Стандартное определение: «Вектор - это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?
А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18
метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.
Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением - «сколько килограмм» или «сколько джоулей».
Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.
Скорость, сила, ускорение - векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8
м/с 2 . Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля - тоже векторные величины.
Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:
Вот другой пример.
Автомобиль движется из A
в B
. Конечный результат - его перемещение из точки A
в точку B
, то есть перемещение на вектор .
Теперь понятно, почему вектор - это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора - там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или
До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы - новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.
Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.
Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует - ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.
А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными
называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным
называется вектор, длина которого равна 1
. Нулевым - вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.
Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат - той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа - ее координаты по x
и y
, абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:
Здесь в скобках записаны координаты вектора - по x
и по y
.
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.
Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле
Для сложения векторов есть два способа.
1 . Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .
Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.
2 . Второй способ сложения векторов - правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .
По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.
Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В , из В в С , из С в D , затем в Е и в F . Конечный результат этих действий - перемещение из А в F .
При сложении векторов и получаем:
Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.
Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и - это сумма вектора и вектора .
При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.
Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.
Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.
Обратите внимание - перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов - силы и перемещения:
Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :
Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:
Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.
В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике , знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.
Векторы - полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.
Использование векторного произведения ВЕКТОРОВ
для вычисления площади
некоторых геометрических фигур
Исследовательская работа по математике
Ученика 10 Б класса
МОУ СОШ №73
Руководители:
Ассистент каф. математического анализа механико-математического факультета СГУ им. Н.Г. Чернышевского Бердников Глеб Сергеевич
Саратов, 2015
Введение.
1. Теоретический обзор.
1.1. Векторы и вычисления с векторами.
1.2. Использование скалярного произведения векторов в решении задач
1.4. Векторное произведение векторов в трёхмерном Евклидовом пространстве: определение понятия.
1.5. Координаты векторного произведения векторов.
2. Практическая часть.
2.1. Связь векторного произведения с площадью треугольника и параллелограмма. Выведение формулы и геометрический смысл векторного произведения векторов.
2.2. Зная только координаты точек, найти площадь треугольника. Доказательство теоремы
2.3. Проверка на примерах правильности формулы.
2.4. Практическое использование векторной алгебры и произведения векторов.
Заключение
Введение
Как известно, многие геометрические задачи имеют два ключевых способа решения – графический и аналитический. Графический метод связан с построением графиков и чертежей, а аналитический предполагает решение задач преимущественно с помощью алгебраических действий. В последнем случае алгоритм решений задач связан с аналитической геометрией. Аналитическая геометрия – это область математики, а точнее линейной алгебры, которая рассматривает решение геометрических задач средствами алгебры на основе метода координат на плоскости и в пространстве. Аналитическая геометрия позволяет анализировать геометрические образы, исследовать линии и поверхности, важные для практических приложений. При этом в этой науке для расширения пространственного понимания фигур помимо иногда применяется векторное произведение векторов.
В связи с широким распространением трехмерных пространственных технологий, изучение свойств некоторых геометрических фигур с использованием векторного произведения представляется актуальным.
В связи с этим была обозначена цель данного проекта – использование векторного произведения векторов для вычисления площади некоторых геометрических фигур.
В связи с поставленной целью решались следующие задачи:
1. Теоретически изучить необходимые основы векторной алгебры и дать определение векторному произведению векторов в системе координат;
2. Проанализировать наличие связи векторного произведения с площадью треугольника и параллелограмма;
3. Вывести формулу площади треугольника и параллелограмма в координатах;
4. Проверить на конкретных примерах верность выведенной формулы.
1. Теоретический обзор.
Векторы и вычисления с векторами
Векторомназывается направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:
В данном случае началом отрезка является точка А
, концом отрезка – точка В
. Сам вектор обозначен через 
или 
. Чтобы найти координаты вектора , зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки:
= {
B
x
- A
x
; B
y
- A
y
}
Коллинеарными называются векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой. При этом вектор отрезок, характеризующийся длиной и направлением.
Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора.
Длина вектора || в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.
С векторами можно совершать различные действия.
Например, сложение. Чтобы их сложить, нужно провести сначала второй вектор из конца первого, а потом соединить начало первого с концом второго (рис. 1). Суммой векторов является другой вектор с новыми координатами.
Сумму векторов = {a
x
; a
y
} и 
= {b
x
; b
y
} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
+
= {a
x
+ b
x
; a
y
+ b
y
}
Рис. 1. Действия с векторами
Вычитая векторы, нужно сначала провести их из одной точки, а потом соединить конец второго с концом первого.
Разность векторов = {a
x
; a
y
} и 
= {b
x
; b
y
}
можно найти по формуле:
-
= {
a
x
- b
x
; a
y
- b
y
}
Также, векторы можно умножать на число. Результатом также будет вектор, который в k раз больше (или меньше) данного. Его направление будет зависеть от знака k: при положительном k векторы сонаправлены, а при отрицательном – противоположно направлены.
