Рисунке жирными точками показан курс

Сегодня достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножил ты корни – и дробь уж готова
В числителе с , в знаменателе а.
И сумма корней тоже дроби равна
Хоть с минусом дробь эта
Что за беда
В числители в , в знаменателе а .
(Из школьного фольклора)

В эпиграфе замечательная теорема Франсуа Виета приведена не совсем точно. В самом деле, мы можем записать квадратное уравнение, которое не имеет корней и записать их сумму и произведение. Например, уравнение х 2 + 2х + 12 = 0 не имеет действительных корней. Но, подойдя формально, мы можем записать их произведение (х 1 · х 2 = 12) и сумму (х 1 + х 2 = -2). Наши стихи будут соответствовать теореме с оговоркой: «если уравнение имеет корни», т.е. D ≥ 0.

Первое практическое применение этой теоремы – составление квадратного уравнения, имеющего заданные корни. Второе: она позволяет устно решать многие квадратные уравнения. На отработку этих навыков, прежде всего и обращается внимание в школьных учебниках.

Мы же здесь будем рассматривать более сложные задачи, решаемые с помощью теоремы Виета.

Пример 1.

Один из корней уравнения 5х 2 – 12х + с = 0 в три раза больше за второй. Найдите с.

Решение.

Пусть второй корень равен х 2 .

Тогда первый корень х1 = 3х 2 .

Согласно теореме Виета сумма корней равна 12/5 = 2,4.

Составим уравнение 3х 2 + х 2 = 2,4.

Отсюда х 2 = 0,6. Следовательно х 1 = 1,8.

Ответ: с = (х 1 · х 2) · а = 0,6 · 1,8 · 5 = 5,4.

Пример 2.

Известно, что х 1 и х 2 – корни уравнения х 2 – 8х + p = 0, причём 3х 1 + 4х 2 = 29. Найдите p.

Решение.

Согласно теореме Виета х 1 + х 2 = 8, а по условию 3х 1 + 4х 2 = 29.

Решив систему из этих двух уравнений найдём значение х 1 = 3, х 2 = 5.

А следовательно p = 15.

Ответ: p = 15.

Пример 3.

Не вычисляя корней уравнения 3х 2 + 8 х – 1 = 0, найдите х 1 4 + х 2 4

Решение.

Заметим, что по теореме Виета х 1 + х 2 = -8/3 и х 1 · х 2 = -1/3 и преобразуем выражение

а) х 1 4 + х 2 4 = (х 1 2 + х 2 2) 2 – 2х 1 2 х 2 2 = ((х 1 + х 2) 2 – 2х 1 х 2) 2 – 2(х 1 х 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9

Ответ: 4898/9.

Пример 4.

При каких значениях параметра а разность наибольшего и наименьшего корней уравнения
2х 2 – (а + 1)х + (а – 1) = 0 равна их произведению.

Решение.

Это квадратное уравнение. Оно будет иметь 2 разных корня, если D > 0. Иными словами (а + 1) 2 – 8(а – 1) > 0 или (а – 3) 2 > 0. Следовательно, мы имеем 2 корня при всех а, за исключением а = 3.

Для определенности будем считать, что х 1 >х 2 и получим х 1 + х 2 = (а + 1)/2 и х 1 · х 2 = (а – 1)/2. Исходя из условия задачи х 1 – х 2 = (а – 1)/2. Все три условия должны выполняться одновременно. Рассмотрим первое и последнее уравнения как систему. Она легко решается методом алгебраического сложения.

Получаем х 1 = а/2, х 2 = 1/2. Проверим при каких а выполнится второе равенство: х 1 · х 2 = (а – 1)/2. Подставим полученные значения и будем иметь: а/4 = (а – 1)/2. Тогда, а = 2. Очевидно, что если а = 2, то все условия выполнены.

Ответ: при а = 2.

Пример 5.

Чему равно наименьшее значение а, при котором сумма корней уравнения
х 2 – 2а(х – 1) – 1 = 0 равна сумме квадратов его корней.

Решение.

Прежде всего, приведем уравнение к каноническому виду: х 2 – 2ах + 2а – 1 = 0. Оно будет иметь корни, если D/4 ≥ 0. Следовательно: а 2 – (2а – 1) ≥ 0. Или (а – 1) 2 ≥ 0. А это условие справедливо при любом а.

