Leonyid Kantorovich, Tjalling Koopmans öröksége: az optimális erőforrás-allokáció elmélete. L. V. Kantorovics. Erőforrások hatékony felhasználásának fejlesztése, optimalizálási feladatok megoldása Az erőforrások optimális allokációjának elmélete

Méret: px

Kezdje a megjelenítést az oldalról:

Átirat

1 A cikk lenyomata: A közgazdasági Nobel-díjasok hagyatéka: Shestakova A.A., Zabrodova O.S. Leonid Kantorovich öröksége, Tjalling Koopmans: az optimális erőforrás-allokáció elmélete // A közgazdasági Nobel-díjasok öröksége: cikkgyűjtemény. Művészet. III Összoroszország. tudományos-gyakorlati konf. fiatal. tanult. - Samara, Leonid Kantorovich öröksége, Tjalling Koopmans: az erőforrások optimális elosztásának elmélete 2016 Shestakova Aleksandra Aleksandrovna diák Zabrodova Olesya Sergeevna diák 2016 Ufimtseva Ljudmila Ivanovna docens, Samach modell 2016 Modellje Szamacs modell Leírás A Bezglasnaya Egyetem közgazdásza 2016 Elena Pro Aleksefe Alekszejev A "cég tevékenységének elemzése" Koopmans, a lineáris programozás gyakorlati alkalmazását, a Kantorovich-féle erőforrások allokációjának optimalizálásának módszerét egy hasonló probléma példáján szemlélteti, grafikus, matematikai és szimplex módszerrel. Kulcsszavak: L.V. Kantorovich, T. Ch. Koopmans, Nobel-díj, erőforrás-allokáció optimalizálás, lineáris programozás. Örökség Leonid Kantorovich, Tjalling Koopmans: az erőforrások optimális elosztásának elmélete 2016 Shestakova Aleksandra Aleksandrovna diák Zabrodova Olesya Sergeevna diák 2016 Ufimtseva Ljudmila Ivanovna 2016 a Bezglasnaya Elena Alekseevna Szamarai Állami Közgazdaságtudományi Egyetem programelemzése A Kanáringovi Állami Közgazdaságtudományi Egyetem modelljének leírása és a vállalati tevékenység elemzése Az erőforrás-allokáció Kantorovich általi optimalizálásának módszerét egy hasonló probléma példáján vizsgáljuk, grafikus, matematikai módszerrel és szimplex algoritmussal.

2 Kulcsszavak: L.V. Kantorovich, Tjalling Koopmans, Nobel-díj, az erőforrások elosztásának optimalizálása, lineáris programozás. Egészen a XX. a tudósok-közgazdászok nem fordítottak kellő figyelmet a matematikai módszerekre, mint a gazdasági tevékenység makro- és mikroszintű problémamegoldóira. Mindazonáltal szoros kapcsolat van e tudományok között, amelyet kiváló tudósok mutattak be. Az egyikük L.V. Kantorovich és T.Ch. Koopmans szovjet és amerikai közgazdászok-matematikusok, akik munkájuk eredményeként 1975-ben Nobel-díjat kaptak "az erőforrások optimális elosztásának elméletéhez való hozzájárulásukért". Modell L.V. Kantorovich, Szovjetunió. L.V. Kantorovich a legfontosabb és leggyakrabban használt optimalizálási módszer - a lineáris programozás - egyik alapítója lett. 1937-ben L. Kantorovich azt a feladatot kapta, hogy válassza ki a legjobb gyártási programot a rétegelt lemez tröszt számára a hámozógépek betöltésére. Ebben az esetben ismert az egyes termékek előállításához felhasználható gépek száma, valamint a terméket alkotó alkatrészek száma. A műszaki együtthatók azt mutatják meg, hogy az egyes alkatrészekből hány darabot tud a gép naponta előállítani. Más szóval, Kantorovichnak egy konkrét műszaki és gazdasági problémát kellett megoldania a célfüggvénnyel, hogy maximalizálja a késztermékek kibocsátását. Így a tudós a problémák egy teljesen új osztályának tipikus képviselőjével szembesült, amelyhez a legjobb gyártási terv megtalálásának kérdése vezet. Elgondolását, amely később az optimális erőforrás-allokáció elméletének alapja lett, és a lineáris programozás felfedezését jelölte meg, Kantorovich "A szervezés és termeléstervezés matematikai módszerei" (1939) című munkájában vázolta fel. Ebben mutatta be először a professzor, hogy a különböző termelési problémák egy-egy optimalizálási problémaként megfogalmazhatók, és megoldásukra általános megközelítést javasolt, iterációs módszerrel. A probléma megoldására Kantorovich bevezetett egy változót, amelyet az összes gép által előállított termékek értékeinek összege formájában kell maximalizálni. A korlátokat egyenletek formájában határozták meg, amelyek a termelésben részt vevő összes tényező és az egyes gépeken előállított kibocsátás mennyisége közötti kapcsolatot állapítják meg. A termelési tényezők mutatóihoz együtthatókat vezettek be, úgynevezett "döntő tényezőket" (a továbbiakban objektíven meghatározott becslések). Segítségükkel a feladat megoldása folyik. Az objektíven meghatározott becslések a Kantorovich-módszer kulcspontja. A klasszikus szélsőségmeghatározási problémákban a Lagrange-szorzókhoz hasonló értelmezéshez kapcsolódnak, a közgazdasági lényeg pedig abban rejlik, hogy korlátozó tényezők határköltségei. Vagyis ezek az egyes termelési tényezők objektív árai a versenypiac feltételeihez viszonyítva. Ezenkívül ezek a becslések nem önkényesek, értékeiket objektíven határozzák meg, a probléma sajátos körülményei határozzák meg. Így egy olyan felfedezés született, amely lehetővé teszi a termelés optimalizálását, lehetővé válik a termelési ágazatok tevékenységeinek decentralizált kezelése, amelyek technológiai felépítése lineáris függőségek (egyenletek és egyenlőtlenségek) segítségével írható le. "A tevékenység elemzése" T.Ch. Koopmans, USA. Valamivel később Kantorovich, Koopmans a "Különböző útvonalak teherforgalma közötti összefüggés" (1942) című munkájában a kereskedelmi és kereskedelmi terv kidolgozásának problémáját vizsgálta.

3 A közgazdasági Nobel-díjasok öröksége: tengeri navigáció minimális tengeralattjáró torpedóképességgel. Arra a következtetésre jutott, hogy a problémát lineáris maximalizálási függvénynek kell tekinteni, számos korláton belül. A tudós pedig matematikai egyenletekkel mutatta be a korlátokat, amelyek a termelési tényezők számának (hajók értékcsökkenése, idő, munkaerőköltség) és a különböző célállomásokra szállított rakomány mennyiségének arányát fejezik ki. Ugyanakkor a költségek teljes összege nem haladhatja meg az egyes kikötőkbe szállított áruk költségének összegét. Koopmans arra a következtetésre jutott, hogy a lineáris programozási elv lényege a költségek és a termelési eredmények optimális esetben az ideális erőforrásbecslés szempontjából való egybeesésében rejlik. Koopmans módszere, amelyet "Firm Analysisnek" neveztek, bekerült a lineáris programozás általános módszertanába. Az ilyen típusú modellek abban különböznek a lineáris modellektől, hogy a bennük való gyártás több áru kiadásához köthető. Lehetőség van terméktípusonként különböző gyártási technológiák közül is választani. Fontos, hogy a modell alkalmazása mind a közgazdaságtanban, mind a vezetési gyakorlatban lehetséges legyen. Ez annak köszönhető, hogy a kapott egyenletek felhasználásával egy ideális piacon felmerülő költségekkel egyenlő együtthatót határoztak meg. Koopmans modellje nemcsak a központi tervezők számára jelent nagy értéket, hanem minden olyan decentralizált termelési folyamatban is, ahol az erőforrások korlátai között kell cselekedni. A költségek árának feltételeit a központi hatóságok határozhatják meg, a legjobb utak kiválasztását pedig a helyi vezetőkre bízzák. A cégen belül az „aktivitáselemzés” módszer teszi lehetővé a munka leghatékonyabb megszervezését. A lineáris programozási módszer hatékonysága A módszer validitásának értékeléséhez egy, a Kantorovich által felvetetthez hasonló gazdasági problémát vettünk figyelembe. Tegyük fel, hogy egy cég fűrészárut és rétegelt lemezt gyárt. Előállításukhoz termelési egységenként luc- és fenyőfát használnak fel. 1. táblázat - Nyersanyag értékesítésből származó bevételek és készletek fa fűrészáru fogyasztás egységnyi termékre Nyersanyag készletek fűrészáru rétegelt lemez luc fenyő termékek mennyisége termelési egységre jutó bevétel Készítsünk egy tervet a fűrészáru és rétegelt lemez előállítására, amely meghozza a legnagyobb haszon: Legyen a termelési terv - fűrészáru, - rétegelt lemez. Ekkor a profit: Z (x) = max. Megállapítjuk a nyersanyagkészletekre vonatkozó korlátozásokat:;

