Tegyük fel, hogy x csak egy valós szám. Írja fel így: x∈ℝ - olvassa el, hogy x a valós számok halmazához tartozik. A teljes készlet, a 0 elem is benne van. És nincs trükk az x elemeivel: a végtelen nem része annak a halmaznak, amelyhez x tartozik, és x nem antiderivált.
Egy másik, itt még nem említett megoldást ajánlok:
Kezdjük egy kis meghatározással:
A csoport tetszőleges természetű elemek halmaza, közéjük bevezetett (egyetlen!) művelettel (jelen esetben +), amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
(Jelöljük csoportunkat G betűvel)
1) Lezárás: ∀x,y ∈ G ⇒ x+y ∈ G. Ez így hangzik: a G csoport bármely két x és y elemére az következik, hogy az összegük is a G csoport eleme
2) Aszociativitás: ∀x,y,z ∈ G ⇒ (x+y)+z = x+(y+z). Ez így hangzik: a G csoportba tartozó tetszőleges három x,y,z elemre ebből az következik, hogy először az x és y elemekre alkalmazhatunk egy csoportműveletet, és ennek eredményeként kapunk valamilyen (x + y) elemet ∈ G, majd alkalmazza a csoportműveletet az ( x+y) és z elemekre. Az eredményül kapott elemnek egyenlőnek kell lennie azzal az elemmel, amelyet úgy kaptunk, hogy a műveletet először y-ra és z-re, majd x-re és (y+z) alkalmaztuk. Vagyis leegyszerűsítve a zárójelek átrendezése nem változtat az eredményen: (x + y) + z = x + (y + z)
3) ∀x ∈ G ⇒ ∃e ∈ G: x + e = e+ x = x. Ez így hangzik: Egy csoportban kell lennie egy e elemnek (amit a csoport egységének neveznek), így ha az e + x csoportműveletet alkalmazza, majd az x + e - ugyanazt az x elemet kapja. Vagyis a csoport egysége balra és jobbra hozzáadva nem "eltolja" a csoport elemét.
4) ∀x ∈ G ⇒ ∃x⁻¹: x + x⁻¹ = x⁻¹ + x = e. Ez így hangzik: A G csoport bármely x elemének van egy inverze, így az x és x⁻¹ közötti művelet eredménye a bal és jobb oldalon egyenlő a csoport egységével.
Meg kell értenie, hogy a + művelet a csoportban teljesen bármilyen lehet. A + szimbólum csak ennek a műveletnek a szimbóluma. A leghelyesebb azt mondani, hogy x + y = f (x, y)
ahol f valamilyen függvény, amely a csoport egy elemét adja vissza.
Példák csoportokra és nem csoportokra. (Ez a bekezdés kihagyható):
Például a ℤ halmaz (egész számok) egy csoport, ha bemutatjuk a szokásos összeadás mindannyiunk számára ismert műveletét. Zárt, bármely x ∈ ℤ esetén az -x elem az inverz, mert x + (-x) = 0. A csoport egysége 0. És természetesen érvényes az asszociativitás.
Ha azonban figyelembe vesszük a ℤ halmazt a rajta bevezetett szabványos szorzási művelettel, akkor egy ilyen szerkezet többé nem lesz csoport - annak ellenére, hogy van egység: x*1 = x és asszociatív: (x* y)*z = x*(y *z), az egész számok halmazában nincs inverz elem az egyen kívül. Igazán. Például a 4-es szám szorzásának inverze 1/4, mert 4 * (1/4) = 1. De 1/4 nincs az egész számok halmazában. 1/4 egy racionális szám.
De ha eltávolítjuk a 0 elemet a ℚ halmazból (racionális számok), akkor ha bevezetjük a szabványos szorzás műveletét a ℚ-n, akkor a ℚ egy csoport lesz, mert inverzek és egység is vannak, és asszociatív és zárt.
Tehát próbáljuk meg látni. mi legyen a művelet a ℝ (valós számok) halmazon, hogy létezzen benne az x⊕1=x egyenlet megoldása. Ahol ⊕ a csoportművelet jelölése.
