнительно небольшого участка земной поверхности называется планом .
Наглядным изображением неровностей земной поверхности является профиль , т.е.уменьшенное изображение её вертикального разреза по выбранной линии .
На планах и картах могут изображаться ситуация и рельеф, либо только ситуация (от франц. Situation - местоположение).
Совокупность изображений на плане местных предметов естественного и искуственного происхождения (река, лес, кустарник, земельный участок, здание, улица и др.), называетсяситуацией местности .
Совокупность неровностей земной поверхности естественного происхождения называется рельефом местности.
Если на плане изображены только границы объектов ме стности, его называют контурным (рис. 3.1, а ). Если, кроме контуров, на план нанесен и рельеф, такой план называюттопографическим (рис. 3.1,б ).
Рис.3.1. Контурный (а) и топографический (б) планы.
Картой называют чертёж, на котором может быть изображена поверхность всей Земли или любой её части в обобщенном и уменьшенном виде.
Карты могут иметь различное назначение: сельскохозяйственные, кадастровые, экономические, политические и т.д. - это так называемые тематические или специальные карты, на них показывают контуры ситуации и специальную нагрузку. Карты на которых, кроме контуров ситуации, изображен рельеф земной поверхности, называют общегеографическими. Общегеографическая основа карты является каркасом для построения тематических карт.
При любых измерениях по планам и картам следует помнить, что масштаб плана во всех его точках одинаковый, а масштаб во всех точках карты, как правило, различен.
При составлении планов, карт, профилей результаты измерения линий на местности уменьшают в несколько сотен или тысяч раз.
Степень уменьшения горизонтальных проложений линий местности при изображении их на плане называется масштабом.
Под масштабом карты в общем случае понимается отношение длины линии на карте к её длине на поверхности относимости. В зависимости от картографической проекции изображения на карте в разных местах имеют различные по величине искажения, поэтому масштаб карты неодинаков. Для карт, составленных в мелком масштабе, обычно подписывается средний масштаб.
Масштаб, выраженный числом в виде простой дроби называется численным . У него числитель равен единице, а знаменатель круглое число, например, 1/500, 1/1000 или 1:500, 1:1000. Масштаб 1:500 показывает, что горизонтальное проложение линии местности уменьшено на плане в 500 раз и одной единице длины на плане, карте или профиле соответствует на местности 500 таких единиц, т.е. одному сантиметру на плане, карте или профиле соответствует 500 см или 5 м на местности.
Численный масштаб подписывают на планах, картах или профилях в их нижней части, сопровождая пояснительной надписью, например, «в 1 сантиметре 5 м», так как длины линий местности удобно выражать в метрах. Чтобы определить количество метров на местности в одном сантиметре плана (карты), надо у знаменателя численного масштаба отбросить два последних нуля, например, 1 см плана масштаба 1:2000 соответствует 20м на местности.
Чтобы на плане (карте) показать больше подробностей, их надо составлять в более крупном масштабе. Чем меньше знаменатель численного масштаба, тем масштаб крупнее, а масштаб с большим знаменателем считается мелким. К крупным масштабам относят: 1: 500, 1: 1000, 1: 2000, 1: 5000; к средним - 1:10 000, 1:25 000, 1:50 000; к мелким - 1: 100 000, 1: 200 000, 1: 500 000, 1: 1 000 000 и мельче.
Планы и карты в России создаются в принятых масштабах, образующих строго определенную систему, называемую масштабным рядом . Масштабный ряд установлен с таким расчетом, чтобы он удовлетворял всем условиям потребителей и имелась возможность легко переходить от одного масштаба к другому.
Зная численный масштаб, легко длины линий местности переводить в длины линий на плане (карте) и наоборот. Такой перевод сопряжен с вычислениями, поэтому, чтобы не производить таких вычислений, пользуются шкалой (номограммой) графически построенной. Такая шкала называется линейным масштабом (рис. 3.2).
