Люди во все времена думали о своем завтрашнем дне. Они старались и стараются обезопасить от финансовых невзгод и себя, и своих детей и внуков, строя хотя бы небольшой островок уверенности в будущем. Начиная строить его уже сейчас с помощью небольших банковских вкладов, можно обеспечить себе в дальнейшем стабильность и независимость.
Основным принципом банковских операций является то, что денежные средства способны увеличиваться лишь тогда, когда находятся в постоянном обороте. Чтобы клиентам уверенно ориентироваться в сфере финансовых услуг и уметь правильно подбирать условия, выгодные им в определенный промежуток времени, необходимо знать ряд простых правил. В данной статье речь пойдет о долгосрочных вложениях, которые позволяют за определенное количество лет из относительно небольшой суммы начального капитала получить существенную прибыль или использовать вклад дальше, снимая начисления для повседневных нужд.
Для правильного расчета прибыли необходимо выполнить несложные арифметические действия на основе нижеизложенных формул.
Например, вы решили положить 100000,00 руб. под 11% годовых, чтобы через 10 лет воспользоваться сбережениями, которые значительно выросли в результате капитализации. Для расчета итоговой суммы следует применить методику расчета сложного процента.
Применение сложного процента подразумевает то, что в конце каждого периода (год, квартал, месяц) начисленная прибыль суммируется с вкладом. Полученная сумма является базисом для последующего увеличения прибыли.
Для расчета сложного процента применяем простую формулу:
Подставив значения в эту формулу, мы видим, что:
через 5 лет
сумма будет равняться руб.,
а через 10 лет
она составит 
руб.
Если бы мы рассчитывали за короткий период, то сложный процент было бы удобнее рассчитывать по формуле
Но тем, кому удобнее ежемесячно снимать проценты по вкладу, лучше ознакомиться с понятием «капитализация вклада», подразумевающим начисление простых процентов.
На графике показано как вырастет капитал при капитализации процентов по вкладу, если вложить 100000,00 руб. на 10 лет под 10%, 15% и 20%
Существует и другой, более выгодный для клиента метод начисления и прибавления процентной ставки – ежемесячный. Для этого применяется следующая формула:
где n также соответствует количеству операций по капитализации, но уже выражается в месяцах. Процентный показатель здесь дополнительно делится на 12 потому что в году 12 месяцев, а у нас появляется необходимость в расчете месячную процентную ставку.
Если бы данная формула использовалась для поквартального начисления вклада, то годовой процент делился бы на 4, а показатель n был бы равен количеству кварталов, а если бы процент начислялся по полугодиям, то процентная ставка делилась бы 2, а обозначение n соответствовало количеству полугодий.
Итак, если бы нами был сделан вклад в сумме 100000,00 руб. с ежемесячной капитализацией процентов, то:
через 5 лет (60 месяцев)
сумма вклада выросла бы до 172891,57 руб., что примерно на 10000 руб. больше, чем в случае с ежегодной капитализацией вклада; 
руб.
а через 10 лет (120 месяцев) «наращенная» сумма составила бы 298914,96 руб., что уже на целых 15000 руб. превосходит показатель, рассчитанный по формуле сложного процента, предусматривающей расчет в годах.
руб.
Это означает, что доходность при ежемесячном начислении процентов оказывается больше, чем при начислении один раз в год. И если прибыль не снимать, то сложный процент работает на пользу вкладчика.
Вышеописанные формулы сложного процента – это, скорее всего, наглядные примеры для клиентов, чтобы они могли понять порядок начисления сложных процентов. Эти расчеты несколько проще, чем формула, применяемая банками к реальным банковским вкладам.
Здесь используется такая единица, как коэффициент процентной ставки для вклада (p). Его рассчитывают так:
Сложный процент («наращенная» сумма) для банковских вкладов рассчитывается по следующей формуле:
На ее основе и взяв в качестве примера те же данные, мы рассчитаем сложный процент по банковскому методу.
Для начала определяем коэффициент процентной ставки для вклада:
Теперь подставляем данные в основную формулу:
руб. – это сумма вклада, «выросшая» за 5 лет*;
руб. – за 10 лет*.
*Приведенные в примерах расчеты являются приблизительными, поскольку в них не учтены високосные года и разное количество дней в месяце.
