Secvența Fibonacci, care a devenit cunoscută mai mult datorită filmului și cărții „Codul Da Vinci”, este o serie de numere, derivate de matematicianul italian Pisa Leonardo, mai cunoscut sub pseudonimul Fibonacci, în secolul al XIII-lea. Adepții omului de știință au observat că formula la care este subordonată această serie de numere își găsește reflexia în lumea din jurul nostru și rezonează cu alte descoperiri matematice, deschizându-ne astfel ușa spre secretele universului. În acest articol vă vom spune care este secvența Fibonacci, luăm în considerare exemple despre modul în care acest tipar este afișat în natură și, de asemenea, îl comparăm cu alte teorii matematice.
Seria Fibonacci este o secvență matematică, fiecare element fiind egal cu suma celor două precedente. Să desemnăm un anumit membru al secvenței ca x n. Astfel, obținem o formulă valabilă pentru întreaga serie: x n + 2 = x n + x n + 1. În acest caz, ordinea secvenței va arăta astfel: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Următorul număr va fi 55, deoarece suma 21 și 34 este 55. Și așa mai departe după același principiu.
Dacă ne uităm la plantă, în special la coroana frunzelor, vom observa că acestea înfloresc în spirală. Unghiurile se formează între frunzele adiacente, care, la rândul lor, formează succesiunea matematică corectă Fibonacci. Datorită acestei caracteristici, fiecare frunză individuală care crește pe copac primește cantitatea maximă de lumină solară și căldură.
Celebrul matematician și-a prezentat teoria ca o enigmă. Sună așa. Puteți pune câteva iepuri într-un spațiu închis pentru a afla câte perechi de iepuri se vor naște într-un an. Având în vedere natura acestor animale, faptul că în fiecare lună un cuplu este capabil să producă o nouă pereche și sunt gata să se reproducă atunci când ajung la două luni, drept urmare, a primit celebra sa serie de numere: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 - care arată numărul de noi perechi de iepuri în fiecare lună.
Această serie are mai multe nuanțe matematice care trebuie luate în considerare. El, apropiindu-se din ce în ce mai încet (asimptotic), tinde spre o anumită relație proporțională. Dar este irațional. Cu alte cuvinte, este un număr cu o succesiune imprevizibilă și infinită de numere zecimale în partea fracțională. De exemplu, raportul oricărui element al seriei variază în jurul cifrei 1.618, uneori depășind, apoi atingându-l. Următoarele se apropie în mod similar de 0,618. Care este invers proporțional cu numărul 1.618. Dacă împărțim elementele la unul, obținem 2.618 și 0.382. După cum ați înțeles deja, ele sunt, de asemenea, invers proporționale. Numerele rezultate se numesc rapoarte Fibonacci. Acum să explicăm de ce am efectuat aceste calcule.
Distingem toate obiectele din jurul nostru după anumite criterii. Una dintre ele este forma. Unii dintre noi sunt atrași mai mult, alții mai puțin, iar altora nu le place deloc. Se observă că un obiect simetric și proporțional este mult mai ușor perceput de o persoană și evocă un sentiment de armonie și frumusețe. Întreaga imagine include întotdeauna părți de diferite dimensiuni, care sunt într-un anumit raport între ele. De aici și răspunsul la întrebarea a ceea ce se numește Secțiunea de Aur. Acest concept înseamnă perfecțiunea relației dintre întreg și părțile sale în natură, știință, artă etc. Din punct de vedere matematic, luați în considerare următorul exemplu. Luați un segment de orice lungime și împărțiți-l în două părți, astfel încât partea mai mică să fie legată de cea mai mare ca suma (lungimea întregului segment) cu cea mai mare. Deci, să luăm segmentul cu pe valoarea unu. O parte din ea A va fi egal cu 0,618, a doua parte b se pare că este egal cu 0,382. Astfel, respectăm condiția Golden Ratio. Raport linie c La A este egal cu 1,618. Și raportul pieselor cși b- 2.618. Obținem raporturile Fibonacci deja cunoscute. Triunghiul auriu, dreptunghiul auriu și cuboidul auriu sunt construite pe același principiu. De asemenea, este demn de remarcat faptul că raportul proporțional al părților corpului uman este apropiat de raportul de aur.
Să încercăm să combinăm teoria Secțiunii de Aur și celebra serie a matematicianului italian. Să începem cu două pătrate de prima dimensiune. Apoi adăugați un alt pătrat de a doua dimensiune deasupra. Desenați lângă ea aceeași figură cu o lungime laterală egală cu suma celor două laturi anterioare. Desenați un pătrat de a cincea dimensiune în același mod. Și astfel poți continua la nesfârșit până te plictisești. Principalul lucru este că dimensiunea laturii fiecărui pătrat ulterior este egală cu suma dimensiunilor laturilor celor două precedente. Obținem o serie de poligoane, ale căror lungimi laterale sunt numere Fibonacci. Aceste cifre se numesc dreptunghiuri Fibonacci. Să trasăm o linie netedă prin colțurile poligoanelor noastre și să obținem ... o spirală Arhimede! După cum știți, creșterea pasului unei figuri date este întotdeauna uniformă. Dacă vă porniți imaginația, atunci desenul rezultat poate fi asociat cu o coajă de moluște. Din aceasta putem concluziona că secvența Fibonacci este baza raporturilor proporționale și armonioase ale elementelor din lumea înconjurătoare.