Рис. 3.2. Численный и линейный масштабы.
Линейный масштаб представляет собой график в виде отрезка прямой горизонтальной линии, на которой последовательно отложены равные отрезки, называемые основанием масштаба. Основание масштаба соответствует целому числу десятков или сотен метров на местности. Для повышения точности измерений крайнее левое основание делится на более мелкие отрезки.
Началом счета является нуль (0) - общая точка первого и второго основания масштаба. Остальные отрезки подписывают в соответствии с величиной численного масштаба. Если основание масштаба равно 2 см, то такой линейный масштаб называется нормальным . На рис. 3.1 нормальный линейный масштаб построен для численного 1: 10000 (в 1 см - 100 м, а в 2 см - 200 м).
Измерения по линейному масштабу обычно производят циркулем-измерителем (рис.3.3), который перед работой должен быть хорошо отрегулирован. При измерении циркуль следует держать одной рукой, наклоняя его несколько от себя так, чтобы хорошо были видны одновременно оба острия иголок.
Рис. 3.3. Определение расстояний по линейному масштабу.
При измерении расстояний раствор циркуля устанавливают по точкам А и В на плане, а затем прикладывают циркуль к линейному масштабу так, чтобы его левая ножка пришлась слева от нуля, а правая стояла точно на одном из делений вправо от нуля. Определяемое расстояние будет равно сумме отсчетов по обоим концам иголок циркуля, т.е. 100 + 86 = 186м. При этом десятые доли мелких делений определяются «на глаз» .
При выполнении картометрических работ на планах (картах) основными элементами графического построения являются точки-наколы иглы циркуля и линии. Накол представляет собой кружок очень малого диаметра. Физиологическое свойство человеческого глаза таково, что при рассматривании с расстояния 25-30 см двух рядом расположенных точек (наколов) они сливаются в одну, если расстояние между ними меньше 0,1 мм (по исследованиям кафедры геодезии ГУЗа - 0,08 мм). Это связано с критическим углом зрения человека, равным 1¢. Величина 0,1 мм принята за предельную графическую точность измерения по карте, т.е. является такой минимальной величиной, которую можно видеть невооруженным глазом и ощущать при измерениях циркулем.
При выполнении съемочных работ мерой точности работы наряду с величиной 0,1 мм является соответствующее этой величине расстояние на местности, называемое предельной точностью масштаба. Это та максимальная точность, с которой может быть определено расстояние по данному плану (карте). При этом следует учитывать, что вследствие накопления неизбежных погрешностей в технологическом процессе изготовления плана (карты) практическая точность результата измерения расстояний по планам (картам) значительно грубее предельной графической точности и может достигать 1мм.
Предельную точность масштаба легко рассчитать, разделив знаменатель численного масштаба на 10 000. Например, точность масштаба 1:5 000 равна 0,5м. Знать величину точности масштаба необходимо при выборе масштаба съемки и при определении, какие объекты местности не следует снимать, так как они не изобразятся в данном масштабе.
Например, земельный участок размером 10x10 м на картах масштабов 1: 50 000, 1: 100 000 и 1: 200 000 изобразятся в виде точки, а при масштабах плана (карты) 1: 5000, 1: 10 000, 1: 25 000, будет иметь размеры соответственно 2,0x2,0 мм, 1,0x1,0мм, 0,4x0,4мм, т.е. чем больше знаменатель численного масштаба, тем детальность плана меньше и, наоборот, чем меньше знаменатель численного масштаба, тем детальность больше.
Для повышения точности измерения расстояний на плане (карте), чтобы не измерять величину отрезка «на глаз», используют шкалу поперечного масштаба, которую можно построить следующим образом.
Рис. 3.4. Нормальный поперечный масштаб.
