В центре внимания этой статьи – логарифм . Здесь мы дадим определение логарифма, покажем принятое обозначение, приведем примеры логарифмов, и скажем про натуральные и десятичные логарифмы. После этого рассмотрим основное логарифмическое тождество.
Навигация по странице.
Понятие логарифма возникает при решении задачи в известном смысле обратной , когда нужно найти показатель степени по известному значению степени и известному основанию.
Но хватит предисловий, пришло время ответить на вопрос «что такое логарифм»? Дадим соответствующее определение.
Определение.
Логарифм числа b по основанию a , где a>0 , a≠1 и b>0 – это показатель степени, в который нужно возвести число a , чтобы в результате получить b .
На этом этапе заметим, что произнесенное слово «логарифм» должно сразу вызывать два вытекающих вопроса: «какого числа» и «по какому основанию». Иными словами, просто логарифма как бы нет, а есть только логарифм числа по некоторому основанию.
Сразу введем обозначение логарифма : логарифм числа b по основанию a принято обозначать как log a b . Логарифм числа b по основанию e и логарифм по основанию 10 имеют свои специальные обозначения lnb и lgb соответственно, то есть, пишут не log e b , а lnb , и не log 10 b , а lgb .
Теперь можно привести : .
А записи не имеют смысла, так как в первой из них под знаком логарифма находится отрицательное число, во второй – отрицательное число в основании, а в третьей – и отрицательное число под знаком логарифма и единица в основании.
Теперь скажем о правилах чтения логарифмов . Запись log a b читается как «логарифм b по основанию a ». Например, log 2 3 - это логарифм трех по основанию 2 , а - это логарифм двух целых двух третьих по основанию квадратный корень из пяти. Логарифм по основанию e называют натуральным логарифмом , а запись lnb читается как «натуральный логарифм b ». К примеру, ln7 – это натуральный логарифм семи, а мы прочитаем как натуральный логарифм пи. Логарифм по основанию 10 также имеет специальное название – десятичный логарифм , а запись lgb читается как «десятичный логарифм b ». Например, lg1 - это десятичный логарифм единицы, а lg2,75 - десятичный логарифм двух целых семидесяти пяти сотых.
Стоит отдельно остановиться на условиях a>0 , a≠1 и b>0 , при которых дается определение логарифма. Поясним, откуда берутся эти ограничения. Сделать это нам поможет равенство вида , называемое , которое напрямую следует из данного выше определения логарифма.
Начнем с a≠1 . Так как единица в любой степени равна единице, то равенство может быть справедливо лишь при b=1 , но при этом log 1 1 может быть любым действительным числом. Чтобы избежать этой многозначности и принимается a≠1 .
Обоснуем целесообразность условия a>0 . При a=0 по определению логарифма мы бы имели равенство , которое возможно лишь при b=0 . Но тогда log 0 0 может быть любым отличным от нуля действительным числом, так как нуль в любой отличной от нуля степени есть нуль. Избежать этой многозначности позволяет условие a≠0 . А при a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
Наконец, условие b>0 следует из неравенства a>0 , так как , а значение степени с положительным основанием a всегда положительно.
В заключение этого пункта скажем, что озвученное определение логарифма позволяет сразу указать значение логарифма, когда число под знаком логарифма есть некоторая степень основания. Действительно, определение логарифма позволяет утверждать, что если b=a p , то логарифм числа b по основанию a равен p . То есть, справедливо равенство log a a p =p . Например, мы знаем, что 2 3 =8 , тогда log 2 8=3 . Подробнее об этом мы поговорим в статье
Проверьте, не стоят ли под знаком логарифма отрицательные числа или единица. Данный метод применим к выражениям вида log b (x) log b (a) {\displaystyle {\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}} . Однако он не годится для некоторых особых случаев:
Преобразуйте выражение в один логарифм. Если выражение не относится к приведенным выше особым случаям, его можно представить в виде одного логарифма. Используйте для этого следующую формулу: log b (x) log b (a) = log a (x) {\displaystyle {\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}=\log _{a}(x)} .
