Anuitas adalah istilah yang diterima secara umum yang mengacu pada struktur pembayaran kembali suatu mekanisme keuangan (pembayaran pinjaman bulanan, bunga, dll.).
Pembayaran anuitas disusun dalam jumlah yang sama dalam jangka waktu yang sama. Jadwal pelunasan yang diberikan dengan metode ini memiliki perbedaan tertentu dengan jadwal pelunasan biasanya, dimana seluruh jumlah debitur diarahkan pada akhir jangka waktu mekanisme keuangan. Dengan jadwal pembayaran biasa, bunga dibayarkan terlebih dahulu, baru kemudian jumlah pokoknya dihapuskan.
Dengan kata lain, anuitas adalah suatu sistem pembayaran utang tertentu, dimana jumlah utang dan bunga dibayarkan secara merata sepanjang jangka waktu pinjaman. Anuitas disebut juga anuitas finansial, yang pada dasarnya sama.
Misalnya, jika gaji seorang karyawan diperoleh setiap bulan dalam jumlah yang sama, maka pendapatan tersebut adalah anuitas. Saat Anda mengajukan paket cicilan di toko untuk produk apa pun, pembayaran bulanan ke bank juga akan berstatus anuitas.
Besarnya pembayaran anuitas selalu terdiri dari pokok utang dan bunga. Dalam konsepnya, istilah ini memiliki cakupan yang luas: anuitas dapat diartikan:
Anuitas selalu ditetapkan oleh organisasi perbankan secara individual untuk setiap klien. Itu datang dalam dua jenis:
Anuitas juga dibagi menjadi:
Pada anuitas jangka dana dikreditkan dalam jangka waktu tertentu yang mempunyai jangka waktu terbatas. Penerimaan uang ditandai dengan bagian yang sama dan setelah jangka waktu yang sama. Anuitas jenis ini dihitung dengan menggunakan sistem akrual atau sistem diskonto. Diskonto adalah identifikasi biaya pembayaran dengan mempelajari penerimaan kas pada titik waktu tertentu. Sederhananya, ini adalah analisis hubungan antara pendapatan masa depan dan nilai sekarang. Contoh anuitas jangka tetap dapat berupa berbagai jenis pembayaran sewa rumah, tanah, dll.
Anuitas abadi Merupakan kebiasaan untuk mempertimbangkan pembayaran yang sama pada interval yang sama dalam jangka waktu yang lama. Konsol ini adalah contoh yang sangat baik untuk memahami secara spesifik anuitas abadi. Obligasi yang didukung pemerintah ini memiliki jangka waktu lebih dari 30 tahun.
Pembayaran anuitas berbeda dalam jumlah pembayaran. Mereka dapat dibayar setahun sekali atau beberapa kali dalam setahun (dengan anuitas jangka waktu tetap).
Bunga dapat diperoleh setahun sekali, beberapa kali dalam setahun, atau terus menerus. Masalah ini selalu diselesaikan secara individual antara organisasi perbankan dan klien.
Tergantung pada situasi keuangan di negara tersebut atau kebijakan bank, hal-hal berikut dapat ditetapkan:
Untuk menentukan besarnya pembayaran pinjaman yang sama dalam jangka waktu tertentu, perlu dihitung koefisien anuitas, yang dapat mengubah pembayaran sekaligus menjadi jadwal pembayaran.
Untuk menghitung koefisien ini, rumus khusus yang berlaku umum digunakan:
Dari segi praktis, beberapa perbedaan mungkin timbul dari perhitungan matematis dengan menggunakan rumus: untuk kemudahan melakukan pembayaran, dapat diterapkan sistem pembulatan jumlah pembayaran, atau pembulatan jumlah dilakukan karena perbedaan jumlah hari pada bulan tertentu. Hal ini terutama berlaku untuk bulan terakhir dalam jadwal pembayaran. Faktanya, jumlah yang menutup daftar selalu berbeda ke bawah dengan beberapa nilai.
Hampir selalu dengan anuitas, pembayaran dilakukan pada akhir periode pelaporan - postnumerando. Dalam hal ini, jumlah pembayaran untuk periode tersebut harus dihitung menggunakan rumus yang berbeda:
Untuk mempertimbangkan struktur pembayaran anuitas secara lebih rinci, ada baiknya memecahkan masalah sederhana. Misalnya, Anda perlu menghitung pembayaran bulanan pinjaman untuk jangka waktu lima tahun dan dengan jumlah 30 ribu rubel dengan bunga 8% per tahun. Pembayaran akan dilakukan setiap bulan, perlu untuk mengubah tingkat bunga tahunan menjadi bulanan. Ini dilakukan dengan menggunakan rumus yang cukup sederhana:
Selanjutnya, Anda perlu mengganti nilai i = 0,00643 dan n = 60 ke dalam rumus (5 tahun adalah 60 bulan). Koefisien yang dihasilkan harus dikalikan dengan jumlah pinjaman - 30.000. Hasilnya, kami menemukan bahwa jumlah pembayaran bulanan adalah sekitar 603 rubel.
Pelunasan pinjaman biasanya terjadi setiap bulan atau setiap triwulan. Untuk pembayaran tersebut, tingkat bunga tahunan i ditetapkan. Asalkan pembayaran ditetapkan postnumerand m kali setahun selama n tahun, maka terdapat rumus yang berbeda dengan rumus sebelumnya dalam peningkatan akurasi penghitungan koefisien anuitas:
Rumus yang ditentukan untuk menghitung rasio pembayaran anuitas didasarkan pada peningkatan jumlah utang dengan menggunakan rumus persentase kompleks. Dalam perhitungan perbankan, terdapat rumus lain untuk menentukan koefisien, yaitu berdasarkan pertambahan jumlah utang dengan menggunakan rumus persentase sederhana. Ciri khas bunga sederhana dan bunga majemuk adalah tidak adanya kesenjangan rasio kapitalisasi bunga. Dalam skenario ini, pokok utang akan dilunasi terlebih dahulu, dan setelah dibayar, bunga akan dibayarkan.
Perlu dicatat bahwa melakukan sendiri semua langkah di atas sangat memakan waktu dan tenaga. Dibutuhkan banyak waktu bagi satu orang untuk mengetahuinya, dan jika Anda perlu menghitung beberapa ratus anuitas, maka situasi untuk pegawai bank biasa akan menjadi sangat mustahil. Oleh karena itu, ketika mengajukan pinjaman, karyawan organisasi perbankan memiliki kalkulator dan program khusus di gudang senjata mereka, di mana Anda hanya perlu memasukkan nilai numerik yang benar, dan mereka akan secara mandiri menghitung jadwal pembayaran anuitas untuk setiap klien.
Pembayaran anuitas adalah salah satu cara modern untuk melunasi hutang pinjaman ke bank. Pilihan untuk membayar kewajiban hutang ini tidak selalu bermanfaat bagi klien, namun ditandai dengan peningkatan kenyamanan - tidak ada kebingungan “kapan harus membayar dan dalam jumlah berapa.” Pembayaran pinjaman diterima setiap bulan pada waktu yang sama dan dalam jumlah uang yang sama. Ini merupakan nilai tambah yang besar bagi klien dan organisasi perbankan: tidak perlu pergi ke bank dan mengambil slip gaji untuk menentukan jumlah utang bulan depan.
Selain itu, metode pembayaran pinjaman ini lebih disukai bagi orang-orang yang berpenghasilan rendah.
Selain pembayaran anuitas, terdapat pembayaran utang kredit menurut sistem yang berbeda, dimana pembayaran dihitung ulang setiap bulan, karena sebagian bunga atas jumlah akhir utang klien telah dibayarkan. Setiap bulan setelah pembayaran pinjaman, jumlah utang berkurang dan, karenanya, tingkat bunga juga berubah. Ternyata setiap bulan uang yang harus disetor semakin sedikit, namun jumlah pembayaran awal cukup tinggi dan tidak semua orang memiliki kesempatan untuk membayarnya.
