Понятиям MTTF (Mean Time To Failure - среднее время до отказа) и другим терминам теории надежности посвящено большое количество статей, в том числе на Хабре (см., например, ). Вместе с тем, редкие публикации «для широкого круга читателей» затрагивают вопросы математической статистики, и уж тем более они не дают ответа на вопрос о принципах расчета надежности электронной аппаратуры по известным характеристикам ее составных элементов.
В последнее время мне довольно много приходится работать с расчетами надежности и рисков, и в этой статье я постараюсь восполнить этот пробел, отталкиваясь от своего (из цикла о машинном обучении) о пуассоновском случайном процессе и подкрепляя текст вычислениями в , повторить которые вы сможете скачав этот редактор (подробно о нем тут, обратите внимание, что нужна последняя версия 3.1, как и для цикла по machine learning). Сами маткадовские расчеты лежат (вместе с XPS- копией).
1. Теория: основные характеристики отказоустойчивости
Вроде бы, из самого определения (Mean Time To Failure) понятен его смысл: сколько (конечно, в среднем, поскольку подход вероятностный) прослужит изделие. Но на практике такой параметр не очень полезен. Действительно, информация о том, что среднее время до отказа жесткого диска составляет полмиллиона часов, может поставить в тупик. Гораздо информативнее другой параметр: вероятность поломки или вероятность безотказной работы (ВБР) за определенный период (например, за год).
Для того чтобы разобраться в том, как связаны эти параметры, и как, зная MTTF, вычислить ВБР и вероятности отказа, вспомним некоторые сведения из математической статистики.
Ключевое понятие теории надежности - это понятие отказа, измеряемое, соответственно, интервальным показателем
Q(t) = вероятность того, что изделие откажет к моменту времени t.
Соотвественно, вероятность безотказной работы (ВБР, в английской терминологии «reliability»):
P(t) = вероятность того, что изделие проработает без отказа от момента t 0 =0 до момента времени t.
По определению, в момент t 0 =0 изделие находится в работоспособном состоянии, т.е. Q(0)=0, а P(0)=1.
Оба параметра - это интервальные характеристики отказоустойчивости, т.к. речь идет о вероятности отказа (или наоборот, безотказной работы) на интервале (0,t). Если отказ рассматривать, как случайное событие, то, очевидно, что Q(t) - это, по определению, его функция распределения. А точечную характеристику можно определить, как
p(t)=dQ(t)/dt = плотность вероятности, т.е. значение p(t)dt равно вероятности, что отказ произойдет в малой окрестности dt момента времени t.
И, наконец, самая важная (с практической точки зрения) характеристика: λ(t)=p(t)/P(t)=интенсивность отказов.
Это (внимание!) условная плотность вероятности, т.е. плотность вероятности возникновения отказа в момент времени t при условии, что до этого рассматриваемого момента времени t изделие работало безотказно.
Измерить параметр λ(t) экспериментально можно путём испытания партии изделий. Если к моменту времени t работоспособность сохранило N изделий, то за оценку λ(t) можно принять процент отказов в единицу времени, происходящих в окрестности t. Точнее, если в период от t до t+dt откажет n изделий, то интенсивность отказов будет примерно равна
λ(t)=n/(N*dt).
Именно эта λ-характеристика (в пренебрежении ее зависимостью от времени) и приводится чаще всего в паспортных данных различных электронных компонент и самых разных изделий. Только сразу возникает вопрос: а как вычислить вероятность безотказной работы и при чем здесь среднее время до отказа (MTTF).
А вот при чем.
2. Экспоненциальное распределение
В терминологии, которую мы только что использовали, пока не было никаких предположений о свойствах случайной величины - момента времени, в который происходит отказ изделия. Давайте теперь конкретизируем функцию распределения значения отказа, выбрав в качестве нее экспоненциальную функцию с единственным параметром λ=const (смысл которого будет ясен через несколько предложений).
