دراسة صيغة الفائدة المركبة ، ومقارنة الرسوم البيانية للتبعيات التي تعبر عن الفائدة البسيطة والمركبة ، والمساهمة في تكوين المهارات في حل المشكلات العملية المتعلقة بالموضوع ؛
لتعزيز الاهتمام بالمعرفة ، لتعزيز تقرير المصير المهني.
مذكرة: جدول "نسب الفائدة المركبة المتزايدة" (الملحق 1) ، الصيغ المطبوعة للفائدة البسيطة والمركبة ، نموذج للجدول.
خلال الفصول
حماية الواجبات المنزلية.
مصلحة بسيطة
مهمة إلزامية (نص معد على السبورة). المؤسسة لديها رأسمالها الخاص 100 مليون روبل. ويقترض 50 مليون روبل أخرى من البنك بنسبة 10٪ سنويًا. معدل ربح المشروع (ربحية الإنتاج) 30٪. ما هو دخل الشركة عن سنة التشغيل؟
حل... 1) 100 + 50 = 150 مليون روبل. - إجمالي رأس المال؛
2) 150 0.3 = 45 مليون روبل. - ربح 150 مليون روبل ؛
3) 50 0.1 = 5 ملايين روبل. - سداد القرض ؛
4) 45-5 = 40 مليون روبل. - دخل المشروع.
إجابة 40 مليون روبل.
بالإضافة إلى المهمة الإجبارية ، تم سؤال الطلاب مهمة إبداعية : تأليف المهام باستخدام مصادر المعلومات المختلفة.
1. بناء على نتائج نشاط المنجم"Neryungrinsky" لعام 2007:
* التربة أو الصخر الموجود على سطح الرواسب المعدنية التي يجب إزالتها من أجل البدء في تطوير الرواسب نفسها.
حدد عدد النسبة المئوية التي أفرطت في تنفيذ الخطة.
2... على عمل نظام التعليم(بناء على مواد من جريدة "ساعة الفراغ"). اعتبارًا من 01.09.2007 ، في مدارس منطقة Neryungri ، كان 10.5٪ من المعلمين لديهم أعلى فئة و 32.5٪ لديهم الفئة الأولى.
دعنا نحسب النسبة المئوية للمعلمين في مدرستنا الذين لديهم أعلى نسبة ، وماذا - الفئة الأولى. قارن مع بيانات المنطقة.
في المجموع ، يوجد 65 مدرسًا في المدرسة الثانوية رقم 18.
7:65 100 = 10.7٪.
15:65 100 = 23.1٪.
اتضح أنه يوجد في مدرستنا نفس عدد المعلمين من أعلى فئة كما هو الحال في المتوسط في المنطقة ، وهناك عدد أقل من المعلمين من الفئة الأولى مقارنة بالمنطقة.
3. عمل إدارة المدينةمع رسائل من المواطنين. نشرت صحيفة "صناعة الشمال" في 16 يناير 2007 مقالاً عن مؤتمر صحفي لرئيس التشكيل البلدي "منطقة نيريونغرينسكي" V.V. ستارتسيف مع ممثلي وسائل الإعلام في المدينة والجمهورية ، حيث يقال على وجه الخصوص: "خلال العام الماضي ، تلقى رئيس الإدارة 681 استئنافًا مكتوبًا. تم النظر في كل منهم ، تم حل 50٪ بشكل إيجابي ، وفي 175 حالة تم رفضها ، وفي 138 حالة تم تقديم تفسير. وفيما يتعلق براتب عام 2006 ، اقترب منه الرئيس 32 مرة ، وفي عام 2007 - 21 مرة ". لنكتشف ما هي النسبة المئوية للطلبات المقدمة إلى رئيس الإدارة بخصوص الرواتب في عام 2006 والتي كانت أكثر من عام 2007؟
حل... 32- عدد الطلبات عام 2006 ( الخامس) ؛ 21- عدد الطلبات عام 2007 ( أ). البحث ، بأي نسبة الخامسأكثر أ.
دعنا نستخدم الصيغة
لذلك ، في عام 2006 ، تلقى رئيس الإدارة طلبات استئناف أكثر بنسبة 52.4٪ مقارنة بعام 2007.
تعلم مواد جديدة.الفائدة المركبة
لماذا تلقت إدارة المدينة خطابات رواتب أقل بنسبة 53٪ في عام 2007 مقارنة بعام 2006؟
(يقوم الطلاب بوضع افتراضات.)
كل افتراض يمكن أن يكون صحيحًا ، ويمكن أن يكون خاطئًا. من أجل معرفة السبب الحقيقي ، يبدو أنه ليس لدينا معلومات كافية في الوقت الحالي. للسيطرة الكاملة على الموقف ، يجب أن تكون على دراية جيدة بالمزايا.
في الدروس السابقة ، فكرت أنا وأنت في مشاكل الفائدة ، مشاكل الفائدة البسيطة ، لكن هذا لا يستنفد استخدام الاهتمام في الاقتصاد ، واليوم نحن نوسع معرفتنا في هذا المجال. موضوع درسنا هو "الفائدة المركبة".
انصح مهمة.
دع البنك يدفع فائدة بسيطة على وديعة التوفير بالسعر أنافي السنة ، ويبقى هذا المعدل دون تغيير لمدة عامين. ما هو أكثر ربحية للمودع؟
لنتذكر صيغة حساب النسب المئوية البسيطة:
S n= س 0 (1 + في)
1 + في = س,
أين س- معدل الزيادة بفائدة بسيطة.
الطريقة الأولى... إذا أغلق المودع الحساب بعد عام ، فسيحصل على المبلغ
س 1 = س 0 (1 + أنا).
لنفترض أنه وضع هذا المبلغ لمدة عام إضافي بنفس الشروط ، ثم سيحصل على:
س 2 = س 1 (1 + أنا) = س 0 (1+أنا) 2 .