Vezessük be az x⊕y = x+y-1 műveletet
Ekkor az 1. elem lesz a csoportunk egysége, mert x⊕1 = 1⊕x = x + 1 - 1 = x.
Vagyis x⊕1 = x.
A fordítottja lesz az elem: (2-x), mert x⊕(2-x) = (2-x)⊕x = x + (2-x) - 1 = 1 (csoportegység)
társulás, nyilván. elkészült:
(x⊕y)⊕z = (x + y - 1) ⊕z = x + y - 1 + z - 1 = x + y + z - 2
x⊕(y⊕z) = x⊕(y+z-1) = x + y + z - 1 - 1 = x + y + z - 2 = (x⊕y)⊕z
Emellett jól látható, hogy csoportunk a bevezetett működés tekintetében zárt.
Tehát ellenőriztük, hogy az általunk bevezetett művelettel rendelkező halmaz egy csoport, nézzük meg, hogyan áll ott az egyenletünk, ha x az általunk felépített csoporthoz tartozik.
x⊕1 = x. De amikor megvizsgáltuk, hogy az általunk épített struktúra csoport-e, már rájöttünk, hogy a mi csoportunkban az 1 a csoport egysége, és a benne lévő x⊕1=x tulajdonság nyilvánvalóan az általunk épített csoport bármely elemére érvényes.
Érdekes módon a csoportban 0⊕0 = -1-et alkottunk :)
A szerző nyilvánvalóan utalt arra, hogy a + művelet kiegészítés. De csoportelméleti szempontból a ℝ halmaz a benne bevezetett szokásos összeadási művelettel nem különbözik a ℝ/(0) halmaztól (a valós számok halmaza, de egy elemet eltávolítottak belőle - 0) a benne bevezetett szokásos szorzási művelet. Az algebrában pedig a + általában azt jelenti, hogy pontosan a ℝ halmazt használjuk (nulla kidobása nélkül). Ezt figyelembe veszik a megoldásban - már az elején említettem, hogy 0∈ℝ.
Ha nem ez a feltétel, akkor egyszerűen feltételezhetjük, hogy x⊕y = x*y.
Ha a sport kimenetelére fogad, meg kell értenie az esélyeket. Ezenkívül meg kell tanulnia, hogyan számíthatja ki gyorsan a különböző fogadási szorzók várható kifizetését, különösen akkor, ha azok egy sportesemény során változnak. A fogadási szorzók meghatározzák egy bizonyos esemény bekövetkezésének valószínűségét (csapat nyer, bokszoló nyer), és azt az összeget, amelyet nyersz. De az ilyen információk továbbításának többféle módja van.
1. rész
A fogadási esélyek megértéseA fogadási szorzók határozzák meg egy adott esemény valószínűségét (esélyét), vagyis azt, hogy melyik csapatnak, lónak vagy sportolónak van nagyobb esélye a győzelemre. Számos módja van a fogadási szorzók megírásának, de mindegyik egy sportesemény adott kimenetelének valószínűségét jelzi.
A legtöbb esetben a fogadásokat egy adott sportesemény kimenetelére kötik. Például egy csapat, sportoló vagy ló győzelmének valószínűsége. A bukmékerek statisztikákat (csapatok, sportolók, lovak) használnak, hogy megjósolják, ki fog nyerni.
Ne feledje, hogy az alacsony odds nagyobb nyereséget hoz. Az esélytelenebbekre való fogadás kockázatosabb, mint a kedvencekre, de minél nagyobb a kockázat, annál nagyobb a lehetséges nyeremény.
Ismerje a fogadási terminológiát. Az ilyen terminológia jelentését a fogadóirodánál találja meg, de jobb, ha előre (a fogadás megtétele előtt) tudja.
2. rész
Brit (tört) esélyek3. rész
Amerikai fogadási szorzókNe feledje, hogy itt a fogadás csak a nyerési esélyeket veszi figyelembe. Az amerikai fogadási szorzók pozitív vagy negatív számok a csapatok neve mellett. A negatív szám a kedvencet, míg a pozitív szám a kívülállót határozza meg.