Дифференцируя Q(t), получим выражение для плотности вероятности экспоненциального распределения:,
а из него – функцию интенсивности отказов: λ(t)=p(t)/P(t)=const=λ.
Что мы получили? Что для экспоненциального распределения интенсивность отказов – есть величина постоянная, причем совпадающая с параметром распределения. Этот параметр и является главным показателем отказоустойчивости и его часто так и называют λ-характеристикой.
Все это замечательные свойства экспоненциального распределения. Почему мы выбрали в качестве для описания отказов именно его? Да потому что это наиболее простая модель – модель пуассоновского потока событий, которая уже была нами рассмотрена . Поэтому-то в теории надежности наиболее часто используется показательное (экспоненциальное) распределение, для которого, как мы выяснили:
Но это еще не все, потому, что для экспоненциального распределения особенно легко делать расчет систем, состоящих из множества элементов. Но об этом – в следующей статье (продолжение следует).
Лекция № 3
Тема № 1. Показатели надежности ЭМС
Показатели надежности характеризуют такие важнейшие свойства систем, как безотказность , живучесть , отказоустойчивость , ремонтопригодность , сохраняемость , долговечность и являются количественной оценкой их технического состояния и среды, в которой они функционируют и эксплуатируются. Оценка показателей надежности сложных технических систем на различных этапах жизненного цикла используется для выбора структуры системы из множества альтернативных вариантов, назначения гарантийных сроков эксплуатации, выбора стратегии и тактики технического обслуживания, анализа последствий отказов элементов системы.
Аналитические методы оценки показателей надежности сложных технических систем управления и принятия решения базируются на положениях теории вероятности. В силу вероятностной природы отказов оценка показателей основана на использовании методов математической статистики. При этом статистический анализ проводится, как правило, в условиях априорной неопределенности относительно законов распределения случайных значений наработки системы, а также по выборкам ограниченного объема, содержащих данные о моментах отказа элементов системы при из испытаниях или в условиях эксплуатации.
Вероятность безотказной работы (ВБР) – это вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации в заданном интервале времени не произойдет ни одного отказа. Вероятность P (t ) – функция, убывающая см. рис.1 причем,
ВБР по статистическим данным об отказах оценивается выражением
(1)
где – статистическая оценка ВБР; – число изделий в начале испытаний, при большом числе изделий статистическая оценка практически совпадает с вероятностью P (t ) ; –число отказавших изделий за время t .
Рисунок 1. Кривые вероятности безотказной работы и вероятности отказов
Вероятность отказа Q ( t ) – это вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации в заданном интервале времени произойдет хотя бы один отказ. Отказ и безотказная работа – события противоположенные и несовместимые
(2)
Частота отказов a ( t ) – есть отношение отказавших изделий в единицу времени к первоначальному числу испытываемых изделий
(3)
где –число отказавших изделий в интервале времени Dt .
Частота отказов или плотность вероятности отказов может быть определена как производная по времени вероятности отказов
Знак (-) характеризует скорость снижения надежности во времени.
Средняя наработка до отказа – среднее значение продолжительности работы неремонтируемого устройства до первого отказа:
где – продолжительность работы (наработка) до отказа i -гo устройства; – число наблюдаемых устройств.
Пример. Наблюдения за эксплуатацией 10 электродвигателей выявили, что первый проработал до отказа 800 ч, второй – 1200 и далее соответственно; 900, 1400, 700, 950, 750, 1300, 850 и 1500 ч. Определить наработку двигателей до внезапного отказа,
Решение . По (5) имеем
Интенсивность отказов l ( t ) – условная плотность вероятности возникновения отказа, которая определяется как отношение числа отказавших изделий в единицу времени к среднему числу изделий, исправно работающих в данный отрезок времени
, (6)
где – число устройств, отказавших в период времени ; – число среднее число устройств, исправно работающих в период наблюдения; – период наблюдения.
