În practica bancară, există diverse metode și modalități de calculare a dobânzii.

Deci, în practica bancară, se utilizează dobânda simplă și compusă.

Interes simplu sunt utilizate în principal pentru creditarea pe termen scurt, atunci când o dată pe trimestru sau într-o altă perioadă specificată de contract, dobânda este calculată și plătită creditorului. De regulă, metoda descrisă mai sus este utilizată predominant în prezent. Suma dobânzii plătite (I) pentru perioada d se calculează folosind formula:

unde P este suma depozitului (datoria inițială);

i - mărimea dobânzii;

d este perioada de depozitare în zile;

k este numărul de zile dintr-un an.

Suma depozitului cu dobândă de depozitare (S) se calculează după formula:

Termenul depozitului în ani (n), termenul depozitului în zile (d) și rata anuală de actualizare a dobânzii simple (i) se calculează folosind formulele:

unde S este suma depozitului acumulat cu dobândă;

Suma totală a plăților împrumutatului, ținând cont de suma principală a datoriei, poate fi calculată și folosind următoarea formulă:

unde S este suma plăților aferente împrumutului, ținând cont de datoria inițială;

R - datoria initiala;

i – rata dobânzii;

n este durata împrumutului în ani sau raportul dintre perioada de utilizare a împrumutului în zile și baza utilizată (360 sau 365 de zile).

Foarte des în practica bancară este necesară efectuarea unei operațiuni care este inversul procedurii de calcul a dobânzii. Este cazul, de exemplu, în cazul circulației facturilor cu discount. În acest caz, la determinarea datoriei inițiale se va aplica următoarea formulă:

Să presupunem că banca a emis o cambie în următorii termeni: valoarea facturii la valoarea nominală este de 100 de milioane de ruble. pe o perioadă de 3 luni, cu condiția plății a 120% pe an. Suma plății în cazul plasării unei facturi (prețul de cumpărare) va fi:

În condiții de inflație ridicată, definirea venitului real din investiții în depozite (credit) este de o importanță deosebită. Suma depozitului cu dobândă recalculată ținând cont de inflație (P t) se calculează prin formula:

unde t r este rata inflației pentru perioada de stocare.

Rata inflației pentru perioada de stocare t r se calculează după cum urmează:

unde mn este numărul de luni din perioada de depozitare;

t m este rata lunară a inflației.

De exemplu, cu condiția ca suma contribuției să se ridice la 100 de mii de ruble. pe o perioadă de 6 luni la 40% pe an, venitul nominal al deponentului va fi:

Cu toate acestea, cu condiția ca rata medie lunară a inflației pentru perioada de stocare să fie de 5%, atunci valoarea venitului real (recalculat ținând cont de inflație) pe care deponentul îl va primi va fi:

Astfel, în șase luni deponentul va primi 120 de mii de ruble, a căror putere de cumpărare va fi de 89.750 de ruble.

În practica bancară, este posibil să se utilizeze dobânda compusă, de regulă, pentru creditarea pe termen lung, atunci când sumele acumulate nu sunt plătite creditorului înainte de încheierea tranzacției, dar se majorează cuantumul principal al datoriei. Atunci când se utilizează această metodă, suma fondurilor acumulate este inclusă în datorie și continuă să acumuleze dobândă pentru acestea (adică, dobânda se percepe la dobândă). Formula pentru calcularea dobânzii compuse și determinarea sumei totale a datoriei poate fi reprezentată astfel:

Suma depozitului acumulat cu dobândă se calculează după următoarea formulă:

unde S este suma acumulată a depozitului cu dobândă;

n este termenul depozitului în ani;

m este numărul de perioade de acumulare dintr-un an;

mn este numărul de perioade de acumulare pentru perioada de păstrare.

Suma dobânzii acumulate se calculează după formula:

Să luăm în considerare un exemplu ipotetic.

Să presupunem că un deponent intenționează să depună 200 de mii de ruble într-o bancă. pe o perioadă de 10 luni. Sunt oferite următoarele condiții de depozitare:

banca acumulează 70% pe an la depozite la o dobândă simplă;

banca acumulează lunar dobândă la depozite la o rată compusă de 60% pe an (dobânda acumulată după prima perioadă de acumulare nu este plătită, dar se adaugă la suma depozitului).

Calculați suma acumulată a depozitului cu dobândă pentru 2 opțiuni:

Astfel, în ciuda faptului că la acumularea la o dobândă simplă, dobânda acumulată de bancă la depozite este mai mare (70% pe an) decât la acumularea la o dobândă compusă (60% pe an), venitul primit de către deponent în condițiile existente va fi mai mare atunci când se utilizează a doua opțiune de stocare.

Aceleași metode de calcul a dobânzii pot fi folosite atunci când o bancă împrumută clienților săi. În același timp, banca trebuie să analizeze cu atenție toate punctele care pot afecta în cele din urmă profitabilitatea operațiunilor bancare. De exemplu, este necesar să se țină cont de natura inflației și, în acest sens, să se determine ce este mai oportun pentru bancă: fie să crească valoarea datoriilor prin dobânzi acumulate, dar nereclamate, fie să primească o taxă anuală pentru împrumut.

Există diverse modalități de calculare a dobânzii: acestea sunt determinate de natura măsurării numărului de zile de utilizare a împrumutului și a duratei anului în zile (baza de timp pentru calcularea dobânzii). Astfel, numărul de zile de împrumut poate fi determinat exact sau aproximativ, atunci când durata oricărei luni întregi este recunoscută ca fiind egală cu 30 de zile. Baza de timp este egală fie cu durata reală a anului (365 sau 366 de zile), fie cu aproximativ 360 de zile. Respectiv, Se aplică următoarele rate ale dobânzii compuse:

1. Dobândă exactă cu numărul real de zile de împrumut; această metodă oferă cele mai precise rezultate și este utilizată de multe bănci centrale și mari comerciale. Se caracterizează prin faptul că numărul exact de zile de împrumut este utilizat pentru calcul, baza de timp este egală cu durata reală a anului. De exemplu,

P - valoarea împrumutului - 100.000 de ruble,

i - rata dobânzii - 9% pe an.

K este numărul exact de zile de împrumut,

S este suma acumulată a datoriei.

Apoi, S = 100000 x (1 + 0,09% x 260 de zile: 365 de zile) = 106411 ruble.

2. Dobanda obisnuita cu numarul exact de zile de imprumut. ÎNÎn acest caz, la fel ca și în cel precedent, se ia pentru calcul numărul exact de zile ale împrumutului, dar baza de timp este egală cu 360 de zile. Dacă termenul împrumutului depășește 360 ​​de zile, atunci valoarea dobânzii acumulate va fi mai mare decât rata anuală (de exemplu, dacă perioada împrumutului este de 364 de zile, atunci 364:360 = 1,011). Luați în considerare această metodă folosind exemplul de mai sus:

S 2 \u003d 100000 x (1 + 0,09% x 260 de zile: 360 de zile) \u003d 106499 ruble.

3. Dobândă obișnuită cu un număr aproximativ de zile de împrumut. Aici se determină aproximativ durata împrumutului în zile, baza de timp fiind de 360 ​​de zile. Se crede că numărul exact de zile de împrumut în majoritatea cazurilor este mai mare decât cel aproximativ, prin urmare suma dobânzii acumulate cu numărul exact de zile este de obicei mai mare decât cu cea aproximativă.

În exemplul nostru, numărul aproximativ de zile de împrumut este de 257 de zile (S 3), având în vedere că:

S 3 \u003d 10000 x (1 + 0,09% x 257 zile: 360 de zile) \u003d 106424 ruble.

Practica arată că a doua metodă de calcul a dobânzii, și anume, dobânda obișnuită cu numărul exact de zile de împrumut, dă un rezultat ceva mai mare în comparație cu celelalte două variante, de care trebuie să țină cont de către creditor atunci când solicită un credit. .

Capitolul 12. Piața financiară

Calculul dobânzii simple (adică schema dobânzii simple) este o metodă de acumulare a dobânzii pe durata de viață a unui împrumut pe capitalul inițial. Această metodă este utilizată la deservirea depozitelor de economii cu plăți lunare de dobândă și în cazurile în care dobânda nu se adaugă la suma datoriei, ci este plătită periodic creditorului. Dobânda simplă este utilizată atunci când se acordă împrumuturi pe termen scurt acordate pe o perioadă de până la un an cu o singură taxă de dobândă.

Formula de calcul a venitului din dobânzi cu dobândă simplă este:

F = P + eu

F = P (1+ nr),

unde F este suma acumulată;

P - capitalul initial;

n este termenul de calcul al dobânzii;

r - rata dobânzii (exprimată în sutimi de procent).

Apoi venitul din dobânzi (I) este determinat de formula

eu= P *n * r.

Când durata n tranzacția financiară este mai mică de un an, venitul din dobânzi este de obicei determinat de formulă

eu = P * t / T * r

unde t este durata tranzacției financiare în zile;

T este numărul de zile dintr-un an.

La determinarea duratei unei tranzacții financiare, se obișnuiește să se considere ziua emiterii și ziua rambursării împrumutului drept o zi. În funcție de cât se consideră egală durata anului (trimestru, lună), se obțin două variante de dobândă:

- procente exacte, determinată pe baza numărului exact de zile dintr-un an (365 sau 366), dintr-un trimestru (de la 89 la 92), dintr-o lună (de la 28 la 31);

- dobândă obișnuită determinată pe baza numărului aproximativ de zile dintr-un an, trimestru și lună (respectiv 360, 90, 30 de zile).

La determinarea duratei perioadei pentru care se acordă un împrumut, sunt posibile și două opțiuni de calcul:

1) în primul caz se ia în considerare numărul exact de zile de creditare (calculul se face pe zile);

2) în al doilea caz se ia în calcul numărul aproximativ de zile de creditare (pe baza duratei lunii de 30 de zile).

În bănci, atunci când deservesc conturile curente, dobânda este adesea calculată folosind valori precum număr procentualși divizor

Procentul se calculează ca : k = Pt / 100

Divizorul se calculează ca : D = T / r

Apoi venitul din dobânzi poate fi definit după cum urmează :

eu= suma(k) / D

De obicei, suma din cont se modifică frecvent ca urmare a încasărilor sau retragerilor de sume bănești. Pentru a afla suma totală a dobânzii acumulate pentru o anumită perioadă, mai întâi determinați cifrele procentuale pentru fiecare perioadă de timp în care suma din cont nu s-a modificat. Apoi se adună toate procentele și valoarea rezultată este împărțită la divizor.

Calculul dobânzii compuse.

Dobânda compusă (sau „dobânda la dobândă”) este o metodă de calcul a venitului împrumutătorului, în care plata dobânzii în fiecare perioadă de decontare se adaugă la capitalul perioadei precedente, iar în perioada următoare se acumulează dobândă la dobânda acumulată. capital.

În acest caz, are loc capitalizarea dobânzii, adică dobânda acumulată se adaugă la baza lor și, în consecință, baza de la care se acumulează dobânda crește tot timpul.

