Suma pe stat. suma statistica. Calculul energiei totale termodinamice

Mariana Trench, sau Mariana Trench, este un șanț oceanic din vestul Oceanului Pacific, care este cea mai adâncă caracteristică geografică cunoscută pe Pământ.

Studiile șanțului Marianei au fost inițiate de o expediție (decembrie 1872 - mai 1876) a navei engleze Challenger (HMS Challenger), care a efectuat primele măsurători sistematice ale adâncimii Oceanului Pacific. Această corvetă militară cu trei catarge, echipată cu vele, a fost reconstruită ca navă oceanografică pentru lucrări hidrologice, geologice, chimice, biologice și meteorologice în 1872.

De asemenea, cercetătorii sovietici au adus o contribuție semnificativă la studiul șanțului Marianei. În 1958, o expediție pe Vityaz a stabilit existența vieții la adâncimi de peste 7000 m, respingând astfel ideea predominantă de atunci că viața era imposibilă la adâncimi de peste 6000-7000 m.

"Vityaz" în Kaliningrad pe parcarea eternă

În urmă cu jumătate de secol, pe 23 ianuarie 1960, a avut loc un eveniment semnificativ în istoria cuceririi oceanelor.

Batiscaful Trieste, pilotat de exploratorul francez Jacques Piccard (1922-2008) și locotenentul marinei americane Don Walsh, a ajuns în cel mai adânc punct al fundului oceanului - Challenger Deep, situat în șanțul Marianelor și numit după englezi vasul „Challenger” , de la care în 1951 s-au primit primele date despre aceasta. Scufundarea a durat 4 ore și 48 de minute și s-a încheiat la 10911 m față de nivelul mării. La această adâncime teribilă, unde o presiune monstruoasă de 108,6 MPa (care este de peste 1100 de ori mai mare decât presiunea atmosferică normală) aplatizează toate ființele vii, cercetătorii au făcut cea mai importantă descoperire oceanologică: au văzut doi pești de 30 de centimetri, asemănători cu lipa. , înotați pe lângă hubloul. Înainte de asta, se credea că la adâncimi care depășeau 6000 m, nu există viață.

Astfel, s-a stabilit un record absolut de adâncime de scufundare, care nu poate fi depășit nici măcar teoretic. Picard și Walsh au fost singurii oameni care au vizitat fundul abisului Challenger. Toate scufundările ulterioare în cel mai adânc punct al oceanelor, în scopuri de cercetare, au fost deja făcute de batiscafi-roboți fără pilot. Dar nici nu au fost atât de mulți, deoarece „vizitarea” abisului Challenger este atât consumatoare de timp, cât și costisitoare.

Una dintre realizările acestei scufundări, care a avut un efect benefic asupra viitorului ecologic al planetei, a fost refuzul puterilor nucleare de a îngropa deșeurile radioactive pe fundul șanțului Marianei. Cert este că Jacques Picard a infirmat experimental opinia care predomina la acea vreme că la adâncimi de peste 6000 m nu există o mișcare ascendentă a maselor de apă.

În anii 90, trei scufundări au fost făcute de japonezul Kaiko, controlate de la distanță de la vasul „mamă” printr-un cablu de fibră optică. Cu toate acestea, în 2003, în timp ce explora o altă parte a oceanului, un cablu de oțel de remorcare s-a rupt în timpul unei furtuni și robotul a fost pierdut.

Catamaranul subacvatic Nereus a devenit al treilea vehicul de adâncime care a ajuns la fundul șanțului Marianelor.

La 31 mai 2009, omenirea a atins din nou cel mai adânc punct al Pacificului și, într-adevăr, al întregului ocean mondial - vehiculul american de adâncime Nereus s-a scufundat în dolina Challenger de la fundul șanțului Mariana. Dispozitivul a prelevat probe de sol și a realizat fotografii și videoclipuri subacvatice la adâncimea maximă, iluminate doar de reflectorul său LED.

În mâinile elevei Eleanor Bors se află un castravete de mare care trăiește chiar în abis și a fost ridicat de aparatul Nereus.

În timpul scufundării actuale, instrumentele lui Nereus au înregistrat o adâncime de 10.902 de metri. Kaiko, care a aterizat aici pentru prima dată în 1995, a măsurat 10.911 metri, în timp ce Picard și Walsh au măsurat o valoare de 10.912 metri. Pe multe hărți rusești, este încă dată valoarea de 11.022 de metri, obținută de nava oceanografică sovietică Vityaz în timpul expediției din 1957. Desigur, toate acestea mărturisesc inexactitatea măsurătorilor și nu o schimbare reală a adâncimii: nimeni nu a efectuat calibrarea încrucișată a echipamentului de măsurare care a dat valorile date.

Şanţul Marianelor este format din limitele a două plăci tectonice: colosala placă Pacifică trece sub placa nu atât de mare din Filipine. Aceasta este o zonă cu activitate seismică extrem de ridicată, care face parte din așa-numitul inel de foc vulcanic al Pacificului, care se întinde pe 40 de mii de km, zonă cu cele mai frecvente erupții și cutremure din lume. Cel mai adânc punct al jgheabului este Challenger Deep, numit după nava engleză.

Depresiunea se întinde de-a lungul Insulelor Mariane pe 1500 km; are un profil în formă de V, pante abrupte (7-9°), fundul plat de 1-5 km lățime, care este împărțit de repezi în mai multe depresiuni închise. În partea de jos, presiunea apei atinge 108,6 MPa, ceea ce este de peste 1100 de ori mai mare decât presiunea atmosferică normală la nivelul Oceanului Mondial. Depresiunea este situată la limita de andocare a două plăci tectonice, în zona de mișcare de-a lungul faliilor, unde placa Pacificului trece sub placa filipineză.

Inexplicabilul și neînțelesul a atras mereu oamenii, așa că oamenii de știință din întreaga lume sunt atât de dornici să răspundă la întrebarea: „Ce ascunde șanțul Marianei în adâncurile sale?”

Pot organismele vii să trăiască la o adâncime atât de mare și cum ar trebui să arate, având în vedere că sunt presate de mase uriașe de apă oceanică, a cărei presiune depășește 1100 de atmosfere? Dificultățile asociate cu studiul și înțelegerea creaturilor care trăiesc la aceste adâncimi inimaginabile sunt suficiente, dar ingeniozitatea umană nu cunoaște limite. Multă vreme, oceanologii au considerat ipoteza că la adâncimi de peste 6000 m, în întuneric impenetrabil, sub presiune monstruoasă și la temperaturi apropiate de zero, viața ar putea exista ca fiind nebună. Cu toate acestea, rezultatele cercetărilor efectuate de oamenii de știință din Oceanul Pacific au arătat că chiar și la aceste adâncimi, cu mult sub pragul de 6000 de metri, există colonii uriașe de organisme vii pogonophora ((pogonophora; din grecescul pogon - barbă și phoros - purtător). ), un tip de animale nevertebrate marine care trăiesc în tuburi lungi chitinoase deschise la ambele capete). Recent, vălul secretului a fost deschis de vehicule subacvatice echipate și automate, din materiale grele, echipate cu camere video. Drept urmare, a fost descoperită o bogată comunitate de animale, formată atât din grupuri marine binecunoscute, cât și mai puțin familiare.

Astfel, la adâncimi de 6000 - 11000 km s-au găsit următoarele:

Bacteriile barofile (care se dezvoltă doar la presiune mare);

Dintre protozoare, foraminifere (o detașare a subclasei de protozoare de rizopode cu un corp citoplasmatic îmbrăcat într-o coajă) și xenofiofore (bacteriile barofile din protozoare);

Dintre multicelulare - viermi poliheți, izopode, amfipode, holoturii, bivalve și gasteropode.

La adâncimi nu există lumină solară, nu există alge, salinitatea este constantă, temperaturile sunt scăzute, dioxid de carbon din abundență, presiune hidrostatică enormă (crește cu 1 atmosferă la fiecare 10 metri). Ce mănâncă locuitorii abisului?

Sursele de hrană ale animalelor de adâncime sunt bacteriile, precum și ploaia de „cadavre” și detritus organic venit de sus; animale adânci sau orbi, sau cu ochi foarte dezvoltați, adesea telescopici; mulți pești și cefalopode cu fotofluori; în alte forme, suprafața corpului sau părți ale acestuia strălucesc. Prin urmare, aspectul acestor animale este la fel de groaznic și incredibil ca și condițiile în care trăiesc. Printre aceștia se numără viermi cu aspect înspăimântător de 1,5 metri lungime, fără gură și anus, caracatițe mutante, stele de mare neobișnuite și câteva creaturi cu corp moale de doi metri lungime, care nu au fost încă identificate deloc.

În ciuda faptului că oamenii de știință au făcut un pas uriaș în cercetarea șanțului Marianei, întrebările nu au scăzut, au apărut noi mistere care nu au fost încă rezolvate. Și abisul oceanului știe să-și păstreze secretele. Vor putea oamenii să le dezvăluie în viitorul apropiat?

—> Vedere prin satelit a văii <—

Suma peste stări (sinonime - sumă statistică, integrală statistică) este factorul de normalizare al funcției de distribuție a ansamblului canonic. Dacă se cunosc nivelurile de energie ale sistemului Eiși ponderile lor statistice gi(adică numărul de niveluri cu energie Ei), atunci suma dintre stări are forma:

Unde T- temperatura, V- volumul sistemului, N este numărul de particule. Numele „suma peste stări” reflectă faptul că funcția Z(T,V,N) este suma factorilor Boltzmann pentru fiecare dintre nivelurile de energie.

Uneori, suma dintre stările pentru un sistem format din particule identice este determinată printr-o integrală peste spațiul de fază (de unde și numele - „integrală statistică”). Dacă funcția Hamilton a sistemului este cunoscută H(p,q), atunci suma dintre stări se determină după cum urmează:

unde integrala este preluată coordonatele şi momentele tuturor N particule. Aici h\u003d 6,63 10 -34 J. s - constanta lui Planck. Factorul din fața integralei ia în considerare indistincbilitatea particulelor și principiul incertitudinii cuantice.