Если сравнивать суммы из этих двух примеров с предыдущими, то они несколько меньше, но все же выгода от капитализации процентов очевидна. Поэтому, если вы твердо решили положить деньги в банк на длительный срок, то предварительный подсчет прибыли лучше делать с помощью «банковской» формулы – это поможет вам избежать разочарований.
Общие положения
Практически все финансово-экономические расчеты, так или иначе, связаны с начислением процентов. В банковской практике применяются простые и сложные проценты.
Процентные деньги (проценты) - это сумма доходов от предоставления денег в долг в различных формах (выдача ссуды, открытие депозитных счетов, покупка облигаций, сдача оборудования в аренду и др.).
Сумма процентных денег зависит от трех факторов:
суммы основного долга (размера ссуды);
срока погашения;
процентной ставки, которая характеризует интенсивность начисления процентов.
Проценты могут выплачиваться по мере их начисления или присоединяться к сумме долга. Увеличение суммы долга за счет присоединения начисленных процентов называют наращением первоначальной суммы долга.
Отношение наращенной суммы к первоначальной сумме долга называют множителем (коэффициентом) наращения (КН):
Кн = 8 / Р,
где 8 - наращенная сумма (погашаемая);
Р - первоначальная сумма долга.
КН всегда больше единицы.
Интервал времени, за который начисляют проценты, называют периодом начисления.
При использовании простых ставок процентов сумма процентных денег в течение всего срока долга определяется исходя из его первоначальной суммы, независимо от периодов начисления и их длительности, т.е. отсутствует капитализация процентов (начисление процентов на процент).
При использовании сложных ставок начисленные за предыдущий период проценты прибавляются к сумме долга и на них в следующем периоде начисляются проценты (имеет место капитализация процентов).
Величина самих ставок (и простых, и сложных) может меняться или оставаться неизменной. Если процентная ставка изменяется, но при этом нет капитализации, т.е. проценты всегда начисляются на одну и ту же сумму, то они будут простыми. Если же будет капитализация даже при неизменных процентных ставках, то проценты - сложные.
Как простые, так и сложные проценты, могут начисляться двумя методами:
декурсивным - проценты начисляются в конце каждого интервала;
антисипативным - проценты начисляются в начале каждого интервала.
В первом случае величина процентных денег определяется исходя из величины предоставленного кредита. Декурсивная процентная ставка называется ссудным процентом. Это отношение суммы начисленного за интервал времени дохода к первоначальной сумме (сумме на начало интервала начисления процентов):
1 = Доход х 100% / Р.
При антисипативном (предварительном) методе начисления процентов сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Процентная ставка (ё) называется учетной или антисипативной:
ё = Доход х 100% / 8.
Более распространен в мировой практике декурсивный метод.
Рассмотрим различные виды ставок и методы их начисления в соответствии со следующим планом:
простые декурсивные процентные ставки;
сложные декурсивные процентные ставки;
простые антисипативные (учетные) ставки;
сложные антисипативные (учетные) ставки;
эквивалентные процентные ставки.
Декурсивный метод начисления простых процентов
Начисление простых ставок применяется, как правило, при краткосрочном кредитовании.
Введем обозначения:
8 - наращенная сумма, р.;
Р - первоначальная сумма долга, р.;
1 - годовая процентная ставка (в долях единицы);
п - срок ссуды в годах.
В конце первого года наращенная сумма долга составит
81 = Р + Р 1 = Р (1+ 1);
в конце второго года:
82 = 81 + Р 1 = Р (1+ 1) + Р 1 = Р (1+ 2 1); в конце третьего года:
83 = 82 + Р1 = Р (1+ 2 1) + Р 1 = Р (1+3 1) и так далее. В конце срока п: 81 = Р (1+ п 1).
Это формула наращения по простой ставке процентов.
Надо иметь в виду, что процентная ставка и срок должны соответствовать друг другу, т.е. если берется годовая ставка, то срок должен быть выражен в годах (если квартальная, то и срок - в кварталах и т.д.).
Выражение в скобках представляет собой коэффициент наращения по простой ставке процентов:
Кн = (1+ п 1).
Следовательно,
81 = Р Кн.