Dacă plata dobânzii se calculează și se adaugă la capital o dată pe an, atunci se consideră că capitalizarea este anuală.

Dacă plata dobânzii este calculată și adăugată la capital la fiecare 6 luni, atunci aceasta se numește capitalizare semestrială.

Dobânda compusă poate fi calculată și capitalizată trimestrial, lunar etc.

Există două moduri calculul dobânzii compuse: antisipativ (preliminar) și decursiv (ulterior).

Dobânda compusă antisipativă este calculul dobânzii la începutul fiecărei perioade de facturare. Această metodă este utilizată într-o perioadă de inflație ridicată.

Dobânda compusă decursivă este calculul dobânzii la sfârșitul fiecărei perioade de facturare. Acesta este cel mai comun mod de a calcula dobânda compusă.

Cu metoda de calcul decursivă, costul final al capitalului poate fi calculat folosind următoarea formulă:

F n = P * (1 + r) n

unde F n este costul final al capitalului

P - costul inițial al capitalului

r - rata dobânzii exprimată în fracții zecimale

n este numărul de perioade de acumulare

Valoarea (1 + r) se numește coeficient decursiv, iar puterea a n-a a acestui coeficient se numește coeficient de creștere.

Plata totală a dobânzii în baza angajamentelor decursive poate fi calculată folosind următoarea formulă:

eu = P * [ (1 + r) n – 1]

Tema 1. Metode de acumulare
interes bancar

O bancă este o instituție de credit înființată pentru a strânge fonduri de la persoane juridice și persoane fizice și a le plasa în nume propriu în condițiile de rambursare, plată și urgență, precum și pentru a efectua alte operațiuni bancare.

În structura fondurilor băncilor, cea mai mare parte este ocupată de fonduri împrumutate. De obicei, capitalul social al băncilor comerciale este mai mic de 10% din totalul resurselor.

Fondurile strânse de bănci pot fi împărțite în două categorii:

• depozite, inclusiv fonduri în diferite conturi, precum și certificate de depozit;
• împrumuturi de la Banca Centrală, alte bănci și instituții de credit, emiterea de obligații de creanță.

Pentru utilizarea resurselor de credit, băncile plătesc proprietarilor veniturile sub formă de dobândă, care reprezintă o cheltuială cu dobânda pentru bănci.

Dobânda (bani de dobândă) este suma veniturilor din împrumutul de bani sub diferite forme (deschiderea de conturi de depozit, emiterea de împrumuturi, cumpărarea de obligațiuni etc.). Suma dobânzii acumulate depinde de valoarea datoriei, termenul de plată a acesteia și rata dobânzii. Ratele dobânzilor pot fi plătite pe măsură ce se acumulează sau adăugate la suma datorată.

În funcție de metoda de acumulare, dobânda este împărțită în simple și compuse.

Interes simplu- aceasta este o metoda de acumulare in care suma dobanzii se determina pe intreaga perioada, pe baza cuantumului initial al datoriei, indiferent de numarul perioadelor de acumulare si durata acestora.

Dobânda simplă se calculează după formula:

,

(1)

unde: B - suma finală primită de deponent (creditor) la sfârşitul perioadei T;

C - suma inițială (inițială) a contribuției (datoriei);

T - perioada în care a avut loc acumularea (în zile);

Anul T este numărul de zile dintr-un an. Se ia egal cu 360 sau 365 (în funcție de metoda de determinare a T);

K - rata rentabilității (rata dobânzii la depozite).

Interes compus- o metodă de calcul a dobânzilor, în care apar acumulări asupra sumei inițiale a depozitului (datoriei) și asupra creșterii depozitului (datorii), adică. suma dobânzii acumulate după prima perioadă de acumulare. Astfel, baza de calcul a dobânzii compuse (spre deosebire de dobânda simplă) va crește cu fiecare perioadă de acumulare.

Esența dobânzii compuse este că dobânda este calculată pe dobândă.

Formula dobânzii compuse este următoarea:

unde: Tl este un număr întreg de ani pe durata depozitului;

ΔT este restul perioadei în ani.

Calculul dobânzii mixte dă un rezultat mai precis, în timp ce cu dobânda compusă rezultatul este aproximativ.

Sarcina

1. Este necesar să se asigure primirea a 10.000 de ruble. șase luni mai târziu. Câți bani ar trebui investiți în acest scop într-o bancă comercială cu dobândă simplă și compusă la o rată de 15% pe an. Decideți care metodă este mai benefică pentru client.
2. Depozit în valoare de 15.000 de ruble. deschis într-o bancă timp de 2 ani la 20% pe an. Aflați suma dobânzii acumulate folosind rate simple și compuse. Trageți o concluzie care metodă este mai profitabilă pentru investitor.
3. Deponentul plasează 850 de ruble. într-o bancă timp de 1,5 ani, dobânda se percepe la o rată compusă de 21% pe an. Calculați suma dobânzii acumulate (valoare aproximativă și exactă).
4. Cont de depozit în valoare de 4000 de ruble. deschis într-o bancă comercială timp de 3 luni la 17% pe an. Găsiți venitul din dobânzi pe care le va primi investitorul la calcularea dobânzii simple și compuse. Faceți o concluzie.
5. Aflați pentru câți ani o contribuție de 1500 de ruble. va crește la 3000 de ruble. la acumularea dobânzii la o rată simplă, 13% pe an.
6. Deponentul va pune în bancă suma de 15.000 de ruble. pentru a acumula 16.500 de ruble. Rata dobânzii va fi de 21% pe an. Găsiți perioada în zile pentru care deponentul va putea acumula suma necesară. Trebuie remarcat faptul că banca utilizează valoarea reală a numărului de zile dintr-un an atunci când calculează.
7. Un client care decide să depună 2.000 de ruble dorește să acumuleze cel puțin 2.700 de ruble într-un an. Este necesar să se găsească dobânda simplă necesară, pe baza căreia poate alege o bancă pentru a-și depune fondurile.
8. Sunt două sume de bani, una mai mare decât cealaltă cu 5000 de ruble.
   • o sumă mai mare este investită timp de 6 luni la o rată de 5% pe an.
   • o sumă mai mică este depusă timp de 3 luni la o rată de 6% pe an.
   • venitul din dobânzi pentru suma mai mare este de două ori venitul din dobânzi pentru suma mai mică. Este necesar să se afle valoarea acestor capitaluri monetare.
9. Pentru ce perioadă de timp trebuie investit capitalul la 12% pe an, astfel încât venitul din dobânzi să fie egal cu suma triplă a capitalului?
10. O sumă de bani, în valoare de 10.000 de ruble, a fost depusă în bancă timp de 4 luni la 10% pe an. Determinați valoarea veniturilor din dobânzi ale investitorului.
11. Banca acumulează anual dobândă compusă la depozite la o rată de 13% pe an. Determinați suma care trebuie depusă în bancă pentru a acumula 1 milion de ruble în 3 ani.

Tema 2. Decursiv și antisipativ
metoda de calcul al dobânzii

Una dintre cele mai importante proprietăți ale fluxurilor de numerar este distribuția lor în timp. Prin intermediul ratele dobânzilor poate fi definită ca valoarea viitoare a banilor „de azi” (de exemplu, dacă urmează să împrumute) și valoarea prezentă (modernă, actuală) a banilor „de mâine” - de exemplu, cei cărora li se promite să fie rambursați la un an de la livrarea bunurilor sau serviciilor. În primul caz, vorbim despre o operațiune de acumulare (de angajamente), deci valoarea viitoare a banilor se numește adesea acumulată. În al doilea caz, se realizează actualizarea sau aducerea valorii viitoare la valoarea ei actuală (momentul curent). Această valoare a banilor se numește redusă, prezentă sau actuală.

Rata dobânzii K arată gradul de intensitate a modificării valorii banilor în timp și se determină prin împărțirea veniturilor din dobânzi la suma inițială.

Rata dobânzii este utilizată în determinarea creșterii valorii prezente, deci K este un fel de „marjă”.

Se numește creșterea sumei inițiale folosind o rată a dobânzii metoda decursivă calculul dobânzii.

Pe lângă rata dobânzii, există procent de reducere(sau rata de reducere) Este egal cu raportul dintre veniturile din dobânzi și suma finală.

Rata de actualizare este utilizată la determinarea reducerii valorii viitoare, adică K uch - "reducere" biskont (germană) - reducere.

Cu toate acestea, uneori rata de actualizare produce o creștere a valorii. Se numește calculul dobânzii folosind o rată de actualizare (rata de reducere). metoda antisipativă.

Cu ajutorul ratelor avute în vedere se poate percepe dobândă simplă și compusă.

Calculul dobânzii decursive simple:

unde: К uch - rata de reducere (rata de reducere).

Calculul dobânzii decursive compuse:

În Rusia, metoda decursivă de calcul a dobânzii este utilizată în principal în prezent. Metoda antisipativă este de obicei folosită în scopuri tehnice, de exemplu, pentru a determina suma, actualizarea care la o anumită rată de actualizare și perioadă va da rezultatul dorit.

Sarcina

1. Împrumut în valoare de 1 milion de ruble. emis pentru șase luni la 30% pe an. Găsiți suma dobânzii acumulate la o rată simplă
   • metoda decursivă;
   • metoda antiseptica.
   Faceți o concluzie care metodă este mai benefică pentru debitor, creditor.
2. 10.000 de ruble depuse în bancă timp de 5 ani la 14% pe an. Determinați venitul din dobânzi din investirea banilor atunci când:
   • mod decursiv de calcul al dobânzii compuse;
   • mod antisipativ de calculare a dobânzii compuse.
3. Deponentul va pune bani în bancă pentru a acumula 800.000 de ruble. intr-un an. Rata dobânzii băncii este de 16% pe an. Determinați suma necesară a depozitului atunci când utilizați metoda antisipativă și decursivă de calcul a dobânzii.
4. Investitorul a contribuit cu 500.000 de ruble. pentru a acumula 700.000 de ruble. Determinați perioada în zile pentru care investitorul va acumula suma necesară folosind metoda decursivă și antisipativă de calcul a dobânzii simple. Rata dobânzii băncii este de 14% pe an.

Subiectul 3. Determinarea bazei calendaristice
simple dobânzi

În practica bancară internațională, numărul de zile dintr-un an și în luni este determinat diferit.

ÎN limba germana practica (comercială) este de a calcula numărul de zile pe baza unui an de 360 ​​de zile și a lunilor de 30 de zile. Pe scurt, esența acestei metode poate fi scrisă:

12 luni x 30 de zile = 360 / numărul de zile dintr-un an - 360

În limba francezaÎn practică, se presupune că durata anului este de 360 ​​de zile, numărul de zile dintr-o lună corespunde cu durata calendaristică reală a acestora (28, 29, 30, 31 de zile).

365 / 360

ÎN Engleză practica T an = 365 (366) zile, durata fiecărei luni este reală.

365 / 365

Dobânda calculată pe baza germană se numește dobândă ordinară sau comercială, pe baza engleză - exactă.

