Összeg államonként. statisztikai összeg. Termodinamikai összenergia számítása

A Mariana-árok vagy a Mariana-árok egy óceáni árok a Csendes-óceán nyugati részén, amely a Föld legmélyebb földrajzi területe.

A Mariana-árok tanulmányozását a Challenger (HMS Challenger) angol hajó expedíciója (1872. december – 1876. május) kezdeményezte, amely a Csendes-óceán mélységének első szisztematikus mérését végezte. Ezt a háromárbocos, vitorlával szerelt katonai korvettet 1872-ben óceánográfiai hajóként építették át hidrológiai, geológiai, vegyi, biológiai és meteorológiai munkákhoz.

A Mariana-árok tanulmányozásában a szovjet kutatók is jelentős mértékben hozzájárultak. 1958-ban a Vityazon egy expedíció megállapította az élet létezését több mint 7000 méteres mélységben, ezzel megcáfolva azt az akkor uralkodó elképzelést, hogy 6000-7000 méternél nagyobb mélységben az élet lehetetlen.

"Vityaz" Kalinyingrádban az örök parkolón

Fél évszázaddal ezelőtt, 1960. január 23-án jelentős esemény történt az óceánok meghódításának történetében.

A trieszti batiszkáf, amelyet Jacques Piccard francia felfedező (1922-2008) és Don Walsh hadnagy vezette, elérte az óceán fenekének legmélyebb pontját - a Challenger Deep-et, amely a Mariana-árokban található, és az angolok után „Challenger” hajónak nevezték el. , ahonnan 1951-ben érkeztek az első adatok arról. A merülés 4 óra 48 percig tartott, és a tengerszinthez képest 10911 m-en ért véget. Ebben a szörnyű mélységben, ahol a 108,6 MPa-os szörnyű nyomás (ami több mint 1100-szor nagyobb a normál légköri nyomásnál) minden élőlényt lelapul, a kutatók a legfontosabb óceántani felfedezést tették: két 30 centiméteres halat láttak, amelyek hasonlóak a lepényhalhoz. , ússz el a lőrés mellett. Korábban azt hitték, hogy 6000 métert meghaladó mélységben nem létezik élet.

Így a merülési mélység abszolút rekordja született, amit még elméletileg sem lehet felülmúlni. Picard és Walsh voltak az egyetlenek, akik meglátogatták a Challenger szakadékának alját. Minden későbbi merülést az óceánok legmélyebb pontjára, kutatási célból, már pilóta nélküli batiszkáfok-robotok hajtottak végre. De nem is volt belőlük annyi, hiszen a Challenger szakadék „látogatása” egyszerre időigényes és költséges.

Ennek a merülésnek az egyik eredménye, amely jótékony hatással volt a bolygó ökológiai jövőjére, az volt, hogy az atomhatalmak megtagadták a radioaktív hulladék eltemetését a Mariana-árok alján. A helyzet az, hogy Jacques Picard kísérletileg cáfolta azt a véleményt, amely akkoriban uralkodott, hogy 6000 m-nél nagyobb mélységben nincs víztömeg felfelé mozgás.

A 90-es években három merülést hajtott végre a japán Kaiko, melyeket az „anyahajóról” távvezéreltek egy optikai kábelen keresztül. 2003-ban azonban az óceán egy másik részének feltárása közben egy vihar során elszakadt egy vontató acélkábel, és a robot elveszett.

A Nereus víz alatti katamarán lett a harmadik mélytengeri jármű, amely elérte a Mariana-árok alját.

2009. május 31-én az emberiség ismét elérte a Csendes-óceán, sőt az egész világóceán legmélyebb pontját - az amerikai Nereus mélytengeri jármű a Mariana-árok alján lévő Challenger-nyelőbe süllyedt. A készülék talajmintákat vett, és víz alatti fotó- és videófelvételeket készített a legnagyobb mélységben, csak a LED-es reflektorral megvilágítva.

Bors Eleanor diák kezében van egy tengeri uborka, amely a mélyben él, és a Nereus apparátus vette fel.

A mostani merülés során Nereus műszerei 10 902 méteres mélységet rögzítettek. A Kaiko, amely először 1995-ben szállt le itt, 10 911 métert, míg Picard és Walsh 10 912 métert mért. Sok orosz térképen még mindig 11 022 méteres értéket adnak meg, amelyet a Vityaz szovjet oceanográfiai hajó kapott az 1957-es expedíció során. Mindez persze a mérések pontatlanságáról tanúskodik, és nem valódi mélységváltozásról: az adott értékeket adó mérőberendezésen senki nem végzett keresztkalibrációt.

A Mariana-árkot két tektonikus lemez határa alkotja: a kolosszális Csendes-óceáni lemez a nem túl nagy Fülöp-szigeteki lemez alá esik. Ez egy rendkívül magas szeizmikus aktivitású zóna, amely része az úgynevezett csendes-óceáni vulkáni tűzgyűrűnek, amely 40 ezer km hosszan húzódik, a világon a leggyakoribb kitörések és földrengések. A vályú legmélyebb pontja az angol hajóról elnevezett Challenger Deep.

A mélyedés a Mariana-szigetek mentén 1500 km hosszan húzódik; V alakú profilú, meredek (7-9°) lejtős, 1-5 km széles lapos fenekű, melyet zuhatag több zárt mélyedésre tagol. Az alján a víznyomás eléri a 108,6 MPa-t, ami több mint 1100-szor magasabb, mint a normál légköri nyomás a Világóceán szintjén. A mélyedés két tektonikus lemez dokkolásának határán, a vetők mentén történő mozgási zónában található, ahol a Csendes-óceáni lemez a Fülöp-szigeteki lemez alá kerül.

A megmagyarázhatatlan és felfoghatatlan mindig is vonzotta az embereket, ezért a tudósok szerte a világon olyan lelkesen válaszolnak a kérdésre: „Mit rejt a Mariana-árok a mélyében?”

Élhetnek-e az élő szervezetek ilyen nagy mélységben, és hogyan kell kinézniük, tekintve, hogy hatalmas óceánvíztömegek nyomják őket, amelyek nyomása meghaladja az 1100 atmoszférát? Az ezekben az elképzelhetetlen mélységekben élő lények tanulmányozásával és megértésével kapcsolatos nehézségek elegendőek, de az emberi találékonyság nem ismer határokat. Az óceánkutatók sokáig őrültségnek tartották azt a hipotézist, hogy több mint 6000 méteres mélységben, áthatolhatatlan sötétségben, szörnyű nyomás alatt és nullához közeli hőmérsékleten is létezhet élet. A tudósok Csendes-óceáni kutatásainak eredményei azonban azt mutatták, hogy még ezekben a mélységekben is, messze a 6000 méteres határ alatt hatalmas kolóniák találhatók pogonophora ((pogonophora; görög pogon - szakáll és phoros - hordozó) élőlények. ), a gerinctelen tengeri állatok egy fajtája, amelyek mindkét végén nyitott, hosszú kitincsövekben élnek). A közelmúltban a titok fátylát nyitották meg az emberes és automata, nagy teherbírású anyagokból készült, videokamerával felszerelt víz alatti járművek. Ennek eredményeként egy gazdag állatközösséget fedeztek fel, amely jól ismert és kevésbé ismert tengeri csoportokból is állt.

Így 6000-11000 km mélységben a következőket találták:

Barofil baktériumok (csak nagy nyomáson fejlődnek);

A protozoonok közül a foraminifera (a rizopodák protozoon alosztályának leválása héjba öltözött citoplazmatesttel) és a xenophyophores (protozoonból származó barofil baktériumok);

A többsejtűek közül többsejtű férgek, egylábúak, kétlábúak, holothuriaiak, kéthéjúak és haslábúak.

A mélyben nincs napfény, nincsenek algák, állandó a sótartalom, alacsony a hőmérséklet, rengeteg szén-dioxid, óriási hidrosztatikus nyomás (1 atmoszférával növekszik 10 méterenként). Mit esznek a szakadék lakói?

A mélyben élő állatok táplálékforrásai a baktériumok, valamint a felülről érkező „hullák” esője és szerves törmelék; mély állatok vagy vakok, vagy nagyon fejlett szeműek, gyakran teleszkóposak; sok hal és lábasfejű fotofluorokkal; más formában a test felülete vagy részei világítanak. Ezért ezeknek az állatoknak a megjelenése ugyanolyan szörnyű és hihetetlen, mint az életkörülmények. Köztük egy félelmetes kinézetű, 1,5 méter hosszú, száj és végbélnyílás nélküli férgek, mutáns polipok, szokatlan tengeri csillagok és néhány két méter hosszú puha testű lény, amelyeket még egyáltalán nem azonosítottak.

Annak ellenére, hogy a tudósok hatalmas lépést tettek a Mariana-árok tanulmányozásában, a kérdések nem csökkentek, új rejtélyek jelentek meg, amelyeket még meg kell oldani. És az óceán szakadéka tudja, hogyan kell megőrizni titkait. Vajon az emberek a közeljövőben felfedhetik őket?

—> Műholdas kilátás a völgyre <—

Az állapotok összege (szinonimák - statisztikai összeg, statisztikai integrál) a kanonikus együttes eloszlásfüggvényének normalizáló tényezője. Ha ismertek a rendszer energiaszintjei E iés statisztikai súlyuk GI(azaz az energiával rendelkező szintek száma E i), akkor az állapotok összege a következőképpen alakul:

ahol T- hőfok, V- a rendszer térfogata, N a részecskék száma. Az „állapotok összege” elnevezés azt a tényt tükrözi, hogy a függvény Z(T,V,N) a Boltzmann-tényezők összege az egyes energiaszintekre.

Néha egy azonos részecskékből álló rendszer állapotainak összegét egy fázistér feletti integrál határozza meg (innen ered a "statisztikai integrál" elnevezés). Ha ismert a rendszer Hamilton-függvénye H(p,q), akkor az állapotok összegét a következőképpen határozzuk meg:

ahol az integrál átveszi az összes koordinátáit és momentumát N részecskék. Itt h\u003d 6,63 10 -34 J. s - Planck-konstans. Az integrál előtti tényező figyelembe veszi a részecskék megkülönböztethetetlenségét és a kvantumbizonytalansági elvet.

