Orang-orang selalu memikirkan masa depan mereka. Mereka mencoba dan berusaha melindungi diri mereka sendiri dan anak-anak serta cucu-cucu mereka dari kesulitan keuangan, setidaknya membangun sebuah pulau kecil kepercayaan di masa depan. Dengan mulai membangunnya sekarang dengan bantuan simpanan bank kecil, Anda dapat menjamin stabilitas dan kemandirian masa depan Anda.
Prinsip dasar operasional perbankan adalah bahwa dana hanya dapat bertambah jika dana tersebut terus beredar. Agar klien dapat dengan percaya diri menavigasi bidang jasa keuangan dan dapat memilih dengan benar kondisi yang menguntungkan mereka dalam jangka waktu tertentu, mereka perlu mengetahui sejumlah aturan sederhana. Artikel ini akan fokus pada investasi jangka panjang yang memungkinkan Anda memperoleh keuntungan signifikan dari jumlah modal awal yang relatif kecil selama beberapa tahun tertentu atau menggunakan deposit lebih lanjut, menarik akrual untuk kebutuhan sehari-hari.
Untuk menghitung keuntungan dengan benar, Anda perlu melakukan operasi aritmatika sederhana berdasarkan rumus di bawah ini.
Misalnya, Anda memutuskan untuk menyetor 100.000,00 rubel. sebesar 11% per tahun, untuk memanfaatkan tabungan dalam 10 tahun, yang telah tumbuh secara signifikan sebagai hasil kapitalisasi. Untuk menghitung jumlah totalnya, sebaiknya menggunakan metode perhitungan bunga majemuk.
Penggunaan bunga majemuk menyiratkan bahwa pada akhir setiap periode (tahun, kuartal, bulan) keuntungan yang masih harus dibayar dijumlahkan dengan deposit. Jumlah yang diterima menjadi dasar peningkatan laba selanjutnya.
Untuk menghitung bunga majemuk, kami menggunakan rumus sederhana:
Mengganti nilai ke dalam rumus ini, kita melihat bahwa:
setelah 5 tahun jumlahnya akan sama dengan menggosok.,
dan dalam 10 tahun itu akan terjadi 
menggosok.
Jika kita menghitung dalam jangka waktu pendek, maka akan lebih mudah menghitung bunga majemuk menggunakan rumus
Namun bagi mereka yang merasa lebih nyaman untuk menarik bunga deposito setiap bulan, ada baiknya mengenal konsep tersebut “kapitalisasi simpanan”, menyiratkan perhitungan bunga sederhana.
Grafik menunjukkan bagaimana modal akan tumbuh dengan kapitalisasi bunga deposito jika Anda berinvestasi 100.000,00 rubel. selama 10 tahun sebesar 10%, 15% dan 20%
Ada metode lain yang lebih bermanfaat bagi klien untuk menghitung dan menambahkan suku bunga - bulanan. Rumus berikut digunakan untuk ini:
dimana n juga sesuai dengan jumlah operasi kapitalisasi, tetapi sudah dinyatakan dalam bulan. Suku bunga disini juga dibagi 12 karena ada 12 bulan dalam setahun, dan kita perlu menghitung suku bunga bulanan.
Jika rumus ini digunakan untuk menghitung simpanan setiap triwulan, maka bunga tahunan akan dibagi 4, dan indikator n akan sama dengan jumlah triwulan, dan jika bunga dihitung setengah tahun, maka tingkat bunga akan menjadi dibagi 2, dan sebutan n akan sesuai dengan jumlah setengah tahun.
Jadi, jika kita memberikan kontribusi sebesar 100.000,00 rubel. dengan kapitalisasi bunga bulanan, maka:
dalam 5 tahun (60 bulan) jumlah setoran akan meningkat menjadi 172.891,57 rubel, yaitu sekitar 10.000 rubel. lebih dari pada kapitalisasi tahunan simpanan; 
menggosok.
dan setelah 10 tahun (120 bulan) Jumlah yang “meningkat” adalah 298.914,96 rubel, yang sudah berarti 15.000 rubel penuh. melebihi angka yang dihitung dengan menggunakan rumus bunga majemuk, yang dihitung dalam tahun.
menggosok.
Artinya profitabilitas bila bunga dihitung bulanan lebih besar dibandingkan bila bunga dihitung setahun sekali. Dan jika keuntungan tidak ditarik, maka bunga majemuk akan menguntungkan investor.
Rumus bunga majemuk yang dijelaskan di atas kemungkinan besar merupakan contoh ilustratif bagi klien untuk memahami cara menghitung bunga majemuk. Perhitungan ini agak lebih sederhana daripada formula yang diterapkan oleh bank terhadap simpanan bank sebenarnya.
Satuan yang digunakan disini adalah koefisien suku bunga deposito (p). Ini dihitung seperti ini:
Bunga majemuk (“jumlah akumulasi”) pada deposito bank dihitung dengan menggunakan rumus berikut:
Berdasarkan hal tersebut dan mengambil data yang sama sebagai contoh, kami akan menghitung bunga majemuk menggunakan metode perbankan.
Pertama, kita menentukan koefisien suku bunga deposito:
Sekarang kita substitusikan data tersebut ke dalam rumus utama:
menggosok. – ini adalah jumlah simpanan yang “berkembang” selama 5 tahun*;
menggosok. – dalam 10 tahun*.
*Perhitungan yang diberikan dalam contoh adalah perkiraan, karena tidak memperhitungkan tahun kabisat dan jumlah hari yang berbeda dalam sebulan.
Jika kita membandingkan jumlah dari dua contoh ini dengan jumlah yang sebelumnya, jumlahnya agak lebih kecil, namun manfaat dari kapitalisasi bunga tetap terlihat jelas. Oleh karena itu, jika Anda bertekad untuk menaruh uang di bank untuk jangka waktu yang lama, maka lebih baik melakukan perhitungan awal keuntungan dengan menggunakan rumus “perbankan” - ini akan membantu Anda menghindari kekecewaan.
Ketentuan umum
Hampir semua perhitungan keuangan dan ekonomi, dengan satu atau lain cara, melibatkan perhitungan bunga. Dalam praktek perbankan digunakan bunga sederhana dan bunga majemuk.
Uang berbunga (interest) adalah sejumlah pendapatan dari peminjaman uang dalam berbagai bentuk (mengeluarkan pinjaman, membuka rekening deposito, membeli obligasi, menyewakan peralatan, dan lain-lain).
Besarnya bunga uang tergantung pada tiga faktor:
jumlah pokok (ukuran pinjaman);
tanggal jatuh tempo;
tingkat bunga, yang mencirikan intensitas akrual bunga.
Bunga dapat dibayarkan saat bertambah atau ditambahkan ke jumlah terhutang. Peningkatan jumlah hutang karena penambahan bunga yang masih harus dibayar disebut peningkatan jumlah hutang awal.
Perbandingan jumlah akumulasi dengan jumlah utang awal disebut pengganda akumulasi (koefisien):
Kn = 8 / R,
dimana 8 adalah jumlah yang masih harus dibayar (dibayar kembali);
P adalah jumlah hutang awal.
KN selalu lebih besar dari satu.
Selang waktu penghitungan bunga disebut periode akrual.
Bila menggunakan suku bunga sederhana, jumlah bunga uang untuk seluruh jangka waktu utang ditentukan berdasarkan jumlah aslinya, terlepas dari periode akrual dan durasinya, yaitu. Tidak ada kapitalisasi bunga (accrual of interest on interest).
Bila menggunakan suku bunga majemuk, bunga yang diperoleh untuk periode sebelumnya ditambahkan ke jumlah hutang dan bunga diperoleh pada periode berikutnya (terjadi kapitalisasi bunga).
Besaran taruhan itu sendiri (baik sederhana maupun kompleks) dapat berubah atau tetap tidak berubah. Jika tingkat bunga berubah, tetapi tidak ada kapitalisasi, mis. Bunga selalu dihitung dengan jumlah yang sama, maka akan sederhana. Jika terdapat kapitalisasi bahkan pada tingkat bunga konstan, maka bunga tersebut bersifat majemuk.
Bunga sederhana dan bunga majemuk dapat dihitung dengan menggunakan dua metode:
dekursif - bunga dihitung pada akhir setiap interval;
antiseptik - bunga dibebankan pada awal setiap interval.
Dalam kasus pertama, jumlah bunga uang ditentukan berdasarkan jumlah pinjaman yang diberikan. Tingkat bunga dekursif disebut bunga pinjaman. Ini adalah rasio jumlah pendapatan yang diperoleh selama selang waktu tertentu dengan jumlah awal (jumlah pada awal interval akrual bunga):
1 = Pendapatan x 100% / RUR
Dengan metode penghitungan bunga antisipatif (pendahuluan), besarnya uang bunga ditentukan berdasarkan jumlah yang masih harus dibayar. Tingkat bunga (е) disebut diskonto atau antisipatif:
е = Pendapatan x 100% / 8.
Metode dekursif lebih umum dalam praktik dunia.
Mari kita lihat berbagai jenis taruhan dan cara menghitungnya sesuai dengan rencana berikut:
suku bunga dekursif sederhana;
suku bunga dekursif yang kompleks;
tarif antisipatif (diskon) sederhana;
tarif antisipatif (diskon) yang kompleks;
suku bunga yang setara.
Metode dekursif dalam menghitung bunga sederhana
Perhitungan suku bunga sederhana biasanya digunakan untuk pinjaman jangka pendek.
Mari kita perkenalkan notasi berikut:
8 - jumlah akumulasi, gosok.;
R - jumlah hutang awal, gosok.;
1 - tingkat bunga tahunan (dalam pecahan satuan);
n adalah jangka waktu pinjaman dalam beberapa tahun.
Pada akhir tahun pertama, jumlah akumulasi utang akan menjadi
81 = P + P 1 = P (1+ 1);
pada akhir tahun kedua:
82 = 81 + P 1 = P (1+ 1) + P 1 = P (1+ 2 1); pada akhir tahun ketiga:
83 = 82 + P1 = P (1+ 2 1) + P 1 = P (1+3 1) dan seterusnya. Pada akhir suku n: 81 = P (1+ n 1).
Ini adalah rumus pemajemukan pada tingkat bunga sederhana.
Perlu diingat bahwa tingkat bunga dan jangka waktu harus sesuai satu sama lain, yaitu. jika diambil tarif tahunan, maka jangka waktunya harus dinyatakan dalam tahun (jika triwulanan, maka jangka waktunya harus dinyatakan dalam triwulan, dst.).
Ekspresi dalam tanda kurung mewakili faktor pemajemukan pada tingkat bunga sederhana:
Kn = (1+ hal 1).
Karena itu,
81 = Buku R.
Soal 5.1
Bank mengeluarkan pinjaman sebesar 5 juta rubel. selama enam bulan dengan tingkat bunga sederhana 12% per tahun. Tentukan jumlah yang harus dibayar.
Larutan:
8 = 5 juta (1 + 0,5 ¦ 0,12) = 5.300.000 rubel.
Jika jangka waktu peminjaman uang ditentukan dalam hari, maka jumlah akumulasinya adalah 8 = P (1 + d/K 1),
dimana d adalah durasi periode dalam hari;
K adalah jumlah hari dalam setahun.
Nilai K disebut basis waktu.
Basis waktu dapat diambil sama dengan lamanya tahun sebenarnya - 365 atau 366 (maka bunganya disebut eksak) atau perkiraan, sama dengan 360 hari (maka bunga biasa).
Nilai jumlah hari peminjaman uang juga dapat ditentukan secara tepat atau kira-kira. Dalam kasus terakhir, lamanya satu bulan penuh dianggap 30 hari. Dalam kedua kasus tersebut, tanggal pengeluaran uang sebagai pinjaman dan tanggal pengembaliannya dianggap satu hari.
Soal 5.2
Bank mengeluarkan pinjaman sebesar 200 ribu rubel. dari 12.03 hingga 25.12 (tahun kabisat) dengan tarif 7% per tahun. Tentukan besarnya jumlah yang harus dibayar dengan berbagai pilihan basis waktu dengan jumlah hari pinjaman yang tepat dan perkiraan dan buatlah kesimpulan tentang pilihan yang lebih disukai dari sudut pandang bank dan peminjam.
Larutan:
Jumlah hari pinjaman yang tepat mulai 12.03. sampai 25.12:
20+30+31+30+31+31+30+31+30+25=289.
Perkiraan jumlah hari pinjaman:
20+8-30+25=285;
a) Bunga yang tepat dan jumlah hari pinjaman yang tepat:
8 =200.000 (1+289/366 ¦ 0,07) = 211.016 rubel;
b) bunga biasa dan jumlah hari pinjaman yang tepat:
8 =200.000 (1+289/360 ¦ 0,07) =211.200;
c) bunga biasa dan perkiraan jumlah hari pinjaman:
8= 200.000 (1+285/360 ¦ 0,07) =211.044;
d) bunga pasti dan perkiraan jumlah hari pinjaman:
8= 200.000 (1+285/366 ¦ 0,07) =210.863.
Jadi, jumlah akumulasi terbesar akan ada pada opsi b) - bunga biasa dengan jumlah hari pinjaman yang tepat, dan yang terkecil - pada opsi d) - bunga pasti dengan perkiraan jumlah hari pinjaman.
Oleh karena itu, dari sudut pandang bank sebagai pemberi pinjaman, opsi b) lebih disukai, dan dari sudut pandang peminjam, opsi d) lebih disukai.
Harus diingat bahwa bagaimanapun juga, bunga biasa lebih menguntungkan bagi pemberi pinjaman, dan bunga pasti lebih menguntungkan bagi peminjam (bagaimanapun - sederhana atau kompleks). Dalam kasus pertama, jumlah akumulasi selalu lebih besar, dan dalam kasus kedua, lebih sedikit.
Jika suku bunga pada interval akrual yang berbeda selama jangka waktu utang berbeda, jumlah yang masih harus dibayar ditentukan dengan rumus
N
8 = P (1 + X hal 10,
1=1
dimana N adalah jumlah interval perhitungan bunga;
n - durasi interval akrual pertama;
^ - tingkat bunga pada interval akrual ke-I.
Soal 5.3
Bank menerima simpanan dengan tingkat bunga sederhana, yaitu 10% pada tahun pertama, dan kemudian meningkat sebesar 2 poin persentase setiap enam bulan. Tentukan jumlah setoran 50 ribu rubel. dengan bunga setelah 3 tahun.
Larutan:
8 = 50.000 (1 + 0,1 + 0,5 0,12 + 0,5 0,14 + 0,5 0,16 + 0,5 0,18) = 70.000 gosok.
Dengan menggunakan rumus jumlah yang masih harus dibayar, Anda dapat menentukan jangka waktu pinjaman dalam kondisi tertentu lainnya.
Jangka waktu pinjaman dalam beberapa tahun:
8 - P N = .
hal 1
Soal 5.4
Tentukan jangka waktu pinjaman dalam tahun yang utangnya 200 ribu rubel. akan meningkat menjadi 250 ribu rubel. saat menggunakan tingkat bunga sederhana - 16% per tahun.
Larutan:
(250.000 - 200.000) / (200.000 0,16) = 1,56 (tahun).
Dari rumus jumlah akumulasi, Anda dapat menentukan tingkat bunga sederhana, serta jumlah awal utang.
Putuskan sendiri
Soal 5.5
Saat mengeluarkan pinjaman 600 ribu rubel. disepakati bahwa peminjam akan mengembalikan 800 ribu rubel dalam dua tahun. Tentukan tingkat bunga yang digunakan bank.
Jawaban: 17%.
Soal 5.6
Pinjaman, yang diterbitkan dengan tingkat bunga sederhana 15% per tahun, harus dilunasi setelah 100 hari. Tentukan jumlah yang diterima peminjam dan jumlah bunga uang yang diterima bank jika jumlah yang akan dikembalikan harus 500 ribu rubel. dengan basis waktu 360 hari.
Jawaban: 480.000 gosok.
Operasi untuk menemukan jumlah awal utang terhadap jumlah pembayaran yang diketahui disebut diskonto. Dalam arti luas, istilah “diskonto” berarti menentukan nilai P dari suatu nilai biaya pada suatu waktu tertentu, dengan ketentuan di kemudian hari akan sama dengan nilai tertentu 8. Perhitungan seperti itu disebut juga membawa indikator biaya ke titik waktu tertentu, dan nilai P ditentukan dengan mendiskontokan , disebut nilai modern, atau tereduksi, dari nilai tersebut. Diskon memungkinkan Anda memperhitungkan faktor waktu dalam perhitungan biaya. Faktor diskon selalu kurang dari satu.
Rumus diskon dengan tingkat bunga sederhana:
P = 8 / (1 + w), dimana 1 / (1 + w) adalah faktor diskon.
Metode dekursif dalam menghitung bunga majemuk
Dalam operasi keuangan dan kredit jangka panjang, bunga setelah periode akrual berikutnya ditambahkan ke jumlah utang, dan pada periode berikutnya bunga ditambahkan ke jumlah total, yaitu. dengan kapitalisasi bunga. Bunga seperti ini disebut bunga majemuk; dasar penghitungannya meningkat seiring dengan periode akrual berikutnya.
Jumlah yang masih harus dibayar selama n tahun dengan menggunakan tingkat bunga majemuk tahunan konstan 1c ditentukan oleh rumus
8 = P (1 + 1s) hal.
Soal 5.7
Bank mengeluarkan pinjaman sebesar 500 ribu rubel. untuk 3 tahun. Tentukan jumlah yang harus dibayar dengan menggunakan tingkat bunga majemuk 18% per tahun dan jumlah bunga uang.
Larutan:
8 = 500.000 (1 + 0,18)3 = 821.516 gosok.
Uang bunga = 821.516 - 500.000 = 321.516 rubel.
Bunga majemuk dengan jangka waktu pinjaman lebih dari satu tahun menghasilkan jumlah bunga yang lebih besar daripada bunga sederhana.
Jika bunga majemuk dihitung beberapa kali dalam setahun (bulanan, triwulanan, setengah tahunan), maka digunakan tingkat bunga nominal - tingkat tahunan, yang menjadi dasar penentuan tingkat bunga yang diterapkan pada setiap periode akrual.