الطريقة الثانية... إذا لم يقم بإعادة تسجيل وديعته ، فوفقًا لصيغة الفائدة البسيطة ، سيحصل في غضون عامين:
ق 2 = س 0 (1 + 2أنا).
هل هذه المبالغ متساوية؟ لنقارنهم:
ق 0(1 + أنا) 2 – س 0 (1 + 2أنا) = س 0 (1 + 2أنا +أنا 2 –1 – 2أنا) = س 0 أنا 2 .
إذن ما هي الطريقة الأكثر ربحية للمودع؟
الطريقة الأولى حيث يتلقى المودع في نفس الوقت س 0 أنا 2 أكثر.
الكمية س 0 أنا 2 - الزيادة حسب الفائدة المحصلة في السنة الأولى أو ما يسمى ب "الفائدة على الفائدة".
لمنع إعادة تسجيل الودائع بشكل متكرر ولتشجيع الودائع طويلة الأجل ، من المعتاد في الممارسة التجارية دفع فائدة مركبة. المبلغ الأصلي أو الأساسي ( س 0) ، لحساب الفائدة المركبة تزداد مع كل فترة استحقاق (في مشكلتنا سنة واحدة) ، ولأغراض الفائدة البسيطة ، القاعدة ثابتة.
دعنا نكتبها في القواميس.
رسملة الفائدةيسمى إضافة الفائدة المستحقة إلى المبلغ الذي يعد أساس استحقاقها.
سنشتق معادلة حساب المبلغ المستحق S nبمعدل فائدة سنوي أناشريطة أن يتم احتساب الفائدة ورسملة قيمتها مرة واحدة في السنة.
(يتم استدعاء الطالب إلى السبورة لعرض الصيغة).
س 1 = س 0 + س 0 أنا
= س 0 (1 + أنا);
س 2 = س 1 + س 1 أنا
= س 1 (1 + أنا) = س 0 (1 + أنا) 2 ;
س 3 = س 0 (1 + أنا) 3 ;
.. . . . . . . . . . . . .
S n = س 0 (1 + أنا) ن .
حصلنا صيغة الفائدة المركبة، أين S n- المبلغ المستحق من خلال نسنوات،
ق 0- كمية أساسية،
أنا- معدل الفائدة على الفائدة المركبة ،
ن- عدد فترات البناء.
هذه الصيغة عبارة عن تقدم هندسي مع المقام ف= 1 + أنا.
مثال 1.لقد وضعت 10 آلاف روبل في البنك. على وديعة لأجل بمعدل فائدة مركب قدره 10٪ سنويًا. كم من المال ستحصل في عامين؟
منح: س 0 = 10000 روبل روسي ، أنا = 0,1, ن = 2.
تجد: س 2 .
حل. س 2 = س 0 (1 + أنا) 2 ;
ق 2= 10000 (1 + 0.1) 2 = 10000 · 1.21 = 12100 روبل.
إجابة: 12100 فرك.
لحساب الفائدة المركبة في البنوك ، استخدم "جداول عوامل الاستحقاق للفائدة المركبة" ، وسنأخذها في الاعتبار (الجداول متوفرة في جداول الطلاب ؛ انظر النموذج).
دعونا نجد علاقة
أين سج - معدل الزيادة للفائدة المركبة ؛ من ثم
S n= س 0 سج.
مثال 2... قم بتسمية معامل زيادة المعدل حسب الجدول:
أ) 15٪ سنويا ل ن = 4 [سج = 1.7490] ؛
ب) 8٪ سنويا مقابل ن =5 [سج = 1.4693].
مثال 3. (أديت كتابة.) فتح المودع حسابًا في بنك توفير بمبلغ 15000 روبل. بمعدل فائدة سنوي 8٪. كم سيحصل على الحساب في 3 سنوات؟ بعد 5 سنوات؟حل... 1) البحث سمن الطاولة: سج = 1.2567:
15000 1.2597 = 18895.5 روبل.
2) البحث سمن الطاولة: سج = 1.4693 ؛
15000 · 1.4693 = 22039.5 روبل.
العمل المستقل مع الاختبار الذاتي اللاحق
املأ الجدول (العمود S nمغلق حتى الاختبار الذاتي):
| ق 0ألف روبل. | أنا, % | S nألف روبل. | ||
مخططات معاملات التراكم للفائدة البسيطة والمركبة
قارن معدلات النمو للفائدة البسيطة والمركبة في أنا= 18٪ سنويا. املأ الجدول وأنشئ رسمًا بيانيًا للتبعية سو سمن عند ن.(يعمل الطلاب في أزواج.)
| س = 1 +في | |||||
| س ج = (1 + أنا) ن |
ما هي النصيحة التي يمكنك تقديمها لمودعي البنك بعد تحليل الوضع النسبي للرسوم البيانية؟
تعد زيادة الفائدة المركبة أكثر ربحية للمودعين.
مثال من الأدب الكلاسيكي
يصف ميخائيل إفغرافوفيتش سالتيكوف-شيدرين المشهد التالي في رواية "اللورد جولافليوف": "بورفيري فلاديميروفيتش جالس في مكتبه ، يخربش أوراقًا بالحسابات الرقمية. هذه المرة كان مهتمًا بالسؤال: كم من المال كان سيحصل عليه الآن إذا لم تخصص ماما 100 روبل قدمها له عند الولادة "بالأسنان" ، ولكن وضعها في مرهن باسم الشاب بورفيري ؟ ومع ذلك ، اتضح أنه ليس كثيرًا: 800 روبل فقط ... "
يمارس... جرب الأرقام المقدمة لحساب معدل الفائدة الذي كان الرهن يدفعه في ذلك الوقت على الودائع. يُفترض أن عمر Porfiry في وقت الحسابات كان خمسين عامًا.
