2015. január 1-jén Alekszandr Szergejevics 1,1 millió rubelt vett fel a banktól. A hitel visszafizetési séma a következő - minden következő hónap 1-jén a bank 1 százalékot számít fel a fennmaradó tartozás után (vagyis 1 százalékkal növeli az adósságot), majd Alekszandr Szergejevics átutalja a fizetést a banknak. Hány hónapig vehet fel Alekszandr Szergejevics kölcsönt úgy, hogy a havi törlesztőrészletek ne haladják meg a 275 ezer rubelt?
A kölcsön futamideje minimális lesz abban az esetben, ha a kifizetések maximálisak és 275 ezer rubel.
Számítsuk ki a növekedési együtthatót. Legyen a kölcsön összege $ S $, a kamatláb pedig $ a $%. Ezután minden hónap első napján a fennmaradó tartozás összegét megszorozzuk a $ 1 + 0,01a $ együtthatóval, mivel $ S + \ frac (S) (100) \ cdot a = \ bal (1 + 0,01a) \ jobbra) S $. Feltétel szerint $ a = 1 $%, ami azt jelenti, hogy az együttható $ 1 + 0,01 \ cdot 1 = 1,01 $.
Készítsünk egy táblázatot, amelynek első oszlopában feltüntetjük a tartozást a hónap első napján, a másodikban pedig az ugyanabban a hónapban, de fizetés után fennálló tartozást.
| Hónap | Banktartozás (dörzsölje) | A fizetés után fennmaradó tartozás (RUB) |
| 0 | 1 100 000 | – |
| 1 | 1 100 000 USD \ cdot 1,01 = 1 111 000 USD | 1111000 – 275000 = 836 000 |
| 2 | 836 000 USD \ cdot 1,01 = 844 360 USD | 844 360 – 275 000 = 569 360 |
| 3 | $569 3601,01 = 575 053,6$ | 575 053,6 – 275 000 = 300 053,6 |
| 4 | 300 053,6 USD \ cdot 1,01 = 303 054 136 USD | 303 054,136 – 275 000 = 28 054,136 |
| 5 | 28 054,136 USD \ cdot 1,01 = 28 334,67736 USD | 28 334,67736 – 28 334,67736 = 0 |
Vegye figyelembe, hogy 4 hónap múlva Alekszandr Szergejevics 1,1 millió rubelt fizet. Így az adósságot nem fedezi kamattal. Minden hónapban az adósság legfeljebb 1 100 000,01 = 11 000 rubelrel nő. Ez azt jelenti, hogy öt hónap múlva Alekszandr Szergejevicsnek legfeljebb 1 100 000 + 511 000 = 1 155 000 rubelt kell fizetnie, ami kevesebb, mint 5 275 000 = 1 375 000 rubel. Így Alekszandr Szergejevics 5 hónapon belül vissza tudja fizetni a kölcsönt.
Felkészülés a matematika vizsgára, 11. évfolyam
Anyag leírása: Ajánlok egy cikket, amely bemutatja a hitelekkel kapcsolatos gazdasági problémák megoldásának módjait. Kétféle kölcsönt ismertetünk: járadékos és differenciált fizetésű kölcsönt. Ez az anyag hasznos lesz a 10-11. osztályos matematika tanárok számára a profilszintű matematika vizsgára való felkészülés során (17. feladat).Járadék és differenciált kifizetések
1. Járadékfizetés- egyenlő havi törlesztőrészleteket (törlesztéseket) jelent a hitel teljes futamideje alatt. A részlet összege tartalmazza: a hiteltartozás egy részét és a felhalmozott kamatot. Ugyanakkor a hitel első hónapjaiban (vagy éveiben) a részlet nagy része kamat, kisebb része pedig a tőketartozás visszafizetett része. A hitelezés vége felé az arány megváltozik: a részlet nagy része a hitel "testének" törlesztésére, kisebb része - kamatra fordítódik. Ugyanakkor a teljes részletnagyság mindig ugyanaz marad.
2. Differenciált fizetés- egyenlőtlen havi részletet jelent, arányosan csökken a kölcsön futamideje alatt. A legnagyobb kifizetések - a futamidő első negyedévében, a legkisebbek - a negyedik negyedévben. A „közepes” kifizetések általában a járadékhoz hasonlíthatók. Havonta a kölcsönt egyenlő arányban csökkentik, míg a százalékot a tartozás egyenlegére számítják. Ezért a részlet összege fizetésenként változik. Ha a probléma az „egyenlő fizetés” vagy „a tartozás ugyanannyival csökken” szavakat tartalmazza, akkor differenciált fizetésről beszélünk.
A kölcsönök gazdasági problémáinak megoldási módjai
Azt javaslom, hogy mérlegeljék a kölcsönök gazdasági problémáinak megoldását a hallgatók számára elérhető módokon.
Feladatok járadékfizetéses hitelhez
1. cél.2. cél.
2014. december 31-én Dmitrij 4 290 000 rubelt vett fel a banktól évi 14,5 kölcsönért. A hitel visszafizetési séma a következő - a következő év december 31-én a bank kamatot számít fel a fennmaradó adósságra (vagyis 14,5%-kal növeli az adósságot), majd Dmitrij x rubelt utal át a banknak. Mennyi legyen az x összeg, hogy Dmitrij két egyenlő részletben (azaz két év alatt) kifizesse az adósságát?
Megoldás:
Dmitrij 4 290 000 rubel bankkölcsönt vett fel.
Ez azt jelenti, hogy a fizetés összege 2622050 rubel.
Válasz: 2 622 050 rubel.
Feladatok differenciált fizetésű kölcsönhöz
A differenciált fizetésű hitelek problémáinak megoldása során a teljes jóváírási időszakra felhalmozott kamatot a számtani sorozat első n tagjának összegének képletével lehet kiszámítani. Ezután keresse meg a teljes fizetési összeget. Úgy gondolom, hogy ez a módszer egyszerű és érthető lesz a diákok számára.
3. probléma
Január 15-én 24 hónapra 2,4 millió rubel összegű bankhitelt terveznek felvenni. Visszaküldésének feltételei a következők:
- Minden hónap 1. napján a tartozás 3%-kal nő az előző hónap végéhez képest;
Mennyit kell fizetni a banknak az első 12 hónapban?