Dacă priviți cu atenție, atunci spirala lui Arhimede (undeva în mod explicit, dar undeva ascuns) și, prin urmare, principiul Fibonacci poate fi urmărit în multe elemente naturale familiare care înconjoară o persoană. De exemplu, toate aceleași coajă de moluște, inflorescențe de broccoli obișnuite, floare de floarea-soarelui, con de conifere și altele asemenea. Dacă privim mai departe, vom vedea secvența Fibonacci în galaxii fără sfârșit. Chiar și o persoană, inspirată de natură și adoptând formele acesteia, creează obiecte în care se poate urmări seria menționată mai sus. Este timpul să ne amintim de Secțiunea de Aur. Alături de legea Fibonacci, sunt urmărite principiile acestei teorii. Există o versiune conform căreia secvența Fibonacci este un fel de test al naturii pentru a se adapta la secvența logaritmică mai perfectă și fundamentală a Secțiunii de Aur, care este aproape identică, dar nu are început și este infinită. Regularitatea naturii este de așa natură încât trebuie să aibă propriul punct de referință, din care să înceapă să creeze ceva nou. Raportul primelor elemente din seria Fibonacci este departe de principiile Secțiunii de Aur. Cu toate acestea, cu cât o continuăm, cu atât această discrepanță este mai ușurată. Pentru a determina secvența, trebuie să cunoașteți trei dintre elementele sale, care se succed. Pentru Secvența de Aur, două sunt suficiente. Întrucât este atât aritmetică, cât și progresie geometrică.
Totuși, pe baza celor de mai sus, puteți pune întrebări destul de logice: „De unde au venit aceste cifre? Cine este acest autor al dispozitivului lumii întregi, care a încercat să-l facă perfect? ? Dacă da, de ce a apărut eșecul? „Ce se va întâmpla în continuare?” Găsind răspunsul la o întrebare, veți primi următoarea. S-a rezolvat - apar încă două. După ce le-ai rezolvat, primești încă trei. După ce le-ai tratat, vei primi cinci nerezolvate. Apoi opt, apoi treisprezece, douăzeci și unu, treizeci și patru, cincizeci și cinci ...
1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362
Numerele Fibonacci și raportul auriu formează baza pentru rezolvarea lumii din jur, construindu-i forma și percepția vizuală optimă de către o persoană, cu ajutorul căreia poate simți frumusețea și armonia.
Principiul determinării mărimii secțiunii aurii stă la baza perfecțiunii întregii lumi și a părților sale în structura și funcțiile sale, manifestarea ei poate fi văzută în natură, artă și tehnologie. Doctrina raportului de aur a fost stabilită ca urmare a studiilor efectuate de oamenii de știință antici despre natura numerelor.
Dovezi ale utilizării raportului de aur de către gânditorii antici sunt date în cartea lui Euclid „Începuturi”, scrisă în secolul al III-lea. BC, care a aplicat această regulă pentru a construi 5-gons regulat. Dintre pitagoreici, această figură este considerată sacră, deoarece este atât simetrică, cât și asimetrică. Pentagrama simboliza viața și sănătatea.
Faimoasa carte Liber abaci a unui matematician din Italia Leonardo de Pisa, care mai târziu a devenit cunoscut sub numele de Fibonacci, a fost publicată în 1202. În ea, omul de știință citează pentru prima dată regularitatea numerelor, într-un rând din care fiecare număr este suma a 2 cifre anterioare. Secvența numerelor Fibonacci este după cum urmează:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 etc.
Oamenii de știință au citat, de asemenea, o serie de modele:
Orice număr din serie, împărțit la următorul, va fi egal cu o valoare care tinde la 0,618. Mai mult, primele numere Fibonacci nu dau un astfel de număr, dar pe măsură ce ne deplasăm de la începutul secvenței, acest raport va deveni din ce în ce mai precis.
Dacă împărțim numărul din rând cu cel precedent, atunci rezultatul se va grăbi la 1.618.
Un număr împărțit la următorul după unul va arăta o valoare care tinde la 0,382.
Aplicarea legăturii și legile raportului de aur, numărul Fibonacci (0,618) pot fi găsite nu numai în matematică, ci și în natură, în istorie, în arhitectură și construcții și în multe alte științe.
În scopuri practice, este limitată la o valoare aproximativă de Φ = 1.618 sau Φ = 1.62. Ca procent rotunjit, raportul auriu este o diviziune a oricărei valori în proporția de 62% și 38%.
Din punct de vedere istoric, inițial, raportul auriu a fost numit împărțirea unui segment AB cu un punct C în două părți (un segment mai mic AC și un segment mai mare BC), astfel încât AC / BC = BC / AB este corect pentru lungimile segmentelor . În cuvinte simple, prin secțiunea aurie, segmentul este tăiat în două părți inegale, astfel încât partea mai mică se referă la cea mai mare, la fel de mare la întregul segment. Mai târziu, acest concept a fost extins la valori arbitrare.
Numărul Φ se mai numește numărul de aur.
Proporția de aur are multe proprietăți minunate, dar, în plus, i se atribuie multe proprietăți fictive.