Задача 5.1
Банк выдал ссуду в размере 5 млн р. на полгода по простой ставке процентов 12% годовых. Определить погашаемую сумму.
Решение:
8 = 5 млн. (1 + 0.5 ¦ 0.12) = 5 300 000 р.
Если срок, на который деньги берутся в долг, задан в днях, наращенная сумма будет равна 8 = Р (1 + д/К 1),
где д - продолжительность срока в днях;
К - число дней в году.
Величину К называют временной базой.
Временная база может браться равной фактической продолжительности года - 365 или 366 (тогда проценты называются точными) или приближенной, равной 360 дням (тогда это обыкновенные проценты).
Значение числа дней, на которые деньги взяты в долг, может также определяться точно или приближенно. В последнем случае продолжительность любого целого месяца принимается равной 30 дням. В обоих случаях дата выдачи де-нег в долг и дата их возвращения считается за один день.
Задача 5.2
Банк выдал ссуду в размере 200 тыс. р. с 12.03 по 25.12 (год високосный) по ставке 7% годовых. Определить размер погашаемой суммы с различными вариантами временной базы при точном и приближенном числе дней ссуды и сделать вывод о предпочтительных вариантах с точки зрения банка и заемщика.
Решение:
Точное число дней ссуды с 12.03. по 25.12:
20+30+31+30+31+31+30+31+30+25=289.
Приближенное число дней ссуды:
20+8-30+25=285;
а) Точные проценты и точное число дней ссуды:
8 =200 000 (1+289/366 ¦ 0.07) = 211 016 р.;
б) обыкновенные проценты и точное число дней ссуды:
8 =200 000 (1+289/360 ¦ 0.07) =211 200;
в) обыкновенные проценты и приближенное число дней ссуды:
8= 200 000 (1+285/360 ¦ 0.07) =211 044;
г) точные проценты и приближенное число дней ссуды:
8= 200 000 (1+285/366 ¦ 0.07) =210 863.
Таким образом, самая большая наращенная сумма будет в варианте б) - обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, а самая маленькая - в варианте г) - точные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Следовательно, с точки зрения банка как кредитора предпочтительным является вариант б), а с точки зрения заемщика - вариант г).
Надо иметь в виду, что кредитору в любом случае более выгодны обыкновенные проценты, а заемщику - точные (при любых ставках - простых или сложных). В первом случае наращенная сумма всегда больше, а во втором случае - меньше.
Если ставки процентов на разных интервалах начисления в течение срока долга будут различными, наращенная сумма определяется по формуле
n
8 = Р (1 + X п 10,
1=1
где N - количество интервалов начисления процентов;
п - длительность 1-го интервала начисления;
^ - ставка процентов на I- м интервале начисления.
Задача 5.3
Банк принимает вклады по простой ставке процентов, которая в первый год составляет 10%, а потом каждые полгода увеличивается на 2 процентных пункта. Определить размер вклада в 50 тыс. р. с процентами через 3 года.
Решение:
8 = 50 000 (1 + 0.1 + 0.5 0.12 + 0.5 0.14 + 0.5 0.16 + 0.5 0.18) = 70 000 р.
Используя формулу для наращенной суммы, можно определить срок ссуды при прочих заданных условиях.
Срок ссуды в годах:
8 - Р N = .
Р 1
Задача 5.4
Определить срок ссуды в годах, за который долг 200 тыс. р. возрастет до 250 тыс. р. при использовании простой ставки процентов - 16% годовых.
Решение:
(250 000 - 200 000) / (200 000 0.16) = 1.56 (лет).
Из формулы для наращенной суммы можно определить ставку простых процентов, а также первоначальную сумму долга.
Решить самостоятельно
Задача 5.5
При выдаче кредита 600 тыс. р. оговорено, что заемщик вернет через два года 800 тыс. р. Определить использованную банком величину ставки процентов.
Ответ: 17%.
Задача 5.6
Ссуда, выданная по простой ставке 15% годовых, должна быть возвращена через 100 дней. Определить сумму, полученную заемщиком, и сумму процентных денег, полученных банком, если возвращаемая сумма должна составить 500 тыс. р. при временной базе 360 дней.
Ответ: 480 000р.