Jenis pembayaran ini memiliki satu kelemahan besar: awalnya pembayaran didasarkan pada persentase setara yang dominan, yaitu. besarnya hutang didasarkan pada 2/3 bunga, dan 1/3 adalah jumlah hutang.
Anuitas bermanfaat bagi organisasi perbankan: pertama, bank akan melindungi dirinya sendiri dengan mengumpulkan bunga, dan kemudian “menerima” uang pinjaman.
Jika klien bermaksud melunasi utangnya lebih cepat dari jadwal, maka operasi ini harus dilakukan sebelum bunga dibayarkan. Operasi ini hampir tidak ada artinya ketika dilunasi "setelah" - tidak ada yang akan mengembalikan jumlah bunga yang dibayarkan. Dalam hal ini, pelunasan lebih awal hanya akan menghilangkan kewajiban pinjaman.
Ringkasnya, kita dapat mengatakan bahwa anuitas adalah pilihan yang baik bagi peminjam yang memiliki kewajiban utang dan tidak memiliki tingkat pendapatan yang tinggi. Lagi pula, selalu lebih mudah dan sederhana untuk membayar jumlah yang sama sebulan sekali pada hari yang sama.
Sebagian besar transaksi komersial modern tidak melibatkan pembayaran satu kali, melainkan serangkaian penerimaan kas (atau, sebaliknya, pembayaran) selama periode tertentu. Ini bisa berupa rangkaian pendapatan dan pengeluaran suatu perusahaan tertentu, pembayaran utang, kontribusi tetap atau tidak teratur untuk menciptakan berbagai jenis dana, dll. Urutan ini disebut aliran pembayaran.
Mengalir. pembayaran searah dengan interval yang sama antara pembayaran berturut-turut selama beberapa tahun tertentu disebut anuitas (sewa finansial).
Teori anuitas adalah bagian penting dari matematika keuangan. Ini digunakan ketika mempertimbangkan masalah profitabilitas sekuritas, dalam analisis investasi, dll. Contoh paling umum dari anuitas: kontribusi rutin ke dana pensiun, pembayaran kembali pinjaman jangka panjang, pembayaran bunga atas sekuritas.
Anuitas berbeda satu sama lain dalam karakteristik utama berikut:
Anuitas yang pembayarannya dilakukan pada awal interval yang bersangkutan disebut anuitas prenumeral-rando; jika pembayaran dilakukan pada akhir interval, kita mendapatkan anuitas postnumerando (anuitas biasa) - mungkin kasus yang paling umum.
Yang paling menarik dari sudut pandang praktis adalah anuitas di mana semua pembayaran sama satu sama lain (anuitas permanen) atau berubah sesuai dengan pola tertentu. Anuitas inilah yang akan kita pelajari lebih lanjut.
Mari kita perkenalkan notasi berikut:
P - jumlah pembayaran masing-masing individu;
ic adalah tingkat bunga majemuk yang digunakan untuk menghitung bunga;
Sk adalah jumlah yang masih harus dibayar untuk pembayaran anuitas ke-k setelah penomoran;
S adalah jumlah yang masih harus dibayar (masa depan) dari seluruh anuitas pasca-angka (yaitu, jumlah semua pembayaran dengan bunga);
Ak adalah nilai sekarang dari pembayaran anuitas ke-k setelah penomoran;
A adalah nilai modern dari seluruh anuitas pasca-numerando (yaitu, jumlah nilai modern dari semua pembayaran);
Sp - jumlah anuitas prenumerando yang masih harus dibayar;
Ap adalah nilai modern dari anuitas prenumerando;
n - jumlah pembayaran.
Mari kita pertimbangkan anuitas pasca-angka dengan pembayaran tahunan P selama n tahun, yang bunganya diperoleh pada tingkat tahunan gabungan ic (Gbr. 5).
Beras. 5.
Jumlah S 1 untuk pembayaran pertama, yang bunganya jelas akan bertambah (n - 1) kali, akan sesuai dengan rumus (3.1):
S 1 = P(1 + i c) n-1
Untuk pembayaran kedua (bunganya akan bertambah satu tahun kurang) yang kita miliki
Sn=P Maka untuk jumlah akumulasi total yang kita miliki
di mana ki,n adalah koefisien pertumbuhan anuitas dengan parameter i, n - mewakili, seperti yang Anda lihat, jumlah suku-suku suatu barisan geometri yang suku pertama a 1 sama dengan 1, dan penyebutnya (sebut saja q) adalah (1 + i c).
Menggunakan rumus matematika untuk jumlah suku-suku suatu barisan geometri:
Mari kita tulis ekspresi (7.1) dalam bentuk yang lebih nyaman untuk perhitungan:
Oleh karena itu, untuk koefisien pertumbuhan, kita punya
Sekarang mari kita cari nilai modern A dari anuitas ini (Gbr. 6).
Beras. 6.
Untuk tingkat bunga tertentu, nilai saat ini dari setiap pembayaran akan ditentukan dengan rumus:
Oleh karena itu, nilai sekarang dari seluruh anuitas adalah
dimana ai,n adalah koefisien reduksi anuitas, sekali lagi merupakan jumlah deret geometri, sekarang dengan parameter a 1 =q=1/(1 +ic).
Kemudian untuk ai,n kita mendapatkan ekspresi:
untuk nilai modern A, masing-masing
Seperti yang Anda lihat, nilai saat ini dan peningkatan jumlah anuitas berhubungan satu sama lain dengan rasio:
S=A(1+i c) n (7.6)
Dari rumus yang diperoleh, mudah untuk memperoleh beberapa rumus lagi melalui transformasi.
Jadi, untuk menentukan besarnya pembayaran selanjutnya (P) yang kita miliki
Untuk menentukan periode anuitas (p), dalam kondisi tertentu lainnya, kita peroleh
Untuk perhitungan spesifik, salah satu dari dua rumus untuk setiap pasangan dipilih bergantung pada besaran yang diketahui.
Tentu saja perbedaannya dengan kasus sebelumnya adalah jangka waktu penghitungan bunga untuk setiap pembayaran bertambah
Beras. 7. Nilai masa depan dari anuitas prenumerando
diperpanjang selama satu tahun, yaitu setiap peningkatan jumlah Sk meningkat sebesar (1 + ic) kali. Oleh karena itu, untuk seluruh jumlah S yang kita miliki
Untuk koefisien pertumbuhan anuitas prenumerando k pi,n kita memperoleh hubungan berikut:
Dapat juga dicatat bahwa untuk menentukan nilai modern dari setiap pembayaran, diskon pada tingkat tertentu ic dilakukan satu kali lebih sedikit dibandingkan dengan anuitas prenumerando. Oleh karena itu, setiap nilai Ak modern akan lebih besar sebesar (1 +0 kali. Jadi,
Dan untuk koefisien reduksi a n i,n kita peroleh
a p i,n = a i,n (1+i c) (7.14)
Untuk mencari jumlah pembayaran dan jangka waktu anuitas pra-angka, Anda dapat menggunakan rumus (7.11) dan (7.13) untuk mencari nilai S dan A yang sesuai untuk nilai Sp dan Ap yang diberikan, lalu gunakan rumus yang diturunkan untuk anuitas pasca-angka.
Untuk menentukan koefisien kenaikan dan pengurangan anuitas biasa, terdapat tabel yang mudah digunakan dalam aplikasi praktis.
perhitungan Suku bunga maksimum dalam tabel tersebut biasanya tidak melebihi 30-40%, yang jauh lebih rendah daripada suku bunga yang saat ini diterapkan di Rusia. Namun perlu diingat bahwa n dalam hal ini bukanlah jumlah tahun, melainkan jumlah periode dengan durasi yang sama (hari, bulan, kuartal, dll.) di mana tingkat bunga tertentu diterima. Jadi, jika suku bunga tahunan diberikan, Anda dapat menemukan suku bunga yang setara dengan suku bunga tersebut pada interval yang lebih pendek dan selanjutnya mempertimbangkan n sebagai jumlah interval tersebut.
