Grande somma statistica in fisica statistica. Somme statistiche. Somma statistica dei sottosistemi

A temperatura, volume e numero di particelle fissi. Grande funzione di partizione canonica si riferisce a un ampio insieme statistico canonico, in cui il sistema può scambiare sia calore che particelle con l'ambiente a temperatura, volume e potenziale chimico fissi. In altre situazioni è possibile definire altri tipi di somme statistiche.

Somma statistica nell'insieme canonico

Definizione

Supponiamo che esista un sistema che obbedisce alle leggi della termodinamica, che è in costante contatto termico con un mezzo che ha una temperatura texvc , e il volume del sistema e il numero delle sue particelle costituenti sono fissati. In una tale situazione, il sistema appartiene all'insieme canonico. indichiamo accurato gli stati in cui il sistema può essere, attraverso Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedi math / README - guida all'installazione.): (J = 1,2,3, \ ldots), e l'energia totale del sistema è nello stato Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedi math / README - riferimento alla configurazione.): J - Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedi math / README - riferimento all'installazione.): E_j... Di norma, questi microstati possono essere considerati come stati quantistici discreti del sistema.

Funzione di partizione canonica- questo è

Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): Z = \ sum_j e ^ (- \ beta E_j),

dov'è la temperatura di ritorno? Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per l'aiuto alla configurazione.): \ Beta definito come

Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per l'aiuto alla configurazione.): \ Beta \ equiv \ frac (1) (k_BT),

un Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per l'aiuto alla configurazione.): K_Bè la costante di Boltzmann. V classico non sarebbe corretto per la meccanica statistica definire la somma statistica come somma di termini discreti, come nella formula precedente. Nella meccanica classica, le coordinate ei momenti delle particelle possono cambiare continuamente e l'insieme dei microstati non è numerabile. In questo caso, è necessario dividere lo spazio delle fasi in celle, cioè due microstati sono considerati uguali se le loro differenze di coordinate e momenti sono "non troppo grandi". In questo caso, la somma statistica assume la forma di un integrale. Ad esempio, la somma statistica del gas da Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc particelle classiche è

Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): Z = \ frac (1) (N! H ^ (3N)) \ int \ exp [- \ beta H (p_1, \ ldots, p_N, x_1, \ ldots, x_N) ] \, d ^ 3p_1 \ ldots d ^ 3p_N \, d ^ 3x_1 \ ldots d ^ 3x_N,

dove Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc - un certo valore della dimensione dell'azione (che deve essere uguale alla costante di Planck per corrispondere alla meccanica quantistica), e Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedi math / README - riferimento alla configurazione.): Hè l'hamiltoniano classico. Le ragioni della comparsa del moltiplicatore Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc spiegato. Per semplicità, questo articolo utilizzerà la forma discreta della funzione di partizione, ma i risultati ottenuti si applicano ugualmente alla forma continua.

In meccanica quantistica, la funzione di partizione può essere scritta più formalmente come una traccia sullo spazio degli stati (che è indipendente dalla scelta della base):

Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): Z = \ mathrm (tr) \, (e ^ (- \ beta H)),

dove Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedi math / README - riferimento alla configurazione.): H- Operatore Hamilton. L'esponente dell'operatore viene determinato utilizzando un'espansione in serie di potenze.

Significato e significato

Consideriamo prima da cosa dipende. La funzione di partizione è principalmente una funzione della temperatura. Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedi math / README - riferimento alla configurazione.): T, e nel secondo - le energie dei microstati Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): E_1, E_2, E_3 ecc. Le energie dei microstati sono determinate da altre quantità termodinamiche, come il numero di particelle e il volume, nonché da proprietà microscopiche, come la massa delle particelle. Questa dipendenza dalle proprietà microscopiche è fondamentale nella meccanica statistica. Utilizzando il modello dei componenti microscopici del sistema, è possibile calcolare le energie dei microstati e, di conseguenza, la somma statistica, che permette di calcolare tutte le altre proprietà termodinamiche del sistema.

La funzione di partizione può essere utilizzata per calcolare quantità termodinamiche in quanto ha un significato statistico molto importante. Probabilità Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedi math / README - riferimento all'installazione.): P_j con cui il sistema è in un microstato Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedi math / README - riferimento alla configurazione.): J, è uguale a

Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per l'aiuto alla configurazione.): P_j = \ frac (1) (Z) e ^ (- \ beta E_j).

La somma statistica è inclusa nella distribuzione di Gibbs sotto forma di un fattore di normalizzazione (it non dipende da Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedi math / README - riferimento alla configurazione.): J), assicurando che la somma delle probabilità sia uguale all'unità:

Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): \ Sum_j P_j = \ frac (1) (Z) \ sum_j e ^ (- \ beta E_j) = \ frac (1) (Z) Z = 1.

Calcolo dell'energia totale termodinamica

Per dimostrare l'utilità della funzione di partizione, calcoliamo il valore termodinamico dell'energia totale. Questa è semplicemente l'aspettativa matematica, o il valore energetico medio dell'insieme, pari alla somma delle energie dei microstati, presi con pesi pari alle loro probabilità:

Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): \Langle E \ ranle = \ sum_j E_jP_j = \ frac (1) (Z) \ sum_j E_j e ^ (- \ beta E_j) = - \ frac (1) (Z ) \ frac (\ parziale) (\ parziale \ beta) Z (\ beta, \; E_1, \; E_2, \; \ ldots) = - \ frac (\ parziale \ ln Z) (\ parziale \ beta)

o equivalente

Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per l'aiuto alla personalizzazione.): \Langle E \ ranle = k_B T ^ 2 \ frac (\ partial \ ln Z) (\ partial T).

Si può anche notare che se le energie dei microstati dipendono dal parametro Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc come

Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): E_j = E_j ^ ((0)) + \ lambda A_j

per tutti Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedi math / README - riferimento alla configurazione.): J, quindi il valore medio Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per l'aiuto alla configurazione.): Aè uguale a

Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida all'ottimizzazione.): \ Langle A \ ranle = \ sum_j A_jP_j = - \ frac (1) (\ beta) \ frac (\ partial) (\ partial \ lambda) \ ln Z (\ beta , \ ; \ lambda).

Questa è la base di una tecnica che permette di calcolare i valori medi di molte quantità microscopiche. È necessario aggiungere artificialmente questa quantità all'energia dei microstati (o, nel linguaggio della meccanica quantistica, all'Hamiltoniana), calcolare una nuova funzione di partizione e media, e quindi mettere Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per riferimento alla configurazione.): \ Lambda uguale a zero. Un metodo simile è utilizzato nella teoria quantistica dei campi.

Questa sezione mostra la relazione tra la funzione di partizione e vari parametri termodinamici del sistema. Questi risultati possono essere ottenuti utilizzando il metodo descritto nella sezione precedente e varie relazioni termodinamiche.

Come abbiamo già visto, l'energia è

Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per l'aiuto alla personalizzazione.): \ Langle E \ ranle = - \ frac (\ partial \ ln Z) (\ partial \ beta). Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per l'aiuto alla configurazione.): C_v = \ frac (\ partial \ langle E \ rangle) (\ partial T) = \ frac (1) (k_B T ^ 2) \ langle \ delta E ^ 2 \ rangle. Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per l'aiuto sull'ottimizzazione.): S \ equiv-k_B \ sum_j P_j \ ln P_j = k_B (\ ln Z + \ beta \ langle E \ ranle) = \ frac (\ partial) (\ partial T) ( k_B T \ ln Z) = - \ frac (\ F parziale) (\ T parziale),

dove Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per l'aiuto alla configurazione.): F- energia libera, definita come Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per l'aiuto alla configurazione.): F = E-TS, dove Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per l'aiuto alla configurazione.): Eè l'energia totale, e Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per l'aiuto alla configurazione.): Sè l'entropia, quindi

Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): F = \ langle E \ rangle-TS = -k_B T \ ln Z.

Somma statistica dei sottosistemi

Supponiamo che il sistema sia composto da Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per l'aiuto alla configurazione.): N sottosistemi, la cui interazione è trascurabile. Se le somme statistiche dei sottosistemi sono uguali Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): \ Zeta_1, \; \ zeta_2, \; \ ldots, \; \ zeta_N, allora la somma statistica dell'intero sistema è Prodotto somme statistiche individuali:

Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): Z = \ prod_ (j = 1) ^ N \ zeta_j.

Se i sottosistemi hanno le stesse proprietà fisiche, le loro funzioni di partizione sono le stesse: Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): \ Zeta_1 = \ zeta_2 = \ ldots = \ zeta, e in questo caso

Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per l'aiuto alla configurazione.): Z = \ zeta ^ N.

Vi è, tuttavia, una notevole eccezione a questa regola. Se i sottosistemi sono particelle identiche, cioè basate sui principi della meccanica quantistica, non possono essere distinti nemmeno in linea di principio, la funzione di partizione totale deve essere divisa per Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per l'aiuto alla configurazione.): N! :

Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): Z = \ frac (\ zeta ^ N) (N. !}

Questo viene fatto per non prendere in considerazione lo stesso microstato più volte.