Операцию нахождения первоначальной суммы долга по известной погашаемой называют дисконтированием. В широком смысле термин "дисконтирование" означает определение значения Р стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она будет равна заданному значе-нию 8. Подобные расчеты называют также приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени, а значение Р, определенное дисконтированием, называют современным, или приведенным, значением стоимостной величины. Дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчетах фактор времени. Коэффициент дисконтирования всегда меньше единицы.
Формула дисконтирования по простой ставке процентов:
Р = 8 / (1 + ш), где 1 / (1 + ш) - коэффициент дисконтирования.
Декурсивный метод начисления сложных процентов
При долгосрочных финансово-кредитных операциях проценты после очередного периода начисления присоединяются к сумме долга, и в следующем периоде проценты начисляются на общую сумму, т.е. с капитализацией процентов. Такие проценты называются сложными, база для их начисления увеличивается с каждым очередным периодом начисления.
Наращенная сумма за п лет при использовании постоянной годовой ставки сложных процентов 1с определяется по формуле
8 = Р (1 + 1с)п.
Задача 5.7
Банк выдал ссуду 500 тыс. р. на 3 года. Определить погашаемую сумму при использовании сложной ставки 18% годовых и сумму процентных денег.
Решение:
8 = 500 000 (1 + 0.18)3 = 821 516 р.
Процентные деньги = 821 516 - 500 000 = 321 516 р.
Начисление сложных процентов при сроке ссуды более одного года дает большую сумму процентных денег, чем начисление простых процентов.
Если начисление сложных процентов осуществляется несколько раз в году (по месяцам, кварталам, полугодиям), то используется номинальная ставка процентов - годовая ставка, исходя из которой определяется величина ставки процентов, применяемой в каждом периоде начисления.
Наращенная сумма при этом определяется по формуле
8 = Р (1 + ] / т)тп, где ] - номинальная ставка сложных процентов, десятичная дробь;
т - количество периодов начисления процентов в году;
п - срок ссуды в годах;
] / т - ставка процентов в каждом периоде начисления, десятичная дробь.
Задача 5.8
Банк ежеквартально начисляет проценты на вклады по номинальной ставке 16% годовых. Определить сумму, полученную вкладчиком через 5 лет, если первоначальная сумма вклада равна 100 тыс. р.
Решение:
8 = 100 000 (1 + 0.16 / 4)4 х 5 = 219 112.2 р.
Из формулы для наращенной суммы можно определить значение суммы, выдаваемой заемщику, т.е. осуществить дисконтирование суммы 8 по сложной ставке процентов.
Решите самостоятельно
Задача 5.9
Определите современную величину суммы 500 тыс. р., которая будет выплачена через 3 года при использовании ставки сложных процентов 20% годовых.
Ответ: 289 351.8р.
Срок ссуды (из формулы наращенной суммы) определится
п = 1од (8/Р) / 1од (1+1).
Логарифмы могут браться с любыми равными основаниями.
Задача 5.10
Банк начисляет сложные проценты по ставке 12% годовых. Определите срок в годах, за который сумма вклада в 25 тыс. руб. вырастет до 40 тыс. р.
Ответ: 4.15 года.
Задача 5.11
Сумма долга удвоилась за 3 года. Определить использованную годовую ставку сложных процентов.
Ответ: 26%.
Антисипативный метод начисления простых процентов (простые учетные ставки)
При использовании учетных ставок сумма процентных денег от предоставления денег в долг определяется исходя из суммы, которая должна быть возвращена, т.е. величиной получаемого кредита считается не получаемая, а наращенная сумма. Процентные деньги, начисленные по учетной ставке, удерживаются непосредственно при выдаче ссуды, а заемщик получает сумму кредита сразу за вычетом процентных денег. Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке, а также банковским или коммерческим учетом. Сумма процентных денег, начисленная по учетной ставке, называется дисконтом.
Сумма, получаемая заемщиком, определится по формуле
Р = 8 (1 - п й),
где й - простая учетная ставка;
(1 - п ё) - коэффициент дисконтирования по простой учетной ставке.
Из формулы видно, что, в отличие от ссудных ставок, учетные ставки не могут принимать любые значения, коэффициент дисконтирования не может быть отрицательным, т.е. п^ё должно быть строго меньше единицы. Значения ё, близкие к предельным, на практике не встречаются. Задача 5.12
Заемщик берет ссуду на квартал с обязательством возвратить 100 тыс. р. Определить сумму, полученную заемщиком, и величину дисконта, удержанного банком, при учетной ставке 15% годовых.