Az összeg fő előnye az államokkal szemben az tartalmazza a rendszerrel kapcsolatos összes termodinamikai információt . Ha bármilyen módon (analitikusan vagy numerikusan) ki lehetett számítani a rendszer állapotainak összegét, akkor meg lehet határozni az összes termodinamikai függvényt és megtalálni ennek a rendszernek az állapotegyenletét. Ily módon a statisztikai termodinamika fő problémája a termodinamikai rendszerek állapotaira vonatkozó összegek kiszámítására redukálódik .

Állami ingatlanok összege

Az alábbiakban felsorolt ​​összes tulajdonság a (11.1) és (11.2) definíciókból következik.

1. Az állapotok összege dimenzió nélküli mennyiség. A hőmérséklettől, térfogattól és a részecskék számától függ: Z = Z(T,V,N). Ez kifejezetten a hőmérséklettől, az energiaszint pedig a részecskék térfogatától és számától függ: E i = E i(V,N).

2. Az állapotok összege nem abszolút érték: egy állandó tényezőig van meghatározva, amely az energia referenciapont megválasztásától függ. Ha eltoljuk a referenciapontot, pl. változtassa meg az összes energiaszintet azonos mértékben: E i E i+ , akkor az összes Boltzmann-tényező ugyanannyiszor nő (vagy csökken), és az állapotok összege ugyanannyiszor változik:

Z

Általában a rendszer abszolút nullán lévő energiáját veszik referenciapontnak, U 0 .

3. Mikor T 0, minden Boltzmann-tényező 0-ra hajlik, kivéve azt, amelyik a legalacsonyabb energiaszintnek felel meg, tehát az állapotok összege ennek a szintnek a statisztikai súlyához igazodik:

Alacsony hőmérsékleten csak az alacsony energiaszint járul hozzá az állapotok összegéhez ( E ~ kT).

4. Mikor T A (11.1) definícióban szereplő összes kitevő 1-re hajlik, tehát az állapotok összege az összes szint statisztikai súlyainak összegére irányul:

,

amely az energiaszintek számától függően lehet véges vagy végtelen. Példa egy olyan rendszerre, amelynek véges összege az állapotok felett van, a LiF-kristályok nukleáris spinjei külső mágneses térben.

5. Az állapotok összege a hőmérséklet monoton növekvő függvénye. Ez abból következik, hogy a származékos ( Z/T) V,N , a (11.1) definícióból számítva, bármely hőmérsékleten pozitív.

6. Ha a rendszer két független alrendszerre osztható úgy, hogy minden energiaszint összegként ábrázolható: Ei = Ei 1 + Ei 2, akkor az állapotok összegét faktorokra osztjuk (faktorizálva): Z = Z 1Z 2 , ahol a függvények Z 1 és Z 2-t a (11.1) kifejezés határozza meg, de a benne szereplő összegzés csak egy adott alrendszer energiaszintjeire terjed ki.

7. Az állapotok feletti összeg fő tulajdonsága a termodinamikai függvényekkel való kapcsolata.

Az állapotok összegének kapcsolata termodinamikai függvényekkel

Egy termodinamikai rendszer belső energiája az összes szint átlagos energiájaként ábrázolható, figyelembe véve azok populációját:

,

ahol U 0 - energia abszolút nullán T= 0. Ennek a definíciónak a jobb oldala átalakítható az állapotok összege (11.1) definíciójával:

. (11.3)

Így az állapotok összegének ismeretében meghatározható a belső energia a hőmérséklet és a térfogat függvényében.

Egy másik alapvető összefüggés az állapotok összegével és a Helmholtz-energiával kapcsolatos:

. (11.4)

Egy függvény megkülönböztetése F hőmérsékletből és térfogatból entrópiát és nyomást találhatunk:

. (11.6)

Az utolsó összefüggés nem más, mint a termikus állapotegyenlet, azaz. a nyomás függése a térfogattól és a hőmérséklettől.

A (11.3) - (11.6) összefüggések segítségével bármilyen más termodinamikai függvényt megtalálhatunk. Érdekes módon az összes termodinamikai függvényt nem maga az állapotok összege határozza meg, hanem annak logaritmusa.

Molekulaösszeg az ideális gázállapotokhoz képest

A termodinamikai rendszer egy fontos speciális esetének példáján az állapotok feletti összeg sok tulajdonságát tekinthetjük meg. ideális gáz. Egy ideális gáz halmazállapotainak összege, amelyből áll N azonos részecskék, egy részecske halmazállapotainak összegével fejezhetők ki K:

ahol a tényező 1/ N! figyelembe veszi a részecske megkülönböztethetetlenségének kvantumelvét.

Sok esetben az ideális gázmolekula energiaszintjeit a különböző mozgástípusoknak – transzlációs, rotációs, vibrációs, elektronikus és nukleáris – megfelelő kifejezésekre lehet bontani: E = E bejegyzés + E vr + E számolj + E email + E méreg, tehát az állapotok közötti molekulaösszeg faktorizálódik:

K = K gyors K vr K számol K email K méreg (11.8)

a) Az állapotok transzlációs összege a (11.2) képlet segítségével számítható ki a Hamilton-függvénnyel H(p,q) = p 2 / 2m (m a molekula tömege). A három koordináta és három impulzusvetület közötti integráció külön-külön történik, és a következőket adja:

K bejegyzés = , (11,9)

ahol V az a térfogat, amelyben a molekula mozog.

b) Az állapotok közötti forgásösszeg a molekula szimmetriájától függ. A legegyszerűbb esetben egy lineáris molekula esetében az energiaszintek csak a forgási kvantumszámtól függenek J: E J = hcBJ(J+1), hol B- forgási állandó (méret - cm -1), amelyet a molekula tehetetlenségi nyomatéka határoz meg, c\u003d 3 10 10 cm / s - a fény sebessége. Minden forgási szintnek statisztikai súlya van g j = 2 J+ 1. Nem túl alacsony hőmérsékleten ( T >> B / k) az összegzés a (11.1)-ben helyettesíthető az over integrációval J, mi ad:

K vr = (11.10)

Szimmetrikus molekulák esetén ezt az értéket el kell osztani a szimmetriaszámmal (kétatomos homonukleáris molekuláknál ez egyenlő 2-vel).

Alacsony hőmérsékleten az állapotok közötti forgási összeget több alacsonyabb érték összegzésével találjuk meg J.

c) Az atommagok rezgését egy harmonikus oszcillátor modelljével írjuk le, amelyben az energiaszintek lineárisan függenek a rezgési kvantumszámtól: E n = hc n, ahol az oszcillációs frekvencia (cm -1-ben); állapot energia -val n= 0 a referenciapont. A rezgési energiaszintek nem elfajultak, a statisztikai súlya 1. A frekvenciájú harmonikus oszcillátor állapotainak összege:

K= (11.11)

Ez az összeg csak akkor tér el észrevehetően 1-től, ha a kitevőben lévő tört kisebb, mint 1, azaz. hőmérsékletekhez T > T szám = hc/ k. Ez utóbbi értéket egy adott rezgésre érvényes effektív rezgési hőmérsékletnek nevezzük. Ha a hőmérséklet a rezgési hőmérséklet alatt van, akkor az állapotok összege majdnem egyenlő 1-gyel.

Egy molekulában, amely abból áll n atomok, előfordul 3 n-6 (lineáris molekulában - 3 n-5) különböző rezgések, mindegyiknek saját frekvenciája van én, tehát a molekula állapotai közötti rezgésösszeg egyenlő az egyes rezgések állapotai közötti összegek szorzatával:

K szám = (11.12)

d) Egy molekulában az elektron- és a nukleáris energiaszintek általában nagyon távol vannak egymástól, és nem túl magas hőmérsékleten csak a talajszint járul hozzá az állapotok megfelelő összegéhez, amelyek energiáját 0-nak tételezzük fel. az állapotok összege megegyezik az alsó elektronikus és nukleáris szint statisztikai súlyával:

K email = g el, K méreg = gÉN. (11.13)

Az egyes mozgástípusok állapotainak molekulaösszegei felhasználhatók az egyes energiaszintek abszolút és relatív populációinak kiszámításához a Boltzmann-eloszlási törvény szerint:

. (11.14)

PÉLDÁK

11-1. példa. Egy molekula lehet 0 energiájú vagy három energiaszint egyikén E. Keresse meg az állapotok molekulaösszegét, és számítsa ki a moláris belső energia hőmérséklettől való függését!

Megoldás. Az állapotok közötti molekulaösszeg egyszerűen meghatározható:

Az állapotok összösszege a (11.7) molekuláris relációval függ össze. A moláris belső energia kiszámításához nem magára az összegre van szükség, hanem annak logaritmusára:

Megkülönböztetve ezt a kifejezést a hőmérséklet függvényében és a (11.3) képlet felhasználásával, azt kapjuk, hogy:

(N A az Avogadro száma).

Példa 11-2. Valamely termodinamikai rendszer állapotainak összege, amely a következőkből áll N Azonos részecskék egyenlő:

Határozzuk meg ennek a rendszernek a belső energiáját, entrópiáját és állapotegyenletét!

Megoldás. Keresse meg az állapotok összegének logaritmusát:

és használja a (11.3), (11.5) és (11.6) képleteket:

,

ahol S 0 nem attól függ Tés V.

Ez a rendszer ideális gáz.

Példa 11-3. Számítsa ki az állapotok közötti molekuláris transzlációs összeget N 2 esetén normál körülmények között, ha ismert, hogy a H 2 állapotok közötti molekuláris transzlációs összege 298 K hőmérsékleten és 101,3 kPa nyomáson 6,70 10 28 .

Megoldás. Az állapotok progresszív összege egyenlő:

K hozzászólás =

A nyomás mindkét esetben azonos, csak a molekulák tömege és a hőmérséklet különbözik. A transzlációs összegek aránya a tömegek és a hőmérsékletek arányából adódik:

ahol K post (N 2) = 42,1 6,70 10 28 = 2.82 10 30 .

Példa 11-4. Milyen rezgésszinttől indulva lesz a klórmolekula populációja (=560 cm -1) 1000 K-en 1%-nál kisebb?

Megoldás. Az energiaszintekkel a Boltzmann képletet (11.14) használjuk E n= hc nés az állapotok rezgésösszege (11.11):

.

Számítsuk ki az egyenlőtlenségben szereplő kitevőt:

Egyenlet megoldás

ad n = 4.97 5.

FELADATOK

11-1. Legyen valamilyen molekula három állapotban, amelyek energiája egyenlő 0, Eés E. Keressen kifejezést az állapotok molekulaösszegére! Kés moláris belső energia.