При возможности вычислите значение выражения вручную. Чтобы найти log a (x) {\displaystyle \log _{a}(x)} , представьте себе выражение " a ? = x {\displaystyle a^{?}=x} ", то есть задайтесь следующим вопросом: "В какую степень необходимо возвести a , чтобы получить x ?". Для ответа на этот вопрос может потребоваться калькулятор, но если вам повезет, вы сможете найти его вручную.
Оставьте ответ в логарифмической форме, если вам не удается упростить его. Многие логарифмы очень сложно вычислить вручную. В этом случае, чтобы получить точный ответ, вам потребуется калькулятор. Однако если вы решаете задание на уроке, то учителя, скорее всего, удовлетворит ответ в логарифмическом виде. Ниже рассматриваемый метод использован для решения более сложного примера:
В соотношении
может быть поставлена задача отыскания любого из трех чисел по двум другим, заданным. Если даны а и то N находят действием возведения в степень. Если даны N и то а находят извлечением корня степени х (или возведением в степень ). Теперь рассмотрим случай, когда по заданным а и N требуется найти х.
Пусть число N положительно: число а положительно и не равно единице: .
Определение. Логарифмом числа N по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить число N; логарифм обозначается через
Таким образом, в равенстве (26.1) показатель степени находят как логарифм N по основанию а. Записи
имеют одинаковый смысл. Равенство (26.1) иногда называют основным тождеством теории логарифмов; в действительности оно выражает определение понятия логарифма. По данному определению основание логарифма а всегда положительно и отлично от единицы; логарифмируемое число N положительно. Отрицательные числа и нуль логарифмов не имеют. Можно доказать, что всякое число при данном основании имеет вполне определенный логарифм. Поэтому равенство влечет за собой . Заметим, что здесь существенно условие в противном случае вывод был бы не обоснован, так как равенство верно при любых значениях х и у.
Пример 1. Найти
Решение. Для получения числа следует возвести основание 2 в степень Поэтому.
Можно проводить записи при решении таких примеров в следующей форме:
Пример 2. Найти .
Решение. Имеем
В примерах 1 и 2 мы легко находили искомый логарифм, представляя логарифмируемое число как степень основания с рациональным показателем. В общем случае, например для и т. д., этого сделать не удастся, так как логарифм имеет иррациональное значение. Обратим внимание на один связанный с этим утверждением вопрос. В п. 12 мы дали понятие о возможности определения любой действительной степени данного положительного числа. Это было необходимо для введения логарифмов, которые, вообще говоря, могут быть иррациональными числами.
Рассмотрим некоторые свойства логарифмов.
Свойство 1. Если число и основание равны, то логарифм равен единице, и, обратно, если логарифм равен единице, то число и основание равны.
Доказательство. Пусть По определению логарифма имеем а откуда
Обратно, пусть Тогда по определению
Свойство 2. Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.
Доказательство. По определению логарифма (нулевая степень любого положительного основания равна единице, см. (10.1)). Отсюда
что и требовалось доказать.
Верно и обратное утверждение: если , то N = 1. Действительно, имеем .
Прежде чем сформулировать следующее свойство логарифмов, условимся говорить, что два числа а и b лежат по одну сторону от третьего числа с, если они оба либо больше с, либо меньше с. Если одно из этих чисел больше с, а другое меньше с, то будем говорить, что они лежат по разные стороны от с.
Свойство 3. Если число и основание лежат по одну сторону от единицы, то логарифм положителен; если число и основание лежат по разные стороны от единицы, то логарифм отрицателен.
Доказательство свойства 3 основано на том, что степень а больше единицы, если основание больше единицы и показатель положителен или основание меньше единицы и показатель отрицателен. Степень меньше единицы, если основание больше единицы и показатель отрицателен или основание меньше единицы и показатель положителен.
Требуется рассмотреть четыре случая:
Ограничимся разбором первого из них, остальные читатель рассмотрит самостоятельно.
Пусть тогда в равенстве показатель степени не может быть ни отрицательным, ни равным нулю, следовательно, он положителен, т. е. что и требовалось доказать.
Пример 3. Выяснить, какие из указанных ниже логарифмов положительны, какие отрицательны:
Решение, а) так как число 15 и основание 12 расположены по одну сторону от единицы;
б) , так как 1000 и 2 расположены по одну сторону от единицы; при этом несущественно, что основание больше логарифмируемого числа;
в) , так как 3,1 и 0,8 лежат по разные стороны от единицы;
г) ; почему?