Funzione di partizione dell'ensemble gran canonico

Definizione

Analogamente alla funzione di partizione canonica per l'insieme canonico, si può definire grande funzione di partizione canonica per un grande insieme canonico - un sistema che può scambiare sia calore che particelle con il mezzo e ha una temperatura costante Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedi math / README - riferimento alla configurazione.): T, volume Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc e potenziale chimico Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per l'aiuto alla configurazione.): \ Mu... La grande funzione di partizione canonica, sebbene più difficile da capire, semplifica il calcolo dei sistemi quantistici. Grande funzione di partizione canonica Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per l'aiuto alla configurazione.): \ Mathcal (Z) per un gas ideale quantistico si scrive come:

Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): \ Mathcal (Z) = \ sum_ (N = 0) ^ \ infty \, \ sum _ (\ (n_i \)) \, \ prod_i e ^ (- \ beta n_i ( \ varepsilon_i- \ mu)),

dove Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per l'aiuto alla configurazione.): N- il numero totale di particelle nel volume Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedi math / README - riferimento alla configurazione.): V, indice Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc attraversa tutti i microstati del sistema, Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedi math / README - riferimento alla configurazione.): N_i- il numero di particelle nello stato Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per l'aiuto alla configurazione.): I, un Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per l'aiuto alla configurazione.): \ Varepsilon_i- energia in uno stato Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per l'aiuto alla configurazione.): I . Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): \ (N_i \)- tutti i possibili insiemi di numeri di occupazione per ogni microstato, tali che Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedi math / README - riferimento all'installazione.): \ Sum_i n_i = N... Si consideri, ad esempio, il termine corrispondente a Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc ... Uno dei possibili insiemi di numeri di riempimento sarebbe Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): \ (N_i \) = 0, \; 1, \; 0, \; 2, \; 0, \ ldots, contribuisce al termine con Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedi math / README - riferimento di installazione.): N = 3 uguale a

Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): \ Prod_i e ^ (- \ beta n_i (\ varepsilon_i- \ mu)) = e ^ (- \ beta (\ varepsilon_1- \ mu)) \, e ^ (- 2 \ beta (\ varepsilon_3- \ mu)). Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): \ Mathcal (Z) _i = \ sum_ (n_i = 0) ^ \ infty e ^ (- \ beta n_i (\ varepsilon_i- \ mu)) = \ frac (1) (1 -e ^ (- \ beta (\ varepsilon_i- \ mu))), Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): \ Mathcal (Z) _i = \ sum_ (n_i = 0) ^ 1 e ^ (- \ beta n_i (\ varepsilon_i- \ mu)) = \ frac (1) ( 1 + e ^ (- \ beta (\ varepsilon_i- \ mu))).

Nel caso di un gas Maxwelliano-Boltzmann è necessario calcolare correttamente gli stati e dividere il fattore di Boltzmann Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): E ^ (- \ beta (\ varepsilon_i- \ mu)) Su Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per l'aiuto alla configurazione.): N_i!

Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): \ Mathcal (Z) _i = \ sum_ (n_i = 0) ^ \ infty \ frac (e ^ (- \ beta n_i (\ varepsilon_i- \ mu))) (n_i=\exp\left(e^{-\beta(\varepsilon_i-\mu)}\right). !}

Relazione con grandezze termodinamiche

Proprio come la funzione di partizione canonica, la funzione di partizione canonica grande può essere utilizzata per calcolare i valori termodinamici e statistici di un sistema. Come nell'insieme canonico, le quantità termodinamiche non sono fisse, ma distribuite statisticamente attorno alla media. denotando Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per l'aiuto alla configurazione.): \ Alpha = - \ beta \ mu, otteniamo i valori medi dei numeri di riempimento:

Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): \ Langle n_i \ ranle = - \ left (\ frac (\ partial \ ln \ mathcal (Z) _i) (\ partial \ alpha) \ right) _ (\ beta, \; V) = \ frac (1) (\ beta) \ sinistra (\ frac (\ parziale \ ln \ mathcal (Z) _i) (\ parziale \ mu) \ destra) _ (\ beta, \; V).

Per le particelle di Boltzmann, questo dà:

Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per l'aiuto alla configurazione.): \ Langle n_i \ ranle = e ^ (- \ beta (\ varepsilon_i- \ mu)).

Per i bosoni:

Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): \ Langle n_i \ ranle = \ frac (1) (e ^ (\ beta (\ varepsilon_i- \ mu)) - 1).

Per i fermioni:

Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): \ Langle n_i \ ranle = \ frac (1) (e ^ (\ beta (\ varepsilon_i- \ mu)) + 1),

che coincide con i risultati ottenuti utilizzando l'insieme canonico per le statistiche di Maxwell - Boltzmann, le statistiche di Bose - Einstein e le statistiche di Fermi - Dirac, rispettivamente. (Grado di degenerazione Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedi math / README - riferimento alla configurazione.): G_iè assente in queste equazioni, poiché l'indice Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per l'aiuto alla configurazione.): I numeri singoli stati, non livelli di energia.)

Numero totale di particelle

Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida all'ottimizzazione.): \ Langle N \ ranle = - \ left (\ frac (\ partial \ ln \ mathcal (Z)) (\ partial \ alpha) \ right) _ (\ beta, \ ; V ) = \ frac (1) (\ beta) \ sinistra (\ frac (\ parziale \ ln \ mathcal (Z)) (\ parziale \ mu) \ destra) _ (\ beta, \; V). Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida all'ottimizzazione.): \ Langle P \ ranle = \ frac (1) (\ beta) \ left (\ frac (\ partial \ ln \ mathcal (Z)) (\ partial V) \ right ) _ (\ mu, \; \ beta). Impossibile analizzare l'espressione (Eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): \ Langle PV \ ranle = \ frac (\ ln \ mathcal (Z)) (\ beta).

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Letteratura

• Kubo R. Meccanica statistica. - M.: Mir, 1967.
• Huang K. Meccanica statistica. - M.: Mir, 1966. (Huang, Kerson, "Meccanica statistica", John Wiley & Sons, New York, 1967.)
• Ishihara A. Fisica statistica. - M.: Mir, 1973. (Isihara A. "Statistical Physics". - New York: Academic Press, 1971.)
• Kelly, James J.
• Landau, L.D., Lifshits, E.M. Fisica statistica. Parte 1. - Edizione 5a. - Mosca: Fizmatlit, 2005 .-- 616 p. - ("Fisica teorica", volume V). - ISBN 5-9221-0054-8..

