Od enostavnega do kompleksnega...
Zakaj človek prinese svoje prihranke v banko? Seveda, da bi zagotovili njihovo varnost, in kar je najpomembnejše - prejemati dohodek. In tukaj vam bo poznavanje formule za enostavne ali sestavljene obresti ter sposobnost predhodnega izračuna obresti na depozit prišla prav kot še nikoli. Konec koncev je napovedovanje obresti na depozite ali obresti na posojila ena od sestavin razumnega upravljanja vaših financ. Takšno napovedovanje je dobro izvesti pred podpisom pogodb in finančnimi transakcijami ter v obdobjih naslednjega obračuna obresti in njihovega dodajanja depozitu po že sklenjeni depozitni pogodbi.
Za izračun obresti na depozite (depozite) in tudi posojila se uporabljajo naslednje formule:
Fiksna obrestna mera je, ko je obrestna mera, določena za bančni depozit, določena v depozitni pogodbi in ostane nespremenjena ves čas vlaganja, tj. fiksno. Ta stopnja se lahko spremeni samo v trenutku samodejnega podaljšanja pogodbe za novo obdobje ali v primeru predčasne prekinitve pogodbenega razmerja in plačila obresti za dejansko obdobje naložbe po stopnji »na poziv«, ki jo določa pogoji.
Spremenljiva obrestna mera je, ko se obrestna mera, ki je bila prvotno določena v pogodbi, lahko spreminja med celotnim naložbenim obdobjem. Pogoji in postopek spreminjanja obrestnih mer so določeni v depozitni pogodbi. Obrestne mere se lahko spremenijo: v povezavi s spremembami stopnje refinanciranja, s spremembami menjalnega tečaja, s prenosom zneska depozita v drugo kategorijo in drugimi dejavniki.
Za izračun obresti po formulah morate poznati parametre vlaganja sredstev na depozitni račun, in sicer:
Zdaj pa si oglejmo zgornje standardne formule za obrestne mere, ki se uporabljajo za izračun obresti na depozite (depozite).
Formula preprostih obresti se uporablja, če se natečene obresti na depozit prištejejo k depozitu šele ob koncu trajanja depozita ali pa se sploh ne prištejejo, ampak se prenesejo na ločen račun, tj. obračun navadnih obresti ne predvideva kapitalizacije obresti.
Pri izbiri vrste depozita bodite pozorni na postopek izračuna obresti. Kadar sta znesek depozita in obdobje polaganja znatna in banka uporablja formulo preprostih obresti, to vodi do podcenjevanja zneska obrestnih prihodkov vlagatelja. Formula za preproste obresti na depozite izgleda takole:
Enostavna formula obresti
Enostavna formula obresti
Pomen simbola:
Sp - znesek obresti (dohodek).
I - letna obrestna mera
t - število dni obračunavanja obresti na pritegnjeni depozit
K - število dni v koledarskem letu (365 ali 366)
P je znesek sredstev, privabljenih v depozit.
Navedel bom pogojne primere izračuna navadnih obresti in zneska bančnega depozita z navadnimi obrestmi:
Primer 1 Predpostavimo, da je banka sprejela depozit v višini 50.000 rubljev za obdobje 30 dni. Fiksna obrestna mera - 10,5% letno. Z uporabo formul dobimo naslednje rezultate:
S = 50000 + 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 50431,51
Sp = 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 431,51
Primer 2 Banka je sprejela depozit v enakem znesku 50.000 rubljev za obdobje 3 mesecev (90 dni) po fiksni obrestni meri 10,5 odstotka "letno". V pogojih se je spremenil le rok naložbe.
S = 50000 + 50000 * 10,5 * 90 / 365 / 100 = 51294,52
Sp = 50000 * 10,5 * 90 / 365 / 100 = 1294,52
Pri primerjavi obeh primerov je razvidno, da se višina mesečno obračunanih obresti po formuli enostavnih obresti ne spremeni.
431,51 * 3 mesece = 1294,52 rubljev.
Primer 3 Banka je sprejela depozit v višini 50.000 rubljev za obdobje 3 mesecev (90 dni) po fiksni obrestni meri 10,5 odstotka "letno". Depozit je obnovljiv, 61. dan pa je bil depozit dopolnjen v višini 10.000 rubljev.
