Размер: px
Начинать показ со страницы:
1 Выходные сведения статьи: Наследие нобелевских лауреатов по экономике: Шестакова А.А., Забродова О.С. Наследие Леонида Канторовича, Тьяллинга Купманса: теория оптимального распределения ресурсов // Наследие нобелевских лауреатов по экономике: сб. ст. III Всерос. науч.-практ. конф. молод. учен. - Самара, Наследие Леонида Канторовича, Тьяллинга Купманса: теория оптимального распределения ресурсов 2016 Шестакова Александра Александровна студент Забродова Олеся Сергеевна студент 2016 Уфимцева Людмила Ивановна доцент 2016 Безгласная Елена Алексеевна доцент Самарский государственный экономический университет Описание модели Канторовича и модели "анализа деятельности фирмы" Купманса, практическое применение линейного программирования, рассмотрен метод оптимизации распределения ресурсов Канторовича на примере аналогичной задачи, с помощью графического, математического способов и симплекс-метода. Ключевые слова: Л.В. Канторович, Т. Ч. Купманс, нобелевская премия, оптимизация распределения ресурсов, линейное программирование. Heritage Leonid Kantorovich, Tjalling Koopmans: theory of optimal allocation of resources 2016 Shestakova Aleksandra Aleksandrovna student Zabrodova Olesya Sergeevna student 2016 Ufimtseva Lyudmila Ivanovna 2016 Bezglasnaya Elena Alekseevna Samara State University of Economics Description of the Kantorovich model and the Kupmans model of firm activity analysis, practical use of linear programming, a method of optimizing the resources allocation by Kantorovich is considered on an example of a similar problem, using graphical, mathematical method and simplex algorithm.
2 Keywords: L.V. Kantorovich, Tjalling Koopmans, Nobel prize, optimization of distribution a resources, linear programming. Вплоть до ХХ в. ученые-экономисты не уделяли должного внимания математическим методам как способам решения поставленных задач на макро и микро уровнях хозяйственной деятельности. Тем не менее, между этими науками наблюдается тесная связь, которую удалось продемонстрировать выдающимся ученым. Одними из них выступают Л.В. Канторович и Т.Ч. Купманс, советский и американский экономисты-математики, которые по результатам своей деятельности получили Нобелевскую премию в 1975 г. "за вклад в теорию оптимального распределения ресурсов". Модель Л.В. Канторовича, СССР. Л.В. Канторович стал одним из основателей важнейшего и наиболее часто применяемого метода оптимизации - линейного программирования. В 1937 г. перед Л. Канторовичем была поставлена задача выбора наилучшей производственной программы загрузки лущильных станков для фанерного треста. При этом известно количество станков, которые можно использовать для производства определенных изделий, а также количество деталей, из которых состоит изделие. Технические коэффициенты показывают, какое количество штук каждой детали станок может произвести в день. Другими словами, Канторовичу нужно было решить конкретную технико-экономическую задачу с целевой функцией максимизировать выпуск готовой продукции. Таким образом, ученый столкнулся с типичным представителем целого нового класса задач, к которым приводят вопросы нахождения наилучшего производственного плана. Свою идею, что впоследствии стало основой теории оптимального распределения ресурсов и ознаменовало открытие линейного программирования, Канторович изложил в работе «Математические методы организации и планирования производства» (1939). В ней профессор впервые продемонстрировал, что разнообразные производственные проблемы можно сформулировать как задачи оптимизации определенного вида и предложил общий подход к их решению, методом итерации. Для решения задачи Канторович ввел переменную, которую следует максимизировать, в виде суммы стоимостей продукции, произведенной всеми станками. Ограничения были изложены в форме уравнений, устанавливающих соотношения между всеми факторами, затрачиваемыми в производстве, и количеством произведенной продукции на каждом станке. Для показателей факторов производства были введены коэффициенты, названные «решающими множителями» (в дальнейшем объективно обусловленные оценки). С их помощью решается поставленная задача. Объективно обусловленные оценки являются ключевым моментом в методе Канторовича. Их связывают с интерпретацией, аналогичной множителям Лагранжа в классических задачах определения экстремума, и экономическая сущность заключается в том, что они являются предельными стоимостями ограничивающих факторов. То есть это объективные цены каждого из факторов производства относительно условий конкурентного рынка. Также эти оценки не произвольны, их величины объективно обусловлены, они задаются конкретными условиями задачи. Таким образом, было совершено открытие, которое позволяет оптимизировать производство, появляется возможность децентрализованным образом руководить деятельностью производственных секторов, технологическая структура которых может быть описана посредством линейных зависимостей (уравнений и неравенств). "Анализ деятельности" Т.Ч. Купманса, США. Несколько позже Канторовича, Купманс в своей работе «Соотношение между грузопотоками по различным маршрутам» (1942) рассмотрел проблему разработки плана торгово-
3 Наследие нобелевских лауреатов по экономике: го мореплавания с минимальной возможностью торпедирования суден подводными лодками. Он пришел к умозаключению, что задачу следует рассматривать как линейную функцию максимизации в пределах многих ограничений. Ограничения, в свою очередь, ученый представил математическими уравнениями, которые выражают отношение количества затраченных факторов производства (амортизации суден, времени, трудовых затрат) к количеству доставленных в разные пункты назначения грузов. При этом общая величина затрат не может превышать сумму стоимости доставленных в каждый порт грузов. Купманс сделал вывод, что суть принципа линейного программирования заключается в совпадении по идеальным оценкам ресурсов издержек и результатов производства в оптимальном случае. Метод Купманса, который был назван «анализом деятельности фирмы», вошел в общую методологию линейного программирования. Модели этого типа отличаются от линейных тем, что в них производство может быть связано с выпуском нескольких товаров. Также возможен выбор между разными технологиями изготовления каждого вида продукции. Важным является тот факт, что применение модели возможно как в экономической теории, так и в практике управления. Это связано с определением коэффициента, равного цене затрат в условиях идеального рынка, с помощью полученных уравнений. Модель Купманса представляет большую ценность не только для центральных планирующих органов, но и для любых децентрализованных процессов производства, где наблюдается необходимость действовать в условиях наличия ограничений по ресурсам. Центральные органы могут задавать условия цен на затраты, в свою очередь оставляя выбор оптимальных путей местным руководителям. Внутри фирмы метод "анализа деятельности" позволяет наиболее эффективно организовать работы. Действенность метода линейного программирования Чтобы оценить валидность метода, мы рассмотрели экономическую задачу, аналогичную поставленной перед Канторовичем. Предположим, некоторое предприятие выпускает пиломатериалы и фанеру. Для их изготовления используются еловые и пихтовые лесоматериалы на единицу продукции. Таблица 1 - Доход от реализации и запасы сырья лесоматериалы расход лесоматериалов на единицу продукции Запасы сырья пиломатериалы фанера еловые пихтовые количество продукции доход от единицы продукции Составим план выпуска пиломатериалов и фанеры, который приносит наибольшую прибыль: Пусть план выпуска - пиломатериалов, - фанеры. Тогда прибыль составит: Z(x)= max. Ограничения составим по запасам сырья: ;
4 Рассмотрим задачу графически: D-область решений системы ограничений; ; линии уровня Z(x)=c проходят перпендикулярно вектору с и на этих прямых значение прибыли равное. При перемещении линии уровня по направлению вектора с значение прибыли увеличивается и наибольшее значение будет в точке М. Точка М - пересечение прямых Итак, прибыль максимальна при производстве 20м пиломатериала и 1200м фанеры. При рассмотрении двух продуктов метод прост и легко может быть представлен в виде графика. Но он применим и для решения задач более высоких порядков, подразумевающих рассмотрение трех или более продуктов. В этих случаях мы не можем использовать графическое решение, но Канторович разработал алгоритмическое, при помощи которого решения могут быть получены путем последовательного приближения - симплекс-метод. Подобные задачи можно решить симплекс-методом с помощью компьютерных программ. Решение задачи с помощью редактора электронных таблиц Microsoft Office Excel: Таким образом, у нас получилось найти оптимальное решение с помощью линейного программирования. Полученные значения данное предприятие вполне может установить в план для организации производственной деятельности по выпуску фанеры и пиломатериалов. Из всего вышесказанного следует, что благодаря деятельности Канторовича и Купманса, не только математика, но и экономика приобрела новый, достаточно универсальный, удобный и необходимый раздел - линейное программирование и, таким образом, была заложена основа методов оптимизации. Изобретение линейного программирования помогает в решении главной проблемы экономики - оптимального распределения ограниченных ресурсов. Приведенные модели с помощью линейного программирования обеспечивают выбор из нескольких решений такого варианта, который максимизирует выпуск продукции, причем не
5 Наследие нобелевских лауреатов по экономике: только на уровне предприятия, но и на макроэкономическом уровне. Ведь спектр применения метода широк и разнообразен - в задачах рационального использовании сырья и материалов; оптимальной организации перевозок; оптимизации размещения предприятий; эффективного планирования многих процессов производства и т.д. Также линейное программирование стало прочной основой для возникновения множества других методов, которые позволяют найти оптимум для производства любой сложности, любой системы ограничений. Список литературы 1. Нобелевские лауреаты ХХ века. Автор - Васина Л.Л., 2001 г. 2. Экономико-математические методы и модели. Задачник. Авторы: Р.И. Горбунова Р.И., Макаров С.И., Уфимцева Л.И., 2008 г. 3. Йохансен Л., "Вклад Л. В. Канторовича в экономическую науку", 1976 г. 4. Канторович Л.В., "Экономический расчет наилучшего использования ресурсов", 1959 г. 5. Довбенко М. В., Осик Ю. И., "Современные экономические теории в трудах нобелиантов", Москва, 2011 г.
АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ КОММЕРЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ Дегтярёва Нина Адамовна, к.э.н., доцент Коммерческая работа - это деятельность предприятия, направленная на решение особого комплекса задач. Изучение
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНО ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» (МИИТ)
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНО ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)
Князева А., Лыкова Н.П. ГОУ ВПО «Российский государственный гуманитарный университет» Филиал в г. Самаре ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ИХ РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ MS EXCEL Временем рождения линейного
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Борисова М.В., Недопёкина К.И. Компьютерная реализация процедур линейного программирования // Академия педагогических идей «Новация». Серия: Студенческий научный вестник. 2019. 3 (март). АРТ 195-эл. 0,2
SWorld - 2-12 October 2012 http://www.sworld.com.ua/index.php/ru/conference/the-content-of-conferences/archives-of-individual-conferences/oct-2012 SCIENTIFIC RESEARCHES AND THEIR PRACTICAL APPLICATIO N.
Задача. Решить графически ma F Находим точки пересечения прямых определяющих неравенства. Отсюда Точка пересечения не принадлежит области. Построим область допустимых решений. Построим вектор направления
Задачи оптимизации. Кольцов С.Н 2014 www.linis.ru Задачи линейного программирования Задачи оптимального планирования, связанные с отысканием оптимума заданной целевой функции (линейной формы) при наличии
5. Методические указания по подготовке к практическим занятиям при изучении дисциплины «Методы оптимальных решений» Направление подготовки 080100.62 «Экономика» Профиль «Экономика и управление инвестициями»
Федеральное агентство по образованию НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ - «НИНХ» Рег. 24-0/02 Кафедра Высшей математики МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ ПОМОЩИ СИМПЛЕКС-МЕТОДА НА ПРИМЕРЕ ХЛЕБОПЕКАРНОГО МАГАЗИНА «ШОКОЛАДНИЦА» Кирнозова И.Р. Ставропольский государственный аграрный университет, Ставрополь, Россия MATHEMATICAL
Методы оптимальных решений Контрольная работа Задача 1. Предприятие производит продукцию двух видов (A и Б), используя при изготовлении этой продукции ресурсы трех видов (первого, второго и третьего).
Математическое программирование Каждый человек ежедневно, не всегда осознавая это, решает проблему получения наибольшего эффекта, при затрате ограниченных средств. Чтобы достичь наибольшего эффекта, имея
ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА МОСКВЫ «ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ 50» Графический метод решения задач линейного программирования
MPRA Munich Personal RePEc Archive Use of tools of analytical geometry for search of an extremum of production function Natalia Aleksenko and Nadezhda Il ina and Victoriya Motrich Financial University
Экономические приложения теории экстремумов функций двух переменных Ляликова Е Р Ляликова Елена Реомировна / Ljalikova Elena Reomirovna - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического
Решение задачи линейного программирования графическим методом, симплекс-методом и через «Поиск решения» в Ecel ЗАДАНИЕ. Предприятие выпускает два вида продукции: Изделие и Изделие. На изготовление единицы
Для решения задач линейного программирования Арсений Мамошкин СПбГУ ИТМО Кафедра КТ 2010 г. Мамошкин А. М. (СПбГУ ИТМО КТ) http://rain.ifmo.ru/cat 1 / 28 Содержание Формулировка задачи 1. Формулировка
Исследование операций в экономике УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 2-е издание, переработанное и дополненное Под редакцией профессора Í. Ø. Êðåìåðà Рекомендовано Министерством образования РФ в качестве учебного пособия
Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ «НИНХ» Рег. 754-16/02 Кафедра статистики МЕТОДИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ
ВАРИАНТ 5 Для изготовления различных изделий А, В, С предприятие использует различных вида сырья. Используя данные таблицы: Вид сырья Нормы затрат сырья Кол-во сырья А В С I II III 18 6 5 15 4 12 8 540
Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Уральский государственный лесотехнический университет Кафедра
Исследование операций Определение Операция - мероприятие, направленное на достижение некоторой цели, допускающее несколько возможностей и их управление Определение Исследование операций совокупность математических
ИЗ ИСТОРИИ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ ШКОЛЫ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО И СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 1. Становление Применение математических методов в отечественных экономических исследованиях традиция, возникшая
Линейная производственная задача. Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя при этом три вида ресурсов. Известны технологическая матрица A затрат 7 8 ресурсов на производство единицы
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА СРЕДСТВА ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ КАК ФУНКЦИИ EXCEL Команда Подбор параметра Задание 1. Рассмотрим задачу, составленную на основании задачи по использованию функции ЧПС. Вас просят
Токарев К.С. Графическая интерпретация взаимосвязей решений исходной и двойственной задач линейного программирования // Академия педагогических идей «Новация». Серия: Студенческий научный вестник. 2018.
Динамическая задача определения оптимальной производственной программы Мищенко А.В., Джамай Е.В. В современной динамично меняющейся экономике прогрессивные изменения в народнохозяйственном комплексе страны
Практическая работа 8 Решение задач линейного программирования графическим методом. Цель работы: Научиться решать задачи линейного программирования графическим методом. Содержание работы: Основные понятия.