Principalul avantaj al sumei față de state este că conține toate informațiile termodinamice despre sistem . Dacă în orice fel (analitic sau numeric) a fost posibil să se calculeze suma dintre stările sistemului, atunci este posibil să se determine toate funcțiile termodinamice și să se găsească ecuația de stare a acestui sistem. În acest fel, problema principală a termodinamicii statistice se reduce la calculul sumelor asupra stărilor sistemelor termodinamice .

Suma după proprietățile statului

Toate proprietățile enumerate mai jos rezultă din definițiile (11.1) și (11.2).

1. Suma peste stări este o mărime adimensională. Depinde de temperatură, volum și numărul de particule: Z = Z(T,V,N). Depinde în mod explicit de temperatură, iar nivelurile de energie depind de volumul și numărul de particule: Ei = Ei(V,N).

2. Suma peste stări nu este o valoare absolută: se determină până la un factor constant, care depinde de alegerea punctului de referință energetică. Dacă deplasăm punctul de referință, i.e. modificați toate nivelurile de energie cu aceeași cantitate: Ei Ei+ , atunci toți factorii Boltzmann vor crește (sau scădea) de același număr de ori, iar suma dintre stări se va schimba de același număr de ori:

Z

De obicei, energia sistemului la zero absolut este luată ca punct de referință, U 0 .

3. Când T 0, toți factorii Boltzmann tind spre 0, cu excepția celui care corespunde celui mai scăzut nivel de energie, deci suma peste stări tinde spre ponderea statistică a acestui nivel:

La temperaturi scăzute, doar nivelurile scăzute de energie contribuie la suma peste stări ( E ~ kT).

4. Când T toți exponenții incluși în definiția (11.1) tind la 1, deci suma peste stări tinde spre suma ponderilor statistice ale tuturor nivelurilor:

,

care poate fi finită sau infinită în funcție de numărul de niveluri de energie. Un exemplu de sistem cu o sumă finită peste stări este spinurile nucleare din cristalele LiF într-un câmp magnetic extern.

5. Suma peste stări este o funcție monotonă crescătoare a temperaturii. Aceasta rezultă din faptul că derivata ( Z/T) V,N , calculat din definiția (11.1), este pozitiv la orice temperatură.

6. Dacă sistemul poate fi împărțit în două subsisteme independente, astfel încât fiecare nivel de energie să poată fi reprezentat ca o sumă: Ei =Ei 1 + Ei 2, apoi suma dintre stări este împărțită în factori (factorizat): Z = Z 1Z 2, unde funcțiile Z 1 și Z 2 sunt definite prin expresia (11.1), dar sumarea din aceasta se extinde numai la nivelurile de energie ale unui subsistem dat.

7. Principala proprietate a sumei stărilor este legătura sa cu funcțiile termodinamice.

Relația sumei asupra stărilor cu funcții termodinamice

Energia internă a unui sistem termodinamic poate fi reprezentată ca energia medie pe toate nivelurile, ținând cont de populația acestora:

,

Unde U 0 - energie la zero absolut T= 0. Partea dreaptă a acestei definiții poate fi transformată folosind definiția sumei peste stări (11.1):

. (11.3)

Astfel, cunoscând suma peste stări, se poate determina energia internă în funcție de temperatură și volum.

O altă relație de bază se referă la suma dintre stări și energia Helmholtz:

. (11.4)

Diferențierea unei funcții F din temperatură și volum, se pot găsi entropia și presiunea:

. (11.6)

Ultima relație nu este altceva decât ecuația termică de stare, adică. dependența presiunii de volum și temperatură.

Folosind relațiile (11.3) - (11.6), puteți găsi orice alte funcții termodinamice. Interesant este că toate funcțiile termodinamice sunt determinate nu de suma stărilor în sine, ci de logaritmul său.

Suma moleculară peste stările ideale ale gazelor

Multe proprietăți ale sumei peste stări pot fi luate în considerare folosind exemplul unui caz special important al unui sistem termodinamic - gaz ideal. Suma stărilor unui gaz ideal format din N particule identice, pot fi exprimate în termeni de sumă asupra stărilor unei particule Q:

unde factorul este 1/ N! ia în considerare principiul cuantic al indistincibilității particulelor.

În multe cazuri, nivelurile de energie ale unei molecule de gaz ideal pot fi defalcate în termeni corespunzători diferitelor tipuri de mișcare - de translație, rotație, vibrație, electronică și nucleară: E = E postare + E vr+ E numără + E e-mail + E otravă, deci suma moleculară peste stări factorizează:

Q = Q rapid Q vr Q numara Q e-mail Q otravă (11.8)

a) Suma translațională asupra stărilor poate fi calculată folosind formula (11.2) cu funcția Hamilton H(p,q) = p 2 / 2m (m este masa moleculei). Integrarea pe trei coordonate și trei proiecții ale impulsului se realizează separat și oferă:

Q post = , (11,9)

Unde V este volumul în care se mișcă molecula.

b) Suma rotațională asupra stărilor depinde de simetria moleculei. În cel mai simplu caz, pentru o moleculă liniară, nivelurile de energie depind doar de numărul cuantic de rotație J: E J = hcBJ(J+1), unde B- constantă de rotație (dimensiunea - cm -1), care este determinată de momentul de inerție al moleculei, c\u003d 3 10 10 cm / s - viteza luminii. Fiecare nivel de rotație are o pondere statistică g j = 2 J+ 1. La temperaturi nu foarte scăzute ( T >> B / k) însumarea din (11.1) poate fi înlocuită cu integrare peste J, ce dă:

Q vr = (11,10)

Pentru moleculele simetrice, această valoare trebuie împărțită la numărul de simetrie (pentru moleculele homonucleare biatomice, este egală cu 2).

La temperaturi scăzute, suma rotațională peste stări se găsește prin însumarea mai multor valori inferioare J.

c) Oscilațiile nucleelor ​​sunt descrise folosind modelul unui oscilator armonic, în care nivelurile de energie depind liniar de numărul cuantic vibrațional: E n = hc n, unde este frecvența de oscilație (în cm -1); energie de stat cu n= 0 este luat ca punct de referință. Nivelurile de energie vibrațională sunt nedegenerate, greutatea statistică este 1. Suma stărilor unui oscilator armonic cu o frecvență este:

Q= (11.11)

Această sumă diferă considerabil de 1 numai atunci când fracția din exponent este mai mică decât 1, adică. pentru temperaturi T > T numără = hc/ k. Ultima valoare se numește temperatura vibrațională efectivă pentru o anumită vibrație. Dacă temperatura este sub temperatura vibrațională, atunci suma dintre stări este aproape egală cu 1.

Într-o moleculă alcătuită din n atomi, se întâmplă 3 n-6 (într-o moleculă liniară - 3 n-5) vibrații diferite, fiecare cu frecvența sa i, deci suma vibrațională asupra stărilor moleculei este egală cu produsul sumelor asupra stărilor pentru fiecare dintre aceste vibrații:

Q numără = (11.12)

d) Nivelurile de energie electronică și nucleară dintr-o moleculă sunt de obicei foarte îndepărtate, iar la temperaturi nu prea ridicate, doar nivelul solului contribuie la suma corespunzătoare peste stări, a căror energie se presupune a fi 0. Electronica și nucleara sumele peste state sunt egale cu ponderile statistice ale nivelurilor electronice și nucleare inferioare, respectiv:

Q email = g el, Q otravă = g eu. (11.13)

Sumele moleculare peste stări pentru tipuri individuale de mișcare pot fi utilizate pentru a calcula populațiile absolute și relative ale nivelurilor individuale de energie conform legii distribuției Boltzmann:

. (11.14)

EXEMPLE

Exemplul 11-1. O moleculă poate fi la un nivel cu energie 0 sau la unul dintre cele trei niveluri cu energie E. Aflați suma moleculară a stărilor și calculați dependența energiei molare interne de temperatură.

Soluţie. Suma moleculară peste stări se găsește pur și simplu prin definiție:

Suma totală peste stări este legată de relația moleculară (11.7). Pentru a calcula energia molară internă, nu este necesară suma în sine, ci logaritmul acesteia:

Diferențiând această expresie în funcție de temperatură și folosind formula (11.3), găsim:

(N A este numărul lui Avogadro).

Exemplul 11-2. Suma stărilor unui sistem termodinamic format din N particule identice este egală cu:

Găsiți energia internă, entropia și ecuația de stare a acestui sistem.

Soluţie. Găsiți logaritmul sumei stărilor:

și utilizați formulele (11.3), (11.5) și (11.6):

,

Unde S 0 nu depinde de Tși V.

Acest sistem este un gaz ideal.

Exemplul 11-3. Calculați suma translațională moleculară peste stări pentru N 2 în condiții normale, dacă se știe că suma translațională moleculară peste stări pentru H 2 la o temperatură de 298 K și o presiune de 101,3 kPa este 6,70 10 28 .

Soluţie. Suma progresivă pe stări este egală cu:

Q post =

Presiunea este aceeași în ambele cazuri, doar masele de molecule și temperaturile diferă. Raportul sumelor translaționale poate fi găsit din raportul dintre mase și temperaturi:

Unde Q post (N 2) = 42,1 6,70 10 28 = 2.82 10 30 .

Exemplul 11-4. Pornind de la ce nivel de vibrație populația moleculei de clor ( = 560 cm -1) va fi mai mică de 1% la 1000 K?

Soluţie. Folosim formula Boltzmann (11.14) cu niveluri de energie E n= hc nși suma vibrațională asupra stărilor (11.11):

.

Să calculăm exponentul inclus în această inegalitate:

Soluția ecuației

dă n = 4.97 5.

SARCINI

11-1. Să existe o moleculă în trei stări cu energii egale cu 0, Eși E. Găsiți o expresie pentru suma moleculară a stărilor Qși energia internă molară.

