1. januarja 2015 si je Aleksander Sergejevič pri banki izposodil 1,1 milijona rubljev. Shema odplačevanja posojila je naslednja - 1. vsakega naslednjega meseca banka zaračuna 1 odstotek preostalega dolga (to je, poveča dolg za 1%), nato Aleksander Sergejevič nakaže plačilo na banko. Za kakšno najmanjše število mesecev lahko Aleksander Sergejevič najame posojilo, tako da mesečna plačila ne presegajo 275 tisoč rubljev?
Rok posojila bo minimalen, če so plačila največja in znašajo 275 tisoč rubljev.
Izračunajmo koeficient povečanja. Naj bo znesek posojila $ S $, obrestna mera pa $ a $%. Nato se prvi dan vsakega meseca preostali znesek dolga pomnoži s koeficientom $ 1 + 0,01a $, saj je $ S + \ frac (S) (100) \ cdot a = \ left (1 + 0,01a \ desno) S $. Po pogoju je $ a = 1 $%, kar pomeni, da je koeficient $ 1 + 0,01 \ cdot 1 = 1,01 $.
Naredimo tabelo, v prvem stolpcu katere bomo navedli dolg prvi dan v mesecu, v drugem pa dolg v istem mesecu, vendar po plačilu.
| mesec | Bančni dolg (rub.) | Preostali dolg po plačilu (RUB) |
| 0 | 1 100 000 | – |
| 1 | 1.100.000 $ \ cdot 1,01 = 1.111.000 $ | 1111000 – 275000 = 836 000 |
| 2 | 836.000 $ \ cdot 1,01 = 844 360 $ | 844 360 – 275 000 = 569 360 |
| 3 | $569 3601,01 = 575 053,6$ | 575 053,6 – 275 000 = 300 053,6 |
| 4 | 300.053,6 $ \ cdot 1,01 = 303 054 136 $ | 303 054,136 – 275 000 = 28 054,136 |
| 5 | 28.054,136 $ \ cdot 1,01 = 28 334,67736 $ | 28 334,67736 – 28 334,67736 = 0 |
Upoštevajte, da bo v 4 mesecih Alexander Sergejevič plačal 1,1 milijona rubljev. Tako dolga ne bo pokrila z obrestmi. Vsak mesec se dolg poveča za največ 1.100.000,01 = 11.000 rubljev. To pomeni, da bo moral Aleksander Sergejevič v petih mesecih plačati največ 1.100.000 + 511.000 = 1.155.000 rubljev, kar je manj kot 5.275.000 = 1.375.000 rubljev. Tako bo Aleksander Sergejevič lahko odplačal posojilo v 5 mesecih.
Priprava na izpit iz matematike 11
Opis materiala: Ponujam vam članek, ki prikazuje načine za reševanje gospodarskih težav za posojila. Opisana sta dve vrsti posojil: z anuitetnim in diferenciranim plačilom. To gradivo bo uporabno za učitelje matematike v 10.-11. razredu pri pripravi na izpit iz matematike na profilni ravni (naloga 17).Anuitete in diferencirana plačila
1. Plačilo rente- predstavlja enake mesečne tranše (plačila), raztegnjene na celotno obdobje posojila. Znesek tranše vključuje: del posojilnega dolga in obračunane obresti. Hkrati je v prvih mesecih (ali letih) posojila večji del tranše obresti, manjši del pa odplačan del glavnice. Proti koncu kreditiranja se delež spremeni: večina tranše se porabi za odplačilo "telesa" posojila, manjši del - za obresti. Hkrati skupna velikost tranše ostane vedno enaka.
2. Diferencialno plačilo- predstavlja neenake mesečne tranše, ki se sorazmerno znižujejo v času trajanja posojila. Največja plačila - v prvem četrtletju mandata, najmanjša - v četrtem četrtletju. "Srednja" plačila so običajno primerljiva z rento. Mesečno se telo posojila zmanjša za enak delež, odstotek pa se obračuna na stanje dolga. Zato se znesek tranše razlikuje od plačila do plačila. Če problem vsebuje besedi "enaka plačila" ali "dolg se zmanjša za enak znesek", potem govorimo o diferenciranem plačilu.
Načini reševanja gospodarskih težav za posojila
Predlagam, da razmislimo o rešitvah gospodarskih problemov za posojila na načine, ki so na voljo študentom.
Naloge za posojilo z odplačilom rente
Cilj 1.Cilj 2.
Dmitrij je 31. decembra 2014 od banke vzel 4.290.000 rubljev posojila pod 14,5 letno. Shema odplačila posojila je naslednja - 31. decembra naslednjega leta banka zaračuna obresti na preostali dolg (to pomeni, da poveča dolg za 14,5%), nato Dmitrij na banko nakaže x rubljev. Kolikšen naj bo znesek x, da Dmitrij odplača dolg v dveh enakih obrokih (to je v dveh letih)?
rešitev:
Dmitrij je najel bančno posojilo v višini 4.290.000 rubljev.
To pomeni, da je znesek plačila 2622050 rubljev.
odgovor: 2.622.050 rubljev.
Naloge za posojilo z diferenciranim plačilom
Pri reševanju problemov za posojila z diferenciranim plačilom se lahko obračunane obresti za celotno obdobje kreditiranja izračunajo po formuli za vsoto prvih n členov aritmetične progresije. Nato poiščite celoten znesek plačila. Verjamem, da bo ta metoda za študente preprosta in razumljiva.
Problem 3
15. januarja je načrtovano najem bančnega posojila v višini 2,4 milijona rubljev za 24 mesecev. Pogoji za vračilo so naslednji:
- 1. dan v mesecu se dolg poveča za 3 % glede na konec prejšnjega meseca;
Koliko je treba banki plačati v prvih 12 mesecih?
rešitev:
2.400.000: 24 = 100.000 (str.)) In obresti, ki so prišle na stanje. Vsak mesec se dolg zmanjša za 100.000 rubljev.