A pozitív szorzó azt jelzi, hogy mennyi profitot termelsz minden 100 dolláros tét után (és ki is fizetik a megtett összeget). Például, ha 100 dollárt fogad a Seahawks-ra, és ha az a csapat nyer, akkor 235 dollárt nyer (a nyeresége 135 dollár).
A negatív szorzó azt jelzi, hogy mennyit kell fogadnia, hogy 100 dollárt kapjon. Ha a kedvencre fogad, kevesebbet kockáztat, és így kevesebbet nyer. Például ahhoz, hogy 100 dollár nyereséget érjen el, 135 dollárt kell fogadnia a Cowboyson (a megtétek összegét is megkapja).
Mielőtt elkezdené a munkát ezzel a témával, azt tanácsolom, hogy tekintse meg a számsorok terminológiáját tartalmazó részt. Különösen érdemes odafigyelni a sorozat közös kifejezésének fogalmára. Ha kétségei vannak a konvergencia jelének helyes megválasztásával kapcsolatban, azt tanácsolom, hogy nézze meg a "Numerikus sorozatok konvergenciajelének kiválasztása" című témát.
A konvergenciához szükséges kritérium A számsorok megfogalmazása egyszerű: a konvergens sorozat közös tagja nullára hajlik. Ezt a funkciót formálisabban is megírhatja:
Ha a $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ sorozat konvergál, akkor $\lim_(n\to\infty)u_n=0$.
A szakirodalomban gyakran a „konvergencia szükséges kritériuma” kifejezés helyett „a konvergencia szükséges feltételét” írják. De térjünk a lényegre: mit jelent ez a jel? És ez a következőt jelenti: ha $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, akkor a sorozat talán konvergálnak. Ha $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ (vagy a korlát egyszerűen nem létezik), akkor a $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ sorozat eltér.
Érdemes megjegyezni, hogy a $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ egyenlőség egyáltalán nem jelenti azt, hogy a sorozat konvergál. Egy sorozat akár konvergálhat, akár eltérhet. De ha $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, akkor a sorozat garantáltan szétválik. Ha ezek az árnyalatok részletes magyarázatot igényelnek, kérjük, nyissa meg a jegyzetet.
Mit jelent a "szükséges feltétel" kifejezés? mutat elrejt
Tisztázzuk egy példával a szükséges feltétel fogalmát. Tollat venni egy diáknak szükséges van 10 rubel. Ezt a következőképpen írhatjuk fel: ha egy diák tollat vesz, akkor 10 rubel van. A tíz rubel jelenléte a toll vásárlásának szükséges feltétele.
Ez a feltétel teljesüljön, i.e. A diáknak tíz van. Ez azt jelenti, hogy vesz egy tollat? Egyáltalán nem. Vásárolhat tollat, vagy a pénzt későbbre takaríthatja meg. Vagy vegyél mást. Vagy adja oda valakinek - rengeteg lehetőség van :) Vagyis a tollvásárláshoz szükséges feltétel teljesítése (azaz a pénz birtoklása) nem garantálja ennek a tollnak a megvásárlását.
Hasonlóképpen, a $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ számsor konvergenciájának szükséges feltétele egyáltalán nem garantálja magának ennek a sorozatnak a konvergenciáját. Egy egyszerű hasonlat: ha van pénz, a diák vásárolhat tollat vagy nem. Ha $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, akkor a sorozatok konvergálhatnak vagy divergálhatnak.
Mi történik azonban, ha a tollvásárláshoz szükséges feltétel nem teljesül, pl. nincs pénz? Akkor a diák biztosan nem vesz tollat. Ugyanez igaz a sorozatokra is: ha nem teljesül a szükséges konvergencia feltétel, pl. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, akkor a sorozat mindenképpen el fog térni.
Röviden, ha a szükséges feltétel teljesül, akkor a következmény bekövetkezhet vagy nem. Ha azonban a szükséges feltétel nem teljesül, akkor a következmény biztosan nem következik be.