حل... دع المعدل يكون x%, من ثم
س 50 =100(1 + x), 800 =100(1 + x) ن , x ≈ 3,9.
لذلك ، في ذلك الوقت ، كان متجر الرهن يدفع 3.9٪ سنويًا.
واجب منزلي
ما هو أكثر ربحية: دفع 10000 دولار أمريكي للدراسة في إحدى الجامعات. في بداية التدريب أو 15000 دولار أمريكي بعد التخرج (بعد 5 سنوات). معدل الفائدة 10٪ سنويا.
مهمة عملية... قم بزيارة غرفة العمليات في سبيربنك واكتب:
أنواع الودائع
معدلات الفائدة السنوية عليها ؛
فترة التمديد
الحد الأدنى من المساهمة.
خلق مشكلة وحلها.
المرفق 1
نسب الفائدة المركبة
|
سعر الفائدة |
عدد مرات الصعود |
||||||
. أساس حساب الفائدة المركبة ، على عكس الفائدة البسيطة ، لا يظل ثابتًا نوح - يزداد مع كل خطوة في الوقت المناسب. يزيد المبلغ المطلق للفائدة المشحونة والعمليةتتسارع الزيادة في حجم الدين. يمكن التفكير في تراكم الاهتمام على أنه تابع إعادة استثمار الأموال المستثمرة في أعمال بسيطةسنتات عن فترة استحقاق واحدة (فترة التشغيل ). انضمغالبًا ما يتم استدعاء زيادة الفائدة المتراكمة إلى المبلغ الذي كان بمثابة أساس استحقاقها رسملة الفائدة.
لنجد صيغة لحساب المبلغ المستحق بموجب الشرط vii أن الفائدة يتم استحقاقها ورسملة قيمتها مرة واحدةعام (فائدة سنوية). للقيام بذلك ، قم بتطبيق من الصعب أن تصبح كابناء. لكتابة صيغة التراكم ، نستخدمهانفس التعيينات كما في صيغة البناء بالبساطةسنتات:
ص - المبلغ الأصلي للديون (قروض ، ائتمان ، رأس ماللا ، وما إلى ذلك) ،
س - المبلغ المستحق في نهاية مدة القرض ،
NS - المدة ، عدد سنوات الزيادة ،
أنا - مستوى معدل الفائدة السنوية الذي يمثله دكسر كسري.
من الواضح ، في نهاية السنة الأولى ، النسب المئوية تساوي ص أنا , وسيكون المبلغ المستحق. إلى النهايةفي السنة الثانية سيصل إلى القيمة الخامسنهاية سيكون المبلغ المستحق في العاميساوي
(4.1)
النسب المئوية لنفس الفترة بشكل عام كما يلي:
(4.2)
يتم تدريس بعضها من خلال تراكم الفائدة على الفائدة. هي تصنع
(4.3)
كما هو موضح أعلاه ، فإن النمو في الفائدة المركبة هوهي عملية تتوافق مع التقدم الهندسي هذا ، المصطلح الأول منه ص , والمقام.المدة الأخيرة من التقدم تساوي المبلغ المتراكم في النهايةفترة قرض.
الكمية وتسمى مضاعف التراكم على الفائدة المركبة. قيم هذاعامل الأعداد الصحيحة NS تعطى في جداول معقدة نسبه مئويه.دقة حساب المضاعف في العمليات الحسابيةيتم تحديده من خلال الدرجة المسموح بها لتقريب المستحقالمبالغ (حتى آخر كوبك ، روبل ، إلخ).
عادة ما يقيس وقت البناء بمعدل معقد Xia كـ AST / أشارع.
كما ترى ، يعتمد حجم عامل التراكم على اثنينالعوامل - أناو NS.تجدر الإشارة إلى أنه لفترة طويلةالتراكم ، حتى التغيير الطفيف في المعدل يؤثر بشكل كبيربقيمة المضاعف. في المقابل ، فترة طويلة جدايؤدي إلى نتائج مخيفة حتى ولو كانت صغيرةسعر الفائدة.
يتم الحصول على صيغة تكوين الفائدة المركبةلمعدل الفائدة السنوي والمدة ، مقاسة بالسنوات.ومع ذلك ، يمكن أيضًا تطبيقه على فترات الاستحقاق الأخرى.نيا. في هذه الحالاتأنايعني معدل فترة استحقاق واحدة (شهر ، ربع سنوي ، إلخ.) ، ون - عدد هذه الفترات. تشغيلمثال إذا أنا- معدل نصف عام إذن NS – عدد الفصول الدراسيةإلخ.
الصيغ (4.1) - (4.3) تفترض أن الفائدة علىسنتات يتم احتسابها بنفس السعر عند تحميلها على أصل مبلغ الدين. دعونا نعقد شروط حساب الفائدةالرفيق دع الفائدة على الدين الأساسي تحسب بالسعرأناوالفائدة على الفائدة - بالسعر في هذه الحالة
تمثل السلسلة الموجودة بين قوسين مربعين عنصرًا هندسيًاالتقدم مع الحد الأول يساوي 1 والمقام.نتيجة لذلك ، لدينا
(4.4)
2. استحقاق الفائدة في فترات التقويم المجاورة. أنت علاوة على ذلك ، عند حساب الفائدة ، لم يؤخذ في الاعتبار موقع فترة حساب الفائدة بالنسبة للفترات التقويمية. ومع ذلك ، غالبًا ما تكون تواريخ بدء القرض وانتهائه في فترتين. من الواضح أن المستحقة لكامل الفترة ، لا يمكن أن تنسب الفائدة إلى الماضي فقطله فترة. في المحاسبة والضرائب ،أخيرًا في تحليل الأنشطة المالية للشركةيتم استبعاد مهمة توزيع الفائدة المتراكمة على فترات.