Znesek obračunanih "obresti" za 12 mesecev (v milijonih rubljev):
Aritmetično napredovanje v oklepajih. Uporabili smo formulo za vsoto prvih n členov aritmetične progresije:
Problem 4
15. januarja je predviden najem bančnega posojila za 5 mesecev. Pogoji za vračilo so naslednji:
- od 2. do 14. dneva vsakega meseca je treba plačati del dolga;
- Vsak 15. dan v mesecu mora biti dolg za en znesek manjši od dolga na 15. dan v preteklem mesecu.
Koliko odstotkov zneska kredita je skupni znesek denarja, ki ga je treba banki plačati za celotno obdobje posojila?
rešitev:
Naj banka vzame posojilo S rubljev. Mesečno plačilo je sestavljeno iz zneska mesečnega dolga (je enak
)
Znesek obračunanih obresti za 5 mesecev:
Skupno bo banka plačala S + 0,03S = 1,03S. To pomeni, da je skupni znesek izplačanega denarja iz zneska posojila 103 %.
odgovor: 103%.
Problem 5
15. januarja je načrtovano najem bančnega posojila v višini 2,4 milijona rubljev za 24 mesecev. Pogoji za vračilo so naslednji:
- od 2. do 14. dneva vsakega meseca je treba plačati del dolga;
- Vsak 15. dan v mesecu mora biti dolg za en znesek manjši od dolga na 15. dan v preteklem mesecu.
Koliko je treba banki plačati v zadnjih 12 mesecih?
rešitev:
Mesečno plačilo je sestavljeno iz zneska mesečnega dolga (enako je 2.400.000: 24 = 100.000 (rubljev)) in obresti, ki so prišle na stanje. Vsak mesec se dolg zmanjša za 100.000 rubljev.
Znesek obračunanih obresti za zadnjih 12 mesecev (v milijonih):
Aritmetično napredovanje v oklepajih. Uporabili smo formulo:
Problem 6
- 1. dan v mesecu se dolg poveča za 3 % glede na konec prejšnjega meseca;
- od 2. do 14. dneva vsakega meseca je treba plačati del dolga;
- Vsak 15. dan v mesecu mora biti dolg za en znesek manjši od dolga na 15. dan v preteklem mesecu.
Znano je, da je osmo plačilo znašalo 99,2 tisoč rubljev. Koliko je treba vrniti banki v celotnem obdobju posojila?
rešitev:
Mesečno plačilo je sestavljeno iz zneska mesečnega dolga (je enak
In obračunane obresti na preostanek. Vsak mesec se dolg zmanjša za
Za 7 mesecev plačano
Iz tega pogoja najdemo S.
To pomeni, da bo za celotno obdobje kreditiranja plačanih 1.488.000 rubljev.
odgovor: 1.488.000 rubljev.
Problem 7
15. januarja je predviden najem bančnega posojila za 9 mesecev. Pogoji za vračilo so naslednji:
- vsak 1. dan v mesecu se dolg poveča za r % glede na konec prejšnjega meseca;
- od 2. do 14. dneva vsakega meseca je treba plačati del dolga;
- Vsak 15. dan v mesecu mora biti dolg za enak znesek manjši od dolga na 15. dan v preteklem mesecu.
Znano je, da je skupni znesek denarja, ki ga je treba banki plačati za celotno obdobje posojila, 15 % več od zneska, vzetega za posojilo. Poiščite r.
rešitev:
Vzemimo posojilo S rubljev.
Mesečno plačilo je sestavljeno iz zneska mesečnega dolga (je enak
To pomeni, da je treba dolg plačati 9 mesecev - S rubljev plus znesek obresti, ki se obračunajo na stanja na mesečni ravni:
Problem 8
15. januarja je predviden najem bančnega posojila za 15 mesecev. Pogoji za vračilo so naslednji:
- vsak 1. dan v mesecu se dolg poveča za 1 % glede na konec prejšnjega meseca;
- od 2. do 14. dneva vsakega meseca je treba plačati del dolga;
- Vsak 15. dan v mesecu mora biti dolg za en znesek manjši od dolga na 15. dan v preteklem mesecu.
Znano je, da je bilo osmo plačilo 108 tisoč rubljev. Koliko je treba vrniti banki v celotnem obdobju posojila?
rešitev:
Vzemimo posojilo S rubljev.
Mesečno plačilo je sestavljeno iz zneska mesečnega dolga (je enak
In obresti, ki so prišle na preostanek. Vsak mesec se dolg zmanjša za
To pomeni, da je treba dolg plačati v 15 mesecih - S rubljev in mesečne obresti, ki se obračunajo na preostanek:
Za 7 mesecev plačano
Iz tega pogoja najdemo S.
Osmo plačilo je sestavljeno iz zneska mesečnega plačila dolga
In obresti na znesek dolga po sedmem plačilu:
Problem 9
15. januarja je predviden najem bančnega posojila za 18 mesecev. Pogoji za vračilo so naslednji:
- vsak 1. dan v mesecu se dolg poveča za 2 % glede na konec prejšnjega meseca;
- od 2. do 14. dneva vsakega meseca je treba plačati del dolga;
- Vsak 15. dan v mesecu mora biti dolg za en znesek manjši od dolga na 15. dan v preteklem mesecu.
Koliko odstotkov zneska kredita je skupni znesek denarja, ki ga je treba banki plačati za celotno obdobje posojila?
rešitev:
Vzemimo posojilo S rubljev.
Mesečno plačilo je sestavljeno iz zneska mesečnega dolga (je enak
In obresti, ki so prišle na preostanek. Vsak mesec se dolg zmanjša za
To pomeni, da je treba dolg plačati v 18 mesecih - S rubljev in znesek mesečnih obresti, ki se obračunajo na preostanek:
To pomeni, da znesek denarja, plačanega banki, znaša 119 % dolgovanega zneska.
odgovor: 119%.
