Zakon vztrajnosti kvadratnih oblik. Zgoraj smo že omenili, da je rang kvadratne oblike enak številu neničelnih kanoničnih koeficientov. Tako število neničelnih kanoničnih koeficientov ni odvisno od izbire nedegenerirane transformacije, s pomočjo katere se oblika reducira na kanonično obliko. Dejansko se pri kateri koli metodi redukcije oblike na kanonično obliko število pozitivnih in negativnih kanoničnih koeficientov ne spremeni. Ta lastnost se imenuje vztrajnostni zakon kvadratnih oblik.
Naj bo oblika v osnovi določena z matriko:
, (4.20)
kjer so koordinate vektorja v bazi e. Predpostavimo, da je ta oblika reducirana na kanonično obliko z uporabo nedegenerirane koordinatne transformacije
in sta neničelna kanonična koeficienta, oštevilčena tako, da je prvi od teh koeficientov pozitiven, naslednji koeficienti pa negativni:
, , …, , , …, .
Razmislite o naslednji nedegenerirani transformaciji koordinat:
Kot rezultat te preobrazbe bo oblika dobila obliko
imenujemo normalna oblika kvadratne oblike.
Izrek 4.5 (vztrajnostni zakon kvadratnih oblik). Število členov s pozitivnimi (negativnimi) koeficienti v normalni obliki kvadratne oblike ni odvisno od načina redukcije oblike na to obliko.
Posledica. Dve kvadratni obliki sta enakovredni, če in samo če sta ranga oblik enaka in pozitivni in negativni indeks vztrajnosti sovpadata.
Klasifikacija kvadratnih oblik. V tem razdelku bomo s pomočjo konceptov vztrajnostnega indeksa, pozitivnih in negativnih vztrajnostnih indeksov kvadratne oblike nakazali, kako lahko ugotovimo, ali kvadratna oblika pripada eni ali drugi od zgoraj naštetih vrst (pozitivno določena, negativno določena, izmenično in kvaziznakovno določeno). V tem primeru bomo vztrajnostni indeks kvadratne oblike imenovali število neničelnih kanoničnih koeficientov te oblike (tj. njen rang), pozitivni vztrajnostni indeks število pozitivnih kanoničnih koeficientov, negativni vztrajnostni indeks število negativnih kanonični koeficienti. Jasno je, da je vsota pozitivnega in negativnega indeksa vztrajnosti enaka indeksu vztrajnosti. Negativni in pozitivni vztrajnostni indeksi so povezani z relacijo, par ali pa se imenuje podpis kvadratna oblika.
Torej, naj bodo indeks vztrajnosti, pozitivni in negativni indeksi vztrajnosti kvadratne oblike enaki oziroma (). V prejšnjem odstavku je bilo dokazano, da je v kateri koli kanonski osnovi to obliko mogoče reducirati na naslednjo normalno obliko:
kjer so koordinate vektorja v bazi.
Primer 6 Poiščite normalno obliko in signaturo kvadratne oblike
Kanonična oblika te oblike je: . Postavimo , , . Potem. To je normalna oblika kvadratne oblike. Indeks pozitivne vztrajnosti: , indeks negativne vztrajnosti. Zato je podpis kvadratne oblike .
Izrek 4.6 (nujen in zadosten pogoj za predznak kvadratne oblike) Da bi bila kvadratna oblika, podana v n-dimenzionalnem linearnem prostoru L, predznačno določena, je nujno in zadostno, da je bodisi pozitivni indeks vztrajnosti bodisi negativni indeks vztrajnosti enak dimenziji prostora L. Poleg tega , če , potem je oblika pozitivno določna, če , potem je oblika negativno določna.
Komentiraj. Da bi razjasnili vprašanje dokončnega znaka kvadratne oblike z uporabo navedenega kriterija, moramo to obliko pripeljati do njene kanonične oblike.
Izrek 4.7 (nujen in zadosten pogoj za menjavo predznakov kvadratne oblike) Da bi bila kvadratna oblika izmenična, je nujno in zadostno, da sta pozitivni in negativni indeks vztrajnosti te oblike različna od nič.
Izrek 4.8 (nujen in zadosten pogoj za kvazipredznačno določenost kvadratne oblike) Da je oblika kvaziznakovno določna, je nujno in zadostno, da veljajo razmerja: ali , , ali , .