إجمالي مدة القرض مقسمة إلى فترتينن 1 و ن 2 . على التوالى ،
أين
3. معدلات متغيرة. تفترض الصيغة ثابتًاالمعدل طوال فترة استحقاق الفائدة بالكامل. يجعل عدم استقرار السوق النقدية من الضروري تحديث المخطط "الكلاسيكي" ، على سبيل المثال ، بمساعدة مثال النينية أسعار عائمة ( يطفو على السطح معدل). بطبيعة الحال ، الحسابللمستقبل بهذه المعدلات مشروط للغاية. إنها مسألة مختلفة -الحساب بعد الحقيقة. في هذه الحالة ، وكذلك عند الغشحجم الرهانات ثابت في العقد ، المجموع يتم تعريف الزيادة على أنها حاصل ضرب الحاصل ، أي
(4.5)
حيث - القيم المتتالية للمعدلات ؛ - الفترات التي يتم خلالها المقابلةمعدلات.
4. استحقاق الفائدة بعدد كسري من السنوات. في كثير من الأحيان مصطلح في ال qax لحساب الفائدة ليس عددًا صحيحًا. في قواعد عدد من البنوك التجارية لبعض المعاملات يتم احتساب الفائدة فقط لعدد كامل من السنوات أو لفترات الاستحقاق الأخرى. يتم تجاهل الجزء الكسري من الفترة. في معظم الحالات ، يتم أخذ المصطلح الكامل في الاعتبار. حيثيتم استخدام طريقتين. وفقًا للأول ، دعنا نسميها جنرال لواء،يتم الحساب وفقًا للصيغة:
(4.6)
ثانيا، سم شانيتفترض الطريقة استحقاق الفائدة على الكلعدد السنوات وفقًا لصيغة الفائدة المركبة والجزء الكسري المصطلح باستخدام صيغة الفائدة البسيطة:
,(4.7)
أين - فترة قرض، أ- عدد صحيح من السنوات ،ب - جزء من السنة.
يتم استخدام طريقة مماثلة في الحالات التي تكون فيها الفترةاستحقاق المنزل نصف عام أو ربع أو شهر.
عند اختيار طريقة الحساب ، يجب أن يؤخذ في الاعتبار الكثيرتبين أن مقيم المبنى وفقًا للطريقة المختلطة أكثر إلى حد ما من الطريقة العامة ، منذ ذلك الحين NS
<
1 عادلفيما يتعلق 
لوحظ أكبر فرقمتى ب = 1/2.
5. مقارنة النمو في الفائدة المركبة والبسيطة. دع الأساس الزمني للاستحقاق هو نفسه ، ومستوى أسعار الفائدة هو نفسه ، ثم:
1) لمدة تقل عن عام ، تكون الفائدة البسيطة أكثر تعقيدًا
2) لأكثر من عام
3) لمدة سنة واحدة ، تكون مضاعفات التراكم متساوية مع بعضها البعض
باستخدام معدل الزيادة للفائدة المركبة البسيطة ، يمكنك تحديد الوقت المطلوب لزيادة المبلغ الأولي فين بمجرد. لهذا ، من الضروري أن تكون معدلات النمو متساويةن:
1) لمصلحة بسيطة
2) للفائدة المركبة
صيغ مضاعفة رأس المال هي كما يلي:
بعد قراءة هذا الفصل ، ستعرف:
يعتمد حساب قيمة المؤسسة (الأعمال) ، مثل معظم الحسابات الاقتصادية ، على حساب الفائدة في طريقة deccursive أو المضادة للافتراضية (الأولية) ونظرية المعاشات.
فائدة- هذا هو الدخل بأشكال مختلفة من توفير الأموال (رأس المال) في الديون أو الاستثمارات.
سعر الفائدة- مؤشر يحدد مقدار الدخل أو شدة استحقاق الفائدة.
نسبة البناء- قيمة توضح نسبة رأس المال الأولي المتراكم.
فترة الاستحقاق- الفترة الزمنية التي يتم بعدها استحقاق الفائدة (يتم الحصول على الدخل). يمكن تقسيم فترة الاستحقاق إلى فترات استحقاق.
فترة الاستحقاق- الحد الأدنى للفترة التي يتم بعدها استحقاق جزء من الفائدة. يمكن احتساب الفائدة في نهاية فترة الاستحقاق (طريقة تخفيف الضغط) أو في البداية (طريقة مضادة أو أولية).
معدل الفائدة التقريبي (فائدة القرض) هو نسبة مبلغ الدخل المستحق لفترة معينة إلى المبلغ المتاح في بداية هذه الفترة.
عندما يتم دفع هذا الدخل بعد حساب الدخل لفترة ما ، وفي الفترة التالية يتم تحميل دخل الفائدة على المبلغ الأصلي ، يتم استخدام صيغة الاستحقاق معدلات بسيطة لفائدة الإقراض.
إذا أدخلنا الترميز:
أنا (٪) - معدل الفائدة السنوي (الدخل) ؛ أنا - القيمة النسبية لسعر الفائدة السنوي ؛ أنا - مقدار الفائدة المدفوعة عن الفترة (السنة) ؛
ص - المبلغ الإجمالي لأموال الفائدة لكامل فترة الاستحقاق ؛
ص - مبلغ المبلغ النقدي الأولي (القيمة الحالية) ؛
F - المبلغ المستحق (القيمة المستقبلية) ؛
ك ن - نسبة البناء
NS - عدد فترات الاستحقاق (سنوات) ؛
د - طول فترة الاستحقاق بالأيام ؛
إلى - طول السنة بالأيام ك = 365 (366) ، ثم معدل الفائدة التنازلي (1):
ومن ثم (6.1)
ثم نسبة التراكم:
إذا كانت فترة الزيادة أقل من فترة واحدة (سنة) ، إذن
تحديد مبلغ المبلغ المستحق F (القيمة المستقبلية) يسمى يضاعف (يضاعف).