Jumlah yang masih harus dibayar ditentukan oleh rumus
8 = P (1 + ] / t)tp, dimana ] adalah tingkat bunga majemuk nominal, desimal;
t - jumlah periode bunga per tahun;
n - jangka waktu pinjaman dalam beberapa tahun;
] / t - tingkat bunga pada setiap periode akrual, pecahan desimal.
Soal 5.8
Bank membebankan bunga deposito setiap triwulan dengan tingkat nominal 16% per tahun. Tentukan jumlah yang diterima penyimpan setelah 5 tahun jika jumlah setoran awal adalah 100 ribu rubel.
Larutan:
8 = 100.000 (1 + 0,16 / 4)4 x 5 = 219.112,2 gosok.
Dari rumus jumlah yang masih harus dibayar, Anda dapat menentukan nilai jumlah yang dikeluarkan untuk peminjam, yaitu. mendiskontokan jumlah 8 pada tingkat bunga majemuk.
Putuskan sendiri
Soal 5.9
Tentukan nilai saat ini dari jumlah 500 ribu rubel, yang akan dibayarkan dalam 3 tahun dengan menggunakan tingkat bunga majemuk 20% per tahun.
Jawaban: 289.351,8 gosok.
Jangka waktu pinjaman (dari rumus jumlah yang masih harus dibayar) akan ditentukan
n = 1od (8/P) / 1od (1+1).
Logaritma dapat diambil dengan basis apa pun yang setara.
Soal 5.10
Bank mengenakan bunga majemuk sebesar 12% per tahun. Tentukan periode dalam tahun di mana jumlah setorannya adalah 25 ribu rubel. akan meningkat menjadi 40 ribu rubel.
Jawaban: 4,15 tahun.
Soal 5.11
Jumlah utangnya berlipat ganda dalam 3 tahun. Tentukan tingkat bunga majemuk tahunan yang digunakan.
Jawaban: 26%.
Metode antisipatif dalam menghitung bunga sederhana (simple discount rate)
Bila menggunakan tingkat diskonto, besarnya bunga uang dari peminjaman uang ditentukan berdasarkan jumlah yang harus dikembalikan, yaitu. Jumlah pinjaman yang diterima tidak dianggap sebagai jumlah yang diterima, melainkan jumlah akumulasi. Uang bunga yang diperoleh pada tingkat diskonto dipotong langsung pada saat pinjaman diberikan, dan peminjam segera menerima jumlah pinjaman dikurangi uang bunga. Operasi ini disebut pendiskontoan pada tingkat diskonto, serta akuntansi perbankan atau komersial. Jumlah bunga yang diperoleh pada tingkat diskonto disebut diskon.
Jumlah yang diterima peminjam akan ditentukan oleh rumus
P = 8 (1 - p th),
dimana th adalah tingkat diskonto sederhana;
(1 - p е) - faktor diskon dengan tingkat diskonto sederhana.
Rumusnya jelas bahwa, tidak seperti suku bunga pinjaman, suku bunga diskonto tidak dapat mengambil nilai apa pun, faktor diskonto tidak boleh negatif, yaitu. n^е harus benar-benar kurang dari satu. Nilai е yang mendekati batas tidak terjadi dalam praktiknya. Soal 5.12
Peminjam mengambil pinjaman selama seperempat dengan kewajiban membayar kembali 100 ribu rubel. Tentukan jumlah yang diterima peminjam dan jumlah diskonto yang ditahan bank dengan tingkat diskonto 15% per tahun.
Larutan:
P = 100.000 (1 - 0,25 x 0,15) = 96.250 gosok.
Diskon = 8 - R = 100.000 - 96.250 = 3.750 gosok.
Jika jangka waktu pinjaman ditentukan pada hari (d), jumlah yang diterima peminjam ditentukan dengan rumus
P = 8 (1 - iklan / K),
dimana K adalah jumlah hari dalam setahun (basis waktu).
Putuskan sendiri
Soal 5.13
Tentukan jumlah yang diterima peminjam dan jumlah diskon yang diterima bank jika, menurut perjanjian, peminjam harus mengembalikan 100 ribu rubel dalam 200 hari. dengan tingkat diskonto bank 10% per tahun dan jangka waktu 360 hari.
Jawaban: RUB 94.444,44; gosok 5.555,56
Dalam praktiknya, tingkat diskonto digunakan saat membeli (mendiskon) wesel dan kewajiban moneter lainnya. Dalam hal ini, bank atau lembaga keuangan lainnya, sebelum tagihannya jatuh tempo, membelinya dari pemilik (pemasok) dengan harga kurang dari jumlah yang harus dibayar pada akhir jangka waktu, atau, seperti yang mereka katakan, bank mendiskon tagihannya. Pemilik wesel menerima uang lebih awal dari jangka waktu yang ditentukan dalam wesel dikurangi pendapatan bank dalam bentuk potongan. Bank, setelah menerima jumlah yang ditentukan di dalamnya pada saat jatuh tempo pembayaran tagihan, merealisasikan (menerima) diskon tersebut.
Operasi ini dapat dianggap sebagai bank yang mengeluarkan pinjaman dalam jumlah yang ditentukan dalam tagihan, dengan tingkat diskonto yang digunakan dalam akuntansinya, untuk jangka waktu yang sama dengan jangka waktu dari tanggal akuntansi sampai dengan tanggal pelunasan tagihan. Oleh karena itu, jumlah yang dikeluarkan kepada pemilik tagihan yang didiskon akan ditentukan oleh rumus
P = 8 (1 - Dp-e) = 8 (1 - e-Dd / K), dimana Dp = Dd / K - jangka waktu dalam hari sejak tanggal pembukuan sampai dengan tanggal jatuh tempo tagihan;
IKLAN - jumlah hari dari tanggal pembukuan sampai dengan tanggal jatuh tempo tagihan.
Soal 5.14
Saat menghitung tagihan sebesar 100 ribu rubel, batas waktu pembayarannya adalah 80 hari lagi, bank membayar pemiliknya 98 ribu rubel. Tentukan berapa tingkat diskonto yang digunakan bank dengan basis waktu 360 hari.
Larutan:
e = (100.000 - 98.000) x 360 / (100.000 x 80) = 0,09 = 9%.
Putuskan sendiri
Soal 5.15
Bill of exchange dalam jumlah 200 ribu rubel. akuntansi di bank 30 hari sebelum tanggal jatuh tempo dengan tingkat diskonto 15% per tahun. Tentukan jumlah yang diterima pemegang surat utang dan jumlah diskonto yang diterima bank, dengan menggunakan basis waktu 360 hari.
Jawaban: RUB 197.500; 2.500 gosok.
Soal 5.16
Bank mengeluarkan pinjaman dengan tingkat diskonto 15% per tahun. Tentukan jangka waktu pinjaman dalam beberapa tahun jika peminjam ingin menerima 500 ribu rubel, dan jumlah yang harus dibayar harus 550 ribu rubel
. Jawaban: 0,61 tahun.
Metode antisipatif dalam menghitung bunga majemuk (compound discount rate)
Mari kita perkenalkan notasi berikut:
ес - tingkat diskonto yang kompleks;
^ - tingkat diskonto tahunan nominal (diterapkan saat menghitung bunga pada tingkat diskonto beberapa kali dalam setahun);
Rumus diskon menggunakan tingkat diskonto kompleks:
P = 8 (1 - ys) hal.
Jumlah yang masih harus dibayar setelah n tahun: 8 = P / (1 - Ds)p.
Di sini 1 / (1 - ys)p adalah koefisien kenaikan pada tingkat diskonto kompleks.
Jika bunga pinjaman dan tingkat diskonto sama, peningkatan jumlah awal pada kasus kedua (menggunakan metode antiseptik) lebih cepat. Oleh karena itu, dalam literatur dapat ditemukan pernyataan bahwa metode penghitungan bunga dekursif lebih menguntungkan peminjam, dan metode antisipatif lebih menguntungkan pemberi pinjaman. Namun, hal ini dapat dianggap berlaku hanya untuk suku bunga kecil, bila perbedaannya tidak terlalu signifikan. Namun ketika tingkat suku bunga naik, perbedaan jumlah yang masih harus dibayar menjadi sangat besar (dan bertambah seiring dengan meningkatnya persentase), dan membandingkan kedua metode ini tidak ada artinya lagi.
Berdasarkan rumus tersebut, tingkat diskonto hanya dapat mengambil nilai kurang dari 100%. Jumlah akumulasi meningkat pesat seiring dengan pertumbuhan tingkat diskonto, cenderung tak terbatas.
Jika tingkat diskonto berubah selama masa pinjaman:
N
8 = R / P (1 - hal th).
1=1
Di sini p1, p2, ... pN adalah durasi interval akrual dalam tahun;
d1,…^ - tingkat diskonto dalam interval ini;
Jika bunga dihitung t setahun sekali, maka
8 = P / (1 - G/t)™
Jika kita melakukan perhitungan 8 untuk berbagai jenis suku bunga (pinjaman sederhana dan kompleks dan suku bunga diskonto) dengan P dan suku bunga yang sama, maka pertumbuhan modal terbesar akan diperoleh dalam kasus akrual bunga pada tingkat diskonto sederhana.
Soal 5.17
Jumlah utang awal adalah 25 ribu rubel. Tentukan jumlah yang masih harus dibayar setelah 3 tahun dengan menggunakan metode penghitungan bunga dekursif dan antisipatif. Suku bunga tahunan - 25%.
Larutan:
= 25.000 (1 + 0,25)3 = 48.828.125 rubel;
= 25.000 (1 - 0,25)-3 = 59.255.747 gosok.
Putuskan sendiri
Soal 5.18
Tentukan nilai saat ini dari jumlah 120.000 rubel, yang akan dibayarkan dalam 2 tahun menggunakan tingkat diskonto kompleks sebesar 20% per tahun.
Jawaban: 76.800 gosok.
Soal 5.19.
Tentukan jumlah yang masih harus dibayar untuk berbagai jenis suku bunga dengan kondisi awal yang sama: P = 10.000 rubel, suku bunga = 10%.
Ringkaslah hasil perhitungan dalam sebuah tabel dan bandingkan tingkat pertumbuhannya. Jenis tarif dan rumus perhitungan 8 Term = 1 Term =3 Term =6 Pinjaman sederhana: 8 = P (1 + t) 11,000 13,000 16,000 Pinjaman kompleks: 8 = P (1 + 1s)p Cara penghitungan berkelanjutan %% 8 = R e] p 11 044 Akuntansi sederhana: 8 = R / (1 - yp) Akuntansi kompleks: 8 = R / (1 - j)p
Sebagai contoh, baris paling atas menunjukkan hasil perhitungan jumlah yang masih harus dibayar pada tingkat bunga pinjaman sederhana untuk jangka waktu pinjaman sama dengan satu, tiga dan enam tahun. Anda harus mengisi sendiri baris yang kosong.
Dalam rumus perhitungan penggabungan kontinyu, e adalah basis logaritma natural. Untuk n = 1 : 8 = 10.000 x 2,701 x 1 = 11.044.
Suku bunga ekuivalen Suku bunga ekuivalen adalah suku bunga yang jenisnya berbeda, yang penerapannya pada kondisi awal yang sama akan memberikan hasil keuangan yang sama. Mereka perlu diketahui ketika memungkinkan untuk memilih ketentuan transaksi keuangan dan diperlukan alat untuk membandingkan berbagai suku bunga dengan benar.
Untuk mencari suku bunga yang ekuivalen digunakan persamaan ekuivalen. Nilai dipilih yang dapat dihitung menggunakan berbagai jenis taruhan (biasanya jumlah yang masih harus dibayar). Berdasarkan persamaan dua ekspresi untuk nilai tertentu, persamaan ekuivalen dibuat, yang darinya, melalui transformasi yang sesuai, diperoleh hubungan yang menyatakan hubungan antara berbagai jenis suku bunga. Misalnya, untuk mencari tingkat diskonto sederhana yang setara dengan suku bunga pinjaman sederhana, persamaan ekivalensinya adalah
P (1 + w) = P/ (1 - st) atau (1 + w) = 1 / (1 - st), mis. perlu untuk menyamakan faktor peningkatan yang sesuai. Jadi th = 1/(1 + w) dan 1 = th/(1 - n).
Soal 5.20
Jangka waktu pembayaran kewajiban utang adalah enam bulan, tingkat diskonto sederhana adalah 18%. Berapa profitabilitas operasi ini, yang diukur dengan tingkat bunga sederhana?
Larutan:
1 = 0,18 / (1 - 0,5 x 0,18) = 0,198 = 19,8%. Untuk mencari kesetaraan antara suku bunga pinjaman majemuk tahunan dan suku bunga pinjaman nominal majemuk tahunan, kita menyamakan persamaan: 8 = Р (1 + 1с)п dan 8 = Р (1 + Ут)™, yaitu. (1 + dp = (1 + Ut)™
Jadi 1c = (1 + Vm) t - 1.
Tingkat bunga majemuk tahunan yang dihasilkan, setara dengan tingkat bunga nominal, disebut tingkat bunga majemuk efektif. Hal ini perlu diketahui untuk menentukan imbal hasil riil atau membandingkan bunga ketika menggunakan interval akrual yang berbeda.
Soal 5.21
Hitung suku bunga majemuk efektif jika suku bunga nominalnya 24% dan bunga dimajemukkan setiap bulan.
Larutan:
1c = (1 + 0,24 / 12)12 - 1 = 0,268 = 26,8%.
Soal 5.22
Tentukan pada tingkat bunga berapa lebih menguntungkan untuk menempatkan modal 10.000 ribu rubel. selama 5 tahun:
a) dengan tingkat pinjaman sederhana sebesar 20% per tahun;
b) dengan tingkat bunga pinjaman majemuk sebesar 12% per tahun dengan bunga triwulanan.
Larutan:
Di sini tidak perlu menghitung jumlah yang masih harus dibayar dengan tarif berbeda. Oleh karena itu, jumlah modal awal tidak penting. Misalnya, cukup mencari tingkat bunga sederhana yang setara dengan tingkat bunga kompleks tertentu, yaitu. menggunakan rumus
1 = [(1 + ] / t)tn - 1] / n = [(1 + 0,12 / 4)20 - 1] / 5 = 0,1612 = 16,12%.
Karena tingkat bunga sederhana sebesar 16,12%, yang akan memberikan hasil yang sama dengan tingkat bunga majemuk yang diberikan (12%), jauh lebih rendah daripada tingkat yang diusulkan pada opsi pertama (20%), maka jelas bahwa opsi investasi pertama (dengan tingkat bunga sederhana 20% per tahun) jauh lebih menguntungkan. .
Sekarang mari kita hitung jumlah yang masih harus dibayar dalam kedua kasus:
a) 8 = 10.000 (1 + 5 x 0,2) = 20.000 ribu rubel;
b) 8 = 10.000 (1 + 0,12 / 4)20 = 18.061 ribu rubel.
Hasil yang diperoleh menegaskan kesimpulan sebelumnya bahwa opsi pertama lebih menguntungkan, karena memberikan pertumbuhan yang lebih besar. Pada saat yang sama, penggunaan tarif yang setara mengurangi separuh penghitungan.
Putuskan sendiri
Soal 5.23
Tagihan tersebut didiskontokan tiga bulan sebelum tanggal jatuh tempo dengan tingkat diskonto 20% per tahun. Tentukan nilai tingkat bunga sederhana yang setara yang menentukan profitabilitas operasi akuntansi.
Jawaban: 21,1%.
Soal 5.24
Tingkat bunga sederhana adalah 20% per tahun. Tentukan nilai tingkat diskonto yang setara saat mengeluarkan pinjaman selama enam bulan.
Jawaban: 18%.
Soal 5.25
Pinjaman ini diberikan selama dua tahun dengan tingkat bunga majemuk sebesar 16% per tahun. Tentukan nilai tingkat diskonto yang setara saat mengeluarkan pinjaman selama enam bulan.
Jawaban: 14,5%.
Soal 5.26
Sertifikat deposito untuk jangka waktu lima tahun menimbulkan bunga pinjaman sederhana sebesar 15% per tahun. Tentukan tingkat bunga majemuk yang setara.
Jawaban: 11,84%.
Soal 5.27
Bank membebankan bunga deposito setiap bulan dengan tingkat nominal tahunan sebesar 12% per tahun. Tentukan pengembalian deposito menggunakan tingkat bunga tahunan majemuk.
Jawaban: 12,68%.
Kesimpulan berikut dapat diambil:
Nilai tarif efektif lebih besar dari nilai tarif nominal dan bertepatan pada m = 1.
Tingkat diskonto sederhana selalu lebih kecil dari tingkat lain yang setara (karena kenaikan pada tingkat ini, jika hal-hal lain dianggap sama, selalu lebih cepat).
Kesetaraan suku bunga yang berbeda tidak bergantung pada besar kecilnya jumlah awal P (jumlah awal diasumsikan sama).
Kesetaraan suku bunga selalu bergantung pada lamanya periode akrual bunga, kecuali dalam kasus kesetaraan antara suku bunga majemuk yang berbeda jenis (jika periode akrualnya sama).
Pertanyaan yang perlu dipertimbangkan:
1. Perhitungan bunga tahunan majemuk.
2. Perbandingan pertumbuhan menggunakan bunga majemuk dan bunga sederhana.
3. Bunga meningkat beberapa kali dalam setahun.
4. Diskonto pada tingkat bunga majemuk.
5. Penetapan jangka waktu transaksi keuangan dan tingkat suku bunga.
6. Peningkatan dan diskon terus menerus.
Dalam praktik keuangan, sebagian besar perhitungan dilakukan dengan menggunakan skema bunga majemuk. Penggunaan skema bunga majemuk disarankan jika:
− bunga tidak dibayarkan pada saat timbul, namun ditambahkan pada jumlah utang awal. Menambahkan bunga yang masih harus dibayar ke dalam jumlah utang, yang menjadi dasar penghitungannya, disebut kapitalisasi bunga;
− jangka waktu pinjaman lebih dari satu tahun.