Sylvestrov kriterij za določen predznak kvadratne oblike. Naj bo oblika v bazi določena z matriko: in naj bodo , , …, kotni (glavni) minori in determinanta matrike . Naslednja izjava je resnična:
Izrek 4.9 (Sylvestrovo merilo) Da bi bila kvadratna oblika pozitivno določena, je nujno in zadostno, da so neenakosti , , …, .
Da bi bila kvadratna oblika negativno določena, je potrebno in zadostno, da se znaki kotnih minorov izmenjujejo in .
Posledica 1 Da bi bila kvadratna oblika negativno določena, je nujno in zadostno, da so vsi kotni minori sodega reda pozitivni in vsi kotni minori lihega reda negativni, sicer pa so izpolnjene neenakosti , , ..., , .
Posledica 2 Da bi bila kvadratna oblika nenegativna, je nujno in zadostno, da so vsi večji (ne samo kotni) minori njene matrike nenegativni.
Posledica 3 Da bi bila kvadratna oblika nepozitivna, je nujno in zadostno, da so vsi vodilni minori sodega reda nenegativni in vsi vodilni minori lihega reda nepozitivni.
Posledica 4 Da bi bila kvadratna oblika nedoločena (alternirajoča), je nujno in zadostno, da ima njena matrika negativni začetni minor sodega reda in dva vodilna minora lihih vrst različnih predznakov.
Primer 7 Raziščite kvadratne oblike za določnost predznaka:
1) Za matriko kvadratne oblike poiščite vse kotne minore
V tem primeru je spet nemogoče dati odgovor samo z vrednostmi kotnih manjših. Poiščimo vse glavne manjše. Nekotni glavni minori prvega reda so 2 in 4. Nekotni glavni minori drugega reda so , . Obstaja negativni vodilni minor sodega reda. Zato je kvadratna oblika nedoločena.
Torej, v skladu z izrekom o redukciji kvadratne oblike, za vsako kvadratno obliko \(A(x,x)\) obstaja kanonična baza \(\(f_1, \, f_2, ..., f_n\) \), torej za kateri koli vektor \(x\), \[ x=\sum _(k=1)^n\eta _kf_k,\quad A(x,x)=\sum _(k=1)^n \lambda _k\eta _k ^2. \] Ker ima \(A(x,x)\) realno vrednost in tudi naše osnovne spremembe vključujejo samo realna števila, sklepamo, da so števila \(\lambda _k\) realna. Med temi števili so pozitivna, negativna in enaka nič.
Opredelitev. Pokliče se število \(n_+\) pozitivnih števil \(\lambda _k\). pozitivni kvadratni indeks \(A(x,x)\), imenujemo število \(n_-\) negativnih števil \(\lambda _k\) negativni kvadratni indeks , se kliče število \((n_++n_-)\). rang kvadratne oblike . Če \(n_+=n\), se kliče kvadratna oblika pozitivno .
Na splošno redukcija kvadratne oblike na diagonalno obliko ni realizirana na edinstven način. Postavlja se vprašanje: ali so števila \(n_+\), \(n_-\) odvisna od izbire osnove, v kateri je kvadratna oblika diagonalna?
Izrek (Zakon vztrajnosti kvadratnih oblik). Pozitivni in negativni indeksi kvadratne oblike niso odvisni od metode njene redukcije na kanonično obliko.
Naj obstajata dve kanonični bazi, \(\(f\)\), \(\(g\)\), tako da je vsak vektor \(x\) predstavljen v obliki: \[ x=\sum_(k =1) ^n\eta _kf_k=\vsota _(m=1)^n\zeta _mg_m, \] in \[ A(x,x)=\vsota_(k=1)^n\lambda _k\eta _k ^2= \vsota _(m=1)^n\mu _m\zeta _m^2. \quad \quad(71) \] Naj bo med \(\lambda _k\) prvi \(p\) pozitiven, ostali negativni ali nič, med \(\mu_m\) prvi \(s\) pozitiven, ostali negativni ali ničelni. Dokazati moramo, da \(p=s\). Prepišimo (71): \[ \sum_(k=1)^p\lambda _k\eta _k^2-\sum _(m=s+1)^n\mu _m\zeta _m^2=-\sum_ ( k=p+1)^n\lambda _k\eta _k^2+\sum _(m=1)^s\mu _m\zeta _m^2, \quad \quad(72) \] torej vsi izrazi v obe strani enačbe sta nenegativni. Recimo, da \(p\) in \(s\) nista enaka, na primer \(p
Dokazali smo, da pozitivni indeksi sovpadajo. Podobno lahko dokažemo, da tudi negativni indeksi sovpadajo. itd.