Megoldás:
2 400 000: 24 = 100 000 (p.)) És az egyenlegre felhalmozott kamat. Minden hónapban az adósság 100 000 rubel csökken.
A 12 hónapra felhalmozott "kamat" összege (millió rubelben):
Aritmetikai progresszió zárójelben. Egy aritmetikai sorozat első n tagjának összegére a következő képletet használtuk:
4. probléma
Január 15-én 5 hónapra banki hitel felvételét tervezik. Visszaküldésének feltételei a következők:
- minden hónap 2. napjától 14. napjáig szükséges a tartozás egy részét megfizetni;
- Minden hónap 15. napján a tartozásnak egy összeggel kisebbnek kell lennie, mint az előző hónap 15. napján fennálló tartozás.
A hitelösszeg hány százaléka az a teljes pénzösszeg, amelyet a teljes hitelidőszakra a banknak kell fizetni?
Megoldás:
Hagyja, hogy a bank vegyen fel kölcsönt S rubel. A havi törlesztőrészlet a havi tartozás összegéből áll (ez megegyezik
)
Az 5 hónapra felhalmozott kamat összege:
Összességében a bank S + 0,03 S = 1,03 S összeget fizet. Ez azt jelenti, hogy a hitelösszegből kifizetett teljes pénzösszeg 103%.
Válasz: 103%.
5. probléma
Január 15-én 24 hónapra 2,4 millió rubel összegű bankhitelt terveznek felvenni. Visszaküldésének feltételei a következők:
- minden hónap 2. napjától 14. napjáig szükséges a tartozás egy részét megfizetni;
- Minden hónap 15. napján a tartozásnak egy összeggel kisebbnek kell lennie, mint az előző hónap 15. napján fennálló tartozás.
Mennyit kell fizetni a banknak az elmúlt 12 hónapban?
Megoldás:
A havi fizetés a havi tartozás összegéből (ez egyenlő 2 400 000: 24 = 100 000 (rubel)) és az egyenlegre felhalmozott kamatból áll. Minden hónapban az adósság 100 000 rubel csökken.
Az elmúlt 12 hónapra felhalmozott kamat összege (millióban):
Aritmetikai progresszió zárójelben. A következő képletet használtuk:
6. probléma
- Minden hónap 1. napján a tartozás 3%-kal nő az előző hónap végéhez képest;
- minden hónap 2. napjától 14. napjáig szükséges a tartozás egy részét megfizetni;
- Minden hónap 15. napján a tartozásnak egy összeggel kisebbnek kell lennie, mint az előző hónap 15. napján fennálló tartozás.
Ismeretes, hogy a nyolcadik kifizetés 99,2 ezer rubelt tett ki. Mennyit kell visszafizetni a banknak a hitel teljes futamideje alatt?
Megoldás:
A havi törlesztőrészlet a havi tartozás összegéből áll (ez megegyezik
És az egyenlegre felhalmozott kamat. Minden hónapban csökken az adósság
7 hónapig fizetve
Ebből az állapotból azt találjuk, hogy S.
Ez azt jelenti, hogy 1 488 000 rubelt kell fizetni a teljes jóváírási időszakra.
Válasz: 1 488 000 rubel.
7. probléma
Január 15-én 9 hónapos banki hitel felvételét tervezik. Visszaküldésének feltételei a következők:
- minden hónap 1. napján a tartozás r%-kal nő az előző hónap végéhez képest;
- minden hónap 2. napjától 14. napjáig szükséges a tartozás egy részét megfizetni;
- Minden hónap 15. napján a tartozásnak ugyanannyival kisebbnek kell lennie, mint az előző hónap 15. napján fennálló tartozás.
Ismeretes, hogy a teljes hitelidőszakra a banknak fizetendő teljes összeg 15%-kal haladja meg a hitelre felvett összeget. Keresse meg r.
Megoldás:
Vegyünk fel S rubel kölcsönt.
A havi törlesztőrészlet a havi tartozás összegéből áll (ez megegyezik
Ez azt jelenti, hogy az adósságot 9 hónapig kell fizetni - S rubel plusz az egyenlegekre felhalmozott kamat összege havonta:
8. probléma
Január 15-én 15 hónapos banki hitel felvételét tervezik. Visszaküldésének feltételei a következők:
- minden hónap 1. napján a tartozás 1%-kal nő az előző hónap végéhez képest;
- minden hónap 2. napjától 14. napjáig szükséges a tartozás egy részét megfizetni;
- Minden hónap 15. napján a tartozásnak egy összeggel kisebbnek kell lennie, mint az előző hónap 15. napján fennálló tartozás.
Ismeretes, hogy a nyolcadik kifizetés 108 ezer rubel volt. Mennyit kell visszafizetni a banknak a hitel teljes futamideje alatt?
Megoldás:
Vegyünk fel S rubel kölcsönt.
A havi törlesztőrészlet a havi tartozás összegéből áll (ez megegyezik
És a kamat felhalmozódott az egyenlegre. Minden hónapban csökken az adósság
Ez azt jelenti, hogy az adósságot 15 hónap alatt kell megfizetni - S rubel és havi kamat az egyenlegre:
7 hónapig fizetve
Ebből az állapotból azt találjuk, hogy S.
A nyolcadik törlesztőrészlet a tartozás havi törlesztőrészletének összegéből áll
És a tartozás összegére felhalmozott kamat a hetedik fizetés után:
9. probléma
Január 15-én 18 hónapos banki hitel felvételét tervezik. Visszaküldésének feltételei a következők:
- minden hónap 1. napján a tartozás 2%-kal nő az előző hónap végéhez képest;
- minden hónap 2. napjától 14. napjáig szükséges a tartozás egy részét megfizetni;
- Minden hónap 15. napján a tartozásnak egy összeggel kisebbnek kell lennie, mint az előző hónap 15. napján fennálló tartozás.
A hitelösszeg hány százaléka az a teljes pénzösszeg, amelyet a teljes hitelidőszakra a banknak kell fizetni?
Megoldás:
Vegyünk fel S rubel kölcsönt.
