Da bi izračunaj vsoto serije, morate le dodati elemente serije določeno število krat. Na primer:
V zgornjem primeru je bilo to storjeno zelo preprosto, saj je bilo treba sešteti končno število krat. Kaj pa, če je zgornja meja seštevanja neskončnost? Na primer, če moramo najti vsoto takšne serije:
Po analogiji s prejšnjim primerom lahko to količino pobarvamo takole:
Toda kaj storiti naprej?! Na tej stopnji je treba uvesti koncept delna vsota serije. torej delna vsota serije(označeno S n ) je vsota prvih n členov niza. tiste. v našem primeru:
Potem se lahko vsoto prvotne serije izračuna kot meja delne vsote:
Torej za izračun vsote niza, je treba nekako najti izraz za delno vsoto niza (S n ). V našem konkretnem primeru je niz padajoča geometrijska progresija z imenovalcem 1/3. Kot veste, se vsota prvih n elementov geometrijske progresije izračuna po formuli:
tukaj je b 1 prvi element geometrijske progresije (v našem primeru je 1) in q imenovalec progresije (v našem primeru 1/3). Zato je delna vsota S n za naš niz:
Potem je vsota naše serije (S) po zgornji definiciji enaka:
Zgoraj obravnavani primeri so precej preprosti. Običajno je veliko težje izračunati vsoto niza, največja težava pa je ravno v iskanju delne vsote niza. Spodnji spletni kalkulator, ki temelji na sistemu Wolfram Alpha, vam omogoča izračun vsote dokaj zapletenih vrst. Poleg tega, če kalkulator ne najde vsote niza, je verjetno, da je dani niz divergenten (v tem primeru kalkulator prikaže sporočilo, kot je "vsota se razhaja"), tj. ta kalkulator tudi posredno pomaga dobiti predstavo o serijski konvergenci.
Če želite poiskati vsoto vaše serije, morate podati spremenljivko serije, spodnjo in zgornjo mejo seštevanja ter izraz za n-ti člen niza (tj. dejanski izraz za samo vrsto).
Odgovori: serija se razhaja.
Primer #3
Poiščite vsoto niza $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$.
Ker je spodnja meja seštevanja 1, je skupni člen niza zapisan pod znakom vsote: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Sestavi n-to delno vsoto niza, t.j. seštejte prvih $n$ članov dane številčne serije:
$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9) )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$
Zakaj pišem ravno $\frac(2)(3\cdot 5)$ in ne $\frac(2)(15)$, bo jasno iz nadaljnjega pripovedovanja. Vendar nas beleženje delne vsote ni niti za joto približalo cilju. Konec koncev moramo najti $\lim_(n\to\infty)S_n$, če pa samo zapišemo:
$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$
potem nam ta zapis, povsem pravilne oblike, v bistvu ne bo dal ničesar. Da bi našli mejo, je treba izraz delne vsote najprej poenostaviti.
Za to obstaja standardna transformacija, ki je sestavljena iz razgradnje ulomka $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$, ki predstavlja skupni člen niza, na osnovne ulomke. Ločena tema je namenjena vprašanju razgradnje racionalnih ulomkov na osnovne (glej na primer primer št. 3 na tej strani). Če razširimo ulomek $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ v osnovne ulomke, imamo:
$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$
Izenačimo števce ulomkov na levi in desni strani nastale enakosti:
$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$
Obstajata dva načina za iskanje vrednosti $A$ in $B$. Lahko odprete oklepaje in prerazporedite izraze ali pa preprosto nadomestite nekaj ustreznih vrednosti namesto $n$. Samo za spremembo, v tem primeru bomo šli po prvi poti, v naslednjem pa - nadomestili bomo zasebne vrednosti $n$. Če razširimo oklepaje in prerazporedimo izraze, dobimo:
$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$
Na levi strani enačbe je pred $n$ nič. Če želite, lahko levo stran enakosti zaradi jasnosti predstavite kot $0\cdot n+ 2$. Ker je na levi strani enakosti $n$ pred ničlo, na desni strani enačbe pa je $2A+2B$ pred $n$, imamo prvo enačbo: $2A+2B=0$. Takoj delimo oba dela te enačbe z 2, nakar dobimo $A+B=0$.