S1 \u003d 50000 + 50000 * 10,5 * 60 / 365 / 100 \u003d 50863,01
Sp1 = 50000 * 10,5 * 60 / 365 / 100 = 863,01
S2 = 60000 + 60000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 60517,81
Sp2 = 60000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 517,81
Sp = Sp1 + Sp2 = 50000 * 10,5 * 60 / 365 / 100 + 60000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 863,01 + 517,81 = 1380,82
Primer 4 Banka je sprejela depozit v enakem znesku 50.000 rubljev za obdobje 3 mesecev (90 dni) po spremenljivi obrestni meri. Za prvi mesec (30 dni) je obrestna mera 10,5 %, za naslednja 2 meseca (60 dni) pa 12 %.
S1 = 50000 + 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 50000 + 431,51 = 50431,51
Sp1 = 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 431,51
S2 = 50000 + 50000 * 12 * 60 / 365 / 100 = 50000 + 986,3 = 50986,3
Sp2 = 50000 * 12 * 60 / 365 / 100 = 986,3
Sp = 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 + 50000 * 12 * 60 / 365 / 100 = 431,51 + 986,3 = 1417,81
Formula za obrestne obresti se uporabi, če se obresti na depozit izračunavajo v rednih intervalih (dnevno, mesečno, trimesečno) in se natečene obresti prištevajo k depozitu, kar pomeni, da izračun obrestno obrestnih obresti predvideva kapitalizacijo obresti (izračun obresti). na obresti).
Večina bank ponuja depozite s četrtletno kapitalizacijo (Sberbank of Russia, VTB itd.), tj. z obrestmi. In nekatere banke v smislu depozitov ponujajo dokapitalizacijo ob koncu naložbenega obdobja, tj. ko se depozit podaljšuje za naslednjo ročnost, kar se, milo rečeno, nanaša na reklamni trik, ki vlagatelja spodbuja, da ne vzame natečenih obresti, same obresti pa se dejansko izračunajo po enostavni obrestni formuli. In ponavljam, kadar sta znesek depozita in obdobje polaganja pomembna, takšna "kapitalizacija" ne povzroči povečanja zneska obrestnih prihodkov vlagatelja, ker se obresti na obrestne prihodke, prejete v prejšnjem obdobju, ne obračunavajo. obdobja.
Formula za obrestne obresti izgleda takole:
Formula obrestne obresti
Izračun samo obrestnih obresti z uporabo formule bi izgledal takole:
Samo izračun obrestnih obresti
Podal bom pogojni primer izračuna obrestnih obresti in zneska bančnega depozita z obrestnimi obrestmi:
Primer 5 Sprejet je bil depozit v višini 50 tisoč rubljev. za obdobje 90 dni po fiksni obrestni meri 10,5 odstotka letno. Obresti se obračunavajo mesečno. Posledično bo število operacij kapitalizacije natečenih obresti (p) v 90 dneh - 3. In število koledarskih dni v obdobju, po katerem banka kapitalizira natečene obresti (j), bo - 30 dni (90/3). ). Kakšne bodo obresti?
S \u003d 50000 * (1 + 10,5 * 30 / 365 / 100) 3 \u003d 51305,72
Sp = 50000 * (1 + 10,5 * 30 / 365 / 100)3 - 50000 = 1305,72
Pravilnost zneska obresti, izračunanega po metodi obrestnih obresti, lahko preverite tako, da dvakrat preverite izračun po formuli enostavnih obresti.
V ta namen razdelimo obdobje depozita na 3 neodvisna obdobja (3 mesece) po 30 dni in izračunamo obresti za vsako obdobje po enostavni obrestni formuli. Znesek depozita v vsakem naslednjem obdobju se upošteva ob upoštevanju obresti za prejšnja obdobja. Kot rezultat izračuna se je izkazalo:
Torej, skupni znesek obresti, ob upoštevanju mesečne kapitalizacije (izračun obresti na obresti), je:
Sp = Sp1 + Sp2 + Sp3 = 431,51 + 435,23+ 438,98 = 1305,72
To ustreza znesku, izračunanemu iz obrestnih obresti v primeru 5.
In pri izračunu obresti za isto obdobje z uporabo preproste obrestne formule v primeru št. 2 je dohodek znašal le 1294,52 rubljev. Kapitalizacija obresti je vlagatelju prinesla dodatnih 11,2 rublja. (1305,72 - 1294,52), tj. višje donose dobijo depoziti s kapitalizacijo obresti ob uporabi obrestnih obresti.
Pri izračunu obresti je treba upoštevati še eno majhno nianso. Pri določanju števila dni za obračunavanje obresti na depozit (t) oziroma števila koledarskih dni v obdobju, po katerem banka obračunane obresti usredstvi (j), se dan zaprtja (dviga) depozita ne upošteva. račun. Tako je na primer 2. novembra 2007 banka sprejela depozit za obdobje 7 dni. Celotno obdobje depozita je od 02.11.07 do 09.11.07, tj. 8 koledarskih dni. In obdobje obračunavanja obresti na depozit bo od 02.11.07 do 08.11.07, tj. – 7 koledarskih dni. Dan 09.11.07 se ne upošteva, ker varščino vrnemo stranki.