11-2. Să fie pentru o moleculă ipotetică la temperaturi ridicate, suma moleculară a stărilor este egală cu: Q = 2 - /(kT). Găsiți expresii pentru: a) energia medie molară; b) entropia molară; c) capacitatea termică izocorică molară. Explicați de ce o astfel de moleculă nu poate exista.

11-3. Funcția de partiție a unui sistem termodinamic format din N particule identice este egală cu:

.

Găsiți energia internă, energia Helmholtz, entropia și ecuația de stare a acestui sistem.

11-4. Sunt date două sisteme termodinamice. Pentru unul dintre ele, dependența energiei interne de temperatură este cunoscută: U(T) = kT + U 0 , pentru celălalt - dependența energiei Helmholtz de temperatură: F(T) = -kT ln T + U 0 ( , - factori constanți, k este constanta Boltzmann). Găsiți dependența de temperatură a funcției de partiție pentru ambele sisteme.

11-5. Folosind ecuația de stare, găsiți dependența sumei totale față de stările unui gaz ideal și ale gazului van der Waals de volum.

11-6. Folosind relația dintre suma peste stări și funcțiile termodinamice, exprimați derivatele ( U/V) T și ( S/V) T în ceea ce privește presiunea și derivatele acesteia.

11-7. Pentru un sistem termodinamic (nu un gaz ideal), se cunoaște suma dintre stări, Z(T,V). Găsiți munca efectuată de acest sistem în timpul expansiunii izoterme reversibile de la V 1 la V 2 .

11-8. Calculați suma translațională asupra stărilor de O 2 la 100°C și presiunea normală dacă se știe că suma translațională asupra stărilor lui He în condiții normale este 1,52. 10 29 .

11-9. Care este suma vibrațiilor asupra stărilor de iod ( = 214 cm -1) la o temperatură de 1200 K?

11-10. Calculați suma vibrațională moleculară asupra stărilor monoxidului de carbon (IV) la 1500 K. Frecvențe de vibrație: 1 = 1388,2 cm -1 , 2 = 667,4 cm -1 (degenerare dublă), 3 = 2349,2 cm -1 .

11-11. Calculați suma rotațională asupra stărilor moleculei de F 2 la o temperatură de 0 ° C, dacă se știe că suma rotațională asupra stărilor moleculei de 35 Cl 2 la temperatura de 298 K este 424. Distanța internucleară în o moleculă de fluor este de 1,4 ori mai mică decât într-o moleculă de clor.

11-12*. Cum se va schimba suma rotațională între stări dacă din fiecare (2 J+1) niveluri cu aceeași energie J nivelurile își vor crește energia cu o anumită cantitate, J nivelurile vor reduce energia cu aceeași cantitate, dar un nivel de energie nu se va schimba?

11-13. Calculați probabilitatea de a găsi o moleculă de hidrogen ( = 4400 cm -1) în starea de vibrație la sol la 4000 K.

11-14. Calculați probabilitatea de a găsi sulf atomic în sol și primele stări electronice excitate la 1000 K folosind următoarele date:

Termen electronic	Energie (cm -1)	Greutatea statistică

11-15. Folosind datele din problema anterioară, calculați suma electronilor peste stări și energia medie a electronilor a unui atom de sulf la 1000 K.

11-16*. Determinați concentrațiile de echilibru de orto- și para-hidrogen la o temperatură de 120 K (constantă de rotație B= 60,9 cm -1).

11-17. Aflați nivelul energiei de rotație al moleculei de N 2 ( B= 2,00 cm -1), care are cea mai mare populație la: a) T= 298 K, b) T= 1000K.

11-18. La ce temperatură este nivelul de rotație c J=10 în starea electronică și vibrațională de bază a moleculei de O 2 ( B= 1,45 cm -1) are cea mai mare populație dintre toate nivelurile de rotație?

11-19. Luați în considerare populația J al-lea nivel de rotație al unei molecule diatomice în funcție de temperatură. La ce temperatură este maximă această populație? (Constanta de rotatie B).

suma statistica (sau suma pe state ) este cel mai important parametru al modelului de ansamblu statistic canonic, care este folosit pentru a descrie cel mai comun tip de sisteme statistice - sisteme în contact termic cu un termostat.

Utilitatea sumelor statistice se datorează unui număr de caracteristici distinctive ale acestora.

1) funcţia de partiţie este o caracteristică numerică care reflectă într-o formă compactată funcţia de distribuţie a ansamblului statistic;

2) funcțiile de partiție sunt multiplicative - dacă într-un sistem complex pot fi distinse mai multe subsisteme care interacționează slab, atunci funcția de partiție a sistemului poate fi reprezentată ca un produs al funcțiilor de partiție ale subsistemelor sale;

Q = q 1 q 2 … q n

3) prin funcția de partiție, puteți exprima toate caracteristicile termodinamice principale ale sistemului:

energie gratisF = – kT ln Q

energie internaU= (kT) 2 d(ln Q) /d (kT)

entropie S = k  d (kT ln Q) / d (kT)

ceea ce face posibilă calcularea acestor caracteristici macroscopice ale unei substanțe pe baza informațiilor despre structura moleculelor sale și condițiile externe (temperatura etc.).

Din punct de vedere formal, funcția de partiție joacă rolul unui factor de normalizare la calcularea probabilităților în modelul de ansamblu canonic:

p(E i) = (1/Q)exp(– E i/), unde Q = 

Spre deosebire de probabilităţi p(E i), valoarea funcției de partiție Q în sine depinde de scara de energie utilizată. Prin urmare, atunci când calculați, ar trebui să folosiți un special scara statistica , în care marcajul zero coincide cu cel mai scăzut nivel de energie disponibil pentru sistemul studiat. Cu alte cuvinte, calculele statistice nu ar trebui să țină cont de așa-numitele. „energie zero” E o, care caracterizează toate sistemele conectate. Această energie nu poate participa la schimbul de căldură cu mediul (termostat) și, prin urmare, nu contribuie la comportamentul statistic al sistemului termostatat. Astfel, atunci când se calculează sumele statistice, ar trebui să se utilizeze nu valorile energetice date de modelele mecanice cuantice (cutie de potențial, oscilator etc.), ci valorile corectate:

E stat = E blana - E O

De exemplu, modelul unei cutii de potențial unidimensional conduce la valori de energie admisibile exprimate prin formula binecunoscută:

E n= ( 2  2 /2 mL)  n 2 , unde n = 1, 2, …

La o scară statistică, această expresie ia o formă diferită:

(E n) stat = E n – E 1 = ( 2  2 /2 mL)  (n 2 – 1)

Deoarece prima valoare de energie admisibilă în scara statistică este zero, primul exponent din sumă este întotdeauna egal cu unu, iar formula de calcul a sumei statistice devine:

Q = 1 + 

de unde ar trebui să înceapă însumarea i= 2.

De aici, în special, rezultă că posibilele valori numerice ale funcției de partiție se află întotdeauna în intervalul: 1< Q<, причем равенствоQ= 1 наблюдается для чисто механических систем, изолированных от окружающей среды, для которых энергия может иметь единственное допустимое значение (в статистической шкале оно будет равно нулю)

Probabilitatea pentru nivelul de energie inferior (primul) va fi exprimată prin formula:

P 1=1/Q= N 1 /N

iar funcția de partiție poate fi definită ca raportul dintre numărul tuturor sistemelor de ansamblu ( N) la numărul de sisteme în starea de energie neexcitată ( N 1):

Q= N /N 1

Cu alte cuvinte, dacă niciunul dintre sistemele din ansamblu nu este excitat (nu există contact cu termostatul), atunci Q= 1. Cu cât mai multe sisteme din ansamblu intră în stări excitate, cu atât funcția de partiție devine mai mare. Putem spune că funcția de partiție este o măsură a gradului de influență a unui termostat asupra proprietăților unui sistem termostatat (o măsură a „statisticității”).

Să luăm în considerare câteva exemple de utilizare a funcțiilor de partiție ca caracteristici ale sistemelor statistice.

La o temperatură, volum și număr fix de particule. Funcție mare de partiție canonică se referă la marele ansamblu statistic canonic, în care sistemul poate schimba atât căldură, cât și particule cu mediul la o temperatură, volum și potențial chimic fix. În alte situații, puteți defini alte tipuri de funcții de partiție.

Funcția de partiție în ansamblul canonic

Definiție

Să presupunem că există un sistem care respectă legile termodinamicii, care este în contact termic constant cu un mediu care are o temperatură texvc , în timp ce volumul sistemului și numărul particulelor sale constitutive sunt fixe. Într-o astfel de situație, sistemul aparține ansamblului canonic. Denota precis afirmă că sistemul poate fi în Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): (j=1,2,3,\ldots), iar energia totală a sistemului este în stare Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): j - Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): E_j. De regulă, aceste microstări pot fi considerate stări cuantice discrete ale sistemului.

Funcția de partiție canonică- aceasta

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): Z=\sum_j e^(-\beta E_j),

unde este temperatura de retur Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \beta definit ca

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \beta\equiv\frac(1)(k_BT),

A Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): k_B este constanta Boltzmann. V clasic ar fi incorect ca mecanica statistică să definească funcția de partiție ca o sumă de termeni discreti, ca în formula de mai sus. În mecanica clasică, coordonatele și momentele particulelor se pot schimba continuu, iar setul de microstări este de nenumărat. În acest caz, este necesară împărțirea spațiului de fază în celule, adică două microstări sunt considerate la fel dacă diferențele lor de coordonate și momente „nu sunt prea mari”. În acest caz, funcția de partiție ia forma unei integrale. De exemplu, funcția de partiție a gazului din Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc particulele clasice este

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): Z=\frac(1)(N!h^(3N))\int \exp[-\beta H(p_1,\ldots,p_N,x_1,\ldots, x_N) ]\,d^3p_1\ldots d^3p_N\,d^3x_1\ldots d^3x_N,

Unde Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc este o dimensiune a acțiunii (care trebuie să fie egală cu constanta lui Planck pentru a fi în concordanță cu mecanica cuantică) și Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): H este Hamiltonianul clasic. Motivele multiplicatorului Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc explicat. Pentru simplitate, acest articol va folosi forma discretă a funcției de partiție, dar rezultatele obținute se aplică în mod egal și formei continue.