Dobânda obișnuită (360/360) este mai convenabil de utilizat în calcule. Aceasta explică popularitatea aplicării lor în practică în majoritatea țărilor dezvoltate, inclusiv în Statele Unite.

În Rusia, sunt utilizate atât dobânda obișnuită (360/360) cât și cea exactă (365/365). Cele exacte sunt utilizate în metodele oficiale ale Băncii Centrale a Rusiei și ale Ministerului de Finanțe al Federației Ruse pentru calcularea randamentului obligațiilor guvernamentale. Dobânda obișnuită este utilizată în principal în tranzacțiile cu cambii.

La determinarea numărului de zile pentru calcularea dobânzii, trebuie să se țină cont de faptul că în bănci se obișnuiește să se considere ziua acceptării și ziua emiterii unui depozit (datorie) drept 1 zi.

Sarcina

1. Depozitul la vedere a fost depus de la 20.01.2003 la 15.03.2003.Aflați numărul de zile pentru calcularea dobânzii folosind trei metode. Faceți o concluzie.
2. Depozitul a fost depus în perioada 25.06.2002 până în 5.09.2002.Găsiți numărul de zile pentru calcularea dobânzii folosind metodele germane, franceze, engleze.
3. Depozit în valoare de 1000 de ruble. a fost deschisă în bancă la 12 martie 2000 și solicitată la 25 decembrie 2000. Dobânda simplă a fost acumulată la o rată de 19% pe an. Găsiți suma dobânzii acumulate folosind practicile germane, franceză și engleză pentru a determina baza calendaristică. Încheiați în care caz investitorul va primi cel mai mare venit.
4. Depozitul a fost depus la banca la 4 februarie 2003 si retras la 1 iunie 2003. Rata dobanzii este de 12% pe an. Suma depozitului este de 2000 de ruble. Banca percepe dobândă obișnuită. Aflați suma dobânzii acumulate.
5. Deponentul urmează să depună 3.000 de ruble în bancă. 1 martie 2003, pentru a acumula 400 de ruble în trei luni. Găsiți rata dobânzii simplă necesară la depozite, cu condiția ca băncile să calculeze baza calendaristică folosind metoda engleză.

Tema 4. Calculul dobânzii
la depozite la vedere

Resursele sunt atrase de bănci prin operațiuni de depozit.

Depozitele (depozitele) se împart în:

• depozite la vedere (fara termen);
• depozite la termen.

Depozite la vedere sunt fonduri care pot fi retrase oricând fără notificarea prealabilă a băncii de către client. Fondurile sunt depuse sau retrase în aceste conturi atât parțial, cât și integral, fără restricții.

Depozite la termen- sunt depozite atrase de bănci pentru o anumită perioadă.

La depozitele la termen, dobânda se calculează folosind formulele considerate anterior.

În cazul depozitelor la termen, suma nu este constantă. Prin urmare, băncile folosesc o metodă cu determinarea unor cifre procentuale pentru a calcula dobânda. Esența acestei metode este că atunci când suma din cont se modifică, suma totală a dobânzii pentru întreaga perioadă de depozitare este valoarea dobânzii acumulate pentru fiecare perioadă de acumulare în care suma din cont a fost constantă.

Procentul este determinat de formula:

unde: Pd este un divizor constant;

T este numărul de zile dintr-un an (depinde de metoda de determinare a T);

K este rata anuală a dobânzii.

Sarcina

1. La deschiderea unui cont de economii la o rată de 4% pe an la 20 mai 2002, 1.000 de ruble au fost depuse în cont. Apoi, pe 5 iulie 2002, au fost adăugate în cont 500 de ruble, pe 10 septembrie 2002, 750 de ruble au fost retrase din cont, iar pe 20 noiembrie 2002, contul a fost închis. Aflați suma dobânzii acumulate dacă a fost utilizată dobânda obișnuită (comercială).
2. La deschiderea unui cont la vedere pe 10 decembrie 2002, clientul a depus o sumă de 5.000 de ruble. la 4,5% pe an. La 1 februarie 2003, 1.560 de ruble au fost adăugate în cont; la 10 februarie 2003, un alt plus de 1.400 de ruble. Deponentul dorește să închidă contul pe 7 martie 2003. Câți bani va primi la închiderea acestuia, dacă baza calendaristică este determinată conform practicii franceze?
3. La 4 ianuarie 2003, în cont a fost depusă suma de 600 de ruble. la 3% pe an. La 9 februarie 2003, 250 de ruble au fost retrase din cont. La 28 februarie 2003, investitorul a contribuit cu 500 de ruble; 10 martie a contribuit cu alte 1400 de ruble. Clientul urmează să închidă contul la 1 iunie 2003. Aflați suma pe care o va primi la închiderea contului. Se percepe dobândă exactă.
4. La deschiderea unui cont deschis la banca comercială „Yenisei” la 4 martie 1998, au fost depuse 2.000 de ruble. Apoi, pe 5 aprilie 1998, clientul a depus încă 1.000 de ruble. La 15 iunie 1998, clientul a depus încă 1.000 de ruble. La 15 iunie 1998, 3.000 de ruble au fost retrase din cont; la 20 iulie 1998, contul a fost închis. Determinați suma pe care o va primi deponentul la închiderea contului. S-a perceput o dobândă simplă de 4% pe an. Termenul de depozit se stabileste dupa metoda franceza.

Subiectul 5
rata dobânzii pe termen

Există două tipuri de dobânzi:

• fix;
• plutind.

Fix- aceasta este o dobanda constanta pe toata perioada de pastrare a depozitului sau valabilitatea contractului de imprumut.

plutind este rata dobânzii care se modifică pe parcursul perioadei. Dobânda flotantă poate fi utilizată pentru a calcula dobânda simplă și compusă.

Suma finală primită de investitor la calcularea dobânzii compuse la o rată variabilă este determinată de:

unde: K 1 , K 2 , K n – valori succesive ale ratelor dobânzii;

T1, T2, Tn – perioade în care ratele corespunzătoare K 1 , K 2 , K n sunt valabile.

Calculul dobânzii simple folosind o rată variabilă se efectuează după formula:

Sarcina

1. Rata dobânzii la depozitele la vedere, care la începutul anului era de 10% pe an, după șase luni s-a redus la 7% pe an, iar după alte 3 luni la 4% pe an. Aflați suma dobânzii acumulate pentru un depozit de 1000 de ruble. pe an. Acumularea s-a făcut folosind o rată simplă.
2. Depuneți 800 de ruble. depusă la bancă la 25 mai 1997 la o rată de 30% pe an. La 1 iulie 1997, banca a redus rata la depozite la 23% pe an, iar la 15 iulie 1997 depozitul a fost închis. Numărul de zile pentru calculul dobânzii a fost determinat folosind metoda engleză. Găsiți suma primită de deponent la închiderea contului.
3. Rata dobânzii la împrumut este stabilită la 10% pe an, plus o marjă de 10% pe an pentru primul an și 20% pe an pentru următorii doi ani. Împrumutul a fost acordat pentru 20.000 de ruble. la dobândă compusă. Aflați suma pe care împrumutatul trebuie să o ramburseze după trei ani.
4. În condițiile contractului de împrumut, rata simplă a dobânzii în prima lună de utilizare a creditului a fost de 15% pe an, în fiecare lună ulterioară a crescut cu 2%. Împrumutul a fost acordat în valoare de 50.000 de ruble pentru 6 luni. Se percepe dobândă exactă.
5. Investitorul, primit în șase luni dintr-un împrumut de 1.000.000 de dolari la 8% pe an, reinvestește din nou în bancă timp de un an la 12% pe an. Găsiți venitul din dobânzi al investitorului pentru 1,5 ani.

Tema 6. Calculul dobânzii compuse

Dobânda compusă poate fi calculată de mai multe ori pe an (de exemplu, lunar, trimestrial, semestrial). În aceste cazuri, este necesară stabilirea ratei dobânzii pentru perioada, sau a ratei anuale a dobânzii, pe baza căreia se va determina rata dobânzii pentru perioada de acumulare (rata nominală a dobânzii).

Valoarea depozitului cu dobândă va fi determinată:

unde: K este rata nominală anuală a dobânzii;

m este numărul de perioade de acumulare pe an;

T·m este numărul de perioade de acumulare pe durata depozitului.

Sarcina

1. Dobânda compusă la depozite se acumulează trimestrial la o rată anuală nominală de 24%. Aflați suma dobânzii acumulate la un depozit de 1700 de ruble. timp de 1 an.
2. Dobânda compusă este calculată semestrial la o rată de 21% pe an. Găsiți suma necesară a depozitului pentru acumulare în trei sferturi de 1500 de ruble.
3. Deponentul a depus 5.000 de ruble în bancă. la 11% pe an 1 decembrie 2002. Contractul de depozit a fost încheiat înainte de 1 iunie 2003. Baza calendaristică se determină conform practicii engleze. Este necesar să se determine prin ce metodă de calcul a sumei dobânzii deponentul va primi venitul maxim. Opțiuni de calcul:
   • interes simplu;
   • dobândă compusă cu angajamente lunare;
   • dobândă compusă cu dobândă la sfârșitul termenului;
   • Dobânda compusă acumulată trimestrial.
4. Dobânda compusă la depozite se acumulează trimestrial la o rată anuală de 27%. Aflați suma dobânzii acumulate la un depozit de 5000 de ruble. după două blocuri.
5. Clientul a deschis un depozit la termen pentru șase luni la 18% pe an. Banca oferă mai multe opțiuni pentru calcularea dobânzii:
   • dobândă compusă cu acumulare trimestrială;
   • dobânda simplă acumulată o singură dată la sfârșitul termenului;
   • dobândă compusă cu acumulare lunară;
   • dobândă compusă acumulată o singură dată la sfârșitul termenului.
   Găsiți care dintre metodele prezentate va aduce investitorului cel mai mare venit.
6. Dacă dobânda compusă la depozit se acumulează lunar la o rată anuală de 9%, atunci care ar trebui să fie suma depozitului pentru acumulare în primul trimestru al 2000 de ruble?
7. Persoana juridică are temporar numerar gratuit în valoare de 200.000 de ruble pentru o perioadă de 3 luni. Banca îi propune să achiziționeze un certificat de depozit al băncii cu o plată de 14% pe an la sfârșitul termenului, sau să plaseze bani pe un depozit cu dobândă la o dobândă fixă ​​de 9,5% pe an. Dobânda la depozit se calculează lunar și se capitalizează. Determinați cât dobândă poate primi investitorul în ambele cazuri.

Tema 7. Calculul dobânzii
cu contribuţii regulate

Deponentul poate deschide un cont de depozit și poate depune aceleași sume în mod regulat în aceleași perioade. Apoi, suma dobânzii acumulate la fondurile clientului depinde de:

• când a fost plătită suma (la sfârșitul sau la începutul perioadei de facturare);
• cât de des sunt depuse fondurile;
• Cum calculează banca dobânda?