Az érthetőség kedvéért adok egy példát két sorozatra: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ és $\sum\limits_(n=1)^(\ infty)\frac( 1)(n^2)$. Az első sorozat $u_n=\frac(1)(n)$ és a második sorozat közös tagja $v_n=\frac(1)(n^2)$ nullára hajlik, azaz.
$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n)=0;\; \lim_(n\to\infty)v_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n^2)=0. $$
A $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ harmonikus sorozat azonban eltér, míg a $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ frac(1 )(n^2)$ konvergál. A szükséges konvergenciafeltétel teljesülése egyáltalán nem garantálja a sorozatok konvergenciáját.
A sorozatok konvergenciájához szükséges feltétel alapján megfogalmazhatjuk elegendő jele az eltérésnek számsor:
Ha $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, akkor a $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ sorozat eltér.
Leggyakrabban a szabványos példákban a szükséges konvergenciakritérium ellenőrzése akkor történik meg, ha a sorozat közös tagját egy tört reprezentálja, amelynek számlálója és nevezője néhány polinom. Például $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ (lásd az 1. példát). Vagy lehetnek gyökök polinomokból (lásd a 2. példát). Vannak olyan példák, amelyek némileg kilógnak ebből a sémából, de ez ritka a szabványos teszteknél (lásd a példákat a témakör második részében). Hangsúlyozom a lényeget: a szükséges kritérium segítségével lehetetlen bizonyítani a sorozatok konvergenciáját. Ezt a kritériumot akkor használjuk, ha bizonyítani kell, hogy a sorozatok eltérnek.
1. példa
Vizsgáljuk meg a $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ sorozat konvergenciáját.
Mivel az alsó összegzési határ 1, ezért a sorozat közös tagját az összegjel alá írjuk: $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$. Keresse meg a sorozat közös tagjának határát:
$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)=\left|\frac(\infty) (\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n^2)(n^2)+\frac(2n)(n^2)-\frac(1)( n^2))(\frac(5n^2)(n^2)+\frac(7)(n^2))= \lim_(n\to\infty)\frac(3+\frac(2) (n)-\frac(1)(n^2))(5+\frac(7)(n^2))=\frac(3+0-0)(5+0)=\frac(3) (5). $$
"Két polinom arányának határa". Mivel a sorozat közös tagjának határa nem egyenlő nullával, azaz. $\lim_(n\to\infty)u_n=\frac(3)(5)\neq 0$, akkor a konvergenciához szükséges kritérium nem teljesül. Ezért a sorozat eltér egymástól.
A megoldásnak azonban vége, de úgy gondolom, az olvasónak egészen jogos kérdése lesz: hogyan láttuk egyáltalán, hogy ellenőrizni kell a szükséges konvergenciafeltétel teljesülését? A numerikus sorozatok konvergenciájának számos jele van, akkor miért ezt választották? Ez a kérdés egyáltalán nem tétlen. De mivel a rá adott válasz nem biztos, hogy minden olvasót érdekel, egy megjegyzés alá rejtettem.
Miért kezdtük el használni a szükséges konvergenciakritériumot? mutat elrejt
Ha lazán szólunk, e sorozat konvergenciájának kérdése már egy formális vizsgálat előtt eldől. Nem érintek olyan témát, mint a növekedés rendje, egyszerűen csak néhány általános indoklást adok. Nézzük meg közelebbről a $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ általános tagját. Nézzük először a számlálót. A számlálóban található szám (-1) azonnal eldobható: ha $n\to\infty$, akkor ez a szám elhanyagolható lesz a többi kifejezéshez képest.
Nézzük meg a $n^2$ és $n$ hatványokat a számlálóban. Kérdés: melyik elem ($n^2$ vagy $n$) nő gyorsabban, mint mások?
A válasz itt egyszerű: $n^2$ fogja a leggyorsabban növelni az értékeit. Például ha $n=100$, akkor $n^2=10\;000$. És ez a különbség $n$ és $n^2$ között egyre nagyobb lesz. Ezért gondolatban elvetjük az összes kifejezést, kivéve azokat, amelyek $n^2$-t tartalmaznak. Ilyen „ledobás” után a számlálóban $3n^2$ lesz. És a nevezőre vonatkozó hasonló eljárás végrehajtása után $5n^2$ marad ott. És a $\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ tört a következőképpen alakul: $\frac(3n^2)(5n^2)=\frac(3)(5)$ . Azok. a végtelenben a közös kifejezés nyilvánvalóan nem lesz nulla. Csak ezt formálisan meg kell mutatni, ami fent megtörtént.
