Številčna vrsta je določeno zaporedje, ki se obravnava skupaj z drugim zaporedjem (imenuje se tudi zaporedje delnih vsot). Podobni koncepti se uporabljajo pri matematični in kompleksni analizi.
Vsoto številske serije je mogoče enostavno izračunati v Excelu s funkcijo SERIES.SUMM. Poglejmo primer delovanja te funkcije in nato sestavimo graf funkcij. Naučili se bomo, kako pri izračunu rasti kapitala uporabiti številčne vrste v praksi. Ampak najprej malo teorije.
Številčno serijo lahko obravnavamo kot sistem približevanja števil. Če ga želite označiti, uporabite formulo:
To prikazuje začetno zaporedje števil v nizu in pravilo seštevanja:
Zapis pomeni: seštejejo se naravna števila od 1 do "plus neskončnost". Ker je i = 1, se izračun zneska začne od ena. Če bi bila tu druga številka (na primer 2, 3), bi jo začeli seštevati (z 2, 3).
V skladu s spremenljivko i lahko vrstico zapišemo razgrnjeno:
A 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + ... (do "plus neskončnost).
Opredelitev vsote numerične vrste je podana skozi "delne vsote". V matematiki jih označujejo s Sn. Zapišemo našo številčno vrsto v obliki delnih vsot:
S 2 = a 1 + a 2
S 3 = a 1 + a 2 + a 3
S 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4
Vsota številske vrste je meja delnih vsot S n. Če je meja končna, govorimo o "konvergentni" vrsti. Neskončno - o "divergentnem".
Najprej najdemo vsoto številskih nizov:
Zdaj pa sestavimo tabelo vrednosti članov serije v Excelu:
Splošni prvi argument vzamemo iz formule: i = 3.
Vse naslednje vrednosti i najdemo po formuli: = B4 + $ B $ 1. Kazalec postavimo v spodnji desni kot celice B5 in pomnožimo formulo.
Poiščimo vrednosti. Celico C4 aktiviramo in vnesemo formulo: = SUM (2 * B4 + 1). Kopirajte celico C4 v določeno območje.
Vrednost vsote argumentov dobimo s funkcijo: = SUM (C4: C11). Kombinacija bližnjičnih tipk ALT + " +" (plus na tipkovnici).
Za iskanje vsote numerične vrste v Excelu se uporablja matematična funkcija SERIES.SUMM. Program uporablja naslednjo formulo:
Argumenti funkcije:
Pomembni pogoji za delovanje funkcije:
Ista funkcija SERIES.SUMM deluje z nizom moči (ena od možnosti za funkcionalne serije). Za razliko od številskih argumentov so njihovi argumenti funkcije.
Funkcionalne serije se pogosto uporabljajo na finančnem in gospodarskem področju. Lahko rečemo, da je to njihovo področje uporabe.
V banko na primer vložite določeno količino denarja (a) za določeno obdobje (n). Letno plačilo imamo x odstotkov. Za izračun natečenega zneska ob koncu prvega obdobja se uporablja naslednja formula:
S 1 = a (1 + x).
Ob koncu drugega in naslednjih obdobij je oblika izrazov naslednja:
S 2 = a (1 + x) 2; S 3 = a (1 + x) 2 itd.
Če želite najti skupni znesek:
S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 +… + a (1 + x) n
Delne vsote v Excelu lahko najdete s funkcijo BS ().
Začetni parametri za problem usposabljanja:
S standardno matematično funkcijo najdemo zbrani znesek na koncu zneska termina. Če želite to narediti, v celici D2 uporabite formulo: = B2 * STOPNJA (1 + B3; 4)
Zdaj v celici D3 rešujemo isti problem z vgrajeno funkcijo Excel: = BS (B3; B1 ;; - B2)
Rezultati so enaki, kot bi morali biti.
Kako izpolniti argumente funkcije BS ():
Tako nam je funkcija BS pomagala najti vsoto funkcionalne vrste.
Excel ima druge vgrajene funkcije za iskanje različnih parametrov. Običajno so to funkcije za delo z naložbenimi projekti, vrednostnimi papirji in amortizacijo.
Zgradimo graf funkcij, ki odražajo rast kapitala. Če želite to narediti, moramo narisati funkcijo, ki je vsota zgrajene serije. Za primer vzemimo iste podatke o depozitu:
Prva vrstica prikazuje zbrani znesek po enem letu. V drugem - v dveh. Itd.