În mecanica cuantică, funcția de partiție poate fi scrisă mai formal ca o urmă de spațiu de stare (care este independentă de alegerea bazei):

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): Z=\mathrm(tr)\,(e^(-\beta H)),

Unde Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): H este operatorul Hamilton. Exponentul unui operator este determinat folosind o serie de expansiune de putere.

Semnificație și semnificație

Mai întâi, să vedem de ce depinde. Funcția de partiție este în primul rând o funcție de temperatură Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): T, iar în al doilea - energiile microstărilor Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): E_1,E_2,E_3și așa mai departe. Energiile microstărilor sunt determinate de alte cantități termodinamice, cum ar fi numărul de particule și volumul, precum și de proprietățile microscopice, cum ar fi masa particulelor. Această dependență de proprietățile microscopice este fundamentală în mecanica statistică. Conform modelului componentelor microscopice ale sistemului, este posibil să se calculeze energiile microstărilor și, în consecință, funcția de partiție, ceea ce face posibilă calcularea tuturor celorlalte proprietăți termodinamice ale sistemului.

Funcția de partiție poate fi utilizată pentru a calcula mărimi termodinamice deoarece are o semnificație statistică foarte importantă. Probabilitate Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): P_j cu care sistemul se află într-o microstare Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): j, este egal cu

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): P_j=\frac(1)(Z)e^(-\beta E_j).

Funcția de partiție este inclusă în distribuția Gibbs sub forma unui factor de normalizare (it nu depinde de Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): j), asigurându-se că suma probabilităților este egală cu unu:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \sum_j P_j=\frac(1)(Z)\sum_j e^(-\beta E_j)=\frac(1)(Z)Z=1.

Calculul energiei totale termodinamice

Pentru a demonstra utilitatea funcției de partiție, calculăm valoarea termodinamică a energiei totale. Aceasta este pur și simplu așteptarea matematică, sau valoarea energiei mediate pe ansamblu, egală cu suma energiilor microstărilor, luate cu ponderi egale cu probabilitățile lor:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): \langle E\rangle=\sum_j E_jP_j=\frac(1)(Z)\sum_j E_j e^(-\beta E_j)=-\frac(1)(Z )\ frac(\partial)(\partial\beta)Z(\beta,\;E_1,\;E_2,\;\ldots)=-\frac(\partial\ln Z)(\partial\beta)

sau ce este la fel

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru reglare.): \langle E\rangle=k_B T^2\frac(\partial\ln Z)(\partial T).

De asemenea, se poate observa că dacă energiile microstărilor depind de parametru Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc Cum

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): E_j=E_j^((0))+\lambda A_j

pentru toți Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): j, apoi valoarea medie Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): A egală

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): \langle A\rangle=\sum_j A_jP_j=-\frac(1)(\beta)\frac(\partial)(\partial\lambda)\ln Z(\beta ,\ ;\lambda).

Aceasta este baza unei tehnici care face posibilă calcularea valorilor medii ale multor cantități microscopice. Este necesar să se adauge artificial această valoare la energia microstărilor (sau, în limbajul mecanicii cuantice, la Hamiltonian), să se calculeze o nouă funcție de partiție și o valoare medie și apoi să se pună în expresia finală. Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \lambda egal cu zero. O metodă similară este aplicată în teoria câmpului cuantic.

În această secțiune, este dată relația dintre funcția de partiție și diferiți parametri termodinamici ai sistemului. Aceste rezultate pot fi obținute folosind metoda descrisă în secțiunea anterioară și diverse relații termodinamice.

După cum am văzut, energia este

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \langle E\rangle=-\frac(\partial\ln Z)(\partial\beta). Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru reglare.): c_v=\frac(\partial\langle E\rangle)(\partial T)=\frac(1)(k_B T^2)\langle\delta E^2\ range. Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru reglare.): S\equiv-k_B\sum_j P_j\ln P_j=k_B(\ln Z+\beta\langle E\rangle)=\frac(\partial)(\partial T)( k_B T \ln Z)=-\frac(\partial F)(\partial T),

Unde Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): F- energie liberă, definită ca Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): F=E-TS, Unde Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): E este energia totală și Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): S este entropia, deci

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): F=\langle E\rangle-TS=-k_B T\ln Z.

Funcția de partiție a subsistemului

Să presupunem că sistemul constă din Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): N subsisteme, a căror interacțiune este neglijabilă. Dacă funcțiile de partiție ale subsistemelor sunt egale Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): \zeta_1,\;\zeta_2,\;\ldots,\;\zeta_N, atunci funcția de partiție a întregului sistem este muncă sume statistice individuale:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): Z =\prod_(j=1)^N\zeta_j.

Dacă subsistemele au aceleași proprietăți fizice, atunci funcțiile lor de partiție sunt aceleași: Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): \zeta_1=\zeta_2=\ldots=\zeta, iar în acest caz

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): Z=\zeta^N.

Există, totuși, o excepție notabilă de la această regulă. Dacă subsistemele sunt particule identice, adică bazate pe principiile mecanicii cuantice, nu pot fi distinse nici măcar în principiu, funcția de partiție totală trebuie împărțită la Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): N! :

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor pentru configurare.): Z=\frac(\zeta^N)(N. !}

Acest lucru se face pentru a evita numărarea aceleiași microstare de mai multe ori.

Funcția de împărțire a marelui ansamblu canonic

Definiție

În mod similar cu funcția de partiție canonică pentru ansamblul canonic, se poate defini funcție de partiție canonică mare pentru marele ansamblu canonic - un sistem care poate schimba atât căldură, cât și particule cu mediul și are o temperatură constantă Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): T, volum Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc și potențial chimic Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \mu. Marea funcție de partiție canonică, deși mai dificil de înțeles, simplifică calculul sistemelor cuantice. Funcție mare de partiție canonică Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor pentru configurare.): \mathcal(Z) pentru un gaz ideal cuantic se scrie ca:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor pentru reglare.): \mathcal(Z)=\sum_(N=0)^\infty\,\sum_(\(n_i\))\,\prod_i e^(-\beta n_i (\ varepsilon_i-\mu)),

Unde Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): N- numărul total de particule din volum Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): V, index Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc trece prin toate microstările sistemului, Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): n_i este numărul de particule din stare Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): i, A Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \varepsilon_i- energia în stat Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): i . Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): \(n_i\)- toate seturile posibile de numere de umplere pentru fiecare microstat, astfel încât Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \sum_i n_i=N. Luați în considerare, de exemplu, termenul corespunzător Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc . Un posibil set de numere de umplere ar fi Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): \(n_i\)=0,\;1,\;0,\;2,\;0,\ldots, contribuie la termenul cu Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): N=3, egal cu

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): \prod_i e^(-\beta n_i(\varepsilon_i-\mu))=e^(-\beta(\varepsilon_1-\mu))\,e^(- 2\ beta(\varepsilon_3-\mu)). Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru reglare.): \mathcal(Z)_i=\sum_(n_i=0)^\infty e^(-\beta n_i(\varepsilon_i-\mu))=\frac(1) (1 -e^(-\beta(\varepsilon_i-\mu))), Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru reglare.): \mathcal(Z)_i=\sum_(n_i=0)^1 e^(-\beta n_i(\varepsilon_i-\mu))=\frac(1)( 1+ e^(-\beta(\varepsilon_i-\mu))).

În cazul unui gaz Maxwell-Boltzmann, este necesar să se numere corect stările și să se împartă factorul Boltzmann Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): e^(-\beta (\varepsilon_i-\mu)) pe Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): n_i!

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru reglare.): \mathcal(Z)_i=\sum_(n_i=0)^\infty\frac(e^(-\beta n_i(\varepsilon_i-\mu)))(n_i=\exp\left(e^{-\beta(\varepsilon_i-\mu)}\right). !}

Relația cu mărimile termodinamice

La fel ca și funcția de partiție canonică, funcția de partiție mare canonică poate fi utilizată pentru a calcula mărimile termodinamice și statistice ale unui sistem. Ca și în ansamblul canonic, mărimile termodinamice nu sunt fixe, ci sunt distribuite statistic în jurul mediei. denotând Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \alpha=-\beta\mu, obținem valorile medii ale numerelor de umplere:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \langle n_i\rangle=-\left(\frac(\partial\ln\mathcal(Z)_i)(\partial\alpha)\right)_(\beta, \; V)=\frac(1)(\beta)\left(\frac(\partial\ln\mathcal(Z)_i)(\partial\mu)\right)_(\beta,\;V).

Pentru particulele Boltzmann, aceasta dă:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \langle n_i\rangle=e^(-\beta(\varepsilon_i-\mu)).

Pentru bosoni:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \langle n_i\rangle=\frac(1)(e^(\beta(\varepsilon_i-\mu))-1).

Pentru fermioni:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \langle n_i\rangle=\frac(1)(e^(\beta(\varepsilon_i-\mu))+1),

care coincide cu rezultatele obținute folosind ansamblul canonic pentru statistica Maxwell-Boltzmann, statistica Bose-Einstein și, respectiv, statistica Fermi-Dirac. (Grad de degenerare Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): g_i lipsesc în aceste ecuații, din moment ce indicele Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): i numere stări individuale, nu niveluri de energie.)

Numărul total de particule

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor pentru reglare.): \langle N\rangle=-\left(\frac(\partial\ln\mathcal(Z))(\partial\alpha)\right)_(\beta,\ ;V )=\frac(1)(\beta)\left(\frac(\partial\ln\mathcal(Z))(\partial\mu)\right)_(\beta,\;V). Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \langle P\rangle=\frac(1)(\beta)\left(\frac(\partial\ln\mathcal(Z))(\partial V)\right )_ (\mu,\;\beta). Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \langle PV\rangle=\frac(\ln\mathcal(Z))(\beta).