Egy sorozat közös tagjának rekordjában gyakran olyan elemeket használnak, mint például a $\sin\alpha$ vagy $\arctg\alpha$ és hasonlók. Csak emlékeznie kell arra, hogy az ilyen mennyiségek értéke nem lépheti túl bizonyos számszerű határokat. Például bármi legyen is a $\alpha$, a $\sin\alpha$ értéke $-1≤\sin\alpha≤ 1$ között marad. Vagyis például felírhatjuk, hogy $-1≤\sin(n!e^n)≤ 1$. Most képzeljük el, hogy a sorozat közös tagjának jelölése egy olyan kifejezést tartalmaz, mint: $5n+\sin(n!e^n)$. Lesz-e jelentős szerepe a szinusznak, amely csak -1-től 1-ig tud "oszcillálni"? Végül is $n$ értékei a végtelenbe rohannak, és a szinusz nem haladhatja meg az egyet! Ezért a $5n+\sin(n!e^n)$ kifejezés előzetes megfontolása során a szinusz egyszerűen elvehető.
Vagy például vegyük az ív érintőt. Bármi legyen is a $\alpha$ argumentum, a $\arctg\alpha$ értékei kielégítik a $-\frac(\pi)(2) egyenlőtlenséget.<\arctg\alpha<\frac{\pi}{2}$. Т.е., например, в выражении вроде $7n^3+\sqrt{9n+100}-6\arctg(5^n+587n^{258})$ можно сразу отбросить арктангенс. Да и $\sqrt{9n+100}$ тоже, оставив при этом лишь $7n^3$.
Annak meghatározásához, hogy mely elemeket lehet "eldobni" és melyeket nem, szüksége van egy kis készségre. Leggyakrabban egy sorozat konvergenciájának kérdése már a formális vizsgálat előtt is megoldható. És a szabványos példákban végzett formális tanulmány csak az intuitív módon kapott eredmény megerősítéseként szolgál.
Válasz: a sorozat eltér.
2. példa
Vizsgálja meg a $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)$ sorozatot a konvergencia szempontjából.
Mivel az alsó összegzési határ 1, ezért a sorozat közös tagját az összegjel alá írjuk: $u_n=\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+ 12) $. Keresse meg a sorozat közös tagjának határát:
$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)=\ left|\frac(\infty)(\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(\frac(4n^7)(n^7)+\frac(5n^3 )(n^7)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9n^2)(n^(\frac(7)(3)))-\frac(n)(n^ (\frac(7)(3)))+\frac(12)(n^(\frac(7)(3))))= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4+) \frac(5)(n^4)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9)(n^\frac(1)(3))-\frac(1)(n^ \frac(4)(3))+\frac(12)(n^\frac(7)(3)))=+\infty. $$
Ha ennek a határnak a megoldásának módja kérdéseket vet fel, akkor azt tanácsolom, hogy olvassa el a "Határok az irracionalitással. A harmadik rész" témakört (7. példa). Mivel a sorozat közös tagjának határa nem egyenlő nullával, azaz. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, akkor a konvergencia szükséges kritériuma nem teljesül. Ezért a sorozat eltér egymástól.
Beszéljünk egy kicsit az intuitív érvelés felől. Itt elvileg minden igaz, ami az 1. számú példa megoldásának megjegyzésében elhangzott. Ha gondolatban "elvetjük" az összes "irreleváns" kifejezést a sorozat közös tagjának számlálójában és nevezőjében, akkor a $\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2- n+12)$ a következő formában lesz: $\frac(\sqrt(4n^7))(9n^2)=\frac(n^2\sqrt(4n))(9n^2)=\frac(\ sqrt(4n))(9)$ . Azok. még egy formális vizsgálat előtt világossá válik, hogy $n\to\infty$ esetén a sorozat közös tagja nem fog nullára esni. A végtelenig - lesz, a nulláig - nem. Ezért csak ezt szigorúan meg kell mutatni, ami fent megtörtént.
Válasz: a sorozat eltér.
3. példa
Vizsgáljuk meg a $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)$ sorozat konvergenciáját.
Mivel az alsó összegzési határ 1, ezért a sorozat közös tagját az összegjel alá írjuk: $u_n=5^n\sin\frac(8)(3^n)$. Keresse meg a sorozat közös tagjának határát:
$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)=\lim_(n\to \infty)\frac(\sin\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=\left|\frac(0)(0)\right|=\left| \begin(aligned)&\frac(8)(3^n)\to 0;\\&\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)(3^n). \end(igazított)\right|=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=8\cdot\lim_ (n\to\infty)\left(\frac(5)(3)\right)^n=+\infty. $$
Mivel a sorozat közös tagjának határa nem egyenlő nullával, azaz. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, akkor a konvergencia szükséges kritériuma nem teljesül. Ezért a sorozat eltér egymástól.
Néhány szó a határszámításkor végrehajtott átalakításokról. A $5^n$ kifejezés a számlálóba került, így a számlálóban és a nevezőben is végtelenül kicsinyek lesznek. Azok. $n\to\infty$ esetében a következőket találjuk: $\sin\frac(8)(3^n)\to 0$ és $\frac(1)(5^n)\to 0$. Ha pedig van egy infinitezimális arányunk, akkor nyugodtan alkalmazhatjuk az "Ekvivalens infinitezimális függvények" dokumentumban megadott képleteket (lásd a dokumentum végén található táblázatot). Az egyik képlet szerint, ha $x\to 0$, akkor $\sin x\sim x$. És van egy ilyen esetünk: mivel $\frac(8)(3^n)\-től 0$-ig, akkor $\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)( 3^n )$. Más szavakkal, egyszerűen lecseréljük a $\sin\frac(8)(3^n)$ kifejezést a $\frac(8)(3^n)$ kifejezésre.
Felmerülhet a kérdés, hogy a $5^n\sin\frac(8)(3^n)$ kifejezést miért alakítottuk át tört alakra, mert a csere ilyen átalakítás nélkül is megtörténhetett volna. A válasz itt a következő: a csere megoldható, de ez legális lesz? Az ekvivalens infinitezimális függvényekre vonatkozó tétel egyértelműen jelzi, hogy az ilyen helyettesítések csak a $\frac(\alpha(x))(\beta(x))$ formájú kifejezésekben lehetségesek (míg $\alpha(x)$ és $ \beta (x)$ - végtelenül kicsi) a határjel alatt található. Tehát a kifejezésünket tört alakra alakítottuk át, illesztve azt a tétel követelményeihez.
Válasz: a sorozat eltér.
4. példa
Vizsgáljuk meg a $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3^n)(n^2)$ sorozat konvergenciáját.
Mivel az alsó összegzési határ 1, ezért a sorozat közös tagját az összegjel alá írjuk: $u_n=\frac(3^n)(n^2)$. Valójában ennek a sorozatnak a konvergenciájának kérdése könnyen megoldható a D "Alembert-jellel. Azonban a szükséges konvergenciajel is alkalmazható.
Nézzük meg közelebbről a sorozat általános kifejezését. A számláló tartalmazza a $3^n$ kifejezést, amely sokkal gyorsabban növekszik $n$ növekedésével, mint az $n^2$ nevezőben lévő. Hasonlítsa össze saját magát: például ha $n=10$, akkor $3^n=59049$ és $n^2=100$. És ez a szakadék gyorsan növekszik $n$ növekedéssel.
