20% имеющихся средств клиентов банк собирается вложить в проект A на один год. Остальные 80% — в проект B . Исходя из того как сложатся обстоятельства, проект А может принести прибыль в размере от 27% до 32% годовых, а проект B — от 37% до 42% годовых. Банк должен вернуть деньги клиентам в конце года с выплатой процентов по фиксированной ставке. Уровень процентной ставки должен быть в пределах от 15% до 20% годовых. Найдите наибольшую и наименьшую чистую прибыль, которую может получить банк, от суммы вложений в проекты A и B в процентах годовых.
Показать решениеПусть N — сумма вложений. В проект A может быть вложено 0,2N , а в проект B — 0,8N . Тогда от участия в проекте A банк получит средств от 1,27 \cdot (0,2N) = 0,254N до 1,32 \cdot (0,2N) = 0,264N , а от участия в проекте B — от 1,37 \cdot (0,8N) =1,096N до 1,42 \cdot (0,8N) =1,136N. Суммарно банк может получить от 1,35N до 1,4N . То есть доходы P банка 1,35N \leq P \leq 1,4N . Пусть процентная ставка по вкладам, начисляемая банком, равна a . Тогда в конце года банк должен выплатить клиентам V=N\left (1+\frac{a}{100} \right) . Для выполнения условия задачи выплаты клиентам составят не менее 15% и не более 20% годовых от суммарных вложений в проекты A и B , то есть 1,15N \leq V \leq 1,2N .
Чистая прибыль банка равна разности доходов и выплат клиентам, то есть P — V , а чистая прибыль в процентах от вложений равна
\frac{P-V}{N} \cdot 100 % . Мы получили, что 1,35 \leq \frac{P}{N} \leq 1,4; 1,15 \leq \frac{V}{N} \leq 1,2; -1,2 \leq -\frac{V}{N} \leq -1,15.
Сложим неравенства 1,35+(-1,2) \leq \frac{P}{N}+\left (-\frac{V}{N} \right) \leq 1,4+(-1,15) .
0,15 \leq \frac{P-V}{N} \leq 0,25, \: 15% \leq \frac{P-V}{N} \cdot 100% \leq 25% .
Занятие вновь посвящено 17 задаче - сложной текстовой задаче, мы рассмотрим различные варианты нахождения банковского процента.
Задача 17. Задачи на проценты.
В одной стране в обращении находилось 1 000 000 долларов, 20% из которых были фальшивыми. Некая криминальная структура стала ввозить в страну по 100000 долларов в месяц, 10% из которых были фальшивыми. В это же время другая структура стала вывозить из страны 50 000 долларов ежемесячно, из которых 30% оказались фальшивыми. Через сколько месяцев содержание фальшивых долларов в стране составит 5%?
Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% - в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект - от 22 до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.
В банк был положен вклад под банковский процент 10%. Через год хозяин вклада снял со счета 2000 рублей, а еще через год снова внес 2000 рублей. Однако, вследствие этих действий через три года со времени первоначального вложения вклада он получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы получил в итоге вкладчик?
Молодой семье на покупку квартиры банк выдает кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: ровно через год после выдачи кредита банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем эта семья в течение следующего года переводит в банк определенную (фиксированную) сумму ежегодного платежа. Семья Ивановых планирует погашать кредит равными платежами в течение 4 лет. Какую сумму может предоставить им банк, если ежегодно Ивановы имеют возможность выплачивать по кредиту 810 000 рублей?
Курс доллара в течение двух месяцев увеличился на одно и то же число процентов ежемесячно, но не более, чем в 1,5 раза. За сумму, вырученную от продажи в начале первого месяца одного доллара, к концу второго месяца можно было купить на 9 центов меньше, чем в конце первого месяца. На сколько процентов уменьшился курс рубля за два месяца?
В двух банках в конце года на каждый счет начисляется прибыль: в первом банке - 60% к текущей сумме на счете, во втором - 40% к текущей сумме на счете. Вкладчик в начале года часть имеющихся у него денег положил в первый банк, а остальные деньги – во второй банк, с таким расчетом, чтобы через два года суммарное количество денег на обоих счетах увеличилось на 150%. Сколько процентов денег вкладчик положил в первый банк?