Scrieți o recenzie la articolul „Suma statistică”

Literatură

• Kubo R. Mecanica statistica. - M.: Mir, 1967.
• Huang K. Mecanica statistica. - M.: Mir, 1966. (Huang, Kerson, „Statistical Mechanics”, John Wiley & Sons, New York, 1967.)
• Ishihara A. Fizică statistică. - M.: Mir, 1973. (Isihara A. „Statistical Physics”. - New York: Academic Press, 1971.)
• Kelly, James J.
• Landau, L. D., Lifshitz, E. M. Fizică statistică. Partea 1. - Ediția a 5-a. - M .: Fizmatlit, 2005. - 616 p. - („Fizica teoretică”, Volumul V). - ISBN 5-9221-0054-8..

Un fragment care caracterizează funcția de partiție

„Unde este casa mea?” am întrebat eu surprins.
- E departe... În constelația Orion există o stea cu numele minunat Asta. Aceasta este casa ta, Isidora. La fel ca a mea.
M-am uitat la el șocată, neputând să cred. Nici măcar nu înțeleg o veste atât de ciudată. Nu se potrivea în capul meu înflăcărat în nicio realitate reală și părea că eu, ca și Caraffa, îmi pierdeam treptat mințile... Dar Nordul era real și, cu siguranță, nu părea că glumește. Prin urmare, adunându-mă cumva, am întrebat deja mult mai calm:
- Cum s-a întâmplat că te-a găsit Caraffa? Are un cadou?
Nu, nu-l are pe Dar. Dar are o minte care-l servește admirabil. Așa că l-a folosit pentru a ne găsi. A citit despre noi într-o cronică foarte veche, despre care nu știa cum și de unde a luat-o. Dar el știe multe, crede-mă. Are o sursă uimitoare din care își extrage cunoștințele, dar nu știu de unde vine și unde poate fi găsită această sursă pentru a-l asigura.
- Oh, nu-ți face griji! Dar sunt foarte conștient de asta! Cunosc această „sursă”! .. Aceasta este minunata lui bibliotecă, în care cele mai vechi manuscrise sunt păstrate în miriade. Pentru ei cred că Caraffa are nevoie de Viața lui lungă... - M-am simțit trist de moarte și am vrut să plâng ca un copil... - Cum să-l distrugem, Sever?! Nu are dreptul să trăiască pe pământ! El este un monstru care va lua milioane de vieți dacă este lăsat necontrolat! Ce facem?
„Nimic pentru tine, Isidora. Trebuie doar să pleci. Vom găsi o modalitate de a scăpa de el. Este nevoie doar de timp.
- Și în acest timp, oameni nevinovați vor muri! Nu, Sever, voi pleca doar când nu am de ales. Și atâta timp cât va fi el, voi lupta. Chiar dacă nu există speranță.
Fiica mea va fi adusă la tine, ai grijă de ea. nu o pot salva...
Silueta lui luminoasă a devenit complet transparentă. Și a început să dispară.
- Mă întorc, Isidora. şopti o voce blândă.
„La revedere, Sever...” am răspuns la fel de încet.
— Dar cum așa?! a exclamat deodată Stella. „Nici nu ai întrebat de planeta de pe care ai venit?!.. Nu te-ai interesat?! Cum așa?..
Sincer să fiu, și eu cu greu m-am putut abține să nu o întreb pe Isidora despre același lucru! Esența ei venea din afară și nici măcar nu a întrebat despre asta! .. Dar într-o oarecare măsură, probabil că am înțeles-o, deoarece era o perioadă prea groaznică pentru ea și îi era frică de moarte pentru cei pe care îi iubea foarte mult. , și pe care încă încearcă să-l salveze. Ei bine, și Casa - putea fi găsită mai târziu, când nu mai era altă alegere decât să plece cât mai curând posibil...
„Nu, dragă, nu am întrebat, nu pentru că nu m-ar interesa. Dar pentru că atunci nu era atât de important, cumva, că oameni minunați mureau. Și au murit în chinuri brutale, care au fost permise și susținute de o singură persoană. Și nu avea dreptul să existe pe pământul nostru. Acesta a fost cel mai important lucru. Orice altceva ar putea fi lăsat pentru mai târziu.
Stella se înroși, rușinată de izbucnirea ei și șopti încet:
– Iartă-mă, te rog, Isidora...
Iar Isidora a „intrat” deja din nou în trecutul ei, continuând povestea ei uimitoare...
De îndată ce Nordul a dispărut, am încercat imediat să-l sun mental pe tatăl meu. Dar din anumite motive el nu a răspuns. Acest lucru m-a alarmat puțin, dar, fără să mă așteptam la nimic rău, am încercat din nou - încă nu a fost niciun răspuns ...
Hotărând să nu dau frâu liber imaginației mele înflăcărate deocamdată și lăsându-l deocamdată pe tatăl meu singur, m-am cufundat în amintirile dulci și triste ale vizitei recente a Annei.
Îmi aminteam încă de mirosul trupului ei fragil, de moliciunea părului ei negru și des și de curajul extraordinar cu care minunata mea fiică de doisprezece ani și-a întâlnit soarta rea. Eram incredibil de mândru de ea! Anna era o luptătoare și am crezut că orice s-ar întâmpla, va lupta până la capăt, până la ultima suflare.
Nu știam încă dacă voi putea s-o salvez, dar mi-am jurat că voi face tot ce-mi stă în putință pentru a o salva din ghearele tenace ale crudului Papă.
Caraffa s-a întors câteva zile mai târziu, cumva foarte supărat și taciturn. Mi-a arătat doar cu mâna că trebuie să-l urmez. m-am supus.
După ce am trecut pe lângă câteva coridoare lungi, ne-am trezit într-un mic birou, care (cum am aflat mai târziu) era camera lui privată de recepție, la care invita foarte rar oaspeți.
Caraffa a arătat în tăcere un scaun pentru mine și s-a așezat încet vizavi. Tăcerea lui părea de rău augur și, așa cum știam deja din propria mea experiență tristă, nu era niciodată de bun augur. Eu, după întâlnirea cu Anna și sosirea neașteptată a Nordului, m-am relaxat de neiertat, am „liniștit” într-o oarecare măsură vigilența mea obișnuită și am ratat următoarea lovitură...
„Nu am timp de plăcere, Isidora. Îmi vei răspunde la întrebări sau altcineva va suferi foarte mult. Asa ca, te sfatuiesc sa raspunzi!
Caraffa era supărat și iritat și să te cert cu el într-un asemenea moment ar fi o adevărată nebunie.
„Voi încerca, Sfinție. Ce vrei sa stii?
– Tinerețea ta, Isidora? Cum ai primit-o? La urma urmei, ai treizeci și opt de ani, dar arăți douăzeci și nu te schimbi. Cine ți-a dat tinerețea? Răspuns!
Nu puteam înțelege ce l-a înfuriat atât de mult pe Caraffa? .. În timpul cunoștințelor noastre deja destul de lungi, nu a țipat niciodată și foarte rar și-a pierdut controlul asupra sa. Acum vorbeam cu o persoană furioasă și supărată de la care se putea aștepta la orice.
Raspunde, madonna! Sau vei mai aștepta o altă surpriză, foarte neplăcută.
Dintr-o astfel de afirmație, părul meu a început să se miște... Am înțeles că nu va fi posibil să încerc să evit întrebarea. Ceva l-a înfuriat foarte mult pe Caraffa și nu a încercat să-l ascundă. Nu a acceptat jocul și nu avea de gând să glumească. A rămas doar să răspund, sperând orbește că va accepta jumătatea de adevăr...
- Sunt o Vrăjitoare ereditară, Sfinție, iar astăzi - cea mai puternică dintre ele. Tinerețea mi-a venit prin moștenire, nu am cerut-o. La fel ca mama mea, bunica mea și restul liniei de vrăjitoare din familia mea. Trebuie să fiți unul dintre noi, Sfinția Voastră, pentru a primi asta. În plus, fii cel mai demn.
- Prostii, Isidora! Am cunoscut oameni care au atins ei înșiși nemurirea! Și nu s-au născut cu ea. Deci există moduri. Și le vei deschide pentru mine. Aveți încredere în mine.
Avea perfectă dreptate... Existau moduri. Dar nu aveam de gând să i le deschid fără niciun motiv. Nu pentru orice tortură.
„Iartă-mă, Sfinția Voastră, dar nu vă pot da ceea ce nu am primit eu însumi. Este imposibil - nu știu cum. Dar Dumnezeul tău, cred, ți-ar da „viață veșnică” pe pământul nostru păcătos, dacă ar crede că meriți asta, nu?
Caraffa a devenit violet și șuieră furios, ca un șarpe veninos gata să atace:
– Am crezut că ești mai deșteaptă, Isidora. Ei bine, nu va dura mult să te rup când vei vedea ce îți rezervă...
Și apucându-mă brusc de mână, m-a târât brusc în subsolul lui terifiant. Nici nu am avut timp să mă sperii, căci am ajuns la aceeași ușă de fier, în spatele căreia, destul de recent, nefericitul meu soț chinuit, bietul meu bun Girolamo, a murit atât de brutal... Și deodată o presupunere îngrozitoare și înfiorătoare. mi-a tăiat creierul - tată !!! De aceea nu mi-a răspuns apelului repetat!.. Probabil că a fost prins și torturat în același subsol, stând în fața mea, respirând cu furie, un diavol care „curăță” orice țintă cu sângele și durerea altcuiva!. .
„Nu, nu asta! Te rog, nu asta!!!" sufletul meu rănit a țipat ca un strigăt de animal. Dar știam deja că e exact așa... „Ajută-mă cineva!!! Cineva!”... Dar din anumite motive nu m-a auzit nimeni... Și nu m-a ajutat...
Ușa grea s-a deschis... Ochi cenușii larg deschiși s-au uitat drept la mine, plini de durere inumană...
În mijlocul încăperii familiare, cu miros de moarte, pe un fotoliu cu țepi, de fier, iubitul meu tată stătea sângerând...
Lovitura s-a dovedit a fi groaznică!... Țipând cu un strigăt sălbatic „Nu!!!”, mi-am pierdut cunoștința...