1. Pretvorite kvadratne oblike v vsoto kvadratov:
a) \(x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2\);
Kvadratno obliko lahko reduciramo na normalno obliko z različnimi nedegeneriranimi linearnimi transformacijami (transformacijami koordinat). Postavlja se vprašanje: kako so različne normalne oblike iste kvadratne oblike povezane med seboj?
Pustiti Ln – n-dimenzionalni linearni prostor nad poljem R in naj ima kvadratno obliko j (A ). Spustiti noter Ln podlaga je podana e = (e 1 , e 2, … , e n ) naj gre A je matrika dane oblike v tej bazi. Pustiti e 1 = (e 1 1 , e 2 1, … , e n 1 ) je ena od osnov, v kateri j (A ) ima kanonično obliko in T prehodna matrika iz baze e do baze e 1 . V osnovi e 1 oblika j (A ) ima diagonalno matriko A 1. Po formuli (56) A 1 = T T × A× T. Matrike T in T T so nedegenerirani. Matrično množenje A na nesingularno matriko ne spremeni ranga matrike A, torej rang A= uvrstitev A 1, tj. v kateri koli bazi ima matrika kvadratne oblike enak rang.
Definicija 63. Uvrstitev kvadratna oblika, definirana na linearnem prostoru Ln je rang njene matrike v kateri koli bazi tega prostora.
Ker je rang diagonalne matrike enak številu neničelnih diagonalnih elementov, vsaka kanonična oblika dane kvadratne oblike vsebuje enako število kvadratov spremenljivk z neničelnimi koeficienti. To število je enako rangu obrazca. Zato je trditev dokazana:
Izrek 66. Kompleksno kvadratno obliko je mogoče reducirati na isto normalno obliko s katero koli nedegenerirano linearno transformacijo, ki je sestavljena iz r kvadratov spremenljivk z enotskimi koeficienti, tj. j= x 1 2 + x 2 2+ … + x r 2.
Če polje R je polje realnih števil, potem bo normalna oblika kvadratne oblike j (A ) = x 1 2 + x 2 2 + … + x do 2 – x k+1 2– … – x r 2.
Opredelitev 64. Število kvadratov spremenljivk, vključenih s koeficientom (+1) v normalni obliki realne kvadratne oblike, se imenuje pozitivni vztrajnostni indeks ta obrazec. Pokličemo število kvadratov s koeficientom (–1). negativni vztrajnostni indeks , razlika med številom spremenljivk in rangom kvadratne oblike (tj. n – r) se imenuje ona okvara .
Izrek 67(vztrajnostni zakon kvadratnih oblik ). Število pozitivnih in število negativnih kvadratov v normalni obliki, na katere se z realno nedegenerirano linearno transformacijo reducira kvadratna oblika z realnimi koeficienti, ni odvisno od izbire te transformacije.
Dokaz. Pustiti j (A ) – kvadratna oblika, podana v osnovi e = (e 1 , e 2, … , e n ) linearni prostor Ln nad poljem R ,A = x 1 e 1 + x 2 e 2 + … + x n e n . Naj se ta oblika reducira na dva načina na dve normalni obliki. Glede na prejšnje rezultate obe normalni obliki vsebujeta enako število kvadratov spremenljivk s koeficienti, ki niso nič. Pustiti
j = y 1 2 + y 2 2 + … + y do 2 – y k+1 2 – … – letnik 2 =
= z 1 2 + z 2 2 + … + z r 2 – z r+1 2 – … – z r 2. (*)
Pustiti u i = , і = 1, 2, … , n(**), In z ј = , ј = 1, 2, … , n (***).