4 Tekintsük a problémát grafikusan: a kényszerrendszer megoldásainak D-tartománya; ; a Z (x) = c szint egyenesei merőlegesen futnak a c vektorra, és ezeken az egyeneseken egyenlő a nyereség értéke. Ha a szintvonal a c vektor irányába mozdul el, a profitérték növekszik, és a legnagyobb érték az M pontban lesz. Az M pont az egyenesek metszéspontja. Tehát 20 m fűrészáru és 1200 m fűrészáru előállítása esetén a maximális profit. furnér. Ha két terméket vizsgálunk, a módszer egyszerű, és könnyen ábrázolható grafikon formájában. De alkalmazható magasabb rendű problémák megoldására is, amelyek három vagy több termék figyelembevételével járnak. Ezekben az esetekben nem tudunk grafikus megoldást alkalmazni, hanem Kantorovich kidolgozott egy algoritmikust, aminek segítségével szukcessziós közelítéssel - a szimplex módszerrel - kaphatunk megoldásokat. Hasonló problémák megoldhatók szimplex módszerrel számítógépes programok segítségével. Probléma megoldása Microsoft Office Excel táblázatszerkesztővel: Így lineáris programozással sikerült megtalálni az optimális megoldást. Ez a vállalkozás jól beillesztheti a kapott értékeket a rétegelt lemez és fűrészáru előállítására irányuló termelési tevékenységek megszervezésének tervébe. A fentiekből az következik, hogy Kantorovich és Koopmans tevékenységének köszönhetően nemcsak a matematikusok, hanem a közgazdászok is új, meglehetősen univerzális, kényelmes és szükséges szakaszt szereztek - a lineáris programozást, és ezáltal az optimalizálási módszerek alapjait. A lineáris programozás feltalálása segít megoldani a közgazdaságtan fő problémáját - a korlátozott erőforrások optimális elosztását. A fenti modellek lineáris programozást alkalmazva többféle megoldás közül választhatnak egy ilyen opciót, amely maximalizálja a kimenetet, és nem

5 A közgazdasági Nobel-díjasok öröksége: csak vállalati szinten, de makrogazdasági szinten is. Hiszen a módszer alkalmazási köre széles és változatos - az alapanyagok és anyagok ésszerű felhasználásának feladataiban; a szállítás optimális megszervezése; a vállalkozások elhelyezkedésének optimalizálása; számos gyártási folyamat hatékony tervezése stb. Ezenkívül a lineáris programozás szilárd alapjává vált sok más módszer megjelenésének, amelyek lehetővé teszik, hogy megtalálja az optimumot bármilyen bonyolultságú, bármilyen kényszerrendszer előállításához. Felhasznált irodalom 1. A XX. század Nobel-díjasai. Szerző - Vasina L.L., 2001 2. Közgazdasági és matematikai módszerek és modellek. Probléma könyv. Szerzők: R.I. Gorbunova R.I., Makarov S.I., Ufimtseva L.I., 2008 3. Johansen L., "L. V. Kantorovich hozzájárulása a közgazdaságtudományhoz", 1976. 4. Kantorovich L. V., "Az erőforrások legjobb felhasználásának gazdasági számítása", 1959. MV, Dovbenko 5. Osik Yu. I., "Modern gazdasági elméletek a Nobelisták munkáiban", Moszkva, 2011

A VÁLLALAT KERESKEDELMI TEVÉKENYSÉGÉNEK FENNTARTHATÓSÁGÁNAK ELEMZÉSE Nina Adamovna Degtyareva, Ph.D. Tanulmány a

SZÖVETSÉGI VASÚTI KÖZLEKEDÉSI ÜGYNÖKSÉG SZÖVETSÉGI ÁLLAMI OKTATÁSI INTÉZMÉNY SZAKMAI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY "MOSZKVA ÁLLAMI KOMMUNIKÁCIÓS MÓDOK EGYETEME"

Knyazeva A., Lykova N. P. GOU VPO "Orosz Állami Bölcsészettudományi Egyetem" Szamarai fióktelepe NYILATKOZAT A LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI PROBLÉMÁKRÓL ÉS MEGOLDÁSUK MS EXCEL-lel

SZÖVETSÉGI VASÚTI KÖZLEKEDÉSI ÜGYNÖKSÉG SZÖVETSÉGI ÁLLAMI KÖLTSÉGVETÉSI SZAKMAI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY "MOSZKVA ÁLLAMI SZOCIÁLIS UTAK EGYETEME

Borisova M.V., Nedopyokina K.I. Lineáris programozási eljárások számítógépes megvalósítása // Pedagógiai Ötletek Akadémia "Nováció". Sorozat: Hallgatói Tudományos Értesítő. 2019.3 (március). ART 195-el. 0.2

SWorld – 2012. október 2-12. http://www.sworld.com.ua/index.php/ru/conference/the-content-of-conferences/archives-of-individual-conferences/oct-2012 TUDOMÁNYOS KUTATÁSOK ÉS EZEK PRAKTIKUS ALKALMAZÁS.

Feladat. Grafikus megoldása ma F Keresse meg az egyenlőtlenséget meghatározó egyenesek metszéspontjait! Ezért a Metszéspont nem tartozik a területhez. Építsük meg a megvalósítható megoldások tartományát. Szerkessze meg az irányvektort

Optimalizálási problémák. Koltsov S.N. 2014 www.linis.ru Lineáris programozási problémák Optimális tervezési problémák, amelyek egy adott célfüggvény (lineáris forma) optimumának megtalálásához kapcsolódnak

5. Módszertani útmutató a gyakorlati képzésre való felkészítéshez az "Optimális döntések módszerei" tudományág tanulmányozásában Felkészítés iránya 080100.62 "Közgazdaságtan" Profil "Gazdaság és befektetésmenedzsment"

Szövetségi Oktatási Ügynökség NOVOSIBIRSK ÁLLAMI GAZDASÁGI ÉS IRÁNYÍTÁSI EGYETEM - "NINH" Reg. 24-0 / 02 Felsőmatematika Tanszék MÓDSZERTANI UTASÍTÁSOK AZ ELLENŐRZÉSI MUNKÁK VÉGREHAJTÁSÁHOZ

MATEMATIKAI MODELLEZÉS A SIMPLEX MÓDSZER SEGÍTSÉGÉVEL A "SHOKOLADNITSA" PÉKÜZET PÉLDÁJÁN IR Kirnozova Sztavropoli Állami Agráregyetem, Sztavropol, Oroszország MATEMATIKAI

Az optimális döntések módszerei Ellenőrző munka 1. Feladat. A vállalkozás két típusú (A és B) terméket állít elő, három típus (első, második és harmadik) erőforrásait felhasználva ezen termékek gyártása során.

Matematikai programozás Minden ember nap mint nap, nem mindig tudatosítva, korlátozott források ráfordításával oldja meg a legnagyobb hatás elérésének problémáját. A legnagyobb hatás elérése érdekében

MOSZKVA VÁROS OKTATÁSI OSZTÁLYA ÁLLAMI KÖLTSÉGVETÉSI SZAKMAI OKTATÁSI INTÉZMÉNY MOSZKVA VÁROS "POLITECHNIKAI FŐISKOLA 50" Grafikus módszer lineáris programozási problémák megoldására

MPRA München Személyes RePEc Archívum Az analitikai geometria eszközeinek használata a termelési függvény szélsőségének keresésére Natalia Aleksenko és Nadezhda Il ina és Victoriya Motrich Financial University

A két változó függvények szélsőséges elméletének közgazdasági alkalmazásai Lyalikova ER Ljalikova Elena Reomirovna - a fizikai és matematikai tudományok kandidátusa, egyetemi docens, Matematikai Tanszék

Lineáris programozás feladatának megoldása grafikus módszerrel, szimplex módszerrel és az Ecel FELADAT "Megoldás keresése" segítségével. A vállalkozás kétféle terméket gyárt: terméket és terméket. Egy egység gyártásához

Lineáris programozási problémák megoldására Arseniy Mamoshkin SPbSU ITMO Department of CT 2010 Mamoshkin AM (SPbGU ITMO CT) http://rain.ifmo.ru/cat 1/28 Tartalom Problémafelvetés 1. Megfogalmazás

Operations Research in Economics KÉPZÉSI ÚTMUTATÓ 2. kiadás, átdolgozva és bővítve Szerkesztette: Í. professzor. Ø. Az Orosz Föderáció Oktatási Minisztériuma által tankönyvként ajánlott idő

Az Orosz Föderáció Oktatási és Tudományos Minisztériuma NOVOSIBIRSKI ÁLLAMI GAZDASÁGI ÉS GAZDASÁGI EGYETEM "NINH" Reg. 754-16 / 02 Statisztikai Osztály MÓDSZERTANI ÚTMUTATÓ AZ ÖNÁLLÓ SZERVEZÉSÉHEZ

5. LEHETŐSÉG A különféle A, B, C termékek gyártásához a vállalat különféle típusú alapanyagokat használ. A táblázat adatainak felhasználásával: Nyersanyag típusa Nyersanyag felhasználás mértéke Nyersanyag mennyisége А В С I II III 18 6 5 15 4 12 8 540

Az Orosz Föderáció Oktatási és Tudományos Minisztériuma Szövetségi Állami Költségvetési Szakmai Felsőoktatási Intézmény Uráli Állami Erdészeti Egyetem Tanszék

Operációkutatás Definíció A művelet egy bizonyos cél elérését célzó, több lehetőséget és azok irányítását lehetővé tévő tevékenység Definíció Az operációkutatás matematikai halmaza

A HAZAI GAZDASÁGI-MATEMATIKAI ÉS STATISZTIKAI MODELLEZÉS ISKOLA TÖRTÉNETÉBŐL 1. Kialakulás A matematikai módszerek alkalmazása a hazai gazdaságkutatásban kialakult hagyomány.

Lineáris gyártási feladat. Egy vállalkozás négyféle terméket tud előállítani háromféle erőforrás felhasználásával. Az A ismert technológiai mátrix 7 8 erőforrásba kerül egy egység előállításához

A DÖNTÉSTÁMOGATÓ FUNKCIÓ LABORATÓRIUMI MUNKÁJA EXCEL FUNKCIÓKÉNT Parancs Paraméterválasztás Feladat 1. Tekintsünk egy feladatot az NPV függvény használatának feladatán alapulóan! Te kérdezted

Tokarev K.S. A lineáris programozás eredeti és kettős problémáinak megoldásai közötti kapcsolat grafikus értelmezése // Pedagógiai Ötletek Akadémia "Nováció". Sorozat: Hallgatói Tudományos Értesítő. 2018.