Acum detaliile:
Definiția ZS este împărțirea unui segment în două părți într-un astfel de raport în care partea mai mare se referă la cea mai mică, ca suma lor (întregul segment) la cel mai mare.
Adică, dacă luăm întregul segment c ca 1, atunci segmentul a va fi egal cu 0,618, segmentul b - 0,382. Astfel, dacă luăm o structură, de exemplu, un templu, construit conform principiului ZS, atunci cu înălțimea sa, să zicem 10 metri, înălțimea tamburului cu cupola va fi de 3,82 cm, iar înălțimea bazei din structură va avea 6, 18 cm. (Este clar că cifrele sunt luate în plan pentru claritate)
Și care este relația dintre numerele ZS și Fibonacci?
Numerele secvenței Fibonacci sunt:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
Regularitatea numerelor este că fiecare număr ulterior este egal cu suma celor două numere anterioare.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21 etc.,
iar raportul numerelor adiacente se apropie de raportul ZS.
Deci, 21: 34 = 0,617 și 34: 55 = 0,618.
Adică ZS se bazează pe numerele secvenței Fibonacci.
Se crede că termenul „Secțiunea de aur” a fost introdus de Leonardo Da Vinci, care a spus: „Nimeni, nefiind matematician, nu îndrăznește să citească lucrările mele” și a arătat proporțiile corpului uman în celebrul său desen „Vitruvian” Om". „Dacă legăm o figură umană - cea mai perfectă creație a Universului - cu o centură și apoi măsurăm distanța de la talie la picioare, atunci această valoare se va referi la distanța de la aceeași centură la coroana capului, ca întreaga înălțime a unei persoane până la lungimea de la talie la picioare ”.
Un număr de numere Fibonacci sunt modelate vizual (materializate) sub formă de spirală.
Și în natură, spirala GS arată astfel:
În același timp, spirala este observată peste tot (în natură și nu numai):
Semințele din majoritatea plantelor sunt aranjate în spirală
- Păianjenul țese o pânză într-o spirală
- Un uragan se învârte în spirală
- O turmă înspăimântată de reni se împrăștie în spirală.
- Molecula de ADN este răsucită într-o dublă spirală. Molecula de ADN este formată din două spirale împletite vertical de 34 angstromi și 21 de angstromi lățime. Numerele 21 și 34 se succed în secvența Fibonacci.
- Embrionul se dezvoltă în formă de spirală
- Spiral „melc în urechea internă”
- Apa curge în canal în spirală
- Dinamica spirală arată dezvoltarea personalității și valorilor unei persoane într-o spirală.
- Și, desigur, Galaxy în sine are forma unei spirale
Astfel, se poate susține că natura însăși este construită conform principiului Secțiunii de Aur, motiv pentru care această proporție este percepută mai armonios de ochiul uman. Nu necesită „corectarea” sau adăugarea imaginii rezultate a lumii.
Toate informațiile despre caracteristicile fiziologice ale ființelor vii sunt stocate într-o moleculă microscopică de ADN, a cărei structură conține, de asemenea, legea raportului auriu. O moleculă de ADN este formată din două spirale împletite vertical. Lungimea fiecărei spirale este de 34 angstrom, lățimea este de 21 angstrom. (1 angstrom este o sută milionime de centimetru).
21 și 34 sunt numere care se succed în secvența numerelor Fibonacci, adică raportul dintre lungimea și lățimea spiralei logaritmice a moleculei de ADN poartă formula raportului aur 1: 1.618
Formele geometrice nu se limitează doar la triunghiuri, pătrate, pentagone sau hexagone. Dacă conectăm aceste figuri în moduri diferite între ele, atunci obținem noi forme geometrice tridimensionale. Exemple în acest sens sunt forme precum un cub sau o piramidă. Cu toate acestea, pe lângă ele, există și alte figuri tridimensionale pe care nu a trebuit să le întâlnim în viața de zi cu zi și ale căror nume le auzim, poate pentru prima dată. Aceste figuri tridimensionale includ un tetraedru (o figură regulată pe patru fețe), un octaedru, un dodecaedru, un icosaedru etc. Dodecaedrul este format din 13 pentagone, icosaedrul a 20 de triunghiuri. Matematicienii observă că aceste cifre se transformă matematic foarte ușor, iar transformarea lor are loc în conformitate cu formula spiralei logaritmice a raportului auriu.
În microcosmos, formele logaritmice tridimensionale construite conform proporțiilor aurii sunt răspândite peste tot. De exemplu, mulți viruși au o formă geometrică tridimensională a icosaedrului. Poate că cel mai faimos dintre acești viruși este virusul Adeno. Stratul proteic al virusului adeno este format din 252 de unități de celule proteice dispuse într-o secvență specifică. În fiecare colț al icosaedrului există 12 unități de celule proteice sub forma unei prisme pentagonale, iar structurile asemănătoare vârfurilor se extind din aceste colțuri.
Pentru prima dată, raportul auriu în structura virușilor a fost descoperit în anii 1950. oameni de știință de la London Birkbeck College A. Klug și D. Kaspar. 13 Virusul Polyo a fost primul care a apărut sub forma logaritmică. S-a constatat că forma acestui virus este similară cu cea a virusului Rhino 14.