1 УДК: 004.032:633/635 ОПТИМИЗАЦИЯ ПЕРЕВОЗОК С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ ВИЗУАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧ Замотайлова Дарья Александровна студентка Бурда Алексей Григорьевич
Тема 3: ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА 2 План темы 3 «Транспортная задача»: 3.. Постановка задачи, основные определения 3.2. Закрытая и открытая транспортная задача 3.3. Метод северо-западного угла 3.4. Метод потенциалов
Сальникова Н. И. к.э.н., доцент, доцент кафедры экономической теории Институт экономики и управления КФУ им. В. И. Вернадского Росиия, г. Симферополь ЭФФЕКТИВНОСТЬ И ЕЕ ТРАКТОВКА В ОТЕЧЕСТВЕННОЙ И ЗАПАДНОЙ
Решение задачи по предмету «Теория принятия решений» Фирма «Х» производит три типа химикатов. На предстоящий месяц эта фирма заключила контракт на поставку следующих количеств трех типов химикатов; Тип
АНАЛИЗ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА НА ПРИМЕРЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ Логунова Ю.А. Самарский государственный экономический университет Самара, Россия THE ANALYSIS OF CONSUMER CHOICE BY THE EXAMPLE
Задание: Сделать математическую постановку задачи и графическим методом найти оптимальное решение. Вариант 2. Аудитории и лаборатории университета рассчитаны не более, чем на 5000 студентов. Университет
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
ИНСТИТУТ МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Экономико-математические методы и модели. МОСКВА - 00 Практические задания
УДК 330.46 Прикладные возможности WolframAlpha для решения задач линейного программирования Соколов Арсентий Борисович Российский экономический университет им. Г.В.Плеханова Магистрант Научный руководитель:
Аналитическое задание фигур на плоскости. Задачи оптимизации Окружность с центром в точке A 0 (x 0,y 0) и радиусом R задается уравнением (x-x 0) 2 + (y-y 0) 2 = R 2. Круг, ограниченный этой окружностью,
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ФИЛИАЛ НАЦИОНАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО УНИВЕРСИТЕТА «ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ» Кафедра математики Н. П. Анисимова, Е. А. Ванина ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Учебно-методическое пособие
УДК 519.852:330.4 Курышева А.С. студентка специальности «Экономическая безопасность», Институт экономики, НИУ «БелГУ», Россия, г. Белгород Зуева Е.О. студентка специальности «Экономическая безопасность»,
0 (75) 0 Экономико-математическое моделирование УДК 59.853.3 РЕШЕНИЕ РЯДА ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ АЛГОРИТМАМИ МЕТОДА ШТРАФНЫХ ФУНКЦИЙ С НЕПОЛНОЙ МИНИМИЗАЦИЕЙ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ А. Г. ИСАВНИН, доктор физико-математических
Глава 2 Линейное программирование В линейном программировании изучаются задачи об экстремуме линейной функции нескольких переменных при ограничениях типа равенств и неравенств, задаваемых также линейными
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ЛОГИСТИЧЕСКИХ ИЗДЕРЖЕК ПРЕДПРИЯТИЯ Абрамкина Т.Н. Самарский государственный экономический университет Самара, Россия OPTIMIZATION METHODS OF FIRM LOGISTICAL COSTS Abramkina T. Samara
Двойственные задачи Содержание Экономическая интерпретация задачи, двойственной задаче об использовании ресурсов 2 Взаимно двойственные задачи линейного программирования и их свойства 5 Теоремы двойственности
Задача. (необходимо решить графическим методом) Найти максимум целевой функции L=4+y при следующих ограничениях: Решить задачу при дополнительном условии (ДУ): ДУ: Найти минимум целевой функции L=-y при
УДК 00.57: 004.94 М.Б. Котляревский доктор физико-математических наук, профессор П.В. Захарченко кандидат техничних технических наук, доцент Академия управления и информационных технологий «АРИУ», г.бердянск
УДК 5: 378 ИНФОРМАТИЗАЦИЯ ОБУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЕ «ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ» НА ОСНОВЕ ПРИМЕНЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ В Г Гетманов докт техн наук, профессор профессор каф информатики и прикладной математики e-ml:
Глава Экстремумы функций нескольких переменных Локальные экстремумы функций двух переменных Условные экстремумы Функция z f) имеет максимум минимум) в точке M если можно найти такую окрестность точки
1. 2 ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 1.1. Цели освоения дисциплины: ознакомить студентов с различными математическими моделями в экономике, такими, как модель межотраслевого баланса, модель экономического
Классическая транспортная задача, решенная методом потенциалов Лозгачёв И. А., Корепанов М. Ю., студенты. ФГБОУ ВПО «Уральский государственный горный университет» Екатеринбург, Россия The classical transport
Тема: Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Общая математическая формулировка основной задачи линейного программирования: дана система m линейных уравнений с n неизвестными a11x1 a12
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Методы оптимальных решений» Направление 08000 Экономика для подготовки студентов бакалавров
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ Microsoft Excel и Mathcad ЦЕЛЬ РАБОТЫ Приобретение навыков решения задач линейного программирования (ЛП) в табличном редакторе
Практическая работа «Экономико-математические методы и модели» Вариант 2 Задание 1. Решить графически. 150x + 70x max, 30x1 + 75x2 900, 3x1 + 2x2 30, x, x 0. Решение. Построим область допустимых решений
XLI Студенческая международная заочная научно-практическая конференция «Молодежный научный форум: общественные и экономические науки» MS EXCEL КАК СРЕДСТВО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЭКОНОМИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» Кафедра «Технология деревообработки» МОДЕЛИРОВАНИЕ
Нелинейная задача оптимизации. Кольцов С.Н 2014 www.linis.ru Задача безусловной оптимизации Задача оптимизации формулируется следующим образом: заданы множество Х (допустимое множество задачи) и функция
Грук Любовь Владимировна Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 603 Фрунзенского района Санкт-Петербурга ФУНКЦИИ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Функциональная
Леонид Витальевич Канторович (Kantorovich) (19.01.1912 г. 7.04.1986 г.) Нобелевская премия по экономике 1975 г. (совместно с Тьяллингом Купмансом) Российский экономист-математик Леонид Витальевич Канторович
Лекция 2. Основная задача линейного программирования. Все задачи линейного программирования могут быть приведены к стандартной форме, в которой целевая функция должна быть максимизирована, а все ограничения
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Ижевский государственный технический университет кафедра САПР МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по дисциплине "Системный анализ" на тему
Контрольная работа Задача 5 На предприятии имеется сырье видов 1, 2, 3 Из него можно изготавливать изделия типов А и В Пусть запасы видов сырья на предприятии составляют b 1, b 2, b 3 ед соответственно,
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА
Линейное программирование в задачах управления производством Многие задачи управления, экономики и организации производства решаются с использованием метода линейного программирования. Модель линейного
«NAUKA- RASTUDENT.RU» Электронный научно-практический журнал График выхода: ежемесячно Языки: русский, английский, немецкий, французский ISSN: 2311-8814 ЭЛ ФС 77-57839 от 25 апреля 2014 года Территория
Банк заданий для промежуточного контроля Тест. Тема «Линейное программирование» Состоит из - 3 теоретических вопроса по теме и 4 6 практических заданий, предусматривающих умения и навыки: составлять математические
Князева А., Лыкова Н.П.
ГОУ ВПО «Российский государственный гуманитарный университет»
Филиал в г. Самаре
постановка Задач линейного программирования и их решение с помощью msexcel
Временем рождения линейного программирования принято считать 1939г., когда была напечатана брошюра Леонида Витальевича Канторовича "Математические методы организации и планирования производства". Поскольку методы, изложенные Л.В.Канторовичем, были мало пригодны для ручного счета, а быстродействующих вычислительных машин в то время не существовало, работа Л.В.Канторовича осталась почти не замеченной.
Свое второе рождение линейное программирование получило в начале пятидесятых годов с появлением ЭВМ. Тогда началось всеобщее увлечение линейным программированием, вызвавшее в свою очередь развитие других разделов математического программирования. В 1975 году академик Л.В.Канторович и американец профессор Т. Купманс получили Нобелевскую премию по экономическим наукам за "вклад в разработку теории и оптимального использования ресурсов в экономике".
Было осознано, что надо научиться решать задачи о нахождении экстремумов линейных функций на многогранниках, задаваемых линейными неравенствами. По предложению Купманса этот раздел математики получил название линейного программирования.
Американский математик А. Данциг в 1947 году разработал весьма эффективный конкретный метод численного решения задач линейного программирования (он получил название симплекс метода). Идеи линейного программирования в течении пяти шести лет получили грандиозное распространение в мире, и имена Купманса и Данцига стали повсюду широко известны.
Задачи оптимального планирования, связанные с отысканием оптимума заданной целевой функции (линейной формы) при наличии ограничений в виде линейных уравнений или линейных неравенств относятся к задачам линейного программирования.
Линейное программирование - наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования.
Круг задач, решаемых при помощи методов линейного программирования достаточно широк:
задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании;
задача о смесях (планирование состава продукции);
задача о нахождении оптимальной комбинации различных видов продукции для хранения на складах (управление товарно-материальными запасами или "задача о рюкзаке");
транспортные задачи (анализ размещения предприятия, перемещение грузов).
Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой (максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде системы линейных уравнений или неравенств; требование неотрицательности переменных.
В общем виде модель записывается следующим образом:
целевая функция: F(x)= c 1 x 1 + c 2 x 2 + ... + cnxn → max(min) (1)
ограничения:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n xn {≤ = ≥} b 1 ,
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n xn {≤ = ≥} b 2 , (2)
a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn xn {≤ = ≥} b m ;
требование неотрицательности: x j ≥ 0, j = 1, 2,……, n (3)
При этом a ij , b i , c j (I = 1, 2, ….., m; j = 1, 2,……, n) - заданные постоянные величины .
Задача состоит в нахождении оптимального значения функции (1) при соблюдении ограничений (2) и (3).
Систему ограничений (2) называют функциональными ограничениями задачи , а ограничения (3) - прямыми .
Вектор, удовлетворяющий ограничениям (2) и (3), называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования. План, при котором функция (1) достигает своего максимального (минимального) значения, называется оптимальным .
Задачи линейного программирования можно решать вручную, т.е. алгебраически и графически, а можно при помощи MS Excel. Эта программа позволяет быстро и легко решить задачи линейного программирования.
Разберём решение таких задач на конкретном примере:
На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в таблице. В ней же указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.
| Вид корма | Ежедневное количество корма усл. ед. | Общее количество корма, усл.ед. | |
| Прибыль от реализации одной шкурки, руб. | |||
Определить, сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации их шкурок была максимальной.
Запишем математическую модель:
Х шт – лисицы, У шт - песцы
16x+12y - max (1)
Решение данной задачи аналитически сводится к решению системы из трёх неравенств (2-4), выражая значение одной переменной через другую получаем:
х 90 – 1,5у
4(90 – 1,5у) + у 240
6(90 – 1,5у) + 7у 426
х 1 54 х 2 4,5
у 1 24 у 2 57
причём х 2 и у 2 не удовлетворяют решению, т.к. количество зверей не может быть дробным числом.
Следовательно, целевая функция будет равна: 1152
Однако, с помощью MS Excel решение гораздо проще и быстрее.
Для решения задачи в MS Excel, необходимо создать таблицу с исходными данными (рис. 1)
Рис.1 – Таблица с исходными данными (задача на оптимизацию производства)
Затем с помощью встроенных функций MS Excel (=СУММПРОИЗВ) ввести ограничения и целевую функцию (рис.2)
Рис. 2 – ограничения и целевая функция
После того, как все ограничения и целевая функция введены, следует воспользоваться встроенной программой MS Excel Поиск решения (рис. 3), в которой также вводятся целевая функция, ограничения, а также изменяемые ячейки (т.е. неизвестные переменные).
Рис. 3 – Поиск решения
Однако прежде чем приступить к решению необходимо также во вкладке параметры поиска решения задать: линейная модель, неотрицательные значения и автоматическое масштабирование (рис. 4)
Рис. 4 – Параметры поиска решения
После завершения ввода всех ограничений и параметров мы получаем искомое решение задачи (рис. 5)
Рис. 5 – Итоговая таблица, с полученным решением
На практике многие экономические параметры (цены на продукцию и сырье, запасы сырья, спрос на рынке, заработная плата и т.д.) с течением времени меняют свои значения. Поэтому оптимальное решение задачи ЛП, полученное для конкретной экономической ситуации, после ее изменения может оказаться непригодным или неоптимальным. В связи с этим возникает задача анализа чувствительности задачи ЛП, а именно того, как возможные изменения параметров исходной модели повлияют на полученное ранее оптимальное решение.
Связывающие ограничения проходят через оптимальную точку. Несвязывающие ограничения не проходят через оптимальную точку. Ресурс, представляемый связывающим ограничением, называют дефицитным, а ресурс, представляемый несвязывающим ограничением, – недефицитным. Ограничение называют избыточным в том случае, если его исключение не влияет на область допустимых решений и, следовательно, на оптимальное решение.
Выделяют следующие три задачи анализа на чувствительность.
1. Анализ сокращения или увеличения ресурсов:
1) на сколько можно увеличить или уменьшить запас дефицитного ресурса для улучшения оптимального значения ЦФ?
2) на сколько можно уменьшить или увеличить запас недефицитного ресурса при сохранении полученного оптимального значения ЦФ?
2. Увеличение (уменьшение) запаса какого из ресурсов наиболее выгодно?
3. Анализ изменения целевых коэффициентов: каков диапазон изменения коэффициентов ЦФ, при котором не меняется оптимальное решение?
MS Excel позволяет делать отчет по результатам, который состоит из 3 таблиц:
1 – Целевая ячейка. В ней отображается начальное значение целевой функции и оптимальное (результат).
2- Изменяемые ячейки. В ней отражены исходные значения переменных и результирующие (оптимальные). Если продукт не входит в оптимальное решение (равен 0), то он считается не рентабельным.
3- Ограничения. Кроме имени ограничения, ячейки, в которую вписана левая часть ограничения, в ней отображены столбцы:
Значение – значение левой части ограничения при оптимальном плане. Т.е. сколько фактически использовано ресурса.
Формула – отображается знак ограничения (больше или равно, меньше или равно и т.д.)
Статус – отображено Связанное или не связанное ограничение. Если статус связанное, то ресурс использован полностью. Если же статус – не связанное, то ресурс использован не полностью.
Разница – отображено количество оставшегося не использованным ресурса.
А также отчет по устойчивости, который состоит из 2 таблиц:
1 – изменяемые ячейки. Кроме имени переменных и адресов ячеек в ней присутствуют столбцы:
Результирующее значение – это оптимальный план.
Нормированная (редуцированная) стоимость – показывает, на сколько изменится целевая функция после принудительного включения единицы этой продукции в оптимальный план. Если продукт рентабелен, то нормированная стоимость будет равна 0.
Целевой коэффициент – значения коэффициентов целевой функции.
Допустимое увеличение, допустимое уменьшение – показывает границы изменений коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется набор переменных, входящих в оптимальное решение.
2 – Ограничения. Кроме имени переменных и адресов ячеек в ней присутствуют столбцы:
Результирующее значение - значение левой части ограничения при оптимальном плане. Т.е. сколько фактически использовано ресурса.
Теневая цена – изменение целевой функции при изменении дефицитного ресурса на 1 единицу. Теневая цена недефицитного ресурса будет равна 0.
Ограничение Правая часть – запас ресурса.
Допустимое увеличение, допустимое уменьшение - показывает, на сколько можно изменить правую часть ограничения до того момента пока это будет влиять на целевую функцию.
Удобство использования MS Excel для решения задач линейного программирования заключается в том, что:
создав один раз таблицу, её можно применять для задач такого же типа изменяя только исходные данные;
все необходимые для решения задачи формулы уже представлены в MS Excel;
решение задачи занимает в несколько раз меньше времени, нежели её же решение вручную;
точность решения гораздо выше, чем вручную, а погрешности сведены к минимуму.
Единственным минусом решения задач линейного программирования с помощью MS Excel может быть: отсутствие полного решения, т.е. поиск решения сразу выдаёт готовый ответ, не показывая все вычисления, что в принципе не является целью решения задачи.
Список литературы:
А.Г.Трифонов. Примеры решения оптимизационных задач // 2008
Попова Н.В. Математические методы // М.:ВТК. – 2005
Лыкова Н.П., Князева А ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ИХ РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ MS EXCEL // Научный электронный архив.
URL: (дата обращения: 26.12.2019).
Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины
Севастопольский национальный технический университет
Факультет Экономики и менеджмента
На тему: Л.В. Канторович: разработка теории линейного программирования
по дисциплине «История экономики и экономической мысли»
Выполнила: ст. гр. МО-21
Ковалева С.Н.
Проверил: преподаватель
Керезь Е.С.