Jika uang bunga tidak dibayarkan segera setelah bertambah, tetapi ditambahkan ke jumlah awal utang, maka utang tersebut bertambah sebesar jumlah bunga yang belum dibayar, dan bunga selanjutnya bertambah pada jumlah utang yang bertambah:
– untuk satu periode akrual;
– untuk dua periode akrual;
dari sini, di luar N periode akrual, rumusnya akan berbentuk:
Di mana – peningkatan jumlah utang; – jumlah utang awal; Saya– tingkat bunga pada periode akrual; N– jumlah periode akrual. Rumus ini disebut rumus bunga majemuk.
Perbedaan perhitungan bunga sederhana dan bunga majemuk terletak pada dasar perhitungannya. Jika bunga sederhana selalu dihitung atas jumlah utang awal yang sama, yaitu. Basis akrual adalah nilai konstan, kemudian bunga majemuk diakumulasikan pada basis yang meningkat setiap periode akrual. Dengan demikian, bunga sederhana pada hakikatnya merupakan kenaikan mutlak, dan rumus bunga sederhana serupa dengan rumus untuk menentukan tingkat perkembangan fenomena yang diteliti dengan kenaikan mutlak tetap. Bunga majemuk mencirikan proses pertumbuhan jumlah awal dengan tingkat pertumbuhan yang stabil, sekaligus meningkatkan nilai absolutnya dengan percepatan, oleh karena itu rumus bunga majemuk dapat dianggap sebagai penentuan tingkat berdasarkan tingkat pertumbuhan yang stabil.
Menurut teori umum statistik, untuk mendapatkan tingkat pertumbuhan dasar, perlu mengalikan tingkat pertumbuhan rantai. Karena tingkat bunga untuk periode tersebut adalah tingkat pertumbuhan rantai, maka tingkat pertumbuhan rantai sama dengan:
(1 + Saya).
Maka laju pertumbuhan dasar untuk seluruh periode, berdasarkan laju pertumbuhan konstan, berbentuk:
(1 + saya) n .
Arti ekonomi dari pengganda kenaikan adalah menunjukkan berapa satu unit moneter (satu rubel, satu dolar, dll.) yang akan sama dengan melalui N periode pada tingkat bunga tertentu Saya.
Ilustrasi grafis hubungan antara jumlah akumulasi bunga sederhana dan bunga majemuk ditunjukkan pada gambar.
Seperti dapat dilihat dari gambar, untuk pinjaman jangka pendek, bunga sederhana lebih disukai daripada bunga majemuk; untuk jangka waktu satu tahun tidak ada perbedaan, namun untuk pinjaman jangka menengah dan jangka panjang jumlah akumulasi yang dihitung dengan menggunakan bunga majemuk jauh lebih tinggi dibandingkan dengan menggunakan bunga sederhana.
Untuk apa pun Saya,
Jika 0 < n < 1, то (1 + ni) >(1+i)n
Jika n > 1, lalu (1 + ni)< (1 + i) n
Jika n = 1, maka (1 + ni) = (1 + i) n
Jadi, bagi orang yang memberikan kredit:
− skema bunga sederhana lebih menguntungkan jika jangka waktu pinjaman kurang dari satu tahun (bunga dibebankan satu kali pada akhir tahun);
− skema bunga majemuk lebih menguntungkan jika jangka waktu pinjaman melebihi satu tahun;
− kedua skema memberikan hasil yang sama dengan jangka waktu satu tahun dan bunga satu kali.
Seringkali, kontrak keuangan dibuat untuk jangka waktu selain beberapa tahun.
Dalam hal jangka waktu suatu transaksi keuangan dinyatakan dalam beberapa tahun, bunga dapat dihitung dengan menggunakan dua metode:
− umum Caranya terdiri dari perhitungan langsung dengan menggunakan rumus bunga majemuk:
,
Di mana N– periode transaksi; A– bilangan bulat tahun; B– bagian pecahan dalam setahun.
− Campuran Metode penghitungannya mengasumsikan penggunaan rumus bunga majemuk untuk bilangan bulat tahun periode penghitungan bunga, dan rumus bunga sederhana untuk bagian pecahan tahun tersebut:
.
Karena B< 1 , Itu (1 + bi) > (1 + i) a Oleh karena itu, jumlah akumulasi akan lebih besar bila menggunakan skema campuran.
Skema campuran lebih menguntungkan pemberi pinjaman.
Jangka waktu penghitungan bunga majemuk tidak selalu sama dengan satu tahun, namun syarat-syarat transaksi keuangan tidak menunjukkan tingkat bunga untuk jangka waktu tersebut, Atarif tahunan yang menunjukkan periode akrual - tarif nominal (Saya).
Tarif nominal (tarif nominal) – tingkat bunga tahunan, yang menjadi dasar penentuan tingkat bunga pada setiap periode akrual, ketika bunga majemuk dihitung beberapa kali dalam setahun.
Tarif ini:
− pertama, hal ini tidak mencerminkan efektivitas transaksi yang sesungguhnya;
− kedua, tidak dapat digunakan untuk perbandingan.
Jika bunga bertambah M setahun sekali, dan jangka waktu hutangnya adalah N tahun, maka jumlah periode akrual untuk seluruh periode transaksi keuangan adalah
Dari sini rumus bunga majemuk dapat dituliskan sebagai berikut:
,
di mana saya adalah tingkat bunga nominal tahunan.
Seiring dengan tarif nominal, ada tarif efektif (tarif efektif), mengukur itu pendapatan relatif riil, yang diperoleh untuk tahun tersebut secara keseluruhan, dengan memperhitungkan kapitalisasi intra-tahunan. Tingkat efektif menunjukkan tingkat bunga majemuk tahunan yang memberikan hasil keuangan yang sama M- kenaikan satu kali per tahun sesuai tarif j/m:
,
.
Berdasarkan rumus tersebut, tingkat efektif bergantung pada jumlah akrual intra-tahunan.
Perhitungan suku bunga efektif adalah alat analisis keuangan yang ampuh, karena nilainya memungkinkan Anda membandingkan transaksi keuangan dengan kondisi berbeda: semakin tinggi suku bunga efektif suatu transaksi keuangan, semakin menguntungkan (ceteris paribus) bagi pihak yang melakukan transaksi keuangan. pemberi pinjaman.
Perlu dicatat bahwa rumus dasar bunga majemuk mengasumsikan konstan tingkat bunga sepanjang seluruh periode akrual bunga. Namun, ketika memberikan pinjaman jangka panjang, suku bunga majemuk yang bervariasi dari waktu ke waktu, namun ditetapkan di muka untuk setiap periode, sering digunakan. Jika digunakan variabel suku bunga, rumus akumulasinya adalah sebagai berikut:
Di mana saya k– suku bunga yang konsisten terhadap waktu; n k– durasi periode di mana tarif terkait digunakan.
Semua situasi yang telah kita bahas sejauh ini berkaitan dengan bunga diskrit, karena dihitung dalam periode waktu tertentu (tahun, kuartal, bulan, hari, jam). Namun dalam prakteknya sering terjadi kasus dimana bunga bertambah terus menerus, untuk jangka waktu yang sangat singkat. Jika bunga dihitung setiap hari, maka koefisien pemajemukan tahunan (pengganda) akan terlihat seperti ini:
.
Tapi karena bunga bertambah terus menerus, maka M cenderung tak terhingga, dan koefisien (pengganda) kenaikannya cenderung eSaya, Di mana e≈ 2.718281, disebut bilangan Euler dan merupakan salah satu konstanta terpenting dalam analisis matematis.
Dari sini kita dapat menulis rumus jumlah yang masih harus dibayar N bertahun-tahun:
Tingkat bunga berkelanjutan disebut kekuatan kepentingan dan ditandai dengan simbol δ , berbeda dengan tingkat bunga diskrit ( Saya).
Secara grafis, perubahan jumlah yang masih harus dibayar tergantung pada frekuensi akrual memiliki bentuk sebagai berikut:
Dengan akrual diskrit, setiap “langkah” mencirikan peningkatan jumlah pokok utang sebagai akibat dari akrual bunga berikutnya. Harap dicatat bahwa ketinggian “langkah” meningkat setiap saat.
Dalam satu tahun, satu “langkah” di grafik kiri sama dengan dua “langkah” yang lebih kecil di grafik tengah, namun secara total, langkah-langkah tersebut melebihi tinggi “langkah” dari satu akrual. Peningkatan ini terjadi lebih cepat lagi seiring dengan bertambahnya bunga secara terus-menerus, seperti yang ditunjukkan oleh grafik di sebelah kanan.
Jadi, tergantung pada frekuensi akrual bunga, jumlah awal ditingkatkan pada tingkat yang berbeda, dan peningkatan maksimum yang mungkin dilakukan dengan pembagian interval tahunan yang tak terbatas.
Peracikan berkelanjutan digunakan dalam analisis masalah keuangan yang kompleks, seperti alasan dan pemilihan keputusan investasi. Saat menilai kinerja lembaga keuangan di mana pembayaran diterima beberapa kali selama suatu periode, disarankan untuk mengasumsikan bahwa jumlah akumulasi berubah terus menerus dari waktu ke waktu dan menerapkan perhitungan bunga berkelanjutan.
Sama seperti bunga sederhana, untuk bunga majemuk diperlukan rumus yang memungkinkan Anda menentukan parameter yang hilang dari suatu transaksi keuangan:
− jangka waktu pinjaman,
− tingkat bunga majemuk.
Bunga majemuk digunakan dalam operasi keuangan dan kredit jangka panjang jika bunga tidak dibayarkan secara berkala segera setelah diperoleh selama periode waktu yang lalu, tetapi ditambahkan ke jumlah utang. Menambahkan bunga yang masih harus dibayar ke jumlah yang menjadi dasar penentuannya sering disebut kapitalisasi persen.
Rumus bunga majemuk
Biarkan jumlah hutang awal menjadiP, maka setelah satu tahun jumlah hutang dengan tambahan bunga akan menjadiP(1+ Saya) , dalam 2 tahun P(1+ Saya)(1+ Saya)= P(1+ Saya) 2 , melalui N bertahun-tahun - P(1+ Saya) N. Dengan demikian, kita memperoleh rumus bunga majemuk
S=P(1+i)n, (19)
Di mana S- jumlah yang masih harus dibayar,Saya- tingkat bunga majemuk tahunan,N- jangka waktu pinjaman, (1+ Saya) N- pengganda pertumbuhan.
Dalam perhitungan praktis, persentase diskrit terutama digunakan, yaitu. bunga yang diperoleh pada interval waktu yang sama (tahun, setengah tahun, kuartal, dll.). Pertumbuhan bunga majemuk adalah pertumbuhan menurut hukum perkembangan geometri yang suku pertamanya sama denganP, dan penyebutnya (1+ Saya).
Perhatikan bahwa ketika batas waktuN<1 pertumbuhan menggunakan bunga sederhana memberikan hasil yang lebih besar dibandingkan bunga majemuk, dan kapanN>1 - dan sebaliknya. Ini mudah diverifikasi dengan menggunakan contoh numerik tertentu. Kelebihan terbesar dari jumlah yang diperoleh dengan bunga sederhana dibandingkan dengan jumlah yang diperoleh dengan bunga kompleks (pada tingkat bunga yang sama) dicapai pada pertengahan periode.
Rumus bunga majemuk
ketika tarif berubah seiring waktu
Dalam hal tingkat bunga majemuk berubah seiring waktu, rumus pemajemukan memiliki bentuk sebagai berikut
(20)
dimana saya 1, saya 2,..., saya k - nilai suku bunga berturut-turut yang berlaku selama periode tersebut n 1, n 2,...,nk masing-masing.
Contoh 6.
Perjanjian tersebut menetapkan tingkat bunga majemuk variabel, yang didefinisikan sebagai 20% per tahun ditambah margin 10% pada dua tahun pertama, 8% pada tahun ketiga, dan 5% pada tahun keempat. Tentukan nilai pengganda pertumbuhan selama 4 tahun.
Larutan.
(1+0,3) 2 (1+0,28)(1+0,25)=2,704
Formula untuk menggandakan jumlahnya
Untuk menilai prospeknya, kreditur atau debitur mungkin bertanya: dalam berapa tahun jumlah pinjaman akan bertambahNkali pada tingkat bunga tertentu. Hal ini biasanya diperlukan ketika memperkirakan peluang investasi Anda di masa depan. Jawabannya kita peroleh dengan menyamakan faktor pertumbuhan dengan nilaiN:
A) untuk bunga sederhana
(1+ nisederhana) = N, Di mana
. (21)
B) untuk bunga majemuk
(1+ Sayakompleks) N= N, Di mana
. (22)
Terutama sering digunakanN=2. Maka rumus (21) dan (22) disebut rumus penggandaan dan berbentuk sebagai berikut:
A) untuk bunga sederhana
, (23)
B) untuk bunga majemuk
. (24)
Jika rumus (23) mudah digunakan untuk perhitungan kasar, maka rumus (24) memerlukan penggunaan kalkulator. Namun, untuk suku bunga yang kecil (katakanlah, kurang dari 10%), perkiraan yang lebih sederhana dapat digunakan. Sangat mudah untuk mendapatkannya jika Anda mempertimbangkannya ln 2 0,7, dan ln (1+ i) i. Kemudian
N» 0,7/ Saya. (25)
Contoh 7.
Larutan.
a) Dengan bunga sederhana:
bertahun-tahun.
b) Dengan bunga majemuk dan rumus pastinya:
Di tahun ini.
c) Dengan bunga majemuk dan rumus perkiraan:
N» 0,7/ Saya= 0,7/0,1 = 7 tahun.
Kesimpulan:
1) Nilai suku bunga sederhana dan bunga majemuk yang sama memberikan hasil yang sangat berbeda.
2) Untuk nilai suku bunga majemuk yang kecil, rumus eksak dan perkiraan memberikan hasil yang hampir sama.
Perhitungan bunga tahunan untuk beberapa tahun
Untuk beberapa tahun, bunga dihitung dengan cara yang berbeda:
1) Menggunakan rumus bunga majemuk
S=P(1+i)n, (26)
2) Berdasarkan metode campuran, yang menghitung bunga majemuk untuk bilangan bulat tahun, dan bunga sederhana untuk bilangan pecahan
S=P(1+i) a (1+bi), (27)
Di mana N= A+ B, A- bilangan bulat tahun,B-bagian pecahan tahun ini.
3) Sejumlah bank umum menerapkan aturan yang menyatakan bahwa bunga tidak dibebankan untuk periode waktu yang lebih pendek dari periode akrual, yaitu.
S=P(1+i)a. (28)
Suku bunga nominal dan efektif
Tarif nominal . Biarkan tingkat bunga majemuk tahunan menjadiJ, dan jumlah periode akrual per tahunM. Kemudian setiap kali bunga dihitung berdasarkan tarif j/m. Penawaran Jdisebut nominal. Bunga dihitung pada tingkat nominal menurut rumus:
S=P(1+j/m)N, (29)
Di mana N- jumlah periode akrual.
Jika jangka waktu pinjaman diukur dengan jumlah pecahan periode akrual, lalu kapanMDengan perhitungan bunga satu kali per tahun, jumlah yang masih harus dibayar dapat dihitung dengan beberapa cara, sehingga menghasilkan hasil yang berbeda:
1) Menggunakan rumus bunga majemuk
S=P(1+j/m) T/T, (30)
Di mana N/ T- jumlah (mungkin pecahan) periode perhitungan bunga,T- periode akrual bunga,
2) Menurut formula campuran
, (31)
Di mana A- bilangan bulat periode akrual (mis.A= [ N/ T] - bagian bilangan bulat dari pembagian seluruh jangka waktu pinjamanNuntuk periode akrualT),
B- sisa bagian pecahan dari periode akrual ( B= N/ T- A).
Contoh 8.
Jumlah pinjaman adalah 20 juta rubel. Diberikan selama 28 bulan. Tarif nominalnya adalah 60% per tahun. Bunga dihitung setiap triwulan. Hitung jumlah yang masih harus dibayar dalam tiga situasi: 1) ketika bunga majemuk dibebankan pada bagian pecahan, 2) ketika bunga sederhana dibebankan pada bagian pecahan, 3) ketika bagian pecahan diabaikan. Bandingkan hasilnya.
Larutan.
Bunga dihitung setiap triwulan. Ada total seperempat.
1)
= 73,713 juta rubel.
2)
= 73,875 juta rubel.
3) S=20(1+0,6/4) 9= 70,358 juta menggosok.
Dari perbandingan jumlah akumulasi kita melihat bahwa ia mencapai nilai terbesarnya pada kasus kedua, yaitu. saat menghitung bunga sederhana pada bagian pecahan.
Tarif efektif menunjukkan tingkat bunga majemuk tahunan yang memberikan hasil keuangan yang samaM- kenaikan satu kali per tahun sesuai tarifJ/ M.
Jika bunga dikapitalisasiMsetahun sekali, setiap kali dengan tarif tertentuJ/ M, maka, menurut definisi, kita dapat menulis persamaan untuk faktor kenaikan yang bersesuaian:
(1+sayaeh) n =(1+j/m) mn, (32)
Di mana Sayaehadalah tarif efektif, danJ- nominal. Dari sini kita peroleh bahwa hubungan antara tarif efektif dan tarif nominal dinyatakan dengan relasi
(33)
Hubungan terbalik memiliki bentuk
j=m[(1+sayaeh) 1/m -1].(34)
Contoh 9.
Hitung tingkat bunga efektif jika bank mengenakan bunga setiap triwulan, berdasarkan tingkat bunga nominal 10% per tahun.
Larutan
Sayaeh=(1+0.1/4) 4 -1=0.1038, mis. 10,38%.
Contoh 10.
Tentukan berapa tingkat suku bunga nominal ketika bunga dihitung setiap triwulan untuk memastikan tingkat bunga efektif 12% per tahun.
Larutan.
J=4[(1+0.12) 1/4 -1]=0.11495, mis. 11,495%.
Akuntansi (diskonto) pada tingkat bunga majemuk
Di sini, seperti halnya bunga sederhana, dua jenis akuntansi akan dipertimbangkan - matematika dan perbankan.
Akuntansi matematika . Dalam hal ini, masalah kebalikan dari akumulasi bunga majemuk terpecahkan. Mari kita tuliskan rumus awal kenaikannya
S=P(1+i)n
dan menyelesaikannya secara relatifP
, (35)
Di mana
(36)
faktor akuntansi atau diskon.