Naredimo še en stolpec, v katerem odražamo dobiček:
Kot smo mislili - v vrstici s formulo.
Na podlagi pridobljenih podatkov bomo zgradili graf funkcij.
Izberemo 2 obsega: A5: A9 in C5: C9. Pojdite na zavihek "Vstavi" - orodje "Grafi". Izberemo prvi graf:
Naj bo naloga še bolj "uporabna". V primeru smo uporabili sestavljene obresti. Obračunavajo se na znesek, nakopičen v prejšnjem obdobju.
Za primerjavo vzemimo preproste odstotke. Excel preprosta formula obresti: = $ B $ 2 * (1 + A6 * B6)
Pridobljene vrednosti dodajmo v grafikon kapitalske rasti.
Očitno je, kakšne sklepe bo naredil vlagatelj.
Matematična formula za delno vsoto funkcionalne serije (s preprostimi odstotki): S n = a (1 + x * n), kjer je a začetni znesek vloge, x obresti, n obdobje.
Itd. - najbolj minimalno znanje o numerične serije... Treba je razumeti, kaj je serija, da jo lahko podrobno pobarvate in ne zaokrožite oči po stavkih »vrstica se zbližuje«, »vrstica se razhaja«, »vsota vrstice«. Zato, če je vaše razpoloženje popolnoma nič, prosimo, da članku namenite 5-10 minut. Vrstice za lutke(dobesedno prvih 2-3 strani), nato pa se vrnite sem in začnite reševati primere!
Treba je opozoriti, da v večini primerov ni enostavno najti vsote niza in to vprašanje se običajno reši z funkcionalne vrstice (živimo in živimo :))... Tako na primer količina priljubljenega umetnika 
umakniti skozi Fourierjeva serija... V zvezi s tem je v praksi skoraj vedno treba ugotoviti dejstvo konvergence, vendar ne najdejo določene številke (mislim, da so to mnogi že opazili). Vendar pa je med veliko raznolikostjo številčnih serij nekaj predstavnikov, ki vam omogočajo, da se brez težav dotaknete svetinje tudi s polnim čajnikom. V uvodni lekciji sem navedel primer neskončno padajoče geometrijske progresije 
, katerega znesek zlahka izračunamo po znani šolski formuli.
V tem članku bomo še naprej obravnavali podobne primere, poleg tega pa se bomo naučili stroge opredelitve vsote in se ob tem seznanili z nekaterimi lastnostmi niza. Ogrejte se ... ja, takoj na napredovanju in se ogrejte:
Primer 1
Poiščite vsoto serije 
Rešitev: predstavljamo našo serijo kot vsoto dveh serij:
Zakaj v tem a lahko to narediš? Izvedeni koraki temeljijo na dveh preprostih trditvah:
1) Če se serija konvergira 
, potem se bo zbrala tudi vrsta, sestavljena iz vsot ali razlik ustreznih izrazov :. V tem primeru je bistveno, o čemer govorimo konvergiranje uvrsti. V našem primeru smo vemo vnaprej da se bosta obe geometrijski progresiji zbližali, kar pomeni, da brez dvoma prvotno vrstico razstavimo v dve vrstici.
2) Druga lastnost je še bolj očitna. Konstanta se lahko premakne izven območja: 
, in to ne bo vplivalo na njegovo konvergenco ali razhajanje ter na skupni znesek. Zakaj vzeti konstanto? Ja, samo zato, da ji "ne ovira". Toda včasih je koristno, če tega ne storite.
Primer zaključka izgleda takole:
Formulo dvakrat uporabimo za iskanje vsote neskončno padajoče geometrijske progresije :, kjer je prvi člen progresije, je osnova progresije.
Odgovor: vsota serije
Začetek rešitve je mogoče okrasiti v nekoliko drugačnem slogu - serijo napišite neposredno in pregrupirajte njene člane:
Nadalje po narebanem.
Primer 2
Poiščite vsoto serije
To je primer rešitve »naredi sam«. Popolna rešitev in odgovor na koncu vadnice.
Tu ni posebnih užitkov, a enkrat sem naletel na nenavadno serijo, ki lahko neizkušenega človeka preseneti. To ... je tudi neskončno padajoča geometrijska progresija! Dejansko se znesek izračuna v le nekaj trenutkih: 
.