Jika suku anuitas n tidak terbatas, maka diperoleh kasus anuitas abadi. Untuk anuitas pasca-angka, ekspresi jumlah yang masih harus dibayar dan nilai modern akan berbentuk sebagai berikut:
Oleh karena itu, untuk anuitas pra-angka, kita peroleh
Dengan demikian, perbedaan antara kedua jenis anuitas abadi tersebut tentu saja mempengaruhi penentuan nilai modernnya.
Yang tidak kalah pentingnya adalah kasus ketika urutan pembayaran berubah menurut hukum tertentu, dan oleh karena itu, juga dapat dijelaskan dengan menggunakan cara matematika.
Mari kita pertimbangkan anuitas biasa di mana pembayaran terus meningkat sebesar nilai positif tertentu h, yaitu. e.adalah anggota barisan aritmatika dengan suku pertama a1 = P dan selisihnya h. Artinya, pembayarannya adalah rangkaian:
P, P+ jam, P+ 2 jam,... P+ (n- 1) jam.
Untuk jumlah akumulasi seluruh anuitas, kita memperoleh ekspresi berikut:
S=Р(1+ i c) n-1 + (Р+ h)(1+ ic) n-2 + (р+ 2h)(1+ ci) n-3 +...+ [Р+ (n - 1) jam].
Mari kalikan kedua ruas persamaan ini dengan (1 + ic) dan kurangi ekspresi pertama dari hasil yang diperoleh setelah perkalian:
S ic= P(1+ ic)n -[P+(n -1)h]+h(1+ ic)n-1+ h(1+ ic)n-2+...+ h(1+ ic) ).
Terlihat bahwa bagian persamaan yang dihasilkan merupakan penjumlahan suku-suku suatu barisan geometri, dimana a1= h(1+ ic); q = = (1 + ic). Setelah transformasi sederhana kita mendapatkan:
Sekarang mari kita cari nilai modern anuitas A.
Kalikan kedua ruas persamaan dengan (1 + i c) n.
A(1+i c) n =P(l+i c) n-1 +(P+ h)(1+i c) n-2 + ... + =S.
Seperti yang bisa kita lihat, dalam kasus ini, rumus (7.6), yang diperoleh sebelumnya untuk anuitas biasa, adalah benar:
A (1 + i c) n - S,
Mungkin juga pembayaran terus meningkat sebanyak q kali, yaitu merupakan anggota deret geometri:
P, Pq, Pq 2, ... , Pq n-1, Maka untuk jumlah anuitas yang bertambah kita punya
S=Р[(1+ i c) n-1 + q(1+ i c) n-2 +/(1+ i c) n-3 +...+q n-1 ].
Dalam tanda kurung siku kita mendapatkan barisan geometri dengan suku pertama a1 = (1 + ic)n dan penyebut q/(1 + ic). Dengan menggunakan kembali rumus jumlah barisan geometri, kita memperoleh ekspresi untuk S:
S=P/.
Tentunya untuk mencari nilai modern anuitas A, rumus (7.6) juga dapat diterapkan di sini:
SEBUAH=P/.
Sekarang kita memiliki kesempatan untuk memecahkan contoh penentuan aliran pembayaran dengan nilai yang berubah-ubah.
Temukan nilai arus pembayaran saat ini, ditentukan sebagai berikut: tahun pertama - penerimaan 500 pagi. dolar, tahun kedua - kuitansi 200 pagi. dolar, tahun ketiga - pembayaran 400 dolar AS. dolar, lalu selama tujuh tahun - penghasilan 500 pagi. Tingkat Diskon USD - 6% per tahun. Larutan
Dalam contoh ini, aliran pembayaran selama tujuh tahun terakhir mewakili anuitas permanen. Dengan menggunakan rumus (7.5) kita dapat menghitung nilai modernnya aq. Kita tidak boleh lupa bahwa inilah nilai modern pada awal periode keempat:
500 5,58 = 2791 (USD)
(koefisien reduksi terdapat pada Tabel 4 Lampiran 2). Selanjutnya, dengan menggunakan rumus (3.11), kita mencari nilai saat ini di awal aliran pembayaran untuk semua sisa pembayaran dan nilai aq:
A1 = 500 0,953 = 471,5 (dolar AS);
A2 =200 0,89 = 178 (dolar AS);
A3 = 400 0,840 =336 (dolar AS);
A4 = 2791 0,840 = 2344,44 (dolar AS).
Menjumlahkan nilai yang dihasilkan, kami menemukan nilai saat ini dari seluruh aliran pembayaran:
A =A1 +A2+ A3+ A4= 2657,94 pagi. Boneka.
Nilai modern dari anuitas
Dalam semua kasus di mana dalam aliran pembayaran yang sewenang-wenang terdapat rangkaian yang dapat digambarkan sebagai konstan atau berubah menurut beberapa hal
Saat mempertimbangkan anuitas, Anda harus memperhatikan titik awal dan jangka waktu anuitas tersebut, yang tidak bertepatan dengan titik awal dan jangka waktu aliran pembayaran penuh.
Tahap selanjutnya dari penelitian kami adalah konversi anuitas. Konversi anuitas dipahami sebagai perubahan parameter awal anuitas, setelah itu anuitas baru akan setara dengan anuitas saat ini.
Dua anuitas dianggap setara jika nilai modernnya, yang direduksi ke titik waktu yang sama, adalah sama.
Dalam praktiknya, kebutuhan untuk menghitung parameter anuitas yang setara paling sering muncul ketika kondisi pembayaran utang, pembayaran kembali pinjaman atau pinjaman, dll (saat ini nilai modern dari anuitas yang setara dihitung), dan setelah pembayaran sebagian dari anuitas. Dalam kasus terakhir, semua perhitungan dilakukan untuk sisa utang pada saat konversi.
Mari kita lihat kasus konversi anuitas permanen yang paling umum.
1. Setelah jangka waktu tertentu n0 (bisa sama dengan 0) setelah dimulainya anuitas, seluruh saldo utang dapat dilunasi sekaligus (penebusan anuitas). Jelasnya, dalam hal ini, jumlah yang dibayarkan akan sama dengan nilai saldo anuitas saat ini, dihitung untuk periode n1 = n- n0.
Jelas sekali. jika suku anuitas bertambah maka nilai P akan berkurang. dan sebaliknya.
4. Mungkin timbul situasi ketika jumlah pembayaran P harus diubah ke satu arah atau lainnya. Mari kita pertimbangkan kasus ini menggunakan contoh 28.
Untuk membayar kembali pinjaman yang dikeluarkan dengan tingkat bunga majemuk 4% per tahun, pembayaran tahunan sebesar 5.000 UAH harus dilakukan selama 10 tahun. dolar Kondisi yang diubah memungkinkan untuk menyetor 7.500 dari awal. dolar. Tentukan jangka waktu baru n1, yang utangnya akan dilunasi seluruhnya. Larutan
Mari kita hitung dulu nilai anuitas yang tersedia saat ini (yang mewakili jumlah utang untuk periode awal). Dengan menggunakan rumus (7.5) kita peroleh
A = 5.000 /0,04 - 40554,5 (dolar AS). Selanjutnya, untuk P yang diubah, kita mencari koefisien pengurangan anuitas menggunakan rumus yang sama:
ai,n = А/Р 1 = 40554.5 pagi. USD/7500 pagi. dolar = 5,4.
Dengan menggunakan Tabel 4 dari Lampiran 2, kami menemukan nilai n 1 yang paling sesuai untuk koefisien ini pada tingkat bunga 4%, membulatkannya ke bawah: n 1 = 6. Karena nilai n1 ditemukan kira-kira, maka perlu dilakukan perhitungan nilai anuitas baru saat ini:
A1 = 7.500 /0,04 = 39.316 (dolar AS). Apabila jumlah pembayaran tidak dapat diubah, maka jumlah yang hilang A0 = 40,554.5 - 39,316 = 1,238.5 (USD) harus segera dibayarkan kepada kreditur. (Contoh bagaimana jumlah pembayaran disesuaikan dalam situasi seperti ini dibahas di akhir bagian ini.)