Севастополь 2009
1. Леонид Витальевич Канторович
1 Биография Л.В. Канторовича
2 Вклад в науку
3 Научные работы
Зарождение линейного программирования
Заключение
Введение
1. Леонид Витальевич Канторович
1Биография Л.В. Канторовича
Леонид Витальевич Канторович (1912-1986) родился в Санкт-Петербурге в семье врача. Его выдающиеся способности проявились рано - в 14 лет он поступил в Ленинградский государственный университет. Закончив ЛГУ за 4 года, он поступил в аспирантуру. В 1932 г. он становится доцентом, а в 1935 г. - профессором ЛГУ. В 1935 г. ему присвоено звание доктора физико-математических наук без защиты диссертации. В 1958 г. он избран членом-корреспондентом АН СССР по экономике, а в 1964 г. - академиком. За разработку метода линейного программирования и экономических моделей удостоен в 1965 году <#"justify">1.2Вклад в науку
Научное наследие Л. В. Канторовича огромно. Его исследования в области функционального анализа, вычислительной математики, теории экстремальных задач, дескриптивной теории функций оказали фундаментальное влияние на становление и развитие названных дисциплин. Л. В. Канторович по праву входит в число основоположников современного экономико-математического направления. Л. В. Канторович - автор более трехсот научных работ, которые при подготовке аннотированной библиографии его сочинений он сам предложил распределить по следующим девяти разделам: дескриптивная теория функций и теория множеств, конструктивная теория функций, приближенные методы анализа, функциональный анализ, функциональный анализ и прикладная математика, линейное программирование, вычислительная техника и программирование, оптимальное планирование и оптимальные цены, экономические проблемы плановой экономики. Столь впечатляющее многообразие направлений исследований объединяется не только личностью Л. В. Канторовича, но и его методическими установками. Он всегда подчеркивал внутреннее единство науки, взаимопроникновение идей и методов, необходимых для решения самых разнообразных теоретических и прикладных проблем математики и экономики. Еще одной характерной чертой его творчества является тесная взаимосвязь с наиболее трудными проблемами и самыми перспективными идеями математики и экономики того времени. Осветить творчество Леонида Витальевича в кратко невозможно. Сам он выделял из сделанного в науке две вещи: линейное программирование и K-пространства.
3Научные работы Л.В. Канторовича
Научные работы: Первые научные результаты получены в дескриптивной теории функций и множеств и, в частности, по проективным множествам <#"justify">канторович математика вычислительный дескриптивный 2. Зарождение линейного программирования
Линейное программирование изучают десятки тысяч людей во всем мире. Под этим термином скрывается колоссальный раздел науки, посвященный линейным оптимизационным моделям. Иначе говоря, линейное программирование - это наука о теоретическом и численном анализе и решении задач, в которых требуется найти оптимальное значение, т. е. максимум или минимум, некоторой системы показателей в процессе, поведение и состояние которого описывается той или иной системой линейных неравенств. Одним из наиболее значительных и ярких достижений в области экономико-математических исследований было открытие Леонидом Витальевичем Канторовичем (1912-1986) метода линейного программирования. Линейное программирование - решение линейных уравнений (уравнений первой степени) посредством составления программ и применения различных методов их последовательного решения, существенно облегчающих расчеты и достижение искомых результатов. Линейное программирование изучают десятки тысяч людей во всем мире. Под этим термином скрывается колоссальный раздел науки, посвященный линейным оптимизационным моделям. Иначе говоря, линейное программирование - это наука о теоретическом и численном анализе и решении задач, в которых требуется найти оптимальное значение, т. е. максимум или минимум, некоторой системы показателей в процессе, поведение и состояние которого описывается той или иной системой линейных неравенств. Сам термин «линейное программирование» был предложен в 1951 году американским экономистом Т. Купмансом. За разработку метода линейного программирования или, как сказано в дипломе Шведской академии наук, за «вклад в теорию оптимального распределения ресурсов Л.В.Канторович был удостоен Нобелевской премии по экономике (1975). Премия была присуждена ему совместно с американским экономистом Тьяллингом Чарльзом Купмансом, который несколько позже, независимо от Канторовича, предложил сходную методологию. Разработка линейного программирования началась с поиска решения практической задачи. К Канторовичу обратились инженеры фанерного треста с просьбой найти эффективный способ распределения ресурсов, обеспечивающий наиболее высокую производительность оборудования. Работники предприятия ломали голову над тем, как при пяти станках и восьми видах сырья обеспечить оптимальный вариант выпуска фанеры. Иными словами, нужно было найти решение конкретной технико-экономической задачи с целевой функцией («функционалом») максимизировать выпуск готовой продукции. Заслуга Канторовича состоит в том, что он предложил математический метод выбора оптимального варианта. Решая частную задачу наиболее рациональной загрузки оборудования, ученый разработал метод, получивший название метода линейного программирования. По сути дела, он открыл новый раздел математики, получивший широкое распространение в экономической практике, способствовавший развитию и использованию электронно-вычислительной техники. С оптимальным планом любой линейной программы автоматически связаны оптимальные цены или «объективно обусловленные оценки». Последнее громоздкое словосочетание Леонид Витальевич выбрал из тактических соображений для повышения «критикоустойчивости» термина. Взаимозависимость оптимальных решений и оптимальных цен - такова краткая суть экономического открытия Л. В. Канторовича. В задаче по оптимизации выпуска фанеры Канторович представил переменную, которую следовало максимизировать в виде суммы стоимостей продукции, производимой всеми станками. Ограничители были представлены в форме уравнений, устанавливающих соотношения между всеми затрачиваемыми в производстве факторами (древесиной, клеем, электроэнергией, рабочим временем) и количеством выпускаемой продукции (фанеры) на каждом из станков. Для показателей факторов производства были введены коэффициенты, названные разрешающими множителями, или мультипликаторами. С их помощью разрешается поставленная задача. Если известны значения разрешающих множителей, то искомые величины, в частности, оптимальный объем выпускаемой продукции, могут быть сравнительно легко найдены. Канторович обосновал экономический смысл предложенных им коэффициентов (разрешающих множителей). Они представляют собой не что иное, как предельные стоимости ограничивающих факторов. Иначе говоря, это объективно значимые цены каждого из факторов производства применительно к условиям конкурентного рынка. Допустим, требуется решить транспортную задачу, обосновать наиболее рациональное распределение грузопотоков. Для примера, всего нужно перевести 180т груза из трех источников к трем потребителям, общий спрос которых также равен 180 т. Сложность в том, что груз распределен неравномерно: у одного поставщика имеется 50 т, у другого - 60 т, у третьего - 80 т. Также неравнозначен спрос потребителей: он составляет соответственно 40, 85 и 55 т. Неодинаковы и расстояния - плечи перевозки грузов - от 1 до 6 км. Задача заключается в том, чтобы составить такой план перевозок, который отвечал бы требованию минимизации грузооборота (минимальному количеству тонно-километров). В повседневной практике менеджеры могут заняться монотонной работой по длительному перебору возможных вариантов. Постепенно они смогут «пройти» от плана перевозок, скажем, в 750 т/км к плану в 655 т/км. Поиск потребует массу усилий, значительного количества расчетов. Главное же - трудно установить, какой из предлагаемых вариантов является оптимальным. Допустим, найден вариант плана с грузооборотом в 575 т/км. Но остается неизвестным, нет ли еще одного или нескольких более выгодных вариантов плана, требующих меньших затрат. Задача становится совсем неразрешимой, если перейти от сравнительно простой схемы к составлению варианта перевозок одного или нескольких продуктов (угля, цемента, стройматериалов) в масштабе региона или страны. Даже в случае укрупнения, агрегирования исходных показателей расчеты и сопоставления вариантов потребуют проведения такого количества операций, для осуществления которых придется привлечь чуть ли не все население Украины. Метод линейного программирования позволяет найти оптимальное решение. Линейным оно называется потому, что основывается на решении линейных уравнений. Неизвестные