In zdaj živahna sapa matematične analize, potrebna za reševanje nadaljnjih problemov:
Stroga opredelitev konvergence / divergence in vsote niza v teoriji je podana skozi t.i delni zneski vrstici. Delno pomeni nepopolno. Zapišimo delne vsote številčne vrste 
:
Posebno vlogo pa ima delni seštevek "en" članov serije:
Če je meja delnih vsot številskega niza konecštevilo :, potem se takšna serija imenuje konvergiranje, in sama številka je vsota serije... Če je meja neskončna ali ne obstaja, se pokliče niz divergentno.
Nazaj v predstavitveno vrstico 
in zapišite njegove delne zneske: 
Meja delnih vsot je točno neskončno padajoča geometrijska progresija, katere vsota je enaka :. Podobno mejo smo obravnavali pri lekciji o zaporedjih števil... Pravzaprav je formula sama neposredna posledica zgornjih teoretičnih izračunov (glej 2. zvezek matana).
Tako je narisan splošni algoritem za reševanje našega problema: potrebno je narediti n -ti delni seštevek serije in najti mejo. Poglejmo, kako se to izvaja v praksi:
Primer 3
Izračunajte vsoto serije 
Rešitev: prvi korak je razširitev skupni izraz v vsoti ulomkov. Uporabljamo metoda nedefiniranega koeficienta:
Kot rezultat:
Takoj koristno je narediti nasprotno s preverjanjem:
Splošni izraz niza je bil pridobljen v izvirni obliki, zato je bila razširitev na vsoto ulomkov uspešno izvedena.
Zdaj pa sestavimo delni seštevek serije. Na splošno se to izvaja ustno, ko pa bom čim bolj podrobno opisal, kaj je prišlo: 
Kako to napisati popolnoma jasno, kaj pa je prejšnji izraz enak? V splošnem terminu serije 
NAMESTO Zamenjamo "en":
Skoraj vse pogoje delne vsote je mogoče varno zmanjšati: 
Prav take zapiske delamo s svinčnikom v zvezku. Precej priročno.
Ostaja izračunati osnovno mejo in ugotoviti vsoto serije: 
Odgovor:
Podobna serija za neodvisno rešitev:
Primer 4
Izračunajte vsoto serije 
Približen vzorec končne zasnove rešitve na koncu lekcije.
Očitno je iskanje vsote niza sam dokaz njene konvergence (poleg primerjalni znaki, D'Alembert, Cauchy in drugi), na kar namiguje zlasti besedilo naslednje naloge:
Primer 5
Poiščite vsoto niza ali ugotovite njegovo razhajanje 
Po videzu skupnega člana lahko takoj ugotovite, kako se obnaša ta tovariš. Brez kompleksov. Z uporabo merilo za primerjavo meja enostavno je (tudi ustno) ugotoviti, da se bo določena serija zbrala skupaj z vrsto. Pred nami pa je redek primer, ko se tudi znesek izračuna brez večjih težav.
Rešitev: imenovalnik ulomka razširite na zmnožek. Če želite to narediti, se morate odločiti kvadratna enačba:
Tako:
Faktorje je bolje razvrstiti po naraščajočem vrstnem redu :.
Naredimo vmesni pregled:
v redu
Tako je skupni izraz serije: 
Tako: 
Nismo leni:
Kar je bilo potrebno preveriti.
Zapišimo delno vsoto "en" članov serije, pri tem pa bodimo pozorni na dejstvo, da "števec" serije "začne delovati" od številke. Kot v prejšnjih primerih je kobro varneje raztegniti na primerno dolžino:
Če pa pišemo v eni ali dveh vrsticah, bo še vedno precej težko krmariti po okrajšavah izrazov (v vsakem izrazu so po 3). In tukaj ... nam bo na pomoč priskočila geometrija. Naj kača zapleše na našo melodijo: 
Ja, ravno tako v zvezek zapišemo en izraz pod drugim in jih kar tako prečrtamo. Mimogrede, moj izum. Kot razumete, ne iz najlažje naloge v tem življenju =)
Kot rezultat vseh okrajšav dobimo:
In na koncu vsota serije:
Odgovor:
Primer 8
Izračunajte vsoto serije 
To je primer rešitve »naredi sam«.