Применим теорему Виета: х 1 + х 2 = 2а, х 1 · х 2 = 2а – 1. Посчитаем

х 1 2 + х 2 2 = (х 1 + х 2) 2 – 2х 1 · х 2 . Или после подстановки х 1 2 + х 2 2 = (2а) 2 – 2 · (2а – 1) = 4а 2 – 4а + 2. Осталось составить равенство которое соответствует условию задачи: х 1 + х 2 = х 1 2 + х 2 2 . Получим: 2а = 4а 2 – 4а + 2. Это квадратное уравнение имеет 2 корня: а 1 = 1 и а 2 = 1/2. Наименьший из них –1/2.

Ответ: 1/2.

Пример 6.

Найти зависимость между коэффициентами уравнения ах 2 + вх + с = 0 если сумма кубов его корней равна произведению квадратов этих корней.

Решение.

Будем исходить из того, что данное уравнение имеет корни и, поэтому, к нему можно применить теорему Виета.

Тогда условие задачи запишется так: х 1 3 + х 2 3 = х 1 2 · х 2 2 . Или: (х 1 + х 2)(х 1 2 – х 1 · х 2 + х 2 2) = (х 1 х 2) 2 .

Необходимо преобразовать второй множитель. х 1 2 – х 1 · х 2 + х 2 2 = ((х 1 + х 2) 2 – 2х 1 х 2) – х 1 х 2 .

Получим (х 1 + х 2)((х 1 + х 2) 2 – 3х 1 х 2) = (х 1 х 2) 2 . Осталось заменить суммы и произведения корней через коэффициенты.

(-b/a)((b/a) 2 – 3 · c/a) = (c/a) 2 . Это выражение легко преобразуется к виду b(3ac – b 2)/a = c 2 . Соотношение найдено.

Замечание. Следует учесть, что полученное соотношение имеет смысл рассматривать лишь после того, как выполнится другое: D ≥ 0.

Пример 7.

Найдите значение переменной а, для которого сумма квадратов корней уравнения х 2 + 2ах + 3а 2 – 6а – 2 = 0 есть величина наибольшая.

Решение.

Если у этого уравнения есть корни х 1 и х 2 , то их сумма х 1 + х 2 = -2а, а произведение х 1 · х 2 = 3а 2 – 6а – 2.

Вычисляем х 1 2 + х 2 2 = (х 1 + х 2) 2 – 2х 1 · х 2 = (-2а) 2 – 2(3а 2 – 6а – 2) = -2а 2 + 12а + 4 = -2(а – 3) 2 + 22.

Теперь очевидно, что это выражение принимает наибольшее значение при а = 3.

Остается проверить, в самом ли деле у исходного квадратного уравнения существуют корни при а = 3. Проверяем подстановкой и получаем: х 2 + 6х + 7 = 0 и для него D = 36 – 28 > 0.

Следовательно, ответ: при а = 3.

Пример 8.

Уравнение 2х 2 – 7х – 3 = 0 имеет корни х 1 и х 2 . Найти утроенную сумму коэффициентов приведенного квадратного уравнения, корнями которого являются числа Х 1 = 1/х 1 и Х 2 = 1/х 2 . (*)

Решение.

Очевидно, что х 1 + х 2 = 7/2 и х 1 · х 2 = -3/2. Составим второе уравнение по его корням в виде х 2 + рх + q = 0. Для этого используем утверждение, обратное теореме Виета. Получим: р = -(Х 1 + Х 2) и q = Х 1 · Х 2 .

Выполнив подстановку в эти формулы, исходя из (*), тогда: р = -(х 1 + х 2)/(х 1 · х 2) = 7/3 и q = 1/(х 1 · х 2) = -2/3.

Искомое уравнение примет вид: х 2 + 7/3 · х – 2/3 = 0. Теперь легко посчитаем утроенную сумму его коэффициентов:

3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. Ответ получен.

Остались вопросы? Не знаете, как использовать теорему Виета?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Более 80000 реальных задач ЕГЭ 2019 года

Вы не залогинены в системе « ». Это не мешает просматривать и решать задания Открытого банка задач ЕГЭ по математике , но для участия в соревновании пользователей по решению этих заданий .

Результат поиска заданий ЕГЭ по математике по запросу:
«На рисунке жирными точками » — найдено 242 задания

Задание B3 ()

(показов: 1501 , ответов: 456 )

На рисунке жирными точками показан курс японской йены, установленный Центробанком РФ, во все рабочие дни с 23 сентября по 23 октября 2010 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена японской йены в рублях. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа курс японской йены впервые был равен 36,7 рубля.