В начале года 5/6 некоторой суммы денег вложили в банк А, а то, что осталось - в банк Б. Если вклад находится в банке с начала года, то к концу года он возрастает на определённый процент, величина которого зависит от банка. Известно, что к концу первого года сумма вкладов стала равна 670 у.е., к концу следующего - 749 у.е. Если первоначально 5/6 суммы было бы вложено в банк Б, а оставшуюся вложили бы в банк А, то по истечении одного года сумма выросла бы до 710 у.е. Определите сумму вкладов по истечении второго года в этом случае.
Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов (то есть увеличил ставку а% до (а + 40)%). К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?
В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составила х % годовых, тогда как в январе 2001 года - у % годовых, причем известно, что x + y = 30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение х при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.
Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.
Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 р. Первый брокер продал 75% своих акций, а второй 80% своих. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером. На сколько процентов возросла цена одной акции?
31 декабря 2014 года Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Пётр переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 392 000 рублей, то за 2 года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?
31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
31 декабря 2014 года Савелий взял в банке 7 378 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Савелий Переводит в банк платёж. Весь долг Савелий выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
Имеется три пакета акций. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, а суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из из первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 тыс. руб. до 20 тыс. руб., а цена акции из третьего пакета не меньше 42 тыс. руб. и не больше 60 тыс. руб. Определите, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.
Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент, свой для каждого банка. В начале года Степан положил 60% некоторой суммы денег в первый банк, а оставшуюся часть суммы во второй банк. К концу года сумма этих вкладов стала равна 590 000 руб., а к концу следующего года 701 000 руб. Если бы Степан первоначально положил 60% своей суммы во второй банк, а оставшуюся часть в первый, то по истечении одного года сумма вкладов стала бы равной 610 000 руб. Какова была бы сумма вкладов в этом случае к концу второго года?
В 2010 году в городском квартале проживало 50000 человек. В 2011 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 15%, а в 2012 году — на 10% по сравнению с 2011 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2012 году?
Алек-сей взял кре-дит в банке на срок 17 ме-ся-цев. По до-го-во-ру Алек-сей дол-жен вер-нуть кре-дит еже-ме-сяч-ны-ми пла-те-жа-ми. В конце каж-до-го ме-ся-ца к остав-шей-ся сумме долга до-бав-ля-ет-ся r % этой суммы и своим еже-ме-сяч-ным пла-те-жом Алек-сей по-га-ша-ет эти до-бав-лен-ные про-цен-ты и умень-ша-ет сумму долга. Еже-ме-сяч-ные пла-те-жи под-би-ра-ют-ся так, чтобы долг умень-шал-ся на одну и ту же ве-ли-чи-ну каж-дый месяц (на прак-ти-ке такая схема на-зы-ва-ет-ся «схе-мой с диф-фе-рен-ци-ро-ван-ны-ми пла-те-жа-ми»). Из-вест-но, что общая сумма, вы-пла-чен-ная Алек-се-ем банку за весь срок кре-ди-то-ва-ния, ока-за-лась на 27 % боль-ше, чем сумма, взя-тая им в кре-дит. Най-ди-те r.
Алек-сей при-обрёл цен-ную бу-ма-гу за 8 тыс. руб-лей. Цена бу-ма-ги каж-дый год воз-рас-та-ет на 1 тыс. руб-лей. В любой мо-мент Алек-сей может про-дать бу-ма-гу и по-ло-жить вы-ру-чен-ные день-ги на бан-ков-ский счёт. Каж-дый год сумма на счёте будет уве-ли-чи-вать-ся на 8%. В те-че-ние ка-ко-го года после по-куп-ки Алек-сей дол-жен про-дать цен-ную бу-ма-гу, чтобы через два-дцать пять лет после по-куп-ки этой бу-ма-ги сумма на бан-ков-ском счёте была наи-боль-шей? (ответ записать числом)
19. 31 декабря 2012 года Екатерина взяла в банке 850000 рублей в кредит под 15% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 15%), затем Екатерина переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Екатерина выплатила долг тремя равными ежегодными платежами?19. Молодой семье на покупку квартиры банк выдает кредит под 20 % годовых.