A havi törlesztőrészlet a havi tartozás összegéből áll (ez megegyezik
És a kamat felhalmozódott az egyenlegre. Minden hónapban csökken az adósság
Ez azt jelenti, hogy az adósságot 18 hónap alatt kell megfizetni - S rubel és az egyenlegre felhalmozott havi kamat összege:
Ez azt jelenti, hogy a banknak fizetett pénzösszeg a tartozás 119%-a.
Válasz: 119%.
10. probléma
Január 15-én 24 hónapos banki hitel felvételét tervezik. Visszaküldésének feltételei a következők:
- minden hónap 1. napján a tartozás 1%-kal nő az előző hónap végéhez képest;
- minden hónap 2. napjától 14. napjáig szükséges a tartozás egy részét megfizetni;
- Minden hónap 15. napján a tartozásnak egy összeggel kisebbnek kell lennie, mint az előző hónap 15. napján fennálló tartozás.
Ismeretes, hogy az első 12 hónapban 177,75 ezer rubelt kell fizetnie a banknak. Mennyi kölcsönt tervezel felvenni?
Megoldás:
Vegyünk fel S rubel kölcsönt.
A havi törlesztőrészlet a havi tartozás összegéből áll (ez megegyezik
És az egyenlegre felhalmozott kamat). Minden hónapban csökken az adósság
A kölcsönzés első évében a következőket kell fizetnie:
A következő egyenletet kapjuk: 0,5925 S = 177750,
S = 300 000
Ez azt jelenti, hogy 300 000 rubelt vettek fel hitelre.
Válasz: 300 000 rubel.
11. feladat
Január 15-én 25 hónapos banki hitel felvételét tervezik. Visszaküldésének feltételei a következők:
- minden hónap 1. napján a tartozás r%-kal nő az előző hónap végéhez képest;
- minden hónap 2. napjától 14. napjáig szükséges a tartozás egy részét megfizetni;
- Minden hónap 15. napján a tartozásnak egy összeggel kisebbnek kell lennie, mint az előző hónap 15. napján fennálló tartozás.
Ismeretes, hogy én vagyok az a pénzösszeg, amelyet a teljes hitelidőszakra be kell fizetni a banknak, 39%-kal több, mint a hitelre felvett összeg. Keresse meg r.
Megoldás:
Vegyünk fel S rubel kölcsönt.
A havi törlesztőrészlet a havi tartozás összegéből áll (ez megegyezik
Gazdasági tartalmú feladatok megoldása 19. sz
Az előadást a Szaratov Vajdaság 62-es számú MAOU Líceum matematika tanára, Olga Anatoljevna készítette.
Megoldás.
Legyen S = 6 902 000 rubel, b = 1,125 (azaz minden év december 31-én a fennmaradó tartozás összegét megszorozzuk a b együtthatóval. Ekkor: 2015.12.31.: (Sb - X) - (az összeg tartozás az első befizetés után) 2016.12.31.: (Sb - X) b - X - a tartozás összege a második befizetés után
1. sz. 2014. december 31-én Alexey 6 902 000 rubelt vett fel a banktól évi 12,5%-os kölcsönre. A hitel visszafizetési rendszere a következő - minden következő év december 31-én a bank kamatot halmoz fel az adósság fennmaradó összegére, majd Alexey X rubelt utal át a banknak. Mekkora X összegnek kell lennie ahhoz, hogy Alekszej négy egyenlő részletben (azaz 4 év alatt) kifizesse az adósságát?
Válasz: 2 296 350
№ 2.
Megoldás.
Legyen S a hitelösszeg, a - éves%, b = 1 + 0,01a, X1 = 328 050 rubel, X2 = 587 250 rubel. Számítsuk ki a hitelt 4 évre: 2015.12.31.: (Sb - X) 12/ 2016/31: ( Sb - X) b - X 2017/12/31: 2018/12/31:
№ 2.
Számítsuk ki a hitelt 2 évre:
2015.12.31.: (Sb - X)
2016.12.31.: (Sb - X) b - X = 0
№ 2.
Mivel a kölcsön összege megegyezik, az így kapott egyenlőségeket egyenlővé tesszük.
Válasz: 12,5%
3. szám. 2015. január 1-jén Alekszandr Szergejevics 1,1 millió rubelt vett fel hitelre a bankból. A hitel törlesztési séma a következő - minden következő hónap 1-jén a bank 1% -ot számít fel a tartozás fennmaradó összegére, majd Alekszandr Szergejevics átutalja a fizetést a banknak. Hány hónapig vehet fel Alekszandr Szergejevics kölcsönt úgy, hogy a havi törlesztőrészletek ne haladják meg a 275 ezer rubelt?
Határozat: 2015. 01. 01.: 1,1 millió rubelt vett 2015. 02. 01.: 1,1 millió -275000 = 725100 rubel, 1% feltöltés után: 725100 + 7251 = 732351 rubel.
után 1% díj: 457.351 + 4573,51 = RUB 461,924.51 április 1, 2015: RUB 461,924.51-275,000 = RUB 186.924,51 után 1% -os díj: RUB 186.924,51 + 1869,2451 = RUB 188,793.7551 1,05 0,2015: 188.793,7551 4. számú Kezdetben az éves fizetése alap a menza 1 500 000 rubel volt. Az ügyfelek számának növekedése után a személyzeti táblázat 9 fővel bővült, a bérek pedig 5 250 000 rubelre emelkedtek. Az átlagos éves fizetés (az összes alkalmazotthoz viszonyítva) 100 000 rubelrel nőtt. Mekkora az átlagos fizetés (összes munkavállalóra vonatkoztatva) az éves alap emelése után?
Megoldás.
Ügyfélszám növekedés előtt: Volt: x (sotr), Éves béralap: 1 500 000 rubel Évi átlagbér 1 500 000: x Ügyfélszám növekedés után: Jelenleg: (x + 9) (sotr) Éves béralap p: 5 250 000 rubel Éves átlagfizetés 5 250 000: (x + 9) Tegyük fel az egyenletet:
№ 4
X = 22,5 nem felel meg a probléma feltételének, ezért kezdetben 6 alkalmazott volt.Az éves alap emelése utáni átlagkereset: 5 250 000: (9 + 6) = 350 000 rubel Válasz: 350 000 rubel.