Se pune întrebarea: cum formează virușii astfel de forme tridimensionale complexe, al căror dispozitiv conține raportul auriu, pe care chiar și mintea noastră umană este destul de dificil de construit? Descoperitorul acestor forme de viruși, virusologul A. Klug, face următorul comentariu:
„Dr. Kaspar și cu mine am arătat că, pentru învelișul sferic al virusului, cea mai optimă formă este simetria, cum ar fi forma icosaedrului. Acest aranjament minimizează numărul de elemente de conectare ... Majoritatea cuburilor geodezice emisferice Buckminster Fuller sunt construite pe un principiu geometric similar. 14 Instalarea unor astfel de cuburi necesită o diagramă explicativă extrem de precisă și detaliată. În timp ce virușii inconștienți construiesc ei înșiși o cochilie atât de complexă de unități de celule proteice elastice și flexibile. "
Matematicianul italian Leonardo Fibonacci a trăit în secolul al XIII-lea și a fost unul dintre primii din Europa care a folosit cifre arabe (indiene). El a venit cu o problemă oarecum artificială despre iepurii crescuți într-o fermă, care sunt considerați toate femele, masculii fiind ignorați. Iepurii încep să se reproducă după ce au împlinit două luni și apoi dau naștere unui iepure în fiecare lună. Iepurii nu mor niciodată.
Este necesar să se determine câți iepuri vor fi la fermă n luni, dacă la momentul inițial exista un singur iepure nou-născut.
Evident, fermierul are un iepure în prima lună și un iepure în a doua lună. În a treia lună vor fi doi iepuri, în a patra - trei etc. Să denotăm numărul de iepuri din n lună ca. Prin urmare, 
,
,
,
,
,
…
Un algoritm poate fi construit pentru a găsi 
pentru orice n.
În funcție de starea problemei, numărul total de iepuri 
v n+1 lună se descompune în trei componente:
iepuri de o lună care nu sunt capabili să se reproducă, în cantitate
;
Astfel, obținem
. (8.1)
Formula (8.1) vă permite să calculați o serie de numere: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,. ..
Numerele din această secvență sunt numite Numere Fibonacci .
Daca accepti 
și 
, apoi folosind formula (8.1) se pot determina toate celelalte numere Fibonacci. Formula (8.1) se numește recurent
după formula ( recidiva
- „return” în latină).
Exemplul 8.1. Să presupunem că există o scară înăuntru n pași. O putem urca cu un pas de un pas sau - cu un pas de două trepte. Câte combinații de metode de ridicare diferite există?
Dacă n= 1, există o singură soluție la problemă. Pentru n= 2 există 2 opțiuni: doi pași simpli sau unul dublu. Pentru n= 3 există 3 opțiuni: trei pași de unitate, sau o unitate și o dublă, sau o dublă și o unitate.
În următorul caz n= 4, avem 5 posibilități (1 + 1 + 1 + 1, 2 + 1 + 1, 1 + 2 + 1, 1 + 1 + 2, 2 + 2).
Pentru a răspunde la întrebarea pusă în mod arbitrar n, să denotăm numărul de opțiuni ca 
, și încercați să definiți 
conform bine-cunoscutului 
și 
... Dacă începem cu un singur pas, atunci avem 
combinații pentru restul n pași. Dacă începem cu un pas dublu, atunci avem 
combinații pentru restul n–1 pași. Numărul total de opțiuni pentru n+1 treapta este egală
. (8.2)
Formula rezultată seamănă cu formula (8.1) ca un gemeni. Cu toate acestea, acest lucru nu permite identificarea numărului de combinații 
cu numere Fibonacci 
... Vedem, de exemplu, că 
, dar 
... Cu toate acestea, are loc următoarea relație:
.
Acest lucru este valabil pentru n= 1, 2 și este valabil și pentru fiecare n... Numerele Fibonacci și numărul de combinații 
sunt calculate utilizând aceeași formulă, dar valorile inițiale 
,
și 
,
acestea diferă.
Exemplul 8.2. Acest exemplu are o importanță practică pentru corectarea problemelor de codare. Găsiți numărul tuturor cuvintelor binare de lungime n care nu conțin mai multe zerouri la rând. Notăm acest număr prin 
... Evident, 
, iar cuvintele de lungime 2 care ne satisfac constrângerea sunt: 10, 01, 11, adică 
... Lasa 
- un astfel de cuvânt din n personaje. Dacă simbolul 
, atunci 
poate fi arbitrar ( 
)-cuvânt literal care nu conține mai multe zerouri la rând. Prin urmare, numărul de cuvinte cu o unitate la sfârșit este 
.
Dacă simbolul 
, atunci cu siguranță 
iar primul 
simbol 
poate fi arbitrar, ținând seama de restricțiile luate în considerare. Prin urmare, există 
lungimea cuvântului
n cu un zero la final. Astfel, numărul total de cuvinte care ne interesează este egal cu
.
Dat fiind 
și 
, succesiunea numerelor rezultate este numerele Fibonacci.
Exemplul 8.3.În exemplul 7.6, am constatat că numărul de cuvinte binare cu greutate constantă t(și lungimea k) este egal 
... Acum găsim numărul de cuvinte binare cu greutate constantă t care nu conțin mai multe zerouri la rând.