Obravnavani problem nas seveda ne razveseljuje z raznolikostjo - v praksi se srečujemo bodisi z neskončno padajočo geometrijsko progresijo bodisi z nizom z delno -racionalnim skupnim izrazom in razširljivim polinomom v imenovalcu (mimogrede, vsak tak polinom ne omogoča iskanja vsote niza). A kljub temu včasih naletijo na nenavadne primerke in po ustaljeni dobri tradiciji lekcijo zaključim z zanimivo težavo.
Za izračuna vsoto serije, morate samo dodati elemente vrstice, določeno število krat. Na primer:
V zgornjem primeru je bilo to storjeno zelo enostavno, saj ga je bilo treba povzeti omejeno število krat. Kaj pa, če je zgornja meja seštevanja neskončnost? Na primer, če moramo najti vsoto naslednjih nizov:
Po analogiji s prejšnjim primerom lahko ta znesek zapišemo tako:
Toda kaj storiti naprej ?! Na tej stopnji je treba uvesti koncept delni seštevek serije... Torej, delni seštevek serije(označeno s S n) je vsota prvih n členov niza. Tisti. v našem primeru:
Nato lahko vsoto izvirne serije izračunamo kot mejo delne vsote:
Tako za izračun vsote serije, je treba na nek način najti izraz za delno vsoto niza (S n). V našem konkretnem primeru je serija padajoča geometrijska progresija z imenovalcem 1/3. Kot veste, se vsota prvih n elementov geometrijske progresije izračuna po formuli:
tu je b 1 prvi element geometrijske progresije (v našem primeru je 1) in q je imenovalec napredovanja (v našem primeru 1/3). Zato je delna vsota S n za našo serijo enaka:
Potem je vsota naše serije (S) v skladu z zgoraj navedeno definicijo enaka:
Zgornji primeri so dokaj preprosti. Običajno je izračunavanje vsote niza veliko težje in največja težava je ravno pri iskanju delnega vsote niza. Spodnji spletni kalkulator, ki temelji na sistemu Wolfram Alpha, vam omogoča izračun vsote precej zapletenih serij. Poleg tega, če kalkulator ne more najti vsote niza, je verjetno, da je podana serija različna (v tem primeru kalkulator prikaže sporočilo, kot je "vsota se razlikuje"), tj. ta kalkulator posredno pomaga tudi pri predstavi o konvergenci serije.
Če želite poiskati vsoto vaše serije, morate določiti spremenljivko serije, spodnjo in zgornjo mejo seštevanja ter izraz za n -ti izraz serije (tj. Dejanski izraz za samo serijo).
Vsoto vseh naravnih števil lahko zapišemo z naslednjo številčno vrsto
Ta, na prvi pogled popolnoma nasprotujoč rezultat, pa je mogoče strogo dokazati. Toda preden govorimo o dokazu, se morate odmakniti in se spomniti osnovnih pojmov.
Začnimo z dejstvom, da je "klasična" vsota serije meja delnih vsot serije, če obstaja in je končna. Podrobnosti najdete v wikipediji in sorodni literaturi. Če ni končne meje, naj bi bila serija različna.
Delni seštevek prvih k članov številske serije 1 + 2 + 3 + 4 + ... je na primer zapisan na naslednji način:
Preprosto je razumeti, da ta vsota narašča v nedogled, ko k teži v neskončnost. Posledično je izvirna serija različna in strogo gledano nima vsote. Obstaja pa veliko načinov za dodelitev končne vrednosti različnim vrstam.
Vrstica 1 + 2 + 3 + 4 +… še zdaleč ni edina od vrst, ki se razlikujejo. Vzemimo za primer serijo Grundy
Kar se tudi razlikuje, vendar je znano, da nam Cesarova metoda seštevanja omogoča, da tej seriji dodelimo končno vrednost 1/2. Cesarovo seštevanje ne deluje z delnimi vsotami niza, ampak z njihovimi aritmetičnimi sredstvi. Če si dovolimo ugibati v prostem slogu, lahko rečemo, da delne vsote serije Grandi nihajo med 0 in 1, odvisno od tega, kateri izraz serije je zadnji v vsoti (+1 ali -1), od tod tudi vrednost 1/2, kot aritmetično povprečje dveh možnih vrednosti delnih vsot.