Ko zaključim gradivo, vas želim še enkrat opozoriti na dejstvo, da lahko po zgornjih formulah obresti izračunate tudi obresti na posojila. Vso srečo pri prihodkih in stroških.
Formule za enostavne in sestavljene obresti
Glavna naloga kreditnih institucij je zbiranje sredstev za njihovo koncentracijo in prerazporeditev v obliki posojil ali finančnih sredstev. Kreditne institucije pritegnejo denarna sredstva (depozite) pravnih in fizičnih oseb z namenom njihove nadaljnje plasiranja v obliki posojil za določeno provizijo. Hkrati je plačilo za privabljene vire nekoliko nižje od plačila za postavljene vire. Pristojbina za vir je določena kot odstotek. Obresti na depozite so nižje od obresti na posojila. Razlika med obrestno mero za posojila in obrestno mero za depozite se imenuje marža. Marža služi kot vir dohodka za kreditno institucijo.
Obrestna mera banke je izjemno pomembna tako z vidika privabljanja sredstev kot tudi z vidika njihovega plasiranja, zato regulacijo obrestne mere izvaja država z določitvijo diskontne mere centralne banke.
Glavni namen vlaganja v kreditne institucije je prejemanje obrestnih prihodkov (obresti). Obrestni prihodki so določeni glede na obrestno mero. Obrestna mera v finančni praksi je določena za eno leto. V nekaterih primerih se lahko tečaj določi za drugo obdobje.
V praksi obstajata dva pristopa k ocenjevanju obrestnih prihodkov – enostavne in sestavljene obresti.
Pri uporabi navadnih obresti se dohodek izračuna od začetnega zneska naložbe, ne glede na obdobje naložbe.
Pri uporabi obrestnih obresti se akumulirani znesek obresti doda depozitu (reinvestiran, kapitaliziran) ob koncu naslednjega obračunskega obdobja.
Začetni znesek in prejete obresti se skupaj imenujejo natečeni znesek.
Torej, če je bančna obrestna mera 10%, začetni znesek pa 100 rubljev, potem bo zbrani znesek za pet let z uporabo preprostih in sestavljenih obresti izgledal takole:
Tabela 1. Obračunani znesek z uporabo navadnih in obrestnih obresti.
Če določimo:
- obrestna mera;
S i - akumulirani znesek do konca i-tega leta,
Potem je za navadne obresti znesek v letih oz.
S nt = (1 + n * ) S 0 (1)
Za obrestne obresti
S nt = (1 + ) n S 0 (2)
Primer 1
Banka je odprla vezani depozit v višini 50 tisoč rubljev. 12% za 3 leta. Izračunajte akumulirani znesek, če obresti:
a) preprosto
b) zapleteno.
Rešitev 1
Uporaba preproste formule obresti
Sn \u003d (1 + 3 * 0,12) * 50.000 \u003d 68.000 rubljev.
Formula obrestne obresti
Sn \u003d (1 + 0,12) 3 * 50.000 \u003d 70246 rubljev.
V bančni praksi se obresti lahko obračunavajo pogosteje kot enkrat letno. V tem primeru je bančna stopnja običajno določena glede na leto. Formula za obrestne obresti bo videti takole:
S nt = (1 + / t) n * t S 0 (3)
kjer je t število ponovnih naložb obresti na leto.
Primer 2
Banka je odprla vezani depozit v višini 50 tisoč rubljev. 12% za 3 leta. Izračunajte obračunani znesek, če se obresti obračunavajo četrtletno.
Rešitev 2
Formula obrestne obresti
Sn \u003d (1 + 0,12 / 4) 3 * 4 * 50.000 \u003d 1,03 12 * 50.000 \u003d 71288 rubljev.
Kot izhaja iz primerov 1 in 2, se bo akumulirani znesek povečeval hitreje, čim pogosteje se obračunavajo obresti. Obstaja meja
kjer je e osnova naravnega logaritma.
Znano je, da za majhno vrednost α velja približna enakost:
Iz tega sledi, da se za majhne vrednosti n in α lahko za izračun uporabi preprosta odstotna formula. V praksi se vsa plačila depozitov in posojil za obdobje, krajše od enega leta, izvajajo po enostavni obrestni formuli. Zbrani znesek za kratko obdobje se določi po formuli:
(4)
Kjer je nd število depozitnih dni, 360 je število dni v letu.