Poți să raționezi așa. Lasa 
numărul de zerouri din cuvintele în cauză. Orice cuvânt are 
goluri între cele mai apropiate zerouri, fiecare dintre ele conținând unul sau mai multe. Se presupune că 
... În caz contrar, nu există un singur cuvânt fără zerouri adiacente.
Dacă eliminăm exact o unitate din fiecare interval, atunci vom obține un cuvânt de lungime 
conținând 
zerouri. Orice astfel de cuvânt poate fi obținut în modul indicat de la unii (și, în plus, doar unul) k-cuvânt literar care conține 
zerouri, dintre care două nu sunt una lângă alta. Prin urmare, numărul necesar coincide cu numărul tuturor cuvintelor de lungime 
conținând exact 
zerouri, adică egal 
.
Exemplul 8.4. Să dovedim că suma 
este egal cu numerele Fibonacci pentru orice număr întreg 
... Simbol 
denotă cel mai mic întreg mai mare sau egal cu
... De exemplu, dacă 
, atunci 
; ce-ar fi dacă 
, atunci 
tavan("tavan"). Apare și simbolul 
care înseamnă cel mai mare întreg mai mic sau egal cu
... În engleză, această operațiune se numește podea
("podea").
Dacă 
, atunci 
... Dacă 
, atunci 
... Dacă 
, atunci 
.
Astfel, pentru cazurile luate în considerare, suma este cu adevărat egală cu numerele Fibonacci. Acum oferim o dovadă pentru cazul general. Deoarece numerele Fibonacci pot fi obținute folosind ecuația recurentă (8.1), atunci egalitatea trebuie să fie satisfăcută:
.
Și chiar face:
Aici am folosit formula (4.4) obținută anterior: 
.
Suma numerelor Fibonacci
Să determinăm suma primei n Numere Fibonacci.
0+1+1+2+3+5 = 12,
0+1+1+2+3+5+8 = 20,
0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.
Este ușor de văzut că, adăugând unitate la partea dreaptă a fiecărei ecuații, obținem din nou numărul Fibonacci. Formula generală pentru determinarea sumei primei n Numerele Fibonacci sunt:
Să dovedim acest lucru folosind metoda inducției matematice. Pentru a face acest lucru, scrieți:
Această sumă ar trebui să fie egală cu 
.
Reducând laturile stânga și dreapta ale ecuației cu –1, obținem ecuația (6.1).
Formula pentru numerele Fibonacci
Teorema 8.1. Numerele Fibonacci pot fi calculate folosind formula
.
Dovadă... Să verificăm validitatea acestei formule pentru n= 0, 1 și apoi demonstrați validitatea acestei formule pentru un arbitrar n prin inducție. Să calculăm raportul celor mai apropiate două numere Fibonacci:
Vedem că raportul acestor numere fluctuează în jurul valorii de 1.618 (dacă ignorăm primele valori). Prin această proprietate, numerele Fibonacci seamănă cu membrii unei progresii geometrice. Vom accepta 
,
(
). Apoi expresia
convertit la
care după simplificări arată astfel
.
Avem o ecuație pătratică, ale cărei rădăcini sunt egale:
Acum putem scrie:
(Unde c este constantă). Ambii membri 
și 
nu dați numere Fibonacci ca 
, in timp ce 
... Cu toate acestea, diferența 
satisface ecuația recurentă:
Pentru n= 0 această diferență dă 
, acesta este: 
... Cu toate acestea, cu n= 1 avem 
... A obtine 
, este necesar să acceptați: 
.
Acum avem două secvențe: 
și 
care încep cu aceleași două numere și satisfac aceeași formulă de recurență. Ele trebuie să fie egale: 
... Teorema este dovedită.
Ascendent n membru 
devine foarte mare, în timp ce 
, și rolul membrului 
în diferență este redusă. Prin urmare, pentru mari n putem scrie aproximativ
.
Ignorăm 1/2 (deoarece numerele Fibonacci cresc până la infinit cu n catre infinit).
Atitudine 
numit ratia de aur, este folosit în afara matematicii (de exemplu, în sculptură și arhitectură). Raportul auriu este raportul dintre diagonală și lateral pentagon regulat(fig. 8.1).
Orez. 8.1. Pentagonul regulat și diagonalele acestuia
Pentru a indica raportul auriu, este obișnuit să folosiți litera 
în cinstea celebrului sculptor atenian Phidias.
numere prime
Toate numerele naturale, unități mari, se împart în două clase. Primul include numere care au exact doi divizori naturali, unul și pe sine, până la al doilea - toți ceilalți. Se numesc numere din clasa întâi simplu, iar al doilea - constitutiv... Numere prime în primele trei zeci: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
Proprietățile numerelor prime și relația lor cu toate numerele naturale au fost studiate de Euclid (secolul III î.Hr.). Dacă scrieți numerele prime la rând, veți observa că densitatea lor relativă scade. Există 4 dintre ei în primii zece, adică 40%, într-o sută - 25, adică 25%, la o mie - 168, adică mai puțin de 17%, pe milion - 78498, adică mai puțin de 8% etc. Cu toate acestea, numărul lor total este infinit.