Še en zanimiv primer divergentne serije je izmenična serija 1 - 2 + 3 - 4 + ..., katere delne vsote tudi nihajo. Abel seštevek vam omogoča, da določeni seriji dodelite končno vrednost 1/4. Upoštevajte, da je Abelova metoda na nek način razvoj Cesarove metode seštevanja, zato je rezultat 1/4 enostavno razumljiv z vidika intuicije.
Pomembno je omeniti, da metode seštevanja niso triki, ki so jih matematiki izumili, da bi se nekako spopadli z različnimi vrstami. Če za konvergentno vrsto uporabite seštevanje Cesaro ali Abelovo metodo, je odgovor, ki ga podajo te metode, enak klasični vsoti konvergentne vrste.
Niti Cesarovo seštevanje niti Abelova metoda ne dopuščata dela z nizom 1 + 2 + 3 + 4 + ..., saj se aritmetična sredina delnih vsot in tudi aritmetična sredina aritmetičnih sredin razlikujejo. Poleg tega, če je mogoče vrednosti 1/2 ali 1/4 nekako sprejeti in povezati z ustrezno vrsto, potem je -1/12 težko povezati s serijo 1 + 2 + 3 + 4 + ..., ki je neskončno zaporedje pozitivnih celih števil.
Do rezultata -1/12 lahko pridete na več načinov. V tem prispevku se bom le na kratko ustavil na enem izmed njih, in sicer na uravnavanju funkcije zeta. Predstavljamo funkcijo zeta
Zamenjava s = -1 dobimo izvirno številčno serijo 1 + 2 + 3 + 4 +…. Naredimo številne preproste matematične operacije s to funkcijo.
Kje je ta Dirichletova funkcija?
Ko je vrednost s = -1 ta funkcija nam postane že znana po vrstah 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ... katerih "vsota" je enaka 1/4. Zdaj lahko preprosto rešimo enačbo
Zanimivo je, da ta rezultat najde svojo uporabo v fiziki. Na primer v teoriji strun. Sklicujoč se na stran 22 teorije strun Josepha Polchinskega:
Če za nekoga teorija strun ni prepričljiv primer zaradi pomanjkanja dokazov o številnih posledicah te teorije, potem lahko omenimo tudi, da se podobne metode pojavljajo v kvantni teoriji polja, ko poskušamo izračunati Casimirjev učinek.
Da ne bi dvakrat hodili, še par zanimivih primerov s funkcijo zeta
Za tiste, ki želijo dobiti več informacij o tej temi, ugotavljam, da sem se za zapis napisal po prevodu ustreznega članka na Wikipediji, kjer v razdelku »Povezave« najdete veliko dodatnega gradiva, predvsem v angleščini.
Odgovor: vrstica se razlikuje.
Primer št. 3
Poiščite vsoto niza $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $.
Ker je spodnja meja seštevanja 1, je skupni izraz niza zapisan pod znakom vsote: $ u_n = \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $. Sestavimo n-ti delni seštevek serije, t.j. Seštejmo prvih $ n $ članov dane numerične vrste:
$$ S_n = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + \ ldots + u_n = \ frac (2) (3 \ cdot 5) + \ frac (2) (5 \ cdot 7) + \ frac (2) (7 \ cdot 9) + \ frac (2) (9 \ cdot 11) + \ ldots + \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)). $$
Zakaj pišem točno $ \ frac (2) (3 \ cdot 5) $ in ne $ \ frac (2) (15) $, bo jasno iz nadaljnjega pripovedovanja. Zapis delnega zneska pa nas niti za delce ni približal cilju. Najti moramo $ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $, če pa samo napišemo:
$$ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n = \ lim_ (n \ to \ infty) \ levo (\ frac (2) (3 \ cdot 5) + \ frac (2) (5 \ cdot 7) + \ zlom (2) (7 \ cdot 9) + \ frac (2) (9 \ cdot 11) + \ ldots + \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) \ desno), $$
potem nam ta zapis, popolnoma pravilne oblike, v bistvu ne bo dal ničesar. Da bi našli mejo, je treba izraz za delno vsoto najprej poenostaviti.