Dacă în fiecare an, la sfârșitul fiecărui an, timp de mai mulți ani, contul de depozit primește aceeași sumă, iar dobânda la suma depusă se acumulează la o rată compusă, atunci când contul este închis, deponentul va primi:

unde: B - suma finală (fondurile deponenților și dobânzile acumulate la acestea);

A - cuantumul contribuțiilor anuale;

K - rata dobânzii la depozite;

T este termenul depozitului (în ani).

Dacă aceleași sume sunt depuse la începutul fiecărui an, atunci valoarea economiilor pentru mai mulți ani este determinată de:

Dacă clientul efectuează depozite în contul de depozit de mai multe ori pe an la începutul fiecărei perioade de facturare, iar dobânda compusă este percepută de mai multe ori pe an, atunci suma finală primită de deponent este determinată de:

unde: R - cuantumul contribuțiilor periodice ale contribuabilului efectuate de acesta de mai multe ori pe an;

p este numărul de contribuții pe an;

m este numărul de dobânzi compuse acumulate pe an;

T este perioada de depozitare în ani;

K este rata dobânzii.

Dacă depozitele sunt creditate în cont de mai multe ori pe an la sfârșitul perioadelor de decontare (la sfârșitul fiecărei luni, trimestru etc.) și se acumulează dobândă compusă în cont de mai multe ori pe an, atunci la expirarea pe toată perioada de depozitare, clientul va primi suma:

Astfel, primirea și rambursarea unui împrumut pe termen lung, rambursarea diferitelor tipuri de datorii, indicatorii monetari ai procesului investițional nu prevăd plăți individuale unice, ci un set de plăți și încasări distribuite în timp, numit flux de plată. Un flux special de plăți, în care intervalele de timp dintre două plăți egale succesive sunt constante, se numește chirie financiară sau anuitate. Chiria financiară apare, de exemplu, la plata dobânzii la obligațiuni sau la plata unui împrumut de consum.

Sarcina

1. 300 de ruble vor fi depuse în contul de depozit la începutul fiecărui trimestru. Dobânda compusă se va acumula asupra acestora o dată la șase luni la o rată anuală de 25%. Aflați suma dobânzii acumulate pentru 1,5 ani.
2. Pentru o perioadă de 3 ani (5 ani, 7 ani), 500 de ruble vor fi depuse anual la sfârșitul anului, asupra cărora se va percepe dobândă compusă la o rată de 31% pe an. Aflați suma dobânzii acumulate pentru 3 ani, 5 ani, 7 ani.
3. Deponentul la sfârșitul fiecărui trimestru contribuie cu 200 de ruble, la care dobânda compusă se acumulează trimestrial la o rată de 18% pe an. Aflați cât vor fi economiile deponentului în doi ani.
4. Sumele depuse la sfârșitul fiecărui trimestru în contul de depozit vor acumula dobândă la o rată compusă de 21% pe an timp de șase luni. Găsiți suma contribuțiilor trimestriale dacă doriți să economisiți 10.000 de ruble într-un an.
5. Banca a oferit clientului să facă contribuții anuale în valoare de 1000 de ruble fie la începutul anului, fie la sfârșitul anului. Acumulările vor avea loc la o rată compusă de 17% pe an. Care opțiune va oferi clientului cel mai mare venit?
6. Contribuțiile la contul de depozit se vor face la începutul fiecărui trimestru, iar asupra acestora se va acumula semestrial dobândă compusă la o rată de 20% pe an. Aflați suma contribuțiilor necesare pentru a acumula 5000 de ruble timp de 1 an și 3 luni.
7. Clientul și-a exprimat dorința de a depune 2.000 de ruble într-un cont de depozit la fiecare trei luni. Este necesar să aflați când este mai profitabil să faceți acest lucru, la începutul sau la sfârșitul trimestrului. De menționat că banca percepe trimestrial dobândă compusă la o rată de 24% pe an. Termenul de depozit este de 1 an.
8. Timp de 5 ani, 50.000 de ruble vor fi depuse în contul de economii la fiecare șase luni, pentru care se va percepe dobândă compusă o dată pe an la o rată de 10% pe an. Determinați suma dobânzii pe care banca o va plăti titularului contului.
9. La sfârșitul fiecărui trimestru, 5.000 de ruble vor fi plătite în Fondul de pensii, pentru care dobânda compusă va fi, de asemenea, acumulată trimestrial la o rată anuală nominală de 8%. Determinați suma acumulată în fond pe o perioadă de 20 de ani.
10. Investitorul timp de 10 ani la sfârșitul fiecărui an primește suma de 50.000 de ruble. și plasează fiecare plată până la sfârșitul perioadei de zece ani la 9% pe an. Determinați valoarea viitoare a anuității.

Tema 8. Depozit și economii
certificate de bancă comercială

Certificat de depozit (de economii) - o garanție care atestă că deținătorul său are un depozit la termen deschis într-o bancă. Certificatul dă dreptul de a primi după expirarea perioadei stabilite suma depozitului și dobânda indicate în acesta.

Dacă o entitate juridică acționează ca deponent, atunci se emite un certificat de depozit (DS), dacă o persoană fizică - un certificat de economii (SS). În acest caz, proprietarul certificatului de depozit poate fi persoane juridice înregistrate pe teritoriul Federației Ruse sau alt stat care utilizează rubla ca monedă oficială.

Certificatele de depozit și de economii pot fi emise numai de bănci. În prezent, există anumite restricții privind componența băncilor comerciale care pot emite certificate de economii.

Termenul de circulație al certificatelor de depozit este limitat la un an. Toate plățile asupra acestora se fac fără numerar. Termenul de circulatie al certificatelor de economisire nu poate depasi trei ani, decontarile asupra acestora putand avea loc atat in forma numerar cat si in cea fara numerar.

Certificatele de depozit au o serie de avantaje semnificative față de depozitele la termen:

• Clienții le pot vinde înainte de data expirării depozitului.
• Certificatele de economii de depozit sunt folosite pentru a plăti bunuri și servicii (în Rusia, conform situației actuale, acest lucru nu este încă permis).

Certificatele de depozit conform metodei de obținere a veniturilor de către proprietarii lor sunt împărțite în două tipuri - dobândă și reducere. Certificatele de depozit purtătoare de dobândă acumulează dobândă simplă în mod similar cu acumularea lor în conturile de depozit (formula 1).

Certificatele de depozit cu reducere sunt vândute la un preț sub valoarea nominală și sunt răscumpărate la valoarea nominală. Venitul proprietarului DS este definit ca diferența (reducerea) dintre valoarea nominală a certificatului și prețul achiziției acestuia. Prețul este calculat folosind formula reducerii la o dobândă simplă.

unde: P este prețul de vânzare al unui certificat de depozit de tip discount de la o bancă comercială.

Calculul veniturilor din certificatele de economii cu scadență de până la 1 an se realizează folosind formula dobânzii simple. În acest caz, se percepe dobândă exactă.

Dacă termenul depozitului depășește 1 an, se percepe dobândă compusă. Astfel, se determină veniturile din certificatele de economii ale Băncii de Economii a Federației Ruse.

Dacă un investitor cumpără un certificat nu de la emitent, ci de pe piața secundară și după un timp îl vinde din nou, atunci prețul de vânzare este determinat de:

unde: P 1 - suma de cumpărare a certificatului;

P 2 - cuantumul vânzării certificatului;

T este perioada de deținere a certificatului în zile;

K este rata dobânzii la această investiție.

Atunci profitabilitatea acestei operațiuni a investitorului va fi:

Dacă un investitor, după ce a cumpărat un certificat de la emitent, nu așteaptă răscumpărarea acestuia, ci îl revinde după o anumită perioadă de timp pe piața secundară unui alt investitor, atunci prețul de cumpărare al certificatului de la primul investitor este determinat de :

unde: P 1 - prețul de cumpărare al certificatului de la primul investitor;

С – valoarea nominală a certificatului;

T este timpul total de circulație a certificatului în zile;

T pg - timpul rămas pentru răscumpărarea certificatului;

KE - rata dobanzii stabilita la emiterea unui certificat;

K inv - rentabilitatea investițiilor în certificatul investitorului ulterior.

Randamentul investiției în certificat pentru primul investitor poate fi calculat după cum urmează:

unde: K inv - rentabilitatea operațiunilor cu certificat pentru primul investitor;

T year - numărul de zile dintr-un an;

T 1 - momentul deținerii certificatului de către primul investitor.

Sarcina

1. Banca a emis certificate de depozit purtătoare de dobândă cu o valoare nominală de 600 de ruble pentru o perioadă de trei luni, cu dobândă acumulată la o rată de 13% pe an. Găsiți cheltuiala cu dobânzile băncii.
2. Banca a emis certificate de depozit cu o valoare nominală de 850 de ruble. timp de 9 luni. Aceștia poartă dobândă simplă la rata de 14% pe an. Găsiți: 1. Prețul de vânzare al certificatelor de depozit; 2. Venituri ale titularului titlului.
3. Investitorul a achiziționat un certificat de depozit de o lună pentru 100.000 de ruble. la un preț de 102.000 de ruble, pe care le-a vândut după 12 zile pentru 103.750 de ruble. Găsiți rentabilitatea operațiunii de cumpărare și vânzare a unui certificat de depozit.
4. La 5 ianuarie 1998, investitorul a achiziționat un certificat de economii bancar cu o valoare nominală de 2.000 de ruble. cu scadenţa la 8 iulie 1998 şi o dobândă de 25% pe an. Cât de mult va primi investitorul la răscumpărarea certificatului?
5. Certificatul de depozit a fost achiziționat cu 7 luni înainte de scadență la un preț de 1.000 de ruble și vândut cu 4 luni înainte de scadență la un preț de 1.173 de ruble. Determinați profitabilitatea acestei operațiuni a investitorului în termeni de an, excluzând impozitele.
6. Deponentul a cumpărat cu 1000 de ruble. certificat de economii al Sberbank a Federației Ruse pentru 3 ani. Dobânda acumulată la rata de 28% pe an se acumulează o dată pe an și se capitalizează. Aflați cât va primi investitorul la sfârșitul termenului contractului de depozit.
7. Investitorul a achiziționat un certificat de la bancă la 2 ianuarie 2000, cu o valoare nominală de 3.000 de ruble, cu o scadență de 1 octombrie și o rată a dobânzii de 24% pe an. După 60 de zile, situația pieței monetare s-a schimbat, ratele au scăzut, iar pe piața secundară s-a găsit un cumpărător, care a fost mulțumit de rentabilitatea investiției de 15% pe an. Aflați prețul de vânzare al certificatului și venitul unei persoane juridice, ținând cont de impozitare.

Subiectul 9. Reducerea și
cont bancar

Operația inversă în raport cu calculul dobânzii este calculul valorii prezente a banilor viitori – actualizarea.

În funcție de rata (procent sau discount) utilizată pentru reducere, există două tipuri de reducere:

• scontarea matematică;
• cont bancar.