مثال.ائتمان 25000 روبل. تصدر لمدة 3 سنوات بمعدل بسيط 12٪ سنويا. حدد المبلغ المستحق.
بالصيغة (6.1):
مثال.ائتمان 25000 روبل. تصدر لمدة 182 يومًا ، في السنة العادية ، بسعر فائدة بسيط قدره 12٪ سنويًا. حدد المبلغ المستحق.
حسب المعادلة (6.2):
في بعض الأحيان يصبح من الضروري حل المشكلة العكسية: لتحديد قيمة المقدار الأولي (الحالي ، المخفض) ص (القيمة الحالية) مع العلم بالمبلغ المتراكم F (القيمة المستقبلية):
تحديد قيمة المبلغ الأولي (الحالي ، المخفض) ص (القيمة الحالية) يسمى الخصم (خصم).
مثال.بعد 3 سنوات ، يجب أن يكون لديك مبلغ 16500 روبل. ما المبلغ في هذه الحالة الذي يجب إيداعه بمعدل بسيط قدره 12٪ سنويًا.
عن طريق تحويل الصيغ 6.1-6.3 ، يمكنك الحصول عليها
قد تتغير أسعار الفائدة في فترات مختلفة.
إذا كان خلال فترات الاستحقاق المختلفة NS , NS 2 ,..., ن ن ، يتم استخدام معدلات فائدة مختلفة أنا 1 , أنا 2 ,..., في , أين ن - العدد الإجمالي لفترات الاستحقاق ، ثم مبلغ الفائدة المالية في نهاية فترات الاستحقاق بسعر الفائدة أنا 1 :
أين ن 1 - عدد فترات الاستحقاق بسعر الفائدة أنا 1 في نهاية فترات الاستحقاق بسعر الفائدة ، إلخ.
ثم ، مع فترات الاستحقاق JV ، المبلغ المستحق (ن - رقم الفترة الأخيرة) لأي:
حيث عامل البناء: (6.5)
مثال.ائتمان بمبلغ 250000 روبل. تصدر لمدة 2.5 سنة بسعر فائدة بسيط. سعر الفائدة للسنة الأولى أنا = 18٪ ، ولكل نصف سنة تالية تنخفض بنسبة 1.5٪. تحديد عامل الاستحقاق والمبلغ المستحق.
حسب المعادلة (6.5): ك ن = 1 + 0,18 + 0,5 (0,165 + 0,15 + 0.135) = 1,405.
بالصيغة (6.4): F = 250000 × 1.405 = 351250 روبل.
مشكلة معكوسة:
لو ن ل = 1 إذن (6.7)
حيث تكون نسبة التراكم: (6.8)
مثال.ائتمان بمبلغ 250000 روبل. تصدر لمدة 5 سنوات بسعر فائدة بسيط. سعر الفائدة للسنة الأولى أنا
حسب المعادلة (6.8): ك ن = 1 + 0,18 + 0,165 + 0.15 + 0,135 + 0,12 = 1,75.
حسب المعادلة (6.7): F = 250000 × 1.75 = 437500 روبل.
عندما لا يتم دفع هذا الدخل بعد حساب الدخل لفترة ما ، ولكن يتم إضافته إلى مبلغ المال المتاح في بداية هذه الفترة (إلى المبلغ الذي أنشأ هذا الدخل) ، وفي الفترة التالية يتم استحقاق إيرادات الفوائد على هذا المبلغ بالكامل ، ثم يتم استخدام صيغ الاستحقاق الفائدة المركبة.
إذا أضفنا إلى التعيينات المقدمة:
أنا ج - القيمة النسبية لمعدل الفائدة السنوية المركبة ؛
ك ن سي - معدل الاستحقاق في حالة الفائدة المركبة ؛
ي - المعدل الاسمي لفائدة القرض المركب ، حيث يتم حساب المعدل الفاصل لفائدة القرض المركب ، ثم بالنسبة لفترة الاستحقاق التي تساوي سنة ، سيكون المبلغ المستحق كما يلي: للفترة الثانية (بعد عام): إلخ.
عير NS سنوات سيكون المبلغ المستحق:
أين هو عامل البناء ك ن سي يساوي:
مثال.ائتمان 25000 روبل. تصدر لمدة 3 سنوات بمعدل مركب 12٪ سنويا. حدد المبلغ المستحق.
بالصيغة (6.9)
حل المشكلة العكسية:
أين هو عامل الخصم.
عامل الخصم هو مقلوب عامل الاستحقاق:
مثال.بعد 3 سنوات ، يجب أن يكون لديك مبلغ 16500 روبل. ما المبلغ الذي يجب استثماره في هذه الحالة في وديعة بمعدل مركب قدره 12٪ سنويًا.
بمقارنة عوامل الاستحقاق ، عند حساب الفائدة البسيطة والمركبة ، يمكن ملاحظة ذلك باستخدام ن> 1. كلما زادت فترات الاستحقاق ، زاد الفرق في قيمة المبلغ المستحق عند حساب الفائدة المركبة والفائدة البسيطة.
يمكن تحديد المعلمات الأخرى:
NS ليس عددًا صحيحًا ، فيمكن تقديم عامل النمو في شكلين:
أين NS - ليس من مضاعفات عدد صحيح من الفترات المركبة ؛
أين NS = ن ج + د - العدد الإجمالي لفترات (سنوات) الاستحقاق ، التي تتكون من فترات استحقاق كاملة وغير صحيحة ؛ ن د - عدد أيام فترة الاستحقاق غير المتكاملة (غير المكتملة) ؛ ك = 365 (366) - عدد الأيام في السنة ؛ أنا ج - القيمة النسبية لمعدل الفائدة المركبة السنوي.
كلا الخيارين صالحان ، لكنهما يعطيان قيمًا مختلفة بسبب دقة الحساب المختلفة.