На горизонтальной прямой КL (рис. 3.4) откладывают несколько раз основание масштаба, равное 2 см. Через полученные точки проводят линии, перпендикулярные к КL . Первое основание КС делят на десять равных частей. Крайние перпендикуляры КМ и LN делят на десять равных частей и через деления на перпендикулярах проводят линии, параллельные основаниюКL. Отрезок МВ также делят на 10 равных частей. При этом C соединяют с точкой А , а остальные наклонные линии, называемые трансверсалями , проводятся параллельно. В результате графических построений получают, так называемый, поперечный масштаб . Отрезок а 1 b 1 называется наименьшим делением поперечного масштаба.
Если число делений основания масштаба n , число делений на перпендикуляре m, то наименьшее деление поперечного масштаба а 1 b 1 будет равно:
а 1 b 1 = КС /nm . (3.1)
Пример . Если КС = 2 см, n = 10, m = 10, то а 1 b 1 = 2 см/10х10 = 0.02см,
что при масштабе 1:10 000 соответствует 2 м, а 2 b 2 - 4 м и т.д., АB - 20 м.
Так как основание поперечного масштаба выбирают равным 2 см, то практически значение всех его делений в метрах можно рассчитать для любого численного масштаба.
Поперечный масштаб обычно гравируется на специальных металлических линейках, называемых масштабными, а также на геодезическом транспортире.
На таких масштабных линейках обычно указываются порядковые номера малых и больших делений, поэтому для каждого конкретного масштаба плана необходимо предварительно определить какому значению в метрах соответствует наименьшее деление масштаба и другие деления.
Поперечным масштабом пользуются следующим образом. Пусть требуется отложить на плане (карте) масштаба 1:10000 линию длиной 246 м (рис. 3.3). При основании масштаба, равном 2 см, одно деление справа от нуля будет соответствовать 200 м, слева - 20 м. Наименьшее деление согласно формуле (3.1) - 2 м. Ставят правую ножку измерителя на деление с отметкой 200 (порядковый номер 1), а вторую ножку - влево от нуля на второе деление (т.к. одно деление соответствует 20 м), что будет соответствовать 240 м.
Затем переставив измеритель вверх так, чтобы левая ножка измерителя шла по наклонной линии (трансверсали), а правая - по вертикальной до третьей горизонтальной линии, на которой имеется отрезок а 3 в 3 соответствующий 6м и получают общую длину линии 246 м. Полученным раствором измерителя откладывают расстояние на плане (карте).
Для определения длины линии на плане, берут соответствующий раствор измерителя и прикладывают к поперечному масштабу так, чтобы правая его ножка совпала с делением справа от нуля, а вторая - находилась в пределах левого от нуля основания. Затем подсчитывают число метров. Если левая ножка измерителя не совпадает с делением на основании, то раствор измерителя передвигают вверх до совпадения её с трансверсалью, при этом обе ножки должны лежать на одной горизонтальной линии. После этого отсчитывают длину горизонтального проложения линии местности. Если длина линии превышает длину шкалы поперечного масштаба, то её измеряют или откладывают по частям.
С помощью нормального поперечного масштаба можно откладывать и измерять расстояния с точностью до 0,2 мм, что соответствует одной сотой основания. Если же положение ножек циркуля между горизонтальными линиями шкалы оценивать на глаз, то можно отсчитывать расстояния с точностью до 0,1мм.
Каждая карта имеет масштаб – число, которое показывает, сколько сантиметров на местности соответствует одному сантиметру на карте.
Масштаб карты обычно указан на ней. Запись 1: 100 000 000 означает, что если расстояние между двумя точками на карте равно 1 см, то расстояние между соответствующими точками её местности равно 100 000 000 см.
Может быть указан в численной форме в виде дроби – численный масштаб (например, 1: 200 000). А может быть обозначен в линейной форме: в виде простой линии или полосы, разделенной на единицы длины (обычно на километры или мили).