Efektivna stopnja
Iz navedenega izhaja, da vam vloge z enakimi obrestnimi merami pod različnimi pogoji za izračun obresti omogočajo različne dohodke. Tu nastopi problem enakovrednih stopenj. Stopnje, ki vam omogočajo, da dobite enak dohodek pod različnimi pogoji za izračun obresti, se imenujejo enakovredne. Pogoj enakovrednosti lahko izrazimo z enačbo
kjer sta α 1 in t 1 - obrestna mera in število ponovnih naložb na leto po prvi možnosti, α 2 in t 2 - obrestna mera in število ponovnih naložb na leto po drugi možnosti.
Če ena od možnosti vključuje obračunavanje enkrat letno, bo pogoj enakovrednosti prevzel obliko
Obrestna mera, ki je enaka obrestni meri z obrestmi, ki se obračunajo ob koncu leta, se imenuje efektivna obrestna mera. Efektivna obrestna mera je višja od nominalne. Efektivna stopnja se izračuna po formuli:
(5)
kjer je α n nominalna stopnja, t je število ponovnih naložb na leto.
Primer 3
Banka ponuja dve možnosti depozita
1) pri 120 % z obrestmi, ki se obračunajo ob koncu leta
2) pri 100 % z obrestmi, ki se obračunajo ob koncu vsakega četrtletja.
Določite bolj donosno možnost za polaganje depozitov za eno leto.
Bolj donosna možnost je tista, pri kateri bo zbrani znesek za leto večji. Za oceno možnosti bomo vzeli začetni znesek, ki je enak 100 rubljev.
Po prvi možnosti bo zbrani znesek enak
(1+1,2)*100 rub. = 220 rubljev.
Pri drugi možnosti se obresti obračunavajo četrtletno. Ob koncu prvega četrtletja je akumulirani znesek enak
(1+1,0/4)*100 rub. = 125 rubljev.
Ob koncu 2. četrt
(1+1,0/4)*125 rub. = 156 rubljev. ali (1 + 1,0 / 4) 2 * 100 rubljev. = 156 rubljev.
Skupni znesek za leto je:
(1+1,0/4) 4 *100 rub. = 244 rubljev.
Kot izhaja iz izračunov, je druga možnost veliko bolj donosna (244>220). Vendar le, če se uporabijo obrestne mere. Če pa se v skladu s pogoji depozita obresti obračunavajo četrtletno, jih je mogoče "pretvoriti" v kompleksne tako, da sami položite depozit na banko.
Banka ima novo vrsto depozitov z mesečnimi obrestmi po stopnji 12% na mesec z minimalnim zneskom depozita 300 rubljev. Obresti se niso zaračunavale, vendar so mnogi državljani ta depozit spremenili v obrestni depozit. Za to je bilo dovolj, da ste enkrat na mesec prišli v banko, dvignili obresti in položili nov depozit.
Efektivna stopnja se izračuna po formuli:
To pomeni, da bo zbrani znesek enak za depozite za obdobje 1 leta pri 144% in za depozit za obdobje 1 leta pri obrestni meri 100%, ob upoštevanju četrtletnih obresti.
Primer 4
Banka sprejema depozite po 50-odstotni obrestni meri s četrtletnimi obrestmi. Določite efektivno stopnjo.
Primer 5
Obrestna mera 50 % z obrestmi, ki se obračunajo ob koncu obdobja. Izračunajte ekvivalentno obrestno mero z obrestmi, obračunanimi vsakih 6 mesecev.
Ta problem lahko rešite na dva načina
1) na podlagi ekvivalenčne formule
2) z uporabo formule efektivnega tečaja.
Ocenjevanje toka plačil
V praksi finančnih izračunov se uporablja koncept sedanje vrednosti prihodnjih plačil. Tok plačil je lahko enakomeren ali neenakomeren. Enakomerni tok se imenuje finančna renta ali renta. Naloga vrednotenja toka plačil vključuje določitev njegove trenutne vrednosti. Trenutna ocena se izvaja na podlagi primerjave prihodnjih vplačil z bančnim depozitom. Cena rente je znesek, ki ga je treba v določenem odstotku vložiti v banko, da se zagotovijo enaka izplačila in v enakih rokih, kot jih zagotavlja anuiteta.