в них только первой степени; ни одно неизвестное не перемножается на другое неизвестное. Такие уравнения отражают зависимости, которые могут быть изображены на графике прямыми линиями. Несколько иной целевой критерий в задаче о диете (кормовом рационе). Задача сводится к поиску оптимального рациона для кормления скотины или птицы. При постоянном изменении рыночных цен на корма фермеры подбирают оптимальный рацион при минимуме затрат, производя соответствующие расчеты на компьютере. Впервые работа, в которой излагалось существо предложенного Канторовичем метода, была опубликована в 1939 г. под названием «Математические методы организации планирования производства». Продолжая исследования, ученый разрабатывает общую теорию рационального использования ресурсов. В период Великой Отечественной войны, будучи профессором Военно-морской инженерной академии в блокадном Ленинграде, Канторович, опираясь на метод линейного программирования, обосновывает оптимальное размещение производственных и потребительских факторов. В 1942 г. он подготовил книгу «Экономический расчет наиболее целесообразного использования ресурсов», которая в тот период, к сожалению, не была опубликована. Позже издается одна из наиболее крупных его работ «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов» (1959). В этой книге, как отмечали члены Научного совета по применению математики в научных исследованиях и планировании, представлен углубленный анализ идей линейного программирования, разработанного автором ранее, и вместе с тем впервые ставится проблема разработки оптимального плана всего народного хозяйства как математической модели. Несомненной заслугой Канторовича является выявление двойственных оценок в задачах линейного программирования. Нельзя одно временно минимизировать затраты и максимизировать результаты. Одно противоречит другому. Вместе с тем оба этих подхода взаимосвязаны. Если, скажем, найдена оптимальная схема перевозок, то ей соответствует определенная система цен. Если найдены оптимальные значения цен, то сравнительно нетрудно получить схему перевозок, отвечающую требованию оптимальности. Для любой задачи линейного программирования существует сопряженная ей, или двойственная задача. Если прямая задача заключается в минимизации целевой функции, то двойственная - в максимизации. Двойственные оценки дают принципиальную возможность соизмерять не только ценовые, затратные показатели, но и полезности. При этом двойственные, взаимосвязанные оценки соответствуют конкретным условиям. Если изменяются условия, меняются оценки. В известной мере поиск оптимума - это определение общественно необходимых затрат, учитывающих, с одной стороны, трудовые, стоимостные затраты, а с другой-общественные потребности, полезности продукта для потребителей. При непосредственном участии Канторовича и его ближайших коллег - В.В. Новожилова (автора идеи продуктово-трудового баланса) и В.С. Немчинова (обосновавшего глобальный критерий функционирования экономики) формировалась отечественная экономико-математическая школа.
Заключение
На первый взгляд, теории Л. В. Канторовича были, как он сам говорил приспособлены к плановой экономике, и т.д. Но это лишь внешняя сторона дела. Главное - учет скрытых параметров (рента), единый подход к ограничениям (труд - всего лишь одно из них) и все, что отсюда вытекает - делают его экономические приложения универсальными и необходимыми сейчас. Вообще, главный итог великого эксперимента Канторовича в том, что он подошел к экономическим проблемам вооруженный самыми современными для тех лет математическими средствами, и творчески применял их. Это не значит, что его выводы будут полностью работать и сегодня, но это, безусловно, значит, и в этом отношении Л.В. Канторович был, возможно, первым, что талант математика может в корне переустроить и преобразовать экономическую мысль.
Список использованных источников
1. История экономических учений: Учебное пособие / Под ред. А.Г. Худокормова. - М.: Изд-во МГУ, 1994. - Ч. II, гл. 30. Канторович Л.В. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов. - М.: Изд-во АН СССР, 1959. Капустин В.Ф., Шабалин Г.В. Л.В. Канторович и экономико-математические исследования: итоги, проблемы, перспективы // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 5. Экономика. 1996. Вып. 2. Пезенти А. Очерки политической экономии капитализма. В 2 т. - М.: Прогресс, 1976. Т. II , гл. 14. Шухов Н.С. Ценность и стоимость. - М.: Изд-во стандартов, 1994. - Ч. 2, вып. 1, гл. 8.
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина
Контрольная работа
по предмету: История экономических учений
на тему: Л.В. Канторович - родоначальник теории линейного программирования (теории оптимального использования ресурсов).
Выполнила:
Чернова Н.В.
Рязань 2014 г.
Введение
1.2 Вклад в науку
1.3 Научные работы
Заключение
Список использованных источников
Введение
В этом реферате я напишу о деятельности Леонида Витальевича Канторовича, выдающегося ученого ХХ века. О его борьбе за признание своих экономико-математических теорий, о начальном этапе истории линейного программирования, о зарождении новой области математической деятельности, связанной с экономическими приложениями, называемой у нас, то исследованием операций, то математической экономикой, то экономической кибернетикой и т. п., о ее месте и связях с современным математическим ландшафтом.
1. Леонид Витальевич Канторович
1.1 Биография Л.В. Канторовича
Леонид Витальевич Канторович (1912--1986) родился в Санкт-Петербурге в семье врача. Его выдающиеся способности проявились рано -- в 14 лет он поступил в Ленинградский государственный университет. Закончив ЛГУ за 4 года, он поступил в аспирантуру. В 1932 г. он становится доцентом, а в 1935 г. -- профессором ЛГУ. В 1935 г. ему присвоено звание доктора физико-математических наук без защиты диссертации. В 1958 г. он избран членом-корреспондентом АН СССР по экономике, а в 1964 г. -- академиком. За разработку метода линейного программирования и экономических моделей удостоен в 1965 году вместе с академиком В. С. Немчиновым и профессором В. В. Новожиловым Ленинской премии. С 1971 года работал в Москве, в институте управления народным хозяйством Государственного комитета Совета Министров СССР по науке и технике. 1975 год -Нобелевская премия по экономике (совместно с Т. Купмансом «за вклад в теорию оптимального распределения ресурсов»). С 1976 работал во ВНИИСИ ГКНТ и АН СССР, ныне Институт системного анализа РАН.
Награждён 2 орденами Ленина (1967, 1982), 3 орденами Трудового Красного Знамени (1949, 1953, 1975), орденом Отечественной войны 1-й степени (1985), орденом «Знак Почёта» (1944). Почётный доктор многих университетов мира.
1.2 Вклад в науку
Научное наследие Л.В. Канторовича огромно. Его исследования в области функционального анализа, вычислительной математики, теории экстремальных задач, дескриптивной теории функций оказали фундаментальное влияние на становление и развитие названных дисциплин. Л.В. Канторович по праву входит в число основоположников современного экономико-математического направления.
Л.В. Канторович -- автор более трехсот научных работ, которые при подготовке аннотированной библиографии его сочинений он сам предложил распределить по следующим девяти разделам: дескриптивная теория функций и теория множеств; конструктивная теория функций; приближенные методы анализа; функциональный анализ; функциональный анализ и прикладная математика; линейное программирование; вычислительная техника и программирование; оптимальное планирование и оптимальные цены; экономические проблемы плановой экономики.
Столь впечатляющее многообразие направлений исследований объединяется не только личностью Л.В. Канторовича, но и его методическими установками. Он всегда подчеркивал внутреннее единство науки, взаимопроникновение идей и методов, необходимых для решения самых разнообразных теоретических и прикладных проблем математики и экономики. Еще одной характерной чертой его творчества является тесная взаимосвязь с наиболее трудными проблемами и самыми перспективными идеями математики и экономики того времени.
Осветить творчество Леонида Витальевича кратко невозможно. Сам он выделял из сделанного в науке две вещи: линейное программирование и K-пространства.
1.3 Научные работы Л.В. Канторовича
Научные работы:
Первые научные результаты получены в дескриптивной теории функций и множеств и, в частности, по проективным множествам.
В функциональном анализе ввёл и изучил класс полуупорядоченных пространств (К-пространств). Выдвинул эвристический принцип, состоящий в том, что элементы К-пространств суть обобщённые числа. Этот принцип был обоснован в 1970-е годы в рамках математической логики. Булевозначный анализ установил, что пространства Канторовича представляют новые нестандартные модели вещественной прямой.