مثال.ائتمان 25000 روبل. تصدر لمدة 3 سنوات 6 أشهر بمعدل مركب 12٪ سنويا. حدد المبلغ المستحق.
قيمة المعدل السنوي للفائدة المركبة أنا 1 , أنا 2 ,..., في قد تختلف خلال فترات الاستحقاق المختلفة ن 1 , ن 2 ,..., ن ن .
ثم المبلغ المستحق في نهاية الفترة الأولى (السنة) من الاستحقاق:
في الفترة الثانية (بعد عام):
في الفترة n (لـ NS فترات (سنوات)):
ثم نسبة التراكم:
مثال.ائتمان بمبلغ 250000 روبل. تصدر لمدة 5 سنوات بسعر فائدة مركب. سعر الفائدة للسنة الأولى أنا = 18٪ وفي العام التالي ينخفض بنسبة 1.5٪. تحديد عامل الاستحقاق والمبلغ المستحق.
حسب المعادلة (6.14): ك ن سي = (1 + 0,18)(1 + 0,165)(1 + 0,15)(1 + 0,135)(1 + 0,12) = 2,0096.
حسب المعادلة (6.13): F = 250000 × 1.75 = 502400 روبل.
مشكلة معكوسة:
إذا تم حساب الفائدة المركبة على أساس فاصل ، أي عدة مرات خلال الفترة ، ثم صيغة الاستحقاق للفترة
أين ي = أنا - المعدل الاسمي لفائدة القرض المركب ؛ تي - عدد فترات الاستحقاق في الفترة (ربع سنوي ، شهري ، إلخ).
يتم إضافة الدخل لفترة زمنية إلى مبلغ المال المتاح في بداية تلك الفترة الزمنية.
ثم المبلغ المستحق لتراكم الفاصل الزمني لكل فترة بعد NS فترات (سنوات) ستكون
بالإضافة إلى ذلك ، يمكن تحديد معلمات أخرى:
مثال.ائتمان 25000 روبل. أصدرت ل ن = 3 سنوات بمعدل مركب 12٪ سنويا ، الدفع على نصف سنة ر = 2. تحديد المبلغ المستحق.
بالصيغة (6/16) 
.
إذا كان عدد الفترات المركبة NS ليس عددًا صحيحًا ، فيمكن تمثيل عامل النمو على أنه
أين ن - عدد فترات الاستحقاق (سنوات) كاملة ؛ ص - عدد فترات الاستحقاق الكاملة (الكاملة) ، ولكن أقل من إجمالي عدد الفواصل الزمنية في الفترة ، أي ص< m;d - عدد أيام الاستحقاق ، ولكن أقل من عدد الأيام في فاصل الاستحقاق.
مثال.ائتمان 25000 روبل. صادرة لـ u = 3 سنوات 8 أشهر ، 12 يومًا بمعدل مركب 12٪ سنويًا ، الدفع على نصف سنوات تي = = 2. حدد المبلغ المستحق.
الموضوع: الأسس الرياضية للإدارة المالية
أسئلة:
طرق احتساب الفائدة
جوهر الفائدة البسيطة والمركبة
طرق تقييم المعاشات
الإجابات:
1. طرق احتساب الفائدة
النسبة المئوية- هو الدخل من توفير رأس المال في الديون بأشكال مختلفة أو من استثمارات ذات طبيعة إنتاجية أو مالية.
زيادة مبلغ الدين الأصلي- هذه زيادة في مبلغ الدين نتيجة إضافة الفوائد المتراكمة (الدخل).
نسبة البناء- هذه قيمة توضح عدد المرات التي نما فيها رأس المال الأولي.
فترة الاستحقاق- هذه هي الفترة الزمنية التي يتم فيها احتساب الفائدة.
هناك طريقتان لتحديد الفائدة وحسابها:
طريقة استطرادية لحساب الفائدة- يتم احتساب الفائدة في نهاية كل فترة زمنية ، ويتم تحديد قيمة xi بناءً على مقدار رأس المال المقدم ، ومعدل الفائدة على الخطاب هو نسبة مبلغ الدخل المستحق خلال فترة زمنية معينة إلى المبلغ المتاح في بداية هذا الفاصل الزمني ، معبراً عنها بالنسبة المئوية.
طريقة غير افتراضية لحساب الفائدة- يتم احتساب الفائدة في بداية كل فترة زمنية ، ويتم تحديد مبلغ الفائدة على أساس المبلغ المستحق. سيتم التعبير عن معدل الفائدة كنسبة مئوية ، نسبة مبلغ الدخل المدفوع لفترة معينة إلى قيمة المبلغ المستحق المستلم بعد هذه الفترة.
في الممارسة العالمية ، أصبحت الطريقة الخطابية لزيادة الفائدة هي الأكثر انتشارًا ، وتعتبر الطريقة المضادة للافتراض لزيادة الفائدة بمثابة خصم بنكي أو محاسبة بنكية للفواتير ، وعادة ما تستخدم خلال فترات التضخم المرتفع.
2- جوهر الفائدة البسيطة والمركبة
هناك مخططان رئيسيان لحساب الفائدة المنفصل:
يفترض مخطط الفائدة البسيطة أن الأساس الذي يتم من خلاله الحساب يظل دون تغيير. يتم تحديد عملية الخصم وفقًا لنظام الفائدة البسيط من خلال الصيغة:
يفترض مخطط الفائدة المركبة التباين بسبب رسملة الفائدة المتراكمة ولكن لم يتم دفعها للمبلغ الأساسي. استحقاق الفائدة المركبة:
المضاعف في عملية التراكم لتحديد التكلفة السيئة ، يتم جدولة قيمها.