Ker te formule definirajo nedegenerirane transformacije, so njihove determinante različne od nič. Dovolj je dokazati to k = r. Pretvarjajmo se, da Za¹ R. Brez izgube splošnosti lahko domnevamo, da Za< R. Ustvarimo sistem enačb y 1 = y 2 = ... = y k = z p+1 = ... = z r = z r+1 = ... = z n = 0. To je sistem n – str+ Za linearne homogene enačbe iz n neznano. Ker je število enačb manjše od števila neznank, ima rešitve, ki niso nič. Pustiti ( x 1 0, x 2 0, …, x n 0) je eden izmed njih. Če to rešitev nadomestimo v formuli (**) in (***), izračunamo vse u i in z ј in jih nadomestite v enakost (*). Dobimo -( y k+1 0) 2 – … – (y r 0) 2 = (z 1 0) 2 +(z 2 0) 2 + … +(z r 0) 2 . Ta enakost je mogoča, če in samo, če y k+1 0 = … = y r 0 = z 1 0 =z 2 0 = … = z r 0= 0. Ugotovili smo, da sistem z 1 =z 2 = … = z р = z р+1 = … = z r = z r+1 = … = z n = 0 ima različno rešitev ( x 1 0, x 2 0, …, x n 0), kar je nemogoče, ker rang tega sistema je n. Naša predpostavka je torej napačna. torej k = r.
9.5. Pozitivno določene kvadratne oblike
Opredelitev 65. Realna kvadratna oblika se imenuje pozitivno določeno , če za kateri koli vektor A ¹ 0 pojavi j (A ) > 0.
Izrek 68. Realna kvadratna oblika je pozitivno določena, če in samo če sta njen rang in pozitivni vztrajnostni indeks enaka številu neznank.
Dokaz.Þ Naj j (A ) je realna pozitivno določena kvadratna oblika. Naj se vrne v normalno stanje
y 1 2 + y 2 2 + … + y do 2 – y k+1 2 – … – letnik 2 (*),
v kateri bodisi r< n , oz r = n, Ampak Za< n . Naj bo transformacija koordinat, s pomočjo katere se oblika reducira na normalno obliko, podana s formulami u i= (**). Determinant teh formul je drugačen od nič. če r< n, potem ga bomo vzeli y 1 = y 2 = … = y n–1 = 0, y n= 1 in ga nadomestite v (**). Vzemimo sistem n linearne nehomogene enačbe z n neznana in z determinanto, različno od nič. Po Cramerjevem pravilu ima ta sistem edinstveno rešitev. Očitno ta rešitev ni nič, zato definira vektor, ki ni nič A . Potem pa j (A ) = 0, kar je v nasprotju z definicijo pozitivno določene oblike. Podobno pridemo do protislovja v primeru r = n, Ampak Za< n . Torej, če je oblika pozitivno določena, potem je njena normalna oblika takšna y 1 2 + y 2 2 + … + da n 2. To pomeni, da sta rang in pozitivni indeks vztrajnosti enaka n.
Ü Rang in pozitivni vztrajnostni indeks realne kvadratne oblike sta enaka n. Dokažite si, da je oblika pozitivno določena.
Zapomnimo si brez dokaza še en izrek o pozitivno določenih realnih kvadratnih oblikah.
Izrek 69 . Realna kvadratna oblika je pozitivno določena, če in samo če so vsi vodilni minori njene matrike pozitivni.
Izrek 70. Kvadrat dolžine vektorja v kateri koli bazi evklidskega prostora je podan s pozitivno določeno kvadratno obliko.
Dokaz. Pustiti E n – n-razsežni evklidski prostor, e = (e 1 , e 2, … , e n ) je osnova v njem in G je Gramova matrika, ki določa skalarni produkt vektorjev v tej bazi. če A = x 1 e 1 + x 2 e 2 + … + x n e n , V = ob 1 e 1 + ob 2 e 2 + … + y n e n , to ( a, c) = x T × G× pri, Kje x T– vektorski koordinatni niz A , y – vektorski koordinatni stolpec V . torej A 2 = (A , A ) = x T × G× X.Če primerjamo s formulo (60), dobimo to x T × G× X obstaja kvadratna oblika z matriko G. V vesolju E n obstaja ortonormirana osnova. V tej osnovi A 2 = x 1 2 + x 2 2+…+ x n 2. Toda to pomeni, da je pri prehodu na ortonormirano osnovo kvadratna oblika x T × G× X reduciran v normalno obliko x 1 2 + x 2 2+…+ x n 2. Z izrekom 68 ugotovimo, da je oblika x T × G× X je pozitivno določeno.
Primer. Katere od naslednjih kvadratnih oblik so pozitivno določene?
1. 4x 1 2 – x 1 x 2 + 3x 2 2 – x 2 x 3+ 6x 2 x 4.
2. 4x 1 x 2 – x 1 x 3 + 2x 2 2 – 4x 2 x 3+ 3x 2 x 4+ 5x 4 2 .