Če želite to narediti, obstaja standardna transformacija, ki obsega razširitev ulomka $ \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $, ki predstavlja skupni izraz niza, v osnovne ulomke. Ločena tema je namenjena vprašanju razgradnje racionalnih ulomkov na osnovne (glej na primer primer # 3 na tej strani). Razširitev ulomka $ \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $ na osnovne ulomke bo imela:
$$ \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) = \ frac (A) (2n + 1) + \ frac (B) (2n + 3) = \ frac (A \ cdot (2n +3) + B \ cdot (2n + 1)) ((2n + 1) (2n + 3)). $$
Izenačujemo števce ulomkov na levi in desni strani nastale enakosti:
$$ 2 = A \ cdot (2n + 3) + B \ cdot (2n + 1). $$
Obstajata dva načina za iskanje vrednosti $ A $ in $ B $. Lahko razširite oklepaje in prerazporedite izraze ali pa preprosto zamenjate nekaj primernih vrednosti za $ n $. Strogo za spremembo, v tem primeru bomo šli po prvi poti, v naslednjem - nadomestili bomo zasebne vrednosti $ n $. Če razširimo oklepaje in preuredimo izraze, dobimo:
$$ 2 = 2An + 3A + 2Bn + B; \\ 2 = (2A + 2B) n + 3A + B. $$
Na levi strani enakosti je pred $ n $ nič. Če želite, lahko levo stran enakosti za jasnost predstavimo kot $ 0 \ cdot n + 2 $. Ker je na levi strani enakosti pred $ n $ nič, na desni strani enakosti pred $ n $ pa $ 2A + 2B $, imamo prvo enačbo: $ 2A + 2B = 0 $. Obe strani te enačbe takoj razdelimo na 2, nakar dobimo $ A + B = 0 $.
Ker je prosti izraz enak 2 na levi strani enakosti in je prosti izraz enak $ 3A + B $ na desni strani enakosti, potem je $ 3A + B = 2 $. Torej imamo sistem:
$$ \ levo \ (\ začetek (poravnano) & A + B = 0; \\ & 3A + B = 2. \ end (poravnano) \ desno. $$
Dokaz bo izveden z metodo matematične indukcije. Na prvem koraku je treba preveriti, ali velja dokazana enakost: $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ za $ n = 1 $. Vemo, da je $ S_1 = u_1 = \ frac (2) (15) $, vendar bo izraz $ \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ dal vrednost $ \ frac ( 2) (15) $, če nadomestite $ n = 1 $? Preverimo:
$$ \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2 \ cdot 1 + 3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (5) = \ frac (5-3) (15) = \ frac (2) (15). $$
Torej za $ n = 1 $ velja enakost $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $. S tem je zaključen prvi korak metode matematične indukcije.
Recimo, da za $ n = k $ velja enakost, to je $ S_k = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2k + 3) $. Dokazimo, da velja enaka enakost za $ n = k + 1 $. Če želite to narediti, upoštevajte $ S_ (k + 1) $:
$$ S_ (k + 1) = S_k + u_ (k + 1). $$
Ker je $ u_n = \ frac (1) (2n + 1) - \ frac (1) (2n + 3) $, potem je $ u_ (k + 1) = \ frac (1) (2 (k + 1) + 1 ) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3) = \ frac (1) (2k + 3) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3) $. V skladu z zgornjo predpostavko je $ S_k = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2k + 3) $, zato je formula $ S_ (k + 1) = S_k + u_ (k + 1) $ ima obliko:
$$ S_ (k + 1) = S_k + u_ (k + 1) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2k + 3) + \ frac (1) (2k + 3) - \ zlom (1) (2 (k + 1) +3) = \ razlom (1) (3) - \ razlom (1) (2 (k + 1) +3). $$
Zaključek: formula $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ je pravilna za $ n = k + 1 $. Zato po metodi matematične indukcije velja formula $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ za kateri koli $ n \ in N $. Enakost je dokazana.
Pri standardnem tečaju višje matematike so običajno zadovoljni s tem, da "prečrtajo" preklicne pogoje, ne da bi za to potrebovali kakršen koli dokaz. Tako smo dobili izraz za n -to delno vsoto: $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $. Poiščite vrednost $ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $:
Zaključek: podana serija konvergira in njena vsota je $ S = \ frac (1) (3) $.