تسمى العملية التي يتم فيها تعيين المبلغ الأولي والسعر عملية الاستحقاق ، والقيمة المطلوبة هي المبلغ المستحق ، والمعدل المستخدم في العملية هو معدل الاستحقاق.
يتم استدعاء العملية التي يتم فيها استلام المبلغ المتوقع في المستقبل وتعيين السعر عملية الخصم، القيمة المطلوبة هي المبلغ المخفض، والسعر المستخدم في المعاملة هو معدل الخصم.
تتم عملية الخصم بفائدة بسيطة وفقًا للصيغة التالية:
تتم عملية الخصم وفقًا لنظام الفائدة المركبة وفقًا للصيغة:
عامل الخصم لتحديد المبلغ الحالي ، يتم جدولة قيمه.
4- طرق تقدير المعاشات
يتم استدعاء دفق المدفوعات أحادية الاتجاه بفواصل زمنية متساوية بين المدفوعات المتتالية على مدى عدد معين من السنوات دخل سنوي(إيجار مالي).
أمثلة على المعاشات: صندوق التقاعد ، سداد القرض من قبل المقترض.
يمكن إجراء تقييم التدفق النقدي كجزء من حل المشكلات:
مباشر - أي يتم إجراء تقييم من منظور المستقبل ويتم تنفيذ مخطط تراكمي (مخطط تراكم الأقساط السنوية بعد الأرقام.
مجموع القسط السنوي
FM3 (i ؛ n) - مضاعف الأقساط في عملية التراكم ، يتم أيضًا جدولة القيم
يتم تنفيذ مخطط الاستحقاق للرقم المسبق والراتب السنوي وفقًا للصيغة
FV = A * FM3 (أنا ؛ ن) * (1 + أنا)
معكوس ، أي يتم إجراء التقييم من وجهة نظر الحاضر ، ويجري تنفيذ مخطط الخصم.
يتم تنفيذ عملية الخصم لمرتب ما بعد الرقم والدفع السنوي وفقًا للصيغة
A * FM4 (i؛ n) هو عامل خصم لمعاش سنوي ، كما يتم جدولة قيمه.
النسبة المئوية للخصم للترقيم المسبق: = A * FM4 (i ؛ n) * (1 + i)
في حالة الحاجة إلى تقييم التأثير المتكامل لأي عملية تراكمية ذات هيكل داخلي معقد (تغيير في قيمة الأسعار ، وفترات استحقاق الفائدة ، وما إلى ذلك) ، فمن الملائم استخدام المفهوم المعدل الفعلي.من المفترض أن المعدل الفعلي يمعقد.
لذلك ، على سبيل المثال ، دعونا نحدد المعدل الفعلي لعملية ما وهي حالة تراكم الفائدة المتكرر للفترة التي يتم فيها تحديد معدل الاستحقاق (3.5). معادلة عبارات الحصول على نتائج الاستحقاق للعملية قيد النظر (3.5) والتعبير عن المبلغ المستحق للفائدة المركبة (3.1) ، بافتراض المعدل الفعلي الظاهر في (3.1) ي
س= ص´ (1 + ي)ن= ص´ (1 + أنا ج/م)م ´ ن ,
أولئك. مما يؤدي إلى نفس نتيجة البناء. يتم تحديد قيمتها لهذا المثال من خلال التعبير
ي= (1 + أنا ج/م) م ´ ن – 1.
وتجدر الإشارة إلى أن هذا التعبير عن قيمة المعدل الفعلي لتراكم الفائدة المركبة صالح فقط للحالة المدروسة ( ممرات تراكم الفائدة على الفترة) ، وفي كل حالة أخرى ، عند تحديد المعدل الفعلي لمعاملة مالية أخرى ، فإن التعبير عن تحديدها سيكون مختلفًا.
بشكل عام ، بالنسبة للمعاملة المالية التعسفية ، يكون للتعبير الخاص بتحديد معدل المضاعفة الفعال الشكل
ي= (س/ص) 1/ن – 1, (3.9)
ص- المبلغ الأولي لعملية التراكم المعتبرة ؛
س- المجموع الناتج لعملية الاستحقاق قيد النظر ، القيمة ن ´ تييحدد فترة عملية التراكم المدروسة ؛
ن- عدد الفترات تيعملية البناء المدروسة ؛
تي- الفترة التي يتم فيها تحديد المعدل الفعلي ي.
يعد التعبير (3.9) مناسبًا للاستخدام لإجراء تقييم عام لفعالية أنواع مختلفة من المعاملات المالية ، والتي تظل تفاصيل وتفاصيل تنفيذها غير متوفرة ، أي التقييم في وضع "الصندوق الأسود". الصيغة (3.9) تتطلب بيانات الإدخال فقط ( ص) والبيانات الناتجة ( س) في الوقت نفسه ، يتم تحديد المعلمة الرئيسية لتقييم المعاملات المالية - السعر الفعلي الذي يميز ربحية هذه العملية.
مثال 1. حدد المعدل الفعلي لعمل مؤسسة استثمرت 150.000 روبل في الأعمال التجارية. وحصل على عائد استثمار بمبلغ 250000 روبل. في خلال سنتين.
حل: المبلغ الأولي للأموال ص= 150000 روبل المبلغ المستحق س= 250000 روبل مصطلح ن= سنتان. نستخدم التعبير (3.9) ي= (250 000/150 000) 1/2 – 1 = 1,29 – 1 = 0,29 (ي = 29%).
مثال 2. حدد المعدل الفعلي للإيداع لمدة خمس سنوات ، حيث يتم مضاعفة المعدل البسيط البالغ 10٪ في السنة الثانية.
حل: يتم الإشارة إلى المبلغ الأولي كـ ص... المبلغ المتراكم على مدى خمس سنوات س= ص+ أنا 1 + أنا 2 = ص(1 + 0.1 2 + 0.2 3). ثم ي= (ص(1 + 0.1 ´ 2 + 0.2 3) / ص) 1/5 – 1 = 1,0985 – 1 = 0,0985 (ي= 8,95%).