Ker je prosti člen na levi strani enakosti enak 2, na desni strani pa je prosti člen enak $3A+B$, potem je $3A+B=2$. Torej imamo sistem:
$$ \levo\(\begin(poravnano) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(poravnano)\desno. $$
Dokaz bo izveden po metodi matematične indukcije. V prvem koraku moramo preveriti, ali zahtevana enakost $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ velja za $n=1$. Vemo, da je $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, vendar bo izraz $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ dal vrednost $\frac( 2 )(15)$, če je vanj zamenjan $n=1$? Preverimo:
$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$
Torej, za $n=1$ je izpolnjena enakost $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. S tem je končan prvi korak metode matematične indukcije.
Predpostavimo, da za $n=k$ velja enakost, tj. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Dokažimo, da bo enaka enakost veljala za $n=k+1$. Če želite to narediti, upoštevajte $S_(k+1)$:
$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$
Ker je $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, potem je $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. V skladu z zgornjo predpostavko $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, torej formula $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ vzame oblika:
$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$
Zaključek: formula $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ velja za $n=k+1$. Zato je po metodi matematične indukcije formula $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ resnična za kateri koli $n\in N$. Enakost je dokazana.
Pri standardnem tečaju višje matematike se navadno zadovolji z "brisanjem" razveljavitvenih pogojev, ne da bi potrebovali kakršen koli dokaz. Tako smo dobili izraz za n-to delno vsoto: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Poiščite vrednost $\lim_(n\to\infty)S_n$:
Zaključek: dani niz konvergira in njegova vsota je $S=\frac(1)(3)$.
Iskreno povedano, sama imam raje to metodo :) Delno vsoto zapišemo v skrajšani obliki:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$
Prej smo ugotovili, da je $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, torej:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\levo (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\desno). $$
Vsota $S_n$ vsebuje končno število izrazov, tako da jih lahko prerazporedimo, kakor želimo. Najprej želim dodati vse izraze obrazca $\frac(1)(2k+1)$ in šele nato preiti na izraze obrazca $\frac(1)(2k+3)$. To pomeni, da bomo delno vsoto predstavili v tej obliki:
$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1) )-\levo(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\desno). $$
Seveda je razširjeni zapis izjemno neprijeten, zato lahko zgornjo enakost zapišemo bolj kompaktno:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$
Sedaj pretvorimo izraza $\frac(1)(2k+1)$ in $\frac(1)(2k+3)$ v isto obliko. Mislim, da je priročno, da izgleda kot večja frakcija (čeprav lahko uporabite manjšo, je stvar okusa). Ker je $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (večji kot je imenovalec, manjši je ulomek), bomo zmanjšali ulomek $\frac(1)(2k+ 3) $ v obliko $\frac(1)(2k+1)$.
Izraz v imenovalcu ulomka $\frac(1)(2k+3)$ bom predstavil takole:
$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$
In vsoto $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ lahko zdaj zapišemo takole:
$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$
Če je enakost $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ ne postavlja vprašanj, potem pa pojdimo dlje. Če imate vprašanja, razširite opombo.
Kako smo prišli do preračunanega zneska? pokaži/skrij
Imeli smo niz $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Namesto $k+1$ uvedemo novo spremenljivko - na primer $t$. Torej $t=k+1$.
Kako se je spremenila stara spremenljivka $k$? In spremenila se je iz 1 v $n$. Ugotovimo, kako se bo spremenila nova spremenljivka $t$. Če je $k=1$, potem je $t=1+1=2$. Če je $k=n$, potem je $t=n+1$. Torej je izraz $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ zdaj: $\sum\limits_(t=2)^(n + 1)\frac(1)(2t+1)$.