Estratto che caratterizza la somma statistica

- Dov'è la mia casa? .. - chiesi sorpresa.
- È lontano... Nella costellazione di Orione c'è una stella dal meraviglioso nome Asta. Questa è la tua casa, Isidora. Lo stesso del mio.
Lo guardai scioccata, incapace di crederci. Nemmeno capire una notizia così strana. Non si adattava alla mia testa infiammata in nessuna realtà reale e sembrava che io, come Karaffa, stessi gradualmente perdendo la testa... Ma Sever era reale, e non sembrava che stesse scherzando. Pertanto, essendomi raccolto in qualche modo, ho chiesto molto più tranquillamente:
- Com'è successo che Karaffa ti ha trovato? Ha un regalo? ..
- No, non ha il Dono. Ma ha una mente che lo serve splendidamente. Quindi l'ha usato per trovarci. Ha letto di noi in una cronaca molto antica, di cui non si sa come e dove l'abbia presa. Ma lui sa molto, fidati di me. Ha una fonte straordinaria da cui attinge la sua conoscenza, ma non so da dove provenga e dove possa essere trovata questa fonte per proteggerlo.
-Oh, non preoccuparti! Ma lo so benissimo! Conosco questa "fonte"!.. Questa è la sua meravigliosa biblioteca, nella quale sono custoditi in quantità innumerevole i manoscritti più antichi. Per loro, penso, Karaffe ha bisogno della sua lunga Vita... - Mi sentivo triste a morte e volevo piangere come un bambino... - Come possiamo distruggerlo, Sever?! Non ha diritto di vivere sulla terra! È un mostro che mieterà milioni di vite se non sarà fermato! Cosa facciamo?
- Niente per te, Isidora. Devi solo andartene. Troveremo un modo per sbarazzarci di lui. Ci vuole solo tempo.
- E durante questo tempo persone innocenti periranno! No, Sever, me ne andrò solo quando non avrò scelta. E mentre lo è, io combatterò. Anche se non c'è speranza.
Mia figlia sarà portata da te, abbi cura di lei. non riesco a tenerlo...
La sua figura luminosa è diventata completamente trasparente. E ha cominciato a scomparire.
- Torno, Isidora. - sussurrò una voce affettuosa.
- Addio, Sever... - risposi altrettanto sommessamente.
- Ma com'è?! - esclamò improvvisamente Stella. - Non hai nemmeno chiesto del pianeta da cui vieni?! .. Non è stato interessante per te?! Come mai?..
A dire il vero, anch'io lo sopportavo a malapena per non chiedere la stessa cosa a Isidora! La sua essenza veniva da fuori, e lei non lo chiedeva nemmeno! .. Ma in una certa misura probabilmente l'ho capita, poiché era un momento troppo spaventoso per lei, e aveva una paura mortale per coloro che amava molto e che ancora cercando di salvare. Bene, e la casa - potrebbe essere trovata più tardi, quando non c'era altra scelta che andarsene ...
- No, tesoro, non l'ho chiesto, non perché non fossi interessato. Ma perché allora non era così importante, in qualche modo, che persone meravigliose morissero. E perirono in un brutale tormento, permesso e sostenuto da una persona. E non aveva il diritto di esistere sulla nostra terra. Questa era la cosa più importante. E il resto potrebbe essere lasciato per dopo.
Stella arrossì, vergognandosi del suo sfogo e sussurrò piano:
- Perdonami, per favore, Isidora...
E Isidora è già "rientrata" nel suo passato, continuando la sua incredibile storia...
Non appena Sever è scomparso, ho subito provato a chiamare mentalmente mio padre. Ma per qualche motivo non ha risposto. Questo mi ha un po 'allarmato, ma non aspettandomi nulla di male, ho provato di nuovo - non c'era ancora risposta ...
Avendo deciso di non dar sfogo per il momento alla mia infiammata immaginazione e lasciando per un po' solo mio padre, mi tuffai in dolci e tristi ricordi della recente visita di Anna.
Ricordavo ancora l'odore del suo corpo fragile, la morbidezza dei suoi folti capelli neri e lo straordinario coraggio con cui la mia meravigliosa figlia dodicenne affrontò il suo destino malvagio. Ero incredibilmente orgoglioso di lei! Anna era una combattente e io credevo che qualunque cosa fosse successa, avrebbe combattuto fino alla fine, fino all'ultimo respiro.
Non sapevo ancora se sarei stato in grado di salvarla, ma ho giurato a me stesso che avrei fatto tutto ciò che era in mio potere per salvarla dalle tenaci grinfie del crudele Papa.
Caraffa tornò qualche giorno dopo, alquanto turbato e poco loquace. Mi ha mostrato solo con la mano che dovevo seguirlo. ho obbedito.
Dopo aver attraversato diversi lunghi corridoi, ci trovammo in un piccolo ufficio, che (come appresi in seguito) era il suo ricevimento privato, al quale invitava molto raramente gli ospiti.
Caraffa indicò silenziosamente una sedia e lentamente si sedette di fronte. Il suo silenzio sembrava minaccioso e, come già sapevo dalla mia triste esperienza, non era mai di buon auspicio. Ma io, dopo l'incontro con Anna e l'arrivo inaspettato del Nord, mi sono imperdonabile rilassato, "cullando" in una certa misura la mia solita vigilanza e ho perso il colpo successivo ...
- Non ho tempo per le cortesie, Isidora. Risponderai alle mie domande o qualcun altro soffrirà molto. Quindi, ti consiglio di rispondere!
Caraffa era arrabbiato e seccato, e contraddirlo in quel momento sarebbe stata una vera follia.
“Ci proverò, Vostra Santità. Cosa vuoi sapere?
- La tua giovinezza, Isidora? Come l'hai preso? Hai trentotto anni, ne dimostri venti e non cambi. Chi ti ha dato la tua giovinezza? Rispondetemi!
Non riuscivo a capire cosa facesse arrabbiare così tanto Karaffa?.. Durante la nostra già piuttosto lunga conoscenza, non ha mai gridato e molto raramente ha perso il controllo su se stesso. Ora mi parlava un uomo furioso, fuori di sé, dal quale ci si poteva aspettare qualsiasi cosa.
- Rispondi, Madonna! O un'altra sorpresa molto spiacevole ti aspetterà.
Da una tale affermazione, i miei capelli hanno iniziato a muoversi ... ho capito che non sarebbe stato possibile cercare di eludere la domanda. Qualcosa fece molto arrabbiare Caraffa, e non cercò di nasconderlo. Non accettò il gioco e non avrebbe scherzato. Non restava che rispondere, sperando ciecamente che accettasse la mezza verità...
- Sono una Strega ereditaria, Santità, e oggi sono la più potente di loro. La giovinezza è venuta da me per eredità, non l'ho chiesto. Proprio come mia madre, mia nonna e il resto della stirpe di streghe della mia famiglia. Lei deve essere uno di noi, Sua Santità, per ricevere questo. Inoltre, per essere il più degno.
- Sciocchezze, Isidora! Ho conosciuto persone che hanno raggiunto l'immortalità! E non sono nati con lui. Quindi ci sono modi. E me li aprirai. Fidati di me.
Aveva assolutamente ragione... C'erano dei modi. Ma non glieli avrei aperti per niente. Nessuna tortura.
- Mi perdoni, Santità, ma non posso darle ciò che non ho ricevuto io stesso. È impossibile - non so come. Ma il tuo Dio, credo, ti darebbe la "vita eterna" sulla nostra terra peccaminosa, se pensasse che ne sei degno, non è così? ..
Caraffa diventò viola e sibilò male, come un serpente velenoso pronto ad attaccare:
- Pensavo fossi più intelligente, Isidora. Beh, non mi ci vorrà molto per spezzarti quando vedrai cosa ho preparato per te...
E afferrandomi bruscamente la mano, mi trascinò rudemente nel suo terrificante seminterrato. Non ho avuto nemmeno il tempo di spaventarmi davvero, perché siamo finiti davanti alla stessa porta di ferro, dietro la quale, non molto tempo fa, è morto così brutalmente il mio sfortunato marito torturato, il mio povero buon Girolamo... E improvvisamente un terribile, agghiacciante indovina, mi ha tagliato il cervello - padre !!! Ecco perché non ha risposto alla mia chiamata ripetuta! .. Lui, di sicuro, è stato afferrato e torturato nello stesso seminterrato, in piedi di fronte a me, respirando con furia, un mostro, il sangue e il dolore di qualcun altro "purificato" qualsiasi obiettivo ! ..
"No, non quello! Per favore, non questo!!!" - la mia anima ferita urlò come un animale. Ma già sapevo che era proprio così... “Qualcuno mi aiuti!!! Qualcuno! "... Ma per qualche motivo nessuno mi ha sentito ... E non ha aiutato ...
La pesante porta si aprì... Occhi grigi spalancati mi guardarono dritti, pieni di dolore disumano...
Nel mezzo della stanza familiare e puzzolente di morte, su una poltrona di ferro chiodata, sedeva sanguinante, il mio amato padre...
Il colpo è stato terribile! .. Dopo aver gridato con un grido selvaggio "No !!!", ho perso conoscenza ...

* Nota: non confondere (!!!) con il complesso greco dei monasteri di Meteora a Kalambaka, in Grecia. Meteora in greco significa "sospeso nell'aria", che corrisponde pienamente alla vista mozzafiato dei monasteri, come funghi rosa che crescono sulle vette più alte di montagne insolite. Il primo monastero fu costruito intorno al 900. E tra il XII e il XVI secolo ce n'erano già 24. Fino ad oggi sono sopravvissuti solo sei monasteri, che ancora stupiscono i turisti.
È vero, i turisti non conoscono un dettaglio molto divertente ... A Meteor c'è un altro monastero in cui i "curiosi" non sono ammessi ... È stato costruito (e ha dato origine al resto) da un fanatico dotato che una volta ha studiato in il vero Meteor ed espulso da esso. Arrabbiato con il mondo intero, decise di costruire la "sua Meteora" per raccogliere lo stesso "offeso" di lui, e condurre la sua vita solitaria. Come ha fatto non è noto. Ma da allora, i massoni hanno iniziato a radunarsi nella sua Meteor per incontri segreti. Cosa succede una volta all'anno fino ad oggi.
Monasteri: Grand Meteoron (Grande Meteoron); Rusano; Agios Nicola; Agia Trios; Agia Stefanos; Varlaam si trovano molto vicini l'uno all'altro.

37. Isidoro-3. Meteora
Mi sono svegliato in un seminterrato inquietante e freddo, densamente saturo dell'odore stucchevole del sangue e della morte...
Il corpo insensibile non obbediva e soffriva, non volendo "svegliarsi" in alcun modo ... E l'Anima con la facilità di un uccello si librava nel luminoso mondo dei ricordi, riportando alla memoria volti amati e giorni pieni di felicità quando la tristezza non aveva ancora guardato nella nostra vita, e quando non c'erano in lei luoghi di amarezza e di dolore... Là, in quel meraviglioso mondo "passato", viveva ancora il mio meraviglioso marito, Girolamo... là la risata allegra della piccola Anna si riempì di un campanello... là la mia dolce, tenera mamma mi sorrideva al mattino... là il mio gentile e luminoso papà mi insegnò pazientemente la saggezza della Vita... Questo mondo era felice e solare, e la mia anima è stata strappata indietro, volando sempre più lontano... per non tornare mai più indietro...
Ma la malvagia realtà per qualche motivo non mi avrebbe lasciato andare ... Bussò senza pietà, risvegliando con la forza il cervello infiammato, chiedendo di tornare "a casa". Il nativo e imperfetto mondo terrestre chiedeva aiuto... Karaffa viveva... E mentre respirava, non potevano esserci gioia e luce nel nostro mondo.
Era ora di tornare...
Prendendo un respiro profondo, ho finalmente sentito il mio corpo fisico congelato nella solitudine - la vita a malincuore, a poco a poco, è tornata ad essa ... Non restava che prendere coraggio ...
Nella stanza in cui mi trovavo c'era un silenzio denso, assordante, denso. Mi sono seduto su una sedia di legno grezzo, senza muovermi né aprendo gli occhi, cercando di non mostrare il "presente" (se c'era) che mi sono svegliato. Sentendo e sentendo tutto perfettamente, mi sono "guardato intorno" teso, cercando di determinare cosa stesse succedendo intorno.
Recuperando lentamente e iniziando a ricordare cosa era successo, improvvisamente ho visto molto chiaramente QUELLO che si è rivelato essere il vero motivo del mio improvviso e profondo svenimento! ..
L'orrore freddo con una presa affilata strinse il cuore morto, non permettendogli nemmeno di svegliarsi completamente! ..
Padre!.. Il mio povero, gentile padre era QUI!!! In questo terribile e sanguinoso seminterrato - un inquietante covo di sofisticata morte... Era accanto a Girolamo... Stava morendo. La sinistra trappola di Caraffa si chiuse con violenza, inghiottendo la sua pura Anima...
Temendo di vedere il peggio, raccolsi ancora in un pugno il coraggio che mi sfuggiva completamente e alzai la testa...
La prima cosa che vidi proprio di fronte a me furono gli occhi neri di Karaffa che bruciavano di profondo interesse... Mio padre non era nella stanza delle torture.
Karaffa rimase in piedi, concentrato, fissandomi in faccia, come se cercasse di capire cosa stesse realmente accadendo nella mia anima paralizzata dalla sofferenza ... Il suo viso intelligente e magro, con mia grande sorpresa, esprimeva sincera eccitazione (!), Che, tuttavia, , chiaramente non me lo avrebbe mostrato ... Vedendo che mi sono svegliato, Karaffa ha immediatamente "messo" la sua solita maschera indifferente, e già sorridendo con tutte le sue forze, "teneramente" ha detto:

Si riferisce all'insieme statistico canonico, in cui il sistema può scambiare calore con l'ambiente a temperatura, volume e numero di particelle fissi. Grande funzione di partizione canonica si riferisce a un ampio insieme statistico canonico, in cui il sistema può scambiare sia calore che particelle con l'ambiente a temperatura, volume e potenziale chimico fissi. In altre situazioni è possibile definire altri tipi di somme statistiche.

Somma statistica nell'insieme canonico

Definizione

Supponiamo che esista un sistema che obbedisce alle leggi della termodinamica, che è in costante contatto termico con un mezzo che ha una temperatura $T$, e il volume del sistema e il numero delle sue particelle costituenti sono fissati. In una tale situazione, il sistema appartiene all'insieme canonico. indichiamo accurato gli stati in cui il sistema può essere, attraverso $J$ $(j\; =\; 1,2,3,\; \backslash \; ldot)$, e l'energia totale del sistema è nello stato $J$ - $E\_j$... Di norma, questi microstati possono essere considerati come stati quantistici discreti del sistema.

Funzione di partizione canonica- questo è

$Z\; =\; \backslash \; sum\_j\; e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; E\_j),$

dov'è la temperatura di ritorno? $\backslash \; beta$ definito come

$\backslash \; beta\; \backslash \; equiv\; \backslash \; frac\; (1)\; (k\_BT),$ $Z\; =\; \backslash \; mathrm\; (tr)\; \backslash ,\; (e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; H)),$

Significato e significato

Consideriamo prima da cosa dipende. La funzione di partizione è principalmente una funzione della temperatura. $T$, e nel secondo - le energie dei microstati $MI\_1,\; MI\_2,\; MI\_3$ ecc. Le energie dei microstati sono determinate da altre quantità termodinamiche, come il numero di particelle e il volume, nonché da proprietà microscopiche, come la massa delle particelle. Questa dipendenza dalle proprietà microscopiche è fondamentale nella meccanica statistica. Utilizzando il modello dei componenti microscopici del sistema, è possibile calcolare le energie dei microstati e, di conseguenza, la somma statistica, che permette di calcolare tutte le altre proprietà termodinamiche del sistema.

La funzione di partizione può essere utilizzata per calcolare quantità termodinamiche in quanto ha un significato statistico molto importante. Probabilità $P\_j$ con cui il sistema è in un microstato $J$, è uguale a

$P\_j\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (Z)\; e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; E\_j).$

La somma statistica è inclusa nella distribuzione di Gibbs sotto forma di un fattore di normalizzazione (it non dipende da $J$), assicurando che la somma delle probabilità sia uguale all'unità:

$\backslash \; sum\_j\; P\_j\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (Z)\; \backslash \; sum\_j\; e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; E\_j)\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (Z)\; Z\; =\; 1.$

Calcolo dell'energia totale termodinamica

Per dimostrare l'utilità della funzione di partizione, calcoliamo il valore termodinamico dell'energia totale. Questa è semplicemente l'aspettativa matematica, o il valore energetico medio dell'insieme, pari alla somma delle energie dei microstati, presi con pesi pari alle loro probabilità:

$\backslash \; langle\; E\; \backslash \; ranle\; =\; \backslash \; sum\_j\; E\_jP\_j\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (Z)\; \backslash \; sum\_j\; E\_j\; e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; E\_j)\; =\; -\; \backslash \; frac\; (1)\; (Z)\; \backslash \; frac\; (\backslash \; parziale)\; (\backslash \; parziale\; \backslash \; beta\; )\; Z\; (\backslash \; beta,\; \backslash ;\; E\_1,\; \backslash ;\; E\_2,\; \backslash ;\; \backslash \; ldots)\; =\; -\; \backslash \; frac\; (\backslash \; parziale\; \backslash \; ln\; Z)\; (\backslash \; parziale\; \backslash \; beta)$

o equivalente

$\backslash \; langle\; E\; \backslash \; ranle\; =\; k\_B\; T\; ^\; 2\; \backslash \; frac\; (\backslash \; partial\; \backslash \; ln\; Z)\; (\backslash \; T\; parziale).$

Si può anche notare che se le energie dei microstati dipendono dal parametro $\backslash \; lambda$ come

$E\_j\; =\; E\_j\; ^\; ((0))\; +\; \backslash \; lambda\; A\_j$

per tutti $J$, quindi il valore medio $UN$è uguale a

$\backslash \; langle\; A\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; sum\_j\; A\_jP\_j\; =\; -\; \backslash \; frac\; (1)\; (\backslash \; beta)\; \backslash \; frac\; (\backslash \; partial)\; (\backslash \; partial\; \backslash \; lambda)\; \backslash \; ln\; Z\; (\backslash \; beta,\; \backslash ;\; \backslash \; lambda).$

Questa è la base di una tecnica che permette di calcolare i valori medi di molte quantità microscopiche. È necessario aggiungere artificialmente questa quantità all'energia dei microstati (o, nel linguaggio della meccanica quantistica, all'Hamiltoniana), calcolare una nuova funzione di partizione e media, e quindi mettere $\backslash \; lambda$ uguale a zero. Un metodo simile è utilizzato nella teoria quantistica dei campi.

Questa sezione mostra la relazione tra la funzione di partizione e vari parametri termodinamici del sistema. Questi risultati possono essere ottenuti utilizzando il metodo descritto nella sezione precedente e varie relazioni termodinamiche.

Come abbiamo già visto, l'energia è

$\backslash \; langle\; E\; \backslash \; ranle\; =\; -\; \backslash \; frac\; (\backslash \; parziale\; \backslash \; ln\; Z)\; (\backslash \; parziale\; \backslash \; beta).$ $c\_v\; =\; \backslash \; frac\; (\backslash \; partial\; \backslash \; langle\; E\; \backslash \; rangle)\; (\backslash \; partial\; T)\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (k\_B\; T\; ^\; 2)\; \backslash \; langle\; \backslash \; delta\; E\; ^\; 2\; \backslash \; rangle.$ $S\; \backslash \; equiv-k\_B\; \backslash \; sum\_j\; P\_j\; \backslash \; ln\; P\_j\; =\; k\_B\; (\backslash \; ln\; Z\; +\; \backslash \; beta\; \backslash \; langle\; E\; \backslash \; ranle)\; =\; \backslash \; frac\; (\backslash \; parziale)\; (\backslash \; parziale\; T)\; (k\_B\; T\; \backslash \; ln\; Z)\; =\; -\; \backslash \; frac\; (\; \backslash \; parziale\; F)\; (\backslash \; parziale\; T),$ $\backslash \; mathcal\; (Z)\; \_i\; =\; \backslash \; sum\_\; (n\_i\; =\; 0)\; ^\; \backslash \; infty\; e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; n\_i\; (\backslash \; varepsilon\_i-\; \backslash \; mu))\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (1-e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; (\backslash \; varepsilon\_i\; -\; \backslash \; m))),$ $\backslash \; mathcal\; (Z)\; \_i\; =\; \backslash \; sum\_\; (n\_i\; =\; 0)\; ^\; 1\; e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; n\_i\; (\backslash \; varepsilon\_i-\; \backslash \; mu))\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (1\; +\; e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; (\backslash \; varepsilon\_i-\; \backslash m))).$

Nel caso di un gas Maxwelliano-Boltzmann è necessario calcolare correttamente gli stati e dividere il fattore di Boltzmann $e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; (\backslash \; varepsilon\_i-\; \backslash \; mu))$ Su $n\_io!$

$\backslash \; mathcal\; (Z)\; \_i\; =\; \backslash \; sum\_\; (n\_i\; =\; 0)\; ^\; \backslash \; infty\; \backslash \; frac\; (e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; n\_i\; (\backslash \; varepsilon\_i-\; \backslash \; mu)))\; (n\_i=\backslash exp\backslash left(e^\{-\backslash beta(\backslash varepsilon\_i-\backslash mu)\}\backslash right).!\}$

Relazione con grandezze termodinamiche

Proprio come la funzione di partizione canonica, la funzione di partizione canonica grande può essere utilizzata per calcolare i valori termodinamici e statistici di un sistema. Come nell'insieme canonico, le quantità termodinamiche non sono fisse, ma distribuite statisticamente attorno alla media. denotando $\backslash \; alfa\; =\; -\; \backslash \; beta\; \backslash \; mu$, otteniamo i valori medi dei numeri di riempimento:

$\backslash \; langle\; n\_i\; \backslash \; ranle\; =\; -\; \backslash \; left\; (\backslash \; frac\; (\backslash \; partial\; \backslash \; ln\; \backslash \; mathcal\; (Z)\; \_i)\; (\backslash \; partial\; \backslash \; alpha)\; \backslash \; right)\; \_\; (\backslash \; beta,\; \backslash ;\; V)\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (\backslash \; beta)\; \backslash \; sinistra\; (\backslash \; frac\; (\backslash \; parziale\; \backslash \; ln\; \backslash \; mathcal\; (Z)\; \_i)\; (\backslash \; parziale\; \backslash \; mu)\; \backslash \; destra)\; \_\; (\backslash \; beta,\; \backslash ;\; V).$

Per le particelle di Boltzmann, questo dà:

$\backslash \; langle\; n\_i\; \backslash \; ranle\; =\; e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; (\backslash \; varepsilon\_i-\; \backslash \; mu)).$

Per i bosoni:

$\backslash \; langle\; n\_i\; \backslash \; ranle\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (e\; ^\; (\backslash \; beta\; (\backslash \; varepsilon\_i-\; \backslash \; mu))\; -\; 1).$

Per i fermioni:

$\backslash \; langle\; n\_i\; \backslash \; ranle\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (e\; ^\; (\backslash \; beta\; (\backslash \; varepsilon\_i-\; \backslash \; mu))\; +\; 1),$

che coincide con i risultati ottenuti utilizzando l'insieme canonico per le statistiche di Maxwell - Boltzmann, le statistiche di Bose - Einstein e le statistiche di Fermi - Dirac, rispettivamente. (Grado di degenerazione $g\_i$è assente in queste equazioni, poiché l'indice $io$ numeri singoli stati, non livelli di energia.)

Numero totale di particelle

$\backslash \; langle\; N\; \backslash \; ranle\; =\; -\; \backslash \; left\; (\backslash \; frac\; (\backslash \; partial\; \backslash \; ln\; \backslash \; mathcal\; (Z))\; (\backslash \; partial\; \backslash \; alpha)\; \backslash \; right)\; \_\; (\backslash \; beta,\; \backslash ;\; V)\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (\backslash \; beta\; )\; \backslash \; left\; (\backslash \; frac\; (\backslash \; partial\; \backslash \; ln\; \backslash \; mathcal\; (Z))\; (\backslash \; partial\; \backslash \; mu)\; \backslash \; right)\; \_\; (\backslash \; beta,\; \backslash ;\; V).$ $\backslash \; langle\; P\; \backslash \; ranle\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (\backslash \; beta)\; \backslash \; left\; (\backslash \; frac\; (\backslash \; partial\; \backslash \; ln\; \backslash \; mathcal\; (Z))\; (\backslash \; partial\; V)\; \backslash \; right)\; \_\; (\backslash \; mu,\; \backslash ;\; \backslash \; beta).$ $\backslash \; langle\; PV\; \backslash \; ranle\; =\; \backslash \; frac\; (\backslash \; ln\; \backslash \; mathcal\; (Z))\; (\backslash \; beta).$

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Letteratura

• Kubo R. Meccanica statistica. - M.: Mir, 1967.
• Huang K. Meccanica statistica. - M.: Mir, 1966. (Huang, Kerson, "Meccanica statistica", John Wiley & Sons, New York, 1967.)
• Ishihara A. Fisica statistica. - M.: Mir, 1973. (Isihara A. "Statistical Physics". - New York: Academic Press, 1971.)
• Kelly, James J.
• Landau, L.D., Lifshits, E.M. Fisica statistica. Parte 1. - Edizione 5a. - Mosca: Fizmatlit, 2005 .-- 616 p. - ("Fisica teorica", volume V). - ISBN 5-9221-0054-8..

Estratto che caratterizza la somma statistica

- Alpatich! All'improvviso una voce familiare chiamò il vecchio.
- Padre, Eccellenza, - rispose Alpatych, riconoscendo all'istante la voce del suo giovane principe.
Il principe Andrej, in mantello, in sella a un cavallo nero, stava dietro la folla e guardava Alpatych.
- Come stai qui? - chiese.
- Vostra... Vostra Eccellenza, - disse Alpatych e singhiozzava... - Vostro, vostro... o siamo già scomparsi? Padre…
- Come stai qui? - ripeté il principe Andrey.
La fiamma divampò brillantemente in quel momento e illuminò il volto pallido ed emaciato di Alpatych del suo giovane padrone. Alpatych raccontò come era stato mandato e come poteva andarsene con la forza.
- Ebbene, Eccellenza, o ci siamo persi? Ha chiesto di nuovo.
Il principe Andrey, senza rispondere, tirò fuori un taccuino e, alzando il ginocchio, iniziò a scrivere a matita su un foglio strappato. Scrisse a sua sorella:
«Smolensk si sta arrendendo», scrisse, «le Colline Calde saranno occupate dal nemico entro una settimana. Parti ora per Mosca. Rispondimi non appena parti inviando un corriere a Usvyazh. "
Dopo aver scritto e passato il foglio ad Alpatych, gli comunicò verbalmente come disporre della partenza del principe, della principessa e del figlio con un maestro, e come e dove rispondergli immediatamente. Non aveva ancora avuto il tempo di finire questi ordini, quando il capo di stato maggiore a cavallo, accompagnato dal suo seguito, gli si avvicinò al galoppo.
- Sei un colonnello? - gridò il capo di gabinetto, con un accento tedesco, familiare alla voce del principe Andrei. - In tua presenza, le case sono illuminate e tu stai in piedi? Cosa significa questo? Risponderai ", gridò Berg, che ora era assistente capo di stato maggiore del fianco sinistro delle forze di fanteria del primo esercito," il posto è molto piacevole e in vista, come disse Berg.
Il principe Andrej lo guardò e, senza rispondere, continuò, rivolgendosi ad Alpatych:
- Allora dimmi che fino al dieci aspetto una risposta, e se il dieci non ricevo la notizia che tutti se ne sono andati, io stesso dovrò mollare tutto e andare a Bald Hills.
- Io, principe, solo perché dico, - disse Berg, riconoscendo il principe Andrei, - che devo obbedire agli ordini, perché lo faccio sempre esattamente... Mi scusi, per favore, - si giustificò in qualche modo Berg.
Qualcosa scoppiettava nel fuoco. Il fuoco si spense per un momento; nuvole nere di fumo si riversavano da sotto il tetto. Qualcos'altro scricchiolò terribilmente nel fuoco e qualcosa di enorme crollò.
- Urruru! - riecheggiando il soffitto crollato del fienile, da cui si sentiva l'odore delle torte di pane bruciato, la folla ruggiva. La fiamma divampò e illuminò i vivaci volti gioiosi e straziati delle persone che stavano intorno al fuoco.
Un uomo con un soprabito fregio, alzando la mano, gridò:
- Importante! andato a combattere! Ragazzi, è importante! ..
"Questo è il maestro in persona", si udirono delle voci.
- Allora, così, - disse il principe Andrey, riferendosi ad Alpatych, - racconta tutto come ti ho detto. - E, senza rispondere a Berg, che tacque accanto a lui, toccò il cavallo e guidò nel vicolo.

Le truppe hanno continuato a ritirarsi da Smolensk. Il nemico li seguì. Il 10 agosto, il reggimento, comandato dal principe Andrey, passò lungo la strada maestra, oltre il viale che conduceva a Lysye Gory. Il caldo e la siccità sono durati per oltre tre settimane. Nuvole arricciate attraversavano il cielo ogni giorno, bloccando di tanto in tanto il sole; ma la sera si schiarì di nuovo, e il sole tramontò in una foschia rosso-brunastra. Solo una forte rugiada di notte rinfrescava la terra. Il pane rimasto alla radice bruciava e veniva versato. Le paludi sono secche. Il bestiame ruggiva di fame, non trovando cibo sui prati bruciati dal sole. Solo di notte e nelle foreste c'era ancora rugiada, c'era una frescura. Ma lungo la strada, lungo la strada maestra lungo la quale le truppe marciavano, anche di notte, anche attraverso le foreste, non c'era tanta frescura. La rugiada non si vedeva sulla polvere sabbiosa della strada, battuta da più di un quarto di arshin. Non appena è spuntata l'alba, è iniziato il movimento. Carri, artiglieria camminavano silenziosamente lungo il mozzo e la fanteria era immersa fino alle caviglie in una polvere soffice, soffocante e calda che non si era raffreddata durante la notte. Una parte di questa polvere sabbiosa veniva impastata da piedi e ruote, l'altra si alzava e si ergeva come una nuvola sull'esercito, attaccandosi agli occhi, ai capelli, alle orecchie, alle narici e, soprattutto, ai polmoni delle persone e degli animali che si muovevano lungo questo strada. Più alto era il sole, più alta era la nuvola di polvere, e attraverso questa polvere sottile e calda al sole, non coperta da nuvole, si poteva vedere ad occhio nudo. Il sole sembrava essere una grande palla cremisi. Non c'era vento e la gente soffocava in quell'atmosfera immobile. La gente camminava con fazzoletti legati intorno al naso e alla bocca. Venendo al villaggio, tutto si precipitò ai pozzi. Combatterono per l'acqua e la bevvero nel fango.
Il principe Andrey comandava il reggimento e la struttura del reggimento, il benessere della sua gente, la necessità di ricevere ed impartire ordini lo occupavano. L'incendio di Smolensk e il suo abbandono furono un'epoca per il principe Andrei. Un nuovo sentimento di amarezza contro il nemico gli fece dimenticare il suo dolore. Era tutto devoto agli affari del suo reggimento, si prendeva cura del suo popolo, degli ufficiali e della gentilezza nei loro confronti. Nel reggimento lo chiamavano il nostro principe, erano orgogliosi di lui e lo amavano. Ma era gentile e mite solo con i suoi reggimenti, con Timokhin, ecc., con persone completamente nuove e in un ambiente straniero, con persone che non potevano conoscere e capire il suo passato; ma non appena si imbatté in uno dei suoi primi, dal bastone, subito si rizzò di nuovo; divenne dispettoso, beffardo e sprezzante. Tutto ciò che collegava la sua memoria con il passato lo ripugnava, e quindi cercava nelle relazioni di questo mondo precedente solo di non essere ingiusto e di adempiere al suo dovere.
È vero, tutto sembrava al principe Andrei in una luce oscura e cupa, specialmente dopo aver lasciato Smolensk (che, secondo lui, poteva e avrebbe dovuto essere difeso) il 6 agosto, e dopo che il padre malato dovette fuggire a Mosca e gettare il Colline Calve così amate, costruite e abitate da loro, da essere saccheggiate; ma nonostante il fatto, grazie al reggimento, il principe Andrea poteva pensare a un altro argomento, completamente indipendente dalle domande generali: il suo reggimento. Il 10 agosto, la colonna, in cui si trovava il suo reggimento, raggiunse i Monti Calvi. Il principe Andrey due giorni fa ha ricevuto la notizia che suo padre, suo figlio e sua sorella erano partiti per Mosca. Sebbene il principe Andrey non avesse nulla da fare a Bald Hills, lui, con il suo solito desiderio di dissipare il suo dolore, decise che avrebbe dovuto fermarsi a Lysy Gory.
Ordinò di sellare il suo cavallo e dalla traversata andò a cavallo al villaggio di suo padre, in cui nacque e trascorse la sua infanzia. Passando davanti allo stagno, dove dozzine di donne chiacchieravano sempre, battendo i rulli e sciacquando la biancheria, il principe Andrey notò che non c'era nessuno sullo stagno e una zattera strappata, mezzo allagata d'acqua, galleggiava di lato nel mezzo dello stagno. Il principe Andrew si avvicinò alla portineria. Non c'era nessuno al cancello di pietra dell'ingresso e la porta era aperta. I vialetti del giardino erano già invasi e i vitelli ei cavalli stavano passeggiando nel parco inglese. Il principe Andrea si avvicinò alla serra; le finestre erano rotte e alcuni alberi nelle vasche furono abbattuti, altri avvizziti. Chiamò Taras il giardiniere. Nessuno ha risposto. Girando intorno alla serra verso la mostra, vide che il recinto di assi intagliate era tutto rotto e il frutto della prugna era stato strappato con dei rami. Un vecchio contadino (il principe Andrey lo aveva visto al cancello da bambino) era seduto e intrecciava scarpe di tela su una panchina verde.
Era sordo e non ha sentito l'ingresso del principe Andrea. Era seduto su una panca, sulla quale il vecchio principe amava sedersi, e accanto a lui c'era un piccolo segno sui ramoscelli di una magnolia spezzata e secca.
Il principe Andrea si avvicinò alla casa. Diversi tigli nel vecchio giardino erano stati abbattuti e un cavallo con un puledro pezzato camminava davanti alla casa tra i roseti. La casa era sbarrata con le persiane. Una finestra in basso era aperta. Il ragazzo del cortile, vedendo il principe Andrey, corse in casa.
Alpatych, dopo aver mandato la sua famiglia, rimase solo nei Monti Calvi; si sedette a casa e lesse la Vita. Avendo appreso dell'arrivo del principe Andrey, lui, con gli occhiali sul naso, abbottonandosi, uscì di casa, si avvicinò in fretta al principe e, senza dire nulla, pianse, baciando il principe Andrey sulle ginocchia.
Poi si rivolse con il cuore alla sua debolezza e cominciò a riferirgli lo stato delle cose. Tutto ciò che è prezioso e caro è stato portato a Bogucharovo. Si toglieva anche il pane, fino a cento quarti; fieno e raccolti primaverili, straordinari, come disse Alpatych, il raccolto di quest'anno è stato preso e falciato dalle truppe. I contadini sono rovinati, alcuni sono andati anche a Bogucharovo, una piccola parte rimane.
Il principe Andrej, senza ascoltarlo, chiese quando suo padre e sua sorella se ne fossero andati, cioè quando erano partiti per Mosca. Alpatych rispose, credendo che stessero chiedendo di partire per Bogucharovo, che avevano lasciato il settimo, e di nuovo si sparsero per le quote della fattoria, chiedendo istruzioni.
- Ordinerai alle squadre di rilasciare l'avena contro ricevuta? Ci restano ancora seicento quarti, - chiese Alpatych.
“Cosa dovrei dirgli? - pensò il principe Andrej, guardando la testa pelata del vecchio che brillava al sole e leggendo nell'espressione del suo volto la consapevolezza che lui stesso comprendeva l'inattualità di queste domande, ma chiedeva solo in modo da soffocare la sua proprio dolore.
"Sì, lascia perdere", ha detto.
- Se ti faceva piacere notare i disordini nel giardino, - disse Alpatych, - era impossibile prevenire: passarono tre reggimenti e passarono la notte, specialmente i dragoni. Ho scritto il grado e il grado del comandante per aver presentato una petizione.
- Bene, cosa hai intenzione di fare? Rimarrai se il nemico lo prende? gli chiese il principe Andrej.
Alpatych, voltandosi verso il principe Andrej, lo guardò; e all'improvviso, con un gesto solenne, alzò la mano.
- È il mio patrono, così sia la sua volontà! Egli ha detto.
Una folla di contadini e servi camminava attraverso il prato, a testa aperta, avvicinandosi al principe Andrey.
- Bene, arrivederci! - disse il principe Andrej, chinandosi su Alpatych. - Lascia te stesso, porta via quello che puoi, e le persone sono state portate ad andare a Ryazan o nella regione di Mosca. - Alpatych si aggrappò alla sua gamba e singhiozzò. Il principe Andrea lo spinse da parte con cautela e, toccando il suo cavallo, cavalcò al galoppo lungo il vicolo.
Alla mostra, il vecchio si sedette con la stessa indifferenza di una mosca sul viso di un caro morto e batté su una scarpa di scarpe di tela, e due ragazze con le prugne nelle sottane, che raccolsero dagli alberi della serra, fuggirono da lì e si imbatté nel principe Andrey. Vedendo il giovane padrone, la ragazza più grande, con un'espressione spaventata sul viso, afferrò per mano la sua compagna più piccola e con lei si nascose dietro una betulla, non avendo il tempo di raccogliere le prugne verdi sparse.
Il principe Andrey si allontanò frettolosamente da loro spaventato, timoroso di far loro notare che li aveva visti. Era dispiaciuto per quella ragazza piuttosto spaventata. Aveva paura di guardarla, ma allo stesso tempo lo desiderava irresistibilmente. Un sentimento nuovo, gratificante e rassicurante lo pervase quando, guardando queste ragazze, si rendeva conto dell'esistenza dell'altro, del tutto estraneo a lui e altrettanto legittimo degli interessi umani di quelli che lo occupavano. Queste ragazze, ovviamente, desideravano una cosa: portare via e mangiare queste prugne verdi e non essere catturate, e il principe Andrey ha augurato loro il successo della loro impresa. Non poteva fare a meno di guardarli di nuovo. Credendosi già al sicuro, saltarono fuori dall'imboscata e, per qualcosa di cibo a voci sottili, tenendosi le gonne, corsero allegramente e rapidamente attraverso l'erba del prato con i loro piedi nudi abbronzati.
Il principe Andrey si è rinfrescato un po ', dopo aver guidato fuori dall'area polverosa della strada principale lungo la quale si muovevano le truppe. Ma non molto oltre le Bald Hills, tornò sulla strada e raggiunse il suo reggimento in sosta, alla diga di un piccolo stagno. Erano le due dopo mezzogiorno. Il sole, una palla rossa nella polvere, era insopportabilmente caldo e mi bruciava la schiena attraverso il cappotto nero. La polvere, sempre la stessa, stava immobile sopra il borbottio delle truppe ferme. Non c'era vento, Nel passaggio lungo la diga, il principe Andrea odorava di fango e la freschezza dello stagno. Voleva entrare in acqua, non importa quanto fosse sporca. Guardò di nuovo lo stagno, dal quale si udivano grida e risate. Un piccolo stagno fangoso con vegetazione, a quanto pare, si era alzato di due quarti, riempiendo la diga, perché era pieno di corpi bianchi umani, di soldati, nudi che si dibattevano in esso, con mani, volti e colli rosso mattone. Tutta questa carne umana nuda e bianca con risate e rimbombi si dibatteva in questa pozzanghera sporca, come crucian infilati in un annaffiatoio. Questo dibattersi risuonava di allegria, ed è per questo che era particolarmente triste.