مثال 3. حدد المعدل الفعلي لمعاملة شراء الفواتير لمدة أربع سنوات حتى تاريخ الاستحقاق ، بمعدل خصم بسيط قدره 10٪.
حل:سعر الشراء في هذه الحالة هو المبلغ الأصلي ص= س(1 - 0.1 ´ 4) ، س- القيمة الاسمية للفاتورة - المبلغ المستحق. بعد ذلك ، وفقًا لـ (3.9) ، يكون المعدل الفعلي مساويًا ي= (س/س´ (1 - 0.1 ´ 4)) 1/4 - 1 = 0.1362 ( ي= 13,62%).
تمارين
1. أوجد مبلغ الإيداع 14000 روبل. بسعر الفائدة المركب أنا ج= 10٪ على 6 سنوات؟ Ovet: 24801.85 روبل.
2. بأي معدل الفائدة المركبة أنا جيتضاعف المال في 12 سنة؟ الإجابة: 5.94٪.
3. ما هي قيمة معدل الفائدة المركبة إذا كان 10 مليون روبل. زاد إلى 25 مليون روبل. في 7 سنوات؟ الجواب: 25.84٪.
4. بسعر فائدة مركب مقداره 10 مليون روبل. تنمو إلى 15 مليون روبل. في 10 سنوات. ماذا سيكون المبلغ المستحق في نهاية السنة 6؟ Ovet: 12754245.01 فرك.
5. تكلفة السند 1875 روبل. ويدفع 2500 روبل. بعد 8 سنوات. ما هو المعدل المركب الذي سيقود هذا النمو؟ الجواب: 3.66٪.
6. أوجد معدل الفائدة السنوي الفعلي (المعدل) المقابل لمعدل 1.5٪ ، مع رسملة الفائدة الشهرية. النسبة: 1.51٪.
7. يتم استثمار مبلغ المال عند الرهان أنا ج = 10٪ لمدة عام برسملة ربع سنوية. ما هو معدل الفائدة العادي الذي سيراكم نفس المبلغ في نهاية السنة الأولى؟ الجواب: 10.38٪.
8.10 مليون روبل. استثمر لمدة 5 سنوات بمعدل أنا ج= 5٪ مع زيادة سنوية في معدل الفائدة 0.5٪. ما هو المعدل الفعال يتتراكم كمية متساوية في نفس الوقت؟ الجواب: 5.99٪.
9. قام العميل بإيداع مليون روبل في حساب الودائع الخاص به. لمدة 3 سنوات بمعدل فائدة مركب 1.7٪ سنويًا. حدد الدخل من رسملة الفائدة في نهاية المدة. البيض: 870 روبل.
10. أبرمت الشركة اتفاقية قرض مع البنك بمبلغ 3.000.000 روبل. لفترة من 5.01.2003 إلى 20.03.2005 بمعدل فائدة مركب 15٪ سنويًا. بطريقة مختلطة ، احسب الفائدة على القرض باستخدام مخطط 365/365. الجواب: 105965.55 روبل.
11. أبرمت الشركة اتفاقية قرض مع البنك بمبلغ 6700000 روبل. لفترة من 15 يونيو 2004 إلى 23 سبتمبر 2005 بمعدل فائدة مركب قدره 5٪ سنويًا مع رسوم ربع سنوية. احسب الفائدة المتراكمة لمنح قرض باستخدام مخطط 365/360. الجواب: RUB 444076
12. تم إصدار قرض بمبلغ 30000 روبل. لفترة من 15.01.2005 إلى 20.03.2007 بمعدل فائدة مركب 12٪ سنويًا. احسب نسبة البناء باستخدام مخطط 360/360. الجواب: 1.27.
13. أصدر البنك قرضا قدره 50000 روبل. في الأشهر الستة الأولى ، تحدد الاتفاقية معدلًا مركبًا بنسبة 20 ٪ سنويًا ، كل ستة أشهر يزيد المعدل بنسبة 3 ٪ ، ومدة الاتفاقية هي سنتان. حدد المبلغ المستحق لمدة القرض بالكامل. الجواب: 77444.98 روبل روسي
14. تحتوي اتفاقية القرض على معدل مركب قدره 20٪ في السنة ، كل سنتين يزيد المعدل بنسبة 1.5٪ ، ومدة الاتفاقية هي 10 سنوات. تحديد معدل النمو للعملية. الجواب: 4.98.
15. في نهاية العقد ، بعد 90 يومًا من توقيعه ، سيدفع المدين مليون روبل. تم إصدار القرض بمعدل بسيط قدره 30٪ في السنة. ما هو حجم القرض؟ الجواب: RUB 931121.45
16. ما هو أكثر - الدخل من رسملة الفائدة أو حجم الوديعة بمعدل مركب 19٪ على مدى 8 سنوات؟ الجواب: المزيد من الدخل من رسملة الفوائد.
1. قاعدة حساب أموال الفائدة بمعدل زيادة مركب. رسملة الأموال التي تحمل فائدة.
2. الفرق في أساس حساب الفائدة البسيطة والمركبة. هيكل أموال الفائدة بمعدل تراكم معقد.
3. استحقاق أموال الفائدة عندما تتغير قيمة معدل الاستحقاق المركب. نسبة البناء.
4. نتائج الاستحقاق عند احتساب أموال الفائدة ممرات في الفترة التي يتم فيها تحديد معدل الزيادة المركب.
5. الاستحقاق بمعدل تراكمي معقد لفترة زمنية اعتباطية.
6. مفهوم معدل الزيادة الفعلي. مقارنة معدلات نمو التراكم بمعدل تراكم بسيط ومعقد ، بما في ذلك مع معدد المرات المستحقة في الفترة.
معلومات مماثلة.