Az optimális gyártási program meghatározásának dinamikus problémája Mishchenko A.V., Dzhamay E.V. A modern, dinamikusan változó gazdaságban progresszív változások az ország nemzetgazdasági komplexumában

Gyakorlati munka 8 Lineáris programozási feladatok megoldása grafikus módszerrel. Munka célja: Lineáris programozási feladatok grafikus módszerrel történő megoldásának elsajátítása. A munka tartalma: Alapfogalmak.

1 UDC: 004.032: 633/635 A SZÁLLÍTÁS OPTIMALIZÁLÁSA AUTOMATIZÁLT INFORMÁCIÓS RENDSZER HASZNÁLATÁVAL A SZÁLLÍTÁSI FELADATOK VIZUÁLIS MEGOLDÁSÁHOZ Zamotaylova Daria Aleksandrovna diák, Burda Aleksey Grigorievich

3. témakör: 2. SZÁLLÍTÁSI PROBLÉMA A 3. témakör "Közlekedési probléma" terve: 3 .. Probléma megfogalmazása, alapfogalmak 3.2. Zárt és nyitott szállítási probléma 3.3. Északnyugati sarok módszer 3.4. Potenciális módszer

Salnikova N.I., a közgazdasági tudományok kandidátusa, egyetemi docens, a KFU Közgazdaságtudományi és Gazdálkodási Intézet Gazdaságelméleti Tanszékének docense V.I. Vernadsky Oroszország, Szimferopol HATÉKONYSÁG ÉS FELHASZNÁLÁSA HAZAI ÉS NYUGATI SZÁMÁRA

Egy probléma megoldása a „Döntéshozatal elmélete” témakörben. Az „X” cég háromféle vegyszert gyárt. Az elkövetkező hónapban a cég háromféle vegyszerre a következő mennyiségben kapott szerződést: Egy típus

A FOGYASZTÓ VÁLASZTÁSÁNAK ELEMZÉSE A HASZNOSSÁG LOGARITMIKUS FUNKCIÓJÁNAK PÉLDÁJÁVAL Logunova Yu.A. Szamarai Állami Közgazdaságtudományi Egyetem Samara, Oroszország A FOGYASZTÓI VÁLASZTÁS ELEMZÉSE A PÉLDÁVAL

Feladat: Készítse el a feladat matematikai megfogalmazását, és grafikusan keresse meg az optimális megoldást. 2. lehetőség. Az egyetem tantermeit és laboratóriumait legfeljebb 5000 hallgató befogadására tervezték. Az egyetem

SZÖVETSÉGI VASÚTI KÖZLEKEDÉSI ÜGYNÖKSÉG SZÖVETSÉGI ÁLLAMI KÖLTSÉGVETÉSI OKTATÁSI INTÉZMÉNY SZAKMAI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY MOSZKVA ÁLLAMI KOMMUNIKÁCIÓS UTAK EGYETEME

VILÁGGAZDASÁGI ÉS INFORMÁCIÓS INTÉZET NEM ÁLLAMI SZAKMAI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY Közgazdasági és matematikai módszerek és modellek. MOSZKVA - 00 Gyakorlati feladatok

UDC 330.46 A WolframAlpha alkalmazott képességei lineáris programozási problémák megoldására Szokolov Arsentiy Borisovich Orosz Közgazdaságtudományi Egyetem. G.V. Plekhanova mesterszakos hallgató Tudományos tanácsadó:

Ábrák elemző meghatározása síkon. Optimalizálási feladatok Az A 0 (x 0, y 0) pontban középpontos és R sugarú kört az (x-x 0) 2 + (y-y 0) 2 = R 2 egyenlet adja meg. Az e kör által határolt kör,

A NEMZETI KUTATÓEGYETEM "KÖZGAZDASÁGI FŐISKOLA" SZENTPÉTERVÁRI FIZETE Matematika Tanszék N. P. Anisimova, E. A. Vanina LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Oktatási segédlet

UDC 519.852: 330.4 Kurysheva A.S. a "Gazdasági biztonság" szak hallgatója, Közgazdaságtudományi Intézet, Nemzeti Kutató Egyetem "BelSU", Oroszország, Belgorod Zueva E.O. a "Gazdasági biztonság" szak hallgatója,

0 (75) 0 Gazdasági és matematikai modellezés UDC 59.853.3 SZÁMOS GAZDASÁGI PROBLÉMA MEGOLDÁSA BÜNTETÉSI FUNKCIÓK MÓDJÁNAK ALGORITMUSÁVAL A MATISZIKAI SEGÉDFUNKCIÓK HIÁNYOS MINIMALIZÁLÁSÁVAL, a fizikatikai és a fizikális segédfunkciók dokumenciaminimalizálásával.

2. fejezet Lineáris programozás A lineáris programozás során több változó lineáris függvényének szélsőséges problémáit tanulmányozzuk olyan megszorítások mellett, mint az egyenlőségek és egyenlőtlenségek, amelyeket szintén a lineáris definiál.

A VÁLLALKOZÁS LOGISZTIKAI KÖLTSÉGEI OPTIMALIZÁLÁSÁNAK MÓDSZEREI Abramkina T.N. Samara Állami Közgazdaságtudományi Egyetem Samara, Oroszország A VÁLLALKOZÁSI LOGISZTIKAI KÖLTSÉGEK OPTIMALIZÁLÁSI MÓDSZEREI Abramkina T. Samara

Kettős problémák Tartalom A probléma közgazdasági értelmezése, az erőforrások felhasználásának kettős problémája 2 A lineáris programozás kölcsönösen duális problémái és tulajdonságaik 5 Dualitástételek

Feladat. (szükséges a grafikus módszer megoldása) Keresse meg az L = 4 + y célfüggvény maximumát az alábbi megszorítások mellett: Oldja meg a feladatot a járulékos feltétel mellett (DE): DE: Keresse meg az L = - célfüggvény minimumát y at

UDC 00.57: 004.94 M.B. Kotlyarevsky a fizikai és matematikai tudományok doktora, professzor P.V. Zakharchenko a műszaki tudományok kandidátusa, egyetemi docens, Vezetési és Információs Technológiai Akadémia "ARIU", Berdyansk

UDC 5: 378 A "MŰVELETEK KUTATÁSA" TÁJÉKOZTATÁS TÁJÉKOZTATÁSA MODELLMŰVELETEK ALKALMAZÁSA ALAPJÁN G Getmanov A műszaki tudományok doktora, egyetemi tanár az Informatikai és Alkalmazott Matematika Tanszék professzora e-ml:

fejezet Több változó függvényének szélsőértéke Két változó függvényének lokális szélsőértéke Feltételes szélsőérték A z f) függvénynek van egy maximum minimuma) az M pontban, ha a pontnak ilyen szomszédsága található

1. 2 A FEGYELMEZÉS FEJLESZTÉSÉNEK CÉLJAI 1.1. A diszciplína elsajátításának céljai: megismertetni a hallgatókkal a közgazdaságtan különböző matematikai modelljeit, mint az input-output egyensúly modell, a gazdasági modell

A potenciális módszerrel megoldott klasszikus közlekedési probléma Lozgachev I. A., Korepanov M. Yu., Students. FSBEI HPE "Ural State Mining University" Jekatyerinburg, Oroszország A klasszikus közlekedés

Témakör: Simplex módszer lineáris programozási feladat megoldására A fő lineáris programozási feladat általános matematikai megfogalmazása: adott m lineáris egyenletrendszer n ismeretlennel a11x1 a12

Lomonoszov Moszkvai Állami Egyetem MOSZKVA GAZDASÁGI ISKOLA FEGYELMEZTETÉS MUNKAPROGRAMJA "Az optimális döntések módszerei" Irány 08000 Közgazdaságtan a bachelor hallgatók felkészítésére

LABORATÓRIUMI MUNKÁK 1 LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI PROBLÉMÁK MEGOLDÁSA Microsoft Excel és Mathcad HASZNÁLATÁVAL A MUNKA CÉLJA Lineáris programozási (LP) feladatok táblázatkezelőben történő megoldásában való ismeretek elsajátítása.

Gyakorlati munka "Közgazdasági és matematikai módszerek és modellek" 2. lehetőség 1. feladat Grafikus megoldás. 150x + 70x max, 30x1 + 75x2 900, 3x1 + 2x2 30, x, x 0. Megoldás. Építsük meg a megvalósítható megoldások tartományát

XLI Hallgatói Nemzetközi Nemzetközi Tudományos és Gyakorlati Konferencia "Ifjúsági Tudományos Fórum: Társadalom- és Gazdaságtudományok" MS EXCEL MINT A GAZDASÁGI MODELLEZÉS ÉS A PROBLÉMÁK MEGOLDÁSÁNAK ESZKÖZE.