Printre primii, există perechi de asemenea, diferența dintre care este egală cu două (așa-numitul gemeni simpli), totuși, finitudinea sau infinitatea unor astfel de perechi nu a fost dovedită.
Euclid a considerat evident că prin înmulțirea numai a numerelor prime se pot obține toate numerele naturale și fiecare număr natural poate fi reprezentat ca un produs al numerelor prime în mod unic (până la ordinea factorilor). Astfel, primii formează o bază multiplicativă pentru seria naturală.
Studiul distribuției numerelor prime a condus la crearea unui algoritm care vă permite să obțineți tabele de numere prime. Acest algoritm este sita lui Eratostene(Secolul III î.Hr.). Această metodă constă în eliminarea (de exemplu, prin tăiere) a numerelor întregi ale unei secvențe date 
care sunt divizibile cu cel puțin unul dintre numerele prime mai mici decât 
.
Teorema 8 . 2 . (Teorema lui Euclid). Numărul primilor este infinit.
Dovadă... Să dovedim teorema lui Euclid cu privire la infinitul numărului de primi prin metoda propusă de Leonard Euler (1707–1783). Euler a luat în considerare produsul asupra tuturor primilor p:
la 
... Acest produs converge și, dacă îl extindeți, atunci datorită unicității descompunerii numerelor naturale în factori primi, se dovedește că este egal cu suma seriei 
, de unde urmează identitatea lui Euler:
.
De când la 
seria din dreapta divergă (seria armonică), apoi teorema lui Euclid decurge din identitatea lui Euler.
Matematicianul rus P.L. Chebyshev (1821-1894) a dedus o formulă care determină limitele în care este închis numărul primilor 
fara sa depaseasca X:
,
Unde 
,
.
Faimoasa teorie mondială Fibonacci a fost stabilită de matematicianul italian Leonardo Fibonacci în 1710. După ce a călătorit în jurul lumii, Leonardo a publicat cartea „Liber Abacci” („Cartea calculului”), în care și-a prezentat teoria sistemului zecimal al calcul, care nu era cunoscut la acea vreme în Europa.
În lucrarea științifică principală a lui Fibonacci, secvența numerică este descrisă: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 etc. Această teorie reflectă conceptul raportului auriu, cunoscut din cele mai vechi timpuri. De exemplu, fiecare număr este de 1,618 ori mai mare decât cel anterior și fiecare precedent este de 0,618 ori următorul. Astfel de numere se numesc antipode. Perechea 1.618 și 0.618 sunt singurele antipode absolute din aritmetică. Aceste descoperiri sunt utilizate pe scară largă în analiza pieței Forex.
O altă metodă este așa-numita
„Arce” Fibonacci
(Arce Fibonacci). După trasarea liniei de la punctul maxim de la începutul mișcării la punctul maxim de terminare a mișcării, se construiesc arce, care sunt trasate la anumite niveluri: 38,2%, 50% și 61,8%. Se crede că aceste arce sunt indicatori potențiali ai nivelului de sprijin și rezistență la intersecția punctelor.
Clădire
„Fanii” Fibonacci
(fanii) are un principiu similar. După trasarea liniei, ca și în cazul anterior, linii sunt trasate la nivelurile de 38,2%, 50% și 61,8%. Aceste linii sunt indicații ale unui potențial nivel de rezistență a pantei.
O altă modalitate este
niveluri de corecție
(retraceri). După trasarea liniei de la punctul maxim de la începutul mișcării până la punctul maxim de terminare a mișcării, sunt trasate 9 linii orizontale la nivelurile de 0,0%, 23,6%, 38,2%, 50% și 61,8%, 100 %, 161, 8%, 261,8% și 423,6%. Alegerea nivelurilor depinde de scara graficului.
Fusele orare Fibonacci
Este o succesiune de linii verticale la intervale de 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 etc. Cele mai semnificative schimbări de preț ar trebui așteptate în apropierea acestor linii.
Teoria Fibonacci este utilizată de analiștii din întreaga lume. Cu toate acestea, nu trebuie să vă limitați doar la aceasta.
Articole din subsecțiunea „Analiză tehnică”:
Avertizare de risc:
Începătorii ar trebui să fie conștienți de riscurile ridicate implicate în tranzacționarea Forex. Înainte de a începe tranzacționarea pe conturi reale, trebuie să vă pregătiți teoretic și practic, asigurați-vă că strategia de tranzacționare aleasă este eficientă tranzacționând pe conturi demo gratuite. Nu tranzacționați bani pe care nu sunteți gata să-i pierdeți.
Portalul Forex-Resource urmărește să furnizeze toate informațiile necesare care vor fi utile comercianților pentru a desfășura tranzacții de succes. Cu toate acestea, „Forex-Resource” nu este responsabil pentru acțiunile de tranzacționare întreprinse de dvs. pe baza informațiilor furnizate pe paginile portalului.
Leonardo Fibonacci este unul dintre cei mai mari matematicieni ai Evului Mediu. Într-una din lucrările sale „Cartea calculelor”, Fibonacci a descris sistemul indo-arab de calcul și avantajele utilizării acestuia față de cel roman.