№ 5
Megoldás: Legyen az éves terv: x - 100% I. negyedévben: 0,2x helikopter készült, 2. negyedévben: o, 2x * 1,5 = 0,3x helikopter 3. negyedévben: (102 + 0,3x): 4 = 25 , 5 + 0,075x helikopter A 4. negyedévben 102 helikopter állapota szerint készítsük el az egyenletet: 25,5 + 0,075x + 0,2x + 0,3x = x0,425x = 127,5X = 300 helikopter , így a tervek szerint kiad: (102 + 0,3 * 300): 4 = 48 helikopter Válasz: 48 helikopter
"Sistema Bank" - Oroszországi Bank. Helyrehozhatóság. Nem banki hitel- és betétszervezetek. Sürgősség. Az Orosz Bank elnöke. Kibocsátás. Kölcsönadás. Nem banki hitelintézetek. Banki szolgáltatások. Nem banki beszedési hitelintézetek. A fejlesztések során a bankok egyre inkább bővítették szolgáltatásaik körét.
„A Bank személyzetének hatékonysága” – Banki munkatapasztalat. Mind a Bank egészére, mind az egyes „bányászati” részlegekre számítható. Az orosz cégeknél a norma a bérek 1-5%-a. A járulékos juttatások költségének a munkaerőköltséghez viszonyított aránya,%. A munkatermelékenységet jellemző második mutató.
"Kínai bankok" - Fejlesztési bankok. Ezt követően 1994-ben a bank elindult a kommercializáció útján. Általános információk a kínai bankrendszerről. 2007 októberében az ICBC leánybankot nyitott Oroszországban. Bankszektor Szabályozó Bizottság (KRBS). Kereskedelmi bankok. Piaci kapitalizációját tekintve a bank magabiztosan a 6. helyen áll a világon.
„FÁK bankok” – A külföldi bankok erősítik pozícióikat. Tehát az orosz VTB-nek hat FÁK-országban van leányvállalata. A FÁK-bankok a változás küszöbén. A válság lendületet adott a banki reformoknak Oroszországban, Kazahsztánban és Ukrajnában. Az infláció meredeken csökkent ... A FÁK legnagyobb bankcsoportjai. Nem mindenkinek ... ábra. 2. A bankhitelek GDP-hez viszonyított aránya a FÁK-országokban,%.
„Kereskedelmi bankok” – Az erőforrások vonzásának vannak nem betéti formái is. Kereskedelmi bankok: működési elvek és funkciók. A törvényjavaslat nincs jóváhagyva, a résztvevők száma minimális - 2. A kölcsön felvevői lehetnek magánszemélyek és jogi személyek. A betétek sokféle formában vannak. A betétszámla a társaság pénzeszközeinek egy részének meghatározott ideig történő tárolására szolgál.
„Banki bevétel” – Banki tevékenység. Rizs. 8. 2008. évi kamatbevétel aránya,%. A Bank Societe Generale Vostok hatékonyságának elemzése 2007-2008,%. A bank kamatkiadásainak dinamikájának elemzése 2008-2009 között, ezer rubel. Cél és feladatok. Rizs. 6. A bank 2008. évi kötelezettségeinek aránya,%. A táblázat eredményei alapján a következő eredmények összegezhetők.
1. probléma. 2015. január 1-jén Alekszandr Szergejevics 1,1 millió rubelt vett fel a banktól. A hitel visszafizetési séma a következő - minden következő hónap 1-jén a bank 1 százalékot számít fel a fennmaradó tartozás után (vagyis 1 százalékkal növeli az adósságot), majd Alekszandr Szergejevics átutalja a fizetést a banknak. Hány hónapig vehet fel Alekszandr Szergejevics kölcsönt úgy, hogy a havi törlesztőrészletek ne haladják meg a 275 ezer rubelt?
Megoldás:
Vegye figyelembe, hogy 4 hónap múlva Alekszandr Szergejevics 1,1 millió rubelt fizet. Így az adósságot nem fedezi kamattal.
Az adósság legfeljebb annyival nő
Ez azt jelenti, hogy öt hónap múlva Alekszandr Szergejevicsnek nem kell többet fizetnie
1 100 000 + 5 11 000 = 1 155 000 rubel,
ami kisebb mint
5 275 000 = 1 375 000 rubel.
Így Alekszandr Szergejevics 5 hónapon belül vissza tudja fizetni a kölcsönt.
Válasz: 5.
2. probléma. 2014. december 31-én Dmitrij 4 290 000 rubelt vett fel a banktól évi 14,5%-os kölcsönként. A hitel visszafizetési séma a következő - minden következő év december 31-én a bank kamatot számít fel a fennmaradó adósságra (vagyis 14,5%-kal növeli az adósságot), majd Dmitrij X rubelt utal át a banknak. Mennyi legyen az X összeg, hogy Dmitrij két egyenlő részletben (azaz két év alatt) kifizesse az adósságát?
Megoldás:
Legyen a kölcsön összege S, az éves összeg pedig aza
b = 1 + 0,01а.
S 1 = Sb - X.
S 2 = S 1 b - X = (Sb - X) b - X = Sb 2 - (1 + b) X.
A feltétel szerint Dmitrijnek tehát két részletben kell teljes egészében visszafizetnie a kölcsönt
Sb 2 - (1 + b) X = 0,
ahol
S = 4290000 és a = 14,5 esetén a következőt kapjuk: b = 1,145 és
Válasz: 2622050.
3. probléma. 2014. december 31-én Alexey 6 902 000 rubelt vett fel a banktól évi 12,5%-os kölcsönre. A hitel visszafizetési rendszere a következő - minden következő év december 31-én a bank kamatot halmoz fel az adósság fennmaradó összegére (vagyis 12,5% -kal növeli az adósságot), majd Alexey X rubelt utal át a banknak. Mennyi legyen az X összeg, hogy Alekszej négy egyenlő részletben (azaz négy év alatt) kifizesse az adósságát?
Megoldás:
Legyen a hitel összegeS , és egynyári isa %. Ezután minden év december 31-én a fennmaradó tartozás összegét megszorozzák az együtthatóval
b = 1 + 0,01a.
Az első fizetés után a tartozás összege
S 1 = Sb - X.
A második fizetés után a tartozás összege lesz
S 2 = S 1 b - X = (Sb - X) b - X = Sb 2 - (1 + b) X.