5. Mulai pembayaran utang pada tingkat bunga tertentu
tarif ic dapat ditangguhkan: a) dengan tetap mempertahankan jumlah pembayaran; b) dengan tetap mempertahankan jangka waktu pembayaran.
Jelasnya, dalam kasus pertama, periode anuitas harus meningkat, dan yang kedua, jumlah pembayaran.
Mari kita nyatakan dengan n 0 periode penundaan. Kemudian, pada awal pembayaran, jumlah utang a1, yang seharusnya menjadi nilai anuitas baru saat ini, akan sesuai dengan rumus bunga majemuk:
A1=A(1+ic) n0 . Dari sini kita mendapatkan persamaan ekivalensi:
P = P (1 + i c) n0
Selanjutnya, kami melanjutkan dengan cara yang sama seperti kasus yang dibahas sebelumnya. Pada opsi pertama, kita menemukan nilai n1 dari durasi anuitas baru pada nilai tertentu P1 = P (kira-kira n1 akan ditemukan, sehingga diperlukan pembayaran sejumlah kompensasi, lihat contoh 28). Yang kedua - jumlah pembayaran P1 pada n 1 = = n – n 0.
6. Dalam beberapa kasus, mungkin perlu menggabungkan beberapa anuitas menjadi satu (konsolidasi anuitas). Dalam hal ini, anuitas gabungan dapat berupa apa saja, dan dalam anuitas penggabungan yang diinginkan, salah satu parameternya tidak diketahui dengan semua parameter lain yang ditentukan.
Dua anuitas dengan parameter:
perlu diganti dengan satu - dengan jangka waktu 10 tahun dan tingkat bunga 6% per tahun.
Tentukan jumlah pembayaran baru.
Pertama-tama mari kita cari nilai modern umum dari kedua anuitas tersebut. Menurut rumus (7.5) yang kita miliki
A = A1 +A2=2000/0,05+ + 3.500/0,06 = = 17.726,5 + 25.760,3 = 43.486,8 (dolar AS). Selanjutnya, dengan menggunakan rumus (7.7), kita mencari jumlah pembayaran baru:
P = 43.486,8 0,06/ = 5.930 (dolar Amerika).
Sekarang tinggal kita mempertimbangkan penerapan praktis yang penting dari teori anuitas - menyusun berbagai pilihan (rencana) untuk pembayaran utang. Saat menyusun rencana untuk
pembayaran bunga adalah jumlah pembayaran berkala peminjam - pembayaran bunga dan pembayaran untuk melunasi jumlah pokok utang - dalam berbagai kondisi pembayaran (pembayaran tersebut disebut pembayaran mendesak).
Ada lima pilihan utama pembayaran utang:
Jika peminjam harus melunasi seluruh jumlah utangnya pada akhir jangka waktu, mungkin disarankan untuk membuat dana pelunasan (penyusutan), yang disetorkan secara berkala dalam jumlah tertentu, yang dikenakan bunga.
Jika tingkat bunga penyimpanan dana tidak melebihi tingkat bunga pinjaman, maka pembentukan dana pelunasan (sinking fund) tidak masuk akal. Lebih menguntungkan untuk segera membayar jumlah tersebut kepada kreditur.
Mari kita perkenalkan notasi berikut:
D- jumlah pokok (tanpa bunga);
i c adalah tingkat bunga pinjaman;
I - bunga pinjaman;
P - jumlah kontribusi dana pelunasan;
g adalah tingkat bunga yang dihitung atas kontribusi dana;
Y adalah jumlah pembayaran mendesak;
n adalah jangka waktu pinjaman.
Mari kita cari jumlah pembayaran mendesak Y dan komponennya (K=1+P).
Menurut definisinya, I = D i c .
Jumlah akumulasi dana pelunasan selama n tahun, yaitu jumlah akumulasi anuitas dengan parameter P, n, g, harus berjumlah nilai D. Dengan menggunakan rumus (7.2) kita peroleh
D = [(1 +g)n-1]/g. Dari sini
P=Dg/[(1 +g)n-1].
Artinya dalam hal ini besarnya pembayaran mendesak ditentukan dengan rumus:
Y=Di c + Dg/[(1+ g) n -1]. (7.23)
Jika bunga tidak dibayarkan, tetapi ditambahkan ke jumlah pokok, maka pembayaran segera hanya berupa kontribusi ke sinking fund.
Jumlah total utang, menurut rumus (3.1), adalah nilai D(1 + ic)n, yang darinya kita peroleh
kamu= Р= D(1 +i c) n g/[(1+g) n -1].
3. Membayar hutang dalam jumlah yang sama
Misalkan hutang tersebut dilunasi selama n tahun dalam jumlah yang sama, dan bunga dibayarkan secara berkala. Kemudian pembayaran sebesar D/n terus dilakukan untuk pelunasan, dan pembayaran bunga dikurangi setiap tahun seiring dengan berkurangnya jumlah pokok utang. Mari kita tunjukkan
Dk adalah jumlah utang setelah tahun ke-k:
Ik adalah pembayaran bunga tahun ke-k. Kemudian
D1= D- D/n = D(1 -1/n);
Pada akhir tahun kedua diperoleh D2= D1- D/n= D(1 -2/);
I2= D(1- 1/n)ic;
Y2 = D(1 -1/n) ic+ D/n,dst.
Untuk menentukan besarnya pembayaran mendesak dan pembayaran bunga setelah tahun ke-k, diperoleh Dk = D(1- k/n);
Ik= D(1 -(k-1)/n] ic:
Yk= D ic+ D/n.
Pada akhir semester, yaitu tahun ke-n, kita punya
Dn= D(1- n/n) = 0:
Yn= D |1 – (n -1)/n] ic+ D/n = D (1 + ic)/n. Terlihat bahwa jumlah terbesar harus dibayar pada awal periode pembayaran, yang dalam banyak kasus dapat dianggap sebagai kerugian dari metode pembayaran utang ini.
4. Pelunasan hutang dengan menggunakan pembayaran mendesak yang konstan
Misalkan pinjaman sebesar D, yang diterbitkan dengan tingkat bunga tahunan majemuk ic, dilunasi dalam /; tahun dengan pembayaran mendesak yang sama Y = 1 + R. Jelas bahwa seiring waktu komponen I
Mari kita turunkan rumus untuk menghitung jumlah bunga uang dan jumlah pelunasan utang pada akhir tahun ke-k.
Pembayaran berkala sejumlah Y yang konstan pada tingkat bunga tertentu ic selama n tahun merupakan anuitas dengan parameter yang sesuai.
Oleh karena itu, besarnya pembayaran mendesak ditentukan dengan rumus (7.9):
Y= D/a i,n (ai,n adalah koefisien pengurangan sewa).
Dinyatakan dengan Pk jumlah yang digunakan untuk membayar kembali pinjaman pada akhir tahun ke-k, kita tuliskan rasio berikut:
Mengganti ekspresi 3) dan 4) ke dalam relasi 2), kita memperoleh
Ik+1/ic=Ik/i c -рk, dari manai k+1 =Ik-P k i c Tulis ulang ekspresi 1) menggunakan persamaan terakhir:
Ik+ Pk= Ik- Pkic+ Pk+1
dari mana kita mendapatkannya
Pk+1=Pk(1+ic)=P1(1+ic) k
Karena I 1 = Di c untuk P, kita peroleh
P1=D/a i,n -Di c =D (l/a i,n -ic). Karena itu,
Pk=D(1/a i,n -ic)(1+ic) k-1
Ik=D k-1 ic =Dic/с - D (1/a i,n -ic)[(1 + i c) k-1 ].