La somma sugli stati (sinonimi - funzione di partizione, integrale statistico) è il fattore di normalizzazione della funzione di distribuzione dell'insieme canonico. Se si conoscono i livelli energetici del sistema E io e i loro pesi statistici g io(cioè, il numero di livelli con energia E io), allora la somma sugli stati ha la forma:

dove T- temperatura, V- volume del sistema, nè il numero di particelle. Il nome "somma sugli stati" riflette il fatto che la funzione Z(T,V,n) è la somma dei fattori di Boltzmann per ciascuno dei livelli energetici.

A volte la somma degli stati per un sistema costituito da particelle identiche è determinata attraverso l'integrale sullo spazio delle fasi (da cui il nome - "integrale statistico"). Se la funzione di Hamilton del sistema è nota h(P,Q), allora la somma sugli stati è determinata come segue:

dove l'integrale è preso sulle coordinate e sui momenti di all n particelle. Qui h= 6,63 10 -34 J. s - Costante di Planck. Il fattore davanti all'integrale tiene conto dell'indistinguibilità delle particelle e del principio di indeterminazione quantistica.

Il vantaggio principale della somma rispetto agli stati è che contiene tutte le informazioni termodinamiche sul sistema ... Se in qualche modo (analiticamente o numericamente) fosse possibile calcolare la somma sugli stati del sistema, allora è possibile determinare tutte le funzioni termodinamiche e trovare l'equazione di stato di questo sistema. Così, il compito principale della termodinamica statistica si riduce al calcolo delle somme sugli stati dei sistemi termodinamici .

Proprietà somma di stato

Tutte le proprietà elencate di seguito derivano dalle definizioni (11.1) e (11.2).

1. La somma sugli stati è una quantità adimensionale. Dipende dalla temperatura, dal volume e dal numero di particelle: Z = Z(T,V,n). Dipende esplicitamente dalla temperatura e i livelli di energia dipendono dal volume e dal numero di particelle: E io = E io(V,n).

2. La somma sugli stati non è un valore assoluto: è determinata all'interno di un fattore costante, che dipende dalla scelta del punto di riferimento dell'energia. Se sposti il ​​punto di partenza, ad es. modificare tutti i livelli di energia della stessa quantità: E io E io+, allora tutti i fattori di Boltzmann aumenteranno (o diminuiranno) dello stesso numero di volte e la somma sugli stati cambierà della stessa quantità:

Z

Di solito, l'energia del sistema allo zero assoluto viene presa come punto di riferimento, tu 0 .

3. Quando T 0 tutti i fattori di Boltzmann tendono a 0 tranne quello corrispondente al livello energetico inferiore, quindi la somma sugli stati tende al peso statistico di questo livello:

A basse temperature, solo bassi livelli di energia ( E ~ kT).

4. Quando T tutti gli esponenti compresi nella definizione (11.1) tendono a 1, quindi la somma sugli stati tende alla somma dei pesi statistici di tutti i livelli:

,

che può essere finito o infinito a seconda del numero di livelli energetici. Un esempio di un sistema con un limite finito della somma sugli stati sono gli spin nucleari nei cristalli LiF in un campo magnetico esterno.

5. La somma degli stati è una funzione della temperatura monotona crescente. Ciò segue dal fatto che la derivata ( Z / T) V, N calcolato dalla definizione (11.1) è positivo a qualsiasi temperatura.

6. Se il sistema può essere diviso in due sottosistemi indipendenti in modo che ogni livello di energia possa essere rappresentato come somma: E io = E i 1 + E i 2, quindi la somma sugli stati è divisa in fattori (fattorizzati): Z = Z 1Z 2, dove funzioni Z 1 e Z 2 sono definiti dall'espressione (11.1), ma la somma in essa contenuta si applica solo ai livelli energetici di questo sottosistema.

7. La proprietà principale della somma sugli stati è la sua connessione con le funzioni termodinamiche.

Relazione tra la somma degli stati e le funzioni termodinamiche

L'energia interna di un sistema termodinamico può essere rappresentata come l'energia media su tutti i livelli, tenendo conto della loro popolazione:

,

dove tu 0 - energia allo zero assoluto T= 0. Il lato destro di questa definizione può essere trasformato usando la definizione della somma sugli stati (11.1):

. (11.3)

Quindi, conoscendo la somma sugli stati, è possibile determinare l'energia interna in funzione della temperatura e del volume.

Un'altra relazione di base riguarda la somma sugli stati e l'energia di Helmholtz:

. (11.4)

Funzione di differenziazione F per temperatura e volume, puoi trovare entropia e pressione:

. (11.6)

L'ultima relazione non è altro che un'equazione di stato termica, cioè dipendenza della pressione dal volume e dalla temperatura.

Usando le relazioni (11.3) - (11.6), si possono trovare altre funzioni termodinamiche. È interessante notare che tutte le funzioni termodinamiche sono determinate non dalla somma sugli stati stessi, ma dal suo logaritmo.

Somma molecolare su stati di gas ideali

Molte proprietà della somma sugli stati possono essere considerate dall'esempio di un importante caso speciale di un sistema termodinamico - gas ideale... La somma degli stati di un gas ideale costituito da n particelle identiche, possono essere espresse in termini di somma sugli stati di una particella Q:

dove il fattore 1 / n! tiene conto del principio quantistico di indistinguibilità delle particelle.

In molti casi, i livelli energetici di una molecola di gas ideale possono essere suddivisi in termini corrispondenti a vari tipi di movimento: traslazionale, rotazionale, vibrazionale, elettronico e nucleare: E = E posta + E bp + E contare + E e-mail + E veleno, quindi la somma molecolare sugli stati è fattorizzata:

Q = Q veloce Q vero Q contare Q e-mail Q veleno (11.8)

a) La somma traslazionale sugli stati può essere calcolata dalla formula (11.2) con la funzione di Hamilton h(P,Q) = P 2 / 2m (mè la massa della molecola). L'integrazione su tre coordinate e tre proiezioni della quantità di moto viene eseguita separatamente e fornisce:

Q posta =, (11.9)

dove V- il volume in cui si muove la molecola.

b) La somma rotazionale sugli stati dipende dalla simmetria della molecola. Nel caso più semplice, per una molecola lineare, i livelli di energia dipendono solo dal numero quantico rotazionale J: E J = hcBJ(J+1), dove B- costante rotazionale (dimensione - cm -1), che è determinata dal momento d'inerzia della molecola, C= 3 10 10 cm / s - la velocità della luce. Ogni livello di rotazione ha un peso statistico G J = 2 J+ 1. A temperature non molto basse ( T >> B / K) la sommatoria in (11.1) può essere sostituita dall'integrazione su J, cosa dà:

Q bp = (11.10)

Per molecole simmetriche, questo valore deve essere diviso per il numero di simmetria (per molecole omonucleari biatomiche è uguale a 2).

A basse temperature, la somma rotazionale sugli stati si trova sommando su diversi valori inferiori J.

c) Le oscillazioni dei nuclei sono descritte utilizzando un modello di oscillatore armonico, in cui i livelli di energia dipendono linearmente dal numero quantico vibrazionale: E n = hc n, dove è la frequenza di vibrazione (in cm -1); energia di stato con n= 0 viene preso come punto di riferimento. I livelli di energia vibrazionale non sono degeneri, il peso statistico è 1. La somma sugli stati di un oscillatore armonico con frequenza è pari a:

Q= (11.11)

Questa somma differisce notevolmente da 1 solo quando la frazione nell'esponente è minore di 1, cioè per le temperature T > T conteggio = hc/ K... Quest'ultima è chiamata la temperatura vibrazionale effettiva per una data vibrazione. Se la temperatura è inferiore alla temperatura vibrazionale, la somma degli stati è quasi uguale a 1.

In una molecola costituita da n atomi, ci sono 3 n-6 (in una molecola lineare - 3 n-5) vibrazioni diverse, ognuna con la propria frequenza io, quindi, la somma vibrazionale sugli stati della molecola è uguale al prodotto delle somme sugli stati per ciascuna di queste vibrazioni:

Q conteggio = (11.12)

d) I livelli di energia elettronica e nucleare in una molecola sono generalmente molto distanti tra loro e, a temperature non troppo elevate, solo il livello del suolo contribuisce alla somma corrispondente sugli stati, la cui energia è considerata 0 Le somme elettronica e nucleare sugli stati sono uguali ai pesi statistici dei livelli elettronico e nucleare inferiori, rispettivamente:

Q e-mail = G e-mail, Q veleno = G IO. (11.13)

Le somme molecolari sugli stati per i singoli tipi di moto possono essere utilizzate per calcolare le popolazioni assolute e relative dei livelli energetici individuali secondo la legge di distribuzione di Boltzmann:

. (11.14)

ESEMPI

Esempio 11-1. La molecola può trovarsi ad un livello con un'energia di 0 o ad uno dei tre livelli con un'energia E... Trova la somma molecolare sugli stati e calcola la dipendenza dell'energia interna molare dalla temperatura.

Soluzione... La somma molecolare per stati si trova semplicemente per definizione:

La somma totale sugli stati è correlata alla relazione molecolare (11.7). Per calcolare l'energia interna molare, non è necessaria la somma stessa, ma il suo logaritmo:

Differenziando questa espressione rispetto alla temperatura e usando la formula (11.3), troviamo:

(n A è il numero di Avogadro).

Esempio 11-2. La somma degli stati di un certo sistema termodinamico costituito da n particelle identiche è uguale a:

Trova l'energia interna, l'entropia e l'equazione di stato di questo sistema.