A negyedik befizetés után a fennmaradó tartozás összege a
A feltétel szerint Alekszejnek tehát négy törlesztéssel teljes egészében vissza kell fizetnie a kölcsönt
ahol
S = 6902000 és a = 12,5 esetén a következőt kapjuk: b = 1,125 és
Válasz: 2296350.
4. feladat. 2014. december 31-én Szergej 6 944 000 rubelt vett fel a banktól évi 12,5%-os kölcsönre. A hitel visszafizetési séma a következő - minden következő év december 31-én a bank kamatot számít fel a fennmaradó adósságra (vagyis 12,5%-kal növeli az adósságot), majd Szergej X rubelt utal át a banknak. Mennyi legyen az X összeg, hogy Szergej három egyenlő részletben (azaz három év alatt) kifizesse az adósságát?
Megoldás:
Legyen a hitelösszeg S, az éves összeg pedig a%. Ezután minden év december 31-én a fennmaradó adósságot megszorozzuk egy b = 1 + 0,01a tényezővel. Az első befizetés után a tartozás összege S lesz 1 = Sb - X. A második befizetés után a tartozás összege lesz
S 2 = S 1 b - X = (Sb - X) b - X = Sb 2 - (1 + b) X.
A harmadik fizetés után a fennmaradó tartozás összege megegyezik
A probléma feltétele szerint a harmadik befizetést is figyelembe véve Szergejnek a kölcsönt teljes mértékben vissza kell fizetnie, ezért
honnan jutunk
S = 6944000 és a = 12,5 esetén a következőket kapjuk:
b = 1,125
Válasz: 2916000.
5. probléma. 2015. január 1-jén Tarasz Pavlovics 1,1 millió rubelt vett fel a banktól. A hiteltörlesztési séma a következő - minden következő hónap 1-jén a bank 2 százalékot számít fel a fennmaradó tartozás után (vagyis 2 százalékkal növeli az adósságot), majd Taras Pavlovich átutalja a fizetést a banknak. Tarasz Pavlovics hány hónapig vehet fel hitelt úgy, hogy a havi törlesztőrészletek ne haladják meg a 220 ezer rubelt?
Megoldás:
Azonnal észreveheti, hogy a maximálisan megengedhető fizetési összeg (220 ezer rubel) a teljes hitelösszeg 1/5-e (de kamat nélkül). Ez azt jelenti, hogy Tarasz Pavlovics minimum öt hónapra vehet fel hitelt.
Az adósság legfeljebb ennyivel nőhet
1 100 000 0,02 = 22 000 rubel.
Hat hónapra a tartozás maximális összege kamatokkal lehet
1 100 000 + (6 22 000) = 1 232 000 rubel.
Ha ezt az összeget 6 egyenlő fizetésre osztják, akkor a havi fizetés körülbelül 205,3 ezer rubel lesz. És ez nem több, mint 220 ezer rubel.
205,3 < 220
Következésképpen a minimális hónapok száma, amelyre Tarasz Pavlovics kölcsönt vehet fel (legfeljebb 220 ezer rubel havi törlesztéssel), 6 lesz.
Válasz: 6.
6. feladat. 2015. január 1-jén Vaszilij Mihajlovics 1,1 millió rubelt vett fel a banktól. A hiteltörlesztési séma a következő - minden következő hónap 1-jén a bank 1 százalékot számít fel a fennmaradó tartozás után (vagyis 1 százalékkal növeli az adósságot), majd Vaszilij Mihajlovics átutalja a banknak a kifizetést. Vaszilij Mihajlovics hány hónapig vehet fel hitelt úgy, hogy a havi törlesztőrészletek ne haladják meg a 137,5 ezer rubelt?
Megoldás:
A feltételből azt látjuk, hogy 137,5 ezer rubel a teljes hitelösszeg 1/8-a (1,1 millió rubel), de kamat nélkül. Vagyis a minimális hónapok száma biztosan több lesz nyolcnál.
Számítsuk ki a bank által felszámított maximális havi kamatot rubelben:
1 100 000 0,01 = 11 000 rubel.
9 hónapra a teljes hitelösszeg kamattal:
1 100 000 + (11 000 9) = 1 199 000 rubel.
Osszuk el 9-cel (hónap):
1 199 000: 9 ≈ 133 222 rubel.
Az így kapott összeg nem haladja meg a 137 500 rubelt, ami kielégíti a probléma feltételét. Következésképpen a minimális hónapok száma, amelyre Vaszilij Mihajlovics kölcsönt vehet fel, 9.
Válasz: 9.
7. probléma ... Január 15-én a tervek szerint 1,2 millió rubel összegű bankkölcsönt vesznek fel 24 hónapra. Visszaküldésének feltételei a következők:
–
Mennyit kell visszafizetni a banknak a hitel első évében (első 12 hónapjában)?
Megoldás
1) A havi hiteltörlesztés (kamat nélkül) 1 200 000: 24 = 50 000 (dörzsölje). 12 hónapig 600 000 rubelt kell fizetnie (kamat nélkül).
2) Számítsuk ki az első 12 havi kamat összegét!
1 200 000 0,01 + 1 150 000 0,01 + 1 100 000 0,01 + ... +650 000 0,01 =
0,01 (1 200 000 + 1 150 000 + 1 100 000 + ... + 650 000) =
=
12
0,01=11 100 000
0,01 = 111 000 (dörzsölje).
3) 600 000 + 111 000 = 711 000 (rubel) - az első éven belül a banknak visszafizetendő összeg.
Válasz: 711 000 rubel
8. probléma .
– minden hónap 2. napjától 14. napjáig a tartozás egy részét meg kell fizetni;
– Minden hónap 15. napján a tartozásnak ugyanannyival kisebbnek kell lennie, mint az előző hónap 15. napján fennálló tartozás.
Ismeretes, hogy a hitelezés első évében (az első 12 hónapban) 933 ezer rubelt kell visszafizetni a banknak. Mennyit kell visszafizetni a banknak a hitelezés második évében (az utolsó 12 hónapban)?
Megoldás
x rubel.
A kölcsön összege (24x x ) rubel (kamat nélkül).