Jika dikenakan bungaMsetahun sekali, kami mendapatkannya
, (37)
Di mana
(38)
faktor diskon.
Ukuran P, diperoleh dengan mendiskonS, ditelepon modern atau nilai sekarang atau diberikan ukuran S. Jumlah P Dan Ssetara dalam arti pembayaran sejumlahS melalui Ntahun setara dengan jumlahnyaPsaat ini sedang dibayar.
Perbedaan D= S- Pditelepon diskon.
Akuntansi Bank. Dalam hal ini, diasumsikan bahwa tingkat diskonto yang kompleks akan digunakan. Pendiskontoan pada tingkat diskonto yang kompleks dilakukan sesuai dengan rumus
P=S(1-harisl) N, (39)
Di mana Dsl- tingkat diskonto tahunan yang kompleks.
Diskon dalam hal ini sama dengan
D=S-P=S-S(1-dsl) n =S.(40)
Saat menggunakan tingkat diskonto yang kompleks, proses diskonto terjadi dengan perlambatan progresif, karena tingkat diskonto diterapkan setiap kali pada jumlah yang dikurangi dari periode sebelumnya sebesar jumlah diskon.
Suku bunga nominal dan efektif
Tingkat diskonto nominal . Dalam kasus di mana diskon digunakanMsetahun sekali, gunakan tingkat diskonto nominal F. Maka pada setiap periode sama dengan 1/ Mbagian tahun ini, diskonto dilakukan pada tingkat diskonto yang kompleksF/ M. Proses diskon untuk akuntansi yang rumit iniMsetahun sekali dijelaskan dengan rumus
P=S(1-f/m)N, (41)
Di mana N- jumlah total periode diskon (N= M N).
Diskon bukanlah satu-satunya hal Msetahun sekali mengurangi jumlah diskon lebih cepat.
Tingkat diskon yang efektif. Tingkat diskonto efektif dipahami sebagai tingkat diskonto tahunan yang kompleks, setara (menurut hasil keuangan) dengan tingkat nominal, yang diterapkan untuk sejumlah diskon tertentu per tahun.M.
Sesuai dengan definisi tingkat diskonto efektif, kita akan menemukan hubungannya dengan tingkat nominal dari persamaan faktor diskonto
(1-f/m) mn =(1-dsl) N,
dari situlah berikut itu
Dsl=1-(1-f/m)m. (42)
Perhatikan bahwa tingkat diskonto efektif selalu lebih kecil dari tingkat nominal.
Naikkan pada tingkat diskonto yang kompleks. Kenaikan tersebut merupakan masalah kebalikan dari tingkat diskonto. Rumus untuk pemajemukan pada tingkat diskonto yang kompleks dapat diperoleh dengan menyelesaikan rumus pendiskontoan yang sesuai (39 dan 41) terhadapS. Kita mendapatkan
dari P=S(1-d sl) n
, (43)
dan dari P= S(1- F/ M) N
. (44)
Contoh 11.
Berapa jumlah yang harus dimasukkan dalam tagihan, jika jumlah sebenarnya yang dikeluarkan adalah 20 juta rubel, jangka waktu pembayarannya adalah 2 tahun. Tagihan dihitung berdasarkan tingkat diskonto tahunan gabungan sebesar 10%.
Larutan.
juta rubel
Contoh 12.
Selesaikan soal sebelumnya, dengan syarat kenaikan pada tingkat diskonto kompleks dilakukan tidak satu kali, melainkan 4 kali dalam setahun.
Larutan.
juta rubel
Akumulasi dan diskon
Jumlah yang masih harus dibayar dalam persentase tertentu ditentukan oleh rumus
S= P(1+ J/ M) M N,
Di mana J- tingkat bunga nominal, danM- jumlah periode bunga per tahun.
Lebih M, semakin pendek interval waktu antara perolehan tempat menarik. Dalam batas diM® ¥ kita punya
S= lim P(1+j/m) mn =P lim [(1+j/m) m ] n . (45)
M ® ¥ M ® ¥
Diketahui bahwa
lim (1+j/m) m =lim [(1+j/m) m/j ] j =e j ,
M ® ¥ M ® ¥
Di mana e- basis logaritma natural.
Dengan menggunakan batasan ini dalam ekspresi (45), kita akhirnya memperoleh bahwa jumlah akumulasi dalam kasus akrual bunga berkelanjutan pada tingkatJ sama dengan
S= Pe jn. (46)
Untuk membedakan tingkat bunga kontinu dengan suku bunga diskrit disebut tingkat pertumbuhan dan dilambangkan dengan simbol D. Kemudian
S = PeDN. (47)
Kekuatan pertumbuhan D mewakili tingkat bunga nominal padaM® ¥ .
Diskonto berdasarkan suku bunga berkelanjutan dilakukan dengan menggunakan rumus
P=Se-DN. (48)
Hubungan antara suku bunga diskrit dan berkelanjutan
Suku bunga diskrit dan berkelanjutan berada dalam hubungan fungsional, sehingga dimungkinkan untuk beralih dari perhitungan bunga berkelanjutan ke bunga diskrit dan sebaliknya. Rumus transisi ekuivalen dari satu taruhan ke taruhan lainnya dapat diperoleh dengan menyamakan pengganda kenaikan yang sesuai
(1+i) n =eDN. (49)
Dari persamaan tertulis berikut ini
D = dalam(1+ Saya) , (50)
Saya= eD-1 . (51)
Contoh 13.
Tingkat bunga majemuk tahunan adalah 15%, yang merupakan tingkat pertumbuhan setara,
Larutan.
Mari kita gunakan rumus (50)
D = dalam(1+ Saya)= dalam(1+0,15)=0,13976,
itu. kekuatan pertumbuhan yang setara adalah 13,976%.
Perhitungan jangka waktu pinjaman dan suku bunga
Dalam sejumlah masalah praktis awal ( P ) dan akhir (S ) Jumlahnya ditentukan oleh kontrak, dan perlu untuk menentukan periode pembayaran atau tingkat bunga, yang dalam hal ini dapat berfungsi sebagai ukuran perbandingan dengan indikator pasar dan karakteristik profitabilitas operasi bagi pemberi pinjaman. . Nilai yang ditunjukkan dapat dengan mudah ditemukan dari rumus akumulasi atau diskon awal. Faktanya, dalam kedua kasus tersebut, masalah kebalikannya terpecahkan dalam arti tertentu.
Jangka waktu pinjaman
Saat mengembangkan parameter perjanjian dan menilai jangka waktu untuk mencapai hasil yang diinginkan, perlu untuk menentukan durasi transaksi (jangka waktu pinjaman) melalui parameter transaksi lainnya. Mari kita pertimbangkan masalah ini lebih terinci.
Saya.
S=P(1+i)n
mengikuti itu
(52)
di mana logaritma dapat diambil ke basis apa pun, karena terdapat pada pembilang dan penyebutnya.
Msetahun sekali dari formula
S=P(1+j/m)mn
kita mendapatkan
(53)
D. Dari rumusnya
P=S(1-d)n
kita punya 
(54)
M sekali setahun. Dari
P=S(1-f/m)mn
kita sampai pada rumusnya
(55)
Saat dibangun dengan kekuatan pertumbuhan yang konstan. Berdasarkan
S= PeDN
kita mendapatkan
dalam( S/ P)= D N. (56)
Perhitungan Suku Bunga
Dari rumus awal yang sama seperti di atas, kita memperoleh ekspresi suku bunga.
A) Ketika meningkat pada tingkat tahunan yang kompleksSaya. Dari formula pertumbuhan asli
S=P(1+i)n
mengikuti itu
(57)
B) Ketika meningkat pada tingkat bunga nominalMsetahun sekali dari formula
S=P(1+j/m)mn
kita mendapatkan 
(58)
B) Ketika didiskontokan pada tingkat diskonto tahunan yang kompleksD. Dari rumusnya
P=S(1-d)n
kita punya 
(59)
D) Saat mendiskontokan pada tingkat diskonto nominalM sekali setahun. Dari
P=S(1-f/m)mn
kita sampai pada rumusnya
(60)
D) Ketika meningkat dengan kekuatan pertumbuhan konstan. Berdasarkan
S= PeDN
kita mendapatkan
(61)
Bunga dan inflasi
Akibat dari inflasi adalah turunnya daya beli uang yang berlangsung dalam jangka waktu tertentuNditandai dengan indeksJn. Indeks Daya Beli sama dengan kebalikan dari indeks hargaJp, yaitu.
Jn=1/ Jp. (62)
Indeks Hargamenunjukkan berapa kali harga meningkat selama periode waktu tertentu.
Tingkatkan dengan bunga sederhana
Jika diperpanjang N tahun jumlah uangnyaS, dan indeks harga sama denganJp, maka sebenarnya jumlah uang yang bertambah, dengan memperhitungkan daya belinya, adalah sama dengan
C=S/J hal. (63)
Biarkan tingkat inflasi tahunan rata-rata yang diharapkan (mencirikan kenaikan harga sepanjang tahun) sama dengan H . Maka indeks harga tahunan akan menjadi (1+ H).
Jika kenaikan dilakukan dengan kecepatan yang sederhana selamaNtahun, maka kenaikan riil pada tingkat inflasi jam akan menjadi
(64)
dimana secara umum
(65)
dan, khususnya, dengan tingkat pertumbuhan harga yang konstanH,
Jp =(1+h)n. (66)
Tingkat bunga yang mengkompensasi inflasi ketika menghitung bunga sederhana adalah sama dengan
(67)
Salah satu cara untuk mengkompensasi depresiasi uang adalah dengan menaikkan tingkat bunga yang disebut premi inflasi. Tarif yang disesuaikan dengan cara ini disebut tarif kotor. Tarif kotor, yang akan kami tunjukkan dengan simbolR, ditemukan dari persamaan pengganda kenaikan yang disesuaikan dengan inflasi pada tingkat bruto dengan pengganda kenaikan pada tingkat bunga riil
(68)
Di mana
(69)
Penggabungan bunga majemuk
Diperpanjang dengan bunga majemuk jumlah pada akhir jangka waktu pinjaman, dengan mempertimbangkan penurunan daya beli uang (yaitu dalam rubel konstan) adalah
(70)
dimana indeks harga ditentukan oleh ekspresi (65) atau (66), tergantung pada volatilitas atau keteguhan tingkat inflasi.
Dalam hal ini, penurunan daya beli uang dikompensasi oleh nilai tukarSaya= Hmemastikan kesetaraanC= P.
Menerapkan dua cara untuk mengkompensasi kerugian dari penurunan daya beli uang ketika bunga majemuk dihitung.
A) Penyesuaian suku bunga, sesuai dengan kenaikan yang dilakukan, berdasarkan jumlah premi inflasi. Tingkat bunga yang dinaikkan oleh premi inflasi disebut tingkat bruto. Kami akan menunjukkannya dengan simbolR. Dengan asumsi tingkat inflasi tahunan sama denganH, kita dapat menulis persamaan faktor kenaikan yang bersesuaian
(71)
Di mana Saya- kurs riil.
Dari sini kita mendapatkan rumus Fisher
r=i+h+ih. (72)
Artinya, premi inflasi sama denganH+ aku h.
B) Indeksasi jumlah aslinya P . Dalam hal ini jumlahnyaPdisesuaikan dengan pergerakan indeks yang telah disepakati sebelumnya. Kemudian
S=PJ hal (1+i) n. (73)
Sangat mudah untuk melihat bahwa dalam kasus A) dan kasus B) kita pada akhirnya sampai pada rumus pertumbuhan yang sama (73). Di dalamnya, dua faktor pertama di sisi kanan mencerminkan indeksasi jumlah awal, dan dua faktor terakhir mencerminkan penyesuaian tingkat bunga.
Mengukur tingkat bunga riil
Dalam praktiknya, kita juga harus memecahkan masalah kebalikannya - menemukan tingkat bunga riil dalam kondisi inflasi. Dari hubungan yang sama antara pengganda kenaikan, mudah untuk memperoleh rumus yang menentukan kurs riilSayapada tarif kotor tertentu (atau diumumkan). R.
Saat menghitung bunga sederhana, tingkat bunga riil tahunan sama dengan
(74)
Saat menghitung bunga majemuk, tingkat bunga riil ditentukan oleh ekspresi berikut
(75)
Aplikasi praktis dari teori tersebut
Mari kita lihat beberapa penerapan praktis dari teori yang telah kita diskusikan. Kami akan menunjukkan bagaimana rumus yang diperoleh di atas digunakan ketika memecahkan masalah nyata dalam menghitung efisiensi transaksi keuangan tertentu, dan membandingkan metode perhitungan yang berbeda.
Konversi mata uang dan perhitungan bunga
Mari kita pertimbangkan untuk menggabungkan konversi mata uang (pertukaran) dan peningkatan bunga sederhana, mari kita bandingkan hasil dari penempatan langsung dana yang ada di deposito atau setelah penukaran awal dengan mata uang lain. Ada total 4 opsi untuk meningkatkan minat:
1. Tidak ada konversi. Dana mata uang ditempatkan sebagai simpanan mata uang asing, dan jumlah awalnya ditingkatkan sesuai nilai tukar mata uang asing dengan menerapkan rumus bunga sederhana secara langsung.
2. Dengan konversi. Dana mata uang asli diubah menjadi rubel, kenaikannya sesuai dengan nilai tukar rubel, dan pada akhir operasi, jumlah rubel diubah kembali ke mata uang asli.
3. Tidak ada konversi. Jumlah rubel ditempatkan dalam bentuk deposit rubel, di mana bunga dibebankan pada tingkat rubel menggunakan rumus bunga sederhana.
4. Dengan konversi. Jumlah rubel diubah menjadi mata uang tertentu, yang diinvestasikan dalam deposit mata uang asing. Bunga dihitung dengan nilai tukar mata uang asing. Jumlah yang masih harus dibayar diubah kembali menjadi rubel pada akhir operasi.
Transaksi tanpa konversi tidaklah sulit. Dalam operasi akrual dengan konversi ganda, ada dua sumber pendapatan: akrual bunga dan perubahan nilai tukar. Selain itu, akrual bunga adalah sumber tanpa syarat (suku bunga tetap, kami belum mempertimbangkan inflasi). Perubahan nilai tukar dapat terjadi ke dua arah, dan dapat menjadi sumber pendapatan tambahan atau menyebabkan kerugian. Selanjutnya, kami secara khusus akan fokus pada dua opsi (2 dan 4), yang menyediakan konversi ganda.
Mari kita perkenalkan terlebih dahulu NOTASI berikut:
hal- jumlah setoran dalam mata uang asing,
P r- jumlah setoran dalam rubel,
St- jumlah yang masih harus dibayar dalam mata uang asing,
Sr- jumlah yang masih harus dibayar dalam rubel,
K 0 - nilai tukar pada awal operasi (nilai mata uang dalam rubel)
K 1 - nilai tukar pada akhir transaksi,
N- jangka waktu setoran,
Saya- tingkat akrual untuk jumlah rubel (dalam bentuk pecahan desimal),
J- tingkat akrual untuk mata uang tertentu.
PILIHAN: MATA UANG ® RUBEL ® RUBEL ® MATA UANG
Operasi ini terdiri dari tiga tahap: menukar mata uang dengan rubel, meningkatkan jumlah rubel, dan mengubah jumlah rubel kembali ke mata uang asli. Jumlah yang masih harus dibayar yang diterima pada akhir transaksi dalam mata uang asing adalah
.
Seperti yang Anda lihat, ketiga tahapan operasi tercermin dalam rumus ini sebagai tiga faktor.
Pengganda pertumbuhan dengan memperhitungkan konversi ganda adalah sama dengan
,
Di mana k= K 1 / K 0 - tingkat pertumbuhan nilai tukar selama periode operasi.
Kami melihat itu faktor pertumbuhanMberhubungan linear dengan lajuSayadan berbanding terbalik dengan nilai tukar pada akhir transaksiK 1 (atau dengan tingkat pertumbuhan nilai tukark).
Mari kita pelajari secara teoritis ketergantungan total profitabilitas suatu operasi dengan konversi ganda menurut skema MATA UANG® RUBEL ® RUBEL ® MATA UANG dari rasio nilai tukar akhir dan awalk .
Tingkat bunga tahunan sederhana, yang mencirikan profitabilitas operasi secara keseluruhan, adalah sama dengan
.
Mari kita gantikan ke dalam rumus ini ekspresi yang ditulis sebelumnyaSt
.
Jadi, dengan meningkatnyak profitabilitasSaya efektif jatuh di sepanjang hiperbola dengan asimtot -1 / N . Lihat gambar. 2.
Beras. 2.
Mari kita periksa titik-titik tunggal kurva ini. Perhatikan kapank =1 profitabilitas operasi sama dengan nilai tukar rubel, mis.Saya efektif = Saya . Padak >1 Saya efektif < Saya , dan kapank <1 Saya efektif > Saya . Pada Gambar. 1 dapat dilihat, pada beberapa nilai kritisk , yang kami nyatakan sebagaik * , profitabilitas (efisiensi) operasi adalah nol. Dari kesetaraanSaya efektif =0 kami menemukan ituk * =1+ ni , yang pada gilirannya berartiK * 1 = K 0 (1+ ni ).
KESIMPULAN 1: Jika nilai yang diharapkank atauK 1 melebihi nilai kritisnya, maka operasi tersebut jelas tidak menguntungkan (Saya efektif <0 ).
Sekarang mari kita definisikan nilai tukar maksimum yang diperbolehkan pada akhir transaksi K 1 , di mana efisiensinya akan sama dengan tingkat simpanan dalam mata uang asing yang ada, dan penggunaan konversi ganda tidak memberikan manfaat tambahan apa pun. Untuk melakukan hal ini, mari kita samakan faktor pertumbuhan untuk dua operasi alternatif
.
Dari persamaan tertulis berikut ini
atau
.
KESIMPULAN 2: Setoran mata uang asing melalui konversi ke rubel lebih menguntungkan daripada setoran mata uang asing jika nilai tukar pada akhir transaksi diharapkan lebih rendahmaksK 1 .