3. 4x 1 2 – 5x 1 x 2 + 3x 2 2 – 2x 2 x 3+ x 3 2 + 4x 2 x 4 – x 4 2 .
rešitev. Na vprašanje lahko odgovorimo na dva načina: reduciramo obliko na kanonično obliko ali izračunamo glavne minore matrike dane oblike. Za prvo obliko uporabljamo prvo metodo, za drugo in tretjo - drugo metodo.
1. 4x 1 2 – x 1 x 2 + 3x 2 2 – x 2 x 3+ 6x 2 x 4 = (4x 1 2 – x 1 x 2+ ) – + 3x 2 2 – x 2 x 3+ 6x 2 x 4 =
V 1. odstavku 2. odstavka tega poglavja (glej 2. definicijo) so bili uvedeni koncepti pozitivno določene, negativno določene, izmenične in kvaziznakovno določene kvadratne oblike.
V tem razdelku bomo s pojmi vztrajnostnega indeksa, pozitivnih in negativnih vztrajnostnih indeksov kvadratne oblike pokazali, kako lahko ugotovimo, ali kvadratna oblika pripada eni ali drugi od zgoraj naštetih vrst. V tem primeru bomo vztrajnostni indeks kvadratne oblike imenovali število neničelnih kanoničnih koeficientov te oblike (tj. njen rang), pozitivni vztrajnostni indeks število pozitivnih kanoničnih koeficientov in negativni vztrajnostni indeks število negativnih kanonični koeficienti. Jasno je, da je vsota pozitivnega in negativnega indeksa vztrajnosti enaka indeksu vztrajnosti.
Naj bodo torej vztrajnostni indeks, pozitivni in negativni vztrajnostni indeksi kvadratne oblike enaki . V prejšnjem odstavku je bilo dokazano, da je v kateri koli kanonski osnovi to obliko mogoče reducirati na naslednjo normalno obliko:
kjer so koordinate vektorja x v bazi.
1°. Potreben in zadosten pogoj za predznak kvadratne oblike.
Naslednja izjava je resnična:
Da bi bila kvadratna oblika, podana v n-dimenzionalnem linearnem prostoru, določenega predznaka, je nujno in zadostno, da je bodisi pozitiven indeks vztrajnosti bodisi negativen indeks vztrajnosti enak razsežnosti prostora.
Poleg tega, če , potem je oblika pozitivno določena, in če , potem je oblika negativno določena.
Dokaz. Ker sta primera pozitivno določne oblike in nikalno določne oblike obravnavana podobno, bomo dokaz trditve izvedli za pozitivno določne oblike.
1) Nujnost. Naj bo oblika pozitivno določna. Potem bo izraz (7.35) dobil obliko
Če hkrati, potem iz zadnjega izraza sledi, da za neničelni vektor x s koordinatami
oblika izgine, kar je v nasprotju z definicijo pozitivno določene kvadratne oblike. torej
2) Zadostnost. Naj Potem ima razmerje (7.35) obliko . Jasno je, da je kje, če , potem, tj. vektor x enak nič. Zato je pozitivno določna oblika.
Komentiraj. Da bi razjasnili vprašanje dokončnega znaka kvadratne oblike z uporabo navedenega kriterija, moramo to obliko pripeljati do njene kanonične oblike.
V naslednjem razdelku bomo dokazali Silvestrov kriterij za določen predznak kvadratne oblike, s pomočjo katerega lahko razjasnimo vprašanje določnega predznaka oblike, podane v katerikoli bazi brez redukcije na kanonično obliko.
2°. Potreben in zadosten pogoj za menjavo predznakov kvadratne oblike.
Dokažimo naslednjo trditev:
Da bi bila kvadratna oblika izmenična, je nujno in zadostno, da sta pozitivni in negativni indeks vztrajnosti te oblike različna od nič.
Dokaz. 1) Nujnost. Ker ima izmenična oblika tako pozitivne kot negativne vrednosti, mora njena predstavitev (7.35) v normalni obliki vsebovati tako pozitivne kot negativne člene (sicer bi ta oblika zavzela nenegativne ali nepozitivne vrednosti). Posledično sta tako pozitivni kot negativni vztrajnostni indeks različna od nič.
2) Zadostnost. Pustiti . Potem za vektor s koordinatami imamo , in za vektor s koordinatami imamo .