Схема выплаты кредита следующая: ровно через год после выдачи кредита банк
начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%),
затем эта семья в течение следующего года переводит в банк определенную
(фиксированную) сумму ежегодного платежа. Семья Ивановых планирует погашать
кредит равными платежами в течение 4 лет. Какую сумму может предоставить им
банк, если ежегодно Ивановы имеют возможность выплачивать по кредиту 810 000
19. В 8-литровой колбе находится смесь азота и кислорода, содержащая 32% кислорода. Из колбы выпустили некоторое количество смеси и добавили столько же азота; затем снова выпустили такое же, как и в первый раз, количество новой смеси и добавили столько же азота. В итоге процентное содержание кислорода в смеси составило 12,5%. Сколько литров смеси выпускали каждый раз?
19. В банк был положен вклад под банковский процент 10%. Через год хозяин вклада снял со счета 2000 рублей, а еще через год снова внес 2000 рублей. Однако, вследствие этих действий через три года со времени первоначального вложения вклада он получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы получил в итоге вкладчик?
19. В первый рабочий день месяца с заводского конвейера сошло некоторое число тракторов. Каждый следующий рабочий день их выпуск возрастал на 3 трактора ежедневно, и месячный план 55 тракторов был выполнен досрочно, причем за целое число дней. После этого ежедневно выпускалось 11 тракторов. Определите, сколько тракторов было выпущено в первый рабочий день, и на сколько процентов был перевыполнен месячный план, если известно, что в месяце было 26 рабочих дней, а плановая работа длилась не менее 3 и не более 10 дней.
19. 8 марта Леня Голубков взял в банке 53 680 рублей в кредит на 4 года под 20% годовых, чтобы купить своей жене Рите новую шубу. Схема выплаты кредита следующая: утром 8 марта следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), а вечером того же дня Леня переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа (все четыре года эта сумма одинакова). Какую сумму сверх взятых 53 680 рублей должен будет выплатить банку Леня Голубков за эти четыре года?
19. Семён Кузнецов планировал вложить все свои сбережения на сберегательный счёт в банк «Навроде» под 500%, рассчитывая через год забрать А рублей. Однако крах банка «Навроде» изменил его планы, предотвратив необдуманный поступок. В результате часть денег г-н Кузнецов положил в банк «Первый Муниципальный», а остальные – в банку из-под макарон. Через год «Первый Муниципальный» повысил процент выплат в два с половиной раза, и г-н Кузнецов решил оставить вклад ещё на год. В итоге размер суммы, полученной в «Первом Муниципальном», составил А рублей. Определите, какой процент за первый год начислил банк «Первый Муниципальный», если в банку из-под макарон Семён «вложил» А рублей.
19. Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% – в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект – от 22% до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.
В этой видеолекции показаны основные подходы к решению нового типа задач из второй части ЕГЭ по математике - задач с "экономическим содержанием ", это немного усложненный вариант задач на проценты .
Посмотрев видеолекцию, вы научитесь решать задачи этого типа.
Видеолекция содержит всю необходимую о теорию решения задач на проценты и пошаговое решение следующих задач:
1.Цена товара a руб. была повышена на 25%. На сколько процентов надо теперь ее снизить, чтобы получить первоначальную цену товара.
2.Число a составляет 80% числа b, а число c составляет 140% числа b. Найдите числа a, b и c, если известно, что c больше a на 72.
3. Цена первого товара поднялась на 40%, а потом еще на 25%. Цена второго товара поднялась на 30%, после чего оказалось, что цена первого товара на 40 процентов выше второго. На сколько процентов первоначальная цена первого товара была больше первоначальной цены второго товара?
4. Популярность продукта A за 2002 год выросла на 10%, в следующем году она снизилась на 20%, а в конце 2004 года сравнялась с популярностью продукта B. Популярность продукта B в 2002 году выросла на 20% , затем на протяжении одного года не изменялась, а за 2004 год снизилась на 10% . Как изменилась популярность продукта A за 2004 год, если в начале 2002 года она составляла 3/4 от популярности продукта B.