11-2. Legyen néhány hipotetikus molekula magas hőmérsékleten, az állapotok közötti molekulaösszeg egyenlő: K = 2 - /(kT). Keressen kifejezéseket: a) moláris átlagos energia; b) moláris entrópia; c) moláris izokhorikus hőkapacitás. Magyarázd meg, miért nem létezhet ilyen molekula!

11-3. Néhány termodinamikai rendszer partíciófüggvénye, amely abból áll N Azonos részecskék egyenlő:

.

Keresse meg ennek a rendszernek a belső energiáját, Helmholtz-energiáját, entrópiáját és állapotegyenletét.

11-4. Két termodinamikai rendszert adunk meg. Egyikük esetében ismert a belső energia hőmérséklettől való függése: U(T) = kT + U 0, a másik esetében a Helmholtz-energia függése a hőmérséklettől: F(T) = -kT ln T + U 0 ( , - állandó tényezők, k a Boltzmann-állandó). Keresse meg mindkét rendszer partíciófüggvényének hőmérsékletfüggését!

11-5. Az állapotegyenlet segítségével határozza meg a teljes összegnek az ideális gáz és a van der Waals-gáz halmazállapotától való függését a térfogattól.

11-6. Az állapotösszeg és a termodinamikai függvények kapcsolatának felhasználásával fejezzük ki a derivált ( U/V) T és ( S/V) T a nyomás és származékai szerint.

11-7. Egyes termodinamikai rendszereknél (nem ideális gáznál) ismert az állapotok összege, Z(T,V). Keresse meg a rendszer által végzett reverzibilis izotermikus tágulás során végzett munkát V 1-től V 2 .

11-8. Számítsa ki az O 2 állapotok transzlációs összegét 100°C-on és normál nyomáson, ha ismert, hogy a He állapotok transzlációs összege normál körülmények között 1,52. 10 29 .

11-9. Mekkora a rezgésösszeg a jód halmazállapotai ( = 214 cm -1) felett 1200 K hőmérsékleten?

11-10. Számítsd ki a molekuláris rezgésösszeget a szén-monoxid (IV) állapotaira 1500 K-en. Rezgési frekvenciák: 1 = 1388,2 cm -1, 2 = 667,4 cm -1 (kétszeres degeneráció), 3 = 2349,2 cm -1.

11-11. Számítsa ki az F 2 molekula állapotai feletti forgásösszeget 0 °C hőmérsékleten, ha ismert, hogy a 35 Cl 2 molekula állapotai feletti forgásösszeg 298 K hőmérsékleten 424. A magok közötti távolság egy fluormolekula 1,4-szer kevesebb, mint egy klórmolekulában.

11-12*. Hogyan fog változni a forgási összeg az állapotok között, ha mindegyik (2 J+1) azonos energiájú szintek J szintje bizonyos mértékben növeli az energiájukat, J szintek ugyanannyival csökkentik az energiát, de egy energiaszint nem változik?

11-13. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy 4000 K hőmérsékleten alaprezgési állapotban találunk egy hidrogénmolekulát ( = 4400 cm -1).

11-14. Számítsa ki annak valószínűségét, hogy 1000 K-en atomi kén található a talajban és az első gerjesztett elektronállapotokban a következő adatok segítségével:

Elektronikus kifejezés	Energia (cm -1)	Statisztikai súly

11-15. Az előző feladat adatai alapján számítsa ki az állapotok közötti elektronösszeget és egy kénatom átlagos elektronenergiáját 1000 K-en.

11-16*. Határozza meg az orto- és parahidrogén egyensúlyi koncentrációját 120 K hőmérsékleten (forgási állandó) B= 60,9 cm -1).

11-17. Határozza meg az N 2 molekula forgási energiájának szintjét ( B= 2,00 cm -1), amelynek a legnagyobb népessége: a) T= 298 K, b) T= 1000K.

11-18. Milyen hőmérsékleten van a forgási szint c J=10 az O 2 molekula alapelektronikus és rezgési állapotában ( B= 1,45 cm -1) rendelkezik a legmagasabb népességgel az összes rotációs szint közül?

11-19. Vegye figyelembe a lakosságot J kétatomos molekula forgási szintje a hőmérséklet függvényében. Milyen hőmérsékleten a legnagyobb ez a populáció? (Forgási állandó B).

statisztikai összeg (vagy államok szerinti összeg ) a kanonikus statisztikai együttes modell legfontosabb paramétere, amely a statisztikai rendszerek leggyakoribb típusainak - a termosztáttal hőkapcsolatban lévő rendszereknek - leírására szolgál.

A statisztikai összegek hasznossága számos megkülönböztető tulajdonságuknak köszönhető.

1) a partíciós függvény olyan numerikus jellemző, amely tömörített formában tükrözi a statisztikai együttes eloszlásfüggvényét;

2) a statisztikai összegek multiplikatívak - ha egy összetett rendszerben több gyengén kölcsönható alrendszer különböztethető meg, akkor a rendszer partíciós függvénye az alrendszerei statisztikai összegeinek szorzataként ábrázolható;

K = q 1 q 2 … q n

3) a partíció funkción keresztül kifejezheti a rendszer összes fő termodinamikai jellemzőjét:

szabad energiaF = – kT ln K

belső energiaU= (kT) 2 d(ln K) /d (kT)

entrópia S = k  d (kT ln K) / d (kT)

amely lehetővé teszi egy anyag ezen makroszkopikus jellemzőinek kiszámítását a molekuláinak szerkezetére vonatkozó információk és a külső körülmények (hőmérséklet stb.) alapján.

Formális szempontból a partíciós függvény a normalizációs tényező szerepét tölti be a kanonikus együttes modellben a valószínűségek kiszámításakor:

p(E én) = (1/Q)exp(– E én/), ahol Q = 

Ellentétben a valószínűségekkel p(E én), magának a Q partíciófüggvénynek az értéke az alkalmazott energiaskálától függ. Ezért a számítás során speciálisat kell használni statisztikai skála , amelyben a nulla jel egybeesik a vizsgált rendszer számára elérhető legalacsonyabb energiaszinttel. Vagyis a statisztikai számításoknál nem szabadna figyelembe venni az ún. "nulla energia" E o, amely az összes kapcsolódó rendszert jellemzi. Ez az energia nem tud részt venni a környezettel való hőcserében (termosztát), ezért nem járul hozzá a termosztált rendszer statisztikai viselkedéséhez. Így a statisztikai összegek kiszámításakor nem a kvantummechanikai modellek (potenciáldoboz, oszcillátor stb.) által adott energiaértékeket kell használni, hanem a korrigált értékeket:

E stat = E szőrme - E O

Például egy egydimenziós potenciáldoboz modellje a jól ismert képlettel kifejezett megengedett energiaértékekhez vezet:

E n= ( 2  2 /2 ml)  n 2 , hol n = 1, 2, …

Statisztikai skálán ez a kifejezés más formát ölt:

(E n) stat = E n – E 1 = ( 2  2 /2 ml)  (n 2 – 1)

Mivel a statisztikai skálán az első megengedett energiaérték nulla, az összeg első kitevője mindig eggyel egyenlő, és a statisztikai összeg kiszámításának képlete a következő:

Q = 1 + 

honnan kell az összegzést kiindulni én= 2.

Ebből különösen az következik, hogy a partíciós függvény lehetséges számértékei mindig a következő intervallumban találhatók: 1< K<, причем равенствоQ= 1 наблюдается для чисто механических систем, изолированных от окружающей среды, для которых энергия может иметь единственное допустимое значение (в статистической шкале оно будет равно нулю)

Az alsó (első) energiaszint valószínűségét a következő képlet fejezi ki:

P 1=1/Q= N 1 /N

a partíciófüggvény pedig az összes ensemble rendszer számának arányaként definiálható ( N) a gerjesztetlen energiaállapotú rendszerek számához ( N 1):

Q= N /N 1

Más szóval, ha az együttes egyik rendszere sem gerjesztett (nincs érintkezés a termosztáttal), akkor Q= 1. Minél több rendszer kerül az együttesben gerjesztett állapotba, annál nagyobb lesz a partíciós függvény. Azt mondhatjuk, hogy a partíciófüggvény a termosztát befolyásának mértéke a termosztált rendszer tulajdonságaira (a "statisztika" mértéke).

Nézzünk néhány példát a partíciófüggvények statisztikai rendszerek jellemzőiként való használatára.

Rögzített hőmérsékleten, térfogaton és részecskék számán. Nagy kanonikus partíció funkció A nagy kanonikus statisztikai gyűjteményre utal, amelyben a rendszer hőt és részecskéket is képes cserélni a környezettel egy meghatározott hőmérsékleten, térfogaton és kémiai potenciálon. Más esetekben más típusú partíciófüggvényeket is meghatározhat.

Partíciós funkció a kanonikus együttesben

Meghatározás

Tegyük fel, hogy van egy olyan rendszer, amely engedelmeskedik a termodinamika törvényeinek, és amely állandó hőkapcsolatban van egy hőmérsékletű közeggel. texvc , míg a rendszer térfogata és az azt alkotó részecskék száma rögzített. Ilyen helyzetben a rendszer a kanonikus együtteshez tartozik. Jelöli pontos kimondja, hogy a rendszer benne lehet Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): (j=1,2,3,\ldots), és a rendszer teljes energiája olyan állapotban van Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): j - Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): E_j. Általában ezek a mikroállapotok a rendszer diszkrét kvantumállapotainak tekinthetők.

Kanonikus partíció funkció- azt

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállításhoz lásd a math/README oldalt.): Z=\sum_j e^(-\beta E_j),

hol van a visszatérő hőmérséklet Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): \beta ként meghatározott

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): \beta\equiv\frac(1)(k_BT),

a Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): k_B a Boltzmann állandó. V klasszikus helytelen lenne, ha a statisztikai mechanika a partíciófüggvényt diszkrét tagok összegeként határozná meg, mint a fenti képletben. A klasszikus mechanikában a részecskék koordinátái és momentumai folyamatosan változhatnak, a mikroállapotok halmaza megszámlálhatatlan. Ebben az esetben a fázisteret cellákra kell felosztani, vagyis két mikroállapotot azonosnak tekintünk, ha koordinátáiban és momentumaiban „nem túl nagy” a különbség. Ebben az esetben a partíciófüggvény integrál alakot ölt. Például a gáz megosztási függvénye Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc klasszikus részecskék az

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): Z=\frac(1)(N!h^(3N))\int \exp[-\beta H(p_1,\ldots,p_N,x_1,\ldots, x_N) ]\,d^3p_1\ldots d^3p_N\,d^3x_1\ldots d^3x_N,

ahol Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc a cselekvés valamilyen dimenziója (amelynek meg kell egyeznie a Planck-állandóval, hogy összhangban legyen a kvantummechanikával), és Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): H a klasszikus Hamilton-féle. A szorzó okai Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc magyarázta. Az egyszerűség kedvéért ez a cikk a partíciós függvény diszkrét formáját fogja használni, de a kapott eredmények ugyanúgy vonatkoznak a folytonos alakra is.