La reducere matematică se folosesc rate ale dobânzii simple și compuse. Calculele se efectuează după formulele:

C \u003d B / (1 + K),

(23)

Metodă contabilitate bancară utilizate în realizarea de către bănci a operaţiunilor contabile cu facturi.

poliță este o garanție a formei stabilite care conține o obligație bănească necondiționată. Factura este obiect de vânzare-cumpărare, iar prețul acesteia se modifică în funcție de modificarea ratei de scont și de perioada rămasă până la plata facturii. Factura indica data scadenta, locul platii, numele persoanei careia sau prin ordinul careia se face plata, data si locul intocmirii cambiei, exista semnatura persoanei care a emis documentul.

bilet la ordin(billet la ordin individual) este o promisiune necondiționată, incontestabilă a debitorului de a plăti o anumită sumă la expirarea biletului la ordin.

poliță(Ciata) este o cerere scrisă de plată a unei anumite sume. Emiterea unei cambii se numește urmărire. Persoana care emite cambia este trăgătorul; persoana căreia i s-a emis cambia și care trebuie să efectueze plata asupra acesteia - trasul; persoana în numele căreia debitorul urmează să efectueze plata este plătitorul.

Activitatea caracteristică băncilor este contabilitatea facturilor. Proprietarul unei cambii (simple sau transferabile) poate să nu aștepte scadența cambiei, ci să vândă și să vândă cambia băncii, de exemplu. ia in calcul factura. Banca păstrează factura și o prezintă spre plată la data scadenței. Pentru serviciul său, banca va reține de la vânzătorul cambiei un anumit procent din suma facturii pentru primirea anticipată a acesteia. Acest procent se numește reducere. Rata de actualizare este utilizată pentru a determina prețul și valoarea reducerii.

Reducerea la contabilizarea facturilor se calculează după formula:

unde: H - valoarea nominală a cambiei;

T - perioada în zile de la momentul în care cambia a fost acceptată în contabilitate și până la rambursarea acesteia;

К uch - rata de actualizare a băncii (în procente).

Prețul la care deținătorul cambiei vinde banca bancii este determinat ca diferența dintre valoarea nominală a cambiei și suma reducerii.

Sarcina

1. O factură cu o valoare nominală de 100.000 de ruble. cu data de scadență de 6 septembrie se contabilizează la 3 iunie la 9% pe an. Determinați: cuantumul reducerii; valoarea actualizată a facturii.
2. Pe 10 aprilie a fost actualizat un bilet la ordin cu data de scadență de 9 iunie. Găsiți valoarea nominală a facturii dacă rata de actualizare a băncii este de 6% pe an, iar titularul facturii a primit pe 10 aprilie 59.400 de ruble.
3. Cumpărătorul se obligă să plătească furnizorului costul mărfurilor achiziționate la 90 de zile de la livrare în valoare de 1.000.000 de ruble. Nivelul dobânzii simple este de 30% pe an. Calculul folosește dobânda obișnuită. A găsi:
   • costul curent al bunurilor prin metoda actualizării matematice;
   • valoarea curentă a mărfurilor prin metoda contabilității bancare;
   • determinați ce opțiune este mai benefică pentru creditor.
4. Factura a fost emisă pentru 10.000.000 de ruble. scade pe 23 noiembrie. Proprietarul documentului l-a înregistrat la bancă pe 23 septembrie. Rata de reducere este de 8% pe an. Găsiți suma pe care banca o va plăti atunci când reduceți factura.
5. Șase luni mai târziu, împrumutatul trebuie să plătească 1.000.000 de ruble. Împrumutul a fost acordat la 20% pe an. Aflați cât va primi împrumutatul la încheierea tranzacției
   • cu reducere matematică;
   • cu cont bancar.
6. Întreprinderea a prezentat băncii nota de reducere achiziționată anterior a acestei bănci pentru plata înainte de termen. Cambia este scadenta in 10 zile. Valoarea nominală a facturii este de 50 de milioane de ruble. Rata de reducere este de 16% pe an. Necesar:
   • calculați suma reducerii pe factură;
   • determina suma pe care banca o va plati pe factura.

Subiectul 10. Acumularea băncii
procente din punct de vedere al inflaţiei

Mărimea ratelor dobânzilor băncilor comerciale este foarte influențată de nivelul inflației, ceea ce duce la deprecierea veniturilor în numerar. Dacă creșterea inflației este mai mare decât creșterea veniturilor deponenților, determinată de ratele dobânzilor oferite de bancă, deponenții pot alege o sursă mai profitabilă de investiție a fondurilor lor temporar libere. La cuantificarea inflației, se folosesc doi indicatori - nivelul și indicele inflației.

Rata inflației (UT) arată cu câte procente au crescut prețurile în perioada analizată. Indicele inflației (IT) arată de câte ori au crescut prețurile în aceeași perioadă de timp. Indicele poate fi exprimat astfel:

unde: B p - valoarea reală a sumei primite de deponent, ținând cont de puterea sa de cumpărare;

B - suma emisă de bancă către client în ziua închiderii contului de depozit;

I T - indicele de inflație pentru perioada T.

Sarcina

1. Rata medie lunară a inflației este de 7%. Aflați indicele de inflație pentru anul.
2. Un depozit în valoare de 80.000 de ruble a fost făcut la bancă timp de șase luni cu dobândă compusă compusă lunar la o rată anuală de 120%. Rata medie a inflației a fost de 10% pe lună. Găsiți venitul real al deponentului în ceea ce privește puterea sa de cumpărare.
3. Contribuțiile la contul de depozit, efectuate la sfârșitul fiecărui trimestru timp de șase luni, vor acumula dobândă compusă la o rată de 19% pe an. Valoarea contribuțiilor trimestriale este de 3000 de ruble. Aflați valoarea reală a sumei primite, ținând cont de inflație, dacă rata inflației este de 1,5% pe lună. Termenul de depozit este de 1 an.
4. Dobânda compusă se acumulează semestrial la o rată de 43% pe an. Aflați suma contribuțiilor trimestriale dacă se acumulează 5.000 de ruble într-un an. Vă rugăm să rețineți că sumele sunt datorate la sfârșitul trimestrului. Calculați valoarea reală a sumei primite dacă rata medie a inflației a fost de 4,5% pe lună.
5. Clientul a contribuit cu 10.000 de ruble la Sberbank la 14% pe an. Rata lunară estimată a inflației în 2003 este de 1,8%. Aflați dacă banca asigură siguranța fondurilor deponentului.
6. La 1 iulie 2000, deponentul a contribuit la Sberbank cu 15.000 de ruble. timp de o jumătate de an. Banca promite să acumuleze dobândă la o rată de 16% pe an. Aflați venitul real al deponentului, ținând cont de inflație, dacă bugetul federal pentru 2000 planifică o rată medie a inflației de 1,5% pe lună. Banca oferă următoarele opțiuni de plată:
   • interes simplu;
   • interes compus;
   • dobândă compusă trimestrială.
7. La deschiderea unui cont la vedere pe 10 septembrie 00, a fost depusă suma de 1.800 de ruble. la 3% pe an; La 15 octombrie 2000, s-au adăugat alte 600 de ruble; 30.10.00 plus 1500 de ruble; La 30 noiembrie 00, deponentul a retras 850 de ruble; 15.12.00 a adăugat 1000 de ruble. Contul a fost închis la 08.01.01.Rata medie lunară a inflației pe perioada contractului de depozit a fost de 12%. Găsiți venitul real al contribuabilului.
8. Contribuție în valoare de 500.000 de ruble. plasat în bancă timp de 2 ani cu dobândă compusă trimestrială la o rată anuală nominală de 10%. Determinați venitul real al investitorului pentru rata lunară estimată a inflației de 1,5% și 2%.

Metode de calcul a dobânzii

Există două moduri fundamental diferite de calculare a dobânzii: decursivă și antisipative.

La decursiv dobânda se calculează la sfârșitul fiecărui interval de acumulare, pe baza sumei de capital furnizate la începutul intervalului de timp. Rata dobânzii decursive ( i) se numește dobândăși este determinată de formula:

i = I/PV,

Unde eu PV- suma de bani la începutul intervalului de timp.

La metoda antisipativă acumularea dobânzii, acestea se calculează la începutul fiecărui interval de acumulare, pe baza sumei de bani acumulate la sfârșitul intervalului (inclusiv capital și dobândă). Rata dobânzii antisipative ( d) se numește procent de reducereși este determinată de formula:

d = I/FV,

Unde eu– venituri din dobânzi pentru un anumit interval de timp; FV- suma de bani acumulată la sfârșitul intervalului de timp.

În practică, metoda decursivă de calcul a dobânzii este cea mai utilizată. Metoda antisipativă este utilizată în contabilizarea cambiilor și a altor obligații monetare. Suma de bani la sfârșitul intervalului de acumulare este considerată suma împrumutului primit. Deoarece dobânda este calculată la începutul intervalului de timp, împrumutatul primește suma împrumutului minus dobânda. O astfel de operație se numește redus la o rată de reducere sau conturi bancare. Reducere- aceasta este diferenta dintre marimea creditului si suma emisa direct, adica venitul primit de banca la rata de actualizare.

Atât metoda decursivă cât și cea antisipativă pot folosi scheme de dobândă simple și compuse. Atunci când se utilizează schema de dobândă simplă, acestea sunt percepute din suma depozitului inițial. Dobânda compusă presupune capitalizarea dobânzii, adică calculul „dobânzii la dobândă”.

Din punctul de vedere al creditorului, la efectuarea de tranzacții financiare pe termen scurt (mai puțin de un an), schema dobânzii simple este mai profitabilă, iar pentru operațiunile pe termen lung (mai mult de un an), dobânda compusă. schema este mai profitabilă. Pentru operațiunile pe termen lung cu un număr fracționat de ani, așa-numita schemă mixtă este benefică, atunci când se percepe dobânda compusă pentru un număr întreg de ani, iar dobânda simplă este percepută pentru o fracțiune de an.

În tabel. formule sistematizate de determinare a sumei de bani acumulate, adică a valorii viitoare a depozitului, cu metode decursive și antisipative de calcul a dobânzii. În acest caz, s-a folosit următoarea notație:

FV- suma de bani viitoare (acumulată);

PV- suma reală (actuală) de bani;

i- rata dobânzii;

d- procent de reducere;

n– numărul de ani din intervalul de calcul al dobânzii;

m- numărul de dobânzi acumulate intraanuale;

t- durata intervalului de calcul al dobânzii pentru tranzacțiile pe termen scurt, zile;

T– durata anului, zile;

w este un număr întreg de ani în intervalul de acumulare;

f este partea fracțională a anului din intervalul de angajamente.

masa

Formule de calcul a sumei de bani acumulate în diferite condiții pentru calcularea dobânzii

Condiții de interes	Metoda de calcul a dobânzii
decursiv	antisipativ
dobândă simplă, număr întreg de ani în intervalul de acumulare	FV = PV' (1 + in)	FV = PV / (1 - dn)
dobândă compusă, număr întreg de ani în intervalul de acumulare	FV = PV' (1 + i) n	FV = PV / (1 - d) n
dobanda simpla, termen de functionare mai mic de un an
schema de calcul mixtă a dobânzii cu un număr fracționar de ani în intervalul de angajamente	FV = PV' (1 + i) w (1 + dacă)	FV = PV / [(1 - d) w (1 + dacă)]
dobândă compusă, angajamente intraanuale cu un număr întreg de ani în intervalul dobânzii	FV = PV'(1 + i/m) nm	FV = PV / (1 –d/m) nm

Tipuri de rate ale dobânzii și metode de calcul a dobânzii. Interes simplu.