Definiție
Numerele Fibonacci sau secvența Fibonacci este o secvență numerică care are un număr de proprietăți. De exemplu, suma a două numere adiacente ale secvenței dă valoarea următoarei (de exemplu, 1 + 1 = 2; 2 + 3 = 5 etc.), ceea ce confirmă existența așa-numitelor rapoarte Fibonacci , adică raporturi constante.
Secvența Fibonacci începe astfel: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ...
2.
Definiție completă a numerelor Fibonacci
3.
Proprietățile secvenței Fibonacci
4.
1. Raportul dintre fiecare număr și următorul din ce în ce mai mult tinde la 0,618 pe măsură ce crește numărul ordinal. Raportul dintre fiecare număr și cel anterior tinde la 1,618 (invers la 0,618). Numărul 0,618 se numește (PI).
2. La împărțirea fiecărui număr la următorul, după unul, se obține numărul 0,382; dimpotrivă - respectiv 2.618.
3. Alegând astfel raporturile, obținem setul principal de coeficienți Fibonacci:… 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.
5.
Conexiunea dintre secvența Fibonacci și „raportul auriu”
6.
Secvența Fibonacci asimptotic (se apropie din ce în ce mai încet) tinde spre un raport constant. Cu toate acestea, acest raport este irațional, adică este un număr cu o secvență infinită, imprevizibilă, de cifre zecimale în partea fracțională. Este imposibil să-l exprimi cu precizie.
Dacă vreun membru al secvenței Fibonacci este împărțit la cel care o precedă (de exemplu, 13: 8), rezultatul va fi o valoare care fluctuează în jurul valorii iraționale 1.61803398875 ... și din nou crește, apoi nu o atinge. Dar chiar dacă am atins Eternitatea, este imposibil să știm exact raportul, până la ultima cifră zecimală. De dragul durității, îl vom traduce sub forma 1.618. Denumiri speciale pentru acest raport au început să fie date chiar înainte ca Luca Pacioli (un matematician de la mijlocul secolului) să-l numească Proporția divină. Printre denumirile sale moderne se numără Golden Ratio, Golden Media și raportul dintre pătratele rotative. Keplep a numit această relație una dintre „comorile geometriei”. În algebră, desemnarea sa prin litera greacă phi este în general acceptată
Să ne imaginăm raportul auriu folosind un segment de linie ca exemplu.
Să considerăm un segment cu capetele A și B. Fie punctul C să împartă segmentul AB astfel încât,
AC / CB = CB / AB sau
AB / CB = CB / AC.
Vă puteți gândi astfel: A -– C --– B
7.
Raportul auriu este o astfel de împărțire proporțională a unui segment în părți inegale, în care întregul segment se referă la partea mai mare în același mod în care partea mai mare se referă la cea mai mică; sau cu alte cuvinte, un segment mai mic se referă la unul mai mare, ca unul mai mare la toate.
8.
Segmentele raportului auriu sunt exprimate prin fracția irațională infinită 0,618 ... dacă AB este luat ca unitate, AC = 0,382 .. După cum știm deja numerele 0,618 și 0,382 sunt coeficienții secvenței Fibonacci.
9.
Fibonacci și Rapoartele de Aur în natură și istorie
10.
Este important de remarcat faptul că Fibonacci, așa cum s-a spus, i-a amintit secvenței umanității. Era cunoscută chiar de grecii și egiptenii antici. Într-adevăr, de atunci în natură, arhitectură, arte plastice, matematică, fizică, astronomie, biologie și multe alte domenii, s-au găsit modele descrise de coeficienții Fibonacci. Este uimitor cât de multe constante pot fi calculate folosind secvența Fibonacci și cum apar membrii acesteia într-un număr imens de combinații. Cu toate acestea, nu ar fi o exagerare să spunem că acesta nu este doar un joc cu cifre, ci cea mai importantă expresie matematică a fenomenelor naturale descoperite vreodată.
11.
Exemplele de mai jos arată câteva aplicații interesante ale acestei secvențe matematice.
12.
1. Coaja este înfășurată în spirală. Dacă îl desfaceți, obțineți o lungime puțin inferioară lungimii șarpelui. O coajă mică de zece centimetri are o spirală lungă de 35 cm. Forma învelișului înfășurat în spirală a atras atenția lui Arhimede. Ideea este că raportul măsurătorilor buclelor coajă este constant și egal cu 1,618. Arhimede a studiat spirala scoicilor și a derivat ecuația pentru spirală. Spirala extrasă din această ecuație poartă numele său. Creșterea pasului ei este întotdeauna uniformă. În prezent, spirala Arhimede este utilizată pe scară largă în tehnologie.
2. Plante și animale. Chiar și Goethe a subliniat tendința naturii spre spirală. Aranjamentul elicoidal și spiralat al frunzelor pe ramurile copacilor a fost observat cu mult timp în urmă. Spirala a fost văzută în aranjamentul semințelor de floarea soarelui, în conuri de pin, ananas, cactuși etc. Lucrarea comună a botanicilor și matematicienilor a arătat lumină asupra acestor fenomene naturale uimitoare. S-a dovedit că în dispunerea frunzelor pe o ramură de semințe de floarea-soarelui, conuri de pin, se manifestă seria Fibonacci și, prin urmare, se manifestă legea raportului auriu. Păianjenul țese pânza în spirală. Un uragan se învârte în spirală. O turmă înspăimântată de reni se împrăștie în spirală. Molecula de ADN este răsucită într-o dublă spirală. Goethe a numit spirala „curba vieții”.