$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$
Imamo vsoto $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Vprašanje: ali je pomembno, katero črko uporabiti v tej vsoti? :) Če napišemo črko $k$ namesto $t$, dobimo naslednje:
$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$
Tako je enakost $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1) dobimo \frac(1)(2k+1)$.
Tako lahko delno vsoto predstavimo v naslednji obliki:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1) ). $$
Upoštevajte, da sta vsota $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ in $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ se razlikujejo le v mejah seštevanja. Naj bodo te meje enake. "Vzemimo" prvi element iz vsote $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$, dobimo:
$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$
"Vzemimo" zadnji element iz vsote $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, dobimo:
$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$
Potem bo izraz za delno vsoto dobil obliko:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$
Če preskočite vse razlage, bo proces iskanja skrajšane formule za n-to delno vsoto dobil naslednjo obliko:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2n+3)\desno)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$
Naj vas spomnim, da smo ulomek $\frac(1)(2k+3)$ zmanjšali na obliko $\frac(1)(2k+1)$. Seveda lahko storite nasprotno, tj. predstavljajo ulomek $\frac(1)(2k+1)$ kot $\frac(1)(2k+3)$. Končni izraz za delno vsoto se ne bo spremenil. V tem primeru bom postopek iskanja delnega zneska skril pod bankovec.
Kako najti $S_n$, če spravite v obliko drugačen ulomek? pokaži/skrij
$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\desno) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ). $$
Torej $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Poiščite mejo $\lim_(n\to\infty)S_n$:
$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$
Dani niz konvergira in njegova vsota je $S=\frac(1)(3)$.
Odgovori: $S=\frac(1)(3)$.
Nadaljevanje teme iskanja vsote niza bo obravnavano v drugem in tretjem delu.
Vsoto niza lahko izračunate le, če se niz konvergira. Če se niz razhaja, je vsota niza neskončna in nima smisla nečesa računati. Spodaj so primeri iz prakse iskanja vsote niza, ki so jih vprašali na Narodni univerzi Ivana Franka v Lvivu. Naloge za serijo so izbrane tako, da je pogoj konvergence vedno izpolnjen, vendar bomo izvedli konvergenčni test. Ta in članki, ki mu sledijo, predstavljajo rešitev kontrolnega dela pri analizi serij.
Primer 1.4 Izračunajte vsoto vrstic:
a)
Izračuni: Ker je meja skupnega člena niza pri številu poleg neskončnosti 0 
potem se niz konvergira. Izračunajmo vsoto serije. V ta namen pretvorimo običajni izraz tako, da ga razširimo v najpreprostejše frakcije tipa I in II. Metoda razširjanja v preproste ulomke tukaj ne bo podana (dobro je opisana pri integraciji ulomkov), ampak bomo zapisali le končno obliko raztezanja 
V skladu s tem lahko vsoto naslikamo skozi vsoto niza, sestavljenega iz preprostih ulomkov, nato pa iz razlike v vsotah niza 
Nato vsako vrstico pobarvamo v eksplicitni vsoti in označimo izraze (podčrtanje), ki se po seštevanju spremenijo v 0. Tako bo vsota serije poenostavljena na vsoto 3 členov (označenih s črno), kar bo povzročilo 33/40. 
Na tem temelji celoten praktični del iskanja vsote za enostavne vrste.
Primeri za kompleksne vrste so reducirani na vsoto neskončno padajočih progresij in nizov, ki jih najdemo z ustreznimi formulami, vendar takih primerov tukaj ne bomo obravnavali.
b) 
Izračuni: Iskanje meje n-ega člena vsote 
Enaka je nič, zato se podana vrsta konvergira in je smiselno iskati njeno vsoto. Če meja ni nič, je vsota niza enaka neskončnosti s predznakom plus ali minus.
Poiščimo vsoto serije. Da bi to naredili, se skupni izraz serije, ki je ulomek, pretvori po metodi nedoločenih koeficientov v vsoto preprostih ulomkov tipa I. 