Ta naloga je nasprotna določitvi akumulirane vrednosti. Torej, če vzamemo brezkuponsko obveznico z nominalno vrednostjo H in zapadlostjo n let kot primer rente, potem lahko njeno poravnalno ceno določimo s formulo
,
Za tok plačil z neenakimi plačili je sedanja vrednost plačil:
Na primer:
Občanka ima dva otroka, stara 10 in 15 let. Želi, da vsak plača 20 tisoč rubljev za svoj 18. rojstni dan. Koliko morate vložiti v banko, da zagotovite ta plačila, če banka plačuje 10% letno.
Čas do prvega plačila je 3 leta, do drugega - 8 let. Začetni znesek depozita je:
Rešujemo naloge št. 1-12 v Excelu.
Če želite nekaj privarčevati ali pametno vložiti svoje obstoječe prihranke, je ena od tem, ki jo morate preučiti, formula za enostavne obresti, sestavljene obresti in načela njihovega izračuna. So glavni pokazatelj donosnosti naložb.
Na področju ekonomije in financ se običajno razlikuje postopek za izračun teh kazalnikov. Bančni strokovnjaki imajo v mislih kapitalizacijo z obrestno mero, investicijski strokovnjaki pa reinvestiranje.
Preproste obresti- donosnost, ki se zaračuna na začetni znesek depozita. Njihova velikost se določi samo enkrat ob koncu roka depozita in ostane nespremenjena v vseh naslednjih poročevalskih obdobjih, ne da bi se upošteval pasivni dohodek, ki ga prejme vlagatelj.
Obrestno obrestovanje na depozitu definiramo kot geometrijsko progresijo prihrankov na depozitu. To pomeni, da se v vsakem obračunskem obdobju vrednost zneska osnovnega depozita, na katerega se uporabi formula bančnih obresti, poveča s prištetjem prejetih dohodkov.
Enostavne in obrestne obresti se razlikujejo po principu izračuna višine povečanja osnovnega zneska varčevanja. V prvem primeru se osnova tekom obračunskih obdobij ne spreminja, v primeru dokapitalizacije (ali reinvestiranja) pa se vsakič poveča za znesek nabranih depozitnih bonusov.
Za povprečnega laika se morda takšna informacija zdi preveč neumna, a če pogledate malo bolj, vse ni tako strašljivo. In tudi formule preprostih in sestavljenih obresti so s podrobno analizo preproste in razumljive.
Uporaba različnih shem obračunavanja obresti vpliva na višino pasivnega dohodka na depozitu
Stranka banke je odprla depozitni račun in ga napolnila s 1000 rubljev. Obrestna mera institucije na depozit je 10% letno, rok depozita je 3 leta.
Formula za izračun preproste stopnje dohodka bo privedla do rezultata, da bo stranka po dogovorjenih 3 letih prejela 1300 rubljev. Obrestna mera bo stranki v istem obdobju prinesla 1331 rubljev zaradi ponovnega vlaganja sredstev.
Razlika 31 rubljev morda ni tako kritična, če pa govorimo o prispevku za večji znesek, bo korist nesorazmerna s tem primerom.
Diskretno obračunavanje dohodka temelji na načelu zadolževanja banke pri fizičnih osebah za določeno plačilo. Višina takega dohodka bo odvisna od sheme njegovega nastanka in višine osnovnega kapitala. Seveda bo shema obrestne mere na prvi pogled prinesla veliko prihodkov, vendar je vredno preučiti vse tankosti sistema.
Donos na navadne obresti je fiksen
Seveda preprost postopek obresti veliko lažje. Znesek se izračuna samo enkrat in se med trajanjem depozita v banki ne spreminja.
Običajno pogodba o bančnih storitvah določa višino obrestne mere za leto. Če morate iz nekega razloga ugotoviti njegovo velikost za obdobje enega meseca, morate uporabiti formulo: Fv = Sv * (1 + R * (Td / Ty), Kje:
Za depozite z dopolnitvijo in dvigom sredstev se izračun izvede ločeno za vsako obdobje shranjevanja različnih zneskov na depozitu. Z drugimi besedami, če je stranka položila začetni znesek na račun, nato napolnila račun in nato z njega dvignila del sredstev, bo izračun sestavljen iz treh stopenj. Za vsako časovno obdobje in za vsak znesek denarja.
V želji po večjih ugodnostih se vlagatelji vedno bolj zanimajo, kako izračunati obrestne obresti na depozit. Za bolj nazoren opis lahko proces kapitalizacije sredstev predstavimo na naslednji način: na koncu obračunskega obdobja stranka banke zapre depozit in dvigne vsa zbrana sredstva (osnova + obračunane obresti). In jih nato vrne banki za drugo obračunsko obdobje. Tako se bo obrestna mera obračunala na povečan osnovni kapital.