Решение:
Р = 100 000 (1 - 0.25 х 0.15) = 96 250 р.
Дисконт = 8 - Р = 100 000 - 96 250 = 3 750 р.
Если срок ссуды задан в днях (д), сумма, получаемая заемщиком, определится по формуле
Р = 8 (1 - а д / К),
где К - количество дней в году (временная база).
Решите самостоятельно
Задача 5.13
Определить сумму, полученную заемщиком, и величину дисконта, полученного банком, если по договору заемщик должен через 200 дней возвратить 100 тыс. р. при учетной ставке банка 10% годовых и временной базе 360 дней.
Ответ: 94 444.44р.; 5 555.56р.
На практике учетные ставки используются при покупке (учете) векселей и других денежных обязательств. В этом случае банк или другое финансовое учреждение до наступления срока по векселю покупает его у владельца (поставщика) по цене, меньшей той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, или, как принято говорить, банк учитывает вексель с дисконтом. Владелец векселя при этом получает деньги ранее указанного в векселе срока за вы-четом дохода банка в виде дисконта. Банк, получив при наступлении срока оплаты векселя указанную в нем сумму, реализует (получает) дисконт.
Указанную операцию можно рассматривать как выдачу банком ссуды в размере суммы, указанной в векселе, по учетной ставке, используемой при его учете, на срок, равный сроку от даты учета до даты погашения векселя. Следовательно, сумма, выдаваемая владельцу учитываемого векселя, будет определяться по формуле
Р = 8 (1 - Дп-ё) = 8 (1 - ё-Дд / К), где Дп = Дд / К - срок в днях от даты учета до даты погашения векселя;
Ад - число дней от даты учета до даты погашения векселя.
Задача 5.14
При учете векселя на сумму 100 тыс. р., до срока оплаты которого осталось 80 дней, банк выплатил его владельцу 98 тыс. р. Определить, какую учетную ставку использовал банк при временной базе 360 дней.
Решение:
ё = (100 000 - 98 000) х 360 / (100 000 х 80) = 0.09 = 9%.
Решите самостоятельно
Задача 5.15
Вексель на сумму 200 тыс. р. учет в банке за 30 дней до срока его погашения по учетной ставке 15% годовых. Определить сумму, полученную владельцем векселя, и сумму дисконта, полученную банком, при временной базе 360 дней.
Ответ: 197 500р.; 2 500р.
Задача 5.16
Банк выдает ссуды по учетной ставке 15% годовых. Определить срок ссуды в годах, если заемщик хочет получить 500 тыс. р., а погашаемая сумма должна составить 550 тыс. р
. Ответ: 0.61 года.
Антисипативный метод начисления сложных процентов (сложные учетные ставки)
Введем следующие обозначения:
ёс - сложная учетная ставка;
^ - номинальная годовая учетная ставка (применяется при начислении процентов по учетной ставке несколько раз в году);
Формула дисконтирования по сложной учетной ставке:
Р = 8 (1 - йс)п.
Наращенная сумма через п лет: 8 = Р / (1 - Дс)п.
Здесь 1 / (1 - йс)п - коэффициент наращения по сложной учетной ставке.
При равенстве ссудного процента и учетной ставки наращение первоначальной суммы во втором случае (антисипативным методом) идет быстрее. Поэтому в литературе можно встретить утверждение о том, что декурсивный метод начисления процентов более выгоден заемщику, а антисипативный - кредитору. Однако это можно считать справедливым лишь для небольших процентных ставок, когда расхождение не столь значительно. Но с ростом процентной ставки разница в наращенных суммах становится огромной (и растет с ростом %), и сравнение этих двух методов теряет всякий смысл.
Из формулы следует, что учетная ставка может принимать значения только строго меньше 100%. Наращенная сумма быстро увеличивается с ростом учетной ставки, стремясь к бесконечности.
Если учетная ставка изменяется в течение срока ссуды:
n
8 = Р / П (1 - п й).
1=1
Здесь п1, п2, ... пN - продолжительность интервалов начисления в годах;
й1, ... ^ - учетные ставки в этих интервалах;
Если начисление процентов т раз в году, то
8 = Р / (1 - Г/т)™
Если провести расчеты 8 для разных видов процентных ставок (простых и сложных ссудных и учетных) при одинаковых Р и размерах процентных ставок, то наибольший рост капитала получится в случае начисления процентов по простой учетной ставке.
Задача 5.17
Первоначальная сумма долга - 25 тыс. р. Определить наращенную сумму через 3 года при применении декурсивного и антисипативного способов начисления процентов. Годовая процентная ставка - 25%.
Решение:
= 25 000 (1 + 0.25)3 = 48 828,125 р.;
= 25 000 (1 - 0.25)-3 = 59 255,747 р.
Решите самостоятельно
Задача 5.18
Определить современное значение суммы в 120 000 р., которая будет выплачена через 2 года при использовании сложной учетной ставки 20% годовых.
Ответ: 76 800 р
Задача 5.19.
Определить наращенные суммы для различных видов процентных ставок при одинаковых начальных условиях: Р = 10 000 р., процентная ставка = 10%.
Результаты расчетов свести в таблицу и сравнить скорости наращения.
Вид ставки и формула расчета 8 Срокп = 1 Срокп =3 Срокп =6
Простая ссудная: 8 = Р (1 + т) 11 000 13 000 16 000
Сложная ссудная: 8 = Р (1 + 1с)п
Непрерывный способ начисления %% 8 = Р е] п 11 044
Простая учетная: 8 = Р / (1 - йп)
Сложная учетная: 8 = Р / (1 - й)п
Для примера в верхней строке приведены результаты расчетов наращенных сумм по простой ссудной ставке при сроках ссуды, равных одному, трем и шести годам. Пустые строки следует заполнить самостоятельно.
В формуле расчета для непрерывного начисления процентов е - основание натурального логарифма. Для п = 1: 8 = 10 000 х 2.701 х 1 = 11 044.
Эквивалентные процентные ставки Эквивалентные процентные ставки - это такие ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты. Их необходимо знать, когда существует возможность выбора условий финансовых операций и требуется инструмент для корректного сравнения различных процентных ставок.
Для нахождения эквивалентных процентных ставок используют уравнения эквивалентности. Выбирается величина, которую можно рассчитать при использовании различных видов ставок (обычно это наращенная сумма). На основании равенства двух выражений для данной величины составляется уравнение эквивалентности, из которого путем соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного вида. Например, для нахождения простой учетной ставки, эквивалентной простой ссудной ставке, уравнение эквивалентности будет иметь вид
Р (1 + ш) = Р/ (1 - пй) или (1 + ш) = 1 / (1 - пй), т.е. необходимо приравнять соответствующие коэффициенты наращения. Отсюда й = 1 / (1 + ш) и 1 = й / (1 - пй).
Задача 5.20
Срок уплаты по долговому обязательству - полгода, простая учетная ставка - 18%. Какова доходность данной операции, измеренная в виде простой ставки ссудных процентов?
Решение:
1 = 0.18 / (1 - 0.5 х 0.18) = 0.198 = 19.8%. Для нахождения эквивалентности между собой годовой сложной ссудной ставки и годовой сложной номинальной ссудной ставки приравняем выражения: 8 = Р (1 + 1с)п и 8 = Р (1 + Ут)™, т.е. (1 + дп = (1 + Ут)™
Отсюда 1с = (1 + Ут) т - 1.
Полученная годовая ставка сложных процентов, эквивалентная номинальной процентной ставке, называется эффективной ставкой сложных процентов. Ее необходимо знать для определения реальной доходности или сравнения процентов, когда используются разные интервалы начисления.
Задача 5.21
Рассчитать эффективную ставку сложных процентов, если номинальная ставка 24% и начисление процентов ежемесячное.
Решение:
1с = (1 + 0.24 / 12)12 - 1 = 0.268 = 26.8%.
Задача 5.22
Определить, под какую ставку процентов выгоднее поместить капитал в 10 000 тыс. р. на 5 лет:
а) под простую ссудную ставку 20% годовых;
б) под сложную ссудную ставку 12% годовых при ежеквартальном начислении процентов.