Произведение вектора = {a
x
; a
y
}
и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:
k ·
= {k
· a
x
; k · a
y
}
А можно ли умножать вектор на вектор? Конечно, и даже двумя вариантами!
Первый вариант – скалярное произведение.
Рис. 2. Скалярное произведение в координатах
Для нахождения произведения векторов можно использовать угол между данными векторами, показанный на рисунке 3.
Из формулы следует, что скалярное произведение равно произведению длин данных векторов на косинус угла между ними, его результатом является число. Важно, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т.к. косинус прямого угла между ними равен нулю.
В координатной плоскости вектор также имеет координаты.
Вектора, их координаты и скалярное произведение являются одними из самых удобных методов вычисления угла между прямыми (или их отрезками), если введена система координат.
И если координаты 
, то их скалярное произведение равно:
В трехмерном пространстве существует 3 оси и, соответственно, у точек и векторов в такой системе будет по 3 координаты, а скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:
1.2. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве.
Вторым вариантом вычисления произведения векторов является векторное произведение. Но, чтобы его определить требуется уже не плоскость, а трехмерное пространство, в котором начало и конец вектора имеют по 3 координаты.
В отличие от скалярного произведения векторов в трёхмерном пространстве операция «векторное умножение» над векторами приводит к иному результату. Если в предыдущем случае скалярного умножения двух векторов результатом было число, то в случае векторного умножения векторов результатом будет другой вектор, перпендикулярный обоим вступившим в произведение векторам. Поэтому это произведение векторов называется векторным.
Очевидно, что при построении результирующего вектора 
, перпендикулярного двум, вступившим в произведение - и , может быть выбрано два противоположных направления. При этом направление результирующего вектора определяется по правилу правой руки, или правилу буравчика.Если нарисовать векторы так, чтобы их начала совпадали и вращать первый вектор-сомножитель кратчайшим образом ко второму вектору-сомножителю, а четыре пальца правой руки показывали направление вращения (как бы охватывая вращающийся цилиндр), то оттопыренный большой палец покажет направление вектора-произведения (рис. 7).
Рис. 7. Правило правой руки
1.3. Свойства векторного произведения векторов.
Длина результирующего вектора определяется по формуле
.
При этом 
векторное произведение. Как было сказано выше, результирующий вектор будет перпендикулярен 
, а его направление определяется по правилу правой руки.
Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:
Векторное произведение ненулевых векторов равно 0, если они коллинеарны, тогда синус угла между ними будет равен 0.
Координаты векторов в трехмерном пространстве выражаются следующим образом: . Тогда координаты результирующего вектора находим по формуле
Длина результирующего вектора находится по формуле:
.
2. Практическая часть.
2.1. Связь векторного произведения с площадью треугольника и параллелограмма в плоскости. Геометрический смысл векторного произведения векторов.
Пусть нам дан треугольник ABC (рис. 8). Известно, что .
длина векторного произведения векторов равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы и , если их отложить от одной точки.
Другими словами, длина векторного произведения векторов и равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , со сторонами и и углом между ними, равным .
Рис. 9. Геометрический смысл векторного произведения векторов
В связи с этим, можно привести еще одно определение векторного произведения векторов:
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор 
, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах и , перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от к вокруг вектора осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора (рис. 10).
Рис. 10. Определение векторного произведения векторов
с использованием параллелограмма
2.2. Вывод формулы для нахождения площади треугольника в координатах.
Итак, нам дан треугольник АВС в плоскости и координаты его вершин. Найдем площадь этого треугольника (рис. 11).
Рис. 11. Пример решения задачи на нахождение площади треугольника по координатам его вершин
Решение.
Для начала, рассмотрим координаты вершин в пространстве и вычислим координаты векторов АВ и АС.
По данной прежде формуле подсчитаем координаты их векторного произведения. Длина этого вектора равна 2 площадям треугольника АВС. Площадь треугольника равна 10.
Более того, если мы рассмотрим треугольник на плоскости, то первые 2 координаты векторного произведения всегда будут равны нулю, поэтому мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема: Пусть дан треугольник АВС и координаты его вершин (рис. 12).
Тогда .
Рис. 12. Доказательство теоремы
Доказательство.
Рассмотрим точки в пространстве и вычислим координаты векторов ВС и ВА. . По приведенной раньше формуле вычислим координаты векторного произведения этих векторов. Обратим внимание, что все члены, содержащие z 1 или z 2, равны 0, т.к. z 1и z 2 = 0. УБРАТЬ!!!
Итак, следовательно,
2.3. Проверка правильности формулы на примерах
Найти площадь треугольника образованного векторами a = {-1; 2; -2} и b = {2; 1; -1}.
Решение: Найдем векторное произведение этих векторов:
a × b=
I(2 · (-1) - (-2) · 1) - j((-1) · (-1) - (-2) · 2) + k((-1) · 1 - 2 · 2) =
I(-2 + 2) - j(1 + 4) + k(-1 - 4) = -5 j - 5 k = {0; -5; -5}
Из свойств векторного произведения:
SΔ =
| a × b| =
√ 02 + 52 + 52 =
√ 25 + 25 =
√ 50 =
5√ 2
Ответ: SΔ = 2.5√2.