Ketika pinjaman dilunasi dengan pembayaran mendesak yang terus-menerus, nilainya dapat ditentukan sebelumnya, dan kemudian timbul masalah dalam menentukan jangka waktu pembayaran utang. Masalah penentuan jangka waktu anuitas telah dipertimbangkan sebelumnya sehubungan dengan konversi anuitas
item. Pada saat yang sama, untuk memenuhi prinsip kesetaraan, jumlah yang hilang (yang timbul akibat pembulatan jumlah yang dihasilkan) harus dibayar pada awal periode pembayaran. Sebaliknya, sedikit perubahan dalam jumlah pembayaran mendesak juga mungkin terjadi.
Mari kita lihat contoh untuk memperjelas situasinya.
Pinjaman sejumlah 12.000 USD. dolar diterbitkan dengan tingkat bunga majemuk 4% per tahun. Tentukan lamanya periode pembayaran jika peminjam berencana membayar kembali $1.500 per tahun. dolar Menyusun jadwal pembayaran utang.
Mari kita hitung dulu koefisien reduksi anuitas ad d:
a 4,n = A/P = 12.000 pagi. USD/l 500 pagi. dolar = 8.
Dengan menggunakan tabel, kami menentukan kira-kira n yang sesuai dengan koefisien ini dan tingkat bunga 4%. Karena np = 10 sesuai dengan koefisien a 4,10 = 8,11, kita ambil np = 9 dan menghitung untuk periode ini dan nilai modern A = 12.000 am. dolar nilai pembayaran baru R. Kami menggunakan rumus (7.8) untuk ini, mencari nilai koefisien pengurangan sesuai Tabel 4 pada Lampiran 2.
P = A/a 4,9 = 12.000 pagi. USD/7.435 = US$1.614 Boneka.
Sekarang mari kita buat jadwal pelunasan utang, yang harus mencakup pembayaran bunga, biaya pelunasan utang, dan saldo utang setiap akhir tahun.
Dengan menggunakan rumus yang diturunkan sebelumnya, kami menemukan nilai yang diperlukan:
|
Jumlah hutang pada akhir tahun |
Pembayaran mendesak (Y) |
Persentase (I/) |
Pembayaran untuk pelunasan (P) |
|
Perbedaan kecil antara saldo utang pada akhir tahun ke-8 dan jumlah pembayaran pelunasan terakhir terjadi karena pembulatan beberapa nilai dari jumlah sebelumnya.
5. Pelunasan hutang dengan menggunakan pembayaran jangka waktu variabel
Dalam banyak kasus, lebih baik melunasi hutang dengan menggunakan pembayaran jangka waktu yang bervariasi. Pembayaran mendesak dapat berubah menurut pola tertentu atau ditentukan oleh jadwal pembayaran.
Pertimbangkan kasus di mana urutan pembayaran mendesak mewakili profesi aritmatika dengan perbedaan tertentu h. Mengingat periode pembayaran n dan tingkat bunga ic, dengan menggunakan rumus (7.20), kita mencari nilai pembayaran mendesak P:
Р = [А i c +nпh/(1 +ic) n - h а i,n ]/ yang menjadi dasar penyusunan rencana pembayaran utang.
6. Dalam praktiknya, sering kali jumlah seluruh pembayaran mendesak ditentukan di muka, kecuali pembayaran terakhir, ditentukan oleh jumlah saldo utang pada awal periode terakhir (lihat contoh 31).
Hutang sebesar $10.000. dolar harus dilunasi dalam lima tahun, jumlah pembayaran mendesak dalam empat tahun pertama adalah 2.000 dolar AS. USD, 2.000 AS USD, 4.000 AS USD, 1.500 AS dolar Temukan jumlah pembayaran terakhir jika tingkat bunga 5% per tahun.
Kami akan mengembangkan rencana pembayaran utang.
Bunga untuk tahun pertama adalah
I1 = Dic=10.000 0,05 = 500 (USD).
P1 = Y1 - I1 = 1.500 pagi. Boneka.;
D1= D-P1 = 8.000 pagi. Boneka.
Untuk tahun-tahun berikutnya kita dapatkan
I2 = D 1 i s = 8500 pagi. USD 0,05 = 425 AS Boneka.;
P 2 = Y 2 -I 2 = 2.000 - 425 = 1.575 (dolar AS):
D 2 = D 1 -P 2 =8.500 - 1.575 = 6.925 (dolar Amerika);
Saya 3 =D 2 ic=6925 pagi. dolar * 0,05=346,25, pagi. Boneka.;
Р 3 = Yз -Iз = 4.000 - 346,25 = 3.653,75 (dolar Amerika);
D 3 = D 2 -Рз = 6.925 - 3.653,75 = 3.271,25 (dolar Amerika);
Saya 4 =D 3 ic= 3,271.25 pagi. USD 0,05 = 163,56 dolar AS Boneka.;
P 4 =Y 4 -I 4 = 1500 - 163,56 = 1.336,44 (USD):
D 4 =D 3 -P 4 =3.271,25 - 1.336,44 = 1.934,81 (dolar Amerika);
Saya 5 =D 4 ic = 1,934.81 pagi. USD 0,05 = 96,74 AS Boneka.;
Y 5 =D 4 +I 5 =1934,81=96,74=2031,55 (dolar AS); P4= D4= 1.934,81 pagi. Boneka.
Jadi, jumlah pembayaran terakhir harusnya 2031,55 dolar AS. Boneka.
Anuitas (sewa keuangan) adalah arus kas di mana pembayaran dalam jumlah yang sama ditransfer pada interval waktu yang sama. Semua anuitas adalah mendesak Dan tak terbatas.
Anuitas jangka tetap menyediakan serangkaian transfer tunai dengan jumlah yang sama dengan bunga yang timbul sejak periode pertama. Perbedaan kedua jenis anuitas ini lebih mudah dipahami dari gambar yang diberikan dalam buku J. Van Horn:
Gambar tersebut membandingkan prosedur untuk menghitung dua jenis anuitas sebesar $1.000 dan tingkat tahunan sebesar 8%. J. Van Horn mencatat: sepertinya dengan anuitas biasa, pembayaran terjadi pada periode 1, 2 dan 3, dan dengan anuitas jangka tetap - pada periode 2, 3, 4. Total biaya anuitas berjangka tiga tahun dalam contoh tersebut ternyata sama dengan biaya anuitas biasa dengan satu periode tambahan. Tentu saja anuitas jangka tetap lebih menguntungkan bagi penerima uang, karena pendapatan bunganya lebih tinggi.
Anuitas berjangka diklasifikasikan menurut waktu pembayaran pada nomor pasca Dan nomor awal. Dengan anuitas pra-angka, uang ditransfer pada awal tahun, dengan anuitas pasca-angka - di akhir.
Baik postnumerando maupun prenumerando dapat dihitung berdasarkan dua skema: diskon Dan membangun:
Diskon adalah perhitungan nilai saat ini dari aliran keuangan masa depan. Saat mendiskontokan istilah anuitas prenumerando, rumus berikut digunakan:
A = FV* *(1+r)/r
dimana FV adalah jumlah total anuitas, r adalah tingkat bunga, A adalah bagian pembayaran tetap, n adalah jumlah periode.
Ekspresi dalam tanda kurung siku disebut faktor diskon anuitas. Ekspresi ini dapat direpresentasikan secara matematis, namun perhitungannya akan memakan banyak waktu. Menentukan koefisien anuitas jauh lebih mudah menggunakan tabel khusus :
Untuk dapat menggunakan tabel tersebut, cukup mengetahui tingkat bunga dan jumlah periodenya.