Problem 10
15. januarja je predviden najem bančnega posojila za 24 mesecev. Pogoji za vračilo so naslednji:
- vsak 1. dan v mesecu se dolg poveča za 1 % glede na konec prejšnjega meseca;
- od 2. do 14. dneva vsakega meseca je treba plačati del dolga;
- Vsak 15. dan v mesecu mora biti dolg za en znesek manjši od dolga na 15. dan v preteklem mesecu.
Znano je, da morate v prvih 12 mesecih banki plačati 177,75 tisoč rubljev. Koliko si nameravate izposoditi?
rešitev:
Vzemimo posojilo S rubljev.
Mesečno plačilo je sestavljeno iz zneska mesečnega dolga (je enak
In obresti, pripisane preostalemu znesku). Vsak mesec se dolg zmanjša za
Za prvo leto posojila morate plačati:
Dobimo enačbo: 0,5925 S = 177750,
S = 300000
To pomeni, da so vzeli 300.000 rubljev na kredit.
odgovor: 300.000 rubljev.
Naloga 11
15. januarja je predviden najem bančnega posojila za 25 mesecev. Pogoji za vračilo so naslednji:
- vsak 1. dan v mesecu se dolg poveča za r % glede na konec prejšnjega meseca;
- od 2. do 14. dneva vsakega meseca je treba plačati del dolga;
- Vsak 15. dan v mesecu mora biti dolg za en znesek manjši od dolga na 15. dan v preteklem mesecu.
Znano je, da sem znesek denarja, ki ga je treba banki plačati za celotno obdobje posojila, 39 % več od zneska, vzetega za posojilo. Poiščite r.
rešitev:
Vzemimo posojilo S rubljev.
Mesečno plačilo je sestavljeno iz zneska mesečnega dolga (je enak
Reševanje problemov ekonomske vsebine št.19
Predstavitev je pripravila učiteljica matematike MAOU Lyceum № 62 mesta Saratov Voevodina Olga Anatolyevna
Rešitev.
Naj bo S = 6.902.000 rubljev, b = 1,125 (torej 31. decembra vsakega leta se preostali znesek dolga pomnoži s koeficientom b. Nato: 31. 12. 2015: (Sb - X) - (znesek dolga dolg po prvem plačilu) 31.12.2016: (Sb - X) b - X - znesek dolga po drugem plačilu
št. 1. Aleksej si je 31. decembra 2014 pri banki izposodil 6.902.000 rubljev na posojilo pod 12,5% letno. Shema odplačila posojila je naslednja - 31. decembra vsakega naslednjega leta banka obračuna obresti na preostali znesek dolga, nato Aleksej nakaže banki X rubljev. Kakšen znesek bi moral biti X, da bi Aleksej odplačal dolg v štirih enakih obrokih (to je v 4 letih)?
Odgovor: 2 296 350
№ 2.
Rešitev.
Naj bo S znesek posojila, a - letni%, b = 1 + 0,01a, X1 = 328.050 rubljev, X2 = 587.250 rubljev Izračunajmo posojilo za 4 leta: 31.12.2015: (Sb - X) 12/ 31. 2016: ( Sb - X) b - X 31. 12. 2017: 31. 12. 2018:
№ 2.
Izračunajmo posojilo za 2 leti:
31. 12. 2015: (Sb - X)
31. 12. 2016: (Sb - X) b - X = 0
№ 2.
Ker je znesek posojila enak, izenačimo nastale enakosti.
Odgovor: 12,5 %
Št. 3. 1. januarja 2015 je Aleksander Sergejevič pri banki vzel 1,1 milijona rubljev na kredit. Shema odplačevanja posojila je naslednja - 1. vsakega naslednjega meseca banka zaračuna 1% na preostali znesek dolga, nato Aleksander Sergejevič nakaže plačilo na banko. Za kakšno najmanjše število mesecev lahko Aleksander Sergejevič najame posojilo, tako da mesečna plačila ne presegajo 275 tisoč rubljev?
Odločitev: 01.01.2015: vzela 1,1 milijona rubljev 2.1.2015: 1,1 milijona -275000 = 725100 rubljev, po bremenitvi 1%: 725100 + 7251 = 732351 rubljev. 01.01.2015. 01.13.2015.
po 1% nastanku: 457.351 + 4.573,51 = RUB 461,924.51 1. april 2015: RUB 461,924.51-275,000 = RUB 186,924.51 po 1% obračunane: RUB 186.924,51 + 1869,2451 = RUB 188,793.7551 1,05 0,2015: 188793,7551 Ne 4. Sprva letni sklad plača menze je bilo 1.500.000 rubljev. Po povečanju števila strank se je kadrovska miza povečala za 9 ljudi, plačilna lista pa se je povečala na 5.250.000 rubljev. Povprečna letna plača (glede na vse zaposlene) se je povečala za 100.000 rubljev. Kakšna je povprečna plača (glede na vse zaposlene) po povečanju letnega sklada?
Rešitev.
Pred povečanjem števila strank: Je bilo: x (sotr), Letni plačni sklad: 1.500.000 rubljev Povprečna letna plača 1.500.000: x Po povečanju števila strank: Zdaj: (x + 9) (sotr) Letni plačni sklad p: 5.250.000 rubljev Povprečna letna plača 5.250.000: (x + 9) Naredimo enačbo:
№ 4
X = 22,5 ne izpolnjuje pogoja problema, zato je bilo sprva zaposlenih 6. Povprečna plača po povečanju letnega sklada je postala: 5.250.000: (9 + 6) = 350.000 rubljev Odgovor: 350.000 rubljev.