Principala proprietate a banilor este valoarea sa în timp asociată

− prezența inflației,

− circulaţia capitalului.

Banii referitori la diferite momente în timp nu sunt echivalenti, de exemplu, banii de astăzi sunt mai valoroși decât banii viitori, iar banii viitori, la rândul lor, sunt mai puțin valoroși decât banii de astăzi dacă sumele lor sunt egale.

Subiectul matematicii financiare îl constituie modele și algoritmi speciali legați de problema „bani – timp” și care permit estimarea veniturilor viitoare din poziția momentului curent.

Principalele sarcini ale matematicii financiare sunt:

− măsurarea rezultatelor finale ale unei tranzacţii financiare;

− elaborarea planurilor de executare a tranzacţiilor financiare;

− evaluarea dependenţei rezultatelor finale ale operaţiunii de condiţiile acesteia;

− determinarea valorilor critice admisibile ale parametrilor de funcționare și calcularea parametrilor unei modificări echivalente (prag de rentabilitate) a condițiilor inițiale ale unei operațiuni financiare.

Orice tranzacție financiară, proiect de investiții sau acord comercial presupune o serie de condiții pentru implementarea acestora, cu care părțile implicate sunt de acord.

Aceste condiții includ următoarele date cantitative:

- sume de bani,

− parametri de timp,

− ratele dobânzilor.

Prin dobândă înțelegem suma absolută a veniturilor din împrumutul de bani sub orice formă: acordarea unui împrumut, vânzarea de bunuri pe credit, plasarea banilor într-un cont de depozit, contabilizarea unei facturi, cumpărarea unui certificat de economii sau obligațiuni etc.

Rata dobânzii este înțeleasă ca fiind suma relativă a venitului pentru o perioadă fixă ​​de timp - raportul dintre venit (bani din dobândă) și suma datoriei.

Se măsoară în procente. La efectuarea calculelor, ratele dobânzilor sunt de obicei măsurate în fracții zecimale.

Intervalul de timp la care este cronometrată rata dobânzii se numește perioadă de acumulare. Un an, o jumătate de an, un sfert, o lună sau chiar o zi este luată ca atare perioadă. Cel mai adesea în practică se ocupă de rate anuale.

Dobânda, conform unui acord între creditor și împrumutat, se plătește pe măsură ce se acumulează sau se adaugă la valoarea principală a datoriei (capitalizarea dobânzii).

Procesul de creștere a sumei de bani în timp în legătură cu adăugarea dobânzii se numește creșterea acestei sume.

De asemenea, este posibil să se determine procente atunci când se deplasează în timp în direcția opusă - de la viitor la prezent. În acest caz, suma de bani aferentă viitorului este redusă cu suma reducerii (reducerea) corespunzătoare. Această metodă se numește reducere (reducere).

Rata dobânzii depinde de:

− starea generală a economiei, inclusiv a pieţei monetare;

− așteptările pe termen scurt și lung ale dinamicii acesteia; tipul tranzacției, moneda acesteia; termenul de împrumut;

− caracteristicile debitorului (fiabilitatea acestuia) și ale împrumutătorului, istoricul relației lor anterioare etc.

Interes simplu

Valoarea acumulată a unui împrumut (depozit, fonduri investite, obligație de plată etc.) se înțelege ca fiind suma sa inițială cu dobânda acumulată până la sfârșitul perioadei de acumulare.suma este mai mare decât suma inițială. În funcție de valoarea aplicată. rata dobânzii și condițiile de angajare, formula de calcul a multiplicatorului de angajamente este scrisă în moduri diferite.

De exemplu, pentru acumularea dobânzii simple, suma acumulată (S) va fi calculată după cum urmează:

Unde R- suma inițială a împrumutului, den. unități; P– Termenul împrumutului (în zile, luni, ani etc.); i– rata de acumulare (constantă simplă), unități.

Expresia (1 + ni) se numește factor de creștere.

În calculele financiare și economice, termenul împrumutului se măsoară de obicei în ani, deci valoarea ratei de angajamente i este rata anuală a dobânzii. Dobânda acumulată pe întreaga durată a împrumutului, în acest caz, va fi:

,

unde I este suma procentuală (suma venitului), bani. unitati

Formula prezentată mai sus se numește formula dobânzii simple, iar valoarea lui I poate fi definită ca venit din dobânzi, sau bani din dobândă (dobândă).

În lucrări practice, bănci, organizații comerciale, instituții financiare etc. utilizați diferite moduri de a modifica numărul de zile de împrumut (t) și durata anului ( baza de timp pentru calcularea dobânzii) în zile (K). În funcție de modul în care sunt determinate valorile t și K, următoarele opțiuni („practici”, „sisteme”) pentru calcularea dobânzii simple se aplică exact sau aproximativ .

1. Dobânda exactă cu numărul real de zile de împrumut (așa-numita practică „engleză”). Această opțiune oferă cele mai precise rezultate și este folosită de multe bănci comerciale centrale și mari din lume. În acest caz, K=365 de zile și sunt 28, 29, 30 și 31 de zile în luni.

2. Dobânda obișnuită cu numărul exact de zile de împrumut (așa-numita practică „franceză” sau metoda bancară). Această opțiune dă un rezultat puțin mai bun decât utilizarea dobânzii exacte. Deci, dacă numărul de zile de împrumut depășește 360, atunci aceasta metoda de masurare a timpului conduce la faptul că suma dobânzii acumulate va fi mai mare decât cea prevăzută de rata anuală. De exemplu, la t = 363 de zile, n=363:З60=1,0083, iar multiplicatorul de angajamente pentru această perioadă va fi: 1+1,0083*i.

3. Dobândă obișnuită cu un număr aproximativ de zile de împrumut (practica „germană”). Calcularea numărului de zile în această variantă se bazează pe un an de 360 ​​de zile și luni de 30 de zile. Deoarece numărul exact de zile de împrumut este în majoritatea cazurilor mai mare decât numărul aproximativ, dobânda cu numărul exact de zile este de obicei mai mare decât cu cel aproximativ și, prin urmare, suma acumulată a dobânzii cu numărul exact de zile este de obicei mai mare .

Acumularea sumei în cazul unei modificări a ratei dobânzii simple în timpul perioadei de împrumut În practică, există adesea o situație în care contractele de împrumut (acordurile) prevăd o modificare a ratei dobânzii în perioada împrumutului (de exemplu, din cauza unei modificări a ratei de refinanţare;dorinţa băncii de a ţine cont de rata inflaţiei etc.d.). În acest caz, rata anuală a dobânzii specificată în contractul de împrumut se numește nominală, în acest caz, suma acumulată se va calcula după cum urmează:

unde i t , este rata dobânzii simple în perioada t; t=l,2,...,m; unități;

n t ,- durata perioadei; ani;

T– numărul de perioade, unități.

Acumularea sumei în timpul reinvestirii Pentru a crește interesul deponenților și pentru a atrage rapid fonduri suplimentare, de exemplu, în depozite pe termen scurt și mediu, băncile și companiile financiare pot oferi clienților lor să majoreze în mod repetat suma investită în limita totală. termenul împrumutului, adică reinvestește-l. Cu alte cuvinte, reinvestirea implică adăugarea dobânzii acumulate la suma inițială (inițială) și acumularea dobânzii la suma crescută și așa mai departe de mai multe ori pe parcursul perioadei. Cu o astfel de reinvestire, suma acumulată este calculată prin formula:

Unde n 1 ,n 2 ,...n t– durata perioadelor de acumulare, ani;

și (durata totala a tranzactiei);

i 1 , i 2 , ... i t, – rate de reinvestire, unități.

În cazul particular când Și , adică când perioadele de acumulare și ratele dobânzii sunt egale, formula ia

,

Unde m– numărul operațiunilor de reinvestire, unități.

Exemplul 1.1. Pentru suma depozitului în valoare de 50 de mii de ruble. în decurs de o lună, dobânda simplă se acumulează la o rată de 24% pe an. Care va fi suma acumulată dacă această operațiune se repetă în decurs de 6 luni. anul curent (adică reinvestirea acestei sume de șase ori) la calcularea dobânzii exacte cu numărul real de zile de împrumut de la 1 martie?

Conform exemplului P = 50 de mii de ruble; i = 0,24. Numărul exact de zile dintr-un an non-bisect din martie până în august este: 31+30+31+30+31->-31=184 de zile.

După formula obținem:

Exemplul 1.2. Un potențial client al unui număr de bănci de încredere situate la câțiva pași de oraș are temporar numerar gratuit în valoare de 10 mii de ruble. și ar dori să le plaseze într-un cont de depozit pentru o perioadă de 1 an. Prima bancă (Banca A) îi oferă acestuia să efectueze un depozit în condițiile de angajare trimestrială la o rată de 20% pe an și de capitalizare (reinvestire) a dobânzii. A doua bancă (Banca B) în următoarele condiții: acumularea la depozit la o rată de 24% pe an de două ori pe an cu capitalizarea dobânzii. Banca B oferă acumularea lunară a dobânzii la o rată de 20% pe an și capitalizarea dobânzii acumulate. Și, în sfârșit, Banca D își propune să efectueze un depozit în condițiile de a acumula 25% pe an fără capitalizarea dobânzii și de a le acumula la sfârșitul termenului de depozit.

În care dintre bănci poate deponentul să primească cea mai mare sumă la sfârșitul contractului?

Conform condițiilor exemplului R = 10 mii R.; i 1 \u003d 20%; i 2 \u003d 24%; i 3 = 20%; i 4 = 25%. Avand in vedere ca dobanda se acumuleaza trimestrial, semestrial si lunar cu capitalizare, si numai in Banca G - la sfarsitul anului (fara reinvestire), dupa formula și obțineți (mii de ruble):

Suma acumulată pentru depozite la sfârșitul și la începutul fiecărui an.

Destul de des, în condițiile contractelor de depozit, acordurilor de depozit, băncile prevăd posibilitatea de a adăuga o anumită sumă de bani (de multe ori nu mai mult decât inițială).

Dacă depozitele sunt efectuate la sfârșitul fiecărui an, atunci suma acumulată va fi:

Unde m– numărul de depozite, unități; D- cuantumul contributiei, den. unitati

Dacă contribuțiile sunt egale ca valoare, acestea. D 1 \u003d D 2 \u003d D 3 \u003d D m, Formula poate fi scrisă astfel:
,

sau având în vedere că ,

se poate scrie in sfarsit: .

Este evident că acumularea la rata dobânzii simple în cazul în care adăugările se fac la începutul anului este semnificativ mai profitabilă în comparație cu adaosurile de la sfârșitul anului, asta pentru că în primul caz crește. cu un an de acumulare.