Perpanjangan- sebaliknya, ini adalah perhitungan jumlah masa depan yang secara realistis dapat diperoleh dari uang yang tersedia. Rumus untuk menghitung anuitas suku prenumerando sedikit berbeda:
FV = A * [(1 + r) ^ n - 1] * (1 + r) / r
Ada juga tabel perhitungan tingkat pertumbuhan: 
Untuk menghitung anuitas suku pasca-angka, digunakan rumus berikut (variabelnya sudah familiar):
|
Diskon |
A = FV / (1 + r) + FV / (1 + r) ^ 2 +…+ FV / (1 + r) ^ n |
|
Perpanjangan |
FV = A * (1 + r) ^ (n - 1) + A * (1 + r) ^ (n - 2) + … + A |
Orang-orang menemukan anuitas berjangka sepanjang waktu dalam hidup. Misalnya, jika seseorang yang secara teratur mengisi kembali simpanan bank ingin menghitung berapa banyak keuntungan yang akan diterimanya dalam beberapa tahun, ia harus menggunakan rumus untuk menaikkan jangka waktu anuitas.
Selain itu, penghitungan jangka waktu anuitas diperlukan untuk:
Ikuti terus semua acara penting United Traders - berlangganan kami
Anuitas pranumerasi dengan pembayaran tahunan P selama n tahun, dikenakan bunga sebesar tingkat bunga tahunan gabungan ic.
Tentu saja perbedaannya dengan kasus sebelumnya adalah jangka waktu penghitungan bunga untuk setiap pembayaran bertambah satu tahun, yaitu setiap kenaikan jumlah. S k meningkat sebesar (1 + saya c) sekali. Oleh karena itu, untuk seluruh jumlah S n kita punya S n =S( 1+ saya c).
Untuk koefisien pertumbuhan anuitas prenumerando kita memperoleh hubungan berikut: 
Untuk menentukan nilai modern dari setiap pembayaran, diskon pada tingkat tertentu saya c dilakukan satu kali lebih sedikit dibandingkan dengan anuitas pasca-angka. Oleh karena itu, setiap nilai modern A sampai akan ada lebih banyak di (1+ Saya) sekali. Jadi, A n = A(1 + saya c). Dan untuk koefisien reduksi a saya, n dan kita mengerti 
Contoh 14. Temukan jumlah anuitas yang masih harus dibayar dan nilai arus pembayaran saat ini jika, selama tiga tahun, pendapatan yang diterima pada awal tahun masing-masing berjumlah 500 ribu rubel. Tingkat diskonto adalah 6% per tahun.
Larutan.
Dalam contoh ini, aliran pembayaran selama tiga tahun mewakili anuitas pranumerasi permanen. Jumlah yang masih harus dibayar dari anuitas tersebut akan ditentukan dengan rumus:
Tingkat kenaikannya dapat ditentukan dari Tabel 3 nilai kenaikan anuitas: k 0,06; 3= 3,1836∙(1+0,06)=3,3746.
Jumlah akumulasi anuitas adalah:
S p =500∙3,3746=1687,3 ribu rubel.
Untuk memeriksanya, kami akan menentukan jumlah jumlah yang masih harus dibayar berdasarkan tahun.
Pendapatan yang diterima pada tahun pertama adalah:
S 1 =500∙(1+0,06) 3 =500∙1,1910=595,5 ribu rubel; pendapatan yang diterima pada tahun kedua, S 2 = 500∙(1+0,06) 2 = 500∙1,1236 = 561,8 ribu rubel. dan pendapatan yang diterima pada tahun ketiga, S 3 = 500∙(1+0,06) 1 =500∙1,06 = 530 ribu rubel.
Total jumlah akumulasi S p =S 1 p +S 2 p +S 3 p =595,5+561,8+530=1687,3 ribu rubel.
Menurut rumusnya 
(1+ kita dapat menghitung nilai anuitas saat ini. Kita akan menentukan koefisien pengurangan anuitas menggunakan Tabel 4. Untuk N=3 dan saya c =0,06 k 0,06; 3=2,6730. Kemudian k n =2,6730∙1,06=2,8334.
Nilai anuitas saat ini A p =500∙2.8334=1416,7 ribu rubel.
Kita dapat memeriksa perhitungannya dengan menentukan jumlah nilai modern dari semua pembayaran dan bunga yang masih harus dibayar. Rumus nilai modern setiap pembayaran ( A sampai) akan berbentuk: 
Nilai semua pembayaran saat ini akan sama dengan:
seribu rubel.;
Ribu rubel.;
Jumlah nilai modern dari semua pembayaran akan sama.
Di dunia modern, di mana produk perbankan menjadi bagian dari kehidupan setiap orang, memahami esensi matematika keuangan dan kemampuan melakukan perhitungan keuangan sederhana menjadi suatu keterampilan yang diperlukan. Namun banyak buku teks dan artikel tentang topik ini ditulis dalam bahasa istilah keuangan dan rumus matematika yang rumit. Tentu saja, kita tidak bisa hidup tanpa syarat dan rumus. Namun inti dari perhitungan dapat dijelaskan dengan bahasa sederhana yang dapat dipahami oleh siapa pun. Artikel ini merupakan lanjutan dari artikel diskon arus kas. Ini akan berbicara tentang anuitas (arus kas anuitas). Anuitas abadi, rumus anuitas - perhitungan nilai saat ini dan masa depan menggunakan contoh sederhana, penjelasan untuk orang, bukan untuk bankir - Anda akan mempelajarinya dengan membaca artikel ini.
Mendengar kata anuitas, banyak orang akan memikirkan sesuatu yang super kompleks dan tidak dapat dipahami. Sebenarnya semuanya sederhana, hanya kata yang asing.
Anuitas adalah seri identik pembayaran melalui sama periode waktu. Istilah ini adalah "terjemahan" literal dari kata bahasa Inggris anuitas, yang berarti “jumlah tetap yang dibayarkan setiap tahun”. Orang yang berbicara bahasa Inggris juga akan mengingat kata “annual” yang berarti “tahunan”. Kedua kata ini berasal dari kata Latin tahunan– setiap tahun. Jadi, kata anuitas sendiri mengandung indikasi frekuensi pembayaran tahunan.
Pada garis waktu (atau skala waktu), arus kas anuitas dapat digambarkan, misalnya seperti ini (Gbr. 1): 
Saat ini, anuitas tidak hanya mengacu pada serangkaian pembayaran tahunan yang identik, tetapi juga pada rangkaian pembayaran dengan jumlah yang sama, terlepas dari frekuensinya. Ini bisa berupa pembayaran tahunan, triwulanan, bulanan. Hal utama yang tersisa: anuitas adalah beberapa identik pembayaran (arus kas) melalui sama periode waktu. Misalnya saja gaji. Jika gaji Anda konstan sepanjang tahun, maka arus kas bulanan berupa gaji merupakan anuitas dengan jangka waktu pembayaran bulanan. Contoh lain: jika Anda membeli sesuatu secara mencicil, maka pembayaran bulanan Anda ke bank juga merupakan anuitas.
Beberapa istilah lagi. Anuitas bisa berupa pra-numerando atau pasca-numerando. Istilah indah dan misterius ini berarti saat pembayaran: nomor awal berarti pembayaran pada awal setiap periode waktu, nomor pasca- di akhir itu. Istilah-istilah ini, yang tampaknya berasal dari bahasa Latin, digunakan dalam buku teks atau surat kabar resmi. Saya akan berbicara dalam bahasa Rusia: arus kas dengan pembayaran pada akhir tahun atau awal tahun.
Artikel ini membahas contoh penghitungan anuitas sederhana yang jangka waktu pembayaran dan jangka waktu bunganya sama. Artinya, jika bunga dibebankan, misalnya selama satu tahun, maka pembayarannya akan bersifat tahunan. Atau bunga dihitung setiap bulan dan pembayaran juga dilakukan setiap bulan. Ada anuitas yang periodenya tidak sama (periode pembayaran dan periode bunga), tetapi perhitungannya lebih rumit. Saya tidak akan menyentuhnya. Siapapun yang ingin memahami topik ini secara rinci harus membaca buku teks matematika keuangan.