Чем крупнее масштаб карты, тем с более детально могут быть изображены на ней элементы ее содержания, и наоборот, чем мельче масштаб, тем более обширное пространство может быть показано на листе карты, но местность на ней изображается с меньшими подробностями.
Масштаб представляет собой дробь, в числителе которой единица. Чтобы определить, какой из масштабов крупнее и во сколько раз, вспомним правило сравнения дробей с одинаковыми числителями: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше знаменатель.
Отношение расстояния на карте (в сантиметрах) к соответствующему расстоянию на местности (в сантиметрах) равно масштабу карты.
Как же эти знания помогут нам при решении задач по математике?
Пример 1.
Рассмотрим две карты. Расстоянию в 900 км между пунктами А и В соответствует на одной карте расстояние в 3 см. Расстоянию в 1 500 км между пунктами С и D соответствует на другой карте расстояние в 5 см. Докажем, что масштабы карт одинаковы.
Решение.
Найдём масштаб каждой карты.
900 км = 90 000 000 см;
масштаб первой карты равен: 3: 90 000 000 = 1: 30 000 000.
1500 км = 150 000 000 см;
масштаб второй карты равен: 5: 150 000 000 = 1: 30 000 000.
Ответ. Масштабы карт одинаковы, т.е. равны 1: 30 000 000.
Пример 2.
Масштаб карты – 1: 1 000 000. Найдём расстояние между точками А и В на местности, если на карте
АВ = 3,42
см
?
Решение.
Составим уравнение: отношение АВ = 3,42 см на карте к неизвестному нам расстоянию х (в сантиметрах) равно отношению между теми же пунктами А и В на местности к масштабу карты:
3,42: х = 1: 1 000 000;
х · 1 = 3,42 · 1 000 000;
х = 3 420 000 см = 34,2 км.
Ответ: расстояние между пунктами А и В на местности равно 34,2 км.
Пример 3
Масштаб карты – 1: 1 000 000. Расстояние между пунктами на местности 38,4 км. Каково расстояние между этими пунктами на карте?
Решение.
Отношение неизвестного нам расстояния х между пунктами А и В на карте к расстоянию в сантиметрах между теми же пунктами А и В на местности равно масштабу карты.
38,4 км = 3 840 000 см;
х: 3 840 000 = 1: 1 000 000;
х = 3 840 000 · 1: 1 000 000 = 3,84.
Ответ: расстояние между пунктами А и В на карте равно 3,84 см.
Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
www.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
План местности (желательно, своей местности), физическая карта полушарий, физическая карта России, измерительные приборы (мерная лента, дальномер).
Масштаб (от немецкого - мера и Stab - палка) -
отношение
длины отрезка на карте, плане, аэро- или
космическом снимке к его действительной длине на
местности.
Численный масштаб
- масштаб, выраженный в
виде дроби, где числитель - единица, а
знаменатель - число, показывающее во сколько раз
уменьшено изображение.
Именованный (словесный) масштаб -
вид
масштаба, словесное указание того, какое
расстояние на местности соответствует 1 см на
карте, плане, снимке .
Линейный масштаб -
вспомогательная мерная
линейка, наносимая на карты для облегчения
измерения расстояний.
Геодезия (греческое - землеразделение) - наука, изучающая
форму и размеры Земли, методы измерения
расстояний, углов и высот
на земной
поверхности.
Топография
(греческое - место и - пишу) - раздел геодезии, посвященный
измерениям на местности для создания карт и
планов.
Картография
-
наука о картах, их создании
и использовании. Картография изучает также
глобусы, планы и другие изображения земной
поверхности, кроме того, карты и глобусы
звездного неба, других планет.
Циркуль-измеритель - инструмент для
переноса размеров на чертежи. При работе с
географическими картами применяется для
определения расстояний между точками,
отдельными участками карты.
Курвиметр -
механический портативный
прибор, предназначенный для измерения по картам
длин извилистых линий. Он состоит из круглой
коробки с циферблатом и стрелкой, маленького
колесика внизу. Деления на шкале циферблата
могут означать путь, проходимый колесиком по
карте (в см), или показывать сразу расстояние на
местности в зависимости от масштаба карты.
Дальномеры -
приборы различного типа,
служащие для определения расстояний без
непосредственного измерения их мерной лентой
или рулеткой.
Мерная лента -
основной инструмент,
служивший для измерения расстояний до
изобретения дальномеров. Представляет собой
стальную ленту, обычно длиной 20 м, закрепляемую
на земле длинными (около 0,5 м) стальными
шпильками.
Местные названия: населенного пункта, где проживают ученики, улиц, магазинов, образовательных учреждений, ближайших водоемов, различных местных форм рельефа и прочее.
Определение расстояний по картам с помощью масштаба
Цель работы: формирование умений работы с
различными видами масштабов; формирование
умений определять расстояния по картам с помощью
масштаба.
Оборудование:
атлас по географии для 6-го
класса, курвиметр или нитка длиной около 20 см,
рабочая тетрадь.
Задание 1. Переведите численный масштаб карты в именованный:
а) 1: 200 000
б) 1: 10 000 000
в) 1: 25 000
Правило для учащихся. Для более легкого
перевода численного масштаба в именованный
нужно посчитать, на сколько нулей кончается
число в знаменателе. Например, в масштабе
1: 500 000 в знаменателе после цифры 5
находится пять нулей.
Если после цифры в знаменателе пять
и более
нулей, то, закрыв (пальцем, авторучкой или просто
зачеркнув) пять нулей, получим число километров
на местности, соответствующее 1 сантиметру на
карте. Пример для масштаба 1: 500 000. В
знаменателе после цифры - пять
нулей, закрыв
их, получим для именованного масштаба: в 1 см на
карте 5 километров на местности.
Если после цифры в знаменателе менее пяти нулей,
то, закрыв два нуля, получим число метров на
местности, соответствующее 1 сантиметру на карте.
Если, например, в знаменателе масштаба
1: 10 000 закроем два нуля, получим: в 1 см
- 100 м.
Ответ:
а) в 1 см - 2 км; б) в 1 см - 100 км;
в) в 1 см - 250 м.
Задание 2. Переведите именованный масштаб в численный:
а) в 1 см - 500 м
б) в 1 см - 10 км
в) в 1 см - 250 км
Правило для учащихся. Для более легкого
перевода именованного масштаба в численный
нужно перевести расстояние на местности,
указанное в именованном масштабе, в сантиметры.
Если расстояние на местности выражено в метрах,
чтобы получить знаменатель численного масштаба,
нужно приписать два нуля, если в километрах, то
пять нулей.
Например, для именованного масштаба в 1 см - 100 м
расстояние на местности выражено в метрах,
поэтому для численного масштаба приписываем два
нуля и получаем: 1: 10 000. Для масштаба в 1 см -
5 км приписываем к пятерке пять нулей и
получаем: 1: 500 000.
Ответы:
а) 1: 50 000; б) 1: 1 000 000; в) 1: 25
000 000.
Задание 3. Определите расстояние между пунктами по физической карте России в атласе 6-го класса:
а) Москва и Мурманск
б) гора Нaродная (Уральские горы) и гора Белуха
(горы Алтай)
в) мыс Дежнева (Чукотский полуостров) и мыс
Лопатка (полуостров Камчатка)
Правило для учащихся. При определении
расстояния по карте между пунктами следует:
1. Измерить при помощи линейки расстояние в
сантиметрах между пунктами. Например, расстояние
между городами Москва и Астрахань на карте
составляет 6,5 см.
2. Узнать по именованному масштабу, сколько
километров (метров) на местности соответствует
1 см на карте.
(На физической карте России в географическом
атласе 6-го класса 1 см на карте соответствует 200
км на местности.)
3. Измеренное линейкой расстояние между
пунктами умножить на количество километров
(метров) на местности для данного масштаба.
6,5 x 200 = 1300 км.
Ответы: а) 1460 км; б) 2240 км; в) 2500 км** .
Задание 4. Измерьте протяженность рек по физической карте России в атласе 6-го класса:
а) Ока;
б) река Урал;
в) Кама.
Измерения извилистых линий на карте (в данном
случае рек) проводятся при помощи курвиметра
либо нитки.
Как измерить длину реки при помощи нитки
(правило для учащихся)
.
1. Нитку нужно смочить, иначе уложить ее на
бумагу трудно.
2. Приложить нитку к кривой линии (к реке - от
истока до устья) так, чтобы она повторяла все
изгибы реки.
3. Отметить на нитке (пальцами или пинцетами)
точки истока и устья (можно аккуратно обрезать
нитку ножницами по этим точкам).
4. Распрямить нитку, замеченный (или
отрезанный) участок нитки приложить к линейке и
измерить, сколько в нем сантиметров. Результат
измерения умножить на количество километров на
местности для данного масштаба. (Можно приложить
нитку к линейному масштабу на карте и сразу
прочитать длину реки.)
Ответы:
а) примерно 920 км; б) примерно
1300 км; в) примерно 1200 км.
Обратите внимание.
Точность измерений
криволинейных участков невелика, поэтому ответы
школьников могут несколько расходиться с
ответами товарищей. Наверняка, результаты
измерения ниткой по мелкомасштабной карте будут
СИЛЬНО расходиться с теми длинами рек, что
указаны в учебниках и справочниках. Настоящая
длина Оки - 1500 км, Урала - 2400 км, Камы - 1800 км.
Нужно непременно назвать ученикам эти цифры,
чтобы в памяти не закрепились «топорные» цифры
самостоятельного измерения (а они имеют большие
шансы закрепиться именно потому, что получены
самостоятельно). Нужно объяснить также, откуда
берется такое расхождение: множество средних и
малых поворотов, излучин реки мелкомасштабная
карта не может отразить, все они «спрямлены». Это
объяснение придется как нельзя кстати в теме
«Масштаб»: оно облегчит понимание различий карт
разного масштаба.
Масштабы топографических карт
| Численный масштаб | Название карты |
1
см на карте соответствует на местности расстоянию |
1
см 2 на карте соответствует на местности площади |
|---|---|---|---|
| 1: 5 000 1: 10 000 1: 25 000 1: 50 000 1: 100 000 1: 200 000 1: 500 000 ллл 1: 1 000 000 |
Пятитысячная Десятитысячная Двадцатипятитысячная Пятидесятитысячная Стотысячная Двухсоттысячная Пятисоттысячная, или полумиллионная Миллионная |
50 м 100 м 250 м 500 м 1 км 2 км 5 км ллл 10 км |
0,25 га 1 га 6,25 га 25 га 1 км 2 4 км 2 25 км 2 лл 100 км 2 |
У карт есть и другие названия.
Определим, к каким масштабам относятся следующие
названия: стометровка, полукилометровка,
километровка, двухкилометровка,
пятикилометровка, десятикилометровка
.
На каком виде масштаба основываются те названия,
которые приведены в таблице? А те, которые
приведены в предыдущем абзаце?
(чтение для учащихся)
История про карту в масштабе 1: 1
Жил-был Капризный Король. Однажды он объехал
своё королевство и увидел, как велика и прекрасна
его земля. Он увидел извилистые реки, огромные
озёра, высокие горы и чудесные города. Он
возгордился своими владениями и захотел, чтобы
весь мир узнал о них. И вот, Капризный Король
приказал картографам создать карту королевства.
Картографы трудились целый год и, наконец,
преподнесли Королю замечательную карту, на
которой были обозначены все горные гряды,
крупные города и большие озёра и реки.