OPSI:RUBEL® MATA UANG® MATA UANG® RUBEL
Sekarang mari kita pertimbangkan opsi dengan konversi ganda, ketika jumlah aslinya dalam rubel. Dalam hal ini, tiga tahap operasi sesuai dengan tiga faktor dari ekspresi berikut untuk jumlah akumulasi
.
Di sini juga, pengganda kenaikan secara linier bergantung pada nilai tukar, namun kini bergantung pada tingkat bunga mata uang asing. Hal ini juga bergantung secara linier pada nilai tukar akhir.
Mari kita melakukan analisis teoretis tentang efektivitas operasi konversi ganda ini dan menentukan titik kritisnya.
.
Dari sini, gantikan ekspresi tersebutSr , kita mendapatkan
.
Ketergantungan Indikator KinerjaSaya efektif darik linier, ditunjukkan pada Gambar. 3
Beras . 3.
Pada k=1i
efektif
=j
,
pada k>1 saya
efektif
>j
,
pada k<1
Saya
efektif
Sekarang mari kita temukan nilai kritisnyak * , di manaSaya efektif =0 . Ternyata setara
atau .
KESIMPULAN 3: Jika nilai yang diharapkank atauK 1 kurang dari nilai kritisnya, maka operasi tersebut jelas tidak menguntungkan (Saya efektif <0 ).
Nilai minimum yang diizinkank (tingkat pertumbuhan nilai tukar selama seluruh periode operasi), memberikan profitabilitas yang sama dengan setoran langsung dalam rubel, ditentukan dengan menyamakan pengganda kenaikan untuk operasi alternatif (atau dari persamaanSaya efektif = Saya )
,
Di mana menit ataumenit .
KESIMPULAN 4: Menyetorkan jumlah rubel melalui konversi mata uang lebih menguntungkan daripada menyetor rubel jika nilai tukar pada akhir transaksi diperkirakan lebih tinggimenitK 1 .
Sekarang mari kita lihat menggabungkan konversi mata uang dan peningkatan bunga majemuk. Mari kita batasi diri kita pada satu pilihan.
OPSI: MATA UANG® RUBEL® RUBEL® MATA UANGk =1 Saya eh = Saya , padak >1 Saya eh < Saya , dan kapank <1 Saya eh > Saya .
Nilai kritisk , di mana efisiensi operasinya nol, mis.Saya eh =0 ,
didefinisikan sebagaik * =(1+ Saya ) N , yang berarti bahwa tingkat pertumbuhan tahunan rata-rata nilai tukar mata uang sama dengan tingkat pertumbuhan tahunan pada nilai tukar rubel: .
KESIMPULAN 5: Jika nilai yang diharapkank atauK 1 lebih dari nilai kritisnya, maka operasi konversi ganda tersebut jelas tidak menguntungkan (Saya eh <0 ).
Nilai maksimum yang diperbolehkank , di mana profitabilitas operasi akan sama dengan profitabilitas investasi langsung dana mata uang asing pada tingkat tersebut
Garis Besar Transaksi Keuangan
Operasi keuangan atau kredit memerlukan keseimbangan investasi dan pengembalian. Konsep keseimbangan dapat dijelaskan dalam bentuk grafik.
Beras. 5.
Biarkan jumlah pinjamanD 0 diterbitkan untuk suatu periodeT . Selama periode ini, misalnya, dua pembayaran sementara dilakukan untuk melunasi utangnyaR 1 DanR 2 , dan pada akhir jangka waktu sisa utangnya dilunasiR 3 , membawa keseimbangan operasi.
Seiring selang waktuT 1 hutang meningkat menjadiD 1 . Saat iniT 1 hutang berkurang menjadiK 1 = D 1 - R 1 dll. Operasi berakhir dengan kreditur menerima sisa utangnyaR 3 . Pada titik ini, utang telah dilunasi seluruhnya.
Sebut saja tipe b) garis besar suatu transaksi keuangan. Operasi yang seimbang harus memiliki loop tertutup, yaitu. pembayaran terakhir menutupi seluruh sisa utang. Garis besar transaksi biasanya digunakan ketika melunasi utang melalui pembayaran sementara sebagian.
Pembayaran cicilan berturut-turut terkadang digunakan untuk melunasi kewajiban jangka pendek. Dalam hal ini, ada dua metode untuk menghitung bunga dan menentukan saldo utang. Yang pertama disebut aktuaria dan terutama digunakan dalam transaksi dengan tenggat waktu lebih dari setahun. Metode kedua disebut aturan pedagang. Biasanya digunakan oleh perusahaan komersial dalam transaksi dengan tenggat waktu tidak lebih dari setahun.
Komentar: Saat menghitung bunga, biasanya, bunga biasa digunakan dengan perkiraan jumlah hari dalam periode waktu.
Metode aktuaria
Metode aktuaria melibatkan perhitungan bunga secara berurutan atas jumlah utang yang sebenarnya. Pembayaran sebagian terutama digunakan untuk membayar kembali bunga yang timbul pada tanggal pembayaran. Jika jumlah pembayaran melebihi jumlah bunga yang masih harus dibayar, maka selisihnya digunakan untuk melunasi jumlah pokok utang. Saldo utang menjadi dasar penghitungan bunga untuk periode berikutnya, dan seterusnya. Jika pembayaran sebagian kurang dari bunga yang masih harus dibayar, maka tidak ada penggantian kerugian yang dilakukan terhadap jumlah hutang. Tanda terima ini ditambahkan ke pembayaran berikutnya.
Untuk kasus yang ditunjukkan pada Gambar. 5 b), kita peroleh rumus perhitungan untuk menentukan saldo utang sebagai berikut:
K 1 =D 0 (1+t 1 saya)-R 1; K2 =K 1 (1+t 2 saya)-R 2; K2 (1+t 3 saya)-R 3 =0,
di mana periode waktunyaT 1 , T 2 , T 3 - diberikan dalam tahun, dan tingkat bungaSaya - tahunan.
Aturan Pedagang
Aturan pedagang adalah pendekatan lain untuk menghitung angsuran. Ada dua kemungkinan situasi di sini.
1) Jika jangka waktu pinjaman tidak terlampaui, jumlah utang beserta bunga yang timbul untuk seluruh jangka waktu tetap tidak berubah sampai pelunasan penuh. Pada saat yang sama, pembayaran sebagian diakumulasikan dengan bunga yang diperoleh sampai akhir jangka waktu.
2) Apabila jangka waktunya melebihi satu tahun, dilakukan perhitungan di atas tahunan jangka waktu hutang. Pada akhir tahun, jumlah akumulasi pembayaran sebagian dikurangkan dari jumlah utang. Sisanya akan dilunasi tahun depan.
Dengan total jangka waktu pinjamanT £ 1 algoritma dapat ditulis sebagai berikut
,
Di manaS - saldo hutang pada akhir jangka waktu,
D - peningkatan jumlah hutang,
K - peningkatan jumlah pembayaran,
R j - jumlah pembayaran sebagian,
t j - interval waktu dari saat pembayaran hingga akhir jangka waktu,
M - jumlah pembayaran sebagian (sementara).
Jumlah faktur variabel dan perhitungan bunga
Mari kita pertimbangkan situasi ketika rekening tabungan dibuka di bank, dan jumlah rekening berubah selama periode penyimpanan: dana ditarik, kontribusi tambahan diberikan. Kemudian dalam praktek perbankan, dalam menghitung bunga sering digunakan suatu metode perhitungan untuk menghitung apa yang disebut angka persentase. Setiap kali jumlah di akun berubah, angka persentase dihitungCj selama periode yang laluJ , selama jumlah di rekening tetap tidak berubah, sesuai dengan rumus
,
Di manat j - durasiJ periode -th dalam beberapa hari.
Untuk menentukan jumlah bunga yang diperoleh selama seluruh periode, semua angka bunga dijumlahkan dan jumlahnya dibagi dengan pembagi konstan.D :
,
Di manaK - basis waktu (jumlah hari dalam setahun, yaitu 360 atau 365 atau 366),Saya - tingkat bunga sederhana tahunan (dalam%).
Saat menutup rekening, pemilik akan menerima jumlah yang sama dengan jumlah terakhir di rekening ditambah jumlah bunga.
Contoh 14.
Biarkan rekening permintaan dibuka pada tanggal 20 Februari sebesar tersebutP 1 =3000 rubel, tingkat bunga deposito adalahSaya =20% per tahun. Kontribusi tambahan ke akun tersebut adalahR 1 =2000 gosok. dan dilakukan pada tanggal 15 Agustus. Penarikan dari rekening sejumlahR 2 =-4000 gosok. dicatat pada tanggal 1 Oktober, dan rekening ditutup pada tanggal 21 November. Diperlukan untuk menentukan besarnya bunga dan jumlah total yang diterima penyimpan pada saat penutupan rekening.
Larutan.
Kami akan melakukan perhitungan sesuai skema (360/360). Ada tiga periode di mana jumlah di rekening tetap tidak berubah: dari 20 Februari hingga 15 Agustus (P 1 =3000, T 1 =10+5*30+15=175), dari 15 Agustus hingga 1 Oktober (P 2 = P 1 + R 1 =3000+2000=5000 gosok.,T 2
Jumlah yang harus dibayarkan pada saat penutupan rekening adalah
P 3 +Saya=1000+447,22=1447 menggosok. 22 polisi.
Sekarang kami akan menunjukkan hubungan teknik ini dengan rumus bunga sederhana. Mari kita perhatikan contoh yang disajikan di atas dalam bentuk aljabar.
Ckami menemukan jumlah yang dibayarkan pada saat penutupan akun sebagai berikut:
Dengan demikian, kami memperoleh ekspresi yang menyatakan bahwa untuk setiap jumlah yang ditambahkan ke atau ditarik dari akun, bunga dibebankan sejak transaksi terkait diselesaikan hingga akun ditutup. Skema ini sesuai dengan aturan pedagang yang dibahas di Bagian 6.2.
Mengubah ketentuan kontrak
Dalam praktiknya, sering kali ada kebutuhan untuk mengubah syarat-syarat kontrak: misalnya, debitur mungkin meminta penundaan jangka waktu pembayaran utang atau, sebaliknya, menyatakan keinginan untuk melunasinya lebih cepat dari jadwal; dalam beberapa kasus , mungkin ada kebutuhan untuk menggabungkan (mengkonsolidasikan) beberapa kewajiban utang menjadi satu, dll. Dalam semua kasus ini, prinsip kesetaraan finansial antara kewajiban lama (yang diganti) dan yang baru (yang diganti) diterapkan. Untuk mengatasi masalah perubahan ketentuan kontrak, yang disebut persamaan kesetaraan, di mana jumlah pembayaran pengganti yang dikurangi pada suatu titik waktu sama dengan jumlah pembayaran berdasarkan kewajiban baru yang dikurangi pada tanggal yang sama. Untuk kontrak jangka pendek, diterapkan suku bunga sederhana, dan untuk kontrak jangka menengah dan panjang, diterapkan suku bunga majemuk.
Perhitungan dengan suku bunga sederhana cukup mudah dan sederhana. Namun penggunaannya terbatas.
Misalkan bank membayar bunga sederhana selama 3 tahun pada tingkat i. Dengan setoran awal sebesar P, investor dalam satu tahun akan memiliki jumlah S 1 di rekeningnya:
S 1 = P (1 + saya),
setelah 2 tahun - jumlah S2:
S 2 = P (1 + 2 saya),
setelah 3 tahun - jumlah S3:
S 3 = P (1 + 3 saya).
Namun, penyimpan dapat menutup rekeningnya setelah satu tahun, menerima sejumlah S1, termasuk bunga, dan memasukkan jumlah tersebut ke dalam rekening baru. Dia mungkin akan mengulangi operasi ini pada akhir tahun depan. Akibatnya, setelah tahun pertama ia akan menerima jumlah S1 sama dengan jumlah S1 sebelumnya:
S = S 1 = P (1 + saya),
setelah tahun kedua ada jumlah S1 baru:
setelah tahun ketiga jumlah S3:
Jumlah baru tersebut akan lebih besar dari jumlah sebelumnya, karena tidak hanya mengandung bunga atas setoran awal, tetapi juga bunga yang telah diperoleh sebelumnya. Dalam bentuk matematika, ini sesuai dengan pertidaksamaan:
Dengan demikian, bermanfaat bagi penyimpan untuk menarik uang dari rekeningnya dan memasukkannya ke rekening lain. Melakukan operasi seperti itu setiap triwulan lebih menguntungkan daripada setiap tahun, dan setiap bulan lebih menguntungkan daripada setiap triwulan. Semakin sering investor mentransfer uang, semakin banyak pendapatan yang diterimanya. Akibatnya, sebagian besar deposan bank akan berusaha keras untuk melakukan operasi tersebut.
Bagi bank, hal ini terkait dengan segala macam kesulitan dalam pekerjaannya. Pertama, untuk melaksanakan operasi tersebut bank perlu memiliki cadangan kas tambahan. Kedua, banyaknya transaksi semacam itu mempersulit pekerjaan perbankan saat ini. Terakhir, ketiga, penyimpan, setelah menutup rekeningnya, dapat menaruh uang yang diterimanya di bank lain, yang kondisinya saat ini tampaknya lebih menguntungkan baginya.
Dalam kaitan ini, bank sendiri yang berinisiatif melakukan operasi tersebut. Bunga yang timbul dari simpanan ditambahkan ke simpanan sehingga timbul bunga baru dari jumlah yang meningkat yang mencakup bunga yang masih harus dibayar sebelumnya. Operasi ini disebut bunga majemuk.
Pertumbuhan suatu jumlah sesuai dengan bunga majemuk dapat dianggap sebagai pertumbuhan dengan bunga sederhana yang diterapkan pada jumlah yang meningkat yang mencakup akumulasi bunga sebelumnya, yaitu sebagai reinvestasi berkala atas dana yang diinvestasikan dengan bunga sederhana pada setiap periode bunga majemuk.
Dalam praktiknya, ketika menghitung bunga majemuk, periode waktu tertentu biasanya diambil sebagai periode akrual standar (tahun, kuartal, bulan, dll.) dan kemudian dihitung bunga yang diperoleh untuk periode standar yang sama. Dengan kata lain, waktu dalam perhitungan tersebut dianggap sebagai besaran diskrit yang diukur dalam periode standar. Dalam hal ini, mereka berbicara tentang persentase diskrit.
Jika kita mengurangi panjang interval standar tersebut, berpindah dari seperempat menjadi satu bulan, minggu, hari, dan seterusnya, maka dalam batas tersebut kita akan berpindah dari bunga diskrit ke bunga berkelanjutan yang diperoleh selama periode waktu yang sangat kecil.
Misalkan jumlah awal sama dengan P dan bertambah sesuai dengan tingkat bunga majemuk sama dengan i selama satu periode waktu. Setelah n periode tersebut, kenaikan jumlah S akan ditentukan dengan rumus berikut (rumus bunga majemuk):
S = P(1+i)n
Nilai (1+i) n biasanya disebut koefisien pertumbuhan, atau faktor pertumbuhan. Ini menunjukkan berapa jumlah uang yang akan dihasilkan setiap rubel dana yang awalnya diinvestasikan setelah n periode waktu.
Jika kita menghitung akumulasi jumlah uang beserta bunganya secara berurutan setiap tahunnya
untuk tahun pertama: 
untuk tahun kedua: 
untuk tahun ke-2:
maka kita mengetahui bahwa sejumlah uang yang diterima adalah anggota suatu barisan geometri, yang anggota pertamanya adalah nilai P, dan penyebut barisan tersebut adalah (1+i)
Jika pada saat menghitung dengan rumus bunga majemuk, Anda menggunakan operasi reinvestasi, yaitu menarik uang dari rekening beserta bunganya dan menyetorkannya kembali ke rekening, maka investor tidak memenangkan apapun pada tingkat bunga yang sama.
Memang biarlah investor menyetor dana sebesar P ke dalam rekeningnya berdasarkan bunga majemuk. Setelah k periode waktu, dia menarik uang dari rekeningnya dan menyimpannya lagi untuk m periode berikutnya. Kemudian setelah k periode pertama dia akan menerima jumlah Q:
Q = P(1+i) k .
Kemudian, setelah m periode berikutnya, jumlah Q ini berubah menjadi jumlah baru S:
S = Q (1+i) m .
Menyatakan jumlah akhir S melalui P awal, kita peroleh:
S = Q (1+i) m = P (1+i) k (1+i) m = P (1+i) k+m .
Dengan demikian, hasilnya sama persis dengan jika investor tidak melakukan operasi perantara, tetapi hanya menyetorkan jumlah awal P selama jumlah periode waktu yang sama dengan k + m.
Dalam praktik organisasi keuangan, bunga terkadang dihitung hanya untuk beberapa periode tertentu. Jika hal ini tidak diatur, maka ketika menghitung bunga untuk sejumlah periode yang bukan bilangan bulat, metode yang berbeda digunakan.
Penghitungan bilangan periode bukan bilangan bulat dapat dilakukan dengan menggunakan rumus bunga majemuk yang sama dengan bilangan bulat. Misalnya, jika Anda perlu menghitung kenaikan jumlah selama 5,2 periode, maka perhitungan dalam hal ini dilakukan sesuai dengan rumus
S = P (1+i) 5 (1+i) 0,2 = P (1+i) 5.2.
Dengan kata lain, untuk bilangan pecahan 0,2 periode, bunga dihitung menurut skema yang sama seperti untuk bilangan bulat periode. Hal ini memungkinkan Anda untuk menulis rumus umum bunga majemuk kapan saja t:
S = P (1+i)t ,
terlepas dari apakah itu berisi jumlah periode bilangan bulat atau non-bilangan bulat.
Dalam beberapa kasus, akrual untuk sejumlah periode bukan bilangan bulat dilakukan menurut rumus campuran yang berbeda. Untuk bilangan bulat periode, bunga dihitung menggunakan rumus bunga majemuk, dan untuk saldo pecahan - menggunakan rumus bunga sederhana. Dalam hal ini, akrual untuk 5,2 periode akan dilakukan sesuai rumus
S = P (1+i) 5 (1+i 0,2).