Nadalje, v skladu z navodili, ki smo jih dali prej, zapišemo vsoto serije skozi ustrezne vsote preprostih ulomkov 
Pobarvamo vsote in izberemo člene, ki bodo ob seštevanju postali enaki 0. 
Kot rezultat dobimo vsoto več členov (označenih s črno), ki je enaka 17/6.
Primer 1.9 Poiščite vsoto niza:
a)
Računanje: izračunljiva meja 
Prepričamo se, da se dani niz konvergira in lahko najdemo vsoto. Nadalje se imenovalec funkcije števila n razstavi na prafaktorje in celoten ulomek se pretvori v vsoto preprostih ulomkov tipa I 
Nato zapišemo vsoto serije v skladu z urnikom skozi dva preprosta 
Nizo zapišemo v eksplicitni obliki in izberemo izraze, ki bodo po seštevanju enaki nič. Preostali izrazi (označeno s črno) in je končna vsota serije 
Torej, da bi našli vsoto vrste, je treba v praksi zmanjšati 3 enostavne ulomke na skupni imenovalec.
b) 
Izračuni: Meja izraza niza se pri velikih vrednostih števila nagiba k nič 
Iz tega sledi, da se niz konvergira, njegova vsota pa je končna. Poiščimo vsoto vrste, za to najprej z metodo nedoločenih koeficientov razširimo skupni izraz niza na tri preproste vrste 
V skladu s tem lahko vsoto vrste pretvorimo v vsoto treh preprostih vrst 
Nato v vseh treh vsotah iščemo člene, ki se po seštevanju spremenijo v nič. V nizu, ki vsebuje tri preproste ulomke, postane eden od njih enak nič, ko se sešteje (označeno z rdečo). To služi kot nekakšen namig pri izračunih. 
Vsota vrste je enaka vsoti 3 členov in je enaka eni.
Primer 1.15 Izračunaj vsoto serije:
a) 
Izračuni: s splošnim členom niza, ki teži k nič 
ta serija se zbliža. Običajni izraz preoblikujemo tako, da dobimo vsoto preprostih ulomkov 
Nadalje je dana serija po formulah urnika zapisana skozi vsoto dveh serij 
Po zapisu v eksplicitni obliki bo večina členov serije zaradi seštevanja postala enaka nič. Ostaja še izračunati vsoto treh členov. 
Vsota številskega niza je -1/30.
b) 
Izračuni: Ker je meja skupnega člena niza nič, 
potem se niz konvergira. Da bi našli vsoto vrste, razširimo skupni izraz na ulomke najpreprostejše vrste. 
Pri dekompoziciji je bila uporabljena metoda nedoločenih koeficientov. Iz najdenega urnika zapišemo vsoto serije 
Naslednji korak je izbira pogojev, ki ne prispevajo k končnemu znesku in preostalemu znesku 
Vsota serije je 4,5.
Primer 1.25 Izračunajte vsoto vrstic:
a) 
Ker je enak nič, se niz konvergira. Najdemo lahko vsoto serije. Da bi to naredili, v skladu s shemo prejšnjih primerov razširimo skupni izraz serije z enostavnimi ulomki 
To vam omogoča, da napišete vrsto skozi vsoto preprostih vrst in s poudarjanjem izrazov v njej poenostavite seštevanje. 
V tem primeru bo en člen enak eni.
b)
Izračuni: Poiščite mejo skupnega člena niza 
in poskrbite, da se serija zbliža. Nadalje se skupni člen številske vrste razstavi z metodo nedoločenih koeficientov na ulomke najpreprostejšega tipa. 
Skozi iste ulomke naslikamo vsoto serije 
Nizo zapišemo v eksplicitni obliki in jo poenostavimo na vsoto 3 členov 
Vsota serije je 1/4.
S tem je uvod v sheme zaporednega seštevanja zaključen. Tu še niso upoštevane serije, ki so reducirane na vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije, ki vsebuje faktoriale, odvisnosti moči in podobno. Vendar bo predstavljeno gradivo učencem uporabno pri kontroli in testih.
itd. - minimalno znanje o številčne serije. Treba je razumeti, kaj je serija, jo znati podrobno naslikati in ne zaokrožiti oči po stavkih "serija se zbliža", "serija se razhaja", "seštevek serije". Zato, če je vaše razpoloženje popolnoma na nič, si vzemite 5-10 minut za članek Vrstice za čajnike(dobesedno prve 2-3 strani), nato pa se vrnite sem in pogumno začnite reševati primere!
Treba je opozoriti, da v večini primerov ni enostavno najti vsote niza in to vprašanje se običajno reši z funkcionalne vrstice (živeli bomo, živeli bomo :)). Torej, na primer vsota priljubljenega izvajalca 
izhod skozi Fourierjeva serija. V zvezi s tem se v praksi skoraj vedno zahteva vzpostavitev samo dejstvo konvergence, vendar ne najdem določene številke (mislim, da so mnogi to že opazili). Vendar pa je med številnimi serijami številk nekaj predstavnikov, ki omogočajo, da se celo poln čajnik brez težav dotakne svetinje. In v uvodni lekciji sem dal primer neskončno padajoče geometrijske progresije 
, katerega vsoto zlahka izračunamo po znani šolski formuli.
V tem članku bomo še naprej obravnavali podobne primere, poleg tega pa se bomo naučili stroge definicije vsote in se na poti seznanili z nekaterimi lastnostmi vrst. Ogrevamo se ... ja, prav po napredovanju in ogrevamo:
Primer 1
Poiščite vsoto niza 
Rešitev: predstavlja našo serijo kot vsoto dveh nizov:
Zakaj v tem primer, ali je to mogoče? Izvedena dejanja temeljijo na dveh preprostih izjavah:
1) Če se nizi konvergirajo 
, potem se bo konvergirala tudi vrsta, sestavljena iz vsot ali razlik ustreznih členov: . Hkrati pa dejstvo, o katerem govorimo zbliževanje uvršča. V našem primeru smo vemo vnaprej da se obe geometrijski progresiji konvergirata, kar pomeni, da brez dvoma prvotno serijo razstavimo v dve vrstici.
2) Druga lastnost je še bolj očitna. Konstanto je mogoče vzeti iz območja: 
, in to ne bo vplivalo na njegovo konvergenco ali razhajanje in končno vsoto. Zakaj vzeti konstanto? Ja, samo zato, da ji »ne ovira pod nogami«. Toda včasih je koristno, da tega ne storite.
Čista zasnova primera izgleda nekako takole:
Formulo uporabimo dvakrat, da najdemo vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije: , kjer je prvi člen progresije, je osnova progresije.
Odgovori: vsota vrstic
Začetek rešitve je mogoče urediti v nekoliko drugačnem slogu - neposredno pobarvajte serijo in ponovno združite njene člane:
Nadalje po narebri.
Primer 2
Poiščite vsoto niza
To je primer "naredi sam". Popolna rešitev in odgovor na koncu lekcije.
Tu ni nobenih posebnih dodatkov, a enkrat sem naletel na nenavadno serijo, ki lahko preseneti neizkušenega človeka. To je ... tudi neskončno padajoča geometrijska progresija! Dejansko in znesek se izračuna v samo nekaj trenutkih: 
.
In zdaj življenski požirek matematične analize, ki je potreben za reševanje nadaljnjih problemov:
Stroga definicija konvergence/divergence in vsote vrste v teoriji je podana preko t.i. delne vsote vrstico. Delno pomeni nepopolno. Zapišimo delne vsote številskega niza 
:
In delna vsota "en" izrazov serije igra posebno vlogo:
Če je meja delnih vsot številskega niza končnoštevilka: , potem se taka vrsta imenuje zbliževanje in samo številko vsota serije. Če je meja neskončna ali ne obstaja, se niz imenuje divergentno.