SZÖVETSÉGI OKTATÁSI ÜGYNÖKSÉG Állami felsőoktatási szakmai felsőoktatási intézmény "Pacific State University" Tanszék "Famegmunkálási technológia" MODELLEZÉS

Nemlineáris optimalizációs probléma. Koltsov S.N. 2014 www.linis.ru A kötetlen optimalizálás problémája Az optimalizálás problémáját a következőképpen fogalmazzuk meg: az X halmaz (a probléma megvalósítható halmaza) és a függvény adott

Gruk Ljubov Vlagyimirovna Állami költségvetési oktatási intézmény Szentpétervár Frunzenszkij kerületi 603. számú középiskola FUNKCIÓK ÉS MATEMATIKAI MODELLEK Funkcionális

Leonyid Vitalievics Kantorovics (1912.01.19., 1986.04.7.) Közgazdasági Nobel-díj 1975 (Tjalling Koopmansszal közösen) Leonyid Vitalievics Kantorovics orosz közgazdász-matematikus

2. előadás A lineáris programozás fő feladata. Minden lineáris programozási probléma lecsökkenthető egy szabványos formára, amelyben a célfüggvényt maximalizálni kell, és minden megszorítást

AZ OROSZ FÖDERÁCIÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUMA Izhevszki Állami Műszaki Egyetem CAD Tanszék MÓDSZERTANI UTASÍTÁSOK a "Rendszerelemzés" tudományág gyakorlati képzéséhez a témában

5. vizsgálati feladat A vállalkozás 1., 2., 3. típusú alapanyaggal rendelkezik Lehetőség van A és B típusú termékek készítésére A vállalkozásnál legyen b 1, b 2, b 3 db alapanyag készlet, ill. ,

SZÖVETSÉGI VASÚTI KÖZLEKEDÉSI ÜGYNÖKSÉG SZÖVETSÉGI ÁLLAMI KÖLTSÉGVETÉSI OKTATÁSI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY "MOSZKVA ÁLLAMI KOMMUNIKÁCIÓS MÓDOK EGYETEME KÖTELEZŐ

Lineáris programozás a termelésirányítási problémákban Számos irányítási, közgazdasági és termelésszervezési problémát oldanak meg a lineáris programozási módszerrel. Lineáris modell

"NAUKA- RASTUDENT.RU" Elektronikus tudományos és gyakorlati folyóirat Megjelenés ütemezése: havonta Nyelvek: orosz, angol, német, francia ISSN: 2311-8814 EL FS 77-57839 2014. április 25-től Terület

Feladattár a köztes ellenőrzéshez Teszt. A "Lineáris programozás" témakör - 3 elméleti kérdésből és 4 6 gyakorlati feladatból áll, amelyek készségeket és képességeket biztosítanak: matematikai összeállítás

Knyazeva A., Lykova N. P.

GOU VPO "Orosz Állami Bölcsészettudományi Egyetem"

Fióktelep Szamarában

lineáris programozási problémák és megoldásuk msexcel segítségével

A lineáris programozás születési idejét 1939-nek tekintik, amikor megjelent Leonyid Vitalievich Kantorovich "A termelés szervezésének és tervezésének matematikai módszerei" című brosúrája. Mivel az L. V. Kantorovich által leírt módszerek nem nagyon voltak alkalmasak a kézi számlálásra, és nagy sebességű számítógépek akkoriban nem léteztek, L. V. Kantorovich munkája szinte észrevétlen maradt.

A lineáris programozás az ötvenes évek elején, a számítógépek megjelenésével újjászületett. Aztán elkezdődött a lineáris programozás iránti általános lelkesedés, ami viszont a matematikai programozás más ágainak fejlődését idézte elő. 1975-ben L. V. Kantorovich akadémikus és T. Koopmans amerikai professzor kapta meg a közgazdasági Nobel-díjat "az elmélet fejlesztéséhez és a gazdaság erőforrásainak optimális felhasználásához való hozzájárulásukért".

Felismertük, hogy meg kell tanulni, hogyan kell megoldani a lineáris függvények extrémumainak megtalálását a lineáris egyenlőtlenségek által adott poliédereken. Koopmans javaslatára a matematikának ezt az ágát lineáris programozásnak nevezték.

A. Danzig amerikai matematikus 1947-ben egy nagyon hatékony konkrét módszert dolgozott ki lineáris programozási problémák numerikus megoldására (ezt szimplex módszernek nevezték). Öt-hat éven belül a lineáris programozás ötletei óriási elterjedtségre tettek szert az egész világon, Koopmans és Danzig neve pedig mindenhol széles körben ismertté vált.

A lineáris programozási problémákhoz tartoznak az optimális tervezési problémák, amelyek egy adott célfüggvény (lineáris forma) optimumának megtalálásához kötődnek lineáris egyenletek vagy lineáris egyenlőtlenségek formájában.

Lineáris programozás- a matematikai programozás legfejlettebb és legszélesebb körben használt része.

A lineáris programozási módszerekkel megoldott feladatok köre meglehetősen széles:

az erőforrások optimális felhasználásának problémája a termeléstervezésben;

a keverékek problémája (a termékek összetételének tervezése);

a különböző típusú termékek optimális kombinációjának megtalálásának problémája a raktári tároláshoz (készletkezelés vagy "hátizsák probléma");

szállítási feladatok (a vállalkozás helyének elemzése, árumozgás).

Bármely lineáris programozási probléma közgazdasági és matematikai modellje tartalmazza: egy célfüggvényt, melynek optimális értékét (maximumát vagy minimumát) meg kell találni; korlátozások lineáris egyenletrendszer vagy egyenlőtlenség formájában; a változók nem-negativitásának követelménye.

Általánosságban a modell a következőképpen van felírva:

objektív funkció: F (x) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + ... + cnxn → max (min) (1)

korlátozások:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n xn (≤ = ≥) b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n xn (≤ = ≥) b 2, (2)

a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn xn (≤ = ≥) b m;

nem negativitás követelmény: x j ≥ 0, j = 1, 2, ……, n (3)

Ezenkívül a ij, b i, c j (I = 1, 2,… .., m; j = 1, 2, ……, n) - adott állandók.

A feladat az (1) függvény optimális értékének megtalálása a (2) és (3) megszorítások függvényében.

A (2) kényszerrendszert ún a feladat funkcionális korlátai, és megszorítások (3) - egyenes.

A (2) és (3) feltételnek eleget tevő vektort egy lineáris programozási probléma megvalósítható megoldásának (tervének) nevezzük. Meghívásra kerül az a terv, amelyben az (1) függvény eléri a maximális (minimális) értékét optimális.

A lineáris programozási feladatok manuálisan is megoldhatók, pl. algebrailag és grafikusan, vagy MS Excel segítségével. Ez a program lehetővé teszi a lineáris programozási problémák gyors és egyszerű megoldását.

Elemezzük az ilyen problémák megoldását egy konkrét példával:

A szőrmefarmon fekete-barna rókák és sarki rókák tenyésztésére nyílik lehetőség. A normál növekedési feltételek biztosítása érdekében háromféle takarmányt használnak. A táblázatban látható az egyes fajok táplálékának napi mennyisége, amelyet a rókáknak és a sarki rókáknak meg kell kapniuk. Jelzi továbbá az egyes fajok összes takarmánymennyiségét, amelyet a prémesfarm felhasználhat, valamint egy róka és sarki rókabőr eladásából származó nyereséget.

A takarmány típusa	Napi mennyiségű takarmány konv. egységek	A takarmány teljes mennyisége, hagyományos mértékegységekben
A takarmány típusa



Nyereség egy bőr eladásából, dörzsölje.

Határozza meg, hány rókát és sarki rókát kell felnevelni a prémesfarmon, hogy maximalizálja a bőrük eladásából származó hasznot.

Írjunk egy matematikai modellt:

X db - róka, U db - sarki róka

16x + 12 év - max (1)

Ennek a problémának a megoldását analitikusan egy három egyenlőtlenségből álló rendszer (2-4) megoldására redukáljuk, az egyik változó értékét a másikon keresztül kifejezve, így kapjuk:

x  90 - 1,5 év

4 (90-1,5 év) + y  240

6 (90 - 1,5 év) + 7 év  426

x 1  54 x 2  4,5

év 1  24 év 2  57

ráadásul x 2 és y 2 nem elégíti ki a megoldást, hiszen az állatok száma nem lehet törtszám.

Ezért a célfüggvény egyenlő lesz: 1152

MS Excel használatával azonban sokkal egyszerűbb és gyorsabb a megoldás.

A probléma megoldásához MS Excelben létre kell hozni egy táblázatot a kezdeti adatokkal (1. ábra)

1. ábra - Táblázat a kiindulási adatokkal (termelésoptimalizálási feladat)

Ezután az MS Excel (= SUMPRODUCT) beépített függvényei segítségével vezessen be megszorításokat és egy célfüggvényt (2. ábra)

Rizs. 2 - korlátok és célfüggvény

Az összes korlátozás és a célfüggvény bevezetése után használja a beépített MS Excel programot Megoldás keresése(3. ábra), amely bemutatja a célfüggvényt, a megszorításokat és a változtatható sejteket (azaz ismeretlen változókat).

Rizs. 3 - Megoldás keresése

Mielőtt azonban folytatná a megoldást, a lapon is szükséges paramétereket megoldás keresése a kérdésre: lineáris modell, nem negatív értékek és automatikus skálázás (4. ábra)

Rizs. 4 - A megoldás keresésének paraméterei

Az összes kényszer és paraméter bevitele után megkapjuk a probléma kívánt megoldását (5. ábra)

Rizs. 5 - Összefoglaló táblázat, a kapott megoldással

A gyakorlatban sok gazdasági paraméter (termékek és nyersanyagok ára, nyersanyagkészletek, piaci kereslet, bérek stb.) idővel megváltoztatja értékét. Emiatt az LP-probléma egy adott gazdasági helyzetre adott optimális megoldása annak megváltoztatása után alkalmatlannak vagy szuboptimálisnak bizonyulhat. Ezzel kapcsolatban felmerül a probléma az LP probléma érzékenységének elemzésével, nevezetesen, hogy az eredeti modell paramétereinek esetleges változásai hogyan befolyásolják a korábban kapott optimális megoldást.