Perlu diingat bahwa jumlah yang masih harus dibayar akan sedikit lebih besar dibandingkan saat menghitung menggunakan metode pertama.
Terakhir, seperti disebutkan di atas, terkadang bunga tidak dikenakan sama sekali untuk bagian pecahan periode tersebut. Dalam hal ini, akrual untuk 5,2 periode ditentukan oleh rumus
S = P (1+i) 5 .
Biasanya, ketentuan kontrak menentukan tingkat bunga konstan. Namun, dalam beberapa kasus, tarif variabel dapat disepakati. Hal ini biasanya dikaitkan dengan proses inflasi, yang mengurangi pertumbuhan nilai riil jumlah moneter, atau dengan perubahan nilai tukar mata uang yang terkait dengan ketentuan kontrak.
Dalam kasus ini dan kasus serupa, perubahan tingkat bunga disepakati.
Mari kita pertimbangkan situasi dengan tingkat bunga majemuk variabel. Misalkan taruhan sama dengan i1 pada selang waktu pertama dengan panjang t1, taruhan sama dengan i2 pada selang waktu kedua dengan panjang t2, taruhan sama dengan i3 pada selang waktu ketiga dengan panjang t3, dst. Interval, seperti sebelumnya , dapat memiliki panjang yang berbeda.
Misalkan n interval dengan panjang t1, t2...tn. Jumlah simpanan pada tingkat bunga variabel kompleks pada akhir periode terakhir adalah:
Mari kita tentukan tingkat bunga rata-rata i untuk kasus simpanan pada tingkat bunga variabel yang kompleks.
Misalkan, seperti sebelumnya, T adalah total jangka waktu deposito pada tingkat bunga variabel
a adalah bagian dari interval tk dalam periode total ini:
Tingkat bunga rata-rata i, menurut definisi, memenuhi kondisi berikut: jika disubstitusikan ke dalam rumus pertumbuhan dan bukan masing-masing tingkat ik, hasil perhitungan tidak akan berubah. Dengan demikian:
Dari sini kita memperoleh rumus (1 + i) - nilai rata-rata koefisien pertumbuhan per satuan waktu:
Akhirnya, rata-rata tingkat bunga majemuk i sendiri sama dengan:
Menurut rumus tingkat pertumbuhan rata-rata (1 + i), ini adalah rata-rata geometri tertimbang dari tingkat pertumbuhan selama periode waktu tertentu. Koefisien pembobotan adalah bagian dari periode waktu yang bersangkutan dalam total periode simpanan.
Koefisien pertumbuhan untuk periode waktu yang relatif lama akan dimasukkan ke dalam rata-rata tertimbang akhir dengan bobot lebih besar.
Dalam kasus tertentu ketika panjang semua interval waktu sama satu sama lain, bagian masing-masing interval waktu sama dengan 1/n, dan rata-rata tertimbang menjadi rata-rata geometrik biasa:
Tingkat inflasi pada periode waktu tertentu mencirikan persentase kenaikan tingkat harga pada periode tertentu.
Misalkan tingkat inflasi pada bulan Januari, Februari dan Maret telah diketahui. Mari kita nyatakan dengan h1, h2, h3 tingkat inflasi selama tiga bulan tersebut.
Tidaklah benar jika kita berpikir bahwa tingkat inflasi triwulanan sama dengan jumlah dari tiga tingkat inflasi bulanan, yaitu
hkv1 = h1 + h2 + h3.
Tentu saja hal ini tidak benar. Rumus ini tidak memperhitungkan bahwa inflasi bulan Februari mencirikan persentase kenaikan harga relatif terhadap harga yang telah meningkat pada bulan Januari, dan inflasi bulan Maret menunjukkan persentase kenaikan harga relatif terhadap harga bulan Februari.
Dengan demikian, tingkat inflasi selama beberapa periode harus mencakup bunga atas bunga, seperti dalam perhitungan bunga majemuk.
Jika dilakukan secara tidak benar, kita memperlakukan tingkat inflasi seolah-olah merupakan tingkat bunga sederhana. Cara yang benar mengharuskan memperlakukannya seperti taruhan yang rumit. Mari kita lihat cara yang benar.
Indeks pertumbuhan harga dinyatakan dengan rumus berikut:
dimana q adalah jumlah barang yang diperhitungkan pada saat menghitung indeks pertumbuhan harga;
p - harga barang yang diperhitungkan saat menghitung indeks pertumbuhan harga pada periode dasar;
p - harga barang yang sama pada periode pelaporan.
Indeks pertumbuhan harga selama n periode berturut-turut
Tingkat inflasi h dinyatakan dengan rumus:
Jadi, indeks pertumbuhan I1, I2, I3 ditentukan dengan rumus:
I1, = 1 + h1, I2, = 1 + h2, I3, = 1 + h3.
Masing-masing indeks menunjukkan berapa kali tingkat harga berubah pada bulan tertentu. Produk dari indeks-indeks ini menghasilkan indeks triwulanan IQ1. Indeks triwulanan IQ1 menunjukkan berapa kali tingkat harga berubah pada triwulan pertama:
Ikv1 = I1 * I2 * I3.
Untuk mendapatkan tingkat inflasi triwulanan, kurangi satu dari indeks triwulanan:
hkv1 = Ikv1 - 1.
Jadi, pada akhirnya kita dapatkan
hkv1 = Ikv1 - 1 = I1 * I2 * I3 - 1 = (1 + h1 )*(1 + h2 )*(1 + h3 ) - 1.
Pada bulan yang berbeda, tingkat inflasi mungkin berbeda. Bagaimana cara menghitung rata-rata tingkat inflasi bulanan hsrms selama kuartal tersebut? Untuk melakukannya, Anda harus menghitung terlebih dahulu rata-rata indeks bulanan Irata-rata menggunakan rumus
Saya rata-rata = (Saya 1 × Saya 2 ×Saya 3) 1/3 = (Saya persegi1) 1/3.
Kemudian rata-rata tingkat inflasi bulanan hsrms diperoleh dengan mengurangkan 1 dari rata-rata indeks bulanan:
hsrmes = Isrmes - 1.
Jadi rumus perhitungan akhirnya terlihat seperti:
h rata-rata = I rata-rata - 1= (I 1 × I 2 × I 3) 1/3 - 1= ((1+h 1) × (1+h 2) × (1+h 3)) 1/3 - 1.
Rumus ini sangat mirip dengan rumus suku bunga majemuk rata-rata.
Bunga majemuk seringkali dihitung tidak hanya sekali, tetapi beberapa kali dalam setahun, setiap kuartal, setiap bulan, dll. Dalam hal ini, kontrak biasanya menentukan tingkat bunga nominal i, yang menentukan tingkat dalam setiap periode akrual (untuk akrual triwulanan, selama menstruasi, dll).
Rumus yang berkaitan dengan suku bunga untuk periode waktu yang berbeda dapat diperoleh dengan menggunakan prinsip kesetaraan hasil finansial.
Hasil keuangan untuk tahun tersebut, diperoleh dengan tingkat bunga tahunan, harus sama dengan hasil keuangan selama 4 kuartal berturut-turut, dihitung dengan menggunakan rumus bunga majemuk untuk tingkat bunga triwulanan yang setara. Dari sini kita mendapatkan persamaan:
Dengan demikian:
Saat menurunkan rumusnya, dikatakan bahwa hasil keuangan tahun tersebut setara. Penting untuk dicatat bahwa kesetaraan hasil dipastikan tidak hanya untuk periode tahunan, tetapi juga untuk periode waktu tertentu.
Misalkan periode waktu, dihitung dalam tahun, sama dengan n (angka n belum tentu bilangan bulat). Maka interval ini berisi 4 . n blok. Akrual pada tingkat bunga tahunan dan triwulanan yang setara untuk periode waktu tertentu adalah sama,
Kami telah menjalin hubungan antara tarif tahunan dan triwulanan. Alasan yang sama memungkinkan kita untuk membentuk hubungan antara tarif tahunan, triwulanan, dan bulanan:
Mari kita lihat situasi secara umum. Misalkan periode akrual pada tingkat bunga i dibagi menjadi m periode waktu yang sama. Kemudian tingkat bunga i yang dihubungkan dengan interval tersebut ditentukan melalui tingkat i sesuai dengan relasinya
(1 + saya ) m = (1 + saya).
saya = (1 + saya ) m – 1,
saya = (1 + saya) 1/m - 1.
Dengan cara ini, hubungan antara suku bunga untuk dua periode waktu dapat dibangun. Misalkan periode t dan t dinyatakan dalam satuan yang sama (tahun, bulan, hari, dan seterusnya). Misalkan tingkat bunga i ditetapkan untuk periode waktu t, dan tingkat bunga i ditetapkan untuk periode t. Taruhan ini setara jika menghasilkan hasil yang sama dalam periode waktu yang sama, yaitu jika koefisien akumulasi yang sesuai dalam periode waktu yang sama adalah sama.
Sebagai interval tunggal, kami mengambil interval nilai txt. Ini berisi periode t sebesar t dan periode t sebesar t. Kondisi kesetaraan akan ditulis sebagai kesetaraan:
(1 + saya) t = (1 + saya ) t .
Dari sini kita mendapatkan rumus yang menyatakan satu taruhan dalam taruhan lainnya:
Biasanya, kontrak menentukan tingkat bunga tahunan. Dalam hal ini disebut tingkat bunga nominal. Suku bunga yang setara dengan periode waktu lain, dihitung menurut rumus di atas, disebut seimbang (atau seimbang).
Jadi, mereka berbicara tentang tarif nominal tahunan dan tarif semi-tahunan, triwulanan, bulanan, harian yang seimbang (menyeimbangkan).
Pada paragraf sebelumnya, kami menerima rumus yang memungkinkan tingkat bunga yang terkait dengan satu periode akrual dihitung ulang ke tingkat bunga lain yang setara dan terkait dengan periode akrual lain. Secara khusus, rumus ini memungkinkan tarif nominal tahunan diubah menjadi tarif seimbang lainnya.
Rumus yang dihasilkan akurat, namun karena kerumitannya, rumus tersebut tidak selalu nyaman untuk penggunaan praktis. Dalam praktik transaksi keuangan, rumus-rumus tersebut seringkali digantikan dengan rumus lain yang lebih sederhana. Alih-alih menggunakan suku bunga seimbang, rumus yang disederhanakan ini menentukan apa yang disebut suku bunga relatif.
Perlu dicatat bahwa penghitungan menggunakan tarif relatif, meskipun cukup sederhana, namun memberikan hasil yang tidak akurat.
Biarkan tingkat bunga tahunan sama dengan itahun. Kemudian tarif relatif triwulanan iq dihitung menggunakan rumus
Tarif relatif bulanan ibulan ditentukan oleh rumus
Secara umum, kurs relatif untuk periode waktu t, diukur dalam tahun, ditentukan oleh:
saya = saya tahun t.
Untuk triwulan t = 1/4, untuk bulan t = 1/12, maka dari rumus umum terakhir diperoleh kasus khusus untuk tarif triwulan dan bulanan secara otomatis.
Mari kita lihat situasi secara umum. Mari kita asumsikan bahwa periode akrual dibagi menjadi m interval yang sama. Kemudian tingkat bunga relatif i yang terkait dengan interval tersebut dihitung dengan rumus
Rasio terbalik
saya = saya
memungkinkan Anda untuk menyatakan laju asli i melalui relatif i. Mari kita buat hubungan antara suku bunga relatif untuk dua periode waktu. Misalkan periode waktu t dan t diukur dalam satuan yang sama. Untuk periode t tingkat bunga i ditetapkan, dan untuk periode t tingkat i. Tarif ini dianggap relatif satu sama lain jika dihubungkan dengan rasio:
yaitu, jika keduanya sama per satuan waktu. Dalam bentuk ekuivalennya, persamaan ini mempunyai bentuk
Dari sini kita mendapatkan rumus yang memungkinkan kita untuk menyatakan satu taruhan dalam bentuk taruhan lainnya:
Tarif nominal tahunan diubah menjadi tarif relatif selama setengah tahun, kuartal, bulan dengan membagi tarif tahunan dengan angka yang sesuai. Transisi ini sesuai dengan transformasi menggunakan rumus bunga sederhana. Namun, transformasi lebih lanjut terkait dengan penggunaan suku bunga relatif dilakukan dengan menggunakan rumus bunga majemuk.
Jadi, pertumbuhan simpanan selama m bulan pada tingkat bunga majemuk nominal tahunan dihitung menggunakan tingkat relatif sebagai berikut. Berdasarkan tarif tahunan itahun, tarif bulanan imo dihitung:
saya bulan = saya tahun /12,
dan kemudian, dengan menggunakan rumus bunga majemuk, tingkat pertumbuhan ditentukan selama m bulan. Ini memiliki ukuran:
Perhitungan ini menyebabkan distorsi.
Misalnya, dengan m = 6, laju pertumbuhan menggunakan laju relatif dapat dihitung dengan beberapa cara berbeda. Mereka akan memberikan hasil yang berbeda.
Rumus perhitungan tertentu tidak dapat ditentukan jika masing-masing pihak siap menerima distorsi yang diakibatkannya.
Perhitungan yang akurat tanpa distorsi didasarkan pada tarif yang diratakan. Kalaupun timbul kejanggalan di sini, bukan karena hakikat persoalannya, melainkan semata-mata karena keakuratan perhitungannya. Akurasi meningkat jika lebih banyak tempat desimal yang digunakan dalam penghitungan atau jika penghitungan dilakukan dalam pecahan biasa.
Perhitungan dengan laju relatif selalu menimbulkan distorsi tertentu yang tidak dapat dihilangkan hanya dengan meningkatkan keakuratan perhitungan.
Dalam praktiknya, tarif relatif lebih sering digunakan. Penggunaannya dikaitkan dengan kenyamanan yang lebih besar (dengan mengorbankan akurasi) dan dengan tradisi yang sudah mapan.
Namun, ketika melakukan analisis yang akurat dan dalam studi teoritis, digunakan tingkat yang seimbang. Dia juga dipanggil suku bunga efektif .
Suku bunga efektif menunjukkan pendapatan relatif riil yang timbul sepanjang tahun sehubungan dengan akrual bunga. Dengan kata lain, tingkat bunga efektif adalah tingkat bunga majemuk tahunan yang memberikan jumlah pendapatan yang sama dengan metode penghitungan bunga yang sebenarnya diterapkan.
Jika bunga dimajemukkan setahun sekali, maka tingkat bunga efektif adalah tingkat bunga nominal majemuk. Jika bunga lebih sering diperoleh, maka tingkat efektif dan nominal mungkin berbeda secara numerik. Korespondensi di antara keduanya bergantung pada metode penghitungan bunga untuk periode waktu tertentu.
Apabila metode penghitungan bunga bulanan (triwulanan) yang sebenarnya diterapkan didasarkan pada suku bunga seimbang, maka suku bunga efektif sama dengan suku bunga nominal. Jika metode penghitungan bunga bulanan (triwulanan) yang sebenarnya digunakan didasarkan pada suku bunga relatif (atau skema penghitungan lainnya), maka suku bunga efektif dan nominal akan berbeda.
Mari kita pertimbangkan pertumbuhan jumlah simpanan menggunakan rumus bunga sederhana dan majemuk pada tingkat bunga yang sama.
Biarkan bunga bertambah pada tingkat i untuk jangka waktu tertentu (misalnya, selama satu tahun). Maka pertumbuhan jumlah terhadap waktu t dari nilai awal P ditentukan dengan rumus berikut:
Untuk minat sederhana:
S = P (1 + saya t);
Untuk bunga majemuk:
S = P (1 + saya) t .
Akrual untuk sejumlah periode bukan bilangan bulat dilakukan di sini dengan menggunakan rumus yang sama seperti untuk bilangan bulat. Untuk kepentingan sederhana, nilai S bergantung pada waktu t menurut hukum fungsi linier. Untuk bunga majemuk bergantung pada t menurut hukum fungsi eksponensial. Pada Gambar. 2.1 menunjukkan grafik ketergantungan tersebut.
Kedua garis pada gambar dimulai pada titik yang sama. Pada t = 0:
Jika lamanya jangka waktu t lebih kecil dari lamanya jangka waktu, maka bunga sederhana memberikan kenaikan jumlah yang lebih besar dibandingkan bunga majemuk.
Jika 0< t < 1, то
Grafik fungsi linier penentu pertumbuhan dengan rumus bunga sederhana terletak di atas grafik fungsi eksponensial penentu pertumbuhan dengan rumus bunga majemuk. Oleh karena itu, jika suatu bank mengumumkan tingkat bunga simpanan tahunan, dan jangka waktu simpanan kurang dari satu tahun, maka akan lebih menguntungkan bagi penyimpan bagi bank untuk menyelesaikan pembayaran dengannya dengan tingkat bunga yang sederhana. Bagi peminjam yang mengambil pinjaman dari bank untuk jangka waktu kurang dari satu tahun, sebaliknya lebih menguntungkan membayar dengan bunga majemuk.
Jika jangka waktu t sama dengan satu periode, maka perhitungan bunga sederhana dan bunga majemuk memberikan hasil yang sama:
Kedua grafik pada t = 1 melalui titik yang sama. Jika jangka waktunya sama dengan lamanya jangka waktu perolehan bunga (misalnya satu tahun), maka penyimpan atau peminjam tidak peduli apakah pelunasan dilakukan dengan bunga sederhana atau bunga kompleks.
Jika panjang interval t lebih dari satu periode, maka bunga majemuk memberikan kenaikan besaran yang lebih besar dibandingkan bunga sederhana. Jika t > 1, maka
Grafik fungsi eksponensial terletak di atas garis lurus, dan dengan bertambahnya t, tidak hanya besarnya selisih di antara keduanya yang bertambah, tetapi juga laju kenaikan selisih tersebut. Jika jangka waktu simpanan lebih lama dari jangka waktu akrual bunga, maka penyimpan lebih diuntungkan dibandingkan akrual dengan menggunakan rumus bunga majemuk, dan manfaat ini semakin meningkat seiring dengan bertambahnya jangka waktu simpanan. Sebaliknya, lebih menguntungkan bagi peminjam untuk melunasi pinjamannya dengan bunga sederhana.