* Notă: vă rugăm să nu confundați (!!!) cu complexul grecesc al mănăstirilor Meteora din Kalambaka, Grecia. Meteora în greacă înseamnă „atârnat în aer”, ceea ce corespunde pe deplin cu priveliștea uluitoare a mănăstirilor, precum ciupercile roz cultivate pe cele mai înalte vârfuri ale munților neobișnuiți. Prima mănăstire a fost construită în jurul anului 900. Și între secolele al XII-lea și al XVI-lea erau deja 24. Doar șase mănăstiri au „supraviețuit” până în prezent, ceea ce încă uimește pe turiști.
Adevărat, turiștii nu cunosc un detaliu foarte amuzant... Mai este o mănăstire la Meteora, în care „curioșii” nu au voie... A fost construită (și a dat naștere celorlalte) de un fanatic dotat care a studiat cândva. în Meteora adevărată și alungată din ea. Furios pe lumea întreagă, a decis să-și construiască „propria Meteora” pentru a-și strânge același „oferit” ca și el și pentru a-și duce viața solitară. Cum a făcut-o nu se știe. Dar de atunci, masonii au început să se adune în Meteora lui pentru întâlniri secrete. Ce se întâmplă o dată pe an până în ziua de azi.
Mănăstiri: Marele Meteoron (Meteoron mare); Russano; Agios Nicolae; Agia Trios; Agias Stefanos; Varlaam sunt situate la o distanță foarte apropiată unul de celălalt.

37. Isidora-3. Meteora
M-am trezit într-un subsol groaznic, rece, plin de mirosul stânjenitor al sângelui și al morții...
Corpul amorțit nu se supunea și se durea, nevrând să se „trezească” în vreun fel... Și Sufletul, cu ușurința unei păsări, plutea în lumea strălucitoare a amintirilor, întorcându-se din memorie chipuri iubite și zile pline de fericirea, când tristețea nu se uitase încă în viața noastră și când nu existau locuri de amărăciune și durere în ea... Acolo, în acea lume frumoasă „dispărută”, minunatul meu soț, Girolamo, încă mai trăia... acolo, râsul vesel al micuței Anna s-a umplut de un clopoțel... acolo mama mea dulce și duioasă îmi zâmbea cu afecțiune dimineața... acolo m-a învățat cu răbdare înțelepciunea Vieții, tatăl meu bun și strălucitor... Această lume era fericită și însorit, iar sufletul meu a fost sfâșiat, zburând din ce în ce mai departe... să nu se mai întoarcă niciodată...
Dar dintr-un motiv oarecare, realitatea diabolică nu m-a lăsat să plec... A bătut fără milă, trezind cu forța creierul inflamat, cerând să mă întorc „acasă”. Lumea pământească nativă și imperfectă a cerut ajutor... Caraffa a trăit... Și în timp ce el respira, nu putea exista bucurie și lumină în lumea noastră.
Era timpul să ne întoarcem...
Respirând adânc, mi-am simțit în sfârșit corpul fizic înghețat de singurătate - viața, fără tragere de inimă, s-a întors la ea puțin câte puțin... Tot ce a rămas a fost să prind curaj...
Era o tăcere densă, asurzitoare, densă în camera în care mă aflam. M-am așezat pe un scaun de lemn aspru, fără să mă mișc și fără să deschid ochii, încercând să nu arăt „prezent” (dacă există) că m-am trezit. Simțind și auzind totul perfect, m-am „uitat intens în jur”, încercând să stabilesc ce se întâmplă în jur.
Mi-am revenit încet în fire și am început să-mi amintesc ce sa întâmplat, am văzut deodată foarte clar CE s-a dovedit a fi adevărata cauză a leșinului meu brusc și profund! ..
Groaza rece a strâns inima moartă într-o menghină ascuțită, fără a-i permite nici măcar să se trezească complet! ..
Tată!.. Sărmanul meu tată bun a fost AICI!!! În acest subsol îngrozitor și sângeros - o bârlog teribilă a morții sofisticate... Era lângă Girolamo... Era pe moarte. Capcana de rău augur a lui Caraffa s-a închis, înghițindu-și Sufletul pur...
De teamă să văd ce e mai rău, mi-am adunat totuși curajul care scăpa complet într-un pumn și mi-am ridicat capul...
Primul lucru pe care l-am văzut chiar în fața mea au fost ochii negri ai lui Caraffa care ardeau de profund interes... Nu era niciun tată în camera de tortură.
Caraffa stătea în picioare, concentrat, uitându-se la fața mea cu o privire studiată, de parcă ar fi încercat să înțeleagă ce se întâmplă cu adevărat în sufletul meu, schilodit de suferință... Chipul lui deștept și subțire, spre cea mai mare surpriză a mea, a exprimat o emoție sinceră (! ), pe care, totuși, clar nu avea de gând să mi-l arate... Văzând că m-am trezit, Caraffa și-a „pus” instant masca obișnuită, indiferentă, și zâmbind deja din plin, „afecționat” a spus:

Se referă la ansamblul statistic canonic, în care sistemul poate face schimb de căldură cu mediul la o temperatură, volum și număr de particule fixe. Funcție mare de partiție canonică se referă la marele ansamblu statistic canonic, în care sistemul poate schimba atât căldură, cât și particule cu mediul la o temperatură, volum și potențial chimic fix. În alte situații, puteți defini alte tipuri de funcții de partiție.

Funcția de partiție în ansamblul canonic

Definiție

Să presupunem că există un sistem care respectă legile termodinamicii, care este în contact termic constant cu un mediu care are o temperatură $T$, în timp ce volumul sistemului și numărul particulelor sale constitutive sunt fixe. Într-o astfel de situație, sistemul aparține ansamblului canonic. Denota precis afirmă că sistemul poate fi în $j$ $(j=1,2,3,\backslash ldots)$, iar energia totală a sistemului este în stare $j$ - $E\; j$. De regulă, aceste microstări pot fi considerate stări cuantice discrete ale sistemului.

Funcția de partiție canonică- aceasta

$Z=\backslash sum\_j\; e^(-\backslash beta\; E\_j),$

unde este temperatura de retur $\backslash beta$ definit ca

$\backslash beta\backslash equiv\backslash frac(1)(k\_BT),$ $Z=\backslash mathrm(tr)\backslash ,(e^(-\backslash beta\; H)),$

Semnificație și semnificație

Mai întâi, să vedem de ce depinde. Funcția de partiție este în primul rând o funcție de temperatură $T$, iar în al doilea - energiile microstărilor $E\_1,E\_2,E\_3$și așa mai departe. Energiile microstărilor sunt determinate de alte cantități termodinamice, cum ar fi numărul de particule și volumul, precum și de proprietățile microscopice, cum ar fi masa particulelor. Această dependență de proprietățile microscopice este fundamentală în mecanica statistică. Conform modelului componentelor microscopice ale sistemului, este posibil să se calculeze energiile microstărilor și, în consecință, funcția de partiție, ceea ce face posibilă calcularea tuturor celorlalte proprietăți termodinamice ale sistemului.

Funcția de partiție poate fi utilizată pentru a calcula mărimi termodinamice deoarece are o semnificație statistică foarte importantă. Probabilitate $Pijamale$ cu care sistemul se află într-o microstare $j$, este egal cu

$P\_j=\backslash frac(1)(Z)e^(-\backslash beta\; E\_j).$

Funcția de partiție este inclusă în distribuția Gibbs sub forma unui factor de normalizare (it nu depinde de $j$), asigurându-se că suma probabilităților este egală cu unu:

$\backslash sum\_j\; P\_j=\backslash frac(1)(Z)\backslash sum\_j\; e^(-\backslash beta\; E\_j)=\backslash frac(1)(Z)Z=1.$

Calculul energiei totale termodinamice

Pentru a demonstra utilitatea funcției de partiție, calculăm valoarea termodinamică a energiei totale. Aceasta este pur și simplu așteptarea matematică, sau valoarea energiei mediate pe ansamblu, egală cu suma energiilor microstărilor, luate cu ponderi egale cu probabilitățile lor:

$\backslash langle\; E\backslash rangle=\backslash sum\_j\; E\_jP\_j=\backslash frac(1)(Z)\backslash sum\_j\; E\_j\; e^(-\backslash beta\; E\_j)=-\backslash frac(1)(Z)\backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\backslash beta\; )Z(\backslash beta,\backslash ;E\_1,\backslash ;E\_2,\backslash ;\backslash ldots)=-\backslash frac(\backslash partial\backslash ln\; Z)(\backslash partial\backslash beta)$

sau ce este la fel

$\backslash langle\; E\backslash rangle=k\_B\; T^2\backslash frac(\backslash partial\backslash ln\; Z)(\backslash partial\; T).$

De asemenea, se poate observa că dacă energiile microstărilor depind de parametru $\backslash lambda$ Cum

$E\_j=E\_j^((0))+\backslash lambda\; A\_j$

pentru toți $j$, apoi valoarea medie $A$ egală

$\backslash langle\; A\backslash rangle=\backslash sum\_j\; A\_jP\_j=-\backslash frac(1)(\backslash beta)\backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\backslash lambda)\backslash ln\; Z(\backslash beta,\backslash ;\backslash lambda).$

Aceasta este baza unei tehnici care face posibilă calcularea valorilor medii ale multor cantități microscopice. Este necesar să se adauge artificial această valoare la energia microstărilor (sau, în limbajul mecanicii cuantice, la Hamiltonian), să se calculeze o nouă funcție de partiție și o valoare medie și apoi să se pună în expresia finală. $\backslash lambda$ egal cu zero. O metodă similară este aplicată în teoria câmpului cuantic.

În această secțiune, este dată relația dintre funcția de partiție și diferiți parametri termodinamici ai sistemului. Aceste rezultate pot fi obținute folosind metoda descrisă în secțiunea anterioară și diverse relații termodinamice.