Formula za obrestne obresti je naslednja: Fv = Sv * (1 + (R / Ny))Nd, Kje:
Za določitev časovnega obdobja kapitalizacije banka uporablja enake intervale: mesec, četrtletje ali leto. Ob koncu vsakega referenčnega obdobja se obrestni bonusi obračunajo na trenutni znesek depozita.
Obrestne obresti se obračunavajo v vsakem določenem obračunskem obdobju
Najbolj zanimive možnosti za letne obrestne mere ponujajo naslednji naložbeni programi:
Zanimivo je, da pri sestavi pogodbe za vodenje depozitnega računa s strani banke v besedilu nista uporabljeni definiciji enostavnih in obrestovanih obresti. Če je donos izračunan s shemo preprostih obrestnih mer, potem je to označeno kot "obračunavanje obresti ob koncu obdobja depozita". Če po shemi obrestne mere, potem kot "obračunavanje obresti ob koncu obračunskega obdobja" ali "ob upoštevanju kapitalizacije sredstev".
Na prvi pogled se zdi, da je odgovor na vprašanje, kako se bolj donosno investirati, očiten. Pravzaprav se ni vedno lahko odločiti, na katero vrsto računa položiti svoje premoženje: z višjo obrestno mero z navadnimi obrestmi ali z nižjo obrestno mero s sredstvi za refinanciranje?
Donosnost odstotnega pribitka na osnovni znesek še zdaleč ni vedno zanimiva z vidika vlagatelja. Preden se odločite, je priporočljivo zbrati vse razpoložljive ponudbe bank in izračunati vsako možnost posebej z uporabo formul. Potem bo postalo jasno, pod kakšnimi pogoji bo depozit prinesel največji pasivni dohodek.
Na uradnih spletnih mestih številnih bank je na voljo priročna možnost za spletni izračun donosnosti depozitov. Omogoča vam primerjavo pogojev različnih bančnih programov in izbiro najbolj optimalnega.
Kompetenten napačen izračun obresti je učinkovito finančno orodje in pomaga doseči največjo korist od imetja sredstev. Pomembno je razumeti, da je izbira sheme obračunavanja odvisna od parametrov depozita in pogojev, ki jih ponuja banka. Z izbiro optimalne strategije akumulacije lahko dobite impresiven pasivni dohodek.
Kako donosna je ta ali ona bančna vloga, se ne presoja le po obrestni meri, temveč tudi po načinu izračuna obresti. V bančni praksi se uporabljajo navadne in obrestne obresti.
Z preproste obresti vse je bolj ali manj jasno: obresti se obračunajo enkrat ob koncu roka depozita.
V bančnih pogodbah je obrestna mera navedena za leto. Za druga obdobja (na primer mesec) morate obdobje depozita pretvoriti v dneve, za izračun preprostih obresti uporabite naslednjo formulo:
Fv = Sv * (1 + R * (Td / Ty)), kjer je
Sestavljene obresti so možnost, pri kateri kapitalizacija obresti, tj. njihov dodatek k znesku depozita in poznejši izračun dohodka ne iz začetnega, temveč iz nabranega zneska depozita. Uporaba obrestnih obresti je podobna situaciji, ko vlagatelj ob koncu določenega obdobja dvigne vsa sredstva z računa (depozit in natečene obresti), nato pa na novo položi celoten prejeti znesek.
Še malo o menstruaciji. Dejstvo je, da se kapitalizacija ne pojavlja stalno, ampak z določeno periodičnostjo. Ta obdobja so praviloma enaka in banke najpogosteje uporabljajo mesec, četrtletje ali leto.
Posledično se za izračun obrestnih obresti uporabi naslednja formula:
Fv = Sv * (1 + (R / Ny))Nd, kjer je
Zaradi jasnosti razmislimo o depozitu v višini 10.000 rubljev z 12 odstotki letno za obdobje 1 leta, vendar bo prišlo do mesečne kapitalizacije obresti.
Skupni znesek: 10.000 * (1 + 0,12 / 12) 12 = 11.268,25 rubljev.
Skupni dohodek: 11 268,25 - 10 000 = 1 268,25 rubljev.
Pri depozitu z navadnimi obrestmi je ta znesek (to je dobiček vlagatelja) le 1120 rubljev.
Opozoriti je treba, da se izraza "enostavne obresti" ali "obrestne obresti" ne uporabljata v pogodbi o bančnem depozitu. V tem dokumentu je navedeno, kdaj se obračunajo obresti. Za bančni depozit z enostavnimi obrestmi se uporablja besedilo "obresti se obračunajo ob koncu roka". Če se uporablja kapitalizacija obresti, je navedeno, da se obresti obračunavajo dnevno, mesečno, četrtletno ali letno.