A kötési kényszerek áthaladnak az optimális ponton. A nem kötelező kényszerek nem mennek át az optimális ponton. A kötési kényszer által képviselt erőforrást szűkösnek, a nem kötelező megszorítás által képviselt erőforrást pedig nem szűkösnek nevezzük. Egy korlátot redundánsnak nevezünk, ha megszüntetése nem érinti a megvalósítható megoldások tartományát, és így az optimális megoldást.

Az érzékenységelemzés következő három feladatát különböztetjük meg.

1. Az erőforrások csökkentésének vagy növelésének elemzése:

1) mennyivel növelhető vagy csökkenthető a szűkös erőforrás készlete a CF optimális értékének javítása érdekében?

2) mennyivel csökkenthető vagy növelhető a nem szűkös erőforrás készlete a CF kapott optimális értékének megőrzése mellett?

2. Az erőforrások közül melyik a legjövedelmezőbb állomány növelése (csökkenése)?

3. A célegyütthatók változásának elemzése: mekkora a CF együtthatók változási tartománya, amelynél az optimális megoldás nem változik?

Az MS Excel segítségével jelentést készíthet az eredményekről, amely 3 táblázatból áll:

1 - Célsejt. Megjeleníti a célfüggvény kezdeti értékét és az optimálisat (eredményt).

2- Módosítható cellák. Ez tükrözi a változók kezdeti értékeit és a kapott (optimális) értéket. Ha a termék nem szerepel az optimális megoldásban (egyenlő 0), akkor nem minősül nyereségesnek.

3- Korlátozások. A megszorítás neve mellett a cella, amelybe a megszorítás bal oldali része be van írva, az oszlopok jelennek meg benne:

Az érték a megszorítás bal oldalának értéke az optimális tervvel. Azok. hogy valójában mennyit használnak fel az erőforrásból.

Képlet – korlátozó jelet jelenít meg (nagyobb vagy egyenlő, kisebb vagy egyenlő, stb.)

Állapot – Megjelenítve Kapcsolódó vagy nem kapcsolódó kényszer. Ha az állapot össze van kapcsolva, akkor az erőforrás teljes mértékben kihasználva van. Ha az állapot nincs összekapcsolva, akkor az erőforrás nincs teljesen kihasználva.

Különbség – megjelenik a fennmaradó fel nem használt erőforrás mennyisége.

És egy fenntarthatósági jelentés is, amely 2 táblázatból áll:

1 - változó cellák. A változók neve és a cellák címe mellett oszlopokat is tartalmaz:

Az így kapott érték az optimális terv.

Normalizált (csökkentett) költség - megmutatja, hogy a célfüggvény mennyit fog változni, miután a termék egy egységét kényszerített belefoglalták az optimális tervbe. Ha a termék nyereséges, akkor a standardizált költség 0 lesz.

Célegyüttható - a célfüggvény együtthatóinak értékei.

Megengedett növekedés, megengedett csökkenés - a célfüggvény együtthatói változásának határait mutatja, amelyeknél az optimális megoldásban szereplő változók halmaza megmarad.

2 - Korlátozások. A változók neve és a cellák címe mellett oszlopokat is tartalmaz:

Az eredményül kapott érték a kényszer bal oldalának értéke az optimális terv szerint. Azok. hogy valójában mennyit használnak fel az erőforrásból.

Árnyékár - a célfüggvény változása, amikor egy szűkös erőforrás 1 egységgel változik. A nem szűkös erőforrás árnyékára 0 lesz.

Korlátozás A jobb oldalon az erőforráskészlet található.

Engedélyezett növekedés, megengedett csökkentés - megmutatja, hogy mennyit változtathat a megszorítás jobb oldalán, amíg az nem érinti a célfüggvényt.

Az MS Excel használatának kényelme lineáris programozási problémák megoldására a következő:

egy tábla egyszeri elkészítése után csak a kezdeti adatok megváltoztatásával használható azonos típusú feladatokhoz;

a probléma megoldásához szükséges összes képlet már megtalálható az MS Excelben;

a probléma megoldása többször kevesebb időt vesz igénybe, mint a kézi megoldás;

a megoldás pontossága sokkal nagyobb, mint a manuálisé, és a hibák minimálisak.

A lineáris programozási feladatok MS Excel segítségével történő megoldásának egyetlen hátránya lehet: a teljes megoldás hiánya, pl. a megoldás keresése azonnal kész választ ad az összes számítás bemutatása nélkül, ami elvileg nem a probléma megoldásának célja.

Bibliográfia:

A. G. Trifonov. Példák optimalizálási feladatok megoldására // 2008

Popova N.V. Matematikai módszerek // M.: VTK. - 2005

Lykova N.P., Knyazeva A. A LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI PROBLÉMÁK NYILATKOZATA ÉS MEGOLDÁSUK MS EXCEL-lel // Tudományos Elektronikus Archívum.
URL: (elérés dátuma: 2019.12.26.).

Ukrajna Oktatási és Tudományos, Ifjúsági és Sportminisztériuma

Szevasztopoli Nemzeti Műszaki Egyetem

Közgazdaság- és Gazdálkodástudományi Kar

A témában: L.V. Kantorovich: A lineáris programozás elméletének fejlesztése

a "Közgazdaságtan és gazdasági gondolkodás története" tudományágban

Elkészült: Art. gr. MO-21

Kovaleva S.N.

Ellenőrizte: tanár

Kerez E.S.

Szevasztopol 2009

1. Leonyid Vitalievics Kantorovics

1 L.V. életrajza. Kantorovich

2 Hozzájárulás a tudományhoz

3 Tudományos munkák

A lineáris programozás kezdetei

Következtetés

Bevezetés

1. Leonyid Vitalievics Kantorovics

1L.V. életrajza Kantorovich

L. V. Kantorovich tudományos öröksége óriási. A funkcionális elemzés, a számítási matematika, az extrém problémák elmélete, a leíró függvényelmélet területén végzett kutatásai alapvetően befolyásolták e tudományágak kialakulását és fejlődését. L. V. Kantorovich joggal a modern gazdasági és matematikai irány egyik megalapozója.

LV Kantorovich több mint háromszáz tudományos munka szerzője, amelyeket munkáinak kommentált bibliográfiájának elkészítésekor maga javasolta, hogy a következő kilenc részre ossza fel: leíró függvényelmélet és halmazelmélet, konstruktív függvényelmélet, hozzávetőleges elemzési módszerek, funkcionális elemzés, funkcionális elemzés és alkalmazott matematika, lineáris programozás, számítástechnika és programozás, optimális tervezés és optimális árak, a tervgazdaság gazdasági problémái.

A kutatási területek ilyen lenyűgöző változatosságát nemcsak Kantorovich L. V. személyisége, hanem módszertani útmutatásai is egyesítik. Mindig hangsúlyozta a tudomány belső egységét, a matematika és a közgazdaságtan legkülönbözőbb elméleti és alkalmazott problémáinak megoldásához szükséges eszmék és módszerek egymásba hatását. Munkásságának másik jellegzetessége a matematika és közgazdaságtan akkori legnehezebb problémáival, legígéretesebb gondolataival való szoros kapcsolata.

Lehetetlen röviden kiemelni Leonyid Vitalievics munkáját. Ő maga két dolgot különböztetett meg a tudományban végzettektől: a lineáris programozást és a K-tereket.

3L.V. tudományos munkái Kantorovich

Tudományos munkák:

Az első tudományos eredményeket a függvények és halmazok leíró elméletében, és különösen a projektív halmazoknál kaptuk.<#"justify">Kantorovich matematika számítási leíró

2. A lineáris programozás eredete

A lineáris programozást emberek tízezrei tanulmányozzák szerte a világon. Ez a kifejezés a tudománynak a lineáris optimalizálási modelleknek szentelt kolosszális részét rejti. Más szóval, a lineáris programozás az elméleti és numerikus elemzés és problémák megoldásának tudománya, amelyben meg kell találni az optimális értékét, azaz maximumát vagy minimumát egy bizonyos mutatórendszernek, a viselkedésnek és állapotnak egy folyamatban. amelynek egyik vagy másik lineáris egyenlőtlenségi rendszere írja le.

A közgazdasági és matematikai kutatások területén az egyik legjelentősebb és legszembetűnőbb eredmény Leonyid Vitalievics Kantorovich (1912-1986) lineáris programozási módszerének felfedezése volt. A lineáris programozás lineáris egyenletek (elsőfokú egyenletek) megoldása programok írásával és azok szekvenciális megoldásának különféle módszereinek alkalmazásával, amelyek nagyban megkönnyítik a számításokat és a kívánt eredmények elérését. A lineáris programozást emberek tízezrei tanulmányozzák szerte a világon. Ez a kifejezés a tudománynak a lineáris optimalizálási modelleknek szentelt kolosszális részét rejti. Más szóval, a lineáris programozás az elméleti és numerikus elemzés és problémák megoldásának tudománya, amelyben meg kell találni az optimális értékét, azaz maximumát vagy minimumát egy bizonyos mutatórendszernek, a viselkedésnek és állapotnak egy folyamatban. amelynek egyik vagy másik lineáris egyenlőtlenségi rendszere írja le.

Magát a "lineáris programozás" kifejezést T. Koopmans amerikai közgazdász javasolta 1951-ben. A lineáris programozási módszer kidolgozásáért, vagy a Svéd Tudományos Akadémia oklevelében foglaltak szerint „az optimális erőforrás-elosztás elméletéhez való hozzájárulásáért L. V. Kantorovich közgazdasági Nobel-díjat kapott (1975). A díjat Tjalling Charles Koopmans amerikai közgazdászsal közösen ítélték oda, aki valamivel később Kantorovichtól függetlenül hasonló módszertant javasolt.