5. В магазине одежды проводилась распродажа. Костюмы продавались со скидкой 20%, плащи - со скидкой 40%. Покупатель купил костюм и плащ за 9180 рублей в сумме, заплатив на 32% меньше их суммарной первоначальной цены. Найдите первоначальные цены костюма и плаща.
6. В банк положен вклад под определенный процент годовых. Через год вкладчик снял ¼ получившейся суммы. Банк увеличил процент годовых в два раза по сравнению с предыдущим годом, и еще через год получившаяся сумма превысила первоначальный вклад на 164%. Каков новый процент годовых у банка?
7. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк ¾ от всей суммы, которую он должен был банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
8. Банк начисляет на вклады p процентов (p<25%) один раз в год. Вкладчик положил некоторую сумму на счет в банк. Через год вкладчик добавил к получившейся сумме столько, что сумма вклада стала в два раза больше первоначальной. Еще через два года его вклад увеличился до 43 тыс. 200 руб. Сколько процентов начисляет банк по вкладам в год, если за первый год процентные деньги составляли 3 тыс. руб.
9. Антикварный магазин продал картину со скидкой в 10% по сравнению с первоначально назначенной ценой и получил при этом 8% прибыли. Сколько процентов прибыли магазин предполагал получить первоначально?
10. Предприниматель вложил 3/7 своего капитала в покупку товара А, 70% оставшегося капитала в покупку товара Б, а все средства, оставшиеся после приобретения товаров А и Б, вложил в покупку товара В. При реализации товара А предприниматель потерпел убыток в 20%, а при реализации товара Б получил прибыль в размере 10%. Какой процент прибыли получил предприниматель от реализации товара В, если общая прибыль от реализации всех трех товаров составила 1%.
11. В банк помещен вклад в размере 3900 тыс руб под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после начисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял ко вкладу?
12. В двух банках в конце года на каждый счет начисляется прибыль: в первом банке 50% к текущей сумме на счете, во втором – 75% к текущей сумме на счете. Вкладчик в начале года часть имеющихся у него денег положил в первый банк, а остальные деньги – во второй банк с таким расчетом, чтобы через два года суммарное количество денег на обоих счетах утроилось. Какую часть денег вкладчик положил в первый банк?
13. Известно, что вклад, находящийся в банке, с начала года возрастает к концу года на определённый процент (свой для каждого банка). В начале года 5/6 некоторого количества денег положили в первый банк. К концу года сумма этих вкладов стала равной 670 у.е., а к концу второго года – 749 у.е. Было подсчитано, что если бы первоначально 5/6 исходного количества денег положили во второй банк, то по истечении одного года сумма вкладов в эти банки стала бы равной 710 у.е. В предложении, что исходное количество денег первоначально целиком положено в первый банк, определить величину вклада по истечении двух лет.
14. Вновь созданное акционерное общество продало населению 1000 своих акций, установив скидку 10% на каждую пятую продаваемую акцию и 25 % на каждую тринадцатую продаваемую акцию. В случае, если на одну акцию выпадает обе скидки, то применяется большая из них. Определите сумму, вырученную от продажи всех акций, если цена акции составляет 1000 руб.
15. Магазин закупил некоторое количество товара и начал его реализацию по цене на 25% выше цены, назначенной производителем, чтобы чтобы покрыть затраты, связанные с его транспортировкой, и другие дополнительные расходы. Оставшуюся после реализации часть товара магазин уценил на 16% с тем, чтобы покрыть только затраты на покупку этой части товара у производителя и его транспортировку. Сколько процентов от цены, назначенной производителем, составляла цена транспортировки товара?
16. Бригаде грузчиков выделена некоторая сумма денег на разгрузку баржи, однако 3 человека заболели и в работе не участвовали. Оставшиеся выполнили задание, заработав каждый на 1,5 тысячи рублей больше, чем в случае работы в составе полной бригады. Определите выделенную бригаде сумму денег, если 5%-ный сбор за её банковский перевод обошелся работодателю дополнительно в величину, находящуюся в пределах от 1,2 до 1,6 тысяч рублей.