№ 5
Rešitev: Naj letni načrt: x - 100% V 1. četrtletju: proizvedenih 0,2x helikopterjev, V 2. četrtletju: o, 2x * 1,5 = 0,3x helikopterjev V 3. četrtletju: (102 + 0,3x): 4 = 25 , 5 + 0,075x helikopterji V 4. četrtletju glede na stanje 102 helikopterjev naredimo enačbo: 25,5 + 0,075x + 0,2x + 0,3x = x0,425x = 127,5X3 = 30 letnih helikopterjev , kar pomeni, da je načrtovana sprostitev: (102 + 0,3 * 300): 4 = 48 helikopterjev Odgovor: 48 helikopterjev
"Sistema Bank" - Banka Rusije. Izterljivost. Nebančne kreditne in depozitne organizacije. Nujnost. Predsednik Banke Rusije. Emisija. Posojila. Nebančne kreditne institucije. Bančne storitve. Nebančne izterjevalne kreditne organizacije. Banke so med razvojem vse bolj širile nabor svojih storitev.
“Učinkovitost osebja banke” - Delovne izkušnje v banki. Izračuna se lahko tako za banko kot celoto kot za posamezne "rudarske" divizije. Za ruska podjetja je norma 1-5% plačilne liste. Razmerje med stroški dodatnih ugodnosti in stroški dela, %. Drugi kazalnik, ki označuje produktivnost dela.
"Kitajske banke" - razvojne banke. Po tem je banka leta 1994 stopila na pot komercializacije. Splošne informacije o bančnem sistemu Kitajske. Oktobra 2007 je ICBC odprl hčerinsko banko v Rusiji. Regulatorna komisija za bančni sektor (KRBS). Komercialne banke. Po tržni kapitalizaciji se banka samozavestno uvršča na 6. mesto na svetu.
"Banke CIS" - Tuje banke krepijo svoje položaje. Torej ima ruski VTB podružnice v šestih državah CIS. Banke CIS na robu sprememb. Kriza je dala zagon bančnim reformam v Rusiji, Kazahstanu in Ukrajini. Inflacija je močno padla ... Največje bančne skupine v CIS. Ni za vsakogar ... sl. 2. Razmerje med bančnimi posojili in BDP v državah CIS,%.
"Komercialne banke" - Obstajajo tudi nedepozitne oblike privabljanja virov. Poslovne banke: načela delovanja in funkcije. Predlog zakona ni potrjen, število udeležencev je minimalno - 2. Posojilojemalci posojila so lahko fizične in pravne osebe. Depoziti so na voljo v številnih različicah. Depozitni račun je namenjen hranjenju dela sredstev družbe za določeno obdobje.
"Bančni dohodek" - Bančništvo. riž. 8. Delež prihodkov od obresti za leto 2008, %. Analiza učinkovitosti Banke Societe Generale Vostok za obdobje 2007-2008,%. Analiza dinamike odhodkov za obresti banke za obdobje 2008-2009, tisoč rubljev. Cilj in naloge. riž. 6. Delež obveznosti banke za leto 2008, %. Na podlagi rezultatov tabele lahko povzamemo naslednje rezultate.
Problem 1. 1. januarja 2015 si je Aleksander Sergejevič pri banki izposodil 1,1 milijona rubljev. Shema odplačevanja posojila je naslednja - 1. vsakega naslednjega meseca banka zaračuna 1 odstotek preostalega dolga (to je, poveča dolg za 1%), nato Aleksander Sergejevič nakaže plačilo na banko. Za kakšno najmanjše število mesecev lahko Aleksander Sergejevič najame posojilo, tako da mesečna plačila ne presegajo 275 tisoč rubljev?
rešitev:
Upoštevajte, da bo v 4 mesecih Alexander Sergejevič plačal 1,1 milijona rubljev. Tako dolga ne bo pokrila z obrestmi.
Dolg se poveča za največ
To pomeni, da v petih mesecih Aleksandru Sergejeviču ne bo treba več plačati
1.100.000 + 5 11.000 = 1.155.000 rubljev,
kar je manj kot
5 275.000 = 1.375.000 rubljev.
Tako bo Aleksander Sergejevič lahko odplačal posojilo v 5 mesecih.
odgovor: 5.
Problem 2. Dmitrij je 31. decembra 2014 od banke vzel 4.290.000 rubljev na posojilo pod 14,5% letno. Shema odplačevanja posojila je naslednja - 31. decembra vsakega naslednjega leta banka zaračuna obresti na preostali dolg (to pomeni, da poveča dolg za 14,5%), nato Dmitrij banki nakaže X rubljev. Kolikšen bi moral biti znesek X, da bi Dmitrij odplačal dolg v dveh enakih obrokih (to je v dveh letih)?
rešitev:
Naj bo znesek posojila S, letni znesek pa jea
b = 1 + 0,01а.
S 1 = Sb - X.
S 2 = S 1 b - X = (Sb - X) b - X = Sb 2 - (1 + b) X.
V skladu s pogojem mora Dmitrij torej v celoti odplačati posojilo v dveh plačilih
Sb 2 - (1 + b) X = 0,
kje
Pri S = 4290000 in a = 14,5 dobimo: b = 1,145 in
odgovor: 2622050.
Problem 3. Aleksej si je 31. decembra 2014 pri banki izposodil 6.902.000 rubljev na posojilo pod 12,5% letno. Shema odplačila posojila je naslednja - 31. decembra vsakega naslednjega leta banka obračuna obresti na preostali znesek dolga (to pomeni, da poveča dolg za 12,5%), nato Aleksej nakaže banki X rubljev. Kolikšen naj bo znesek X, da bi Aleksej odplačal dolg v štirih enakih obrokih (to je v štirih letih)?
rešitev:
Naj bo znesek posojilaS , enoletnice pa soa %. Nato se 31. decembra vsako leto preostali znesek dolga pomnoži s koeficientom
b = 1 + 0,01a.
Po prvem plačilu bo dolgovani znesek
S 1 = Sb - X.
Po drugem plačilu bo dolgovani znesek
S 2 = S 1 b - X = (Sb - X) b - X = Sb 2 - (1 + b) X.