2) HagyjukR
Állítsuk össze és oldjuk meg az egyenletet: 933 000 = 12x + R .
R = (24 x + 23 x +...+ 13 x ) 0,03 = 12 0,03 = 37 x 0,18 = 6,66 x ;
933 000 = 12 x + 6,66 x ;
933 000 = 18, 66 x ;
x = 50 000.
A kölcsön havi törlesztése (kamat nélkül) 50 000 rubel.
3) 50 000 12 = 600 000 (rubelt) a második éven belül vissza kell adni a banknak (kamat nélkül).
Számítsuk ki az elmúlt 12 hónap kamatait.
(12 x + 11 x + ... + x ) 0,03 = 12 0,03 = 13 x 0,18 = 2,34 x ;
2,24 50 000 = 117 000 (dörzsölje)
4) 600 000 + 117 000 = 717 000 (rubel) - az összeg, amelyet a második éven belül vissza kell fizetni a banknak.
Válasz: 717 000 rubel
9. probléma. Január 15-én 24 hónapos banki hitel felvételét tervezik. Visszaküldésének feltételei a következők:
– Minden hónap 1. napján a tartozás 1%-kal nő az előző hónap végéhez képest;
– minden hónap 2. napjától 14. napjáig a tartozás egy részét meg kell fizetni;
– Minden hónap 15. napján a tartozásnak ugyanannyival kisebbnek kell lennie, mint az előző hónap 15. napján fennálló tartozás.
Ismeretes, hogy a hitelezés második évében (az utolsó 12 hónapban) 798,75 ezer rubelt kell visszafizetni a banknak. Mennyit kell visszafizetni a banknak a hitel első évében (első 12 hónapjában)?
Megoldás
1) A havi hiteltörlesztés (kamat nélkül).x rubel. A kölcsön összege (24x ) rubel. 12 hónapra fizetni kell (12x ) rubel (kamat nélkül).
2) HagyjukR - az elmúlt 12 hónapra vonatkozó kamat összege.
Állítsuk össze és oldjuk meg az egyenletet: 798,75 = 12x + R .
R = (12 x +11 x +...+ x ) 0,01 = 12 0,01 = (12 x + x ) 0,06 = 0,78 x ;
798 750 = 12 x + 0,78 x ; 798 750 = 12,78 x ; x = 62 500.
A kölcsön havi törlesztése (kamat nélkül) 62 500 rubel.
3) 62 500 12 = 750 000 (rubelt) az első éven belül vissza kell fizetni a banknak (kamat nélkül).
Számítsuk ki az első 12 havi kamat összegét.
(24 x + 23 x + ... +13 x ) 0,01 = 12 0,01 = 37 6 0,01 x = 2,22 62 500 = 138 750 (dörzsölje)
4) 750 000 + 138 750 = 888 750 (rubel) - az az összeg, amelyet az első éven belül vissza kell fizetni a banknak.
Válasz: 888 750 rubel
10. probléma. Január 15-én 24 hónapos banki hitel felvételét tervezik. Visszaküldésének feltételei a következők:
– Minden hónap 1. napján a tartozás 3%-kal nő az előző hónap végéhez képest;
– minden hónap 2. napjától 14. napjáig a tartozás egy részét meg kell fizetni;
– Minden hónap 15. napján a tartozásnak ugyanannyival kisebbnek kell lennie, mint az előző hónap 15. napján fennálló tartozás.
Ismeretes, hogy a hitelezés első évében (az első 12 hónapban) 1399,5 ezer rubelt kell visszafizetni a banknak. Mennyi kölcsönt tervezel felvenni?
Megoldás
1) A havi hiteltörlesztés (kamat nélkül).x rubel
A kölcsön összege (24x ) rubel. 12 hónapra fizetni kell (12x ) rubel (kivéve%).
2) HagyjukR - az az összeg, amely az első 12 hónapra kamat.
Állítsuk össze és oldjuk meg az egyenletet: 1 399 500 = 12x + R .
R = (24 x + 23 x +...+ 13 x ) 0,03= 12 0,03=(24 x + 13 x ) 0,18 = 6,66 x ;
1 399 500 = 12 x + 6,66 x ;
1 399 500 = 18, 66 x ;
x = 75 000.
A kölcsön havi törlesztése (kamat nélkül) 75 000 rubel.
3) 75 000 24 = 1 800 000 (rubel) - a tervezett hitel összege.
Válasz: 1 800 000 rubel
11. probléma. Január 15-én 24 hónapra tervezik hitel felvételét a banktól. Visszaküldésének feltételei a következők:
– minden hónap 2. napjától 14. napjáig a tartozás egy részét meg kell fizetni;
– Minden hónap 15. napján a tartozásnak ugyanannyival kisebbnek kell lennie, mint az előző hónap 15. napján fennálló tartozás.
Ismeretes, hogy a hitelezés második évében (az utolsó 12 hónapban) 1695 ezer rubelt kell visszafizetni a banknak. Mennyi kölcsönt tervezel felvenni?
Megoldás
1) A havi hiteltörlesztés (kamat nélkül).x rubel.
A kölcsön összege (24 x ) rubel. 12 hónapra fizetni kell (12 x ) rubel (kamat nélkül).
2). HaddR - az az összeg, amely az első 12 hónapra kamat.
Állítsuk össze és oldjuk meg az egyenletet: 1 695 000 = 12x + R .
R = (12 x + 11 x +...+ x ) 0,02 = 12 0,02 = 13 x 0,12 = 1,56 x ;
1 695 000= 12 x + 1,56 x ;
1 695 000 = 13, 56 x ;
x = 125 000.
A kölcsön havi törlesztése (kamat nélkül) 125 000 rubel.
3) 125 000 24 = 3 000 000 (rubel) - a tervezett hitel összege.
Válasz: 3 000 000 rubel
12. probléma. Január 15-én 9 hónapra tervezik banki hitel felvételét. Visszaküldésének feltételei a következők:
– Minden hónap 1. napján a tartozás 2%-kal nő az előző hónap végéhez képest;
– minden hónap 2. napjától 14. napjáig a tartozás egy részét meg kell fizetni;
– Minden hónap 15. napján a tartozásnak ugyanannyival kisebbnek kell lennie, mint az előző hónap 15. napján fennálló tartozás.