17. Банк планирует вложить на год 40% имеющихся у него средств в проект X, а остальные 60% - в проект Y. В зависимости от обстоятельств проект X может принести прибыль в размере от 19% до 24 процентов годовых, а проект Y – от 29% до 34% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить проценты по заранее установленной ставке. Определите наименьший и наибольший уровень процентной ставки по вкладам, при которых чистая прибыль банка составит не менее 10% и не более 15% годовых от суммарных вложений в проекты X и Y.
18. За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом %, и, наконец, 12,5% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на %. Определите срок хранения вклада.
Посмотрите фрагмент видеолекции:
Рассмотрим задачи, связанные с банковскими операциями.
31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
Решение.
Пусть сумма кредита равна a , ежегодный платеж равен x рублей, а годовые составляют k %. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент m = 1 + 0,01 k . После первой выплаты сумма долга составит: a 1 = am − x . После второй выплаты сумма долга составит:
После третьей выплаты сумма оставшегося долга:
По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому
Откуда. При a = 9 930 000 и k = 10, получаем: m = 1,1 и
Ответ: 3 993 000 рублей.
31 декабря 2014 года Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а %), затем Пётр переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 392 000 рублей, то за 2 года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?
Решение. Пусть - сумма кредита. Обозначим ежегодные платежи и соответственно. Сумма долга каждый год увеличивается на то есть сумма долга умножается на коэффициент После первой выплаты сумма долга станет равной после второй выплаты: после третье выплаты: после четвёртой выплаты: Причём долг будет погашен полностью, получаем, то есть Аналогично получаем уравнение для случая, когда выплаты совершаются платежами размером : Имеем систему уравнений:
Подставим выражение для во второе уравнение: Преобразуем это уравнение:
Подставляя числовые значения получаем:
Отрицательные корни не подходят по условию задачи, значит, откуда то есть Пётр взял деньги в банке под 20%.
Ответ: 20%.
Примеры задач для самостоятельного решения.
1. Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63%. Найдите месячную процентную ставку.
2. Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% - в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект - от 22 до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.
3. В банк был положен вклад под банковский процент 10%. Через год хозяин вклада снял со счета 2000 рублей, а еще через год снова внес 2000 рублей. Однако, вследствие этих действий через три года со времени первоначального вложения вклада он получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы получил в итоге вкладчик?
4. Семья Ивановых ежемесячно вносит плату за коммунальные услуги, телефон и электричество. Если бы коммунальные услуги подорожали на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 35%. Если бы электричество подорожало на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 10%. Какой процент от общей суммы платежа приходится на телефон?
5. Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?
6. 1 марта 2010 года Аркадий взял в банке кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 1 марта каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Аркадий переводит в банк платеж. Весь долг Аркадий выплатил за 3 платежа, причем второй платеж оказался в два раза больше первого, а третий – в три раза больше первого. Сколько рублей взял в кредит Аркадий, если за три года он выплатил банку 2 395 800 рублей?
7. Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу после начисления процентов Миша снял со своего счета 5000 рублей, а еще через год снова внес 5000 рублей. Маша, наоборот, через год доложила на свой счет 5000 рублей, а еще через год сразу после начисления процентов сняла со счета 5000 рублей. Кто через три года со времени первоначального вложения получит большую сумму и на сколько рублей?
8. В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составила х % годовых, тогда как в январе 2001 года - у % годовых, причем известно, что x + y = 30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение х при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.
9. В конце августа 2001 года администрация Приморского края располагала некой суммой денег, которую предполагалось направить на пополнение нефтяных запасов края. Надеясь на изменение конъюнктуры рынка, руководство края, отсрочив закупку нефти, положила эту сумму 1 сентября 2001 года в банк. Далее известно, что сумма вклада в банке увеличивалась первого числа каждого месяца на 26% по отношению к сумме на первое число предыдущего месяца, а цена барреля сырой нефти убывала на 10% ежемесячно. На сколько процентов больше (от первоначального объема закупок) руководство края смогло пополнить нефтяные запасы края, сняв 1 ноября 2001 года всю сумму, полученную из банка вместе с процентами, и направив ее на закупку нефти?