Po četrtem plačilu je znesek preostalega dolga
V skladu s pogojem mora Aleksej torej v celoti odplačati posojilo s štirimi plačili
kje
Pri S = 6902000 in a = 12,5 dobimo: b = 1,125 in
odgovor: 2296350.
4. naloga. 31. decembra 2014 je Sergej od banke vzel 6.944.000 rubljev na posojilo pod 12,5% letno. Shema odplačila posojila je naslednja - 31. decembra vsakega naslednjega leta banka zaračuna obresti na preostali dolg (to pomeni, da poveča dolg za 12,5%), nato Sergej nakaže banki X rubljev. Kolikšen naj bo znesek X, da bi Sergej odplačal dolg v treh enakih obrokih (to je v treh letih)?
rešitev:
Naj bo znesek posojila S, letni znesek pa a%. Nato se 31. decembra vsako leto preostali dolg pomnoži s faktorjem b = 1 + 0,01a. Po prvem plačilu bo znesek dolga S 1 = Sb - X. Po drugem plačilu bo znesek dolga
S 2 = S 1 b - X = (Sb - X) b - X = Sb 2 - (1 + b) X.
Po tretjem plačilu je znesek preostalega dolga enak
Glede na stanje težave mora Sergej ob upoštevanju tretjega plačila v celoti odplačati posojilo, zato
od kod dobimo
Pri S = 6944000 in a = 12,5 dobimo:
b = 1,125
odgovor: 2916000.
Problem 5. 1. januarja 2015 si je Taras Pavlovič pri banki izposodil 1,1 milijona rubljev. Shema odplačevanja posojila je naslednja - 1. vsakega naslednjega meseca banka zaračuna 2 odstotka preostalega dolga (torej poveča dolg za 2 %), nato Taras Pavlovič nakaže plačilo na banko. Za kakšno najmanjše število mesecev lahko Taras Pavlovič najame posojilo, tako da mesečna plačila ne presegajo 220 tisoč rubljev?
rešitev:
Takoj lahko opazite, da je najvišji dovoljeni znesek plačila (220 tisoč rubljev) 1/5 celotnega zneska posojila (vendar brez obresti). To pomeni, da bo najmanjše število mesecev, za katere lahko Taras Pavlovič najame posojilo, najmanj pet.
Dolg se lahko poveča za največ
1.100.000 0,02 = 22.000 rubljev.
Za šest mesecev je lahko največji znesek dolga z obrestmi
1.100.000 + (6 22.000) = 1.232.000 rubljev.
Če je ta znesek razdeljen na 6 enakih plačil, bo mesečno plačilo približno 205,3 tisoč rubljev. In to ni več kot 220 tisoč rubljev.
205,3 < 220
Posledično bo najmanjše število mesecev, za katere lahko Taras Pavlovič najame posojilo (z mesečnim plačilom ne več kot 220 tisoč rubljev), 6.
odgovor: 6.
6. naloga. 1. januarja 2015 je Vasilij Mihajlovič pri banki izposodil 1,1 milijona rubljev. Shema odplačila posojila je naslednja - 1. vsakega naslednjega meseca banka zaračuna 1 odstotek preostalega dolga (to pomeni, da poveča dolg za 1%), nato Vasilij Mihajlovič nakaže plačilo na banko. Za kakšno najmanjše število mesecev lahko Vasilij Mihajlovič najame posojilo, tako da mesečna plačila ne presegajo 137,5 tisoč rubljev?
rešitev:
Iz pogoja vidimo, da je 137,5 tisoč rubljev 1/8 celotnega zneska posojila (1,1 milijona rubljev), vendar brez obresti. To pomeni, da bo minimalno število mesecev zagotovo več kot osem.
Izračunajmo največje mesečne obresti, ki jih zaračuna banka, v rubljih:
1.100.000 0,01 = 11.000 rubljev.
Za 9 mesecev bo skupni znesek posojila z obrestmi:
1.100.000 + (11.000 9) = 1.199.000 rubljev.
Delimo na 9 (meseci):
1.199.000: 9 ≈ 133.222 rubljev.
Nastali znesek ne presega 137.500 rubljev, kar izpolnjuje pogoj težave. Posledično je najmanjše število mesecev, za katere lahko Vasilij Mihajlovič najame posojilo, 9.
odgovor: 9.
Problem 7 ... 15. januarja je načrtovano najem bančnega posojila v višini 1,2 milijona rubljev za 24 mesecev. Pogoji za vračilo so naslednji:
–
Koliko je treba vrniti banki v prvem letu (prvih 12 mesecih) posojila?
Rešitev
1) Mesečna plačila posojila (brez obresti) znašajo 1.200.000: 24 = 50.000 (rub.). Za 12 mesecev morate plačati 600.000 rubljev (brez obresti).
2) Izračunajmo višino obresti za prvih 12 mesecev.
1 200 000 0,01 + 1 150 000 0,01 + 1 100 000 0,01 + ... +650 000 0,01 =
0,01 (1 200 000 + 1 150 000 + 1 100 000 + ... + 650 000) =
=
12
0,01=11 100 000
0,01 = 111.000 (rub.).
3) 600.000 + 111.000 = 711.000 (rubljev) - znesek, ki ga je treba vrniti banki v prvem letu.
Odgovor: 711.000 rubljev
Problem 8 .
– od 2. do 14. dne vsakega meseca je treba plačati del dolga;
– Vsak 15. dan v mesecu mora biti dolg za enak znesek manjši od dolga na 15. dan v preteklem mesecu.
Znano je, da je treba v prvem letu (prvih 12 mesecih) posojila banki vrniti 933 tisoč rubljev. Koliko je treba vrniti banki v drugem letu (zadnjih 12 mesecih) posojila?
Rešitev
X rubljev.
Znesek posojila je (24X X ) rubljev (brez obresti).
2) NajR
Sestavimo in rešimo enačbo: 933.000 = 12X + R .