Pertama, mari kita ingat apa itu diskon dan akresi. Hal ini dibahas lebih detail pada artikel sebelumnya. Ini berkaitan dengan pengurangan dan peningkatan satu arus kas, yaitu satu sejumlah uang. Mendiskontokan berarti menghitung nilai sekarang dari arus kas masa depan. Artinya, jika Anda perlu menabung sejumlah tertentu pada suatu tanggal di masa depan, maka dengan menggunakan diskon Anda dapat menghitung berapa banyak yang perlu Anda simpan di bank hari ini.
Akumulasi adalah pergerakan dari hari ini ke besok: menghitung nilai masa depan dari uang yang Anda miliki saat ini. Jika Anda menyetor uang ke rekening bank, mengetahui suku bunga bank akan memungkinkan Anda menghitung berapa banyak uang yang akan Anda miliki di rekening Anda kapan saja di masa depan.
Penggabungan dan diskon tentu saja tidak berlaku jika Anda menyimpan uang di rumah. Semua perhitungan ini hanya valid jika Anda dapat menginvestasikan uang Anda: menaruhnya di rekening bank atau membeli surat utang.
Diskonto dan pemajemukan berlaku tidak hanya pada satu arus kas, namun juga pada serangkaian arus kas, dan jumlah kasnya bisa berapa pun ukurannya. Kasus khusus dari beberapa arus kas tersebut adalah anuitas.
Arus kas anuitas juga dapat didiskontokan dan ditingkatkan, sehingga nilainya saat ini dan masa depan dapat ditentukan.
Misalnya, hal ini diperlukan ketika kita harus memilih di antara dua pilihan yang ditawarkan kepada kita untuk menerima uang. Tanpa mengetahui prinsip dasar matematika keuangan, Anda bisa melakukan kesalahan dan memilih opsi yang jelas-jelas tidak menguntungkan bagi diri Anda sendiri. Inilah yang digunakan oleh pelaku pasar keuangan yang lebih berpengetahuan, yaitu bank.
CONTOH 1. Mari kita ambil contoh abstrak. Katakanlah Anda harus memilih mana yang lebih baik:
Totalnya adalah 5 * 25.000 = 125.000, yang sepertinya lebih baik dari $100.000. Tapi benarkah? Bagaimanapun, uang juga memiliki nilai “waktu”. Suku bunga bank saat ini di suatu negara, katakanlah, adalah 10%.
Opsi (B) adalah opsi anuitas sederhana. Tapi tidak semua orang tahu apa sebutannya. Untuk membandingkan kedua opsi ini satu sama lain (mana yang lebih menguntungkan?), Anda perlu membawanya ke satu titik waktu, karena nilai uang berbeda pada titik waktu yang berbeda. Dalam hal ini, perlu untuk mendiskontokan arus kas anuitas (B), yaitu. hitung nilainya hari ini. Jika nilai diskon anuitas lebih besar dari $100.000, maka opsi kedua lebih menguntungkan pada tingkat bunga tertentu.
Di artikel sebelumnya kita mempelajari cara mendiskon satu jumlah. Perhitungan yang sama dapat dilakukan kali ini, tetapi Anda harus mengulanginya sebanyak 5 kali.
Pada skala waktu ini, selain pembayaran sebesar 25.000, faktor diskon yang sesuai dengan setiap periode diplot. diberikan di artikel sebelumnya tentang diskon.
Jika Anda mendiskon (yaitu, membawa ke momen saat ini) setiap jumlah secara terpisah, Anda akan mendapatkan tabel seperti ini:
Di sini jumlah pembayaran dikalikan dengan faktor diskon yang sesuai setiap tahunnya. Secara total, lima pembayaran sebesar 25.000 pada akhir setiap tahun setelah diskon bernilai 94.770, sedikit kurang dari 100.000 saat ini. Oleh karena itu, 100.000 hari ini pada tingkat 10% akan lebih menguntungkan daripada anuitas 5 tahun yang diusulkan sebesar 25.000.
Contoh ini penting tidak hanya untuk sekali lagi menunjukkan nilai waktu dari uang. Dari tabel tersebut menjadi jelas bagaimana perhitungan dapat disederhanakan nilai diskon dari anuitas. Daripada mendiskon setiap jumlah secara terpisah, Anda dapat menjumlahkan semua faktor diskon dan mengalikannya hanya sekali:
25.000*(0,9091+0,8264+0,7513+0,6830+0,6209) yang sama dengan 25.000* 3,7908 =94,770
Dari contoh ini mudah untuk memperoleh rumus matematikanya rumus untuk menghitung nilai diskon suatu anuitas.
Pertama, mari kita ingat seperti apa rumus diskonnya:
PV = FV*1/(1+R)n
Faktor diskonnya adalah 1/(1+Kanan)n- ini adalah 0,9091, 0,8264, dst. dalam contoh kita.
Rumus anuitas(untuk menghitung nilai diskonto arus kas anuitas)
PV = FV*
Ekspresi dalam tanda kurung siku dapat direpresentasikan secara matematis, namun hal ini sepertinya tidak diperlukan bagi kebanyakan orang. Ini disebut faktor anuitas, atau faktor diskon anuitas, nama pastinya tidak begitu penting. Dalam contoh di atas, koefisien ini sama dengan 3,7908 .
Jauh lebih berguna jika menggunakan tabel koefisien tersebut untuk menghitung nilai sekarang (yang didiskontokan) dari arus kas anuitas. Tabel seperti itu memungkinkan Anda dengan cepat menyelesaikan masalah diskon anuitas sederhana. Contoh tabel diskon diberikan di bawah ini:
Jika ada yang membutuhkan yang tepat rumus anuitas, atau lebih tepatnya rumus faktor diskon anuitas, maka ini dia:
Faktor diskon anuitas: 1/R — 1/(R*(1+R) n)
Nilai diskon anuitas: PV = pembayaran dikalikan koefisien
Dalam contoh di atas, kita mempertimbangkan nilai arus kas yang didiskontokan. Artinya, mereka membawa nilai arus kas ke titik waktu saat ini. Anda juga dapat memecahkan masalah kebalikannya - cari tahu nilai masa depan dari anuitas(arus kas anuitas).
CONTOH 2. Dalam contoh pertama, kita dapat menghitung nilai masa depan dari kedua opsi. Jika kita berpindah dari bidang matematika murni ke bidang kehidupan, maka kita perlu memilih mana yang lebih baik:
Untuk opsi pertama, Anda bisa menggunakannya (ada di artikel sebelumnya).
Untuk opsi (A), nilai masa depan dihitung secara sederhana: $100.000 dalam 5 tahun akan sama dengan 100.000 * 1,6105 = $161.050
Untuk opsi (B) situasinya agak lebih rumit. 
Kami ingin tahu berapa banyak yang akan kami miliki di rekening kami dalam 5 tahun jika kami menabung 25.000 pada akhirnya setiap tahun. Artinya, kita akan melakukan pembayaran terakhir dan langsung menghitung berapa banyak yang sudah kita tabung. Untuk menghindari kesalahan, lebih baik menandatangani koefisien kenaikan yang sesuai setiap tahun pada skala waktu. Pembayaran pertama dilakukan pada akhir tahun pertama, artinya setelah 5 tahun hanya akan dikenakan bunga selama 4 tahun. Dengan demikian, pada pembayaran kedua kita akan menerima bunga selama 3 tahun, pada pembayaran ketiga - selama dua tahun, pada pembayaran keempat - selama satu tahun, dan terakhir, setelah menyetorkan uang untuk kelima kalinya, bunga pada pembayaran terakhir akan tetap timbul. (artinya, perlu dikalikan dengan 1,10 pangkat nol!)
25.000*(1,1) 4 +25.000*(1,1) 3 + 25.000*(1,10) 2 + 25.000*(1,10) 1 + 25.000 (1,10) 0 yang sama dengan
25,000*1,4641 + 25,000*1,3310 +25,000*1,2100 +25,000*1,1000 + 25,000*1 = 25,000*6,1051 = 152,628
Nilai masa depan dari anuitas (opsi B) sama dengan $152,628, yang secara signifikan lebih kecil dari $161,050 (opsi A). Ini berarti lebih menguntungkan menyetor $100.000 ke rekening bank saat ini daripada menyetor $25.000 pada akhirnya masing-masing 5 tahun ke depan. Kesimpulan ini berlaku untuk suku bunga bank 10% per tahun.