Calculul sumei depozitului necesar pentru plățile anuale. Destul de des (mai ales atunci când lucrează cu clienți - pensionari, cu depozite pentru minori etc.), angajații băncii care lucrează cu depozite de la public se confruntă cu sarcina de a determina suma inițială necesară a depozitului (depozitul) al clientului, care ar putea oferi el cu anumite plăți anuale timp de n ani la o rată a dobânzii prestabilită. În cazul general, această problemă se reduce la rezolvarea problemei determinării chiriei „perpetue”, care va fi discutată în detaliu mai jos. Acum să luăm în considerare soluția sa pe baza cunoștințelor pe care le avem deja.

Folosind formula, puteți scrie următoarea ecuație:

Unde Р 1 ,Р 2 ,…,Р n- anumite plati anuale, den, unitati; P– timp de plată, ani.

Sub rezerva egalității plăților anuale, de ex. la P 1 \u003d P 2 \u003d P 3 \u003d Pn formula poate fi transformată într-o expresie de următoarea formă:

.

Pentru calcule aproximative, estimative ale valorii contribuției inițiale, puteți utiliza egalitatea aproximativă a expresiilor:

.

Exemplul 1.3. Calculați suma inițială necesară a depozitului clientului, astfel încât acesta să poată primi o sumă de 6 mii de ruble din contul său bancar anual timp de 5 ani. cu o dobândă simplă de 30% pe an.

Conform exemplului P=6 mii de ruble; i n = 30%; n=5 ani. Folosind formula, obținem (mii de ruble):

Calculul formulei
dă următorul rezultat:

Discrepanța față de rezultatul obținut prin prima formulă este de 0,046 mii de ruble, sau mai puțin de 0,3%. După cum puteți vedea, calculul conform celei de-a doua formule oferă un rezultat destul de acceptabil.

Calculul termenului împrumutului și al nivelului dobânzii La pregătirea unei justificări pentru obținerea unui împrumut și calcularea eficienței acestuia se pune problema determinării termenului împrumutului și a nivelului ratei dobânzii în celelalte condiții existente. În acest caz, termenul de împrumut poate fi definit atât în ​​ani, cât și în zile:

peste ani ;

în zile .

În consecință, mărimea ratei dobânzii poate fi determinată la calcularea termenului împrumutului în ani astfel: ,

iar la calcularea termenului de împrumut în zile, după cum urmează: .

Acumularea și plata uniformă a dobânzii la creditul de consum. În creditul de consum, adică credit, de regulă, pentru nevoi personale pentru achiziționarea de bunuri (sau servicii), dobânda se percepe la întreaga sumă a împrumutului și se adaugă la datoria principală, cel mai adesea deja în momentul deschiderii împrumutului. Această abordare se numește acumulare unică a dobânzii, iar rambursarea datoriei cu dobândă în acest caz se face de obicei în sume egale pe toată durata împrumutului. Suma acumulată a datoriei cu această abordare este calculată prin formula, iar valoarea plății unice de rambursare (R) este următoarea:

,

Unde T- numărul de plăți de rambursare a împrumutului pe an, unități.

Rețineți că, datorită faptului că se acumulează dobândă la valoarea inițială a datoriei, iar valoarea reală a acesteia scade constant în timp, rata dobânzii efective (la împrumutul efectiv utilizat) se dovedește a fi considerabil mai mare decât rata prevăzută la termenii contractuali originali.

Întrebări pentru autoexaminare:

1. Care sunt disciplinele matematicii financiare?

2. Ce rol joacă timpul în calculele financiare?

3. Enumerați tipurile de rate ale dobânzii.

4. Care este suma acumulată?

5. Ce este reducerea?

6. Cum se determină rata dobânzii?

7. Cum se calculează termenul împrumutului.

Tema 3.1.-3.2. Conceptul de echivalență a ratelor dobânzii. Derivarea formulelor pentru echivalența ratelor dobânzilor pe baza egalității multiplicatorilor de angajamente. Principiul echivalenței financiare a pasivelor. Ecuația de echivalență. Consolidarea (consolidarea) plăților.

Probleme de luat în considerare:

1. Echivalența ratelor dobânzilor. Principii generale.

2. Echivalența dobânzilor simple și compuse cu dobânda acumulată o dată pe an.

3. Echivalența unei rate a dobânzii simple și a uneia compuse cu dobândă acumulată de m ori pe an.

4. Echivalența ratei dobânzii compuse cu dobânda acumulată de 1 dată pe an și a ratei dobânzii compuse cu dobânda acumulată de m ori pe an.

5. Echivalența ratei dobânzii continue și a dobânzii simple.

6. Echivalența unei rate a dobânzii continue și a unei rate a dobânzii compuse cu o acumulare de 1 dată pe an.

7. Echivalența ratei dobânzii continue și a dobânzii simple cu m acumulare anuală.

8. Rata medie a dobânzii.

9. Echivalența financiară a pasivelor.

1. Principiul echivalenței financiare a pasivelor

În practica financiară, adesea apar situații când este necesară înlocuirea unei obligații cu alta, de exemplu, cu o scadență mai lungă, rambursarea datoriilor înainte de termen, combinarea mai multor plăți într-una singură (consolidarea plăților), modificarea schemei de calcul a dobânzii etc. Cu un astfel de principiu general acceptat, pe care se bazează modificările în termenii contractelor, este echivalența financiară a obligațiilor.

Modificarea termenilor contractului se bazează pe principiul echivalenței financiare a pasivelor, care vă permite să mențineți un echilibru al intereselor părților la contract. Acest principiu presupune imuabilitatea relațiilor financiare înainte și după modificarea termenilor contractului. La schimbarea modurilor taxe dobânda trebuie să țină cont de interschimbabilitatea dintre diferitele tipuri de rate ale dobânzii.

echivalent numit ratele dobânzilor, care, la înlocuirea unuia cu altul, duc la aceleași rezultate financiare, adică. relațiile părților nu se modifică în cadrul unei singure tranzacții financiare.

Când se schimbă termeni de plată de asemenea, este necesar să se țină cont de diversitatea plăților care se efectuează în cursul îndeplinirii termenilor contractului înainte și după modificarea acestuia. echivalent astfel de plăți, care se dovedesc a fi egale după ce sunt reduse la o anumită rată a dobânzii la un moment dat, sau după ce una dintre ele este redusă la momentul celuilalt la o anumită rată a dobânzii.

Reducerea se realizează prin reducere (reducere la o dată anterioară) sau, dimpotrivă, prin creșterea sumei plății (dacă această dată este în viitor).

Dacă la modificarea termenilor contractului nu este respectat principiul echivalenței financiare, atunci una dintre părțile implicate suferă un prejudiciu, al cărui cuantum poate fi stabilit în prealabil.

2. Echivalența ratelor dobânzilor

Pentru a afla valorile ratelor dobânzilor echivalente, ar trebui să se întocmească o ecuație de echivalență.

Echivalența dobânzii simple și a ratelor simple de actualizare. Ecuații inițiale pentru derivarea echivalenței

S=P(1 + n ∙ i) Și

Dacă rezultatele creșterii sunt egale, atunci obținem ecuația

P(1 + n ∙ i) = .

De aici 1 + n ∙ i =

Și .

Pentru aceiași parametri de împrumut, condiția de echivalență duce la faptul că d < i. În același timp, odată cu creșterea termenului tranzacției financiare, diferența dintre rate crește.

Exemplul 1. Determinați rata simplă de actualizare, echivalentă cu rata dobânzii ordinare de 12% pe an, acumulată pe o perioadă de 2 ani.

Soluţie . Parametrii sarcinii: n= 2 ani i= 12%. Apoi

d= 0,12/(1 + 2 ∙ 0,12) = 0,0968 sau 9,7%.

Prin urmare, o tranzacție în care se adoptă o rată de actualizare de 9,7% dă același rezultat financiar pe o perioadă de 2 ani ca o rată simplă de 12% pe an.

Echivalența ratelor dobânzilor simple și compuse. Sumele acumulate la dobânzi simple și compuse sunt egale cu

Și .

Dacă rezultatele creșterii sunt egale, atunci ecuația de echivalență

= .

De aici
Și .

La calcularea dobânzii m o dată pe an, argumentând în mod similar, obținem:
Și
.

Exemplul 2. Acesta ar trebui să plaseze capitalul timp de 4 ani fie la o dobândă compusă de 20% pe an cu dobândă semestrială, fie la o dobândă simplă de 26% pe an. Găsiți cea mai bună opțiune.

Soluţie . Parametrii sarcinii: n= 4 ani m = 2, i c = 20%, i n = 26%. Găsiți rata simplă echivalentă pentru rata dobânzii compuse:

0,2859 sau 28,59%.

Astfel, echivalent cu rata compusă, în cadrul primei opțiuni, dobânda simplă este de 28,59% pe an, ceea ce este mai mare decât rata simplă propusă de 26% pe an în cadrul celei de-a doua opțiuni. Prin urmare, este mai profitabil să aloci capitalul conform primei opțiuni, adică. la 20% pe an cu dobândă semestrială.

Exemplul 3 . Un depozit de trei luni i se atribuie o rată de 10,2% pe an. Ce dobândă anuală ar trebui alocată depozitelor lunare astfel încât reînregistrarea succesivă a acestor depozite să conducă la același rezultat ca și utilizarea unui depozit de trei luni, dacă neglijăm cele două zile care se pierd în timpul reînregistrării de depozite ( T=360)?

Soluţie. Să echivalăm multiplicatorii corespunzători ai creșterii:

Prin urmare, obținem asta i = 0,101 1 sau 10,11%.

Interes simplu.

. Din egalitate: primim: , Unde i- o rată simplă a dobânzii care caracterizează rentabilitatea reală necesară unei tranzacții financiare (rata netă); iτ este rata dobânzii ajustată la inflație.

Această rată ajustată la inflație se numește rata brută.

Interes compus.

Dobândă o dată pe an:

Suma acumulată în absența inflației este egală cu , iar echivalentul său în termeni de inflație este egal cu . Din egalitate: primim:
din care se pot compara nivelurile ratei dobânzii și ale inflației, se analizează eficacitatea investițiilor și se stabilește creșterea reală a capitalului investit.

Dobândă de m ori pe an:

Când dobânda este compusă de mai multe ori pe an:

.

Aceste modele permit contabilizarea inflației și ajustarea ratelor dobânzilor.

Rata anuală a dobânzii compuse, care asigură rentabilitatea reală a unei operațiuni de credit, este determinată de formula Fisher, conectează trei indicatori:

R - rata nominală a dobânzii, α - rata inflației

r - rata reală a dobânzii (randamentul unei tranzacții financiare)

, , .

Exemplul 4.1. Rata anuală a inflației este de 20%. Banca se așteaptă să primească 10% din venitul real ca urmare a furnizării de resurse de credit. Care este rata nominală la care banca va împrumuta?