R = (24 X + 23 X +...+ 13 X ) 0,03 = 12 0,03 = 37 X 0,18 = 6,66 X ;
933 000 = 12 X + 6,66 X ;
933 000 = 18, 66 X ;
X = 50 000.
Mesečna plačila posojila (brez obresti) znašajo 50.000 rubljev.
3) 50 000 12 = 600.000 (rubljev) je treba vrniti banki v drugem letu (brez obresti).
Izračunajmo višino obresti za zadnjih 12 mesecev.
(12 X + 11 X + ... + X ) 0,03 = 12 0,03 = 13 X 0,18 = 2,34 X ;
2,24 50.000 = 117.000 (rub.)
4) 600.000 + 117.000 = 717.000 (rubljev) - znesek, ki ga je treba vrniti banki v drugem letu.
Odgovor: 717.000 rubljev
Problem 9. 15. januarja je predviden najem bančnega posojila za 24 mesecev. Pogoji za vračilo so naslednji:
– 1. dan vsakega meseca se dolg poveča za 1 % glede na konec prejšnjega meseca;
– od 2. do 14. dne vsakega meseca je treba plačati del dolga;
– Vsak 15. dan v mesecu mora biti dolg za enak znesek manjši od dolga na 15. dan v preteklem mesecu.
Znano je, da je treba v drugem letu (zadnjih 12 mesecih) posojila banki vrniti 798,75 tisoč rubljev. Koliko je treba vrniti banki v prvem letu (prvih 12 mesecih) posojila?
Rešitev
1) Mesečna plačila posojila (brez obresti) soX rubljev. Znesek posojila je (24X ) rubljev. Za 12 mesecev morate plačati (12X ) rubljev (brez obresti).
2) NajR - znesek, ki je obresti za zadnjih 12 mesecev.
Sestavimo in rešimo enačbo: 798,75 = 12X + R .
R = (12 X +11 X +...+ X ) 0,01 = 12 0,01 = (12 X + X ) 0,06 = 0,78 X ;
798 750 = 12 X + 0,78 X ; 798 750 = 12,78 X ; X = 62 500.
Mesečna plačila posojila (brez obresti) znašajo 62.500 rubljev.
3) 62 500 12 = 750.000 (rubljev) je treba vrniti banki v prvem letu (brez obresti).
Izračunajmo višino obresti za prvih 12 mesecev.
(24 X + 23 X + ... +13 X ) 0,01 = 12 0,01 = 37 6 0,01 X = 2,22 62.500 = 138.750 (rub.)
4) 750.000 + 138.750 = 888.750 (rubljev) - znesek, ki ga je treba vrniti banki v prvem letu.
Odgovor: 888 750 rubljev
Problem 10. 15. januarja je predviden najem bančnega posojila za 24 mesecev. Pogoji za vračilo so naslednji:
– Vsak 1. dan v mesecu se dolg poveča za 3 % glede na konec prejšnjega meseca;
– od 2. do 14. dne vsakega meseca je treba plačati del dolga;
– Vsak 15. dan v mesecu mora biti dolg za enak znesek manjši od dolga na 15. dan v preteklem mesecu.
Znano je, da je treba v prvem letu (prvih 12 mesecih) posojila banki vrniti 1399,5 tisoč rubljev. Koliko si nameravate izposoditi?
Rešitev
1) Mesečna plačila posojila (brez obresti) soX rubljev
Znesek posojila je (24X ) rubljev. Za 12 mesecev morate plačati (12X ) rubljev (brez %).
2) NajR - znesek, ki je obresti za prvih 12 mesecev.
Sestavimo in rešimo enačbo: 1 399 500 = 12X + R .
R = (24 X + 23 X +...+ 13 X ) 0,03= 12 0,03=(24 X + 13 X ) 0,18 = 6,66 X ;
1 399 500 = 12 X + 6,66 X ;
1 399 500 = 18, 66 X ;
X = 75 000.
Mesečna plačila posojila (brez obresti) znašajo 75.000 rubljev.
3) 75 000 24 = 1.800.000 (rubljev) - znesek načrtovanega posojila.
Odgovor: 1 800 000 rubljev
Problem 11. 15. januarja je predviden najem posojila pri banki za 24 mesecev. Pogoji za vračilo so naslednji:
– od 2. do 14. dne vsakega meseca je treba plačati del dolga;
– Vsak 15. dan v mesecu mora biti dolg za enak znesek manjši od dolga na 15. dan v preteklem mesecu.
Znano je, da je treba v drugem letu (zadnjih 12 mesecih) posojila banki vrniti 1.695 tisoč rubljev. Koliko si nameravate izposoditi?
Rešitev
1) Mesečna plačila posojila (brez obresti) soX rubljev.
Znesek posojila je (24 X ) rubljev. Za 12 mesecev morate plačati (12 X ) rubljev (brez obresti).
2). PustitiR - znesek, ki je obresti za prvih 12 mesecev.
Sestavimo in rešimo enačbo: 1.695.000 = 12X + R .
R = (12 X + 11 X +...+ X ) 0,02 = 12 0,02 = 13 X 0,12 = 1,56 X ;
1 695 000= 12 X + 1,56 X ;
1 695 000 = 13, 56 X ;
X = 125 000.
Mesečna plačila posojila (brez obresti) znašajo 125.000 rubljev.
3) 125 000 24 = 3.000.000 (rubljev) - znesek načrtovanega posojila.
Odgovor: 3.000.000 rubljev
Problem 12. 15. januarja je načrtovano najem posojila pri banki za 9 mesecev. Pogoji za vračilo so naslednji:
– Vsak 1. dan v mesecu se dolg poveča za 2 % glede na konec prejšnjega meseca;
– od 2. do 14. dne vsakega meseca je treba plačati del dolga;
– Vsak 15. dan v mesecu mora biti dolg za enak znesek manjši od dolga na 15. dan v preteklem mesecu.
Znano je, da morate v petem mesecu (od 2. do 14. junija) posojila banki plačati 44 tisoč rubljev. Koliko je treba plačati banki v celotnem obdobju posojila?