Однако Капризный Король остался недоволен. Он
хотел видеть на карте не только очертания горных
цепей, но и изображение каждой горной вершины. Не
только крупные города, но и мелкие, и селения. Он
хотел видеть небольшие речки, впадающие в реки.
Картографы вновь принялись за работу, трудились
много лет и нарисовали другую карту, размером в
два раза больше предыдущей. Но теперь Король
пожелал, чтобы на карте были видны перевалы между
горными вершинами, маленькие озерца в лесах,
ручейки, крестьянские домики на окраине селений.
Картографы рисовали все новые и новые карты.
Капризный Король умер, так и не дождавшись
окончания работы. Наследники один за другим
вступали на трон и умирали в свою очередь, а карта
все составлялась и составлялась. Каждый король
нанимал новых картографов для составления карты
королевства, но всякий раз оставался недоволен
плодами труда, находя карту недостаточно
подробной.
Наконец картографы нарисовали Невероятную
карту. Карта изображала всё королевство в
мельчайших подробностях - и была точно такого же
размера, как само королевство. Теперь уже никто
не мог найти различия между картой и
королевством.
Где же собирались хранить Капризные Короли свою
замечательную карту? Ларца для такой карты не
хватит. Понадобится огромное помещение вроде
ангара, и в нем карта будет лежать во много слоев.
Только нужна ли такая карта? Ведь карта в
натуральную величину может быть с успехом
заменена самой местностью.
Зависимость детальности карт от масштаба
Если вам доводилось летать на самолётах, то вы
наверняка помните, как в начале полёта, когда
самолёт только отрывается от земли, под ним
проплывают очертания аэропорта, домов, скверов.
Но чем выше поднимается он в воздух, тем меньше
подробностей видно в иллюминатор, но зато шире
становится пространство, открывающееся взгляду.
Так же изменяется детальность карт при
уменьшении масштаба.
На крупномасштабных картах, где в 1 см площади
умещается не больше 500 м земного пространства,
небольшая территория изображена очень подробно.
На мелкомасштабных картах, где в 1 см
укладывается до нескольких тысяч километров,
показаны огромные площади Земли, но с небольшим
количеством подробностей. Необходимы и те и
другие карты, в зависимости от их назначения.
Если вам интересно, над какими странами вы
пролетите, отправляясь из Москвы в Мельбурн, надо
открыть мелкомасштабную карту, а отправляясь в
лес по грибы или с друзьями в поход, надо взять с
собой крупномасштабную карту, чтобы не
заблудиться.
Определи масштабы карт своей местности
Найди карты, изображающие местность, в которой
ты живешь. Если дома таких карт не оказалось,
обратись за помощью к знакомым и друзьям, учителю
географии, библиотекарю или продавцу книжного
магазина.
Выпиши масштабы карт, изображающих твою
местность. Какой масштаб крупнее, какой мельче?
Сравни карты разных масштабов и выясни, на картах
каких масштабов изображена бo"льшая по площади
территория, на каких - меньшая.
Определи, на картах каких масштабов местность
изображена более детально, на каких - менее
детально.
Сделай вывод о том, как зависит площадь
изображаемой территории и ее детальность от
масштаба карты.
Определи свое местоположение на карте
По карте своей области (края, республики...) определи расстояние от своего населенного пункта до областного (краевого, республиканского) центра, если вы живете не в нем, или до какого-либо другого населенного пункта, если вы находитесь в центре области (края, республики).
На старинных картах именованный
масштаб мог показывать, какое расстояние на
местности соответствует одному дюйму или другой
архаичной линейной мере на карте.
Здесь и далее расчеты произведены по
атласу «География. Начальный курс. 6 кл.».: Атлас.
- М.: Дрофа; Издательство ДИК, 1999. - 32 с.
Разумеется, на этом этапе обучения учитель пока
не затрагивает вопросы искажения расстояний,
связанных с картографической проекцией.