Вероятность безотказной работы Р(t) через выразится
. (8)
Пример 1. При эксплуатации 100 трансформаторов в течение 10 лет произошло два отказа, причём каждый раз отказывал новый трансформатор. Определить интенсивность отказов трансформатора за период наблюдения.
Решение.
По (6) имеем 
отк./год.
Пример2 . Изменение числа отказов BJI из-за производственной деятельности сторонних организаций по месяцам года представлено следующим образом:
Определить среднемесячную интенсивность отказов.
Решение.
; 
отк./ мес.
Ожидаемая расчетная интенсивность l = 7,0.
Средняя наработка на отказ – среднее значение наработки ремонтируемого устройства между отказами, определяемое как среднее арифметическое:
, (9)
где – наработка до первого, второго, n -го отказа; n – число отказов от момента начала эксплуатации до окончания наблюдения. Наработка на отказ, или среднее время безотказной работы, есть математическое ожидание :
. (10)
Пример. Трансформатор отказал, проработав около года. После устранения причины отказа он проработал еще три года и опять вышел из строя. Определить среднюю наработку трансформатора на отказ.
Решение
. По (1.7) вычислим 
года.
Параметр потока отказов – среднее количество отказов ремонтируемого устройства в единицу времени, взятое для рассматриваемого момента времени:
(11)
где – число отказов i -го устройства по состоянию на рассматриваемые моменты времени – и t соответственно; N – число устройств; – рассматриваемый период работы, причём .
Отношение среднего числа отказов восстанавливаемого объекта за произвольно малую его наработку к значению этой наработки
Пример . Электротехническое устройство состоит из трех элементов. В течение первого года эксплуатации в первом элементе произошло два отказа, во втором – один, в третьем отказов не было. Определить параметр потока отказов.
Решение
Откуда по (1.8) 
Среднее значение ресурса рассчитывают по данным эксплуатации или испытаний с использованием уже известного выражения для наработки:
.
Среднее время восстановления – среднее время вынужденного или регламентированного простоя, вызванного обнаружением и устранением одного отказа:
где – порядковый номер отказа; – среднее время обнаружения и устранения отказа.
Коэффициент готовности – вероятность того, что оборудование будет работоспособно в произвольно выбранный момент времени в промежутках между выполнениями планового технического обслуживания. При экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы и времени восстановления коэффициент готовности
.
Коэффициент вынужденного простоя – это отношение времени вынужденного простоя к сумме времени исправной работы и вынужденных простоев.
Коэффициент технического использования – это отношение наработки оборудования в единицах времени за некоторый период эксплуатации к сумме этой наработки и времени всех простоев, вызванных, техническим обслуживанием и ремонтами за тот же период эксплуатации:
.
Кроме того [ГОСТ 27.002-83] определяет показатели долговечности , в терминах которых следует указывать вид действий после наступления предельного состояния объекта (например, средний ресурс до капитального ремонта; гамма-процентный ресурс до среднего ремонта и т.д.). Если предельное состояние обуславливает окончательное снятие объекта с эксплуатации, то показатели долговечности называются: полный средний ресурс (срок службы), полный гамма-процентный ресурс (срок службы), полный назначенный ресурс (срок службы).
Средний ресурс – математическое ожидание ресурса.
Гамма-процентный ресурс – наработка, в течение которой объект не достигнет предельного состояния с заданной вероятностью g, выраженной в процентах.
Назначенный ресурс – суммарная наработка объекта, при достижении которой применение по назначению должно быть прекращено.
Средний срок службы – математическое ожидание срока службы.
Гамма-процентный срок службы – календарная продолжительность от начала эксплуатации объекта, в течение которой он не достигнет предельного состояния с заданной вероятностью g, выраженной в процентах.
Назначенный срок службы – календарная продолжительность эксплуатации объекта, при достижении которой применение по назначению должно быть прекращено.
Показатели ремонтопригодности и сохраняемости определяются следующим образом.
Вероятность восстановления работоспособного состояния – это вероятность того, что время восстановления работоспособного состояния объекта не превысит заданного.