Individualne spletne ure: Oddajte svojo zahtevo zdaj: [e-pošta zaščitena]§ 4. Vztrajnostni zakon kvadratnih oblik. Klasifikacija kvadratnih oblik
1. Zakon vztrajnosti kvadratnih oblik. Omenili smo že (glej 2. opombo 1. odstavka prejšnjega odstavka), da je rang kvadratne oblike enak številu neničelnih kanoničnih koeficientov. Tako število neničelnih kanoničnih koeficientov ni odvisno od izbire nedegenerirane transformacije, s pomočjo katere se oblika A(x, x) reducira na kanonično obliko. Pravzaprav se pri kateri koli metodi redukcije oblike A(x, x) na kanonično obliko število pozitivnih in negativnih kanoničnih koeficientov ne spremeni. Ta lastnost se imenuje vztrajnostni zakon kvadratnih oblik.
Preden preidemo na utemeljitev zakona vztrajnosti, naredimo nekaj pripomb.
Naj bo oblika A(x, x) v bazi e = (e 1, e 2,..., e n) določena z matriko A(e) = (a ij):
kjer so ξ 1, ξ 2, ..., ξ n koordinate vektorja x v bazi e. Predpostavimo, da je ta oblika reducirana na kanonično obliko z uporabo nedegenerirane transformacije koordinat
in λ 1 , λ 2 ,..., λ k- neničelni kanonični koeficienti, oštevilčeni tako, da je prvi q teh koeficientov pozitiven, naslednji koeficienti pa negativni:
λ 1 > 0, λ 2 > 0, ..., λ q> 0, λ q+1< 0, ..., λ k <0.
Razmislite o naslednji nedegenerirani koordinatni transformaciji μ i (lahko je videti, da je determinanta te transformacije različna od nič):
Kot rezultat te transformacije bo oblika A(x, x) dobila obliko
imenujemo normalna oblika kvadratne oblike.
Torej z uporabo neke nedegenerirane transformacije koordinat ξ 1, ξ 2, ..., ξ n vektorja x v bazi e = (e 1, e 2,..., e n)
(ta transformacija je produkt transformacij ξ v μ in μ v η po formulah (7.30)) lahko kvadratno obliko reduciramo na normalno obliko (7.31).
Dokažimo naslednjo trditev.
Izrek 7.5 (vztrajnostni zakon kvadratnih oblik). Število členov s pozitivnimi (negativnimi) koeficienti v normalni obliki kvadratne oblike ni odvisno od načina redukcije oblike na to obliko.
Dokaz. Naj bo oblika A(x, x) reducirana na normalno obliko (7.31) z uporabo nedegenerirane transformacije koordinat (7.32) in reducirana na normalno obliko z uporabo druge nedegenerirane transformacije koordinat
Očitno je za dokaz izreka dovolj, da preverimo enakost p = q.
Naj bo p > q. Prepričajmo se, da v tem primeru obstaja neničelni vektor x, tako da so glede na baze, v katerih ima oblika A(x, x) obliko (7.31) in (7.33), koordinate η 1, η 2, ..., η q in ζ r+1 , ..., ζ n tega vektorja so enake nič:
η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η q = 0, ζ р+1 = 0, ..., ζ n = 0 (7.34)
Ker koordinate η jaz dobimo z nedegenerirano transformacijo (7.32) koordinat ξ 1, ..., ξ n in koordinat ζ jaz- z uporabo podobne nedegenerirane transformacije istih koordinat ξ 1, ..., ξ n lahko relacije (7.34) obravnavamo kot sistem linearnih homogenih enačb za koordinate ξ 1, ..., ξ n želeni vektor x v bazi e = ( e 1, e 2,..., e n) (npr. v razširjeni obliki ima relacija η 1 = 0 po (7.32) obliko a 11 ξ 1 + a 12 ξ 2 + a 1 n ξ n= 0) - Ker je p > q, je število homogenih enačb (7.34) manjše od n, zato ima sistem (7.34) različno rešitev glede na koordinate ξ 1, ..., ξ n želeni vektor x. Posledično, če je p > q, potem obstaja neničelni vektor x, za katerega so izpolnjena razmerja (7.34).
Izračunajmo vrednost oblike A(x, x) za ta vektor x. Če se obrnemo na razmerja (7.31) in (7.33), dobimo
Zadnja enakost se lahko zgodi le v primeru η q+1 = ... = η k = 0 in ζ 1 = ζ 2 = ... = ζ р = 0.
Tako so v neki bazi vse koordinate ζ 1, ζ 2, ..., ζ n neničelni vektor x enak nič (glej zadnje enačbe in relacije (7.34)), tj. vektor x je enak nič. Zato predpostavka p > q vodi v protislovje. Iz podobnih razlogov velja domneva p< q.