Od samega bistva obrestno obrestovanje iz tega sledi, da pogosteje kot se nabirajo (po enaki obrestni meri), bolj donosna bo vloga. Za potrditev tega uporabimo prej navedeno formulo za izračun obrestnih obresti. Začetni podatki so enaki: znesek je 10.000 rubljev, stopnja je 12 odstotkov na leto.
Z letnim obračunavanjem: 10.000 * (1 + 0,12) 1 \u003d 11.200 rubljev.
V tem primeru bo znesek sovpadal z zneskom, dobljenim pri izračunu preprostih obresti, kar je povsem naravno.
S četrtletnim obračunavanjem: 10.000 * (1 + 0,12 / 4) 4 = 11.255,09 rubljev.
Z mesečnim obračunavanjem: 10.000 * (1 + 0,12 / 12)12 = 11.268,25 rubljev.
Z dnevnim obračunavanjem: 10.000 * (1 + 0,12 / 365) 365 = 11.274,75 rubljev.
Torej je ob enaki obrestni meri depozit s kapitalizacijo obresti nedvomno donosnejši.
Pogosto pa pride do situacij, ko se morate odločiti, kaj boste raje izbrali: depozite z navadnimi obrestmi in višjo obrestno mero ter depozite s kapitalizacijo in nižjo obrestno mero. Pri tem je dejstvo, da so obresti tudi donosne, koristno le do določene točke. Zato ni treba hiteti. Treba je natančno preučiti pogoje vsakega od predlaganih prispevkov in narediti ustrezne izračune.
Recimo, da stranka izbira med dvema možnostma vlaganja denarja za obdobje 1 leta: depozit z enostavnimi obrestmi in 12-odstotno letno obrestno mero ter depozit z obrestnimi obrestmi (četrtletno obračunavanje) in 10-odstotno letno obrestno mero. Dobiček v prvem primeru je že izračunan in znaša 1120 rubljev. Dobiček za drugi primer:
10.000 * (1 + 0,1 / 4) 4 - 10.000 \u003d 1.038 rubljev.
Tako je v tem primeru prednostni depozit z enostavnimi obrestmi in višjo obrestno mero.
Enostavne in obrestne obresti: vrste obresti na bančne depozite
Povečanje se lahko izvede po shemi preprostih in sestavljenih obresti.
Preprosta formula za obračun obresti. Prirast navadnih obresti pomeni, da se vloženi znesek letno poveča za vrednost PV r. V tem primeru se lahko znesek vloženega kapitala po n letih določi po formuli:
FV = PV (1 + rn).
Formula obrestne obresti. Obračunavanje po shemi obrestnih obresti pomeni, da se naslednji letni dohodek ne izračuna iz začetne vrednosti vloženega kapitala, temveč iz celotnega zneska, ki vključuje tudi predhodno obračunane obresti, ki jih vlagatelj ni zahteval. V tem primeru se lahko znesek vloženega kapitala po n letih določi po formuli:
FV = PV (1 + r) n.
Za isto obrestno mero:
1) stopnja kopičenja obresti je višja od stopnje kopičenja navadnih obresti, če obdobje kopičenja presega standardni interval obračunavanja dohodka;
2) je stopnja akumulacije obresti nižja od stopnje akumulacije navadnih obresti, če je obdobje akumulacije krajše od standardnega intervala za obračunavanje dohodka.
Aplikacije preprostih in sestavljenih obresti. Enostavne in sestavljene obresti se lahko uporabljajo tako v ločenih operacijah kot hkrati. Področja uporabe enostavnih in sestavljenih obresti lahko razdelimo v tri skupine:
1) transakcije z navadnimi obrestmi;
2) transakcije z uporabo obrestnih obresti;
3) operacije s sočasno uporabo preprostih in sestavljenih obresti.
1. Obseg preprostih obresti so najpogosteje kratkoročne transakcije (z obdobjem do enega leta) z enim samim obračunom obresti (kratkoročna posojila, menični krediti) in manj pogosto - dolgoročne transakcije.
Za kratkoročne posle se uporablja tako imenovana vmesna obrestna mera, ki jo razumemo kot letno obrestno mero, zmanjšano na rok vlaganja sredstev. Matematično je vmesna obrestna mera enaka odstotku letne obrestne mere. Formula za obračunavanje navadnih obresti z uporabo vmesne obrestne mere je naslednja:
FV = PV (1 + fr),
FV \u003d PV (1 + t r / T),
t je rok za vlaganje sredstev (v tem primeru se dan vlaganja in dan dviga sredstev štejeta za en dan); T je ocenjeno število dni v letu.