Rešitev
1) Mesečna plačila posojila (brez obresti) soX rubljev. Znesek posojila je (9 X ) rubljev (brez obresti).
2) NajR - znesek, ki je obresti za peti mesec posojila.
Sestavimo in rešimo enačbo: 44.000 =X + R .
Za pet mesecev bo znesek posojila (5 X ) drgnite.
V petem mesecu bodo obrestiR = 5X 0,02 = 0,1 X (rub.).
Potem 44.000 =X + 0,1 X ; 44 000 = 1,1 X ;
X = 40.000 (rubljev) je znesek mesečnih plačil (brez obresti).
Znesek posojila je 40.000 9 = 360.000 (rub.)
3) Izračunajmo znesek obresti za celotno obdobje:
(9 X + 8 X +...+ X ) 0,02 = 9 0,02 = 10 X 0,09 = 0,9 X ;
0,9 40.000 = 36.000 (rub.)
4) 360.000 + 36.000 = 396.000 (rubljev) - znesek, ki ga je treba plačati banki v celotnem obdobju posojila.
Odgovor: 396.000 rubljev
Problem 13. 15. januarja je predviden najem bančnega posojila. Pogoji za vračilo so naslednji:
– a
–
Če na banko vsako leto nakažete 2.073.600 rubljev, potem lahko posojilo odplačate v 4 letih. Če prevedete 3.513.600 rubljev, potem čez 2 leti.
Najti a .
Rešitev
+ + + = + , 1+0,01 a 0.
20736+ + + = 35136+ ;
+ - -14400 = 0. Naj bo 1 + 0,01a = X ;
+ - -14400 = 0;
20736 (1 + x) - 14400x 2 (1 + x) = 0;
(1+ X )(20736 - 14400 X 2 ) = 0
Odgovor: 20%Uporabljena je bila formula: če je prispevek X rubljev v celoti porabljen zan letna plačila enakav 1 , v 2 , ..., v n , izvedeno po obračunuR % na depozit, torej
X = + +...+ .
Naloga 14 ... 15. julija smo najeli bančno posojilo. Pogoji za vrnitev so bili naslednji:
– Vsakega 1. januarja se dolg poveča za 14 % glede na konec preteklega leta;
– del dolga se plača od februarja do junija vsako leto po nateku obresti.
Posojilo je bilo odplačano v dveh enakih obrokih po 4.548.600 rubljev (to je v dveh letih). Koliko je banka izdala na kredit?
Rešitev
X = + = + = 3.990.000 + 3.500.000 = 7.490.000 (rub.)
– znesek, ki ga je banka izdala na kredit.
Odgovor: 7 490 000 rubljev
Problem 15. 15. januarja je načrtovano najem bančnega posojila v višini 6.902.000 rubljev. Pogoji za vračilo so naslednji:
– 1. januarja vsako leto se dolg poveča za 12,5 % v primerjavi s koncem preteklega leta;
– del dolga se plača vsako leto januarja v enakih zneskih po obračunanih obrestih.
Koliko letno je treba vrniti banki za poplačilo dolga v štirih enakih obrokih (torej v štirih letih)?
Rešitev
X = + + + ; 6902000 = v ( + + + );
6 902 000 =
v
; 6 902 000 =
v
;
v
=
=350
6.561 = 2.296.350 (rubljev) - znesek, ki ga je treba letno vrniti banki.
Odgovor; 2 296 350 rubljev
Naloga 16 ... 15. januarja 2012 je banka izdala posojilo v višini 1 milijon rubljev. Pogoji za vračilo so naslednji:
– Vsako leto 1. januarja se dolg poveča za a % glede na konec preteklega leta;
– plačilo dela dolga se zgodi januarja vsako leto po nateku obresti.
Posojilo je bilo odplačano v dveh letih, v prvem letu pa je bil prenesen znesek v višini 600 tisoč rubljev, drugič pa 550 tisoč rubljev.
Najti a.
rešitev:
1 000 000 = + ; 20 = + ; 20(1+0,01 a ) 2 – 12(1+0,01 a ) – 11 = 0.
Predstavimo novo spremenljivko: 1 + 0,01a = X in reši enačbo 20X 2 – 12 X - 11 = 0. D = 1024 = 32 2 .
Odgovor: 10%Naloga 17. Cena blaga A rub. se je povečala za 25 %. Za kolikšen odstotek naj bi jo zdaj znižali, da bi dobili začetno ceno izdelka.
Rešitev: Cena artikla je po zvišanju postala A (1+). Recimo, da je treba znižati za p%, potem bo cena blaga po znižanju postala A (1 +) (1-) in dobimo začetno ceno blaga: A (1 +) (1-) = A. Kje dobimo odgovor: 20 %
Problem 18. Banka je sprejela določen znesek v določenem odstotku. Leto pozneje je bila z računa dvignjena četrtina nabranega zneska. Toda banka je povečala obresti na leto za 40%. Do konca prihodnjega leta je nabran znesek znašal 1,44-kratnik začetnega prispevka. Kolikšen je odstotek novih letnic?
Rešitev: dajte v bankoA rubljev pri p% na leto. Po enem letu bo znesek na računu enakA (1+) rubljev. Če odstranimo četrtino tega zneska, dobimoA (1+). T Zdaj se na ta znesek obračunajo nove obrestiA (1+) (1+), ki je postal 1,44A. Ko rešimo to enačbo, dobimo odgovor p = 20%, potem je novi odstotek 60%.
Problem 19. Kmet je prejel bančno posojilo z določenim odstotkom na leto. Leto pozneje je kmet za odplačilo posojila banki vrnil 3/4 celotnega zneska, ki ga je do takrat dolgoval banki, leto pozneje pa je zaradi celotnega odplačila posojila banki prispeval znesek, ki je bil za 21 % višji od zneska prejetega posojila. Kakšne so letne obresti za posojilo v tej banki?