Среднее время восстановления работоспособного состо яния – это математическое ожидание времени восстановления работоспособного состояния.
Средний срок сохраняемости – это математическое ожидание срока сохраняемости.
Гамма-процентный срок сохраняемости – это срок сохраняемости, достигаемый объектом с заданной вероятностью , выраженной в процентах.
Средним временем безотказной работы называется математическое ожидание времени безотказной работы.
Эта характеристика надежности обозначается T. Как всякое математическое ожидание случайной величины среднее время безотказной работы определяется из выражения:
Приведенное определение является вероятностным. Для определения среднего времени безотказной работы из статистических данных пользуются формулой:
где t i - время безотказной работы i-го образца, N 0 - число образцов, над которыми проводится испытание.
Из выражения (1.26) видно, что для определения T необходимо знать моменты отказов всех образцов аппаратуры, над которыми проводится эксперимент. При большом числе образцов N 0 это может сильно усложнить эксперимент.
Выражение (1.26) является статистическим определением среднего времени безотказной работы.
Среднее время безотказной работы является одной из наиболее наглядных количественных характеристик надежности. Однако этой характеристике надежности свойственны существенные недостатки. Как математическое ожидание случайной величины, она не может полностью характеризовать время работы аппаратуры. Необходимо еще знать, по меньшей мере, дисперсию времени отказов аппаратуры. Кроме того, T фактически не позволяет оценить надежность аппаратуры, время работы которой во много раз меньше среднего времени безотказной работы.
Из выражения (1.26) видно, что для вычисления T определяются времена отказов каждого из N 0 образцов. В дальнейшем они в эксперименте не участвуют. Таким образом, среднее время безотказной работы характеризует надежность аппаратуры до первого отказа. Это означает, что T хорошо характеризует надежность аппаратуры разового использования, например, простейших элементов, которые после отказа не ремонтируются.
Величину T можно использовать и для оценки надежности сложных устройств. Однако в этом случае T характеризует надежность до первого их отказа.
У аппаратуры длительного использования, работающей в режиме смены отказавших элементов, среднее время безотказной работы до первого отказа может существенно отличаться от среднего времени между первым и вторым отказами, вторым и третьим и т.д. Это означает, что среднее время безотказной работы может характеризовать надежность такой аппаратуры только до первого отказа.
Этой характеристике дают следующее определение: наработкой на отказ называется среднее значение времени между соседними отказами, при условии восстановления каждого отказавшего элемента.
Эта характеристика обозначается t ср и определяется из статистических данных об отказах по формуле:
где t i – время исправной работы аппаратуры между (i – 1)-м и i-м отказами; n – число отказов аппаратуры за время t.
Из определения и формулы (1.27) видно, что наработка на отказ является средним временем между соседними отказами. Формулой (1.27) удобно пользоваться, если t ср определяется по данным об отказах лишь одного образца аппаратуры. Если испытание проводится с несколькими образцами, то t ср вычисляется по формуле:
где t ср. i - среднее время между соседними отказами i-го образца, вычисленное по формуле (1.27), N 0 – число испытываемых образцов.
Найти связь среднего времени между соседними отказами с другими количественными характеристиками надежности проще всего через среднюю частоту отказов. Действительно, если известны средние частоты отказов элементов сложной системы, то среднее число отказов системы в любом промежутке времени определяется ее суммарной частотой отказов. Тогда среднее время между соседними отказами будет равно величие, обратной суммарной частоте отказов, т.е.
, (1.30)
где r – число типов элементов.
Вероятность безотказной работы P(t), частота отказов α(t) (средняя частота отказов ), интенсивность отказов и среднее время безотказной работы T (среднее время между соседними отказами t ср) являются основными количественными характеристиками надежности. Каждая из них имеет свои достоинства и недостатки. Ни одна из них не является исчерпывающей характеристикой надежности. Только все они в совокупности во многих случаях могут характеризовать достаточно полно надежность аппаратуры в течение времени ее работы.