Torej je p = q. Izrek je dokazan.
2. Klasifikacija kvadratnih oblik. V 1. odstavku §2 tega poglavja (glej 2. definicijo) so bili uvedeni koncepti pozitivno določene, negativno določene, izmenične in kvaziznakovno določene kvadratne oblike.
V tem razdelku bomo s pojmi vztrajnostnega indeksa, pozitivnih in negativnih vztrajnostnih indeksov kvadratne oblike pokazali, kako lahko ugotovimo, ali kvadratna oblika pripada eni ali drugi od zgoraj naštetih vrst. V tem primeru bo indeks vztrajnosti kvadratne oblike število neničelnih kanoničnih koeficientov te oblike (tj. njen rang), pozitivni indeks vztrajnosti število pozitivnih kanoničnih koeficientov, negativni indeks vztrajnosti število negativnih kanoničnih koeficientov. koeficientov. Jasno je, da je vsota pozitivnega in negativnega indeksa vztrajnosti enaka indeksu vztrajnosti.
Naj bodo torej indeks vztrajnosti, pozitivni in negativni indeksi vztrajnosti kvadratne oblike A(x, x) enaki k, p in q (k = p + q) v prejšnjem odstavku je bilo dokazano, da je v kateri koli kanonična osnova f = (f 1 , f 2 , ..., f n) se ta oblika lahko reducira na naslednjo normalno obliko:
kjer so η 1, η 2, ..., η n koordinate vektorja x v bazi f.
1°. Potreben in zadosten pogoj za predznak kvadratne oblike. Naslednja trditev drži.
Da bi bila kvadratna oblika A(x, x), definirana v n-dimenzionalnem linearnem prostoru L, določenega predznaka, je potrebno in zadostno, da je bodisi pozitiven indeks vztrajnosti p ali negativen indeks vztrajnosti q enaka dimenziji n prostora L.
Še več, če je p = n, potem je oblika pozitivno določena, če pa je q = n, potem je oblika negativno določena.
Dokaz. Ker sta primera pozitivno določne oblike in nikalno določne oblike obravnavana podobno, bomo dokaz trditve izvedli za pozitivno določne oblike.
1) Nujnost. Naj bo oblika A(x, x) pozitivno določena. Potem bo izraz (7.35) dobil obliko
A(x,x) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η p 2.
Če hkrati p< n , то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами
η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0
oblika A(x, x) izgine, kar je v nasprotju z definicijo pozitivno določene kvadratne oblike. Zato je p = n.
2) Zadostnost. Naj bo p = n. Potem ima zveza (7.35) obliko A(x,x) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η р 2. Jasno je, da je A(x, x) ≥ 0, in če je A = 0, potem je η 1 = η 2 = ... = η n= 0, kar pomeni, da je vektor x enak nič. Zato je A(x, x) pozitivno določena oblika.
Komentiraj. Da bi razjasnili vprašanje dokončnega znaka kvadratne oblike z uporabo navedenega kriterija, moramo to obliko pripeljati do njene kanonične oblike.
V naslednjem razdelku bomo dokazali Silvestrov kriterij za določen predznak kvadratne oblike, s pomočjo katerega lahko razjasnimo vprašanje določnega predznaka oblike, podane v katerikoli bazi brez redukcije na kanonično obliko.
2°. Potreben in zadosten pogoj za menjavo predznakov kvadratne oblike. Dokažimo naslednjo trditev.
Da bi bila kvadratna oblika izmenična, je nujno in zadostno, da sta pozitivni in negativni indeks vztrajnosti te oblike različna od nič.
Dokaz. 1) Nujnost. Ker ima izmenična oblika tako pozitivne kot negativne vrednosti, mora njena predstavitev G.35) v normalni obliki vsebovati tako pozitivne kot negativne člene (sicer bi ta oblika imela nenegativne ali nepozitivne vrednosti). Posledično sta tako pozitivni kot negativni vztrajnostni indeks različna od nič.
2) Zadostnost. Naj bo r ≠ 0 in q ≠ 0. Potem je za vektor x 1 s koordinatami η 1 ≠ 0, ..., η р ≠ 0, η р+1 = 0, ..., η n = 0 imamo A(x 1 x 1) > 0, za vektor x 2 s koordinatami η 1 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0 imamo A(x 2, x 2)< 0. Следовательно, форма А(х, х) является знакопеременной.