Rešitev: Recimo, da je kmet prejelA rubljev pri p% na leto. V enem letu bo dolg A (1+) rubljev. Ker kmet je odplačal dolg, potem ostane A (1+). Po 2. letu se je dolg povečal za p% in postal A (1+) A (1 +) = A (1+) 2. Sedaj je kmet za poplačilo dolga prispeval 21 % več, t.j. A (1+) in odplačal posojilo, torej A (1+) 2 - A (1 +) = 0. Ko rešimo to enačbo, dobimo p = 120%.
.
Problem 20. Znesek 3900 tisoč rubljev je bil v banki položen s 50% letno. Ob koncu vsakega od prvih štirih let hrambe je vlagatelj po izračunu obresti na račun dodatno položil enak fiksni znesek. Do konca petega leta po nateku obresti se je izkazalo, da se je velikost depozita v primerjavi z začetno povečala za725% ... Koliko je vlagatelj letno dodal depozitu?
Rešitev: naj bo začetni prispevek A rubljev, vlagatelj pa letno doda x rubljev. Do začetka 2. leta je bila vrednost prispevka A (1 +) = 1,5 A rubljev;
Do začetka 3. leta je bila vrednost prispevka
(1,5A + x) 1,5 + x rubljev;
Do začetka 4. letnika je bila vrednost prispevka
((1,5A + x) 1,5 + x) 1,5 + x rubljev;
Do začetka 5. leta je bila vrednost prispevka
(((1,5A + x) 1,5 + x) 1,5 + x) 1,5 + x rubljev;
Do konca 5. letnika
znesek prispevka je bil ((((1,5A + x) 1,5 + x) 1,5 + x) 1,5 + x) 1,5 rubljev. Glede na pogoj problema se je velikost prispevka v primerjavi z začetno povečala za725%
, torej postal A (1+).
Če razširimo oklepaje, dobimo naslednji izraz:
() 5A + () 4x + () 3x + () 2x + () x = A = A
x = A
Zato nadomestimo namesto A =3900 tisoč, dobimo x = 210.000.
Problem 21. Med hrambo depozita v banki so se obresti nanj zaračunavale mesečno, najprej v višini, nato, nato in na koncu mesečno. Znano je, da je bila pod vplivom vsake nove obrestne mere depozit celo število mesecev, po izteku roka hrambe pa se je začetni znesek depozita povečal za. Določite rok skladiščenja depozita.
Rešitev: Naj bo začetni znesek depozita A rubljev, nato pa bo čez mesec ta znesek postalA (1+ ) vtrite. Če se stopnja ne spremeni, se bo znesek znova povečal za 5% in postalA (1+ ) 2 itd. Naj prva stava zdržik , drugi jem , tretji -n , zadnji jet mesecev.
Nato se je znesek povečal zaA (1+ ) Za(1+ ) m(1+ ) n(1+ ) t-krat. In po izteku obdobja shranjevanja je prvotni znesek postal A (1+)
А (1+) do (1+) m (1+) n (1+) t = Z uporabo lastnosti stopinj dobimo 2 -3,3-1,50,72
izenači kazalnike iz istih razlogov in reši sistem:
Od koder je k = m = 1. n = 3, t = 2. Potem je obdobje shranjevanja depozita 1 + 1 + 3 + 2 = 7 mesecev.
Problem 22. Januarja 2000 je bila obrestna mera za depozite v Bank Vozrozhdenie x % letno, januarja 2001 pa y % letno, znano pa je, da je x + y = 30 %. Januarja 2000 je vlagatelj odprl račun pri banki Vozrozhdenie in nanj položil določen znesek. Januarja 2001, potem ko je od tega trenutka minilo leto dni, je vlagatelj z računa dvignil eno petino tega zneska. Določite vrednost x, pri kateri bo znesek na računu vlagatelja januarja 2002 postal največji možni.
Rešitev: Recimo, da je vlagatelj januarja 2000 odprl bančni račun v višini A rubljev. Potem bo leto kasneje, pri x% na leto, na računu znesek A (1 +) rubljev.
Nadalje vlagatelj dvigne z računa eno petino prvotnega zneska. To pomeni, da je znesek na računu. Obrestna mera v banki se spreminja in je zdaj pri %, torej (30)%. Potem bo leto kasneje vlagatelj imel na svojem računu. Zanima nas vrednost x, pri kateri bo vrednost f (x) = največja. Raziščimo to funkcijo z metodami matematične analize.
f / (x ) = 0 for
ali Funkcija f (x) bo prevzela svojo največjo vrednost v točki x0 (vrh parabole), to je v točki = 25.
Odgovor: 25%.
Problem 23. Konec avgusta 2001 je imela uprava Primorskega ozemlja določeno vsoto denarja, ki naj bi bila uporabljena za dopolnitev naftnih rezerv na ozemlju. V upanju na spremembo tržnih razmer je regionalno vodstvo, ki je odložilo nakup nafte, ta znesek 1. septembra 2001 deponiralo v banki. Nadalje je znano, da se je znesek depozita v banki prvi dan vsakega meseca povečal za 26 % glede na znesek na prvi dan prejšnjega meseca, cena sodčka surove nafte pa se je znižala za 10% na mesečni ravni. Koliko odstotkov več (od začetnega obsega nakupov) je regijsko vodstvo lahko napolnilo naftne zaloge regije tako, da je 1. novembra 2001 umaknilo celoten znesek, ki ga je prejel od banke, skupaj z obrestmi in ga poslalo v nakup olje?
rešitev:
regionalno vodstvo je dalo A rubljev na 26 % na mesec
cena sodčka surove nafte se mesečno znižuje za 10 %.
znesek bo A (1+) rub
Vloženi znesek se bo zmanjšal in postal A (1-) rubljev
A (1+) 2 USD
bo postal A (1-) 2 rublja
Potem se bo znesek povečal na = 1,96, tj. za 96 %
Odgovor: 96%.