Решение:
Здесь не обязательно считать величину наращенной суммы при различных ставках. Поэтому не важна величина первоначального капитала. Достаточно, например, найти простую процентную ставку, эквивалентную данной сложной ставке, т.е. использовать формулу
1 = [(1 + ] / т)тп - 1] / п = [(1 + 0.12 / 4)20 - 1] / 5 = 0.1612 = 16.12%.
Поскольку простая процентная ставка 16.12%, которая дала бы одинаковый с данной сложной процентной ставкой (12%) результат, значительно ниже предложенной в первом варианте ставки (20%), ясно, что гораздо выгоднее первый вариант вложения (под простую ставку 20% годовых).
Посчитаем теперь наращенные суммы в обоих случаях:
а) 8 = 10 000 (1 + 5 х 0.2) = 20 000 тыс. р.;
б) 8 = 10 000 (1 + 0.12 / 4)20 = 18 061 тыс. р.
Полученный результат подтверждает ранее сделанный вывод о том, что первый вариант более выгоден, поскольку дает большую сумму наращения. При этом использование эквивалентных ставок вдвое сокращает расчеты.
Решите самостоятельно
Задача 5.23
Вексель учтен за три месяца до срока его погашения по учетной ставке 20% годовых. Определить значение эквивалентной ставки простых процентов, определяющей доходность операции учета.
Ответ: 21.1%.
Задача 5.24
Простая ставка процентов равна 20% годовых. Определить значение эквивалентной ей учетной ставки при выдаче ссуды на полгода.
Ответ: 18%.
Задача 5.25
Кредит на два года предоставлен по ставке сложных процентов 16% годовых. Определить значение эквивалентной учетной ставки при выдаче ссуды на полгода.
Ответ: 14.5%.
Задача 5.26
По депозитному сертификату сроком на пять лет начисляются простые ссудные проценты по ставке 15% годовых. Определить эквивалентную ставку сложных процентов.
Ответ: 11.84%.
Задача 5.27
Банк ежемесячно начисляет проценты на вклады по номинальной годовой ставке 12% годовых. Определить доходность вкладов по сложной годовой ставке процентов.
Ответ: 12.68%.
Можно сделать следующие выводы:
Значение эффективной ставки больше значения номинальной, а совпадают они при т = 1.
Простая учетная ставка всегда меньше эквивалентных ей других ставок (поскольку наращение по этой ставке при прочих равных условиях всегда быстрее).
Эквивалентность различных процентных ставок не зависит от величины первоначальной суммы Р (первоначальная сумма предполагается одинаковой).
Эквивалентность процентных ставок всегда зависит от продолжительности периода начисления процентов за исключением случаев эквивалентности между собой сложных процентных ставок разного вида (если период начисления один и тот же).
. База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоянной – она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые про центы на один период начисления ( running period ). Присоедине ние начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.
Найдем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые проценты). Для этого применяется сложная став ка наращения. Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым про центам:
P - первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капита ла и т.д.),
S - наращенная сумма на конец срока ссуды,
п - срок, число лет наращения,
i - уровень годовой ставки процентов, представленный де сятичной дробью.
Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине Р i , а наращенная сумма составит. К конц у второго года она достигнет величины В конце n -го года наращенная сумма будет равна
(4.1)
Процентыза этот же срокв целом таковы:
(4.2)
Часть из них поучена за счет начисления процентов на проценты. Она составляет
(4.3)
Как показано выше, рост по сложным процентам представ ляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрессии, первый член которой равен Р , а знаменатель – . Последний член прогрессии равен наращенной сумме в конце срока ссуды.
Величину называют множителем наращения по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел п приводятся в таблицах сложных процентов. Точность расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля и т.д.).
Время при наращении по сложной ставке обычно измеряет ся как АСТ/ A СТ.
Как видим, величина множителя наращения зависит от двух параметров - i и п. Следует отметить, что при большом сроке наращения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на величину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке.
Формула наращения по сложным процентам получена для годовой процентной ставки и срока, измеряемого в годах. Однако ее можно применять и при других периодах начисле ния. В этих случаях i означает ставку за один период начисления (месяц, квартал и т.д.), а n – число таких периодов. На пример, если i –ставка за полугодие, то п – число полугодий и т.д.