Teljesen logikus azt feltételezni, hogy ha $n\to\infty$, akkor $u_n$ nem fog nullára esni, azaz. a szükséges konvergencia feltétel nem teljesül. Már csak tesztelni kell ezt a valószínű hipotézist, és kiszámítani a $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3^n)(n^2)$. Mielőtt azonban kiszámítanánk ezt a határértéket, keressük meg a $y=\frac(3^x)(x^2)$ függvény kiegészítő korlátját a $x\to +\infty$-hoz, azaz. kiszámítja a $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)$. Miért tesszük ezt: az a tény, hogy a $u_n=\frac(3^n)(n^2)$ kifejezésben a $n$ paraméter csak természetes értékeket vesz fel ($n=1,2,3, \ldots$) , és a $y=\frac(3^x)(x^2)$ függvény $x$ argumentuma valós értékeket vesz fel. A $\lim_(x\to+\infty)\frac(3^x)(x^2)$ megtalálásakor alkalmazhatjuk a L'Hopital-szabályt:
$$ \lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text (alkalmazza a L'Hopital's-t szabály) |=\lim_(x\to +\infty)\frac(\left(3^x\right)")(\left(x^2\right)")=\lim_(x\to +\infty )\ frac(3^x\ln 3)(2x)=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x) =\ left|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text(alkalmazza a L'Hopital-szabályt)|=\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (\left(3^x\right)")(\left(x\right)")=\\ =\frac(\ln 3) (2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (3^x\ln 3)(1)=\frac(\ln^2 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)3^x=+\infty. $$
Mivel $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=+\infty$, akkor $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to \ infty)\frac(3^n)(n^2)=+\infty$. Mivel $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, a sorozatok konvergenciájának szükséges feltétele nem teljesül, azaz. az adott sorozat eltér.
Válasz: a sorozat eltér.
További példák azokra a sorozatokra, amelyek konvergenciáját a szükséges konvergenciateszttel ellenőrizzük, a témakör második részében találhatók.
A százalékok meghatározásának ismerete minden ember számára szükséges. Az élet mindig ad nekünk feladatokat, hogy százalékokat találjunk, és néha naponta többször is. Ez a bolti kedvezmény százaléka, meg a bankbetét kamata, és még sok minden más.
Mielőtt megértené a százalékok meghatározását, meg kell határoznia ezt a matematikai fogalmat. Tehát bármely szám századrészét százaléknak nevezzük.
Tegyük fel, hogy meg kell oldanunk a problémát: „5% kedvezményt hirdetnek az üzletben. Hány rubel olcsóbb most a szoknya, aminek eredeti ára 300 rubel volt? A probléma megoldásához ki kell számítanunk, hogy hány rubel lesz a 300 rubel 5% -a, azaz. keresse meg egy szám százalékát.
Ahogy már mondtuk, a százalék bármely szám százada. Ezután kiszámítjuk, hogy mennyi lesz a 300 rubel 1% -a. Ehhez elosztjuk a 300-at százzal. Kiderült, hogy 300 1%-a 3.
Most, hogy tudjuk, hogy mennyivel egyenlő az 1%, könnyen kiszámolhatjuk, hogy hány rubel lesz a 300 rubel 5%-a. Csak egyszerűen végre kell hajtania a következő műveletet: 3 * 5 = 15 (rubel).
Így a szoknya 15 rubel olcsóbbá vált.
Még egyszerűbb megkeresni egy szám százalékát arány használatával.
300 rubel - 100%
X rubel - 5%
Ezért X \u003d (300 * 5) / 100 = 15 rubel.
Az összeg százalékos arányának meghatározása nagyon egyszerű. Először is add össze az összes kifejezést. Ezután a kapott összeget elosztjuk százzal, és az eredményt megszorozzuk a probléma körülményei által meghatározott százalékok számával.
Például meg akarja találni a 35 és 42 számok összegének 7%-át.
A legkönnyebb megérteni és megjegyezni, hogyan lehet százalékokat találni egy számológép segítségével, egy konkrét példa alapján. Ehhez keressük meg a 749 9%-át.
A számológépen azt a számot, amelyből a százalékot találjuk, szorozza meg a százalékok számával, és kattintson a "%" ikonra. Kérjük, vegye figyelembe, hogy amikor százalékokat keres a számológépen, nem kell megnyomnia a „=” gombot.
Így néz ki a példánkban: 749 * 9%. Ha mindent helyesen írt be, akkor a képernyőn megjelenik a „67.41” szám, amely a probléma megoldása.