După cum am văzut, energia este

$\backslash langle\; E\backslash rangle=-\backslash frac(\backslash partial\backslash ln\; Z)(\backslash partial\backslash beta).$ $c\_v=\backslash frac(\backslash partial\backslash langle\; E\backslash rangle)(\backslash partial\; T)=\backslash frac(1)(k\_B\; T^2)\backslash langle\backslash delta\; E^2\backslash rangle.$ $S\backslash equiv-k\_B\backslash sum\_j\; P\_j\backslash ln\; P\_j=k\_B(\backslash ln\; Z+\backslash beta\backslash langle\; E\backslash rangle)=\backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\; T)(k\_B\; T\backslash ln\; Z)=-\backslash frac(\backslash \; parțial\; F)(\backslash partial\; T),$ $\backslash mathcal(Z)\_i=\backslash sum\_(n\_i=0)^\backslash infty\; e^(-\backslash beta\; n\_i(\backslash varepsilon\_i-\backslash mu))=\backslash frac(1)(1-e^(-\backslash beta(\backslash varepsilon\_i)\; -\backslash mu))),$ $\backslash mathcal(Z)\_i=\backslash sum\_(n\_i=0)^1\; e^(-\backslash beta\; n\_i(\backslash varepsilon\_i-\backslash mu))=\backslash frac(1)(1+e^(-\backslash beta(\backslash varepsilon\_i-\; \backslash mu))).$

În cazul unui gaz Maxwell-Boltzmann, este necesar să se numere corect stările și să se împartă factorul Boltzmann $e^(-\backslash beta\; (\backslash varepsilon\_i-\backslash mu))$ pe $n\_i!$

$\backslash mathcal(Z)\_i=\backslash sum\_(n\_i=0)^\backslash infty\backslash frac(e^(-\backslash beta\; n\_i(\backslash varepsilon\_i-\backslash mu)))(n\_i=\backslash exp\backslash left(e^\{-\backslash beta(\backslash varepsilon\_i-\backslash mu)\}\backslash right).!\}$

Relația cu mărimile termodinamice

La fel ca și funcția de partiție canonică, funcția de partiție mare canonică poate fi utilizată pentru a calcula mărimile termodinamice și statistice ale unui sistem. Ca și în ansamblul canonic, mărimile termodinamice nu sunt fixe, ci sunt distribuite statistic în jurul mediei. denotând $\backslash alpha=-\backslash beta\backslash mu$, obținem valorile medii ale numerelor de umplere:

$\backslash langle\; n\_i\backslash rangle=-\backslash left(\backslash frac(\backslash partial\backslash ln\backslash mathcal(Z)\_i)(\backslash partial\backslash alpha)\backslash right)\_(\backslash beta,\backslash ;V)=\backslash frac(1)(\backslash \; beta)\backslash left(\backslash frac(\backslash partial\backslash ln\backslash mathcal(Z)\_i)(\backslash partial\backslash mu)\backslash right)\_(\backslash beta,\backslash ;V).$

Pentru particulele Boltzmann, aceasta dă:

$\backslash langle\; n\_i\backslash rangle=e^(-\backslash beta(\backslash varepsilon\_i-\backslash mu)).$

Pentru bosoni:

$\backslash langle\; n\_i\backslash rangle=\backslash frac(1)(e^(\backslash beta(\backslash varepsilon\_i-\backslash mu))-1).$

Pentru fermioni:

$\backslash langle\; n\_i\backslash rangle=\backslash frac(1)(e^(\backslash beta(\backslash varepsilon\_i-\backslash mu))+1),$

care coincide cu rezultatele obținute folosind ansamblul canonic pentru statistica Maxwell-Boltzmann, statistica Bose-Einstein și, respectiv, statistica Fermi-Dirac. (Grad de degenerare $g\_i$ lipsesc în aceste ecuații, din moment ce indicele $i$ numere stări individuale, nu niveluri de energie.)

Numărul total de particule

$\backslash langle\; N\backslash rangle=-\backslash left(\backslash frac(\backslash partial\backslash ln\backslash mathcal(Z))(\backslash partial\backslash alpha)\backslash right)\_(\backslash beta,\backslash ;V)=\backslash frac(1)(\backslash beta\; )\backslash left(\backslash frac(\backslash partial\backslash ln\backslash mathcal(Z))(\backslash partial\backslash mu)\backslash right)\_(\backslash beta,\backslash ;V).$ $\backslash langle\; P\backslash rangle=\backslash frac(1)(\backslash beta)\backslash left(\backslash frac(\backslash partial\backslash ln\backslash mathcal(Z))(\backslash partial\; V)\backslash right)\_(\backslash mu,\backslash ;\backslash beta).$ $\backslash langle\; PV\backslash rangle=\backslash frac(\backslash ln\backslash mathcal(Z))(\backslash beta).$

Scrieți o recenzie la articolul „Suma statistică”

Literatură

• Kubo R. Mecanica statistica. - M.: Mir, 1967.
• Huang K. Mecanica statistica. - M.: Mir, 1966. (Huang, Kerson, „Statistical Mechanics”, John Wiley & Sons, New York, 1967.)
• Ishihara A. Fizică statistică. - M.: Mir, 1973. (Isihara A. „Statistical Physics”. - New York: Academic Press, 1971.)
• Kelly, James J.
• Landau, L. D., Lifshitz, E. M. Fizică statistică. Partea 1. - Ediția a 5-a. - M .: Fizmatlit, 2005. - 616 p. - („Fizica teoretică”, Volumul V). - ISBN 5-9221-0054-8..

Un fragment care caracterizează funcția de partiție

- Alpatic! Deodată, o voce familiară îl strigă pe bătrân.
— Părinte, excelența ta, răspunse Alpatych, recunoscând instantaneu vocea tânărului său prinț.
Prințul Andrei, în haină de ploaie, călare pe un cal negru, stătea în spatele mulțimii și se uită la Alpatych.
– Cum ești aici? - el a intrebat.
- Dvs.... Excelența Voastră, - spuse Alpatych și suspină... - Al tău, al tău... sau am dispărut deja? Tată…
– Cum ești aici? repetă prinţul Andrew.
Flacăra a izbucnit puternic în acel moment și a luminat chipul palid și epuizat al tânărului său stăpân al lui Alpatych. Alpatych a povestit cum a fost trimis și cum ar fi putut să plece cu forța.
„Ei bine, Excelența Voastră, sau suntem pierduți?” întrebă el din nou.
Prințul Andrei, fără să răspundă, a scos un caiet și, ridicând genunchiul, a început să scrie cu creionul pe o foaie ruptă. I-a scris surorii sale:
„Smolensk este predat”, a scris el, „Munții Cheli vor fi ocupați de inamic într-o săptămână. Pleacă acum la Moscova. Răspunde-mi imediat ce pleci, trimițând un curier la Usvyazh.
După ce a scris și predat foaia lui Alpatych, acesta i-a spus verbal cum să aranjeze plecarea prințului, a prințesei și a fiului cu profesorul și cum și unde să-i răspundă imediat. Încă nu avusese timp să ducă la bun sfârşit aceste ordine, când şeful de stat major călare, însoţit de alaiul său, s-a îndreptat către el în galop.
- Sunteţi colonel? strigă șeful de cabinet, cu accent german, cu o voce cunoscută prințului Andrei. - Casele sunt luminate în prezența ta și tu ești în picioare? Ce inseamna asta? Veți răspunde, - strigă Berg, care era acum asistent șef de stat major al flancului stâng al trupelor de infanterie ale primei armate, - locul este foarte plăcut și la vedere, așa cum spunea Berg.
Prințul Andrei se uită la el și, fără să răspundă, continuă, întorcându-se către Alpatych:
„Așa că spune-mi că aștept un răspuns până în zece, iar dacă nu primesc vestea în zece că toată lumea a plecat, eu însumi va trebui să renunț la tot și să plec în Munții Cheli.
„Eu, prinț, spun doar așa”, a spus Berg, recunoscându-l pe prințul Andrei, „că trebuie să mă supun ordinelor, pentru că întotdeauna le îndeplinesc exact... Vă rog să mă scuzați”, s-a justificat într-un fel Berg.
Ceva a trosnit în foc. Focul se potoli o clipă; pufături negre de fum se revărsau de sub acoperiș. Altceva a trosnit îngrozitor în foc și ceva uriaș s-a prăbușit.
– Urruru! - Făcând ecoul tavanului prăbușit al hambarului, din care se simțea un miros de prăjituri de la pâine arsă, mulțimea a răcnit. Flacăra s-a aprins și a luminat fețele pline de bucurie și de epuizare ale oamenilor care stăteau în jurul focului.
Un bărbat într-un pardesiu friz, ridicând mâna, strigă:
- Important! du-te la lupta! Băieți, este important!
„Acesta este maestrul însuși”, au spus voci.
„Așa, așa”, a spus prințul Andrei, întorcându-se către Alpatych, „spune totul așa cum ți-am spus”. Și, fără să-i răspundă vreun cuvânt lui Berg, care a tăcut lângă el, a atins calul și a intrat pe alee.