Ismeretes, hogy a hitelezés ötödik hónapjában (június 2. és 14. között) 44 ezer rubelt kell fizetnie a banknak. Mennyit kell fizetni a banknak a hitel teljes futamideje alatt?
Megoldás
1) A havi hiteltörlesztés (kamat nélkül).x rubel. A kölcsön összege (9 x ) rubel (kamat nélkül).
2) HagyjukR - az az összeg, amely a hitelezés ötödik hónapjára vonatkozik.
Állítsuk össze és oldjuk meg az egyenletet: 44 000 =x + R .
Öt hónapra a kölcsön összege (5 x ) dörzsölés.
Az ötödik hónapban a kamat leszR = 5X 0,02 = 0,1 x (dörzsölés.).
Akkor 44 000 =x + 0,1 x ; 44 000 = 1,1 x ;
x = 40 000 (rubel) a havi kifizetések összege (kamat nélkül).
A hitel összege 40.000 9 = 360 000 (dörzsölje)
3) Számítsuk ki a kamat összegét a teljes időszakra:
(9 x + 8 x +...+ x ) 0,02 = 9 0,02 = 10 x 0,09 = 0,9 x ;
0,9 40 000 = 36 000 (dörzsölje)
4) 360 000 + 36 000 = 396 000 (rubel) - a banknak fizetendő összeg a teljes hitelidőszak alatt.
Válasz: 396 000 rubel
13. probléma. Január 15-én banki hitel felvételét tervezik. Visszaküldésének feltételei a következők:
– a
–
Ha évente 2 073 600 rubelt utal át a banknak, akkor a kölcsön 4 év alatt visszafizethető. Ha lefordít 3 513 600 rubelt, akkor 2 év múlva.
megtalálja a .
Megoldás
+ + + = + , 1+0,01 a 0.
20736+ + + = 35136+ ;
+ - -14400 = 0. Legyen 1 + 0,01a = x ;
+ - -14400 = 0;
20736 (1 + x) - 14400x 2 (1 + x) = 0;
(1+ x )(20736 - 14400 x 2 ) = 0
Válasz: 20%A képletet használták: ha X rubel hozzájárulást teljes egészében elköltenekn éves kifizetések egyenlőv 1 , v 2 , ..., v n , az elhatárolás után hajtják végreR % a betéten, akkor
X = + +...+ .
14. feladat ... Július 15-én bankhitelt vettünk fel. Visszaküldésének feltételei a következők voltak:
– Minden év január 1-jén 14%-kal nő az adósság az előző év végéhez képest;
– a tartozás egy részét minden év februártól júniusig fizetik a kamatok felhalmozódása után.
A kölcsönt két egyenlő részletben, 4 548 600 RUB összegben fizették vissza (azaz két éven keresztül). Mennyit adott ki hitelre a bank?
Megoldás
x = + = + = 3 990 000 + 3 500 000 = 7 490 000 (dörzsölje)
– a bank által hitelre kiadott összeg.
Válasz: 7 490 000 rubel
15. probléma. Január 15-én 6 902 000 rubel összegű banki kölcsön felvételét tervezik. Visszaküldésének feltételei a következők:
– Minden év január 1-jén az adósság 12,5%-kal nő az előző év végéhez képest;
– a tartozás egy részét minden év januárjában egyenlő összegben fizetik ki a kamatok felhalmozódása után.
Mennyit kell évente visszafizetni a banknak, hogy az adósságot négy egyenlő részletben (azaz négy év alatt) kiegyenlítse?
Megoldás
x = + + + ; 6902000 = v ( + + + );
6 902 000 =
v
; 6 902 000 =
v
;
v
=
=350
6 561 = 2 296 350 (rubel) - az az összeg, amelyet évente vissza kell fizetni a banknak.
Válasz; 2 296 350 rubel
16. feladat ... 2012. január 15-én a bank 1 millió rubel összegű kölcsönt adott ki. Visszaküldésének feltételei a következők:
– Minden év január 1-jén az adósság eggyel nő a % az előző év végéhez képest;
– a tartozás egy részének kifizetése minden év januárjában a kamat felhalmozódását követően történik.
A kölcsönt két év alatt fizették vissza, és az első évben 600 ezer rubelt utaltak át, a második alkalommal pedig 550 ezer rubelt.
megtalálja a.
Megoldás:
1 000 000 = + ; 20 = + ; 20(1+0,01 a ) 2 – 12(1+0,01 a ) – 11 = 0.
Vezessünk be egy új változót: 1 + 0.01a = x és oldja meg a 20-as egyenletetx 2 – 12 x - 11 = 0. D = 1024 = 32 2 .
Válasz: 10%17. feladat. Az áru ára A dörzsölje. 25%-kal emelkedett. Most hány százalékkal kell csökkenteni, hogy megkapjuk a termék kiindulási árát.
Megoldás: A tétel ára az emelés után A (1+) lett. Tegyük fel, hogy p%-kal kell csökkenteni, akkor az áru ára a csökkenés után A (1 +) (1-) lesz, és megkapjuk az áru kezdeti árát: A (1 +) (1-) = V. Ahol megkapjuk a választ: 20%
18. feladat: A bank egy bizonyos összeget adott százalékon fogadott el. Egy évvel később a felhalmozott összeg negyedét levonták a számláról. De a bank 40%-kal emelte az éves kamatot. Jövő év végére a felhalmozott összeg az induló hozzájárulás 1,44-szerese volt. Mennyi az új évesek aránya?
Megoldás: Tedd be a bankbaA rubel p% évente. Egy év múlva a számlán lévő összeg egyenlő leszA (1+) rubel. Ennek az összegnek a negyedét eltávolítva azt kapjukA (1+). T Most új kamatot számítanak fel erre az összegreA (1+) (1+), ami 1,44A lett. Ezt az egyenletet megoldva azt a választ kapjuk, hogy p = 20%, akkor az új százalék 60%.
19. probléma. A gazdálkodó bizonyos százalékos éves bankkölcsönt kapott. Egy évvel később a gazda a kölcsön törlesztésekor visszaadta a banknak az addigi banknak fennálló teljes összegének 3/4-ét, majd egy évvel később a kölcsön teljes visszafizetése miatt 21%-kal magasabb összeggel járult hozzá a bankhoz, mint a felvett hitel összege. Mennyi egy hitel éves kamata ebben a bankban?