Iskreno, sam imam raje to metodo :) Delno vsoto zapišemo v skrajšani obliki:
$$ S_n = \ vsota \ meje_ (k = 1) ^ (n) u_k = \ vsota \ meje_ (k = 1) ^ (n) \ frakcija (2) ((2k + 1) (2k + 3)). $$
Prej smo dobili, da je $ u_k = \ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) $, zato:
$$ S_n = \ vsota \ meje_ (k = 1) ^ (n) \ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)) = \ vsota \ meje_ (k = 1) ^ (n) \ levo (\ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) \ desno). $$
Vsota $ S_n $ vsebuje končno število izrazov, zato jih lahko poljubno preuredimo. Najprej želim sešteti vse izraze oblike $ \ frac (1) (2k + 1) $ in šele nato preiti na pogoje oblike $ \ frac (1) (2k + 3) $. To pomeni, da bomo delni znesek zastopali v naslednji obliki:
$$ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (5) + \ frac (1) (5) - \ frac (1) (7) + \ frac (1) (7) - \ zlom (1) (9) + \ frac (1) (9) - \ frac (1) (11) + \ ldots + \ frac (1) (2n + 1) - \ frac (1) (2n + 3) = \\ = \ frac (1) (3) + \ frac (1) (5) + \ frac (1) (7) + \ frac (1) (9) + \ ldots + \ frac (1) (2n + 1) - \ levo (\ frac (1) (5) + \ frac (1) (7) + \ frac (1) (9) + \ ldots + \ frac (1) (2n + 3) \ desno) . $$
Seveda je razširjen zapis izredno neprijeten, zato je zgoraj predstavljeno enakost mogoče oblikovati bolj kompaktno:
$$ S_n = \ vsota \ meje_ (k = 1) ^ (n) \ levo (\ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) \ desno) = \ sum \ meji_ ( k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ vsota \ meje_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3). $$
Zdaj pretvorimo izraza $ \ frac (1) (2k + 1) $ in $ \ frac (1) (2k + 3) $ v isto obliko. Mislim, da je primerno, da se oblikuje večja frakcija (čeprav jo je mogoče zmanjšati, je to stvar okusa). Ker je $ \ frac (1) (2k + 1)> \ frac (1) (2k + 3) $ (večji imenovalec, manjši je ulomek), zmanjšamo ulomek $ \ frac (1) (2k + 3) $ v obliko $ \ frac (1) (2k + 1) $.
Izraz v imenovalcu ulomka $ \ frac (1) (2k + 3) $ bom predstavil na naslednji način:
$$ \ frac (1) (2k + 3) = \ frac (1) (2k + 2 + 1) = \ frac (1) (2 (k + 1) +1). $$
In vsoto $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) $ lahko zdaj zapišemo tako:
$$ \ vsota \ meje_ (k = 1) ^ (n) \ razlom (1) (2k + 3) = \ vsota \ meje_ (k = 1) ^ (n) \ prelom (1) (2 (k + 1 ) +1) = \ vsota \ meje_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1). $$
Če je enakost $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) $ ne odpira vprašanj, pojdimo še dlje. Če imate kakršna koli vprašanja, razširite opombo.
Kako smo prišli do pretvorjenega zneska? pokaži \ skrij
Imeli smo vrstico $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 ( k + 1) +1) $. Uvedimo novo spremenljivko namesto $ k + 1 $ - na primer $ t $. Torej, $ t = k + 1 $.
Kako se je spremenila stara spremenljivka $ k $? In spremenilo se je z 1 na $ n $. Ugotovimo, kako se bo spremenila nova spremenljivka $ t $. Če je $ k = 1 $, potem $ t = 1 + 1 = 2 $. Če je $ k = n $, potem $ t = n + 1 $. Tako je izraz $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k +1) +1) $ zdaj $ \ sum \ limits_ (t = 2) ^ (n +1 ) \ frac (1) (2t + 1) $.
$$ \ vsota \ meje_ (k = 1) ^ (n) \ frakcija (1) (2 (k + 1) +1) = \ vsota \ meje_ (t = 2) ^ (n + 1) \ frakcija (1 ) (2t + 1). $$
Imamo vsoto $ \ sum \ limits_ (t = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2t + 1) $. Vprašanje je: ali je res pomembno, katero črko uporabiti v tej količini? :) Trite, ki piše črko $ k $ namesto $ t $, dobimo naslednje:
$$ \ vsota \ meje_ (t = 2) ^ (n + 1) \ frakcija (1) (2t + 1) = \ vsota \ meje_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frakcija (1) (2k +1). $$
Tako dobimo enakost $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k + 1) +1) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) $.