2.4. Приложения векторной алгебры
и скалярного и векторного произведения векторов.
Где же нужны векторы? Векторное пространство и векторы носят не только теоретический характер, но и имеют вполне реальное практическое применение в современном мире.
В механике и физике многие величины имеют не только численное значение, но и направление. Такие величины называются векторными. Вместе с использованием элементарных механических понятий, опираясь на их физический смысл, многие величины рассматриваются как скользящие векторы, а их свойства описываются как аксиомами, как это принято в теоретической механике, так и при помощи математических свойств векторов. Наиболее яркими примерами векторных величин являются скорость, импульс и сила (рис. 12). Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются с помощью векторов.
В физике важны не только сами вектора, но в большой степени важны и их произведения, которые помогают вычислять некоторые величины. Векторное произведение полезно для определения коллинеарности векторов модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы сонаправленны или противоположно направленны.
Еще один пример: скалярное произведение используется для вычисления работы по приведенной ниже формуле, где F – вектор силы, а s – вектор перемещения.
Одним из примеров использования произведения векторов является момент силы, равный произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы.
Многое из того, что вычисляется в физике по правилу правой руки является векторным произведением. Найти подтверждения, привести примеры.
Стоит еще заметить, что двухмерным и трехмерным пространством не исчерпываются возможные варианты векторных пространств. Высшая математика рассматривает пространства большей размерности, в которых также определяются аналоги формул для скалярного и векторного произведения. Несмотря на то, что пространства большей размерности, чем 3, человеческое сознание неспособно представить визуально, они удивительным образом находят себе приложения во многих областях науки и промышленности.
В то же время результатом векторного произведения векторов в трёхмерном Евклидовом пространстве является не число, а результирующий вектор со своими координатами, направлением и длиной.
Направление результирующего вектора определяется по правилу правой руки, что является одним из самых удивительных положений аналитической геометрии.
Векторное произведение векторов может быть использовано в нахождении площади треугольника или параллелограмма по заданным координатам вершин, что было подтверждено выведением формулы, доказательством теоремы и решением практических задач.
Векторы широко используются в физике, где такие показатели как скорость, импульс и сила могут быть представлены в виде векторных величин и вычисляются геометрически.
Список использованных источников
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7-9 классы: учебник для общеобразовательных организаций. М.: , 2013. 383 с.
Атанасян Л.С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных организаций: базовый и профильный уровни. М.: , 2013. 255 с.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, Физматлит, 1998.
Аналитическая геометрия.
Математика. Клевер.
Изучение математики онлайн.
http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/multiply1/
Сайт В. Глазнева.
http://glaznev.sibcity.ru/1kurs/analit/common/html/anlek7.htm
Википедия.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%E5%EA%F2%EE%F0%ED%EE%E5_%EF%F0%EE%E8%E7%E2%E5%E4%E5%ED%E8%E5
Если, например, в городе 45 тысяч жителей, то 450 человек составляют один П. населения. Предположим, что на какое нибудь предприятие истрачено 20 тыс. руб. и чистого дохода получено 3 тыс. руб. В этом случае доход составляет 15/100 частей… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
I ж. жен. к сущ. сотый I II прил. разг. Очень малая, незначительная, небольшая часть, доля чего либо. III числ. разг. Часть, доля, полученная от деления чего либо на сто равных частей; одна сотая. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
I ж. жен. к сущ. сотый I II прил. разг. Очень малая, незначительная, небольшая часть, доля чего либо. III числ. разг. Часть, доля, полученная от деления чего либо на сто равных частей; одна сотая. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
Сотая часть процента В таких единицах принято измерять разницу в процентных ставках. Например, если ставка процента повысилась с 10,4 % до 10,8 %, то она изменилась на 40 базисных пунктов … Энциклопедический словарь экономики и права
ПУНКТ, БАЗИСНЫЙ - сотая часть процента; показатель, используемый для характеристики разницы в процентных ставках изменения дохода по ценным бумагам и т.д. Например, если казначейский вексель приносит доход в 7,17% и его цена меняется так, что он теперь приносит… … Большой экономический словарь
базисный пункт - сотая часть процента. В таких единицах принято характеризовать, измерять разницу в процентных ставках. Например, если ставка процента повысилась с 6,2% до 6,5%, то она изменилась на 20 базисных пунктов … Словарь экономических терминов
Процент - сотая часть чего нибудь, обозначается % … Популярный политический словарь
Перечень единиц измерения денежных сумм, равных определённой доле базовой денежной единицы (валюты). Как правило, это монеты, реже банкноты или не имеющие физической формы счётные единицы, которые используется для мелких расчётов и называются… … Википедия
- (лат.). Цифра, означающая прибыль или плату с сотни. В химии: выраженное в числах отношение различных составных частей вещества. В статистике: отношение народонаселения и т. д. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А … Словарь иностранных слов русского языка