Megoldás: Tegyük fel, hogy a gazda kapottA rubel p% évente. Egy év múlva az adósság A (1+) rubel lesz. Mivel a gazda visszafizette az adósságot, akkor marad A (1+). A 2. év után az adósság p%-kal nőtt, és A (1+) A (1 +) = A (1+) 2 lett. Most az adósság törlesztéséhez a gazda 21%-kal többet járult hozzá, i.e. A (1+) és visszafizette a kölcsönt, azaz A (1+) 2 - A (1+) = 0. Az egyenlet megoldása után p = 120%.
.
20. feladat: 3900 ezer rubelt helyeztek el a bankban évi 50%-os áron. A betétes a tárolás első négy évének mindegyikének végén, a kamatszámítást követően, ugyanazt a fix összeget is elhelyezte a számlán. A kamatfelhalmozás utáni ötödik év végére kiderült, hogy a betét nagysága a kezdetihez képest725% ... Mennyit tett hozzá a betétes évente a betéthez?
Megoldás: legyen az induló hozzájárulás A rubel, és a betétes évente x rubelt ad hozzá. A 2. év elejére a hozzájárulás értéke A (1 +) = 1,5A rubel volt;
A 3. év elejére a hozzájárulás értéke az volt
(1,5 A + x) 1,5 + x rubel;
A 4. év elejére a hozzájárulás értéke az volt
((1,5 A + x) 1,5 + x) 1,5 + x rubel;
Az 5. év elejére a hozzájárulás értéke az volt
(((1,5 A + x) 1,5 + x) 1,5 + x) 1,5 + x rubel;
Az 5. év végére
a hozzájárulás összege (((1,5A + x) 1,5 + x) 1,5 + x) 1,5 + x) 1,5 rubel. A probléma feltételének megfelelően a járulék nagysága a kezdetihez képest %-kal nőtt725%
, azaz A (1+) lett.
A zárójeleket kibontva a következő kifejezést kapjuk:
() 5A + () 4x + () 3x + () 2x + () x = A = A
x = A
Ezért az A = helyett helyettesítve3900 ezer, azt kapjuk, hogy x = 210 000.
21. feladat. A betét banki tárolása során havonta kamatot számoltak fel, először összegben, majd ezt követően, végül havonta. Ismeretes, hogy minden egyes új kamat hatására a betét egész számú hónap volt, és a tárolási idő lejárta után a betét kezdeti összege eggyel nőtt. Határozza meg a betét tárolási idejét.
Megoldás: Legyen a kezdeti betét összege A rubel, akkor egy hónap múlva ez az összeg leszA (1+ )dörzsölés. Ha az árfolyamot nem változtatják meg, akkor az összeg ismét 5%-kal nő, és leszA (1+ ) 2 stb. Tartsa ki az első fogadástk , a második azm , harmadik -n , az utolsó azt hónapok.
Aztán az összeg eggyel nőttA (1+ )Nak nek(1+ ) m(1+ ) n(1+ ) t-szer. A tárolási idő lejárta után pedig az eredeti mennyiség A (1+) lett.
А (1+) - (1+) m (1+) n (1+) t = A fokok tulajdonságait alkalmazva 2 -3,3-1,50,72
azonos okok miatt tegye egyenlővé a mutatókat, és oldja meg a rendszert:
Ahonnan k = m = 1. n = 3, t = 2. Ekkor a betét tárolási ideje 1 + 1 + 3 + 2 = 7 hónap.
22. feladat. 2000 januárjában a Bank Vozrozhdenie betéteinek kamata évi x%, míg 2001 januárjában évi y% volt, és ismert, hogy x + y = 30%. 2000 januárjában egy betétes számlát nyitott a Vozrozhdenie Banknál, és letétbe helyezett rajta egy bizonyos összeget. 2001 januárjában, egy év elteltével a betétes ennek az összegnek az egyötödét levette a számláról. Adja meg azt az x értéket, amelynél a betétes számláján lévő összeg 2002 januárjában a lehető legnagyobb lesz.
Megoldás: Tegyük fel, hogy 2000 januárjában a betétes bankszámlát nyitott A rubel értékben. Majd egy évvel később, évi x%-kal, a számla A (1+) rubel összege lesz.
Továbbá a betétes az eredeti összeg egyötödét leveszi a számláról. Azaz az összeg a számlán van. Változik a kamat a bankban, és most at%, azaz (30)%. Majd egy év múlva a betétes számláján lesz. Érdekelünk x értéke, amelynél f (x) = értéke lesz a maximum. Vizsgáljuk meg ezt a függvényt matematikai elemzési módszerekkel.
f / (x ) = 0 ehhez
vagy Az f (x) függvény a maximális értékét az x0 pontban (a parabola csúcsában), azaz a = 25 pontban veszi fel.
Válasz: 25%.
23. probléma. 2001. augusztus végén a Primorszkij Terület adminisztrációja rendelkezett bizonyos pénzösszeggel, amelyet a Terület olajtartalékainak feltöltésére kellett volna felhasználni. A regionális vezetés a piaci viszonyok változásában reménykedve az olajvásárlást elhalasztotta, ezt az összeget 2001. szeptember 1-jén letétbe helyezte a bankban. Ismeretes továbbá, hogy a bankban elhelyezett betét összege minden hónap első napján 26%-kal nőtt az előző hónap első napjához képest, és egy hordó kőolaj ára csökkent. 10% havi szinten. Hány százalékkal tudta többet (a beszerzések kezdeti volumenéből) a régió vezetése feltölteni a régió olajtartalékát úgy, hogy 2001. november 1-jén a banktól kapott teljes összeget kamatokkal együtt kivette és vételre küldte. olaj?
Megoldás:
a regionális vezetés havi 26%-ra tette az A rubelt
egy hordó nyersolaj ára havonta 10%-kal csökken
az összeg A (1+) dörzsölés lesz
A befektetett összeg csökken, és A (1-) rubel lesz
A (1+) 2 USD
A (1-) 2 rubel lesz
Ekkor az összeg = 1,96-nál fog növekedni, azaz. 96%-kal
Válasz: 96%.