A lineáris programozás fejlesztése egy gyakorlati probléma megoldásának keresésével kezdődött. A rétegelt lemez tröszt mérnökei Kantorovichhoz fordultak azzal a kéréssel, hogy találjanak olyan hatékony módot az erőforrások elosztására, amely biztosítja a berendezés legmagasabb termelékenységét. A vállalkozás dolgozói azon törték a fejüket, hogy öt géppel és nyolcféle alapanyaggal miként lehet optimális lehetőséget biztosítani a rétegelt lemez gyártására. Más szóval, egy konkrét műszaki-gazdasági problémára kellett megoldást találni egy célfüggvénnyel ("funkcionális") a késztermékek kibocsátásának maximalizálása érdekében.

Kantorovich érdeme abban rejlik, hogy matematikai módszert javasolt az optimális lehetőség kiválasztására. A berendezések legracionálisabb terhelésének sajátos problémáját megoldva a tudós kifejlesztett egy módszert, az úgynevezett lineáris programozási módszert. Valójában a matematikának egy új, a gazdasági gyakorlatban elterjedt ágát nyitotta meg, amely hozzájárult az elektronikus számítógépek fejlesztéséhez és használatához.

Az optimális árak vagy "objektív becslések" automatikusan társítva vannak bármely lineáris program optimális tervéhez. Leonyid Vitalievics az utolsó nehézkes mondatot taktikai megfontolásokból választotta, hogy növelje a kifejezés "kritikus ellenállását". Az optimális megoldások és az optimális árak kölcsönös függése – ez L. V. Kantorovich gazdasági felfedezésének rövid lényege.

A rétegelt lemez gyártásának optimalizálásának problémájában Kantorovich egy olyan változót mutatott be, amelyet az összes gép által előállított termékek értékeinek összege formájában kell maximalizálni. A korlátozókat egyenletek formájában mutattuk be, amelyek a termelésbe fordított összes tényező (fa, ragasztó, villamos energia, munkaidő) és az egyes gépeken előállított termékek (rétegelt lemez) mennyisége közötti kapcsolatot állapítják meg.

A termelési tényezők mutatóihoz együtthatókat vezettek be, amelyeket feloldó tényezőknek vagy szorzóknak neveznek. Segítségükkel megoldódik a feladat. Ha ismertek a feloldó tényezők értékei, akkor a szükséges értékek, különösen az optimális kimeneti mennyiség viszonylag könnyen megtalálhatók.

Kantorovich alátámasztotta az általa javasolt együtthatók (feloldó tényezők) közgazdasági jelentését. Nem jelentenek mást, mint a korlátozó tényezők határértékeit. Más szóval, ezek az egyes termelési tényezők objektíven jelentős árai a versenypiaci feltételekhez képest.

Tegyük fel, hogy egy szállítási probléma megoldására van szükség, az áruáramlások legracionálisabb elosztásának alátámasztására. Például összesen 180 tonna rakományt kell három forrásból átadni három fogyasztónak, akiknek az összigénye is 180 tonna A nehézséget az jelenti, hogy a rakomány egyenetlenül oszlik el: az egyik szállítónál 50 tonna, a másiknál 60 tonna. , a harmadik 80 tonnás. ...

A fogyasztói kereslet is egyenlőtlen: 40, 85 és 55 tonna, a távolságok is egyenlőtlenek - az áruszállítás vállai - 1-6 km. A kihívás egy olyan szállítási terv elkészítése, amely megfelel a rakományforgalom minimalizálásának (minimális tonnakilométer szám) követelményének.

A mindennapi gyakorlatban a menedzserek monoton munkát végezhetnek a lehetséges lehetőségek hosszas felsorolása érdekében. Fokozatosan „áttérhetnek” a szállítási tervből, mondjuk a 750 t/km-ről a 655 t/km-es tervre. A keresés sok erőfeszítést, jelentős mennyiségű számítást igényel. A lényeg az, hogy nehéz megállapítani, hogy a javasolt lehetőségek közül melyik az optimális. Tegyük fel, hogy a terv egy változata megtalálható 575 t/km fuvarforgalommal.

De továbbra sem ismert, hogy van-e egy vagy több jövedelmező terv-lehetőség, amely kevesebb befektetést igényel.

Teljesen megoldhatatlanná válik a feladat, ha egy viszonylag egyszerű sémáról áttérünk egy vagy több termék (szén, cement, építőanyag) regionális vagy országos léptékű szállítási változatának elkészítésére. A kezdeti mutatók összesítése, a számítások és az opciók összehasonlítása még konszolidáció esetén is annyi műveletet igényel, amelyek végrehajtásához Ukrajna szinte teljes lakosságát be kell vonni.

A lineáris programozási módszer lehetővé teszi az optimális megoldás megtalálását. Lineárisnak nevezik, mert lineáris egyenletek megoldásán alapul. Ismeretlen bennük csak az első fokozat; nincs ismeretlen megszorozva egy másik ismeretlennel. Az ilyen egyenletek olyan függőségeket tükröznek, amelyek egyenes vonalakkal ábrázolhatók grafikonon.

Kissé eltérő célkritérium az étrend-problémában (takarmányadag). A feladat az állatállomány vagy baromfi takarmányozására szolgáló optimális étrend megtalálása. A takarmánypiaci árak folyamatos változása mellett a gazdálkodók minimális költséggel választják ki az optimális adagot, számítógépen végzik el a megfelelő számításokat.

A Kantorovich által javasolt módszer lényegét felvázoló munka először 1939-ben jelent meg „A termeléstervezés matematikai módszerei” címmel. Folytatva a kutatást, a tudós általános elméletet dolgoz ki az erőforrások ésszerű felhasználásáról.

A Nagy Honvédő Háború idején az ostromlott Leningrádi Tengerészeti Mérnöki Akadémia professzoraként Kantorovics a lineáris programozási módszerre támaszkodva támasztja alá a termelési és fogyasztói tényezők optimális elhelyezését. 1942-ben elkészítette "Az erőforrások legésszerűbb felhasználásának gazdaságos számítása" című könyvét, amely sajnos akkor még nem jelent meg.

Később megjelent egyik legnagyobb műve, "Az erőforrások legjobb felhasználásának gazdasági számítása" (1959). Ebben a könyvben – amint azt a Matematika Kutatásban és Tervezésben Alkalmazásával Foglalkozó Tudományos Tanács tagjai is megjegyezték – a szerző által korábban kidolgozott lineáris programozási elképzelések mélyreható elemzését mutatjuk be, és egyúttal a első alkalommal vetődik fel a nemzetgazdaság egészére vonatkozó optimális terv mint matematikai modell kidolgozásának problémája. Kantorovich kétségtelen érdeme a kettős becslések azonosítása lineáris programozási problémákban. Nem lehet egyszerre minimalizálni a költségeket és maximalizálni az eredményeket. Az egyik dolog ellentmond a másiknak. A két megközelítés azonban összefügg egymással. Ha mondjuk találunk egy optimális szállítási sémát, akkor annak egy bizonyos árrendszer felel meg. Ha az árak optimális értékeit megtaláljuk, akkor viszonylag könnyen lehet olyan szállítási sémát kapni, amely megfelel az optimálisság követelményének.

Bármely lineáris programozási probléma esetén létezik egy konjugált vagy kettős probléma. Ha a közvetlen feladat a célfüggvény minimalizálása, akkor a duális a maximalizálás.

A kettős értékelés elvileg nem csak az ár- és költségmutatók, hanem a hasznosság mérését is lehetővé teszi. Ugyanakkor a kettős, egymással összefüggő értékelések meghatározott feltételeknek felelnek meg. Ha a feltételek változnak, a becslések is változnak. Az optimum keresése bizonyos mértékig a társadalmilag szükséges költségek meghatározása, figyelembe véve egyrészt a munkaerő-, költségköltségeket, másrészt a társadalmi igényeket, a termék hasznosságát a fogyasztók számára.

Kantorovich és legközelebbi kollégái közvetlen részvételével - V.V. Novozhilov (a termék- és munkaegyensúly ötletének szerzője) és V.S. Nyemcsinov (aki a gazdaság működésének globális kritériumát támasztotta alá) megalakult a nemzeti közgazdasági és matematikai iskola.

Következtetés

Első pillantásra L. V. Kantorovich elméletei, ahogy ő maga is mondta, a tervgazdasághoz stb. De ez csak a dolog külső oldala. A lényeg a rejtett paraméterek (bérleti díj) figyelembe vétele, a korlátozások egységes megközelítése (a munka csak egy ezek közül), és mindaz, ami ebből következik, most már általánossá és szükségessé teszi a gazdasági alkalmazásait. Általánosságban elmondható, hogy Kantorovich nagy kísérletének fő eredménye az volt, hogy a gazdasági problémákat az akkori évek legmodernebb matematikai eszközeivel közelítette meg, és kreatívan alkalmazta. Ez nem jelenti azt, hogy következtetései ma maradéktalanul működni fognak, de azt mindenképpen, hogy ebből a szempontból L.V. Kantorovich volt talán az első, aki egy matematikus tehetsége radikálisan átalakította és átalakította a közgazdasági gondolkodást.

A felhasznált források listája

1. A közgazdasági doktrínák története: Tankönyv / Szerk. A.G. Khudokormova. - M .: Moszkvai Állami Egyetem Kiadója, 1994. - II. rész, Ch. harminc.

L. V. Kantorovics Az erőforrások legjobb felhasználásának gazdaságossági számítása. - M .: A Szovjetunió Tudományos Akadémia Kiadója, 1959.

V. F. Kapustin, G. V. Shabalin L.V. Kantorovich és a gazdasági és matematikai kutatás: eredmények, problémák, kilátások // Bulletin of St. Petersburg University. Ser. 5. Gazdaság. 1996. szám. 2.