Ответ: 2

Задание B3 ()

(показов: 1478 , ответов: 456 )

На рисунке жирными точками показан курс евро, установленный Центробанком РФ, во все рабочие дни с 1 февраля по 28 февраля 2003 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена евро в рублях. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какой был курс евро 15 февраля. Ответ дайте в рублях.

Ответ: 34.3

Задание B3 ()

(показов: 1433 , ответов: 454 )

На рисунке жирными точками показан курс австрийского шиллинга, установленный Центробанком РФ, во все рабочие дни с 1 по 30 января 1999 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена шиллинга в рублях. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа курс шиллинга был наименьший за указанный период.

Ответ: 1

Задание B3 ()

(показов: 1376 , ответов: 452 )

На рисунке жирными точками показана цена палладия, установленная Центробанком РФ во все рабочие дни в октябре 2008 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена палладия в рублях за грамм. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней за указанный период цена палладия была ровно 170 рублей за грамм.

Ответ: 3

Задание B3 ()

(показов: 1414 , ответов: 451 )

На рисунке жирными точками показан курс евро, установленный Центробанком РФ, во все рабочие дни с 1 февраля по 28 февраля 2003 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена евро в рублях. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней за указанный период курс евро был ровно 34,4 рубля.

Ответ: 4

Задание B3 ()

(показов: 1640 , ответов: 450 )

На рисунке жирными точками показан курс евро, установленный Центробанком РФ, во все рабочие дни с 2 февраля по 28 февраля 2002 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена евро в рублях. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наибольший курс евро за указанный период. Ответ дайте в рублях.

Ответ: 27.1

Задание B3 ()

(показов: 1503 , ответов: 449 )

На рисунке жирными точками показан курс евро, установленный Центробанком РФ, во все рабочие дни с 1 по 29 сентября 2001 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена евро в рублях. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа курс евро впервые был равен 26,5 рубля.

Ответ: 5

Задание B3 ()

(показов: 1381 , ответов: 449 )

На рисунке жирными точками показан курс австралийского доллара, установленный Центробанком РФ, во все рабочие дни с 1 по 27 октября 2010 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена доллара в рублях. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наибольший курс доллара в период с 1 по 13 октября. Ответ дайте в рублях.

На рисунке жирными точками показан курс евро, установленный Центробанком РФ, во все рабочие дни с 22 сентября по 22 октября 2010 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена евро в рублях. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней за указанный период курс евро был ровно 41,4 рубля.

Решение.

Ответ : 2.

Примечание 1.

Отметим, что на графике пропущены не даты выходных дней, а воскресенья и понедельники. Читатель, знакомый с тем, как работает межбанковский валютный рынок, знает, что с курс Центрального банка устанавливается по результатам торгов на бирже текущего дня, вступает в силу на следующий день и действует до момента установления нового курса. Поэтому очередной курс устанавливается на субботу по результатам торгов в пятницу, не меняется в воскресенье и не меняется на понедельник (потому что в воскресенье не было торгов). А на вторник устанавливается новый курс по результатам понедельничных торгов.

Примечание 2.

В предыдущей формулировке задания спрашивалось, в какие дни курс евро был равен 42,4 рубля. В этом случае ответом являлись указанные на графике дни 16, 19 и 21 октября, но оставался вопрос, включать ли в ответ дни 17 и 18 октября, когда курс не менялся. Мы связались с разработчиками и сообщили им об этом; формулировку уточнили.

Дмитрий Королев 01.02.2017 22:55

Из текста задачи не следует, что 17 и 18 число надо пропустить. Указаны цены в рабочие дни, но выходные 17 и 18 октября биржа не работает, поэтому цена валюты такая же как и в пятницу. Значит, 17 и 18 числа цена тоже была 42,4. Если бы был вопрос «в скольких днях из перечисленных», то да, 17 и 18 пропущены. Но в указанный период (с 16 по 22) они входят.

Служба поддержки

Да, можно строить предположения о том, что происходило в те дни, про которые нет информации.

Служба поддержки

На рисунке жирными точками показан курс евро, установленный Центробанком РФ, во все рабочие дни с 1 по 29 сентября 2001 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена евро в рублях. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней за указанный период курс евро был ровно 27,3 рубля.

Решение.

прототипа.

Ответ : 4.

На рисунке жирными точками показан курс евро, установленный Центробанком РФ, во все рабочие дни с 1 февраля по 28 февраля 2002 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена евро в рублях. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней за указанный период курс евро был ровно 26,8 рубля.

Решение.