Trupele au continuat să se retragă din Smolensk. Inamicul îi urmărea. Pe 10 august, regimentul, comandat de domnitorul Andrei, a trecut pe drumul mare, pe langa bulevardul care duce la Muntii Cheli. Căldura și seceta au durat mai bine de trei săptămâni. Nori creț se mișcau pe cer în fiecare zi, ascunzând uneori soarele; dar spre seară s-a limpezit din nou, iar soarele a apus într-o ceață roșie-maronie. Numai roua grea noaptea împrospăta pământul. Pâinea rămasă pe rădăcină a ars și s-a vărsat. Mlaștinile s-au secat. Vitele răcneau de foame, negăsind hrană în pajiştile arse de soare. Doar noaptea și prin păduri roua mai ținea, era răcoare. Dar de-a lungul drumului, de-a lungul drumului mare de-a lungul căruia mărșăluiau trupele, chiar și noaptea, chiar și prin păduri, nu era așa răcoare. Roua nu se observa pe praful nisipos al drumului, care era împins în sus mai mult de un sfert de arshin. De îndată ce a răsărit, mișcarea a început. Convoaiele, artileria mergeau în tăcere de-a lungul butucului, iar infanteriei până la glezne în praf moale, înfundat și fierbinte, care nu se răcise în timpul nopții. O parte din acest praf nisipos era frământată de picioare și roți, cealaltă se ridica și stătea ca un nor deasupra armatei, lipindu-se de ochi, păr, urechi, nări și, cel mai important, plămânii oamenilor și animalelor care se mișcau pe acest drum. . Cu cât soarele se ridica mai sus, cu atât norul de praf se ridica mai sus, iar prin acest praf subțire și fierbinte se putea privi cu un simplu ochi soarele, neacoperit de nori. Soarele era o mare minge purpurie. Nu bătea vânt, iar oamenii se sufocau în această atmosferă liniştită. Oamenii mergeau cu batistele în jurul nasului și gurii. Venind în sat, totul s-a repezit la fântâni. S-au luptat pentru apă și au băut-o până la pământ.
Prințul Andrei comanda regimentul, iar structura regimentului, bunăstarea oamenilor săi, nevoia de a primi și de a da ordine l-au ocupat. Incendiul de la Smolensk și abandonul lui au fost o epocă pentru prințul Andrei. Un nou sentiment de amărăciune împotriva inamicului l-a făcut să-și uite durerea. Era complet devotat treburilor regimentului său, avea grijă de oamenii și ofițerii săi și era afectuos cu ei. În regiment îl spuneau prințul nostru, erau mândri de el și îl iubeau. Dar era bun și blând doar cu ofițerii săi de regiment, cu Timochin etc., cu oameni cu totul noi și într-un mediu străin, cu oameni care nu-și puteau cunoaște și înțelege trecutul; dar de îndată ce a dat peste unul dintre foștii săi membri ai personalului, s-a înțepat imediat din nou; devenit răutăcios, batjocoritor și disprețuitor. Tot ceea ce îi lega memoria de trecut îl respingea și de aceea a încercat în relațiile acestei lumi de odinioară doar să nu fie nedrept și să-și îndeplinească datoria.
Adevărat, totul i-a fost prezentat într-o lumină întunecată, mohorâtă, prințului Andrei - mai ales după ce au plecat din Smolensk (care, după conceptele sale, ar fi putut și ar fi trebuit să fie apărat) pe 6 august și după ce tatăl său, care era bolnav, a trebuit fugi la Moscova și aruncă spre pradă Munții Cheli, atât de iubiți, zidiți și locuiți de el; dar, în ciuda faptului, datorită regimentului, prințul Andrei s-a putut gândi la un alt subiect, complet independent de întrebările generale - despre regimentul său. Pe 10 august, coloana, în care se afla regimentul său, a ajuns din urmă cu Munții Cheli. Prințul Andrei a primit în urmă cu două zile vestea că tatăl, fiul și sora lui au plecat la Moscova. Deși prințul Andrei nu avea ce face în Munții Cheli, el, cu dorința lui caracteristică de a-și exaspera durerea, a hotărât să cheme în Munții Cheli.
A poruncit să-i fie înșeuat calul și de la trecere a mers călare până în satul tatălui său, în care s-a născut și și-a petrecut copilăria. Trecând pe lângă un iaz, pe care zeci de femei, vorbind între ele, băteau cu role și își clăteau hainele, prințul Andrei a observat că nu era nimeni pe iaz, iar o plută smulsă, pe jumătate inundată de apă, plutea lateral. în mijlocul iazului. Prințul Andrei a mers cu mașina până la porți. Nu era nimeni la poarta de intrare din piatră, iar ușa era descuiată. Aleile din grădină erau deja pline de vegetație, iar vițeii și caii se plimbau prin parcul englezesc. Prințul Andrei a condus până la seră; geamurile au fost sparte, iar copacii în căzi, unii căzuți, alții s-au ofilit. L-a chemat pe Taras grădinarul. Nimeni nu a răspuns. Ocolindu-se prin sera spre expoziție, a văzut că gardul de scândură sculptată era tot rupt și fructele de prune erau smulse cu crengi. Un țăran bătrân (prințul Andrei îl văzuse la poartă în copilărie) stătea și țesea pantofi de bast pe o bancă verde.
Era surd și nu a auzit intrarea prințului Andrei. Stătea pe o bancă, pe care bătrânului prinț îi plăcea să stea, iar lângă el era atârnat un bast de nodurile unei magnolie rupte și ofilite.
Prințul Andrei a mers cu mașina până la casă. Câțiva tei din grădina veche au fost tăiați, un cal piebald cu un mânz a mers în fața casei printre trandafiri. Casa era acoperită cu obloane. O fereastră de la parter era deschisă. Băiatul din curte, văzând prințul Andrei, a fugit în casă.
Alpatych, după ce și-a trimis familia, a rămas singur în Munții Cheli; stătea acasă și citea Viețile. Aflând de sosirea prințului Andrei, acesta, cu ochelari pe nas, nasturi, a părăsit casa, s-a apropiat în grabă de prinț și, fără să spună nimic, a plâns, sărutându-l pe genunchi pe prințul Andrei.
Apoi s-a întors cu inima spre slăbiciunea lui și a început să-i raporteze despre starea lucrurilor. Tot ce este valoros și scump a fost dus la Bogucharovo. Se exporta și pâinea, până la o sută de sferturi; fân și primăvară, neobișnuit, așa cum spunea Alpatych, recolta verde de anul acesta a fost luată și cosită - de trupe. Țăranii sunt distruși, unii au plecat și la Bogucharovo, o mică parte a rămas.
Prințul Andrei, fără să asculte finalul, a întrebat când au plecat tatăl și sora lui, adică când au plecat la Moscova. Alpatych a răspuns, crezând că întreabă să plece la Bogucharovo, că plecaseră pe a șaptea și s-a răspândit din nou pe acțiunile fermei, cerând voie.
- Veți comanda ca ovăzul să fie eliberat la primire către echipe? Mai avem șase sute de sferturi rămase”, a întrebat Alpatych.
„Ce să-i răspund? se gândi prințul Andrei, privind la chelul bătrânului, strălucind în soare, și în expresia lui citind conștiința că el însuși înțelegea intempestivitatea acestor întrebări, dar întrebă doar în așa fel încât să-i înece durerea.
„Da, dă-i drumul”, a spus el.
„Dacă s-au demnit să observe tulburările din grădină”, a spus Alpatych, „atunci era imposibil de prevenit: trei regimente au trecut și au petrecut noaptea, în special dragoni. Am scris gradul și gradul de comandant pentru depunerea unei petiții.
- Ei bine, ce ai de gând să faci? Vei rămâne dacă inamicul ia? l-a întrebat prințul Andrew.
Alpatych, întorcându-și fața către domnitorul Andrei, se uită la el; și ridică brusc mâna într-un gest solemn.
„El este patronul meu, să se facă voia lui!” el a spus.
O mulțime de țărani și slujitori a trecut prin luncă, cu capetele deschise, apropiindu-se de domnitorul Andrei.
- Ei bine, la revedere! – spuse principele Andrei, aplecându-se spre Alpatych. - Lasă-te, ia ce poți, iar oamenilor li s-a spus să plece spre Ryazanskaya sau regiunea Moscova. - Alpatych s-a lipit de picior și a plâns. Prințul Andrei l-a împins cu grijă deoparte și, atingându-și calul, a galopat pe alee.
La expozitie, tot la fel de indiferenta ca musca pe chipul unui mort drag, batranul a stat si a batut pe un bloc de pantofi de bast, iar doua fete cu prune in fusta, pe care le-au cules din copacii de sera, au fugit. acolo și s-a împiedicat de prințul Andrei. Văzându-l pe tânărul stăpân, fata mai mare, cu frica exprimată pe chip, și-a apucat de mână tovarășul mai mic și s-a ascuns împreună cu ea în spatele unui mesteacăn, neavând timp să ridice prunele verzi împrăștiate.
Prințul Andrei s-a întors în grabă de la ei speriat, de teamă să-i lase să observe că îi văzuse. Îi era milă de această fată drăguță și speriată. Îi era frică să se uite la ea, dar în același timp avea o dorință irezistibilă să o facă. Un sentiment nou, îmbucurător și liniștitor l-a cuprins când, privind aceste fete, și-a dat seama de existența altora, complet străine de el și la fel de legitime interese umane ca și cele care îl ocupau. Aceste fete, evident, și-au dorit cu pasiune un lucru - să ducă și să termine de mâncat aceste prune verzi și să nu fie prinse, iar prințul Andrei împreună cu ele și-au urat succesul întreprinderii lor. Nu se putea abține să nu se uite la ei din nou. Crezând că sunt deja în siguranță, au sărit din ambuscadă și, ținându-și fustele cu voci subțiri, au alergat veseli și repede peste iarba pajiștii cu picioarele goale bronzate.
Prințul Andrei s-a împrospătat puțin, părăsind zona prăfuită a drumului mare pe care se mișcau trupele. Dar nu mult dincolo de Munții Cheli, a pornit din nou pe drum și și-a ajuns din urmă regimentul oprit, lângă barajul unui mic iaz. Era a doua oră după amiază. Soarele, o minge roșie în praf, era insuportabil de fierbinte și i-a ars spatele prin haina neagră. Praful, tot nemișcat, stătea nemișcat deasupra glasului trupelor oprite. Nu bătea vânt.În trecerea de-a lungul barajului, prințul Andrei simțea mirosul de noroi și prospețimea iazului. Voia să intre în apă, oricât de murdară era. S-a uitat înapoi la iaz, din care veneau strigăte și râsete. Un mic iaz noroios, cu verdeață, se ridica, se pare, un sfert câte doi, inundând barajul, pentru că era plin de trupuri albe, de oameni, de soldați, goale care se clătinau în el, cu mâinile, fețele și gâturile roșu cărămiziu. Toată această carne umană goală, albă, cu hohote de râs și un bum, s-a zdruncinat în această băltoacă murdară, ca un caras îndesat într-o adăpatoare. Această clătinare răsuna de veselie și, prin urmare, era deosebit de tristă.