Tako lahko delni znesek predstavimo na naslednji način:
$$ S_n = \ vsota \ meje_ (k = 1) ^ (n) \ frakcija (1) (2k + 1) - \ vsota \ meje_ (k = 1) ^ (n) \ frakcija (1) (2k + 3 ) = \ vsota \ meje_ (k = 1) ^ (n) \ frakcija (1) (2k + 1) - \ vsota \ meje_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frakcija (1) (2k + 1 ). $$
Upoštevajte, da vsote $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) $ in $ \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1 ) (2k + 1) $ se razlikujejo le v mejah seštevanja. Naj bodo te omejitve enake. Če vzamemo prvi element iz vsote $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) $ bomo imeli:
$$ \ sum \ limit_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) = \ frac (1) (2 \ cdot 1 + 1) + \ sum \ meji_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) = \ frac (1) (3) + \ sum \ meji_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1). $$
Če vzamemo zadnji element iz vsote $ \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) $, dobimo:
$$ \ vsota \ meje_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frakcija (1) (2k + 1) = \ vsota \ meje_ (k = 2) ^ (n) \ frakcija (1) (2k + 1 ) + \ frac (1) (2 (n + 1) +1) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) + \ frac (1) (2n + 3). $$
Nato bo izraz za delno vsoto dobil obliko:
$$ S_n = \ vsota \ meje_ (k = 1) ^ (n) \ frakcija (1) (2k + 1) - \ vsota \ meje_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frakcija (1) (2k +1) = \ frac (1) (3) + \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ left (\ sum \ meje_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) + \ frac (1) (2n + 3) \ right) = \\ = \ frac (1) (3) + \ sum \ meji_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ meji_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2n + 3) = \ zlom (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3). $$
Če preskočimo vsa pojasnila, bo postopek iskanja skrajšane formule za n-to delno vsoto imel naslednjo obliko:
$$ S_n = \ vsota \ meje_ (k = 1) ^ (n) u_k = \ vsota \ meje_ (k = 1) ^ (n) \ frakcija (2) ((2k + 1) (2k + 3)) = \ vsota \ meje_ (k = 1) ^ (n) \ levo (\ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) \ desno) = \\ = \ vsota \ meje_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ meji_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ frac (1) (3) + \ vsota \ meje_ (k = 2) ^ (n) \ frakcija (1) (2k + 1) - \ levo (\ vsota \ meje_ (k = 2) ^ (n) \ frakcija (1) (2k + 1 ) + \ frac (1) (2n + 3) \ right) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3). $$
Naj vas spomnim, da smo ulomek $ \ frac (1) (2k + 3) $ zmanjšali na obliko $ \ frac (1) (2k + 1) $. Seveda lahko storite nasprotno, t.j. predstavljajo ulomek $ \ frac (1) (2k + 1) $ kot $ \ frac (1) (2k + 3) $. Končni izraz za delni znesek se ne bo spremenil. V tem primeru bom postopek skrivanja delnega zneska skril pod opombo.
Kako lahko najdemo $ S_n $, če ga zmanjšamo na drug ulomek? pokaži \ skrij
$$ S_n = \ vsota \ meje_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ vsota \ meje_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3 ) = \ vsota \ meje_ (k = 0) ^ (n -1) \ frakcija (1) (2k + 3) - \ vsota \ meje_ (k = 1) ^ (n) \ frakcija (1) (2k + 3 ) = \\ = \ frac (1) (3) + \ sum \ limit_ (k = 1) ^ (n -1) \ frac (1) (2k + 3) - \ left (\ sum \ meje_ (k = 1) ^ (n -1) \ frac (1) (2k + 3) + \ frac (1) (2n + 3) \ right) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3). $$
Torej $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $. Poiščite mejo $ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $:
$$ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n = \ lim_ (n \ to \ infty) \ levo (\ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) \ right) = \ frac (1) (3) -0 = \ frac (1) (3). $$
Podana serija konvergira in njena vsota je $ S = \ frac (1) (3) $.
Odgovor: $ S = \ frac (1) (3) $.
Nadaljevanje teme iskanja vsote serije bo obravnavano v drugem in tretjem delu.