În practică, cineva se mulțumește adesea cu compararea i iar τ prin calcul rata reala, adică rata redusă de rentabilitate a inflației:

i = (i- τ) / (1 + τ)

Deoarece puterea de cumpărare a banilor este redusă în termeni de inflație, are loc o depreciere a veniturilor bănești. Prin urmare, atunci când acumulează bani pe un depozit, deponentul trebuie să se potrivească cu rata nominală a dobânzii, adică rata specificată în contract, cu valoarea indicelui prețurilor de consum.

Calculul sumelor acumulate

Obtinem formula: sau , Unde - rata inflației.

Cost real DIN sume S, amortizată în timp din cauza inflației la indicele prețurilor , se calculează prin formula:

Dacă acumularea se face la o rată simplă în interiorul n ani, atunci. Ajustat pentru inflație, valoarea reală a sumei S va fi

Pentru a determina puterea reală de cumpărare, suma acumulată trebuie adusă la prețurile perioadei de bază:
.

Datorită acumulării de dobânzi, suma de bani crește, dar valoarea acestora scade sub influența inflației. Deoarece fiecare unitate monetară se depreciază din cauza inflației, atunci banii deja depreciați se depreciază în viitor.

Acreția se realizează la dobândă simplă sau compusă, dar inflația este întotdeauna măsurată la dobândă compusă.

Suma acumulată pe n ani, ținând cont de amortizarea acesteia, va fi:
, iată multiplicatorul de acumulare care ține cont de rata inflației.

− Dacă rata inflației este mai mare decât rata dobânzii acumulată, atunci suma acumulată primită nu compensează pierderea puterii de cumpărare a banilor. Rata bancară se numește negativă.

− Dacă rata inflației este mai mică decât rata dobânzii acumulată, atunci există o creștere reală a puterii de cumpărare a banilor. Rata bancară se numește pozitivă.

− Dacă rata inflației este egală cu rata dobânzii acumulate, atunci puterea de cumpărare a sumei acumulate este egală cu puterea de cumpărare a sumei inițiale.

Întrebări pentru autoexaminare:

1. Ce este inflația? Enumerați tipurile de inflație.

2. Ce este IPC?

3. Care este scopul contabilizării inflației?

4. Care este rata nominală a dobânzii? Cum este diferit de rata reală?

5. Ce este o tranzacție financiară?

6. Cum se măsoară rentabilitatea reală a unei operațiuni financiare?

Subiectul 5.1.-5.2. Concepte despre tipurile de fluxuri de plată și principalii lor parametri. Conceptul de chirie financiară. Parametrii de bază ale chiriei și calculul acestora. Diverse tipuri de chirii financiare. Tipuri de chirii variabile. Inchiriere permanenta continua. Conversii de chirie.

Probleme de luat în considerare:

1. Rente. Clasificarea chiriei.

2. Suma acumulată a chiriei financiare postnumerand.

3. Valoarea modernă a postnumerandului chiriei financiare.

4. Termenul rentei financiare este postnumerand.

5. Membru al postnumerandului chiriei financiare.

6. Suma acumulată și valoarea actualizată a altor tipuri de chirii financiare.

7. Determinarea parametrilor altor tipuri de chirii financiare.

8. Determinarea ratei dobânzii la chiria financiară.

De foarte multe ori, contractele de natură financiară nu prevăd plăți individuale unice, ci o serie de plăți distribuite în timp. Exemple pot fi plăți regulate pentru rambursarea unui împrumut pe termen lung împreună cu dobânda acumulată, contribuții periodice la un cont curent pe care se formează un anumit fond în diverse scopuri (investiții, pensii, asigurări, rezervă, economii etc.), dividende plătite asupra titlurilor de valoare, plăți de pensii de la un fond de pensii etc. O serie de plăți și încasări succesive se numește fluxul de plată. Plățile sunt afișate ca valori negative, iar încasările sunt afișate ca pozitive.

Caracteristicile generalizatoare ale fluxului de plăți sunt suma acumulată și valoarea actualizată. Fiecare dintre aceste caracteristici este un număr.

Suma fluxului de plată acumulat este suma tuturor membrilor secvenței de plăți cu dobândă acumulată asupra acestora până la sfârșitul perioadei de rentă.

Sub valoarea curentă a fluxului de plăți să înțeleagă suma tuturor membrilor săi, actualizată (redusă) la un moment dat, care coincide cu începutul fluxului de plăți sau care îl precede.

Sensul specific al acestor caracteristici generalizatoare este determinat de natura fluxului de plati, motivul care il genereaza. De exemplu, suma acumulată poate reprezenta dimensiunea finală a investiției formate sau orice alt fond, suma totală a datoriei. Valoarea curentă poate caracteriza profitul redus, costurile reduse.

5.1. Conceptul de chirie financiară (rentă)

fluxul de plată, toți termenii cărora sunt valori pozitive, iar intervalele de timp sunt constante, se numește chirie financiară sau anuitate.

Chiria financiară are următorii parametri: membru de anuitate- suma fiecărei plăți individuale, perioada de rentă- intervalul de timp dintre două plăți adiacente, termen de rentă- timpul măsurat de la începutul anuității financiare până la sfârșitul ultimei sale perioade, rata dobânzii- rata utilizată la acumularea sau actualizarea plăților care formează anuitate, numărul de plăți pe an, numărul de dobânzi acumulate pe an, momentele de plată din perioada anuității.

Tipuri de chirii financiare

Clasificarea chiriilor se poate face dupa diverse criterii. Să le luăm în considerare.

În funcție de durata perioadei, anuitățile sunt împărțite în anuale și p-urgente, unde p este numărul de plăți pe an. Destul de des în practică există anuități în care perioada de plată depășește un an sau mai mult (de exemplu, în activități de investiții).

După numărul de dobânzi acumulate, anuitățile se disting cu o acumulare de una pe an, de m ori sau continuu. Momentele de acumulare a dobânzii pot să nu coincidă cu momentele plăților chiriei.

După mărimea membrilor se disting permanent(cu membri egali) si rente variabile. Dacă sumele plăților se modifică conform unei legi matematice, atunci devine adesea posibil să se obțină formule standard care simplifică foarte mult calculele.

În funcție de probabilitatea de a plăti membrii, aceștia disting anuitățile sunt adevărateȘi condiţional. Adevăratele anuități sunt supuse plății necondiționate, de exemplu, atunci când un împrumut este rambursat. Plata chiriei condiționate se face în funcție de apariția unui eveniment întâmplător. Prin urmare, numărul membrilor săi nu este cunoscut dinainte. De exemplu, numărul plăților de pensie depinde de speranța de viață a unui pensionar.

Dupa numarul de membri se disting anuitati cu un numar finit de membri sau limitat si infinit sau etern. Ca anuitate perpetuă, puteți lua în considerare plăți pentru împrumuturi garantate cu termene nelimitate sau nedeterminate.

Deci, de exemplu, trebuie să se confrunte cu necesitatea de a contabiliza și calcula anuitatea perpetuă în calculele financiare legate de investirea banilor sau cumpărarea unui instrument financiar (obiect material), dacă perioada de funcționare a acestora (posibila generare de venit) este suficient de lungă. și nu este precizat prin termeni specifici (de unde și posibilitatea obținerii chiriei perpetue, adică „eterne”), ca exemplu, putem cita investițiile în titluri ale celor mai mari companii multinaționale și ale statului (în lipsa unei date de expirare a acestora). circulație), achiziționarea de hoteluri profitabile, ferme, terenuri, industrii etc. P.

În funcție de prezența unei deplasări în momentul începerii rentei în raport cu începutul contractului sau a unui alt moment al rentei, acestea se împart în imediatȘi întârziat sau întârziat. Termenul anuităților imediate începe imediat, în timp ce pentru anuitățile amânate este târziu.

Anuitățile se disting prin momentul plății plăților. Dacă plățile sunt efectuate la sfârșitul fiecărei perioade - un an, jumătate de an, o lună etc., atunci astfel de anuități se numesc comun sau postnumerando. Dacă plățile se fac la începutul fiecărei perioade, se apelează anuitățile prenumerando. Uneori, plățile se fac la mijlocul fiecărei perioade.

postnumerando (când plățile se fac la sfârșitul perioadelor respective) și anuități prenumerando (când plățile respective se fac la începutul perioadelor specificate). Fluxul prenumerando este important în analiza diferitelor scheme de acumulare de fonduri pentru investiția ulterioară a acestora.

Renta prenumerando diferă de anuitatea obișnuită prin numărul de perioade de dobândă. Prin urmare, suma acumulată a anuității va fi prenumerando mai mare decât suma acumulată a anuității obișnuite în (1 + i) o singura data.

Rareori, dar există și anuități în practică, plăți pentru care se fac în mijlocul perioadelor. Se numesc astfel de chirii minnumerando.Un exemplu de astfel de chirie pot fi, în unele cazuri, plățile în avans pentru închirierea spațiilor, precum și plățile semestriale pentru cheltuieli în cadrul contractelor de comerț exterior.

Cel mai adesea, în calculele financiare și economice practice, este rezolvată sarcina în esență în două direcții de a determina suma acumulată sau valoarea (valoarea) curentă a fluxului de plăți. . În acest context, valoarea curentă a fluxului de plată este înțeleasă ca suma tuturor membrilor săi, actualizată la un moment dat în timp, care coincide cu începutul fluxului de plăți, sau anticipându-l. Poate caracteriza venitul capitalizat, profitul net actual, costurile prezente, eficiența investițiilor și condițiile monetare și financiare ale contractelor de comerț exterior, rentabilitatea depozitelor și a altor tranzacții financiare, economice și comerciale.

Formule ale sumelor acumulate

Renta regulata

Lăsați la sfârșitul fiecărui an pt n ani în contul curent se depune conform R ruble, dobânda se acumulează o dată pe an la rata i. În acest caz, prima tranșă până la sfârșitul perioadei de rentă va crește la valoare , întrucât s-a acumulat dobândă la suma R în perioada n-1 al anului. A doua tranșă va crește la etc. Nu se percepe dobândă pentru ultima rată. Astfel, la sfârșitul termenului anuității, suma acumulată a acesteia va fi egală cu suma membrilor progresiei geometrice.

în care se află primul termen R, numitor (1+i), numărul de membri n. Această sumă este egală cu

Unde - conform schemei postnumerando.

- conform schemei prenumerando. (1,2)

Exemplu:În termen de 3 ani, 10 milioane de ruble sunt creditate în contul curent la sfârșitul fiecărui an, pentru care se acumulează dobândă la o rată anuală compusă de 10%. Este necesar să se determine suma din contul curent până la sfârșitul perioadei specificate.

Soluţie:
milioane de ruble

Renta regulata

Fie termenul anuității R, rata dobânzii i, dobânda se acumulează o dată la sfârșitul anului, termenul anuității n. Atunci valoarea actualizată a primei plăți este egală cu

, unde este factorul de reducere.

Valoarea celei de-a doua plăți redusă la începutul chiriei este egală cu Rn 2 etc. Ca rezultat, valorile date formează o progresie geometrică: Rn, Rn2,Rn3, ..., Rn n, a căror sumă este egală cu