Untuk menghitung nilai arus kas anuitas masa depan, terdapat juga tabel koefisien. Dalam hal ini, tabel ini dapat digunakan untuk menghitung anuitas dengan pembayaran pada akhir interval waktu (yaitu pasca-numerando).
Untuk pecinta matematika rumus anuitas untuk menghitung nilai masa depannya terlihat seperti ini:
Tingkat pertumbuhan anuitas: FV = pembayaran dikalikan koefisien,
dimana koefisiennya adalah: [(1+R)n – 1]/R
Itu adalah anuitas dengan pembayaran pada akhir setiap tahun ( nomor pasca).
CONTOH 3. Kita dapat mempertimbangkan contoh lain. Berapa yang akan kita kumpulkan di rekening bank jika kita menyetor 25.000 per awal setiap tahun, bukan di akhir? Inilah yang disebut anuitas prenumerando, sebut saja opsi B. Arus kas ini dapat digambarkan dalam skala waktu sebagai berikut:
Terlihat dari gambar, pembayaran sebesar 25.000 dilakukan pada setiap awal periode tahunan. Misalnya, Anda memutuskan untuk menyetor 25.000 ke rekening bank Anda setiap tahun pada tanggal 1 Januari. Pembayaran pertama akan memberi kita bunga 5 tahun, pembayaran kedua akan memberi kita bunga 4 tahun, pembayaran ketiga akan memberi kita bunga 3 tahun, pembayaran keempat akan memberi kita bunga 2 tahun dan terakhir pembayaran dilakukan di awal tahun. tahun kelima akan memberi kita bunga satu tahun. Saya mengambilnya dari tabel terkait, yang dapat dibuka melalui link.
25,000*1,6105+25,000*1,4641 +25,000*1,3310 + 25,000*1,2100 + 25,000*1,1000 = 25,000* (1,6105+1,4641+1,3310+1,2100+1,1000) = 25,000*6,7156 = 167,890
Jadi, jika Anda mulai menyetor 25.000 setiap tahun pada awal periode tahunan dan melakukan ini selama 5 tahun, maka setelah 5 tahun jumlah di rekening akan sama dengan $167,890 . Opsi B ini lebih menguntungkan dibandingkan opsi A dan B yang telah dibahas sebelumnya.
Seperti dapat dilihat dari dua contoh terakhir, momen pembayaran dilakukan sangatlah penting: di awal atau di akhir periode. Oleh karena itu, jika Anda perlu menghitung nilai diskonto atau nilai masa depan dari setiap arus kas, disarankan untuk menggunakan, di mana Anda mencatat jumlah dan koefisien yang sesuai dengan setiap periode.
Bagaimana perhitungan ini bisa berguna dalam kehidupan?
Dalam contoh di atas, contoh abstrak anuitas telah dibahas. Namun kita juga menemukan arus kas anuitas dalam kehidupan nyata. Misalnya, menarik untuk menghitung berapa banyak yang dapat Anda kumpulkan di rekening tabungan jika Anda menabung sebagian dari gaji Anda setiap bulan. Dengan cara yang sama, dimungkinkan untuk menghitung, katakanlah, nilai diskon dari semua pembayaran pinjaman mobil. Pembayaran ke bank saat membeli mobil (dan bukan hanya mobil) secara kredit merupakan anuitas. Nilainya yang didiskon (dikurangi hingga saat ini) akan menjadi harga pembelian mobil. Anda dapat mengetahui secara pasti berapa kelebihan pembayaran Anda saat membeli mobil secara kredit dibandingkan dengan membeli mobil dan membayar penuh di muka. Dimungkinkan juga untuk membandingkan penawaran pinjaman dari berbagai bank. Satu-satunya masalah dengan perhitungan tersebut adalah memilih tingkat diskonto bulanan yang benar.
Anuitas abadi adalah anuitas yang pembayarannya terus menerus tanpa batas waktu. Dengan kata lain, ini adalah serangkaian pembayaran identik yang berlangsung selamanya. Opsi ini dimungkinkan jika, misalnya, Anda memiliki simpanan di bank, Anda hanya menarik bunga tahunan, dan jumlah pokok simpanan tetap tidak tersentuh. Kemudian, jika tingkat bunga deposito tidak berubah, Anda akan mendapatkan apa yang disebut.
Di era Victoria, semua bangsawan Inggris hidup dari bunga modal mereka. Semakin banyak modal yang ada di bank, semakin banyak uang yang bisa dibelanjakan untuk hidup tanpa harus bekerja. Modal diwariskan, dan secara teoritis (jika tidak ada kegagalan bank, perang, dan inflasi) hal ini dapat berlanjut selamanya.
Nilai masa depan dari anuitas abadi tidak ada artinya karena pembayaran terus berlanjut tanpa batas waktu. Namun, nilai sekarang dari anuitas abadi adalah jumlah terbatas yang dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
PV = pembayaran/R,
di mana R adalah % suku bunga bank, PV adalah nilai saat ini
Misalnya, jika Anda ingin menarik bunga dari rekening Anda sebesar 500.000 rubel per tahun, dan suku bunga bank tahunan adalah 8%, ini berarti jumlah setoran di rekening bank harus sama dengan:
500.000/0,08 = 6.250.000 rubel (PV).
Dalam hal ini (kecuali izin bank dicabut atau bank itu sendiri bangkrut), Anda dapat menarik bunga tersebut terus menerus dalam jangka waktu yang tidak terbatas. Satu-satunya hal yang dapat mengganggu gambaran indah ini adalah inflasi, yang menyebabkan nilai uang terdepresiasi. Oleh karena itu, seiring berjalannya waktu, bunga yang ditarik akan semakin berkurang manfaat materinya.
Sebuah penyimpangan filosofis bagi mereka yang telah membaca sejauh ini.
Agar sewa itu abadi, kita perlu melestarikan modal dari mana kita menerima sewa itu. Undang-undang ini tidak hanya berlaku pada dunia keuangan. Umat manusia hidup dari sewa alam - mereka menggunakan sumber daya bumi, yang sayangnya tidak dapat habis. Jika Anda mengambil terlalu banyak dari alam, sewa alam akan mengering. Menipisnya sumber daya bumi sedang terjadi di depan mata kita.
Dalam penangkapan ikan tradisional, ikan ditangkap sedikit demi sedikit, namun hal ini bisa berlangsung selamanya. Kota-kota industri membutuhkan ikan dengan variasi dan kualitas tertentu, yang ditangkap oleh armada penangkapan ikan industri. Kapal-kapal besar hanya mengejar keuntungan dan tidak menghargai lautan. Saat ini, 80% wilayah penangkapan ikan di Eropa telah habis. Menurut para ilmuwan, industri perikanan akan hilang pada tahun 2050. “Sewa” penangkapan ikan akan habis dengan sendirinya. Berapa banyak sumber daya yang tersisa bagi umat manusia dalam 35-50 tahun?
“Dunia ini cukup besar untuk memenuhi kebutuhan setiap orang, namun terlalu kecil untuk memuaskan keserakahan manusia.”
Planet Bumi adalah milik kita satu satunya rumah. Apakah kita memikirkan hal ini?
Anda dapat menghitung sendiri potensi pendapatan Anda dari deposito, tanpa bergantung pada kalkulator pendapatan yang diposting di situs web lembaga perbankan. Artikel ini menunjukkan, dengan menggunakan contoh spesifik, cara menghitung pendapatan simpanan dengan kapitalisasi bunga (triwulanan, bulanan, harian, berkelanjutan) dan cara menghitung suku bunga efektif simpanan dengan kapitalisasi.