A kvantummechanikában a partíciófüggvény formálisabban is felírható állapottér nyomként (amely független a bázis megválasztásától):

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): Z=\mathrm(tr)\,(e^(-\beta H)),

ahol Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): H a Hamilton operátor. Az operátor kitevőjét hatványsor-bővítéssel határozzuk meg.

Jelentés és jelentősége

Először is nézzük meg, mitől függ. A partíció funkció elsősorban a hőmérséklet függvénye Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): T, a másodikban pedig a mikroállapotok energiái Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): E_1,E_2,E_3és így tovább A mikroállapotok energiáit más termodinamikai mennyiségek, például a részecskék száma és térfogata, valamint a mikroszkopikus tulajdonságok, például a részecskék tömege határozzák meg. Ez a mikroszkopikus tulajdonságoktól való függés alapvető a statisztikai mechanikában. A rendszer mikroszkopikus komponenseinek modellje alapján kiszámítható a mikroállapotok energiája, és ebből következően a partíciós függvény, amely lehetővé teszi a rendszer összes többi termodinamikai tulajdonságának kiszámítását.

A partíciófüggvény felhasználható termodinamikai mennyiségek kiszámítására, mert nagyon fontos statisztikai jelentése van. Valószínűség Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): P_j amellyel a rendszer mikroállapotban van Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): j, egyenlő

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): P_j=\frac(1)(Z)e^(-\beta E_j).

A partíciós függvény a Gibbs-eloszlásban normalizációs tényező formájában szerepel (it nem attól függ Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): j), biztosítva, hogy a valószínűségek összege egyenlő legyen eggyel:

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): \sum_j P_j=\frac(1)(Z)\sum_j e^(-\beta E_j)=\frac(1)(Z)Z=1.

Termodinamikai összenergia számítása

A megosztási függvény hasznosságának demonstrálására kiszámítjuk a teljes energia termodinamikai értékét. Ez egyszerűen a matematikai elvárás, vagy az együttesre átlagolt energiaérték, amely egyenlő a mikroállapotok energiáinak összegével, a valószínűségükkel egyenlő súlyokkal:

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README oldalt.): \langle E\rangle=\sum_j E_jP_j=\frac(1)(Z)\sum_j E_j e^(-\beta E_j)=-\frac(1)(Z )\ frac(\partial)(\partial\beta)Z(\beta,\;E_1,\;E_2,\;\ldots)=-\frac(\partial\ln Z)(\partial\beta)

vagy mi ugyanaz

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást a beállításhoz.): \langle E\rangle=k_B T^2\frac(\partial\ln Z)(\partial T).

Az is látható, hogy ha a mikroállapotok energiái függenek a paramétertől Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc hogyan

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): E_j=E_j^((0))+\lambda A_j

mindenkinek Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): j, akkor az átlagérték Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): A egyenlő

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README fájlt.): \langle A\rangle=\sum_j A_jP_j=-\frac(1)(\beta)\frac(\partial)(\partial\lambda)\ln Z(\beta ,\ ;\lambda).

Ez egy olyan technika alapja, amely lehetővé teszi számos mikroszkopikus mennyiség átlagos értékének kiszámítását. Ezt az értéket mesterségesen hozzá kell adni a mikroállapotok energiájához (vagy a kvantummechanika nyelvén a Hamilton-hoz), ki kell számítani egy új partíciós függvényt és átlagértéket, majd be kell írni a végső kifejezést. Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): \lambda egyenlő nullával. Hasonló módszert alkalmaznak a kvantumtérelméletben is.

Ebben a részben a partíciófüggvény és a rendszer különféle termodinamikai paraméterei közötti összefüggést mutatjuk be. Ezeket az eredményeket az előző részben ismertetett módszerrel és különféle termodinamikai összefüggésekkel kaphatjuk meg.

Mint láttuk, az energia az

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README fájlt.): \langle E\rangle=-\frac(\partial\ln Z)(\partial\beta). Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A hangoláshoz lásd a math/README-t.): c_v=\frac(\partial\langle E\rangle)(\partial T)=\frac(1)(k_B T^2)\langle\delta E^2\ range. Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A hangolási segítségért lásd a math/README részt.): S\equiv-k_B\sum_j P_j\ln P_j=k_B(\ln Z+\beta\langle E\rangle)=\frac(\partial)(\partial T)( k_B T \ln Z)=-\frac(\partial F)(\partial T),

ahol Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállításhoz lásd a math/README részt.): F- szabad energia, definíció szerint Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): F=E-TS, ahol Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): E a teljes energia és Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): S az entrópia, tehát

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): F=\langle E\rangle-TS=-k_B T\ln Z.

Alrendszer-partíció funkció

Tegyük fel, hogy a rendszer a következőkből áll Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): N alrendszerek, amelyek közötti kölcsönhatás elhanyagolható. Ha az alrendszerek partíciós függvényei egyenlők Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): \zeta_1,\;\zeta_2,\;\ldots,\;\zeta_N, akkor a teljes rendszer partíciófüggvénye az munka egyéni statisztikai összegek:

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): Z =\prod_(j=1)^N\zeta_j.

Ha az alrendszerek ugyanazokkal a fizikai tulajdonságokkal rendelkeznek, akkor a partíciós funkcióik megegyeznek: Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README fájlt.): \zeta_1=\zeta_2=\ldots=\zeta, és ebben az esetben

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): Z=\zeta^N.

Van azonban egy figyelemre méltó kivétel e szabály alól. Ha az alrendszerek azonos részecskék, vagyis a kvantummechanika elvei alapján, akkor még elvileg sem különböztethetők meg, a teljes partíciófüggvényt fel kell osztani Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): N! :

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): Z=\frac(\zeta^N)(N. !}

Ezzel elkerülhető, hogy ugyanazt a mikroállapotot többször megszámolják.

A nagykanonikus együttes partíciós funkciója

Meghatározás

A kanonikus együttes kanonikus partíciófüggvényéhez hasonlóan definiálható nagy kanonikus partíciós funkció a nagy kanonikus együtteshez - olyan rendszer, amely hőt és részecskéket is képes cserélni a közeggel, és állandó hőmérsékletű Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): T, hangerő Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc és kémiai potenciál Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): \mu. A nagy kanonikus partíciós függvény, bár nehezebben érthető, leegyszerűsíti a kvantumrendszerek számítását. Nagy kanonikus partíció funkció Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállításhoz lásd a math/README-t.): \mathcal(Z) a kvantumideális gázt így írjuk le:

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A hangoláshoz lásd a math/README-t.): \mathcal(Z)=\sum_(N=0)^\infty\,\sum_(\(n_i\))\,\prod_i e^(-\beta n_i (\ varepsilon_i-\mu)),

ahol Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): N- a részecskék teljes száma a térfogatban Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): V, index Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc áthalad a rendszer összes mikroállapotán, Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): n_i az állapotban lévő részecskék száma Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): i, a Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): \varepsilon_i- energia az államban Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): i . Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): \(n_i\)- minden lehetséges kitöltési számkészlet minden mikroállapothoz úgy, hogy Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Tekintse meg a math/README beállítást.): \sum_i n_i=N. Vegyük például a megfelelő kifejezést Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc . A kitöltési számok egyik lehetséges halmaza az lenne Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): \(n_i\)=0,\;1,\;0,\;2,\;0,\ldots, ez hozzájárul a kifejezéshez Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): N=3, egyenlő

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README fájlt.): \prod_i e^(-\beta n_i(\varepsilon_i-\mu))=e^(-\beta(\varepsilon_1-\mu))\,e^(- 2\ béta(\varepszilon_3-\mu)). Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A hangoláshoz lásd a math/README-t.): \mathcal(Z)_i=\sum_(n_i=0)^\infty e^(-\beta n_i(\varepsilon_i-\mu))=\frac(1) (1 -e^(-\beta(\varepsilon_i-\mu))), Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A hangoláshoz lásd a math/README-t.): \mathcal(Z)_i=\sum_(n_i=0)^1 e^(-\beta n_i(\varepsilon_i-\mu))=\frac(1)( 1+ e^(-\beta(\varepszilon_i-\mu))).

Maxwell-Boltzmann gáz esetén helyesen kell megszámolni az állapotokat és el kell osztani a Boltzmann-tényezőt Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README oldalt.): e^(-\beta (\varepsilon_i-\mu)) a Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): n_i!

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A hangoláshoz lásd a math/README-t.): \mathcal(Z)_i=\sum_(n_i=0)^\infty\frac(e^(-\beta n_i(\varepsilon_i-\mu)))(n_i=\exp\left(e^{-\beta(\varepsilon_i-\mu)}\right). !}

Kapcsolat a termodinamikai mennyiségekkel

Csakúgy, mint a kanonikus partíciós függvény, a nagy kanonikus partíció függvény is használható egy rendszer termodinamikai és statisztikai mennyiségeinek kiszámítására. A kanonikus együtteshez hasonlóan a termodinamikai mennyiségek nem fixek, hanem statisztikailag az átlag körül oszlanak el. jelölve Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): \alpha=-\beta\mu, megkapjuk a töltési számok átlagértékeit:

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): \langle n_i\rangle=-\left(\frac(\partial\ln\mathcal(Z)_i)(\partial\alpha)\right)_(\beta, \; V)=\frac(1)(\beta)\left(\frac(\partial\ln\mathcal(Z)_i)(\partial\mu)\right)_(\beta,\;V).

A Boltzmann-részecskék esetében ez a következőt adja:

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállításhoz lásd a math/README oldalt.): \langle n_i\rangle=e^(-\beta(\varepsilon_i-\mu)).

Bozonoknál:

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): \langle n_i\rangle=\frac(1)(e^(\beta(\varepsilon_i-\mu))-1).