Впервые применил функциональный анализ к вычислительной математике.
Развил общую теорию приближённых методов, построил эффективные методы решения операторных уравнений (в том числе метод наискорейшего спуска и метод Ньютона для таких уравнений).
В 1939-40 положил начало линейному программированию и его обобщениям. канторович линейный программирование
Развил идею оптимальности в экономике. Установил взаимозависимость оптимальных цен и оптимальных производственных и управленческих решений. Каждое оптимальное решение взаимосвязано с оптимальной системой цен.
Канторович -- представитель петербургской математической школы П.Л. Чебышёва, ученик Г.М. Фихтенгольца и В.И. Смирнова. Канторович разделял и развивал взгляды П.Л. Чебышева на математику как на единую дисциплину, все разделы которой взаимосвязаны, взаимозависимы и играют особую роль в развитии науки, техники, технологии и производства. Канторович выдвигал тезис взаимопроникновения математики и экономики и стремился к синтезу гуманитарных и точных технологий знания. Творчество Канторовича стало образцом научного служения, базирующегося на универсализации математического мышления.
2. Зарождение линейного программирования
Линейное программирование изучают десятки тысяч людей во всем мире. Под этим термином скрывается колоссальный раздел науки, посвященный линейным оптимизационным моделям. Иначе говоря, линейное программирование -- это наука о теоретическом и численном анализе и решении задач, в которых требуется найти оптимальное значение, т. е. максимум или минимум, некоторой системы показателей в процессе, поведение и состояние которого описывается той или иной системой линейных неравенств.
Одним из наиболее значительных и ярких достижений в области экономико-математических исследований было открытие Леонидом Витальевичем Канторовичем метода линейного программирования. Линейное программирование -- решение линейных уравнений (уравнений первой степени) посредством составления программ и применения различных методов их последовательного решения, существенно облегчающих расчеты и достижение искомых результатов.
Сам термин «линейное программирование» был предложен в 1951 году американским экономистом Т. Купмансом. За разработку метода линейного программирования или, как сказано в дипломе Шведской академии наук, за «вклад в теорию оптимального распределения ресурсов» Л.В. Канторович был удостоен Нобелевской премии по экономике (1975). Премия была присуждена ему совместно с американским экономистом Тьяллингом Чарльзом Купмансом, который несколько позже, независимо от Канторовича, предложил сходную методологию.
Разработка линейного программирования началась с поиска решения практической задачи. К Канторовичу обратились инженеры фанерного треста с просьбой найти эффективный способ распределения ресурсов, обеспечивающий наиболее высокую производительность оборудования. Работники предприятия ломали голову над тем, как при пяти станках и восьми видах сырья обеспечить оптимальный вариант выпуска фанеры. Иными словами, нужно было найти решение конкретной технико-экономической задачи с целевой функцией («функционалом») максимизировать выпуск готовой продукции.
Заслуга Канторовича состоит в том, что он предложил математический метод выбора оптимального варианта. Решая частную задачу наиболее рациональной загрузки оборудования, ученый разработал метод, получивший название метода линейного программирования. По сути дела, он открыл новый раздел математики, получивший широкое распространение в экономической практике, способствовавший развитию и использованию электронно-вычислительной техники.
С оптимальным планом любой линейной программы автоматически связаны оптимальные цены или «объективно обусловленные оценки». Последнее громоздкое словосочетание Леонид Витальевич выбрал из тактических соображений для повышения «критикоустойчивости» термина. Взаимозависимость оптимальных решений и оптимальных цен -- такова краткая суть экономического открытия Л.В. Канторовича.
В задаче по оптимизации выпуска фанеры Канторович представил переменную, которую следовало максимизировать в виде суммы стоимостей продукции, производимой всеми станками. Ограничители были представлены в форме уравнений, устанавливающих соотношения между всеми затрачиваемыми в производстве факторами (древесиной, клеем, электроэнергией, рабочим временем) и количеством выпускаемой продукции (фанеры) на каждом из станков.
Для показателей факторов производства были введены коэффициенты, названные разрешающими множителями, или мультипликаторами. С их помощью разрешается поставленная задача. Если известны значения разрешающих множителей, то искомые величины, в частности, оптимальный объем выпускаемой продукции, могут быть сравнительно легко найдены.
Канторович обосновал экономический смысл предложенных им коэффициентов (разрешающих множителей). Они представляют собой не что иное, как предельные стоимости ограничивающих факторов. Иначе говоря, это объективно значимые цены каждого из факторов производства применительно к условиям конкурентного рынка.
Для решения задачи на оптимум Канторович использовал метод последовательных приближений, метод последовательного сопоставления вариантов с выбором наилучшего в соответствии с условиями задачи.
Допустим, требуется решить транспортную задачу, обосновать наиболее рациональное распределение грузопотоков. Для примера, всего нужно перевести 180т груза из трех источников к трем потребителям, общий спрос которых также равен 180 т. Сложность в том, что груз распределен неравномерно: у одного поставщика имеется 50 т, у другого -- 60 т, у третьего -- 80 т.
Также неравнозначен спрос потребителей: он составляет соответственно 40, 85 и 55 т. Неодинаковы и расстояния -- плечи перевозки грузов -- от 1 до 6 км. Задача заключается в том, чтобы составить такой план перевозок, который отвечал бы требованию минимизации грузооборота (минимальному количеству тонно-километров).
В повседневной практике менеджеры могут заняться монотонной работой по длительному перебору возможных вариантов. Постепенно они смогут «пройти» от плана перевозок, скажем, в 750 т/км к плану в 655 т/км. Поиск потребует массу усилий, значительного количества расчетов. Главное же -- трудно установить, какой из предлагаемых вариантов является оптимальным. Допустим, найден вариант плана с грузооборотом в 575 т/км.
Но остается неизвестным, нет ли еще одного или нескольких более выгодных вариантов плана, требующих меньших затрат.
Задача становится совсем неразрешимой, если перейти от сравнительно простой схемы к составлению варианта перевозок одного или нескольких продуктов (угля, цемента, стройматериалов) в масштабе региона или страны. Даже в случае укрупнения, агрегирования исходных показателей расчеты и сопоставления вариантов потребуют проведения такого количества операций, для осуществления которых придется привлечь чуть ли не все население Украины.
Метод линейного программирования позволяет найти оптимальное решение. Линейным оно называется потому, что основывается на решении линейных уравнений. Неизвестные в них только первой степени; ни одно неизвестное не перемножается на другое неизвестное. Такие уравнения отражают зависимости, которые могут быть изображены на графике прямыми линиями.
Несколько иной целевой критерий в задаче о диете (кормовом рационе). Задача сводится к поиску оптимального рациона для кормления скотины или птицы. При постоянном изменении рыночных цен на корма фермеры подбирают оптимальный рацион при минимуме затрат, производя соответствующие расчеты на компьютере.
Впервые работа, в которой излагалось существо предложенного Канторовичем метода, была опубликована в 1939 г. под названием «Математические методы организации планирования производства». Продолжая исследования, ученый разрабатывает общую теорию рационального использования ресурсов.
В период Великой Отечественной войны, будучи профессором Военно-морской инженерной академии в блокадном Ленинграде, Канторович, опираясь на метод линейного программирования, обосновывает оптимальное размещение производственных и потребительских факторов. В 1942 г. он подготовил книгу «Экономический расчет наиболее целесообразного использования ресурсов», которая в тот период, к сожалению, не была опубликована.