Untuk memperkirakan tingkat pertumbuhan suatu jumlah moneter, rumus periode penggandaan sering digunakan. Rumus tersebut memungkinkan Anda menghitung periode di mana jumlah uang yang diinvestasikan berlipat ganda.
Periode ini dihitung dengan menyelesaikan persamaan yang menentukan penggandaan tingkat pertumbuhan.
Untuk bunga sederhana, persamaannya adalah
1 + saya t = 2.
Untuk bunga majemuk persamaannya adalah
Solusi persamaan ini adalah:
Suku bunga setara secara finansial jika penggantian satu suku bunga dalam suatu kontrak dengan suku bunga lain tidak menyebabkan perubahan dalam hasil keuangan kontrak atau perubahan dalam hubungan para pihak yang terlibat dalam transaksi.
Jika pertumbuhan pada tingkat bunga sederhana selama waktu tertentu menghasilkan hasil yang sama dengan pertumbuhan pada tingkat bunga majemuk dalam waktu yang sama, maka tingkat tersebut setara secara finansial. Misalkan in dan ic adalah suku bunga sederhana dan majemuk dengan periode akrual yang sama (misalnya, suku bunga tahunan). Mari kita samakan pengganda pertumbuhan untuk tingkat ini dari waktu ke waktu t:
Dari sini Anda dapat memperoleh rumus yang memungkinkan Anda menghitung laju sederhana ekuivalen menggunakan laju kompleks dan menentukan laju kompleks ekuivalen menggunakan laju sederhana.
Perhatikan bahwa rumus untuk menghitung tarif ekuivalen melibatkan nilai periode waktu t. Ketika panjang kesenjangan berubah, nilai taruhan setara juga berubah.
Dari rumus yang diperoleh secara langsung dapat disimpulkan bahwa pada t = 1, yaitu bila lamanya jangka waktu yang dipertimbangkan sama dengan periode akrual, maka tarif ekuivalennya sama satu sama lain:
jika t = 1, maka in = ic.
Seperti yang ditunjukkan oleh diskusi kita sebelumnya, untuk suku bunga yang setara dalam dan ic, kondisinya terpenuhi:
jika t< 1, то in < ic ,
jika t > 1, maka di > ic.
Dalam praktik perbankan, bentuk konversi suku bunga campuran sering digunakan, di mana suku bunga tahunan yang kompleks diubah, misalnya, menjadi suku bunga triwulanan bukan sebagai suku bunga kompleks, tetapi sebagai suku bunga sederhana. Bunga selanjutnya dihitung berdasarkan rumus tingkat bunga majemuk.
Misalnya, sebuah bank mengumumkan persyaratan deposito sebagai “48% per tahun dengan bunga majemuk triwulanan.” Ini berarti bahwa bunga ditambahkan setiap tiga bulan ke jumlah simpanan yang sudah terakumulasi dan bunga selanjutnya dibebankan padanya. Jadi, kita berbicara tentang taruhan yang rumit. Namun bunga triwulanannya sendiri dihitung dengan menggunakan rumus tarif sederhana, yaitu menggunakan rumus
i triwulan = i tahun / 4 = 12 (%).
Diterjemahkan kembali ke tingkat bunga tahunan gabungan, hal ini menghasilkan
yaitu 57,35% per tahun, bukan 48%. Hasilnya selalu dilebih-lebihkan, sehingga bentuk transfer ini merugikan pihak bank sendiri. Ini bermanfaat bagi nasabah bank dan digunakan secara praktis.
Mari kita lihat apa akibatnya jika kita secara bertahap mengurangi periode akrual bunga. Misalkan bentuk transfer bunga ini diterapkan bukan pada periode triwulanan, melainkan pada periode bulanan.
Akrual bulanan sesuai tarif
menentukan tingkat pertumbuhan tahunan
1,04 12 = 1,6010,
yang sesuai dengan tingkat 60,10% per tahun.
Mari kita asumsikan bahwa periode akrual semakin berkurang, yaitu tahun dibagi menjadi m periode waktu yang sama, dan nilai m meningkat. Maka rumus umum tingkat pertumbuhan tahunan yang baru adalah sebagai berikut:
(1 + saya/m) m .
Pada batasnya, pada , kita memperoleh nilainya e Saya. Dalam hal ini, pertumbuhan iuran dari waktu ke waktu t (diukur dalam tahun) ditentukan dengan rumus
S = P e dia.
Angka e yang digunakan dalam rumus adalah basis logaritma natural. Ini memainkan peran penting dalam analisis matematis dari berbagai proses. Nomor e- tidak rasional, artinya adalah
e = 2,7182818...
Logaritma ke basis e disebut logaritma natural dan dilambangkan dengan simbol ln. Dalam prosesor spreadsheet Excel, fungsi terkait disebut LN.
Kami sampai pada konsep bunga berkelanjutan melalui bentuk akrual campuran, melalui kombinasi perhitungan pada tingkat yang sederhana dan kompleks. Namun, bentuk campuran tidak penting di sini. Satu-satunya hal yang penting adalah partisipasi taruhan yang kompleks.
Ada cara lain untuk beralih dari konsep suku bunga majemuk ke konsep bunga berkelanjutan. Untuk melakukan ini, rumus bunga majemuk sudah cukup untuk menentukan pertumbuhan jumlah awal P:
S = P(1+i)t,
tulis dalam bentuk lain yang setara.
Rumus bunga majemuk menentukan pertumbuhan jumlah menurut hukum fungsi eksponensial. Basis dari fungsi ini adalah nilai (1 + i). Untuk nilai tingkat bunga i yang berbeda, alasannya menjadi berbeda. Rumus bunga majemuk untuk waktu kontinu diubah sedemikian rupa sehingga pada tingkat bunga yang berbeda, basisnya sama, tetapi eksponennya berubah.
Mari kita nyatakan dengan huruf logaritma natural dari nilai (1 + i):
dan maka dari itu
Dengan demikian, rumus bunga majemuk dapat diganti dengan rumus yang setara:
Rumus ini biasanya digunakan ketika menganalisis pertumbuhan jumlah uang yang berkelanjutan.
Dalam rumus ini, nilai α mencirikan laju pertumbuhan jumlah tersebut. Besaran α disebut kekuatan pertumbuhan , atau oleh kekuatan kepentingan . Ini sama dengan tingkat pertumbuhan relatif suatu jumlah, yaitu sama dengan peningkatan relatif suatu jumlah selama periode waktu yang sangat kecil. Kekuatan bunga adalah jenis suku bunga khusus yang dirancang untuk mempelajari proses pertumbuhan sejumlah uang dalam waktu yang berkelanjutan.
Kekuatan pertumbuhan erat kaitannya dengan tingkat suku bunga. Semakin tinggi tingkat bunga i maka semakin besar pula kekuatan pertumbuhan α, dan sebaliknya semakin besar pula kekuatan pertumbuhan α maka semakin besar pula tingkat bunganya. Namun hubungan keduanya bukanlah hubungan yang berbanding lurus dan linier. Ini bersifat logaritmik.
Untuk nilai-nilai kecil, tingkat bunga praktis bertepatan dengan tingkat pertumbuhan, namun seiring dengan kenaikan tingkat, perbedaan antara nilai numeriknya meningkat. Selain itu, tingkat bunga dalam nilai numeriknya selalu lebih besar dari tingkat pertumbuhan.
Perlu ditekankan bahwa perbedaan-perbedaan ini tidak menyebabkan perbedaan dalam pertumbuhan moneter. Sebaliknya, nilai tingkat bunga dan kekuatan pertumbuhan yang bersesuaian tetapi berbeda secara numerik memastikan peningkatan jumlah uang yang sama selama periode waktu yang sama.
Diskon adalah operasi yang memungkinkan sejumlah uang di masa depan dibawa ke saat ini. Operasi ini memungkinkan Anda menentukan nilai sekarang dari jumlah masa depan. Di atas kita melihat diskon pada tingkat bunga sederhana. Diskonto tersebut menyiratkan peningkatan jumlah uang dengan menggunakan rumus bunga sederhana. Sekarang kita akan melihat pendiskontoan pada tingkat bunga majemuk yang sesuai dengan pertumbuhan jumlah uang menggunakan rumus bunga majemuk.
Jumlah awal uang P, dengan menggunakan rumus bunga majemuk dengan suku bunga i selama waktu t, berubah menjadi jumlah S:
Oleh karena itu
Rumus ini memungkinkan untuk didiskontokan, yaitu menggunakan nilai akhir S untuk menentukan nilai awal P. Pengganda
disebut faktor diskon untuk waktu t. Ini adalah kebalikan dari faktor perubahan tegangan. Nilai P disebut nilai modern atau tereduksi S. Disebut juga nilai yang diperoleh dengan mendiskon S. Selisih S - P disebut diskon dan biasanya dilambangkan dengan huruf D:
D = S - P.
Operasi pendiskontoan adalah kebalikan dari operasi pertumbuhan jumlah. Oleh karena itu, sifat-sifat pendiskontoan berkaitan erat dengan sifat-sifat akumulasi. Di atas dilakukan perbandingan pertumbuhan menggunakan bunga sederhana dan bunga majemuk. Untuk diskon, berlaku hubungan terbalik.
Jika lamanya jangka waktu lebih kecil dari jangka waktu akrual (misalnya satu tahun), maka pertumbuhan dengan bunga sederhana memberikan jumlah yang lebih besar dibandingkan pertumbuhan dengan bunga majemuk. Diskonto bunga sederhana menghasilkan nilai yang lebih kecil dibandingkan diskonto bunga majemuk.
Jika jangka waktunya lebih panjang dibandingkan dengan periode akrual, maka tingkat bunga majemuk memberikan kenaikan besaran yang lebih besar. Namun, suku bunga majemuk menghasilkan nilai yang lebih kecil jika didiskontokan.
Diskon dapat dilakukan tidak hanya untuk pengukuran diskrit, tetapi juga untuk pengukuran waktu kontinyu. Dari rumus waktu kontinu menggunakan gaya pertumbuhan yang berbentuk
kami mendapatkan rumus diskon:
digunakan dalam perhitungan diskon waktu kontinyu.
Dalam operasi akuntansi, tingkat diskonto sederhana dan kompleks digunakan. Tata cara penghitungan tingkat diskonto sederhana telah dipelajari di atas. Sekarang kita akan melihat prosedur yang tepat untuk tingkat diskonto yang kompleks.
Tingkat diskonto sederhana untuk pendiskontoan diterapkan pada jumlah awal yang sama, dan jumlah ini menurun secara merata selama periode waktu tertentu.
Tingkat diskonto majemuk pada setiap langkah pendiskontoan diterapkan bukan pada jumlah awal, tetapi pada jumlah yang dikurangi dengan diskon yang ditentukan pada langkah sebelumnya. Proses diskon lebih lambat.
Jika jumlah akhir adalah S dan tingkat diskonto adalah d, maka pendiskontoan pada tingkat diskonto gabungan selama t periode waktu menghasilkan jumlah awal P, diberikan oleh
Di atas kita melihat transisi dari suku bunga majemuk tahunan ke suku bunga triwulanan, bulanan, dan suku bunga majemuk lainnya. Secara lebih umum, hal ini berkaitan dengan transisi dari suku bunga dengan satu periode akrual ke suku bunga dengan periode akrual berbeda. Dua metode transisi dipelajari: transisi ke tingkat seimbang dan transisi ke tingkat relatif. Kelebihan cara pertama adalah keakuratannya, kelebihan cara kedua adalah kesederhanaannya.
Transisi dari tingkat diskonto tahunan ke tingkat triwulanan, bulanan dan lainnya dilakukan dengan dua cara yang sama. Salah satunya memberikan tingkat diskonto yang seimbang, dan yang lainnya memberikan tingkat diskonto relatif. Mari kita lihat secara berurutan.
Tingkat diskonto yang berimbang ditentukan sesuai dengan prinsip kesetaraan hasil finansial.
Hasil keuangan yang diperoleh untuk tahun tersebut pada tingkat diskonto tahunan dtahun harus sama dengan hasil yang diperoleh selama 4 kuartal pada tingkat diskonto kompleks dq. Dengan kata lain, kesetaraan harus dipenuhi
Hubungan yang dihasilkan antara tingkat suku bunga memastikan kesetaraan hasil keuangan tidak hanya untuk periode tahunan, tetapi juga untuk periode waktu apa pun.
Selang waktu t tahun berisi 4. t blok. Mendiskontokan periode waktu ini dengan tarif tahunan yang kompleks dan tarif triwulanan yang kompleks akan memberikan hasil yang sama, karena
Kami telah menjalin hubungan antara tingkat diskonto tahunan dan triwulanan. Demikian pula, kami membentuk hubungan antara tahun tahunan dan bulan bulanan, hari harian, dan tingkat diskon kompleks lainnya:
Hubungan antara tingkat diskonto kompleks triwulanan dan bulanan dinyatakan dengan cara yang sama:
Karena itu,
Mari kita lihat situasi secara umum. Misalkan periode penghitungan tingkat diskonto d dibagi menjadi m interval yang sama. Kemudian tingkat diskonto d yang terkait dengan interval tersebut ditentukan melalui tingkat d dengan menggunakan rasio:
Secara umum, dengan cara ini dapat diperoleh hubungan antara dua tingkat diskonto kompleks yang dihitung untuk dua periode waktu berbeda.
Misalkan periode waktu t dan t diukur dalam satuan waktu yang sama (tahun, bulan, dan seterusnya). Misalkan periode t sesuai dengan tingkat diskonto kompleks d, dan periode t sesuai dengan tingkat diskonto kompleks d. Tarif ini setara jika menghasilkan hasil keuangan yang sama selama periode waktu yang sama, yaitu jika faktor diskonto yang terkait adalah sama.
Sebagai interval waktu tunggal, kami memilih interval dengan panjang txt. Ini berisi periode t dalam jumlah t unit dan periode t dalam jumlah t unit. Kondisi ekivalensi dinyatakan dalam bentuk persamaan faktor diskonto untuk periode waktu yang bersangkutan, yaitu dalam bentuk persamaan
Dari sini kita memperoleh rumus yang memungkinkan kita untuk menyatakan satu tingkat diskonto dalam tingkat diskonto lainnya:
Biasanya, tingkat diskonto tahunan ditetapkan, yang disebut tingkat diskonto nominal. Ini digunakan untuk menghitung tingkat diskonto untuk periode waktu lain. Jika tarif ini ditetapkan dengan cara yang dijelaskan di sini, maka tarif tersebut disebut tarif diskon majemuk yang seimbang (terkadang disebut penyeimbangan).
Tingkat diskonto kompleks yang seimbang memastikan kesetaraan hasil finansial selama periode waktu apa pun. Dalam hal ini, tarif tersebut sendiri adalah setara.
Tingkat diskonto berimbang diperkenalkan serupa dengan suku bunga berimbang. Tingkat diskonto relatif serupa dengan tingkat bunga relatif.
Jika tingkat diskonto tahunan adalah dtahun, maka tingkat diskonto triwulanan relatif dq, tingkat diskonto bulanan dbulan, tingkat diskonto harian dhari ditentukan dengan rumus:
Dalam kasus umum, biarkan periode penghitungan tingkat diskonto d dibagi menjadi m interval yang sama. Maka tingkat diskonto relatif d untuk interval ini dihubungkan dengan tingkat d melalui hubungan berikut:
Dimungkinkan untuk membangun hubungan antara tingkat diskonto relatif untuk dua periode waktu. Misalkan periode t dan t diukur dalam satuan yang sama. Untuk periode t, tingkat diskonto d ditetapkan, dan untuk periode t, tingkat diskonto d. Tarif ini relatif satu sama lain jika hubungannya memuaskan
yaitu jika bagiannya per satuan waktu sama satu sama lain. Kesetaraan ini setara dengan berikut ini:
Dari sini Anda dapat dengan mudah memperoleh rumus yang memungkinkan Anda menyatakan satu tingkat diskonto dalam tingkat diskonto lainnya:
Rumus ini memungkinkan tidak hanya untuk menyatakan tingkat diskonto relatif dalam bentuk tingkat diskonto tahunan nominal, tetapi juga untuk menyatakan tingkat diskonto relatif secara langsung melalui satu sama lain.
Perhitungan tingkat diskonto relatif berhubungan dengan transformasi menggunakan rumus tarif sederhana. Namun, penggunaan tingkat diskonto relatif konsisten dengan rumus tingkat bunga majemuk.
Pengganda diskon, misalnya selama 6 bulan, dihitung berdasarkan tingkat diskonto bulanan, berbentuk
Pengganda yang sama yang dihitung menggunakan tarif triwulanan berbentuk
Pengganda ini juga dapat ditentukan secara langsung melalui tingkat diskonto tengah tahunan d semesteran:
1 - d setengah tahun = 1 - d tahun /2.
Metode penghitungan kuantitas yang sama yang ditunjukkan di sini memberikan hasil numerik yang berbeda.
Jadi, dengan tingkat diskonto yang seimbang dan relatif, situasinya sama dengan jenis suku bunga yang bersangkutan. Yaitu: penyeimbangan tingkat diskonto memberikan hasil yang akurat, namun terkait dengan perhitungan yang agak rumit. Tingkat diskonto relatif lebih mudah dihitung, tetapi memberikan hasil perkiraan.
Perlu diingat bahwa ketika berpindah ke periode waktu yang lebih pendek (misalnya, dari tahun ke bulan), tingkat diskonto relatif memiliki nilai yang lebih kecil daripada tingkat diskonto seimbang. Oleh karena itu, pengganda diskon pada tingkat diskonto relatif lebih besar daripada pengganda diskon pada tingkat diskonto seimbang.
Dengan demikian, apabila tingkat diskonto nominal tahunan telah ditetapkan dan waktu yang tersisa kurang dari satu tahun sampai berakhirnya jangka waktu wesel, maka lebih menguntungkan bagi pemilik wesel untuk pembukuan dilakukan pada kerabatnya. Nilai diskon.