Za dolgoročno poslovanje se navadne obresti izračunajo po formuli:
FV=PV(1+rn),
kjer je n obdobje vlaganja sredstev (v letih). ,
2. Področje uporabe obrestnih obresti so dolgoročne transakcije (z obdobjem, daljšim od enega leta), vključno s tistimi, ki vključujejo medletne obresti.
V prvem primeru se uporabi običajna formula obrestnih obresti:
FV = PV (1 + r) n.
V drugem primeru se uporabi formula obrestnih obresti ob upoštevanju medletnega obračunavanja. Znotrajletne obresti so plačilo obresti več kot enkrat letno. Odvisno od števila izplačil dohodka na leto (m) je lahko medletno obračunavanje:
1) polletni (m = 2);
2) četrtletno (m = 4);
3) mesečno (m = 12);
4) dnevno (m = 365 ali 366);
5) neprekinjeno (m - "?).
Formula obračuna za polletne, četrtletne, mesečne in dnevne obrestne obresti je naslednja:
FV = PV (1 + r / m) nm,
kjer je PV začetni znesek;
r - letna obrestna mera;
n je število let;
m - število medletnih časovnih razmejitev;
FV - akumulirani znesek.
Obrestni prihodki se v primeru kontinuiranega obračuna obresti izračunajo po naslednji formuli:
FV n \u003d P e rn,
FV n \u003d P e? n
kjer: e = 2, 718281 - transcendentno število (Eulerjevo število);
e? n - inkrementalni množitelj, ki se uporablja tako za celo število kot za delne vrednosti n;
Posebna oznaka obrestne mere pri kontinuiranem obračunu obresti (zvezna obrestna mera, »growth force«);
n je število let.
Pri enakem znesku začetnega zneska, enakem roku vlaganja sredstev in vrednosti obrestne mere je vrnjeni znesek večji v primeru uporabe formule za znotrajletno obračunavanje kot v primeru uporabe običajnih obrestnih obresti. formula:
FV = PV (1 + r / m) nm > FV = PV (1 + r) n.
Če je dohodek, prejet z uporabo medletnih časovnih razmejitev, izražen v odstotkih, bo prejeta obrestna mera višja od tiste, ki se uporablja pri običajnem izračunu obrestnih obresti.
Tako prvotno prijavljena letna obrestna mera za izračun obresti, imenovana nominalna, ne odraža dejanske učinkovitosti posla. Obrestna mera, ki odraža dejansko prejeti dohodek, se imenuje efektivna. Razvrstitev obrestnih mer za medletne obrestne obresti je jasno prikazana na sliki.
Nominalna obrestna mera je določena na začetku. Za vsako nominalno obrestno mero in na njeni podlagi je mogoče izračunati efektivno obrestno mero (r e).
Iz formule za obračunavanje obresti lahko dobite formulo za efektivno obrestno mero:
FV = PV (1 + r) n;
(1 + r e) = FV / PV.
Tukaj je formula za obračunavanje obresti z medletnimi obračuni, pri kateri se vsako leto obračunajo odstotki r / m:
FV = PV (1 + r / m) nm.
Potem se efektivna obrestna mera izračuna po formuli:
(1 + r e) = (1 + r/m) m,
r e \u003d (l + r / m) m - 1,
kjer je r e - efektivna obrestna mera; r - nominalna obrestna mera; m - število medletnih plačil.
Vrednost efektivne obrestne mere je odvisna od števila medletnih obračunov (m):
1) pri m = 1 sta nominalna in efektivna obrestna mera enaki;
2) večje kot je število medletnih časovnih razmejitev (vrednost m), večja je efektivna obrestna mera.
Področje hkratne uporabe preprostih in sestavljenih obresti so dolgoročne operacije, katerih rok trajanja je delno število let. V tem primeru se lahko obresti izračunajo na dva načina:
1) izračun obresti z delnim številom let;
2) obračunavanje obresti po mešani shemi.
V prvem primeru se za izračun uporablja formula obrestne obresti, v kateri je potenciranje na delno moč:
FV = PV (1 + r) n + f,
kjer je f delni del naložbenega obdobja.
V drugem primeru se za izračun uporablja tako imenovana mešana shema, ki vključuje formulo obrestne obresti s celim številom let in formulo preprostih obresti za kratkoročne posle:
FV = PV (1 + r) n (1 + f r),
FV = PV (1 + r) n (1 + t r / T).