Printre ierburile de la marginea drumului crește o plantă de neuitat - cicoarea. Să aruncăm o privire mai atentă la el. S-a format un proces din tulpina principală. Prima foaie este situată chiar acolo. Tragerea face o ejectare puternică în spațiu, se oprește, eliberează o frunză, dar este mai scurtă decât prima, face din nou o ejectare în spațiu, dar cu mai puțină forță, eliberează o frunză de dimensiuni chiar mai mici și scoate din nou. Dacă prima emisie este luată ca 100 de unități, atunci a doua este de 62 de unități, a treia este de 38, a patra este de 24 etc. Lungimea petalelor este, de asemenea, supusă raportului auriu. În creștere, cucerirea spațiului, planta a păstrat anumite proporții. Impulsurile creșterii sale au scăzut treptat proporțional cu secțiunea aurie.
Șopârla este vivipară. La o șopârlă, la prima vedere, sunt surprinse proporții plăcute ochilor noștri - lungimea cozii sale este la fel de mult legată de lungimea restului corpului, de la 62 la 38.
Atât în lumea plantelor, cât și în cea animală, tendința formativă a naturii trece permanent - simetrie în ceea ce privește direcția de creștere și mișcare. Aici, raportul auriu apare în proporțiile părților perpendiculare pe direcția de creștere. Natura a realizat împărțirea în părți simetrice și proporții aurii. În părți, se manifestă repetarea structurii întregului.
La începutul acestui secol, Pierre Curie a formulat o serie de idei profunde de simetrie. El a susținut că nu se poate lua în considerare simetria vreunui corp fără a lua în considerare simetria mediului. Modelele de simetrie aurie se manifestă în tranzițiile de energie ale particulelor elementare, în structura unor compuși chimici, în sistemele planetare și spațiale, în structurile genetice ale organismelor vii. Aceste tipare, așa cum s-a indicat mai sus, se află în structura organelor individuale ale unei persoane și ale corpului în ansamblu și se manifestă și în bioritmuri și în funcționarea creierului și a percepției vizuale.
3. Spațiul. Din istoria astronomiei se știe că I. Titius, astronom german al secolului al XVIII-lea, cu ajutorul acestei serii (Fibonacci) a găsit regularitatea și ordinea în distanțele dintre planetele sistemului solar
Cu toate acestea, un caz care aparent contrazicea legea: nu exista o planetă între Marte și Jupiter. Observarea concentrată a acestei regiuni a cerului a dus la descoperirea centurii de asteroizi. Acest lucru s-a întâmplat după moartea lui Titius la începutul secolului al XIX-lea.
Seria Fibonacci este utilizată pe scară largă: este utilizată pentru a reprezenta arhitectonica ființelor vii și a structurilor artificiale și structura galaxiilor. Aceste fapte sunt dovezi ale independenței seriei numerice față de condițiile manifestării sale, care este unul dintre semnele universalității sale.
4. Piramide. Mulți au încercat să dezvăluie secretele piramidei de la Giza. Spre deosebire de alte piramide egiptene, acesta nu este un mormânt, ci mai degrabă un puzzle insolubil al combinațiilor de numere. Remarcabila ingeniozitate, îndemânare, timp și muncă a arhitecților piramidei, pe care i-au folosit în construcția simbolului etern, indică importanța extremă a mesajului pe care au vrut să-l transmită generațiilor viitoare. Era lor era preliterată, pre-hieroglifică, iar simbolurile erau singurul mijloc de înregistrare a descoperirilor. Cheia secretului geometric-matematic al piramidei din Giza, care fusese un mister pentru omenire de atâta timp, a fost de fapt dată lui Herodot de către preoții din templu, care i-au informat că piramida a fost construită astfel încât zona fiecare dintre fețele sale era egală cu pătratul înălțimii sale.
Zona triunghiului
356 x 440/2 = 78320
Zona pătrată
280 x 280 = 78400
Lungimea marginii bazei piramidei la Giza este de 238,7 m (783,3 picioare), înălțimea piramidei este de 484,4 picioare (147,6 m). Lungimea nervurii de bază împărțită la înălțime duce la raportul Ф = 1.618. O înălțime de 484,4 picioare corespunde cu 5813 inci (5-8-13) - acestea sunt numere din secvența Fibonacci. Aceste observații interesante sugerează că proiectarea piramidei se bazează pe proporția Φ = 1.618. Unii savanți moderni sunt înclinați să interpreteze că vechii egipteni l-au construit cu singurul scop de a transmite cunoștințe pe care doreau să le păstreze pentru generațiile viitoare. Studiile intensive ale piramidei de la Giza au arătat cât de extinse erau cunoștințele în matematică și astrologie în acel moment. În toate proporțiile interne și externe ale piramidei, numărul 1.618 joacă un rol central.
Piramide în Mexic. Nu numai piramidele egiptene sunt construite în conformitate cu proporțiile perfecte ale raportului auriu, același fenomen a fost găsit și în piramidele mexicane. Se naște ideea că atât piramidele egiptene, cât și cele mexicane au fost ridicate aproximativ în același timp de oameni de origine comună.