Pesenti A. Esszék a kapitalizmus politikai gazdaságtanáról. 2 kötetben - M .: Haladás, 1976. II. kötet, ch. 14.

Shukhov N.S. Érték és érték. - M .: Szabványok Kiadója, 1994. - 2. rész, sz. 1, ch. nyolc.

Az élet jellemzői, a munka, a tudományhoz való hozzájárulás, a gazdasági és matematikai elméletek L.V. Kantorovich. A lineáris programozás történetének kezdeti szakaszának elemzése, egy új matematikai tevékenységi terület megjelenése a gazdasági alkalmazásokhoz kapcsolódóan.

Küldje el a jó munkát a tudásbázis egyszerű. Használja az alábbi űrlapot

Azok a hallgatók, végzős hallgatók, fiatal tudósok, akik tanulmányaikban és munkájuk során használják fel a tudásbázist, nagyon hálásak lesznek Önnek.

közzétett http://www.allbest.ru/

Az Orosz Föderáció Oktatási és Tudományos Minisztériuma

Szövetségi Állami Költségvetési Szakmai Felsőoktatási Intézmény

A Ryazan Állami Egyetem S.A. Yesenin

Teszt

tantárgyban: Gazdaságtudományok története

a témában: L.V. Kantorovich a lineáris programozás elméletének (az erőforrások optimális felhasználásának elmélete) megalapítója.

Teljesített:

N. V. Csernova

Rjazan 2014

Bevezetés

1.2 Hozzájárulás a tudományhoz

1.3 Tudományos munkák

Következtetés

A felhasznált források listája

Bevezetés

Ebben az esszében Leonyid Vitalievics Kantorovics, a huszadik század kiemelkedő tudósának tevékenységéről írok. Közgazdasági és matematikai elméleteinek elismeréséért vívott küzdelméről, a lineáris programozás történetének kezdeti szakaszáról, a gazdasági alkalmazásokhoz kapcsolódó matematikai tevékenység egy új területének megjelenéséről, amelyet ma műveletek kutatásának nevezünk. matematikai közgazdaságtan, ma gazdasági kibernetika stb. , helyéről és összefüggéseiről a modern matematikai tájjal.

1. Leonyid Vitalievics Kantorovics

1.1 L.V. életrajza Kantorovich

Leonyid Vitalievich Kantorovich (1912-1986) Szentpéterváron született egy orvos családjában. Kiemelkedő képességei korán megmutatkoztak - 14 évesen belépett a Leningrádi Állami Egyetemre. Miután 4 év alatt végzett a Leningrádi Állami Egyetemen, belépett a posztgraduális iskolába. 1932-ben egyetemi docens, 1935-ben pedig a Leningrádi Állami Egyetem professzora lett. 1935-ben disszertáció megvédése nélkül elnyerte a fizika-matematika doktora címet. 1958-ban a Szovjetunió Tudományos Akadémia levelező tagjává választották a közgazdaságtanból, 1964-ben pedig akadémikusnak. A lineáris programozás módszerének és a gazdasági modellek kidolgozásáért 1965-ben Lenin-díjjal jutalmazták V. Sz. Nyemcsinov akadémikussal és V. V. Novozsilov professzorral együtt. 1971-től Moszkvában, a Szovjetunió Tudományos és Technológiai Minisztertanácsa Állami Bizottságának Nemzetgazdasági Menedzsment Intézetében dolgozott. 1975 – Közgazdasági Nobel-díj (T. Koopmansszal „az optimális erőforrás-elosztás elméletéhez való hozzájárulásáért”). 1976 óta a VNIISI GKNT-nél és a Szovjetunió Tudományos Akadémiájánál, jelenleg az Orosz Tudományos Akadémia Rendszerelemző Intézetében dolgozott.

2 Lenin-renddel (1967, 1982), 3 Munka Vörös Zászló-renddel (1949, 1953, 1975), Honvédő Háború 1. fokozatával (1985), Becsületrenddel tüntették ki. (1944). A világ számos egyetemének díszdoktora.

1.2 Hozzájárulás a tudományhoz

L.V. tudományos öröksége Kantorovich óriási. A funkcionális elemzés, a számítási matematika, az extrém problémák elmélete, a leíró függvényelmélet területén végzett kutatásai alapvetően befolyásolták e tudományágak kialakulását és fejlődését. L.V. Kantorovich joggal a modern gazdasági és matematikai irány egyik megalapítója.

L.V. Kantorovich több mint háromszáz tudományos munka szerzője, melyeket munkáinak jegyzetekkel ellátott bibliográfiájának elkészítése közben ő maga javasolta a következő kilenc részre osztani: leíró függvényelmélet és halmazelmélet; konstruktív függvényelmélet; közelítő elemzési módszerek; funkcionális elemzés; funkcionális elemzés és alkalmazott matematika; lineáris programozás; Számítógépes technológia és programozás; optimális tervezés és optimális árak; a tervgazdaság gazdasági problémái.

A kutatási területek ilyen lenyűgöző változatosságát nemcsak L.V. személyisége egyesíti. Kantorovich, hanem módszertani útmutatásai szerint is. Mindig hangsúlyozta a tudomány belső egységét, a matematika és a közgazdaságtan legkülönbözőbb elméleti és alkalmazott problémáinak megoldásához szükséges eszmék és módszerek egymásba hatását. Munkásságának másik jellegzetessége a matematika és közgazdaságtan akkori legnehezebb problémáival, legígéretesebb gondolataival való szoros kapcsolata.

Röviden lehetetlen kiemelni Leonyid Vitalievics munkáját. Ő maga két dolgot különböztetett meg a tudományban végzettektől: a lineáris programozást és a K-tereket.

1.3 L.V. tudományos munkái Kantorovich

Tudományos munkák:

Az első tudományos eredményeket a függvények és halmazok leíró elméletében, és különösen a projektív halmazoknál kaptuk.

A funkcionális elemzésben bevezette és tanulmányozta a félig rendezett terek (K-terek) osztályát. Egy heurisztikus elvet terjesztett elő, amely szerint a K-terek elemei általánosított számok. Ezt az elvet az 1970-es években alapozták meg a matematikai logika keretei között. A Boole-értékű elemzés megállapította, hogy a Kantorovich-terek a valódi vonal új, nem szabványos modelljeit képviselik.

Először alkalmazták a funkcionális elemzést a számítási matematikában.

Kidolgozta a közelítő módszerek általános elméletét, hatékony módszereket konstruált operátoregyenletek megoldására (beleértve a legmeredekebb ereszkedés módszerét és Newton módszerét az ilyen egyenletekre).

1939-40-ben megalapozta a lineáris programozást és általánosításait. Kantorovich lineáris programozás

Kidolgozta az optimalitás gondolatát a közgazdaságtanban. Megállapította az optimális árak és az optimális termelési és gazdálkodási döntések kölcsönös függőségét. Minden optimális megoldás összekapcsolódik egy optimális árrendszerrel.

Kantorovich a szentpétervári P.L. matematikai iskola képviselője. Csebisev, a G.M. Fikhtengolts és V.I. Szmirnov. Kantorovich megosztotta és továbbfejlesztette P.L. Csebisev a matematikához, mint egyetlen tudományághoz, amelynek minden része összefügg, kölcsönösen függ egymástól, és különleges szerepet játszik a tudomány, a technológia, a technológia és a termelés fejlődésében. Kantorovich a matematika és a közgazdaságtan egymásra találásának tézisét terjesztette elő, és a humanitárius és egzakt tudástechnológiák szintézisére törekedett. Kantorovich munkája a matematikai gondolkodás egyetemessé tételén alapuló tudományos szolgálat példája lett.

2. A lineáris programozás eredete

A gazdasági és matematikai kutatások területén az egyik legjelentősebb és legszembetűnőbb eredmény Leonyid Vitalievics Kantorovics felfedezése volt a lineáris programozási módszerre. A lineáris programozás lineáris egyenletek (elsőfokú egyenletek) megoldása programok írásával és azok szekvenciális megoldásának különféle módszereivel, amelyek nagyban megkönnyítik a számításokat és a kívánt eredmények elérését.

Magát a "lineáris programozás" kifejezést T. Koopmans amerikai közgazdász javasolta 1951-ben. Lineáris programozási módszer kidolgozásáért, vagy a Svéd Tudományos Akadémia oklevelében foglaltak szerint „az optimális erőforrás-allokáció elméletéhez való hozzájárulásért” L. Kantorovich közgazdasági Nobel-díjat kapott (1975). A díjat Tjalling Charles Koopmans amerikai közgazdászsal közösen ítélték oda, aki valamivel később Kantorovichtól függetlenül hasonló módszertant javasolt.

Az optimális árak vagy "objektív becslések" automatikusan társítva vannak bármely lineáris program optimális tervéhez. Leonyid Vitalievics az utolsó nehézkes mondatot taktikai megfontolásokból választotta, hogy növelje a kifejezés "kritikus ellenállását". Az optimális megoldások és az optimális árak egymásrautaltsága – ez a rövid lényege L.V. Kantorovich.

A probléma optimális megoldására Kantorovich az egymást követő közelítések módszerét, az opciók egymás utáni összehasonlításának módszerét használta a probléma feltételeinek megfelelő legjobb kiválasztásával.

De továbbra sem ismert, hogy van-e egy vagy több jövedelmező terv-lehetőség, amely kevesebb befektetést igényel.