Fermionokhoz:

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállításhoz lásd a math/README oldalt.): \langle n_i\rangle=\frac(1)(e^(\beta(\varepsilon_i-\mu))+1),

amely egybeesik a Maxwell-Boltzmann statisztika, a Bose-Einstein és a Fermi-Dirac statisztika kanonikus együttesével kapott eredményekkel. (A degeneráltság foka Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): g_i hiányzik ezekből az egyenletekből, mivel az index Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): i az egyes állapotokat számolja, nem az energiaszinteket.)

A részecskék teljes száma

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README-t a hangolási súgóért.): \langle N\rangle=-\left(\frac(\partial\ln\mathcal(Z))(\partial\alpha)\right)_(\beta,\ ;V )=\frac(1)(\beta)\left(\frac(\partial\ln\mathcal(Z))(\partial\mu)\right)_(\beta,\;V). Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README fájlt.): \langle P\rangle=\frac(1)(\beta)\left(\frac(\partial\ln\mathcal(Z))(\partial V)\right )_ (\mu,\;\béta). Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README fájlt.): \langle PV\rangle=\frac(\ln\mathcal(Z))(\beta).

Írjon véleményt a "Statisztikai összeg" cikkről

Irodalom

• Kubo R. Statisztikai mechanika. - M.: Mir, 1967.
• Huang K. Statisztikai mechanika. - M.: Mir, 1966. (Huang, Kerson, "Statistical Mechanics", John Wiley & Sons, New York, 1967.)
• Ishihara A. Statisztikai fizika. - M.: Mir, 1973. (Isihara A. "Statistical Physics". - New York: Academic Press, 1971.)
• Kelly, James J.
• Landau, L.D., Lifshitz, E.M. Statisztikai fizika. 1. rész - 5. kiadás. - M .: Fizmatlit, 2005. - 616 p. - ("Elméleti fizika", V. kötet). - ISBN 5-9221-0054-8..

A partíciófüggvényt jellemzõ kivonat

- Hol van a házam? - kérdeztem meglepetten.
- Messze van... Az Orion csillagképben van egy csodálatos Asta nevű csillag. Ez a te házad, Isidora. Akárcsak az enyém.
Döbbenten néztem rá, nem tudtam elhinni. Nem is ért egy ilyen furcsa hírt. Gyulladt fejemben nem fért bele semmiféle valós valóságba, és úgy tűnt, én is, mint Caraffa, fokozatosan elvesztem az eszem... De az észak volt az igazi, és úgy tűnt, nem tréfál. Ezért valahogy összeszedve magam, már sokkal nyugodtabban kérdeztem:
- Hogyan történt, hogy Caraffa talált rád? Van ajándéka?
Nem, nincs Dar. De van olyan Elméje, amely csodálatosan szolgálja őt. Tehát arra használta, hogy megtaláljon minket. Egy nagyon régi krónikában olvasott rólunk, amit nem tudta, hogyan és honnan szerezte. De sokat tud, higgy nekem. Van valami csodálatos forrása, ahonnan tudását meríti, de nem tudom, honnan származik, és hol található ez a forrás, hogy biztosítsa őt.
- Ó, ne aggódj! De ezzel nagyon is tisztában vagyok! Ismerem ezt a „forrást”! .. Ez az ő csodálatos könyvtára, melyben a legrégebbi kéziratokat is számtalan mennyiségben őrzik. Számukra, azt hiszem, Caraffának szüksége van a hosszú életére... - Halálra szomorú voltam, és sírni akartam, mint egy gyerek... - Hogyan pusztíthatnánk el, Sever?! Nincs joga a földön élni! Ő egy szörnyeteg, amely több millió életet követel, ha nem hagyják figyelmen kívül! Mit csináljunk?
– Neked semmit, Isidora. Csak el kell menned. Megtaláljuk a módját, hogy megszabaduljunk tőle. Csak idő kell hozzá.
- És ezalatt az idő alatt ártatlan emberek fognak meghalni! Nem, Sever, csak akkor megyek el, ha nincs más választásom. És amíg ő van, harcolni fogok. Még akkor is, ha nincs remény.
A lányomat hozzád hozzák, vigyázz rá. Nem tudom megmenteni...
Világító alakja teljesen átlátszóvá vált. És elkezdett eltűnni.
- Visszajövök, Isidora. – suttogta egy gyengéd hang.
„Viszlát, Sever...” – válaszoltam ugyanolyan halkan.
- De hogy így?! – kiáltott fel hirtelen Stella. „Nem is kérdezted a bolygóról, ahonnan jöttél?!.. Nem érdekelt?! Hogy hogy?..
Hogy őszinte legyek, én is alig bírtam ellenállni, hogy ne kérdezzem meg Izidorát erről! A lényege kívülről jött, és nem is kérdezett rá! .. De valamennyire talán megértettem őt, hiszen túl szörnyű volt az idő, és halálosan félt azokért, akiket nagyon szeretett , és akit még mindig próbálnak megmenteni. Nos, és a Ház - később is meg lehetett találni, amikor nem volt más választás, mint a mielőbbi távozás...
„Nem, édesem, nem kérdeztem, nem azért, mert nem érdekelt. Hanem azért, mert akkor valahogy nem volt olyan fontos, hogy csodálatos emberek haljanak meg. És brutális kínok között haltak meg, amit egy személy engedélyezett és támogatott. És nem volt joga létezni a mi földünkön. Ez volt a legfontosabb. Minden mást későbbre lehetett hagyni.
Stella elpirult, szégyellte kitörését, és csendesen suttogta:
– Bocsáss meg, Isidora…
És Isidora máris ismét "elment" a múltjába, folytatva elképesztő történetét...
Amint az észak eltűnt, azonnal megpróbáltam gondolatban felhívni apámat. De valamiért nem válaszolt. Ez egy kicsit megriasztott, de semmi rosszra nem számítva újra próbálkoztam - még mindig nem érkezett válasz ...
Úgy döntöttem, hogy egyelőre nem engedek szabad utat fellángolt képzeletemnek, és egyelőre békén hagytam apámat, Anna közelmúltbeli látogatásának édes és szomorú emlékeibe csöppentem.
Még mindig emlékeztem törékeny testének illatára, sűrű fekete hajának puhaságára és arra a rendkívüli bátorságra, amellyel csodálatos tizenkét éves lányom gonosz sorsára jutott. Hihetetlenül büszke voltam rá! Anna harcos volt, és azt hittem, bármi történjék is, a végsőkig, az utolsó leheletéig küzdeni fog.
Még nem tudtam, hogy meg tudom-e menteni, de megesküdtem magamnak, hogy mindent megteszek, hogy megmentsem a kegyetlen pápa szívós karmai közül.
Caraffa néhány nappal később visszatért, valahogy nagyon feldúltan és hallgatólagosan. Csak a kezével mutatta meg, hogy kövessem. engedelmeskedtem.
Több hosszú folyosón áthaladva egy kis irodában találtuk magunkat, ami (mint később megtudtam) az ő privát fogadószobája volt, ahová nagyon ritkán hívott vendégeket.
Caraffa némán rámutatott egy székre, és lassan leült vele szemben. A hallgatása baljóslatúnak tűnt, és ahogy már saját szomorú tapasztalataimból is tudtam, soha nem sok jót sejtetett. Annával való találkozás és Észak váratlan érkezése után megbocsáthatatlanul ellazultam, bizonyos mértékig „elaltattam” szokásos éberségemet, és elmaradt a következő ütés...
– Nincs időm a kedveskedésre, Isidora. Válaszolsz a kérdéseimre, különben valaki más nagyon szenved. Szóval azt tanácsolom, válaszolj!
Caraffa dühös és ingerült volt, és ilyenkor vitatkozni vele igazi őrültség lenne.
– Megpróbálom, felség. Mit akarsz tudni?
– Ifjúságod, Isidora? hogyan fogadtad? Elvégre harmincnyolc éves vagy, de húsznak nézel ki, és nem változol. Ki adta neked a fiatalságodat? Válasz!
Nem értettem, mi dühítette fel annyira Karaffát? .. A már meglehetősen hosszú ismeretségünk során soha nem sikoltozott, és nagyon ritkán veszítette el az uralmát. Most egy feldühödött, feldühödött emberrel beszélgettem, akitől bármit elvárhat az ember.
Válaszolj, Madonna! Vagy egy másik, nagyon kellemetlen meglepetésre vár.
Egy ilyen kijelentéstől a hajam elkezdett felpörögni... Megértettem, hogy nem lehet megpróbálni kibújni a kérdés elől. Valami nagyon feldühítette Caraffát, és nem próbálta titkolni. Nem fogadta el a játékot, és nem akart viccelni. Csak válaszolni maradt, vakon remélve, hogy elfogadja a féligazságot...
- Örökletes boszorkány vagyok, szentség, és ma - a leghatalmasabb közülük. A fiatalság öröklés útján került hozzám, nem kértem. Csakúgy, mint anyám, nagymamám és a családom többi boszorkánysora. Egynek kell lennie közülünk, Szentséged, hogy ezt megkapd. Emellett légy a legméltóbb.
- Hülyeség, Isidora! Ismertem embereket, akik maguk is elérték a halhatatlanságot! És nem ezzel születtek. Szóval vannak módok. És kinyitod őket nekem. Bízz bennem.
Teljesen igaza volt... Voltak módok. De ok nélkül nem akartam megnyitni előtte. Semmiféle kínzásért nem.
„Bocsáss meg, Szentséged, de nem adhatom meg azt, amit magamtól nem kaptam meg. Lehetetlen – nem tudom, hogyan. De azt hiszem, a te Istened "örök életet" adna neked a mi bűnös földünkön, ha azt hinné, hogy megérdemled, igaz?
Caraffa lilára változott, és dühösen felszisszent, akár egy mérges kígyó, amely támadásra kész:
– Azt hittem, okosabb vagy, Isidora. Nos, nem tart sokáig, hogy megtörjelek, amikor meglátod, mit tartogatok számodra...
És hirtelen megragadta a kezem, és durván lerántott félelmetes pincéjébe. Még megijedni sem volt időm, hiszen ugyanannál a vasajtónál kötöttünk ki, ami mögött egészen a közelmúltban olyan brutálisan meghalt szerencsétlen megkínzott férjem, szegény jó Girolamo... És hirtelen egy szörnyű, dermesztő sejtés. elvágta az agyam - apa !!! Ezért nem válaszolt a többszöri hívásomra!.. Valószínűleg ugyanabban a pincében fogták el és kínozták meg, előttem állva, dühtől lélegzett, egy ördög, aki más vérével és fájdalmával "megtisztított" bármilyen célpontot!. .
„Nem, nem az! Kérlek, ne ezt!!!" sebzett lelkem állatkiáltásként sikoltott. De már tudtam, hogy ez pontosan így van... „Segítsen valaki!!! Valaki!”... De valamiért senki nem hallott... És nem segített...
Kinyílt a nehéz ajtó... Tágra nyílt szürke szemek egyenesen rám néztek, tele embertelen fájdalommal...
Az ismerős, halálszagú szoba közepén, egy tüskés, vasfotelben ült szeretett apám, vérzett...
Az ütés borzalmasra sikeredett!... Vad kiáltással „Nem!!!”, elvesztettem az eszméletemet…

* Megjegyzés: kérjük, ne keverje össze (!!!) a görögországi Kalambakában található Meteora kolostorok görög komplexumával. A Meteora görögül azt jelenti, hogy "a levegőben lóg", ami teljes mértékben megfelel a kolostorok lenyűgöző kilátásának, mint a szokatlan hegyek legmagasabb csúcsain termesztett rózsaszín gombák. Az első kolostor 900 körül épült. A 12. és 16. század között pedig már 24. Mindössze hat kolostor „fennmaradt” a mai napig, amelyek máig ámulatba ejtik a turistákat.
Igaz, a turisták egy nagyon vicces részletet sem ismernek... A Meteorán van egy másik kolostor, ahová nem engedik be a "kíváncsiakat"... Egy tehetséges, egykor tanult fanatikus építtette (és adta a többieket). igazi Meteorában és kiutasították belőle. Dühös volt az egész világra, és úgy döntött, hogy megépíti "saját Meteoráját", hogy összegyűjtse ugyanazokat a "sértetteket", mint ő, és magányos életét élje. Hogy hogyan csinálta, nem tudni. De azóta a szabadkőművesek elkezdtek összegyűlni a Meteorájában titkos találkozókra. Ami évente egyszer történik a mai napig.
Kolostorok: Grand Meteoron (nagy Meteoron); Russano; Agios Nicholas; Agia Trios; Agias Stefanos; A Varlaam nagyon közeli távolságra található egymástól.

37. Izidora-3. Meteora
Szörnyű, hideg pincében ébredtem, sűrűn telítve a vér és a halál elborító szagától...
A zsibbadt test nem engedelmeskedett és megfájdult, sehogy sem akart „felébredni”... A Lélek pedig madár könnyedségével lebegett az emlékek fényes világában, visszatérve az emlékezetből szeretett arcokat és napokat. boldogság, amikor a szomorúság még nem nézett be az életünkbe, és amikor nem volt benne keserűség és fájdalom... Ott, abban a gyönyörű "eltűnt" világban még élt csodálatos férjem, Girolamo... ott a a kis Anna vidám nevetését csengő töltötte meg... ott mosolygott rám szeretettel édes, gyengéd anyám reggel... ott türelmesen tanított az Élet bölcsességére, kedves és fényes apám... Boldog volt ez a világ és napsütéses, és a lelkem visszaszakadt, egyre messzebbre repültem... hogy soha többé ne térjek vissza...
De valamiért a gonosz valóság nem engedett el... Kíméletlenül kopogott, erőszakosan felébresztette a gyulladt agyat, követelve, hogy térjek haza. A bennszülött és tökéletlen földi világ segítségül hívta... Caraffa élt... És amíg lélegzett, a mi világunkban nem lehetett öröm és fény.
Ideje volt visszatérni...
Mély levegőt véve végre éreztem, hogy fizikai testem megdermedt a magányban - az élet kelletlenül, apránként visszatért hozzá... Már csak a bátorság maradt hátra...
Sűrű, fülsüketítő, sűrű csend honolt a szobában, amelyben voltam. Egy durva faszékben ültem, nem mozdultam és nem nyitottam ki a szemem, próbáltam nem mutatni "jelenlétet" (ha van), hogy felébredtem. Mindent tökéletesen érezve és hallva intenzíven „körülnéztem”, próbáltam meghatározni, mi történik körülöttem.
Lassan észhez térve, és emlékezni kezdtem a történtekre, hirtelen nagyon világosan láttam, hogy MI derült ki a hirtelen és mély ájulásom valódi oka!
Hideg borzalom éles satuval szorította a halott szívet, nem is engedve, hogy teljesen felébredjen! ..
Atyám!.. ITT volt szegény, kedves apám!!! Ebben a szörnyű, véres pincében - a kifinomult halál rettenetes odújában... Girolamo mellett volt... Haldoklott. Caraffa baljós csapdája becsapódott, és elnyelte tiszta lelkét...
Féltem a legrosszabbat látni, mégis összeszedtem a bátorságot, ami teljesen ökölbe menekült, és felemeltem a fejem...
Az első, amit közvetlenül magam előtt láttam, Caraffa fekete szemei, amelyek mély érdeklődéstől égtek... Nem volt apa a kínzószobában.
Caraffa állt, koncentrált, fürkésző tekintettel meredt az arcomba, mintha azt próbálná megérteni, hogy valójában mi játszódik le a szenvedéstől megnyomorított lelkemben... Okos, vékony arca legnagyobb meglepetésemre őszinte izgatottságot fejez ki (! ), amit ennek ellenére nyilvánvalóan nem akart megmutatni... Caraffa, látva, hogy felébredtem, azonnal „felvette” szokásos, közömbös maszkját, és már telten mosolyogva „szeretettel” mondta:

A kanonikus statisztikai gyűjteményre utal, amelyben a rendszer rögzített hőmérsékleten, térfogaton és részecskék számán képes hőt cserélni a környezettel. Nagy kanonikus partíció funkció A nagy kanonikus statisztikai gyűjteményre utal, amelyben a rendszer hőt és részecskéket is képes cserélni a környezettel egy meghatározott hőmérsékleten, térfogaton és kémiai potenciálon. Más esetekben más típusú partíciófüggvényeket is meghatározhat.

Partíciós funkció a kanonikus együttesben

Meghatározás

Tegyük fel, hogy van egy olyan rendszer, amely engedelmeskedik a termodinamika törvényeinek, és amely állandó hőkapcsolatban van egy hőmérsékletű közeggel. $T$, míg a rendszer térfogata és az azt alkotó részecskék száma rögzített. Ilyen helyzetben a rendszer a kanonikus együtteshez tartozik. Jelöli pontos kimondja, hogy a rendszer benne lehet $j$ $(j=1,2,3,\backslash lpont)$, és a rendszer teljes energiája olyan állapotban van $j$ - $E\_j$. Általában ezek a mikroállapotok a rendszer diszkrét kvantumállapotainak tekinthetők.

Kanonikus partíció funkció- azt

$Z=\backslash sum\_j\; e^(-\backslash beta\; E\_j),$

hol van a visszatérő hőmérséklet $\backslash beta$ ként meghatározott

$\backslash beta\backslash equiv\backslash frac(1)(k\_BT),$ $Z=\backslash mathrm(tr)\backslash ,(e^(-\backslash beta\; H)),$

Jelentés és jelentősége

Először is nézzük meg, mitől függ. A partíció funkció elsősorban a hőmérséklet függvénye $T$, a másodikban pedig a mikroállapotok energiái $E\_1,E\_2,E\_3$és így tovább A mikroállapotok energiáit más termodinamikai mennyiségek, például a részecskék száma és térfogata, valamint a mikroszkopikus tulajdonságok, például a részecskék tömege határozzák meg. Ez a mikroszkopikus tulajdonságoktól való függés alapvető a statisztikai mechanikában. A rendszer mikroszkopikus komponenseinek modellje alapján kiszámítható a mikroállapotok energiája, és ebből következően a partíciós függvény, amely lehetővé teszi a rendszer összes többi termodinamikai tulajdonságának kiszámítását.

A partíciófüggvény felhasználható termodinamikai mennyiségek kiszámítására, mert nagyon fontos statisztikai jelentése van. Valószínűség $P\_j$ amellyel a rendszer mikroállapotban van $j$, egyenlő

$P\_j=\backslash frac(1)(Z)e^(-\backslash beta\; E\_j).$

A partíciós függvény a Gibbs-eloszlásban normalizációs tényező formájában szerepel (it nem attól függ $j$), biztosítva, hogy a valószínűségek összege egyenlő legyen eggyel:

$\backslash sum\_j\; P\_j=\backslash frac(1)(Z)\backslash sum\_j\; e^(-\backslash beta\; E\_j)=\backslash frac(1)(Z)Z=1.$

Termodinamikai összenergia számítása

A megosztási függvény hasznosságának demonstrálására kiszámítjuk a teljes energia termodinamikai értékét. Ez egyszerűen a matematikai elvárás, vagy az együttesre átlagolt energiaérték, amely egyenlő a mikroállapotok energiáinak összegével, a valószínűségükkel egyenlő súlyokkal:

$\backslash langle\; E\backslash rangle=\backslash sum\_j\; E\_jP\_j=\backslash frac(1)(Z)\backslash sum\_j\; E\_j\; e^(-\backslash beta\; E\_j)=-\backslash frac(1)(Z)\backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\backslash beta\; )Z(\backslash beta,\backslash ;E\_1,\backslash ;E\_2,\backslash ;\backslash ldots)=-\backslash frac(\backslash partial\backslash ln\; Z)(\backslash partial\backslash beta)$

vagy mi ugyanaz

$\backslash langle\; E\backslash rangle=k\_B\; T^2\backslash frac(\backslash partial\backslash ln\; Z)(\backslash partial\; T).$

Az is látható, hogy ha a mikroállapotok energiái függenek a paramétertől $\backslash lambda$ hogyan

$E\_j=E\_j^((0))+\backslash lambda\; A\_j$

mindenkinek $j$, akkor az átlagérték $A$ egyenlő

$\backslash langle\; A\backslash rangle=\backslash sum\_j\; A\_jP\_j=-\backslash frac(1)(\backslash beta)\backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\backslash lambda)\backslash ln\; Z(\backslash beta,\backslash ;\backslash lambda).$

Ez egy olyan technika alapja, amely lehetővé teszi számos mikroszkopikus mennyiség átlagos értékének kiszámítását. Ezt az értéket mesterségesen hozzá kell adni a mikroállapotok energiájához (vagy a kvantummechanika nyelvén a Hamilton-hoz), ki kell számítani egy új partíciós függvényt és átlagértéket, majd be kell írni a végső kifejezést. $\backslash lambda$ egyenlő nullával. Hasonló módszert alkalmaznak a kvantumtérelméletben is.

Ebben a részben a partíciófüggvény és a rendszer különféle termodinamikai paraméterei közötti összefüggést mutatjuk be. Ezeket az eredményeket az előző részben ismertetett módszerrel és különféle termodinamikai összefüggésekkel kaphatjuk meg.

Mint láttuk, az energia az

$\backslash langle\; E\backslash rangle=-\backslash frac(\backslash partial\backslash ln\; Z)(\backslash partial\backslash beta).$ $c\_v=\backslash frac(\backslash partial\backslash langle\; E\backslash rangle)(\backslash partial\; T)=\backslash frac(1)(k\_B\; T^2)\backslash langle\backslash delta\; E^2\backslash rangle.$ $S\backslash equiv-k\_B\backslash sum\_j\; P\_j\backslash ln\; P\_j=k\_B(\backslash ln\; Z+\backslash beta\backslash langle\; E\backslash rangle)=\backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\; T)(k\_B\; T\backslash ln\; Z)=-\backslash frac(\backslash \; részleges\; F)(\backslash részleges\; T),$ $\backslash mathcal(Z)\_i=\backslash sum\_(n\_i=0)^\backslash infty\; e^(-\backslash beta\; n\_i(\backslash varepsilon\_i-\backslash mu))=\backslash frac(1)(1-e^(-\backslash beta(\backslash varepsilon\_i)\; -\backslash mu))),$ $\backslash mathcal(Z)\_i=\backslash sum\_(n\_i=0)^1\; e^(-\backslash beta\; n\_i(\backslash varepsilon\_i-\backslash mu))=\backslash frac(1)(1+e^(-\backslash beta(\backslash varepsilon\_i-)\; \backslash mu))).$

Maxwell-Boltzmann gáz esetén helyesen kell megszámolni az állapotokat és el kell osztani a Boltzmann-tényezőt $e^(-\backslash beta\; (\backslash varepsilon\_i-\backslash mu))$ a $n\_i!$

$\backslash mathcal(Z)\_i=\backslash sum\_(n\_i=0)^\backslash infty\backslash frac(e^(-\backslash beta\; n\_i(\backslash varepsilon\_i-\backslash mu)))(n\_i=\backslash exp\backslash left(e^\{-\backslash beta(\backslash varepsilon\_i-\backslash mu)\}\backslash right).!\}$

Kapcsolat a termodinamikai mennyiségekkel

Csakúgy, mint a kanonikus partíciós függvény, a nagy kanonikus partíció függvény is használható egy rendszer termodinamikai és statisztikai mennyiségeinek kiszámítására. A kanonikus együtteshez hasonlóan a termodinamikai mennyiségek nem fixek, hanem statisztikailag az átlag körül oszlanak el. jelölve $\backslash alpha=-\backslash beta\backslash mu$, megkapjuk a töltési számok átlagértékeit:

$\backslash langle\; n\_i\backslash rangle=-\backslash left(\backslash frac(\backslash partial\backslash ln\backslash mathcal(Z)\_i)(\backslash partial\backslash alpha)\backslash right)\_(\backslash beta,\backslash ;V)=\backslash frac(1)(\backslash \; beta)\backslash left(\backslash frac(\backslash partial\backslash ln\backslash mathcal(Z)\_i)(\backslash partial\backslash mu)\backslash right)\_(\backslash beta,\backslash ;V).$

A Boltzmann-részecskék esetében ez a következőt adja:

$\backslash langle\; n\_i\backslash rangle=e^(-\backslash beta(\backslash varepsilon\_i-\backslash mu)).$

Bozonoknál:

$\backslash langle\; n\_i\backslash rangle=\backslash frac(1)(e^(\backslash beta(\backslash varepsilon\_i-\backslash mu))-1).$

Fermionokhoz:

$\backslash langle\; n\_i\backslash rangle=\backslash frac(1)(e^(\backslash beta(\backslash varepsilon\_i-\backslash mu))+1),$

amely egybeesik a Maxwell-Boltzmann statisztika, a Bose-Einstein és a Fermi-Dirac statisztika kanonikus együttesével kapott eredményekkel. (A degeneráltság foka $GI$ hiányzik ezekből az egyenletekből, mivel az index $én$ az egyes állapotokat számolja, nem az energiaszinteket.)

A részecskék teljes száma

$\backslash langle\; N\backslash rangle=-\backslash left(\backslash frac(\backslash partial\backslash ln\backslash mathcal(Z))(\backslash partial\backslash alpha)\backslash right)\_(\backslash beta,\backslash ;V)=\backslash frac(1)(\backslash beta\; )\backslash left(\backslash frac(\backslash partial\backslash ln\backslash mathcal(Z))(\backslash partial\backslash mu)\backslash right)\_(\backslash beta,\backslash ;V).$ $\backslash langle\; P\backslash rangle=\backslash frac(1)(\backslash beta)\backslash left(\backslash frac(\backslash partial\backslash ln\backslash mathcal(Z))(\backslash partial\; V)\backslash right)\_(\backslash mu,\backslash ;\backslash beta).$ $\backslash langle\; PV\backslash rangle=\backslash frac(\backslash ln\backslash mathcal(Z))(\backslash beta).$

Írjon véleményt a "Statisztikai összeg" cikkről

Irodalom

• Kubo R. Statisztikai mechanika. - M.: Mir, 1967.
• Huang K. Statisztikai mechanika. - M.: Mir, 1966. (Huang, Kerson, "Statistical Mechanics", John Wiley & Sons, New York, 1967.)
• Ishihara A. Statisztikai fizika. - M.: Mir, 1973. (Isihara A. "Statistical Physics". - New York: Academic Press, 1971.)
• Kelly, James J.
• Landau, L.D., Lifshitz, E.M. Statisztikai fizika. 1. rész - 5. kiadás. - M .: Fizmatlit, 2005. - 616 p. - ("Elméleti fizika", V. kötet). - ISBN 5-9221-0054-8..

A partíciófüggvényt jellemzõ kivonat

- Alpatych! Hirtelen egy ismerős hang szólította meg az öreget.
- Atyám, excellenciád - felelte Alpatych, és azonnal felismerte ifjú hercegének hangját.
Andrej herceg esőkabátban, fekete lovon ülve a tömeg mögött állt, és Alpatychra nézett.
- Hogy vagy itt? - kérdezte.
- Az ön... excellenciája - mondta Alpatych és felzokogott... - A tiéd, a tied... vagy már eltűntünk? Apa…
- Hogy vagy itt? ismételte András herceg.
A láng abban a pillanatban erősen fellobbant, és megvilágította Alpatych fiatal gazdájának sápadt és kimerült arcát. Alpatych elmesélte, hogyan küldték el, és hogyan mehetett volna el erőszakkal.
– Nos, excellenciás uram, vagy elvesztünk? – kérdezte újra.
Andrej herceg válasz nélkül elővett egy füzetet, és térdét felemelve ceruzával írni kezdett egy szakadt lapra. Ezt írta a nővérének:
„Szmolenszket feladják – írta –, a Kopasz-hegységet egy hét múlva megszállja az ellenség. Most indulj el Moszkvába. Válaszolj, amint elindulsz, futárt küldve Usvyazhba.
Miután megírta és átadta a lapot Alpatychnak, szóban elmondta, hogyan intézze el a herceg, a hercegnő és a fia távozását a tanárral, és hogyan és hol válaszoljon neki azonnal. Még nem volt ideje teljesíteni ezeket a parancsokat, amikor a vezérkari főnök lóháton, kíséretével együtt vágtatott hozzá.
- Ön ezredes? – kiáltotta a vezérkari főnök német akcentussal, Andrej herceg számára ismerős hangon. - A házak ki vannak világítva a jelenlétedben, és te állsz? Mit is jelent ez? Ön válaszol - kiáltott fel Berg, aki most az első hadsereg gyalogos csapatainak balszárnyának vezérkari főnök-helyettese volt -, a hely nagyon kellemes és jól látható, ahogy Berg mondta.
Andrej herceg ránézett, és anélkül, hogy válaszolt volna, Alpatychhoz fordulva folytatta:
„Mondd hát, hogy tizedikig várok választ, és ha tizedikén nem kapok hírt, hogy mindenki elment, nekem magamnak kell ledobnom mindent, és el kell mennem a Kopasz-hegységbe.
„Én, herceg, csak annyit mondok – mondta Berg, felismerve Andrej herceget –, hogy engedelmeskednem kell a parancsoknak, mert mindig pontosan teljesítem azokat... Elnézést kérek” – indokolta magát Berg valamilyen módon.
Valami recsegett a tűzben. A tűz egy pillanatra alábbhagyott; fekete füstfelhők ömlöttek a tető alól. Valami más rettenetesen recsegett a tűzben, és valami hatalmas összeomlott.
– Urruru! - A pajta beomlott mennyezetét visszhangozva, ahonnan megégett kenyértől süteményszag volt, üvöltött a tömeg. A láng fellobbant, és megvilágította a tűz körül álló emberek élénken vidám és kimerült arcát.
Egy frízkabátos férfi felemelte a kezét, és felkiáltott:
- Fontos! menj harcolni! Srácok, ez fontos!
„Ez maga a mester” – mondták a hangok.
- Szóval, szóval - mondta Andrej herceg Alpatychhoz fordulva -, mondj el mindent, ahogy mondtam. És anélkül, hogy egy szót is válaszolt volna Bergnek, aki elhallgatott mellette, megérintette a lovat, és belovagolt a sikátorba.

A csapatok tovább vonultak Szmolenszkből. Az ellenség követte őket. Augusztus 10-én az Andrej herceg parancsnoksága alatt álló ezred elhaladt a főúton, a Kopasz-hegységbe vezető sugárút mellett. A hőség és a szárazság több mint három hétig tartott. Minden nap göndör felhők vonultak át az égen, időnként eltakarva a napot; de estefelé ismét kitisztult, és a nap barnásvörös ködben lement. Csak éjszaka erős harmat frissítette fel a földet. A gyökéren maradt kenyér megégett és kiömlött. A mocsarak kiszáradtak. A jószágok üvöltöttek az éhségtől, nem találtak élelmet a napégette réteken. Csak éjszaka és az erdőkben tartott még a harmat, hűvös volt. De az út mentén, a nagy út mentén, amelyen a csapatok vonultak, még éjszaka, még az erdőkön keresztül sem volt ilyen hideg. A harmat nem volt észrevehető az út homokos porán, amelyet több mint negyed arshin nyomtak felfelé. Amint felvirradt, megindult a mozgalom. A konvojok, a tüzérség némán haladt végig a csomóponton, a gyalogság pedig bokáig puha, fülledt, forró porban, amely nem hűlt ki az éjszaka folyamán. Ennek a homokos pornak az egyik részét lábak és kerekek összegyúrták, a másik felemelkedett és felhőként állt a sereg fölött, tapadva az úton haladó emberek és állatok szeméhez, hajához, füléhez, orrlyukaihoz és ami a legfontosabb, tüdejéhez. . Minél magasabbra emelkedett a nap, annál magasabbra emelkedett a porfelhő, és ezen a vékony, forró poron keresztül egyszerű szemmel lehetett nézni a felhőktől nem takart napot. A nap egy nagy bíbor golyó volt. Nem fújt a szél, és az emberek fulladoztak ebben a csendes légkörben. Az emberek zsebkendővel az orruk és a szájuk körül jártak. A faluba érve minden a kutak felé rohant. Harcoltak a vízért, és porig itták.
Andrej herceg irányította az ezredet, és az ezred felépítése, népének jóléte, a parancsok fogadásának és kiadásának igénye foglalkoztatta. A szmolenszki tűz és annak elhagyása Andrej herceg korszaka volt. Az ellenséggel szembeni keserűség új érzése feledtette bánatát. Teljesen odaadta ezredének dolgait, törődött népével és tiszteivel, és szeretettel viseltetett velük. Az ezredben hercegünknek hívták, büszkék voltak rá és szerették. De kedves és szelíd csak ezredtisztjeivel, Timokhinnel stb., teljesen új emberekkel és idegen környezetben, olyanokkal, akik nem ismerhették és nem érthették a múltját; de amint összefutott egyik volt munkatársával, azonnal újra sörte ütött; rosszindulatú, gúnyos és lenéző lett. Mindaz, ami emlékezetét a múlttal összekötötte, taszította, ezért e hajdani világ viszonyaiban csak arra törekedett, hogy ne legyen igazságtalan, és teljesítse kötelességét.
Igaz, mindent sötét, borongós fényben mutattak be Andrej hercegnek - különösen azután, hogy augusztus 6-án elhagyták Szmolenszket (amit az ő elképzelései szerint meg lehetett és kellett volna megvédeni), és miután beteg édesapja kénytelen volt meneküljön Moszkvába, és dobja ki rablásért az általa oly szeretett, általa felépített és lakott Kopasz-hegységet; de annak ellenére, hogy az ezrednek köszönhetően Andrej herceg egy másik, az általános kérdésektől teljesen független témán gondolkodhatott - ezredével kapcsolatban. Augusztus 10-én az oszlop, amelyben ezredje volt, utolérte a Kopasz-hegységet. Andrej herceg két napja kapta a hírt, hogy apja, fia és nővére Moszkvába távozott. Bár Andrej hercegnek semmi dolga nem volt a Kopasz-hegységben, jellegzetes vágyával, hogy fellobbantja bánatát, úgy döntött, be kell hívnia a Kopasz-hegységet.
Megparancsolta, hogy nyergeljék fel lovát, és az átkelőből lóháton lovagolt apja falujába, ahol született és gyermekkorát töltötte. Egy tó mellett elhaladva, amelyen nők tucatjai, egymással beszélgetve, hengerekkel verték és öblítették a ruháikat, Andrej herceg észrevette, hogy nincs senki a tavon, és egy leszakadt, vízzel félig elárasztott tutaj lebegett oldalra. a tó közepén. Andrej herceg felhajtott a kapuházhoz. A kőbejárati kapunál nem volt senki, az ajtó pedig nyitva volt. A kerti ösvények már benőttek, a borjak és lovak az angol parkban sétáltak. Andrej herceg felhajtott az üvegházhoz; az ablakok betörtek, a fák dézsában voltak, néhány kidőlt, volt, amelyik elszáradt. Tarast hívta a kertésznek. Senki nem válaszolt. Körbejárva az üvegházat a kiállításra, látta, hogy a faragott deszkakerítés mind letört, a szilva termései pedig ágakkal lekopogtak. Egy öreg parasztember (Andrej herceg látta őt gyermekkorában a kapuban) ült és szárú cipőt szőt egy zöld padon.
Süket volt, és nem hallotta Andrej herceg belépését. Egy padon ült, amelyen az öreg királyfi szeretett ülni, és mellé egy szárat akasztottak egy törött és elszáradt magnólia csomóira.
Andrej herceg felhajtott a házhoz. A régi kertben több hárs is ki lett vágva, a ház előtt a rózsák között sétált egy piszkos ló csikóval. A házat redőnnyel látták el. Lent az egyik ablak nyitva volt. Az udvari fiú, meglátva Andrej herceget, berohant a házba.
Alpatych, miután elküldte családját, egyedül maradt a Kopasz-hegységben; otthon ült és olvasta az Életeket. Andrej herceg érkezéséről értesülve, szemüveggel az orrán, begombolva, elhagyta a házat, sietve odalépett a herceghez, és anélkül, hogy bármit is mondott volna, elsírta magát, térden csókolva Andrej herceget.
Aztán szívét elfordította gyengesége felé, és beszámolt neki a dolgok állásáról. Bogucharovoba vittek mindent, ami értékes és drága. Száznegyedig terjedő kenyeret is exportáltak; széna és tavasz, szokatlan, ahogy Alpatych mondta, az idei zöldtermést elvették és lekaszálták – a csapatok. A parasztok tönkrementek, néhányan Bogucharovoba is kerültek, egy kis része megmaradt.
Andrej herceg anélkül, hogy a végére hallgatott volna, megkérdezte, mikor mentek el apja és nővére, vagyis mikor indultak Moszkvába. Alpatych válaszolt, mert azt hitte, hogy Bogucharovoba való indulásról kérdeznek, hetedikén indultak el, és ismét a tanya részvényeiről terjesztett, engedélyt kérve.
- Elrendeli, hogy a zabot kézhezvételkor kiadják a csapatoknak? Még hatszáz negyedünk van hátra – kérdezte Alpatych.
„Mit válaszoljak neki? - gondolta Andrej herceg, az öreg kopasz, napfényben tündöklő fejére nézve, és arckifejezéséből azt a tudatot olvasta, hogy ő maga is megérti e kérdések időszerűtlenségét, de csak úgy tette fel, hogy elnyomja bánatát.
– Igen, engedd el – mondta.
„Ha méltóztak észrevenni a nyugtalanságot a kertben – mondta Alpatych –, akkor lehetetlen volt megakadályozni: három ezred ment el és töltötte az éjszakát, főleg dragonyosok. A beadvány benyújtásához kiírtam a parancsnoki rangot és rangot.
- Nos, mit fogsz csinálni? Maradsz, ha az ellenség elveszi? – kérdezte tőle András herceg.
Alpatych Andrej herceg felé fordította az arcát, és ránézett; és hirtelen ünnepélyes mozdulattal felemelte a kezét.
„Ő az én pártfogóm, legyen meg az ő akarata!” ő mondta.
Parasztok és szolgák tömege ment át a réten, nyitott fejjel, Andrej herceg felé közeledve.
- Hát viszlát! - mondta Andrej herceg Alpatych felé hajolva. - Hagyja el magát, vigye el, amit tud, és az embereknek azt mondták, hogy menjenek el Rjazanskajába vagy Moszkva vidékére. - Alpatych a lábába kapaszkodott és zokogott. Andrej herceg óvatosan félrelökte, és lovát megérintve végigvágtatott a sikátoron.
A kiállításon még közömbösen, mint egy légy egy drága halott arcán, az öregember ült és kopogott egy tömb szárú cipőt, és két lány szoknyás szilvával, amit üvegházi fákról szedtek, elmenekült elől. ott és Andrej hercegbe botlott. A fiatal mester láttán az idősebb lány ijedtséggel az arcán megragadta kisebbik társát, és vele együtt egy nyírfa mögé bújt, nem volt ideje összeszedni a szétszórt zöld szilvát.
Andrej herceg ijedten fordult el tőlük sietve, mert félt, hogy észrevegyék, hogy látta őket. Sajnálta ezt a csinos, ijedt lányt. Félt ránézni, de ugyanakkor ellenállhatatlan vágy is támadt rá. Új, örömteli és megnyugtató érzés kerítette hatalmába, amikor ezekre a lányokra nézve rádöbbent, hogy léteznek más, tőle teljesen idegen és éppoly jogos emberi érdekek, mint amik foglalkoztatták. Ezek a lányok nyilvánvalóan szenvedélyesen vágytak egy dologra - elvinni és befejezni a zöld szilvát, hogy ne kapják el őket, és Andrej herceg velük együtt kívánta vállalkozásuk sikerét. Nem tehetett róla, hogy újra rájuk nézett. Azt gondolva, hogy már biztonságban vannak, kiugrottak a lesből, és vékony hangon szoknyájukat fogva, vidáman, sebesen szaladgáltak a rét füvén, lebarnult csupasz lábukkal.
Andrej herceg kicsit felfrissült, miután elhagyta a főút poros területét, amelyen a csapatok haladtak. De nem messze a Kopasz-hegységen túl ismét az útra hajtott, és egy kis tavacska gátjánál megállva utolérte ezredét. Dél után a második óra volt. A nap, egy vörös golyó a porban, elviselhetetlenül forró volt, és átégette a hátát a fekete kabátján. A por, még mindig ugyanaz, mozdulatlanul állt a dúdoló, megtorpant csapatok hangja fölött. Nem fújt a szél, a gát melletti átjáróban Andrej herceg érezte a tó sárának és frissességének illatát. Be akart szállni a vízbe, akármilyen koszos is volt. Visszanézett a tavacskára, ahonnan sírás és nevetés tört elő. Egy kis, zöldellő, sáros tavacska látszólag negyed kettőt emelkedett, elöntötte a gátat, mert tele volt ember, katona, meztelen fehér testekkel, akik téglavörös kezekkel, arcokkal és nyakakkal vergődtek. Ez az egész meztelen, fehér emberhús, nevetéssel és üvöltéssel, úgy libbent ebben a koszos tócsában, mint az öntözőkannába tömött kárász. Ez a vergődés a vidámságtól visszhangzott, és ezért különösen szomorú volt.