Soluzione... Trova il logaritmo della somma sugli stati:

e utilizzare le formule (11.3), (11.5) e (11.6):

,

dove S 0 non dipende da T e V.

Questo sistema è un gas ideale.

Esempio 11-3. Calcolare la somma traslazionale molecolare degli stati per N 2 in condizioni normali se è noto che la somma traslazionale molecolare degli stati per H 2 a una temperatura di 298 K e una pressione di 101,3 kPa è 6,70 10 28.

Soluzione... La somma traslazionale sugli stati è uguale a:

Q posta =

La pressione in entrambi i casi è la stessa, differiscono solo le masse molecolari e le temperature. Il rapporto delle somme traslazionali può essere trovato in relazione al rapporto delle masse e delle temperature:

dove Q palo (N 2) = 42,1 6,70 10 28 = 2.82 10 30 .

Esempio 11-4. A partire da quale livello vibrazionale la popolazione della molecola di cloro (= 560 cm -1) sarà inferiore all'1% a 1000 K?

Soluzione... Usiamo la formula di Boltzmann (11.14) con i livelli di energia E n = hc n e la somma vibrazionale sugli stati (11.11):

.

Calcoliamo l'esponente incluso in questa disuguaglianza:

Soluzione dell'equazione

dà n = 4.97 5.

COMPITI

11-1. Lascia che una molecola esista in tre stati con energie uguali a 0, E e E... Trova un'espressione per la somma molecolare sugli stati Q ed energia interna molare.

11-2. Lascia che per qualche ipotetica molecola ad alte temperature la somma molecolare sugli stati sia uguale a: Q = 2 - /(kT). Trova le espressioni per: a) energia media molare; b) entropia molare; c) capacità termica isocora molare. Spiega perché una tale molecola non può esistere.

11-3. La somma statistica di un certo sistema termodinamico costituito da n particelle identiche è uguale a:

.

Trova l'energia interna, l'energia di Helmholtz, l'entropia e l'equazione di stato di questo sistema.

11-4. Sono dati due sistemi termodinamici. Per uno di essi, è nota la dipendenza dell'energia interna dalla temperatura: tu(T) = kT + tu 0, per l'altro - la dipendenza dell'energia di Helmholtz dalla temperatura: F(T) = -kT ln T + tu 0 (, sono fattori costanti, K- costante di Boltzmann). Trova la somma statistica in funzione della temperatura per entrambi i sistemi.

11-5. Usando l'equazione di stato, trova la dipendenza dal volume della somma totale sugli stati di un gas ideale e di un gas di van der Waals.

11-6. Usando la relazione tra la somma degli stati e le funzioni termodinamiche, esprimi le derivate ( tu/V) T e ( S/V) T per pressione e sue derivate.

11-7. Per qualche sistema termodinamico (non un gas ideale), la somma sugli stati è nota, Z(T,V). Trova il lavoro che questo sistema fa sull'espansione isotermica reversibile da V 1 a V 2 .

11-8. Calcolare la somma traslazionale sugli stati di O 2 ad una temperatura di 100 ° C e pressione normale se è noto che la somma traslazionale sugli stati di He in condizioni normali è 1,52. 10 29.

11-9. Qual è la somma vibrazionale degli stati dello iodio (= 214 cm -1) alla temperatura di 1200 K?

11-10. Calcolare la somma vibrazionale molecolare sugli stati del monossido di carbonio (IV) a 1500 K. Frequenze di vibrazione: 1 = 1388,2 cm -1, 2 = 667,4 cm -1 (doppia degenerazione), 3 = 2349,2 cm -1.

11-11. Calcola la somma rotazionale sugli stati della molecola F 2 a 0 ° C, se è noto che la somma rotazionale sugli stati della molecola 35 Cl 2 a 298 K è 424. La distanza internucleare nella molecola di fluoro è 1,4 volte meno che nella molecola di cloro.

11-12 *. Come cambierà la somma rotazionale per stati, se da ciascuno (2 J+1) livelli con la stessa energia J livelli aumenteranno la loro energia di alcuni valori, J livelli diminuiranno l'energia della stessa quantità, ma un livello di energia non cambierà?

11-13. Calcola la probabilità di trovare una molecola di idrogeno (= 4400 cm -1) nello stato vibrazionale fondamentale a 4000 K.

11-14. Calcolare la probabilità di trovare zolfo atomico nel terreno e primi stati elettronici eccitati a 1000 K utilizzando i seguenti dati:

Termine elettronico	Energia (cm -1)	Peso statistico

11-15. Utilizzando i dati del problema precedente, calcola la somma degli elettroni sugli stati e l'energia media degli elettroni di un atomo di zolfo a 1000 K.

11-16 *. Determinare le concentrazioni di equilibrio di orto- e para-idrogeno a 120 K (costante di rotazione B= 60,9 cm -1).

11-17. Trova il livello di energia rotazionale della molecola N 2 ( B= 2,00 cm -1), che ha la popolazione più alta a: a) T= 298 K, b) T= 1000K.

11-18. A quale temperatura è il livello di rotazione con J= 10 nell'elettronica fondamentale e nello stato vibrazionale della molecola di O 2 ( B= 1,45 cm -1) ha la popolazione più alta tra tutti i livelli di rotazione?

11-19. Considera la popolazione J° livello rotazionale di una molecola biatomica in funzione della temperatura. A che temperatura è massima questa popolazione? (Costante di rotazione B).

Somma statistica (o somma di stato ) è il parametro più importante del modello di insieme statistico canonico, utilizzato per descrivere il tipo più comune di sistemi statistici: sistemi in contatto termico con un termostato.

L'utilità delle somme statistiche è dovuta a una serie di loro caratteristiche distintive.

1) la somma statistica è una caratteristica numerica che riflette la funzione di distribuzione dell'insieme statistico in forma compattata;

2) le somme statistiche sono moltiplicative: se si possono distinguere diversi sottosistemi che interagiscono debolmente in un sistema complesso, allora la somma statistica di un sistema può essere rappresentata come un prodotto delle somme statistiche dei suoi sottosistemi;

Q = Q 1 Q 2 … Q n

3) tutte le principali caratteristiche termodinamiche del sistema possono essere espresse attraverso la somma statistica:

energia gratisF = – kT ln Q

Energia internatu= (kT) 2 D(ln Q) /D (kT)

entropia S = K  D (kT ln Q) / D (kT)

che consente di calcolare queste caratteristiche macroscopiche di una sostanza sulla base di informazioni sulla struttura delle sue molecole e sulle condizioni esterne (temperatura, ecc.).

Da un punto di vista formale, la funzione di partizione svolge il ruolo di fattore di normalizzazione nel calcolo delle probabilità nel modello di insieme canonico:

P(E io) = (1 / Q) esp (- E io/ ), dove Q = 

A differenza delle probabilità P(E io), il valore della somma statistica Q stessa dipende dalla scala energetica utilizzata. Pertanto, quando si calcola, è necessario utilizzare lo speciale scala statistica , in cui la tacca di zero coincide con il livello energetico più basso disponibile per il sistema in esame. In altre parole, i calcoli statistici non dovrebbero tenere conto del cosiddetto. "energia zero" E o, che caratterizza tutti i relativi sistemi. Tale energia non può partecipare allo scambio termico con l'ambiente (termostato) e quindi non contribuisce in alcun modo al comportamento statistico dell'impianto termostatato. Pertanto, quando si calcolano le somme statistiche, si dovrebbero utilizzare non i valori di energia forniti dai modelli della meccanica quantistica (scatola del potenziale, oscillatore, ecc.), ma i valori corretti:

E statistica = E pelliccia - E oh

Ad esempio, il modello di un potenziale box unidimensionale porta a valori energetici ammissibili espressi dalla nota formula:

E n= ( 2  2/2 ml)  n 2 , dove n = 1, 2, …

Su scala statistica, questa espressione assume una forma diversa:

(E n) statistica = E n – E 1 = ( 2  2/2 ml)  (n 2 – 1)

Poiché nella scala statistica il primo valore energetico ammissibile è zero, il primo esponente della somma è sempre uguale a uno e la formula per calcolare la somma statistica assume la forma:

Q = 1 + 

dove la somma dovrebbe iniziare con io= 2.

Quindi, in particolare, ne consegue che i possibili valori numerici della somma statistica giacciono sempre nell'intervallo: 1< Q<, причем равенствоQ= 1 наблюдается для чисто механических систем, изолированных от окружающей среды, для которых энергия может иметь единственное допустимое значение (в статистической шкале оно будет равно нулю)

La probabilità per il livello energetico più basso (primo) sarà espressa dalla formula:

P 1 = 1 / Q = n 1 /n

e la somma statistica può essere definita come il rapporto tra il numero di tutti i sistemi dell'insieme ( n) al numero di sistemi in uno stato energetico non eccitato ( n 1):

Q = n /n 1

In altre parole, se nessuno dei sistemi dell'insieme è eccitato (non c'è contatto con il termostato) allora Q = 1. Più i sistemi dell'insieme passano in stati eccitati, più grande diventa la funzione di partizione. Possiamo dire che la somma statistica è una misura del grado di influenza di un termostato sulle proprietà di un sistema termostatato (una misura di "statistica").

Consideriamo alcuni esempi di utilizzo di somme statistiche come caratteristiche dei sistemi statistici.