17 évbe telt, mire Leonyid Vitalievics megjelentette alapművét "Az erőforrások legjobb felhasználásának gazdaságos számítása". Ez 6 évvel Sztálin halála után történt. Ekkorra Nyugatról kezdett behatolni hozzánk a lineáris programozás, mint az olvadáskor divatos újdonság. És akkor hirtelen világossá vált, hogy éppen a kettősség tételét, amelyet az amerikaiak egymástól függetlenül bizonyítottak, Kantorovich professzor bizonyította be még az 1930-as években. Leonyid Vitaljevics és tanítványai ismét lelkesen nekiláttak a szélsőséges gazdasági problémák megoldásának, de nagyon hamar úgy érezték, hogy a szovjet életben valójában semmi sem változott. A Moskvich üzemben sem vezetnek be gazdaságos konstrukciót a drága francia karosszéria-fémek vágására - a segédmunkások csökkentését célzó kampány miatt, majd valaki egy új módszer bevezetése és a késztermékek méltányos növekedése miatt végül elvesztette a bónuszt. , mert meghiúsították a fémhulladék szállításának tervét.

Amikor úgy tűnt, hogy a mocsár beszippant, és nincs remény az objektíven meghatározott értékelésekre, Leonyid Vitalievics elvette a szívét, és meséket komponált.

Most már megértjük, hogy ilyen körülmények között, ezzel a döntéshozatali rendszerrel Kantorovich minden kísérlete az új gazdaság életbe való bevezetésére kudarcra volt ítélve. Az „objektív értékelések” a szigorú irányelvek elhagyását követelték meg, és ez a szocialista gazdaság építményének tönkretételének veszélyéhez vezetett.

Ebben a könyvben – amint azt a Matematika Kutatásban és Tervezésben Alkalmazásával Foglalkozó Tudományos Tanács tagjai is megjegyezték – a szerző által korábban kidolgozott lineáris programozási elképzelések mélyreható elemzését mutatjuk be, és egyúttal a első alkalommal vetődik fel a nemzetgazdaság egészére vonatkozó optimális terv mint matematikai modell kidolgozásának problémája. Kantorovich kétségtelen érdeme a kettős becslések azonosítása lineáris programozási problémákban. Nem lehet egyszerre minimalizálni a költségeket és maximalizálni az eredményeket. Az egyik dolog ellentmond a másiknak. A két megközelítés azonban összefügg egymással. Ha mondjuk találunk egy optimális szállítási sémát, akkor annak egy bizonyos árrendszer felel meg. Ha az árak optimális értékeit megtaláljuk, akkor viszonylag könnyen lehet olyan szállítási sémát kapni, amely megfelel az optimálisság követelményének.

Bármely lineáris programozási probléma esetén létezik egy konjugált vagy kettős probléma. Ha a közvetlen feladat a célfüggvény minimalizálása, akkor a duális a maximalizálás.

Moszkvában és Leningrádban Kantorovics egyre kényelmetlenebbül érezte magát. És ami a legfontosabb, a produktív munkavégzés képessége a határra szűkült. Persze ez nyomasztotta. Ezért, mivel természeténél fogva nem volt kalandor és nem kalandor, boldogan fogadta egyetemi évfolyamtársa, Sobolev akadémikus ajánlatát, hogy elhagyja a főváros mocsarait, és elmegy egy új tudományos központ létrehozására, ahová korábban száműzték a hozzá hasonlókat. A Novoszibirszki Akademgorodok ezekben az években igazi oázissá vált. A tudományok szabadon és hihetetlenül energikusan virágoztak benne, részben azért, mert nemcsak korban, de lélekben is fiatalok uralkodtak ott.

Következtetés

Első pillantásra L.V. Kantorovich – mint ő maga mondta – alkalmazkodott a tervgazdasághoz. De ez csak a dolog külső oldala.

A lényeg a rejtett paraméterek (bérleti díj) figyelembe vétele, a korlátozások egységes megközelítése (a munka csak egy ezek közül), és mindaz, ami ebből következik, most már általánossá és szükségessé teszi a gazdasági alkalmazásait. Általánosságban elmondható, hogy Kantorovich nagy kísérletének fő eredménye az volt, hogy a gazdasági problémákat az akkori évek legmodernebb matematikai eszközeivel közelítette meg, és kreatívan alkalmazta. Ez nem jelenti azt, hogy következtetései ma maradéktalanul működni fognak, de azt mindenképpen, hogy ebből a szempontból L.V. Kantorovich volt talán az első, aki egy matematikus tehetsége radikálisan átalakította és átalakította a közgazdasági gondolkodást.

L. Kantorovich tudományos hozzájárulása a funkcionális elemzés, a számítási matematika, a matematikai közgazdaságtan és a nemzetgazdaság optimális tervezése területén működő híres tudományos iskolák. Az általa felfedezett matematikai programozást széles körben használják egyenlő közgazdasági problémák megoldására.

A lineáris programozási módszer először tette lehetővé az "optimalitás" fontos modern közgazdasági és matematikai fogalmának pontos megfogalmazását. L. Kantorovich és munkatársai kidolgozták a gazdaság optimális működésének rendszerét (SOFE), modelleket alkottak az erőforrások hatékony elosztására és értékelésére.

Közgazdasági magyarázatot adott rá, és megmutatta fontosságát a gazdaságirányításban. Tudományosan megalapozott megközelítés volt a tőkebefektetés hatékonyságát jelző egyetlen nemzetgazdasági mutató számértékének kiszámítása, ami jóval megelőzte a maga óráját.

Felhasznált hivatkozások és források

1. A közgazdasági doktrínák története: Tankönyv / Szerk. A.G. Khudokormova. - M .: Moszkvai Állami Egyetem Kiadója, 1994. - II. rész, Ch. harminc.

2. Kantorovich L.V. Az erőforrások legjobb felhasználásának gazdaságossági számítása. - M .: A Szovjetunió Tudományos Akadémia Kiadója, 1959.

3. Kapustin V.F., Shabalin G.V. L.V. Kantorovich és a gazdasági és matematikai kutatás: eredmények, problémák, kilátások // Bulletin of St. Petersburg University. Ser. 5. Gazdaság. 1996. szám. 2.

4. Pesenti A. Esszék a kapitalizmus politikai gazdaságtanáról. 2 kötetben - M .: Haladás, 1976. II. kötet, ch. 14.

5. Shatalin S.S. A fejlett szocializmus gazdaságának működése. - M .: A Moszkvai Állami Egyetem kiadója, 1982.

6. Shukhov NS Érték és érték. - M .: Szabványok Kiadója, 1994. - 2. rész, sz. 1, ch. nyolc.

Közzétéve az Allbest.ru oldalon

...

Hasonló dokumentumok

L.V. tudományos tevékenységének tanulmányozása. Kantorovich - a 20. század tudósa, akinek a funkcionális elemzés, a számítási matematika, az extrém problémák elmélete, a leíró függvényelmélet területén végzett kutatásai alapvető hatással voltak a tudomány fejlődésére.

absztrakt, hozzáadva: 2012.02.04

Matematika az ókori Babilonban és az ókori Egyiptomban. K. Marx reprodukciós elmélete. A közgazdasági és matematikai modellek alapjai. A lineáris programozás keletkezésének története. Lagrange-szorzó módszerek. A gazdagság elméletének matematikai alapelveinek tanulmányozása.

absztrakt hozzáadva: 2014.08.01

Formalizált lineáris programozási feladat megoldása grafikusan és Excel segítségével. A maximális profit elérése és a termelési terv. Szállítási terv minimális költségekkel. Iparágközi egyensúlyi modell. Korlátozási rendszer kidolgozása.

teszt, hozzáadva: 2010.08.04

Jövedelmező terv kidolgozása kétféle alkatrész gyártására. Matematikai modell felépítése táblázatos szimplex módszerrel és Excelben. Az optimális profit változásának megállapítása minden szűkös erőforrás tartalékának 5 egységgel történő növelésével.

gyakorlati munka, hozzáadva 2016.05.24

A közgazdasági elméletek evolúciója az interregionális verseny összefüggésében. Az interregionális verseny elméletének fejlődési szakaszai. Különböző tudományos elméletek hozzájárulása kialakulásához. Az interregionális versenyelmélet jellemzői modern bemutatásában.

cikk hozzáadva: 2011.09.12

Az országok közötti gazdasági kapcsolatok kialakulásának okai. A főbb neotechnológiai elméletek lényege: merkantilista elmélet; a termelési tényezők arányának elmélete; a Leontief-paradoxon; közvetlen befektetési modellelmélet; technológia transzfer elmélet.

teszt, hozzáadva: 2010.10.17

A gördülőállomány és a rendelkezésre álló járművek arányának felmérése. A háztartási gépek iránti kereslet számítása a régiókban, marketing adatok alapján. Termékforgalmi áramlások felosztása a lineáris programozás matematikai módszereivel.

szakdolgozat, hozzáadva 2014.12.04

A gazdasági jelenségek vizsgálatának szubjektív, nem pozitív-empirikus, racionalista, dialektikus-materialista megközelítései. A valószínűségelmélet és a matematikai statisztika módszerei, a közgazdasági és matematikai modellezés alkalmazása.

szakdolgozat hozzáadva 2014.02.03

Az orosz gazdaság fejlődésének története olyan emberek nevében, akik jelentősen hozzájárultak a gazdaságtudomány fejlődéséhez, akik elsőként dolgoztak ki különféle módszereket, elméleteket, stratégiákat a gazdaság különböző területein: L.V. Kantorovich, N. D. A. V. Kondratyev Csajanov.

absztrakt, hozzáadva: 2011.02.28

A közgazdaságtan keletkezésének és fejlődésének sajátosságai. A közgazdaságtan főbb módszereinek általánosítása: dialektikus módszer, absztrakciós, dedukciós és indukciós módszerek, „egyéb dolgok egyenlősége” feltételezések, elemzés és szintézis. A közgazdaságtan módszerének elemzése.