д) ; почему?
Следующие свойства 4-6 часто называют правилами логарифмирования: они позволяют, зная логарифмы некоторых чисел, найти логарифмы их произведения, частного, степени каждого из них.
Свойство 4 (правило логарифмирования произведения). Логарифм произведения нескольких положительных чисел по данному основанию равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию.
Доказательство. Пусть даны положительные числа .
Для логарифма их произведения напишем определяющее логарифм равенство (26.1):
Отсюда найдем
Сравнив показатели степени первого и последнего выражений, получим требуемое равенство:
Заметим, что условие существенно; логарифм произведения двух отрицательных чисел имеет смысл, но в этом случае получим
В общем случае, если произведение нескольких сомножителей положительно, то его логарифм равен сумме логарифмов модулей этих сомножителей.
Свойство 5 (правило логарифмирования частного). Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя, взятых по тому же основанию. Доказательство. Последовательно находим
что и требовалось доказать.
Свойство 6 (правило логарифмирования степени). Логарифм степени какого-либо положительного числа равен логарифму этого числа, умноженному на показатель степени.
Доказательство. Запишем снова основное тождество (26.1) для числа :
что и требовалось доказать.
Следствие. Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного числа, деленному на показатель корня:
Доказать справедливость этого следствия можно, представив как и воспользовавшись свойством 6.
Пример 4. Прологарифмировать по основанию а:
а) (предполагается, что все величины b, с, d, е положительны);
б) (преполагается, что ).
Решение, а) Удобно перейти в данном выражении к дробным степеням:
На основании равенств (26.5)-(26.7) теперь можно записать:
Мы замечаем, что над логарифмами чисел производятся действия более простые, чем над самими числами: при умножении чисел их логарифмы складываются, при делении - вычитаются и т.д.
Именно поэтому логарифмы получили применение в вычислительной практике (см. п. 29).
Действие, обратное логарифмированию, называется потенцированием, а именно: потенцированием называется действие, с помощью которого по данному логарифму числа находится само это число. По существу потенцирование не является каким-либо особым действием: оно сводится к возведению основания в степень (равную логарифму числа). Термин «потенцирование» можно считать синонимом термина «возведенение в степень».
При потенцировании надо пользоваться правилами, обратными по отношению к правилам логарифмирования: сумму логарифмов заменить логарифмом произведения, разность логарифмов - логарифмом частного и т. д. В частности, если перед знаком логарифма находится какой-либо множитель, то его при потенцировании нужно переносить в показатель степени под знак логарифма.
Пример 5. Найти N, если известно, что
Решение. В связи с только что высказанным правилом потенцирования множители 2/3 и 1/3, стоящие перед знаками логарифмов в правой части данного равенства, перенесем в показатели степени под знаками этих логарифмов; получим
Теперь разность логарифмов заменим логарифмом частного:
для получения последней дроби в этой цепочке равенств мы предыдущую дробь освободили от иррациональности в знаменателе (п. 25).
Свойство 7. Если основание больше единицы, то большее число имеет больший логарифм (а меньшее - меньший), если основание меньше единицы, то большее число имеет меньший логарифм {а меньшее - больший).
Это свойство формулируют также и как правило логарифмирования неравенств, обе части которых положительны:
При логарифмировании неравенств по основанию, большему единицы, знак неравенства сохраняется, а при логарифмировании по основанию, меньшему единицы, знак неравенства меняется на противоположный (см. также п. 80).
Доказательство основано на свойствах 5 и 3. Рассмотрим случай, когда Если , то и, логарифмируя, получим
(а и N/М лежат по одну сторону от единицы). Отсюда
Случай а следует , читатель разберет самостоятельно.
Носовкина Лиза Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна рублей. Сколько рублей он получит после вычета налога на доходы? Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны Розничная цена учебника 180 рублей, она на 20% выше оптовой цены. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по оптовой цене на рублей? На счету Машиного мобильного телефона было 53 рубля, а после разговора с Леной осталось 8 рублей. Сколько минут длился разговор с Леной, если одна минута разговора стоит 2 рубля 50 копеек Выпускники 11 "А" покупают букеты цветов для последнего звонка: из 3 роз каждому учителю и из 7 роз классному руководителю и директору. Они собираются подарить букеты 15 учителям (включая директора и классного руководителя), розы покупаются по оптовой цене 35 рублей за штуку. Сколько рублей стоят все розы?
Прототип задания B1 (26643) Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна рублей. Сколько рублей он получит после вычета налога на доходы? Решение: 100%-13%=87% 12500*0,87= 10875
Прототип задания B1 (26644) Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны? Решение: 100%-13%=87% 87%=9570, 100%=х х= 9570*100/87=11000
Прототип задания B1 (26645) Розничная цена учебника 180 рублей, она на 20% выше оптовой цены. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по оптовой цене на рублей? Решение: 180= 120%, х= 100% х= 100*180/120= /150=66,…. округлим до min 66
Прототип задания B1 (77332) Выпускники 11 "А" покупают букеты цветов для последнего звонка: из 3 роз каждому учителю и из 7 роз классному руководителю и директору. Они собираются подарить букеты 15 учителям (включая директора и классного руководителя), розы покупаются по оптовой цене 35 рублей за штуку. Сколько рублей стоят все розы? Решение: 3*13+2*7= 53 53*35=1855
B1. Налог на доходы составляет 13 % от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны? 100% - 13 % = 87% заработной платы после удержания налога получила Мария Константиновна или 1745 рублей 3 х 1 0 х В: 87 = 135 (р) приходится на 1% = (р) составляет заработная плата Марии Константиновны?
В2. Мощность отопления в автомобиле регулируется дополнительным сопротивлением, которое можно менять, поворачивая рукоятку в салоне машины. При этом меняется сила тока в электрической цепи электродвигателя - чем меньше сопротивление, тем больше сила тока и тем быстрее вращается мотор отопителя. 3 х 1 0 х В,5 2,5 Сопротивление цепи увеличилось на 2,5 – 1,5 =1 (Ом) На рисунке показана зависимость силы тока от величины сопротивления. На оси абсцисс откладывается сопротивление (в Омах), на оси ординат – сила тока в Амперах. Ток в цепи электродвигателя уменьшился с 6 до 4 Ампер. На сколько Омов при этом увеличилось сопротивление цепи? 4
B4. Два угла, вписанного в окружность четырехугольника равны 29° и 57°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. 3 х 1 0 х В Наибольший из оставшихся углов равен 180 ° - 29° = 151° Данные углы не могут быть противоположными, т. к В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна B + D = 180 ° А + С = 180 °
B5. В таблице даны тарифы на услуги трех фирм такси. Предполагается поездка длительностью 60 минут. Нужно выбрать фирму, в которой заказ будет стоить дешевле всего. Сколько рублей будет стоить этот заказ? Если поездка продолжается меньше указанного времени, она оплачивается по стоимости минимальной поездки. Фирма такси Подача машины Продолжительность и стоимость (минимальной поездки*) Стоимость 1 минуты сверх продолжительности минимальной поездки А 350 руб.нет 12 р Б бесплатно 10 мин. 200 рублей 19 р В 180 руб.15 мин. 300 рублей 15 р
Возможные расходы: S A = = 1070 (р) S Б = 19 (60 – 10) = 1150 (р) S В = 15 (60 – 15) = 1155 (р) Расходы за самый дешёвый заказ: 1070(р) 3 х 1 0 х В Фирма такси Подача машины Продолжительность и стоимость (минимальной поездки*) Стоимость 1 минуты сверх продолжительности минимальной поездки А 350 руб.нет 12 р Б бесплатно 10 мин. 200 рублей 19 р В 180 руб.15 мин. 300 рублей 15 р
B6. Найдите скалярное произведение векторов (x 1 ; у 1); (x 2 ; у 2) – координаты векторов 3 х 1 0 х В6 4 0 a b =b =b =b = x 1 x 2 + y 1 y 2 Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат векторовa b =b =b =b = = = 40
B8. Прямая у = 4 х 11 является касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания. 3 х 1 0 х В 8 1 Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке Решаем уравнение При х = - 1 значения у для прямой и функции равны -7 При х = - 11/3 значения у для прямой и функции не равны
B9. Найдите квадрат расстояния между вершинами С и А 3 многогранника, изображённого на рисунке. Расстояние между вершинами С и А 3 есть длина диагонали СА 3 некоторого прямоугольного параллелепипеда с измерениями: 3 х 1 0 х В Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений C 3 А 3 А 2 D 2 С 2 B 3 В 2 D1D1 C 1 B 1 D А В C А 1 D3D3 Все двугранные углы многогранника прямые а = = 2;b = 4;c = = 6; СА 3 2 = = Это один из способов решения
В10. Для обогрева помещения, температура в котором равна T п = 25°С, через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой T в = 49°С. где с - теплоёмкость воды и γ – коэффициент теплообмена α = 1,1 – постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 66 м? Расход проходящей через трубу воды m = 0,3 кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры T(°С), причём
1). Найдём значение α = 1,1; m = 0,3 кг/с). Подставим числовые данные в формулу х = 66 м; T п = 25°С; T в = 49°С). Решаем уравнение 3 х 1 0 х В T п = 37
B11. Найдите точку максимума функции Это обычная задача на «распознавание вида» точек экстремума функции Для её решения следует применить алгоритм 1) Найти область определения функции 2) Найти производную функции 3) Найти точки из области определения, в которых производная обращается в ноль 4) Найти точки из области определения, в которых производная не определена 5) Изобразить область определения функции и отметить на ней критические точки 6) Определить знак производной в каждой из полученных областей 7) Используя достаточные условия выбрать необходимые точки экстремума, согласно заданию 1) Область определения функции: (- ; +) 2) Производная функции:
0, тогда 4) На области определения функции определяем знаки у´ у" у х 2 16 + Точка х = 16 – точка максимума функции, так как при переходе через эту точку производная да" title="3) Находим точки из области определения, в которых у´ = 0: Для любого х е 3 – х > 0, тогда 4) На области определения функции определяем знаки у´ у" у х 2 16 + Точка х = 16 – точка максимума функции, так как при переходе через эту точку производная да" class="link_thumb"> 15 3) Находим точки из области определения, в которых у´ = 0: Для любого х е 3 – х > 0, тогда 4) На области определения функции определяем знаки у´ у" у х Точка х = 16 – точка максимума функции, так как при переходе через эту точку производная данной функции меняет знак с «плюса» на «минус» 3 х 1 0 х В х = 2; х = 16. 0, тогда 4) На области определения функции определяем знаки у´ у" у х 2 16 + Точка х = 16 – точка максимума функции, так как при переходе через эту точку производная да"> 0, тогда 4) На области определения функции определяем знаки у´ у" у х 2 16 + Точка х = 16 – точка максимума функции, так как при переходе через эту точку производная данной функции меняет знак с «плюса» на «минус» 3 х 1 0 х В 11 1 6 х = 2; х = 16."> 0, тогда 4) На области определения функции определяем знаки у´ у" у х 2 16 + Точка х = 16 – точка максимума функции, так как при переходе через эту точку производная да" title="3) Находим точки из области определения, в которых у´ = 0: Для любого х е 3 – х > 0, тогда 4) На области определения функции определяем знаки у´ у" у х 2 16 + Точка х = 16 – точка максимума функции, так как при переходе через эту точку производная да"> у х 2 16 + Точка х = 16 – точка максимума функции, так как при переходе через эту точку производная да" title="3) Находим точки из области определения, в которых у´ = 0: Для любого х е 3 – х > 0, тогда 4) На области определения функции определяем знаки у´ у" у х 2 16 + Точка х = 16 – точка максимума функции, так как при переходе через эту точку производная да">
B12. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? х кг – масса 1 го сплава, у кг – второго, которые надо взять, чтобы получить 200 кг сплава, содержащего 30% = 0,3 никеля. х + у = 200 Тогда 0,1 х – содержание никеля в 1 м сплаве,0,35 у – во 2 м 0,1 х + 0,35 у или 200 0,3 = 60 – никеля в 3 м сплаве 0,1 х + 0,35 у = ,5 у = 400; у = 160, тогда х = 40. На 160 – 40 = 120 (кг) масса первого сплава меньше 3 х 1 0 х В