Прошло 17 лет, прежде чем Леонид Витальевич смог увидеть опубликованным свой фундаментальный труд «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов». Это случилось через 6 лет после смерти Сталина. К тому времени линейное программирование как модная новинка в период оттепели стало проникать к нам с Запада. И тогда вдруг выяснилось, что ту самую теорему двойственности, которую только что самостоятельно доказали американцы, профессор Канторович доказал еще в 30-е годы. Леонид Витальевич и его ученики с энтузиазмом вновь принялись за решение экстремальных экономических задач, но очень скоро почувствовали, что реально в советской жизни ничего не изменилось. То на заводе «Москвич» не внедряют экономичную схему раскроя дорогого французского кузовного металла - из-за кампании по сокращению рабочих-подсобников, то кто-то, внедрив новый метод и получив изрядный прирост готовой продукции, в итоге лишился премии, ибо сорвал план по сдаче металлолома.
Когда казалось, что трясина засасывает, и надежд на использование объективно-обусловленных оценок нет, Леонид Витальевич отводил душу, сочиняя басни.
Теперь мы понимаем, что в тех условиях, при той системе принятия решений, все попытки Канторовича внедрить в жизнь новую экономику были обречены. «Объективные оценки» требовали отказа от жестких директив, а это порождало опасность разрушения самого здания социалистической экономики.
В этой книге, как отмечали члены Научного совета по применению математики в научных исследованиях и планировании, представлен углубленный анализ идей линейного программирования, разработанного автором ранее, и вместе с тем впервые ставится проблема разработки оптимального плана всего народного хозяйства как математической модели. Несомненной заслугой Канторовича является выявление двойственных оценок в задачах линейного программирования. Нельзя одно временно минимизировать затраты и максимизировать результаты. Одно противоречит другому. Вместе с тем оба этих подхода взаимосвязаны. Если, скажем, найдена оптимальная схема перевозок, то ей соответствует определенная система цен. Если найдены оптимальные значения цен, то сравнительно нетрудно получить схему перевозок, отвечающую требованию оптимальности.
Для любой задачи линейного программирования существует сопряженная ей, или двойственная задача. Если прямая задача заключается в минимизации целевой функции, то двойственная -- в максимизации.
Двойственные оценки дают принципиальную возможность соизмерять не только ценовые, затратные показатели, но и полезности. При этом двойственные, взаимосвязанные оценки соответствуют конкретным условиям. Если изменяются условия, меняются оценки. В известной мере поиск оптимума -- это определение общественно необходимых затрат, учитывающих, с одной стороны, трудовые, стоимостные затраты, а с другой - общественные потребности, полезности продукта для потребителей.
При непосредственном участии Канторовича и его ближайших коллег - В.В. Новожилова (автора идеи продуктово-трудового баланса) и В.С. Немчинова (обосновавшего глобальный критерий функционирования экономики) формировалась отечественная экономико-математическая школа.
В Москве и Ленинграде Канторовичу становилось все более неуютно. И главное, до предела сузилась возможность продуктивно работать. Конечно же, это его угнетало. И потому не искатель приключений и не авантюрист по натуре, он с радостью принял предложение университетского однокурсника, академика Соболева, - покинуть столичные болота и отправиться создавать новый научных центр там, куда раньше таких, как он, ссылали. Новосибирский Академгородок в те годы стал действительно оазисом. Науки расцветали в нем свободно и невероятно энергично, отчасти потому, что там царила молодежь, не только по возрасту, но и по духу.
Заключение
На первый взгляд, теории Л.В. Канторовича были, как он сам говорил, приспособлены к плановой экономике. Но это лишь внешняя сторона дела.
Главное - учет скрытых параметров (рента), единый подход к ограничениям (труд - всего лишь одно из них) и все, что отсюда вытекает - делают его экономические приложения универсальными и необходимыми сейчас. Вообще, главный итог великого эксперимента Канторовича в том, что он подошел к экономическим проблемам вооруженный самыми современными для тех лет математическими средствами, и творчески применял их. Это не значит, что его выводы будут полностью работать и сегодня, но это, безусловно, значит, и в этом отношении Л.В. Канторович был, возможно, первым, что талант математика может в корне переустроить и преобразовать экономическую мысль.
Научный вклад Л. Канторовича - это знаменитые научные школы в области функционального анализа, вычислительной математики, математической экономики и оптимального планирования народного хозяйства. Открытое им математическое программирование широко используется для решения равных задач в экономике.
Метод линейного программирования впервые позволил точно сформулировать важное современное экономико-математическое понятие "оптимальность". Л. Канторович и его коллеги разработали систему оптимального функционирования экономики (СОФЭ), сформировали модели эффективного распределения и оценки ресурсов.
Он дал ей экономическое объяснение и показал ее значение в хозяйственном управлении. Это был научно обоснованный подход к вычислению числового значения единого народнохозяйственного экономического показателя эффективности использования капитальных вложений, который намного опередил свой час.
Список литературы и использованных источников
1. История экономических учений: Учебное пособие /Под ред. А.Г. Худокормова. - М.: Изд-во МГУ, 1994. - Ч. II, гл. 30.
2. Канторович Л.В. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов. - М.: Изд-во АН СССР, 1959.
3. Капустин В.Ф., Шабалин Г.В. Л.В. Канторович и экономико-математические исследования: итоги, проблемы, перспективы // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 5. Экономика. 1996. Вып. 2.
4. Пезенти А. Очерки политической экономии капитализма. В 2 т. - М.: Прогресс, 1976. Т. II , гл. 14.
5. Шаталин С.С. Функционирование экономики развитого социализма. - М.: Изд-во МГУ, 1982.
6. Шухов Н.С. Ценность и стоимость. - М.: Изд-во стандартов, 1994. - Ч. 2, вып. 1, гл. 8.
Размещено на Allbest.ru
...Изучение научной деятельности Л.В. Канторовича - ученого ХХ в., чьи исследования в области функционального анализа, вычислительной математики, теории экстремальных задач, дескриптивной теории функций оказали фундаментальное влияние на развитие науки.
реферат , добавлен 02.04.2012
Математика в Древнем Вавилоне и Древнем Египте. Теория воспроизводства К. Маркса. Основы экономико-математических моделей. История зарождения линейного программирования. Методы множителей Лагранжа. Исследование математических принципов теории богатства.
реферат , добавлен 08.01.2014
Решение формализованной задачи линейного программирования графически и с помощью Excel. Получение максимальной прибыли и план выпуска продукции. План перевозок с минимальными расходами. Межотраслевая балансовая модель. Составление системы ограничений.
контрольная работа , добавлен 08.04.2010
Разработка оптимального по прибыли плана выпуска запчастей двух видов. Построение математической модели табличным симплекс-методом и в Excel. Установление изменения оптимальной прибыли при увеличении запасов каждого из дефицитных ресурсов на 5 единиц.
практическая работа , добавлен 24.05.2016
Эволюция экономических теорий в контексте межрегиональной конкуренции. Этапы развития теории межрегиональной конкуренции. Вклад различных научных теорий в ее формирование. Особенности теории межрегиональной конкуренции в современном ее представлении.
статья , добавлен 12.09.2011
Причины развития экономических связей между странами. Сущность основных неотехнологических теорий: меркантилистской теории; теории соотношения факторов производства; парадокса Леонтьева; теории модели прямых инвестиций; теории передачи технологии.
контрольная работа , добавлен 17.10.2010
Оценка подвижного состава и доли имеющихся транспортных средств. Расчет спроса на бытовую технику в регионах, на основании маркетинговых данных. Распределение транспортных потоков продукции с помощью математических методов линейного программирования.
курсовая работа , добавлен 04.12.2014
Субъективистский, неопозитивно-эмпирический, рационалистический, диалектико-материалистический подходы к изучению экономических явлений. Методы теории вероятности и математической статистики, использование экономико-математического моделирования.
курсовая работа , добавлен 02.03.2014
История развития российской экономики в именах людей, внесших значительный вклад в развитие экономической науки, первыми разработавших различные методики, теории, стратегии в различных областях экономики: Л.В. Канторович, Н.Д. Кондратьев, А.В. Чаянов.
реферат , добавлен 28.02.2011
Особенности зарождения и развития экономической теории. Обобщение основных методов экономической теории: диалектический метод, методы абстракции, дедукции и индукции, допущения "при прочих равных условиях", анализа и синтеза. Анализ метода экономики.