3°. Nujen in zadosten pogoj za kvazipredznačno določenost kvadratne oblike. Naslednja trditev drži.
Da bi bila oblika A(x, x) kvaziznakovno določena, je nujno in zadostno, da veljajo naslednje relacije: bodisi p< n
,
q = 0, либо р = 0, q < n
.
Dokaz. Upoštevali bomo primer pozitivne kvaziznakovno določene oblike. Podobno se obravnava primer negativne kvaziznakovne določne oblike.
1) Nujnost. Naj bo oblika A(x, x) pozitivno kvazipredznačno določena. Potem je očitno q = 0 in p< n
(если бы р =
n
, то форма была бы положительно определенной),
2) Zadostnost. Če p< n
, q = 0, то А(х, х)
≥ 0
и для ненулевого вектора х с координатами
η 1 = 0, η
2 = 0,
..., η
р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0 imamo A(x, x) = 0, tj. A(x, x) je pozitivna kvazipredznačno določena oblika.
3. Sylvestrov kriterij (James Joseph Sylvester (1814-1897) - angleški matematik) za znak kvadratne oblike. Naj bo oblika A(x, x) v bazi e = (e 1, e 2,..., e n) določena z matriko A(e) = (a ij):
naj gre Δ 1 = a 11, 
- kotni minori in matrična determinanta (a ij). Naslednja trditev drži.
Izrek 7.6 (Sylvestrov kriterij). Da bi bila kvadratna oblika A(x, x) pozitivno določena, je nujno in dovolj, da so izpolnjene neenakosti Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0.
Da bi bila kvadratna oblika negativno določena, je nujno in zadostno, da se znaki kotnih minorov izmenjujejo, pri čemer je Δ 1< 0.
Dokaz. 1) Nujnost. Najprej dokažimo, da iz pogoja, da je kvadratna oblika A(x, x) predznačno določena, sledi Δ i ≠ 0, i = 1, 2,..., n.
Prepričajmo se, da je predpostavka Δ k= 0 vodi v protislovje - pod to predpostavko obstaja neničelni vektor x, za katerega je A(x, x) = 0, kar je v nasprotju s predznakom oblike.
Naj torej Δ k= 0. Razmislite o naslednjem kvadratnem homogenem sistemu linearnih enačb:
Ker je Δ k je determinanta tega sistema in Δ k= 0, potem ima sistem neničelno rešitev ξ 1, ξ 2, ..., ξ k (vsi ξ i niso enaki 0). Pomnožimo prvo od enačb (7.36) z ξ 1, drugo z ξ 2, ..., zadnjo z ξ k in seštejemo nastale relacije. Kot rezultat dobimo enakost 
, katerega leva stran predstavlja vrednost kvadratne oblike A(x, x) za neničelni vektor x s koordinatami (ξ 1, ξ 2, ..., ξ k, 0, ..., 0) . Ta vrednost je nič, kar je v nasprotju z določenim znakom obrazca.
Torej smo prepričani, da Δ jaz≠ 0, i = 1, 2,..., n. Zato lahko uporabimo Jacobijevo metodo redukcije oblike A(x, x) na vsoto kvadratov (glej izrek 7.4) in uporabimo formule (7.27) za kanonične koeficiente λ jaz. Če je A(x, x) pozitivno določena oblika, potem so vsi kanonični koeficienti pozitivni. Toda potem iz relacij (7.27) sledi, da je Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0. Če je A(x, x) negativno določena oblika, potem so vsi kanonični koeficienti negativni. Toda potem iz formul (7.27) sledi, da se znaki kotnih minorjev izmenjujejo in Δ 1< 0.
2) Zadostnost. Naj bodo izpolnjeni pogoji, naloženi kotnim minorjem Δ jaz v formulaciji izreka. Ker je Δ jaz≠ 0, i = 1, 2,..., n, potem lahko obliko A reduciramo na vsoto kvadratov z Jacobijevo metodo (glej izrek 7.4) in kanonične koeficiente λ jaz je mogoče najti z uporabo formul (7.27). Če je Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0, potem iz razmerij (7.27) sledi, da so vsi λ jaz> 0, kar pomeni, da je oblika A(x, x) pozitivno določena. Če so znaki Δ jaz izmenično in Δ 1< 0, то из соотношений (7.27) следует,
что форма А(х, х) отрицательно определенная. Теорема доказана.