Ketika berpindah ke periode waktu yang lebih lama (misalnya, dari satu bulan ke satu tahun), situasinya sebaliknya. Di sini tingkat diskonto relatif akan lebih besar daripada tingkat diskonto seimbang. Oleh karena itu, pengganda diskon yang dihitung pada tingkat relatif akan lebih kecil dari pengganda diskon yang dihitung pada tingkat seimbang. Dalam hal ini, lebih menguntungkan bagi pemilik wesel jika pembukuan dilakukan pada tingkat yang seimbang.
Mendiskontokan jumlah ketika akuntansi pada tingkat diskonto sederhana ditentukan oleh rumus
P = S (1 - hari).
Mendiskontokan saat menghitung pada tingkat diskonto yang kompleks - rumusnya
Pada Gambar. 2.2 menunjukkan grafik ketergantungan jumlah P yang diterima selama akuntansi pada periode akuntansi t.
Beras. 2.2. Penurunan jumlah pada tingkat diskonto yang sederhana dan kompleks
Penurunan jumlah pada tingkat diskonto sederhana terjadi menurut hukum fungsi linier, secara seragam. Ketergantungan jumlah pada waktu (pada periode diskonto) adalah garis lurus.
Penurunan jumlah pada tingkat diskonto kompleks terjadi secara tidak merata, dengan perlambatan. Grafik jumlah versus waktu adalah grafik fungsi eksponensial yang basisnya kurang dari 1.
Kedua grafik dimulai pada titik yang sama di t = 0 dan berpotongan di t = 1. Jika periode diskontonya 0, maka tentu saja tidak menjadi masalah apakah diskonto dilakukan pada tingkat kompleks atau sederhana. Dengan cara yang sama, hal ini juga berlaku jika periode diskon sama dengan satu periode (1 tahun dengan tarif tahunan). Memang benar, pada t = 1, kita mendapatkan hasil yang sama untuk taruhan sederhana dan kompleks:
P = S (1 - dt) = S (1 - d).
P = S (1 - d) t = S (1 - d).
Dalam semua kasus lainnya, diskon pada tingkat yang sederhana dan kompleks memberikan hasil yang berbeda. Selain itu, jika periode diskon kurang dari satu periode, maka jumlah yang lebih tinggi (dan, karenanya, jumlah diskon yang lebih rendah) diperoleh dengan tarif sederhana. Bagi pemegang kewajiban utang yang sisa jangka waktunya kurang dari satu periode (satu tahun dengan tarif tahunan), akan lebih menguntungkan untuk mencatat kewajiban tersebut dengan tingkat diskonto sederhana. Jika jangka waktu yang tersisa lebih dari satu periode, maka akan lebih menguntungkan untuk memperhitungkan kewajiban pada tingkat diskonto yang kompleks, dan profitabilitas ini meningkat seiring dengan bertambahnya jangka waktu.
Grafik fungsi linier yang berhubungan dengan taruhan sederhana akan memotong sumbu x pada nilai t tertentu. Ini berarti bahwa untuk periode tertentu, jumlah yang dihasilkan dari akuntansi liabilitas sama dengan 0, dan diskonto sama dengan seluruh jumlah liabilitas. Tidak masuk akal untuk memperhitungkan kewajiban dalam kondisi ini. Selain itu, tidak masuk akal untuk memperhitungkan nilai t selanjutnya ketika grafik berada di bawah sumbu x.
Tingkat diskonto yang sangat sederhana digunakan ketika periode akuntansi tidak terlalu panjang. Sebaliknya, tingkat diskonto kompleks dapat diterapkan untuk periode apa pun. Grafik fungsi eksponensial yang berhubungan dengan taruhan kompleks tidak akan pernah melintasi sumbu horizontal, meskipun akan mendekati sumbu horizontal tanpa batas seiring bertambahnya waktu. Jumlah yang dikeluarkan ketika memperhitungkan suatu kewajiban dalam kondisi seperti itu akan berkurang tanpa batas seiring bertambahnya jangka waktu, tetapi tidak akan pernah sama dengan 0. Oleh karena itu, nilai diskon akan mendekati jumlah kewajiban itu sendiri tanpa batas waktu, tetapi tidak akan pernah bertepatan dengan itu.
Kesetaraan tingkat diskonto dikaitkan dengan kesetaraan hasil keuangan pada tingkat tersebut untuk jangka waktu tertentu.
Misalkan dn dan dc adalah tingkat diskonto sederhana dan kompleks dengan periode akrual yang sama (misalnya, tarif tahunan). Kesetaraan tarif untuk periode waktu t berarti kesetaraan faktor diskonto yang terkait dengan periode ini:
Dari sini kita memperoleh rumus untuk menghitung taruhan sederhana dari taruhan kompleks yang setara dan menghitung taruhan kompleks dari taruhan sederhana yang setara:
Untuk tingkat diskonto, serta tingkat suku bunga, kesetaraan ditentukan untuk jangka waktu tertentu.
Tarif yang setara untuk satu periode waktu tidak lagi setara jika lamanya periode waktu berubah.
Tarif ekuivalen sama satu sama lain apabila lamanya jangka waktu yang dipertimbangkan sama dengan jangka waktu akrual, yaitu:
jika t = 1, maka dn = dc.
Ini mengikuti langsung dari rumus yang diperoleh. Pertimbangan sebelumnya menunjukkan bahwa tingkat diskonto yang setara memenuhi kondisi berikut:
jika t< 1, то dn >DC,
jika t > 1 maka dn< dc .
Mendiskontokan sejumlah uang dapat dilakukan dengan tingkat bunga atau tingkat diskonto.
Ketika didiskontokan pada tingkat bunga majemuk, nilai awal sejumlah uang P ditentukan oleh nilai akhirnya S, yang meningkat seiring waktu t pada tingkat bunga i, sesuai dengan rumus
Saat mendiskontokan pada tingkat diskonto kompleks d, jumlah uang awal ditentukan oleh rumus
Suku bunga dan tingkat diskonto adalah ekuivalen jika keduanya memberikan hasil keuangan yang sama, yaitu jika keduanya memberikan jumlah awal P yang sama untuk jumlah akhir S yang sama pada waktu t yang sama.
Jadi, untuk tarif yang setara, kesetaraan harus dipenuhi
Mengambil akar derajat t dari kedua sisi, kita peroleh
Ini dapat ditulis sebagai berikut:
(1 + saya) (1 - d) = 1.
Dari sini Anda dapat dengan mudah menyatakan tingkat bunga dalam bentuk tingkat diskonto dan tingkat diskonto dalam bentuk tingkat bunga:
Penting untuk dicatat bahwa rumus ini tidak menyertakan lamanya interval waktu T. Oleh karena itu, taruhan gabungan yang setara adalah setara tidak hanya untuk jangka waktu tertentu, tetapi untuk jangka waktu apa pun. Izinkan kami mengingatkan Anda bahwa ini tidak berlaku untuk taruhan sederhana.
Formula diskon pada tingkat diskonto yang kompleks dari waktu ke waktu T
dapat digunakan tidak hanya dalam waktu diskrit, tetapi juga dalam waktu kontinu. Seperti halnya bunga majemuk, ketika berpindah ke waktu kontinu, rumusnya diubah sehingga ketika tingkat diskonto d berubah, yang berubah bukanlah basis fungsi eksponensial, melainkan indikatornya. Untuk tujuan ini, masukkan nilai:
Ekspresi sublogaritma kurang dari 1, yaitu.
dalam(1-hari)< 0,
dan oleh karena itu b positif. Dari definisi tersebut kita peroleh
Rumus diskon pada tingkat diskonto kompleks mengambil bentuk
Dengan analogi kekuatan bunga, kadang-kadang disebut kuantitas kekuatan diskon . Rumus diskon yang dihasilkan yang melibatkan kekuatan diskon memungkinkan penghitungan dilakukan dalam bentuk yang nyaman untuk waktu yang berkelanjutan. Kekuatan diskon mencirikan tingkat penurunan relatif dari jumlah yang didiskontokan.
Ketika tingkat diskonto meningkat, tingkat diskonto yang bersangkutan juga meningkat. Hubungan antara besaran-besaran tersebut tidak searah, tidak berbanding lurus, melainkan logaritmik.
Ketika tingkat diskonto meningkat, perbedaan antara nilai numerik tingkat diskonto dan kekuatan diskonto meningkat secara bertahap. Besarnya diskon lebih tinggi dari tingkat diskonto. Namun, harus diingat bahwa nilai tingkat diskonto dan kekuatan diskonto yang sesuai menentukan proses diskonto yang sama, jumlah pengurangan jumlah utang yang sama ketika memperhitungkan kewajiban utang.
Rumus yang kami peroleh memungkinkan, berdasarkan ketentuan kontrak, untuk menghitung jumlah akhir uang dari jumlah awalnya atau, sebaliknya, menghitung jumlah awal dari jumlah akhir yang diketahui. Tugas lain juga memainkan peran utama dalam perhitungan keuangan: dengan menggunakan jumlah awal dan akhir yang diketahui, menentukan ketentuan kontrak. Karakteristik numerik yang paling penting dari kontrak adalah durasi jangka waktu dan besaran tarif.
Menurut rumus bunga majemuk yang kita miliki
Melakukan transformasi dasar dan mengambil logaritma, kita mendapatkan dari sini:
Rumus ini memungkinkan, dengan mengetahui jumlah awal dan akhir serta tingkat bunga majemuk yang diketahui, untuk menentukan durasi periode t di mana jumlah awal P akan bertambah hingga jumlah akhir S pada tingkat bunga majemuk i. Logaritma yang terlibat dalam rumus dapat mempunyai basis apa pun (tetapi kedua logaritma harus memiliki basis yang sama). Secara khusus, Anda dapat menggunakan logaritma natural atau desimal.
Sekarang mari kita asumsikan bahwa periode akrual dibagi menjadi m interval waktu yang sama dan perhitungan dilakukan pada tingkat yang dihitung ulang untuk interval ini. Misalnya, kami beralih dari penghitungan dengan tarif nominal tahunan ke penghitungan dengan tarif bulanan. Seperti yang kita ketahui, tarif bulanan seimbang dan relatif bulanan digunakan.
Nilai tarif seimbang i untuk jangka waktu sebesar 1/m dari periode akrual pada tarif i ditentukan dengan rumus
Pertumbuhan jumlah uang dari waktu ke waktu t pada tingkat i akan berjalan sesuai dengan rumus
Saat menghitung berdasarkan kekuatan pertumbuhan, gunakan rumus
Mengambil logaritma natural (basis e) dari kedua bagian rumus setelah transformasi sederhana kita peroleh:
Kekuatan pertumbuhan (tingkat bunga berkelanjutan) α dan tingkat bunga awal i dihubungkan oleh hubungan tersebut
Dengan demikian, jangka waktu yang dihitung pada tingkat bunga berkelanjutan sama dengan jangka waktu yang dihitung pada tingkat bunga awal:
Sesuai dengan rumus diskon pada tingkat diskonto kompleks, kami memiliki:
Setelah transformasi sederhana dari rumus ini kita mendapatkan:
Rumus ini memungkinkan Anda menghitung periode diskon berdasarkan jumlah akhir S, jumlah akuntansi P, dan tingkat diskonto d. Seperti halnya bunga majemuk, logaritma dalam perhitungan dapat diambil ke basis apa pun (pembilang dan penyebut pecahannya sama).
Mari kita pertimbangkan situasi di mana periode penghitungan tingkat diskonto dibagi menjadi m interval identik dengan panjang yang sama (misalnya, satu tahun dibagi menjadi beberapa bulan). Dalam hal ini, bersama dengan tingkat diskonto awal d, digunakan tingkat diskonto seimbang dan relatif d, yang periode akrualnya adalah interval kecil yang sama.
Nilai tingkat diskonto seimbang d untuk interval yang merupakan bagian dari periode akrual pada tingkat d ditentukan dengan rumus
Mendiskontokan sejumlah uang untuk waktu t pada tingkat diskonto d dihitung menggunakan rumus
Dari sini kita mendapatkan:
Tingkat diskonto d dan d dihubungkan oleh relasi
Kami menemukan bahwa menghitung periode diskonto t menggunakan tingkat diskonto awal d dan tingkat diskonto seimbang d memberikan hasil yang sama.
Hal ini tidak terjadi pada tingkat relatif. Tarif relatif dihitung menggunakan rumus
Mendiskontokan jumlah uang untuk waktu t sesuai dengan tingkat diskonto relatif d ditentukan oleh rumus
Dari sini kita mendapatkan:
Dengan bertambahnya jumlah interval m, tingkat diskonto pada tingkat diskonto relatif menurun, dan periode diskon meningkat. Dengan bertambahnya m, periode ini semakin menyimpang dari periode yang dihitung menggunakan kurs awal dan seimbang.
Dalam perhitungan berdasarkan gaya diskonto, gunakan rumus
Dari rumus ini kita peroleh:
Karena gaya diskonto dan tingkat diskonto d dihubungkan oleh relasi tersebut
maka jangka waktu yang dihitung berdasarkan kekuatan diskonto dan jangka waktu yang dihitung dengan menggunakan tingkat diskonto adalah sama. Benar-benar,
Dari rumus bunga majemuk
mengikuti itu
Rumus terakhir memungkinkan Anda menentukan nilai suku bunga i yang diperlukan berdasarkan volume jumlah awal P, jumlah akhir S, dan waktu naik t.
Mari kita asumsikan bahwa periode akrual dibagi menjadi m interval yang sama. Interval tersebut sesuai dengan tingkat bunganya sendiri i.
Nilai taruhan i dapat dihitung dengan dua cara berbeda. Cara pertama adalah mencari i berdasarkan taruhan i yang sudah diterima. Hasilnya di sini akan bergantung pada apakah tingkat i ini seimbang atau relatif. Untuk tarif seimbang, perhitungannya harus dilakukan dengan menggunakan rumus
Dari sini, dengan menggunakan rumus yang telah diperoleh untuk i, kita dapat memperoleh rumus berikut:
Untuk tarif relatif, perhitungannya harus dilakukan dengan menggunakan rumus
Cara kedua adalah mencari nilai taruhan i secara langsung, tanpa menggunakan taruhan i, dan baru kemudian menggunakannya untuk menentukan taruhan i .
Rumus bunga majemuk yang dinyatakan melalui suku bunga i berbentuk:
Jika kurs i dianggap sebagai kurs seimbang, maka dari rumus terakhir diperoleh:
Jadi, untuk menghitung tarif i kita memperoleh rumus yang sama. Untuk tarif berimbang, hasil perhitungan menggunakan metode pertama dan kedua adalah sama.
Jika kurs i dianggap sebagai kurs relatif, maka dari rumus perhitungannya diperoleh:
Rumus ini menyimpang dari rumus asli taruhan i dan memberikan hasil yang berbeda.
Oleh karena itu, untuk tarif relatif, cara penghitungannya adalah penting.
Sekarang mari kita pertimbangkan penggabungan bunga secara terus-menerus berdasarkan kekuatan pertumbuhan. Dalam hal ini rumus pertumbuhannya berbentuk
Dari sini diperoleh rumus perhitungan untuk menentukan kekuatan pertumbuhan (suku bunga kontinu):
Menurut rumus diskon,
Oleh karena itu
Rumus ini memungkinkan Anda menghitung nilai tingkat diskonto d berdasarkan jumlah akhir S, jumlah pada saat akuntansi P dan periode diskon t.
Biarkan periode penghitungan tingkat diskonto dibagi menjadi m interval yang sama. Mari kita tentukan nilai taruhan d yang sesuai dengan interval tersebut. Mengenai tingkat bunga, ada dua metode penghitungan. Cara pertama adalah menentukan tingkat diskonto d berdasarkan tingkat bunga yang sudah diterima d.
Tingkat diskonto berimbang d dalam hal ini harus dihitung dengan menggunakan rumus
Kesetaraan ini dapat dilanjutkan:
yang memungkinkan Anda menghitung nilai taruhan d secara langsung melalui sumber data.
Untuk tingkat diskonto relatif, perhitungannya dilakukan dengan menggunakan rumus
Cara kedua didasarkan pada mencari nilai taruhan d tanpa menggunakan taruhan d. Tingkat d kemudian dapat dihitung dari tingkat d.
Rumus diskon pada tingkat diskonto d berbentuk
Jadi, kita sekali lagi mempunyai rumus yang sama yang diturunkan untuk tingkat suku bunga seimbang. Oleh karena itu, untuk tarif seimbang, kedua metode penghitungan memberikan hasil yang sama untuk d dan d.
Untuk tingkat relatif situasinya berbeda. Mari kita tentukan taruhan d dan d:
Rumus ini dan rumus untuk menghitung tarif d secara langsung, yang diberikan di awal paragraf ini, berbeda satu sama lain dan memberikan hasil yang berbeda.
Jadi, untuk tingkat diskonto relatif, seperti halnya tingkat bunga relatif, metode penghitungannya penting.
Mari kita lanjutkan dengan mempertimbangkan diskon berkelanjutan. Rumus yang menggunakan gaya diskonto adalah
Dari sini, kekuatan diskonto (tingkat akuntansi kontinu) dapat dihitung dengan menggunakan rumus
Karena R < S, maka ekspresi sublogaritmanya kurang dari 1, logaritmanya sendiri negatif, dan dengan memperhatikan tanda minus, pembilang pecahannya positif. Dengan demikian, nilai tingkat diskonto kontinu adalah positif.
Pertumbuhan pada tingkat bunga sederhana ditentukan oleh fungsi linier, atau perkembangan aritmatika. Pertumbuhan pada tingkat bunga majemuk ditentukan oleh fungsi eksponensial, atau perkembangan geometri.
Jadi, dalam jangka waktu yang lama, tingkat bunga majemuk lebih menguntungkan bagi deposan daripada tingkat bunga sederhana, dan profitabilitas meningkat seiring dengan meningkatnya jangka waktu simpanan.
Mari kita mengingat kembali formula dasar untuk pertumbuhan dan diskonto pada tingkat yang kompleks.
Pertumbuhan pada tingkat bunga majemuk ditentukan oleh rumus
Diskonto pada tingkat bunga majemuk ditentukan oleh rumus
Diskon pada tingkat diskonto yang kompleks ditentukan oleh rumus
Berbasis formula pertumbuhan kekuatan pertumbuhan:
Rumus diskon berdasarkan kekuatan diskon:
