السلسلة الرقمية هي نوع من التسلسل ، والذي يتم اعتباره جنبًا إلى جنب مع تسلسل آخر (يطلق عليه أيضًا تسلسل المجاميع الجزئية). تستخدم مفاهيم مماثلة في التحليل الرياضي والمعقد.
يمكن حساب مجموع سلسلة رقمية بسهولة في Excel باستخدام الدالة SERIES.SUMM. لنلقِ نظرة على مثال عن كيفية عمل هذه الوظيفة ، ثم نبني رسمًا بيانيًا للوظائف. سوف نتعلم كيفية تطبيق سلسلة الأرقام في الممارسة العملية عند حساب نمو رأس المال. لكن أولاً ، القليل من النظرية.
يمكن عرض سلسلة الأرقام كنظام تقريب للأرقام. لتعيينه ، استخدم الصيغة:
يوضح هذا التسلسل الأولي للأرقام في السلسلة وقاعدة الجمع:
السجل يعني: يتم تلخيص الأعداد الطبيعية من 1 إلى "زائد اللانهاية". نظرًا لأن i = 1 ، فإن حساب المبلغ يبدأ من واحد. إذا كان هناك رقم آخر هنا (على سبيل المثال ، 2 ، 3) ، فسنبدأ في جمعه (بالرقم 2 ، 3).
وفقًا للمتغير i ، يمكن كتابة الصف مكشوفًا:
أ 1 + أ 2 + أ 3 + أ 4 + أ 5 + ... (حتى "زائد ما لا نهاية).
يُعطى تعريف مجموع المتسلسلة العددية من خلال "المبالغ الجزئية". في الرياضيات ، يتم الإشارة إليها بواسطة Sn. دعنا نكتب سلسلة الأرقام الخاصة بنا على شكل مجاميع جزئية:
ق 2 = أ 1 + أ 2
ق 3 = أ 1 + أ 2 + أ 3
ق 4 = أ 1 + أ 2 + أ 3 + أ 4
مجموع سلسلة الأرقام هو نهاية المجاميع الجزئية S n. إذا كانت النهاية محدودة ، يتحدث المرء عن سلسلة "متقاربة". لا نهاية لها - حول "متباعد".
أولاً ، نحصل على مجموع سلسلة الأرقام:
لنقم الآن ببناء جدول قيم أعضاء السلسلة في Excel:
نأخذ الوسيطة العامة الأولى من الصيغة: i = 3.
تم العثور على جميع قيم i التالية بواسطة الصيغة: = B4 + $ B $ 1. نضع المؤشر في الزاوية اليمنى السفلية للخلية B5 ونضرب الصيغة.
لنجد القيم. نجعل الخلية C4 نشطة وأدخل الصيغة: = SUM (2 * B4 + 1). انسخ الخلية C4 إلى النطاق المحدد.
يتم الحصول على قيمة مجموع الوسائط باستخدام الوظيفة: = SUM (C4: C11). مزيج من مفاتيح التشغيل السريع ALT + "+" (زائد على لوحة المفاتيح).
للعثور على مجموع سلسلة عددية في Excel ، يتم استخدام الدالة الرياضية SERIES.SUMM. يستخدم البرنامج الصيغة التالية:
وسيطات الوظيفة:
شروط مهمة لعمل الوظيفة:
تعمل نفس الوظيفة SERIES.SUMM مع سلسلة الطاقة (أحد خيارات السلاسل الوظيفية). على عكس الوسائط الرقمية ، فإن وسيطاتها عبارة عن دوال.
غالبًا ما تستخدم السلاسل الوظيفية في المجال المالي والاقتصادي. يمكننا القول أن هذه هي منطقتهم التطبيقية.
على سبيل المثال ، تضع في أحد البنوك مبلغًا معينًا من المال (أ) لفترة معينة (اسم). لدينا دفعة سنوية قدرها x بالمائة. لحساب المبلغ المستحق في نهاية الفترة الأولى ، يتم استخدام الصيغة التالية:
ق 1 = أ (1 + س).
في نهاية الفترة الثانية والفترات اللاحقة ، يكون شكل التعبيرات كما يلي:
ق 2 = أ (1 + س) 2 ؛ ق 3 = أ (1 + س) 2 ، إلخ.
لمعرفة المبلغ الإجمالي:
S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 +… + a (1 + x) n
يمكن العثور على مجاميع جزئية في Excel باستخدام وظيفة BS ().
المعلمات الأولية لمشكلة التدريب:
باستخدام دالة حسابية قياسية ، نجد المبلغ المتراكم في نهاية مبلغ المصطلح. للقيام بذلك ، في الخلية D2 ، استخدم الصيغة: = B2 * DEGREE (1 + B3؛ 4)
الآن في الخلية D3 نحل نفس المشكلة باستخدام وظيفة Excel المضمنة: = BS (B3 ؛ B1 ؛؛ - B2)
النتائج هي نفسها كما ينبغي أن تكون.
كيفية ملء حجج دالة BS ():
وهكذا ، ساعدتنا وظيفة BS في إيجاد مجموع المتسلسلة الوظيفية.
يحتوي Excel على وظائف مضمنة أخرى للعثور على معلمات مختلفة. عادة ما تكون هذه وظائف للعمل مع المشاريع الاستثمارية والأوراق المالية ومدفوعات الاستهلاك.
دعونا نبني رسمًا بيانيًا للوظائف التي تعكس نمو رأس المال. للقيام بذلك ، نحتاج إلى رسم الدالة التي تمثل مجموع المتسلسلة المنشأة. كمثال ، لنأخذ نفس البيانات عن الإيداع:
يظهر السطر الأول المبلغ المتراكم بعد عام واحد. في الثانية - في اثنين. إلخ.
لنقم بعمل عمود آخر نعكس فيه الربح:
كما اعتقدنا - في شريط الصيغة.
بناءً على البيانات التي تم الحصول عليها ، سنقوم ببناء رسم بياني للوظائف.
لنحدد نطاقين: A5: A9 و C5: C9. انتقل إلى علامة التبويب "إدراج" - أداة "المخططات". نختار الرسم البياني الأول:
لنجعل المهمة أكثر "تطبيقية". في المثال ، استخدمنا الفائدة المركبة. يتم تحميلها على المبلغ المتراكم في الفترة السابقة.
لنأخذ النسب المئوية البسيطة للمقارنة. صيغة الفائدة البسيطة في Excel: = $ B $ 2 * (1 + A6 * B6)
دعنا نضيف القيم التي تم الحصول عليها إلى مخطط نمو رأس المال.
من الواضح ما هي الاستنتاجات التي سيتوصل إليها المستثمر.
الصيغة الرياضية للمجموع الجزئي لسلسلة وظيفية (بنسب مئوية بسيطة): S n = a (1 + x * n) ، حيث a هو المبلغ الأولي للإيداع ، x هو الفائدة ، n هي الفترة.
إلخ. - الحد الأدنى من المعرفة حول سلسلة عددية... من الضروري أن تفهم ماهية السلسلة ، لتتمكن من رسمها بالتفصيل وليس حول عينيك بعد عبارات "الصف يتقارب" ، "الصف يتباعد" ، "مجموع الصف". لذلك ، إذا كان مزاجك عند الصفر تمامًا ، فيرجى تخصيص 5-10 دقائق للمقال. صفوف للدمى(حرفيا أول 2-3 صفحات) ، ثم عد إلى هنا ولا تتردد في البدء في حل الأمثلة!
وتجدر الإشارة إلى أنه في معظم الحالات ليس من السهل العثور على مجموع سلسلة ، وعادة ما يتم حل هذه المشكلة من خلال صفوف وظيفية (هيا نعيش ونعيش :))... لذا ، على سبيل المثال ، مقدار الفنان الشعبي 
انسحبت من خلال سلسلة فورييه... في هذا الصدد ، من الناحية العملية ، من المطلوب دائمًا إنشاء حقيقة التقارب، ولكن لم يتم العثور على رقم محدد (أعتقد أن الكثيرين قد لاحظوا هذا بالفعل). ومع ذلك ، من بين مجموعة كبيرة ومتنوعة من سلاسل الأرقام ، هناك عدد قليل من الممثلين الذين يسمحون لك بلمس قدس الأقداس حتى مع إبريق الشاي الكامل دون أي مشاكل. وفي الدرس التمهيدي ، أعطيت مثالاً للتقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي 
، يتم حساب مقدارها بسهولة وفقًا لصيغة المدرسة المعروفة.
في هذه المقالة ، سنستمر في النظر في أمثلة مماثلة ، بالإضافة إلى ذلك ، سوف نتعلم التعريف الصارم للمبلغ ، وعلى طول الطريق ، نتعرف على بعض خصائص السلسلة. الإحماء ... نعم ، مباشرة على التعاقب والإحماء:
مثال 1
أوجد مجموع المتسلسلة 
حل: نحن نمثل سلسلتنا على أنها مجموع سلسلتين:
لماذا في هذاحالة هل يمكنك فعل هذا؟ تستند الخطوات المتخذة إلى عبارتين بسيطتين:
1) إذا كانت السلسلة تتقارب 
، فإن السلسلة المكونة من المجاميع أو الاختلافات في المصطلحات المقابلة ستتقارب أيضًا: في هذه الحالة ، من الضروري أن نتحدث عنه متقاربةالرتب. في مثالنا ، نحن نعلم مسبقاأن كلا التدرجين الهندسيين سوف يتقاربان ، مما يعني ، دون أدنى شك ، أننا نحلل الصف الأصلي في صفين.
2) الخاصية الثانية أكثر وضوحا. يمكن نقل الثابت خارج النطاق: 
وهذا لن يؤثر على تقاربها أو تباعدها وإجماليها. لماذا إخراج ثابت؟ نعم ، فقط لكي "لا تعترض الطريق". لكن في بعض الأحيان يكون من المربح عدم القيام بذلك.
المثال النهائي يبدو كالتالي:
نستخدم الصيغة مرتين لإيجاد مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي: حيث يكون الحد الأول للتقدم هو أساس التقدم.
إجابة: مجموع السلسلة
يمكن تزيين بداية الحل بأسلوب مختلف قليلاً - اكتب السلسلة مباشرةً وأعد تجميع أعضائها:
كذلك على طول واحد مخرش.
مثال 2
أوجد مجموع المتسلسلة
هذا مثال لحل افعل ذلك بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية البرنامج التعليمي.
لا توجد متعة خاصة هنا ، ولكن بمجرد أن صادفت سلسلة غير عادية يمكن أن تفاجئ شخصًا عديم الخبرة. هذا ... هو أيضًا تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي! في الواقع ، ويتم حساب المبلغ في بضع لحظات فقط: 
.
والآن نَفَس من التحليل الرياضي ، ضروري لحل المزيد من المشاكل:
يتم تقديم تعريف دقيق للتقارب / الاختلاف ومجموع سلسلة نظريًا من خلال ما يسمى كميات جزئيةصف. جزئي يعني غير مكتمل. دعنا نكتب المجاميع الجزئية لمتسلسلة رقمية 
:
ويلعب المحصلة الجزئية لأعضاء السلسلة دورًا خاصًا:
إذا كان حد المجاميع الجزئية لسلسلة رقمية هو الاخيررقم: ، ثم تسمى هذه السلسلة متقاربة، والرقم نفسه مجموع السلسلة... إذا كان الحد لانهائي أو غير موجود ، فسيتم استدعاء السلسلة متشعب.
العودة إلى الصف التجريبي 
واكتب مبالغها الجزئية: 
إن حد المبالغ الجزئية هو بالضبط تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي ، ومجموعه هو:. لقد اعتبرنا حدًا مشابهًا في الدرس حول التسلسلات الرقمية... في الواقع ، الصيغة نفسها هي نتيجة مباشرة للحسابات النظرية المذكورة أعلاه (انظر الحجم الثاني من matan).
وهكذا يتم رسمها خوارزمية عامة لحل مشكلتنا: من الضروري عمل المجموع الجزئي التاسع للسلسلة وإيجاد النهاية. دعونا نرى كيف يتم ذلك عمليا:
مثال 3
احسب مجموع المتسلسلة 
حل: الخطوة الأولى هي التوسع مصطلح مشتركفي مجموع الكسور. نحن نستخدم طريقة معامل غير محدد:
نتيجة ل:
فورامن المفيد القيام بالعكس عن طريق التحقق من:
تم الحصول على المصطلح العام للسلسلة في شكلها الأصلي ، وبالتالي ، تم تنفيذ التوسع في مجموع الكسور بنجاح.
الآن لنجعل المجموع الجزئي للسلسلة. بشكل عام ، يتم ذلك شفهيًا ، ولكن بمجرد أن أصف بأكبر قدر ممكن من التفاصيل ما جاء من: 
كيف تكتبها بشكل واضح تمامًا ، ولكن ما هو المصطلح السابق؟ في المصطلح العام للسلسلة 
بدلا مننستبدل "en":
يمكن تخفيض جميع شروط المبلغ الجزئي تقريبًا بأمان: 
نقوم بتدوين هذه الملاحظات بقلم رصاص في دفتر ملاحظات. لعنة جميلة مريحة.
يبقى حساب الحد الأولي ومعرفة مجموع السلسلة: 
إجابة:
سلسلة مماثلة لحل مستقل:
مثال 4
احسب مجموع المتسلسلة 
عينة تقريبية من التصميم النهائي للحل في نهاية الدرس.
من الواضح أن إيجاد مجموع سلسلة هو في حد ذاته دليل على تقاربها (بالإضافة إلى علامات المقارنة, دالمبرت ، كوشيوغيرها) ، والتي يتم التلميح إليها ، على وجه الخصوص ، من خلال صياغة المهمة التالية:
مثال 5
ابحث عن مجموع سلسلة أو حدد تباعدها 
من خلال ظهور عضو عادي ، يمكنك أن تعرف على الفور كيف يتصرف هذا الرفيق. لا توجد مجمعات. باستخدام معيار المقارنةمن السهل معرفة (حتى لفظيًا) أن سلسلة معينة ستتقارب مع سلسلة. ولكن أمامنا حالة نادرة عندما يتم حساب المبلغ أيضًا دون الكثير من المتاعب.
حل: قم بتوسيع مقام الكسر إلى منتج. للقيام بذلك ، عليك أن تقرر معادلة من الدرجة الثانية:
هكذا:
من الأفضل ترتيب العوامل بترتيب تصاعدي:.
لنقم بفحص وسيط:
نعم
وبالتالي ، فإن المصطلح المشترك للسلسلة: 
هكذا: 
نحن لسنا كسالى:
وهو ما كان مطلوبًا ليتم التحقق منه.
دعنا نكتب المجموع الجزئي لـ "en" لأعضاء السلسلة ، مع الانتباه إلى حقيقة أن "عداد" السلسلة "يبدأ العمل" من الرقم. كما في الأمثلة السابقة ، من الآمن مد الكوبرا بطول مناسب:
ومع ذلك ، إذا كتبنا في سطر واحد أو سطرين ، فسيظل من الصعب جدًا التنقل في اختصارات المصطلحات (هناك 3 منها في كل مصطلح). وهنا ... ستساعدنا الهندسة. لنجعل الثعبان يرقص على لحننا: 
نعم ، هكذا نكتب مصطلحًا واحدًا تحت الآخر في دفتر الملاحظات ونشطبه تمامًا على هذا النحو. بالمناسبة ، اختراعي الخاص. كما تفهم ، ليس من أسهل مهمة في هذه الحياة =)
نتيجة لجميع الاختصارات ، نحصل على:
وأخيراً مجموع المسلسل:
إجابة:
المثال 8
احسب مجموع المتسلسلة 
هذا مثال لحل افعل ذلك بنفسك.
المشكلة قيد النظر ، بالطبع ، لا ترضينا بمجموعة متنوعة - في الممارسة العملية ، نواجه إما تقدمًا هندسيًا متناقصًا بشكل لا نهائي ، أو سلسلة ذات مصطلح مشترك كسري عقلاني ومتعدد حدود قابل للتوسيع في المقام (بالمناسبة ، ليس كل كثير الحدود من هذا القبيل يجعل من الممكن العثور على مجموع المتسلسلة). لكن ، مع ذلك ، أحيانًا تظهر عينات غير عادية ، ووفقًا للتقاليد الجيدة الراسخة ، أنهي الدرس ببعض المشكلات المثيرة للاهتمام.
إلى احسب مجموع المتسلسلة، ما عليك سوى إضافة عناصر الصف ، عدد معين من المرات. على سبيل المثال:
في المثال أعلاه ، تم القيام بذلك بسهولة شديدة ، حيث كان يجب تلخيصه بعدد محدود من المرات. ولكن ماذا لو كان الحد الأعلى للتجميع هو اللانهاية؟ على سبيل المثال ، إذا احتجنا إلى إيجاد مجموع المتسلسلات التالية:
قياسا على المثال السابق ، يمكننا كتابة هذا المبلغ على النحو التالي:
لكن ماذا تفعل بعد ذلك ؟! في هذه المرحلة ، من الضروري تقديم المفهوم مجموع جزئي من السلسلة... وبالتالي، مجموع جزئي من السلسلة(يُرمز إليه بـ S n) هو مجموع أول n من السلسلة. أولئك. في حالتنا هذه:
ثم يمكن حساب مجموع السلسلة الأصلية كحد للمبلغ الجزئي:
وهكذا ، ل حساب مجموع المتسلسلة، من الضروري بطريقة ما إيجاد تعبير للمجموع الجزئي للسلسلة (S n). في حالتنا الخاصة ، السلسلة عبارة عن تقدم هندسي متناقص بمقامه 1/3. كما تعلم ، يتم حساب مجموع العناصر n الأولى للتقدم الهندسي بواسطة الصيغة:
هنا b 1 هو العنصر الأول للتقدم الهندسي (في حالتنا هو 1) و q هو مقام التقدم (في حالتنا 1/3). إذن ، المجموع الجزئي S n لسلسلتنا يساوي:
إذن ، مجموع سلسلتنا (S) ، وفقًا للتعريف الوارد أعلاه ، يساوي:
الأمثلة التي تمت مناقشتها أعلاه بسيطة إلى حد ما. عادةً ما يكون حساب مجموع سلسلة أكثر صعوبة وتكمن الصعوبة الأكبر تحديدًا في إيجاد المجموع الجزئي للسلسلة. تتيح لك الآلة الحاسبة عبر الإنترنت أدناه ، المستندة إلى نظام Wolfram Alpha ، حساب مجموع السلاسل المعقدة إلى حد ما. علاوة على ذلك ، إذا لم تتمكن الآلة الحاسبة من العثور على مجموع المتسلسلة ، فمن المحتمل أن تكون السلسلة المعينة متباعدة (في هذه الحالة ، تعرض الآلة الحاسبة رسالة مثل "مجموع الانحرافات") ، أي تساعد هذه الآلة الحاسبة أيضًا بشكل غير مباشر في الحصول على فكرة عن تقارب المتسلسلة.
للعثور على مجموع المتسلسلة ، يجب عليك تحديد متغير السلسلة ، وحدود الجمع الدنيا والعليا ، بالإضافة إلى التعبير عن المصطلح n من السلسلة (أي التعبير الفعلي عن السلسلة نفسها).
يمكن كتابة مجموع الأعداد الطبيعية باستخدام سلسلة الأرقام التالية
هذه ، للوهلة الأولى ، النتيجة غير البديهية تمامًا ، ومع ذلك ، يمكن إثباتها بدقة. لكن قبل الحديث عن الإثبات ، عليك أن تستطرد وتذكر المفاهيم الأساسية.
لنبدأ بحقيقة أن المجموع "الكلاسيكي" للسلسلة هو حد المبالغ الجزئية لسلسلة إذا كانت موجودة ومحدودة. يمكن العثور على التفاصيل في ويكيبيديا والأدبيات ذات الصلة. إذا لم يكن هناك حد محدود ، فيُقال إن السلسلة متباعدة.
على سبيل المثال ، يتم كتابة المجموع الجزئي لأول أعضاء k من سلسلة الأرقام 1 + 2 + 3 + 4 + ... على النحو التالي
من السهل أن نفهم أن هذا المجموع ينمو إلى أجل غير مسمى حيث يميل k إلى اللانهاية. وبالتالي ، فإن المسلسل الأصلي متشعب ، بالمعنى الدقيق للكلمة ، ليس له مجموع. ومع ذلك ، هناك العديد من الطرق لتعيين قيمة نهائية للسلسلة المتباعدة.
الصف 1 + 2 + 3 + 4 + ... بعيد عن الصف الوحيد من الصفوف المتباعدة. خذ على سبيل المثال سلسلة Grundy
وهو ما يختلف أيضًا ، ولكن من المعروف أن طريقة جمع سيزارو تسمح لنا بتعيين قيمة محدودة 1/2 لهذه السلسلة. يتكون جمع سيزارو من العمل ليس بمبالغ جزئية من المتسلسلة ، ولكن بوسائلها الحسابية. السماح لأنفسنا بالتكهن بأسلوب حر ، يمكننا القول أن المبالغ الجزئية لسلسلة Grandi تتأرجح بين 0 و 1 ، اعتمادًا على أي مصطلح من السلسلة هو الأخير في المجموع (+1 أو -1) ، ومن هنا جاءت القيمة 1/2 ، كمتوسط حسابي لقيمتين محتملتين للمجاميع الجزئية.
مثال آخر مثير للاهتمام لسلسلة متباعدة هو السلسلة المتناوبة 1 - 2 + 3 - 4 + ... ، والتي تتأرجح مجاميعها الجزئية أيضًا. يتيح لك جمع Abel تعيين قيمة نهائية قدرها 1/4 لسلسلة معينة. لاحظ أن طريقة Abel هي ، بطريقة ما ، تطوير لطريقة Cesaro التجميعية ، لذا فإن النتيجة 1/4 سهلة الفهم من وجهة نظر الحدس.
من المهم أن نلاحظ هنا أن طرق الجمع ليست حيلًا اخترعها علماء الرياضيات للتعامل بطريقة ما مع السلاسل المتباينة. إذا قمت بتطبيق جمع سيزارو أو طريقة أبيل على سلسلة متقاربة ، فإن الإجابة التي تقدمها هذه الطرق تساوي المجموع الكلاسيكي لسلسلة متقاربة.
ومع ذلك ، لا يسمح أي من مجموع سيزارو ولا طريقة أبيل بالعمل مع المتسلسلة 1 + 2 + 3 + 4 + ... ، لأن الوسائل الحسابية للمجاميع الجزئية ، وكذلك الوسائل الحسابية للوسائل الحسابية ، تتباعد. بالإضافة إلى ذلك ، إذا كان من الممكن قبول القيم 1/2 أو 1/4 بطريقة ما وربطها بالسلسلة المقابلة ، فمن الصعب ربط -1/12 بالسلسلة 1 + 2 + 3 + 4 + ... ، وهو تسلسل لا نهائي من الأعداد الصحيحة الموجبة.
هناك عدة طرق للوصول إلى نتيجة -1/12. في هذا المنشور ، سوف أتطرق لفترة وجيزة فقط إلى واحد منهم ، وهو تنظيم وظيفة زيتا. إدخال وظيفة زيتا
أستعاض ق = -1، نحصل على سلسلة الأرقام الأصلية 1 + 2 + 3 + 4 +…. لنقم بعدد من العمليات الحسابية البسيطة على هذه الدالة.
أين وظيفة Dirichlet هذه
عندما تكون القيمة ق = -1تصبح هذه الوظيفة مألوفة لنا بالفعل من خلال السلسلة 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ... التي "مجموعها" يساوي 1/4. يمكننا الآن حل المعادلة بسهولة
من المثير للاهتمام أن هذه النتيجة تجد تطبيقها في الفيزياء. على سبيل المثال ، في نظرية الأوتار. بالإشارة إلى الصفحة 22 من نظرية الأوتار لجوزيف بولتشينسكي:
إذا لم تكن نظرية الأوتار بالنسبة لشخص ما مثالًا مقنعًا بسبب عدم وجود دليل على العديد من عواقب هذه النظرية ، فيمكننا أيضًا أن نذكر أن طرقًا مماثلة تظهر في نظرية المجال الكمي عند محاولة حساب تأثير كازيمير.
من أجل عدم المشي مرتين ، هناك بعض الأمثلة الأكثر إثارة للاهتمام مع وظيفة زيتا
بالنسبة لأولئك الذين يرغبون في الحصول على مزيد من المعلومات حول هذا الموضوع ، لاحظت أنني قررت كتابة هذه الملاحظة بعد ترجمة المقالة المقابلة على ويكيبيديا ، حيث يمكنك العثور في قسم "الروابط" على الكثير من المواد الإضافية ، خاصة باللغة الإنجليزية.
إجابة: الصف يتباعد.
مثال رقم 3
أوجد مجموع السلسلة $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $.
نظرًا لأن الحد الأدنى للتجميع هو 1 ، فإن المصطلح المشترك للسلسلة مكتوب تحت علامة الجمع: $ u_n = \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $. دعنا نؤلف المجموع الجزئي من الرتبة رقم للسلسلة ، أي دعنا نلخص أول $ n $ أعضاء من سلسلة عددية معينة:
$$ S_n = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + \ ldots + u_n = \ frac (2) (3 \ cdot 5) + \ frac (2) (5 \ cdot 7) + \ frac (2) (7 \ cdot 9) + \ frac (2) (9 \ cdot 11) + \ ldots + \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)). $$
لماذا أكتب بالضبط $ \ frac (2) (3 \ cdot 5) $ ، وليس $ \ frac (2) (15) $ ، فسيكون واضحًا من السرد الإضافي. ومع ذلك ، فإن تسجيل مبلغ جزئي لم يقربنا ذرة واحدة من هدفنا. نحتاج إلى إيجاد $ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $ ، لكن إذا كتبنا فقط:
$$ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n = \ lim_ (n \ to \ infty) \ left (\ frac (2) (3 \ cdot 5) + \ frac (2) (5 \ cdot 7) + \ frac (2) (7 \ cdot 9) + \ frac (2) (9 \ cdot 11) + \ ldots + \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) \ right) ، $$
ثم هذا السجل ، صحيح تمامًا من حيث الشكل ، لن يعطينا شيئًا من حيث الجوهر. لإيجاد النهاية ، يجب أولًا تبسيط التعبير الخاص بالمجموع الجزئي.
للقيام بذلك ، هناك تحويل قياسي ، والذي يتكون من توسيع الكسر $ \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $ ، والذي يمثل المصطلح الشائع للسلسلة ، إلى كسور أولية. موضوع منفصل مخصص لمسألة تحليل الكسور المنطقية إلى الكسور الابتدائية (انظر ، على سبيل المثال ، المثال رقم 3 في هذه الصفحة). بتوسيع الكسر $ \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $ إلى كسور أولية ، سيكون لدينا:
$$ \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) = \ frac (A) (2n + 1) + \ frac (B) (2n + 3) = \ frac (A \ cdot (2n) +3) + B \ cdot (2n + 1)) ((2n + 1) (2n + 3)). $$
نحن نساوي بسط الكسور على الجانبين الأيمن والأيسر للمساواة الناتجة:
$$ 2 = A \ cdot (2n + 3) + B \ cdot (2n + 1). $$
توجد طريقتان للعثور على قيم $ A $ و $ B $. يمكنك توسيع الأقواس وإعادة ترتيب المصطلحات ، أو يمكنك ببساطة استبدال بعض القيم المناسبة بـ $ n $. لإجراء تغيير صارم ، في هذا المثال ، سنذهب في الاتجاه الأول ، وفي الاتجاه التالي - سنقوم باستبدال القيم الخاصة $ n $. عند توسيع الأقواس وإعادة ترتيب المصطلحات ، نحصل على:
$$ 2 = 2An + 3A + 2Bn + B ؛ \\ 2 = (2A + 2B) n + 3A + B. $$
يوجد صفر في الجانب الأيسر من المساواة قبل $ n $. إذا أردت ، يمكن تمثيل الجانب الأيسر من المساواة على أنه $ 0 \ cdot n + 2 $ للتوضيح. نظرًا لأنه على الجانب الأيسر من المساواة قبل $ n $ يوجد صفر ، وعلى الجانب الأيمن من المساواة قبل $ n $ هناك $ 2A + 2B $ ، لدينا المعادلة الأولى: $ 2A + 2B = 0 $. نقسم على الفور كلا طرفي هذه المعادلة على 2 ، وبعد ذلك نحصل على $ A + B = 0 $.
نظرًا لأن المصطلح المجاني يساوي 2 على الجانب الأيسر من المساواة ، والمصطلح المجاني يساوي $ 3A + B $ على الجانب الأيمن من المساواة ، فإن $ 3A + B = 2 $. إذن ، لدينا نظام:
$$ \ يسار \ (\ ابدأ (محاذاة) & A + B = 0 ؛ \\ & 3A + B = 2. \ نهاية (محاذاة) \ يمين. $$
سوف يتم الإثبات بطريقة الاستقراء الرياضي. في الخطوة الأولى ، من الضروري التحقق مما إذا كانت المساواة التي تم إثباتها صحيحة: $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ مقابل $ n = 1 $. نعلم أن $ S_1 = u_1 = \ frac (2) (15) $ ، لكن هل سيعطي التعبير $ \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ القيمة $ \ frac ( 2) (15) $ ، إذا استبدلت $ n = 1 $؟ دعونا تحقق:
$$ \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2 \ cdot 1 + 3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (5) = \ frac (5-3) (15) = \ frac (2) (15). $$
لذلك ، بالنسبة إلى $ n = 1 $ ، فإن المساواة $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ معلق. هذا يكمل الخطوة الأولى من طريقة الاستقراء الرياضي.
لنفترض أنه بالنسبة لـ $ n = k $ ، فإن المساواة صحيحة ، أي ، $ S_k = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2k + 3) $. دعنا نثبت أن نفس المساواة تنطبق على $ n = k + 1 $. للقيام بذلك ، ضع في اعتبارك $ S_ (k + 1) $:
$$ S_ (ك + 1) = S_k + u_ (ك + 1). $$
بما أن $ u_n = \ frac (1) (2n + 1) - \ frac (1) (2n + 3) $ ، ثم $ u_ (k + 1) = \ frac (1) (2 (k + 1) + 1 ) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3) = \ frac (1) (2k + 3) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3) $. وفقًا للافتراض أعلاه ، $ S_k = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2k + 3) $ ، وبالتالي فإن الصيغة $ S_ (k + 1) = S_k + u_ (k + 1) $ يأخذ الشكل:
$$ S_ (k + 1) = S_k + u_ (k + 1) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2k + 3) + \ frac (1) (2k + 3) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3). $$
الخلاصة: الصيغة $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ صحيحة لـ $ n = k + 1 $. لذلك ، وفقًا لطريقة الاستقراء الرياضي ، فإن الصيغة $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ صحيحة لأي $ n \ في N $. ثبتت المساواة.
في الدورة القياسية للرياضيات العليا ، عادة ما يكونون راضين عن "شطب" شروط الإلغاء دون الحاجة إلى أي دليل. لذلك ، حصلنا على تعبير المجموع الجزئي التاسع: $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $. أوجد قيمة $ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $:
الخلاصة: تتقارب السلسلة المحددة ويكون مجموعها $ S = \ frac (1) (3) $.
بصراحة ، أنا شخصياً أفضل هذه الطريقة :) لنكتب المجموع الجزئي بصيغة مختصرة:
$$ S_n = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) u_k = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)). $$
لقد حصلنا سابقًا على أن $ u_k = \ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) $ ، لذلك:
$$ S_n = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)) = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ left (\ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) \ right). $$
مجموع $ S_n $ يحتوي على عدد محدود من المصطلحات ، لذا يمكننا إعادة ترتيبها كما يحلو لنا. أرغب أولاً في إضافة جميع المصطلحات من النموذج $ \ frac (1) (2k + 1) $ ، وبعد ذلك فقط انتقل إلى شروط النموذج $ \ frac (1) (2k + 3) $. هذا يعني أننا سنمثل المبلغ الجزئي بالشكل التالي:
$$ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (5) + \ frac (1) (5) - \ frac (1) (7) + \ frac (1) (7) - \ frac (1) (9) + \ frac (1) (9) - \ frac (1) (11) + \ ldots + \ frac (1) (2n + 1) - \ frac (1) (2n + 3) = \\ = \ frac (1) (3) + \ frac (1) (5) + \ frac (1) (7) + \ frac (1) (9) + \ ldots + \ frac (1) (2n + 1) - \ يسار (\ frac (1) (5) + \ frac (1) (7) + \ frac (1) (9) + \ ldots + \ frac (1) (2n + 3) \ right) . $$
بالطبع ، التدوين الموسع غير مريح للغاية ، لذلك يمكن تنسيق المساواة المعروضة أعلاه بشكل أكثر إحكاما:
$$ S_n = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ left (\ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) \ right) = \ sum \ limits_ ( ك = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3). $$
نقوم الآن بتحويل التعبيرات $ \ frac (1) (2k + 1) $ و $ \ frac (1) (2k + 3) $ إلى نفس الصيغة. أعتقد أنه من المناسب التقليل إلى شكل جزء أكبر (على الرغم من أنه من الممكن تقليله ، فهذه مسألة ذوق). بما أن $ \ frac (1) (2k + 1)> \ frac (1) (2k + 3) $ (كلما كان المقام أكبر ، كلما كان الكسر أصغر) ، سنقلل الكسر $ \ frac (1) (2k + 3) $ للصيغة $ \ frac (1) (2k + 1) $.
سأمثل التعبير في مقام الكسر $ \ frac (1) (2k + 3) $ على النحو التالي:
$$ \ frac (1) (2k + 3) = \ frac (1) (2k + 2 + 1) = \ frac (1) (2 (k + 1) +1). $$
ويمكن الآن كتابة المبلغ $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) $ على النحو التالي:
$$ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k + 1) ) +1) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1). $$
إذا كانت المساواة $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) $ لا يثير أسئلة ، فلنذهب أبعد من ذلك. إذا كان لديك أي أسئلة ، يرجى توسيع الملاحظة.
كيف حصلنا على المبلغ المحول؟ اظهر المخفي
كان لدينا سلسلة $ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 ( ك + 1) +1) دولار. لنقدم متغيرًا جديدًا بدلاً من $ k + 1 $ - على سبيل المثال ، $ t $. إذن ، $ t = k + 1 $.
كيف تغير المتغير القديم $ k $؟ وتغير من 1 إلى $ n $. لنكتشف كيف سيتغير المتغير $ t $ الجديد. إذا كان $ k = 1 $ ، فإن $ t = 1 + 1 = 2 $. إذا كان $ k = n $ ، فإن $ t = n + 1 $. لذا فإن التعبير $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k + 1) +1) $ أصبح الآن $ \ sum \ limits_ (t = 2) ^ (n +1 ) \ frac (1) (2t + 1) $.
$$ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k + 1) +1) = \ sum \ limits_ (t = 2) ^ (n + 1) \ frac (1 ) (2 طن + 1). $$
لدينا المجموع $ \ sum \ limits_ (t = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2t + 1) $. السؤال هو: هل يهم حقًا الحرف الذي يجب استخدامه بهذا المبلغ؟ :) اكتب الحرف $ k $ بدلاً من $ t $ ، نحصل على ما يلي:
$$ \ sum \ limits_ (t = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2t + 1) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k +1). $$
هذه هي الطريقة التي نحصل بها على المساواة $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k + 1) +1) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) $.
وبالتالي ، يمكن تمثيل المبلغ الجزئي على النحو التالي:
$$ S_n = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3 ) = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1 ). $$
لاحظ أن المبالغ $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) $ و $ \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1 ) (2k + 1) $ تختلف فقط في حدود الجمع. لنجعل هذه الحدود كما هي. أخذ العنصر الأول من المجموع $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) $ سيكون لدينا:
$$ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) = \ frac (1) (2 \ cdot 1 + 1) + \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) = \ frac (1) (3) + \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1). $$
أخذ العنصر الأخير من المجموع $ \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) $ ، نحصل على:
$$ \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1 ) + \ frac (1) (2 (n + 1) +1) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) + \ frac (1) (2n + 3)
ثم يأخذ التعبير الخاص بالمجموع الجزئي الشكل:
$$ S_n = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k +1) = \ frac (1) (3) + \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ left (\ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) + \ frac (1) (2n + 3) \ right) = \\ = \ frac (1) (3) + \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2n + 3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3). $$
إذا تخطينا جميع التفسيرات ، فإن عملية العثور على صيغة مختصرة للمجموع الجزئي رقم n ستأخذ الشكل التالي:
$$ S_n = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) u_k = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)) = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ left (\ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) \ right) = \\ = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ frac (1) (3) + \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ left (\ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1 ) + \ frac (1) (2n + 3) \ right) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3). $$
دعني أذكرك أننا اختزلنا الكسر $ \ frac (1) (2k + 3) $ إلى الشكل $ \ frac (1) (2k + 1) $. بالطبع يمكنك أن تفعل العكس ، أي تمثل الكسر $ \ frac (1) (2k + 1) $ كـ $ \ frac (1) (2k + 3) $. لن يتغير التعبير النهائي للمبلغ الجزئي. في هذه الحالة ، سأخفي عملية إيجاد المبلغ الجزئي تحت الملاحظة.
كيف تجد $ S_n $ إذا اختزلناه إلى كسر آخر؟ اظهر المخفي
$$ S_n = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3 ) = \ sum \ limits_ (k = 0) ^ (n-1) \ frac (1) (2k + 3) - \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3 ) = \\ = \ frac (1) (3) + \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n-1) \ frac (1) (2k + 3) - \ left (\ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n-1) \ frac (1) (2k + 3) + \ frac (1) (2n + 3) \ right) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3). $$
إذن $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $. أوجد الحد $ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $:
$$ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n = \ lim_ (n \ to \ infty) \ left (\ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) \ right) = \ frac (1) (3) -0 = \ frac (1) (3). $$
تتقارب السلسلة المحددة ويكون مجموعها $ S = \ frac (1) (3) $.
إجابة: $ S = \ frac (1) (3) $.
سيتم النظر في استمرار موضوع إيجاد مجموع سلسلة في الجزأين الثاني والثالث.