Vrnimo se na demo 
in zapiši njegove delne vsote: 
Meja delnih vsot je natančno neskončno padajoča geometrijska progresija, katere vsota je enaka: . V lekciji smo upoštevali podobno mejo o številskih zaporedjih. Pravzaprav je sama formula neposredna posledica zgornjih teoretičnih izračunov (glej 2. zvezek Matana).
Tako je narisano splošni algoritem za rešitev našega problema: treba je sestaviti n -to delno vsoto niza in poiskati mejo . Poglejmo, kako se to izvaja v praksi:
Primer 3
Izračunaj vsoto niza 
Rešitev: prvi korak je razgradnja skupni izraz serije na vsoto ulomkov. Uporabljamo metoda nedoločenih koeficientov:
Kot rezultat:
Naenkrat Koristno je, da obrnete dejanje in s tem izvedete preverjanje:
Skupni izraz serije je bil pridobljen v izvirni obliki, zato je bila razširitev v vsoto ulomkov uspešno izvedena.
Sedaj pa naredimo delno vsoto serije. Na splošno se to naredi ustno, enkrat pa bom čim bolj podrobno opisal, iz česar je prišlo: 
Kako pisati je povsem jasno, a čemu je enak prejšnji izraz? V skupnem članu serije 
NAMESTO"en" nadomestimo:
Skoraj vse pogoje delnega zneska je mogoče varno preklicati: 
Takšni zapiski so neposredno narejeni s svinčnikom v zvezku. Prekleto priročno.
Ostaja še izračunati osnovno mejo in ugotoviti vsoto serije: 
Odgovori:
Podobna vrstica za neodvisno rešitev:
Primer 4
Izračunaj vsoto niza 
Primer končne rešitve na koncu lekcije.
Očitno je iskanje vsote niza samo po sebi dokaz njegove konvergence (poleg znaki primerjave, D'Alembert, Koshy itd.), kar zlasti namiguje na besedilo naslednje naloge:
Primer 5
Poiščite vsoto niza ali nastavite njegovo divergenco 
Po videzu skupnega člana lahko takoj ugotovite, kako se ta tovariš obnaša. Brez kompleksov. Preko Omejitev primerjalnega merila enostavno je ugotoviti (in celo verbalno), da se bo dana serija zbližala z vrsto . A pred nami je redek primer, ko je znesek tudi izračunan brez večjih težav.
Rešitev: imenovalec ulomka razširimo v produkt. Če želite to narediti, se morate odločiti kvadratna enačba:
V to smer:
Faktorje je najbolje razporediti v naraščajočem vrstnem redu: .
Naredimo vmesni pregled:
v redu
Tako je skupni izraz serije: 
V to smer: 
Ne bodimo leni:
Kar je bilo treba preveriti.
Zapišimo delno vsoto "en" članov serije, pri tem pa bodite pozorni na to, da "števec" serije "začne delovati" od številke . Kot v prejšnjih primerih je bolj zanesljivo raztegniti kobro na spodobno dolžino:
Če pa pišemo v eni ali dveh vrsticah, bo še kar težko krmariti po okrajšavah izrazov (v vsakem članu jih je še po 3). In tukaj bomo priskočili na pomoč ... geometrija. Naj kača zapleše na našo melodijo: 
Ja, v zvezek le napišemo en izraz pod drugim in jih kar tako prečrtamo. Mimogrede, lasten izum. Kot veste, ne od najlažje naloge v tem življenju =)
Kot rezultat vseh znižanj dobimo:
In končno, vsota serije:
Odgovori:
Primer 8
Izračunaj vsoto niza 
To je primer "naredi sam".
Obravnavani problem nas seveda ne veseli z raznolikostjo - v praksi obstaja bodisi neskončno padajoča geometrijska progresija bodisi niz z delno-racionalnim skupnim izrazom in razstavljivim polinomom v imenovalcu (mimogrede, ne vsak tak polinom omogoča iskanje vsote vrste). A kljub temu včasih naletijo na nenavadne primerke in po dobri tradiciji, ki se je razvila, učno uro zaključim s kakšno radovedno nalogo.