Формулы (4.1) - (4.3) предполагают, что проценты на про центы начисляются по той же ставке, что и при начислении на основную сумму долга. Усложним условия начислений процен тов. Пусть проценты на основной долг начисляются по ставке i а проценты на проценты – по ставке В этом случае
Ряд в квадратных скобках представляет собой геометриче скую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем. В итоге имеем
(4.4)
2. Начисление процентов в смежных календарных периодах. Вы ше при начислении процентов не принималось во внимание расположение срока начисления процентов относительно календарных периодов. Вместе с тем, часто даты начала и окончания ссуды находятся в двух периодах. Ясно, что начисленные за весь срок проценты не могут быть отнесены только к послед нему периоду. В бухгалтерском учете, при налогообложении, наконец, в анализе финансовой деятельности предприятия воз никает задача распределения начисленных процентов по периодам.
Общий срок ссуды делится на два периода n 1 и n 2 . Соответственно ,
где
3. Переменные ставки. Формула предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать “классическую” схему, например, с помощью применения плавающих ставок ( floating rate ). Естественно, что расчет на перспективу по таким ставкам весьма условен. Иное дело - расчет постфактум. В этом случае, а также тогда, когда измене ния размеров ставок фиксируются в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных, т.е.
(4.5)
где - последовательные значения ставок; - периоды, в течение которых “работают” соответствующие ставки.
4. Начисление процентов при дробном числе лет. Часто срок в го дах для начисления процентов не является целым числом. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления. Дробная часть периода отбрасывается. В большинстве же случаев учитывается полный срок. При этом применяют два метода. Согласно первому, назовем его общим, расчет ведется по формуле:
(4.6)
Второй, сме шанный, метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов:
,(4.7)
где – срок ссуды, а - целое число лет, b - дробная часть года.
Аналогичный метод применяется и в случаях, когда перио дом начисления является полугодие, квартал или месяц.
При выборе
метода расчета следует иметь в виду, что мно
житель наращения по смешанному методу
оказывается несколько больше, чем по общему, так как для п
<
1 справедли
во соотношение 
Наибольшая разница наблю дается при b = 1/2.
5. Сравнение роста по сложным и простым процентам. Пусть временная база для начисленияодна и та же, уровень процентных ставок совпадает, тогда:
1) для срока меньше года простые проценты больше сложных
2) для срока больше года
3) для срока 1 год множители наращения равны друг другу
Используя коэффициент наращения по простыми сложным процентам можно определить время, необходимое для увеличенияпервоначальной суммы в n раз. Для этого необходимо, что быкоэффициенты наращениябыли равны величине n :
1) для простых процентов
2) для сложных процентов
Формулы дляудвоениякапитала имеют вид:
Рассмотрим Сложный процент (Compound Interest) – начисление процентов как на основную сумму долга, так и на начисленные ранее проценты.
Немного теории
Владелец капитала, предоставляя его на определенное время в долг, рассчитывает на получение дохода от этой сделки. Размер ожидаемого дохода зависит от трех факторов: от величины капитала, предоставляемого в кредит, от срока, на который предоставлен кредит, и от величины ссудного процента или иначе процентной ставки.
Существуют различные методы начисления процентов. Основное их различие сводится к определению исходной суммы (базы), на которую начисляются проценты. Эта сумма может оставаться постоянной в течение всего периода или меняться. В зависимости от этого различают метод начисления по и сложным процентам.
При использовании сложных ставок процентов процентные деньги, начисленные после каждого периода начисления, присоединяются к сумме долга. Таким образом, база для начисления сложных процентов в отличие от использования изменяется в каждом периоде начисления. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, называется капитализацией процентов. Иногда этот метод называют «процент на процент».
В файле примера приведен график для сравнения наращенной суммы с использованием простых и сложных процентов.
В этой статье рассмотрим начисление по сложным процентам в случае постоянной ставки. О переменной ставке в случае сложных процентов .
Пусть первоначальная сумма вклада равна Р, тогда через один год сумма вклада с присоединенными процентами составит =Р*(1+i), через 2 года =P*(1+i)*(1+i)=P*(1+i)^2, через n лет – P*(1+i)^n. Таким образом, получим формулу наращения для сложных процентов:
S = Р*(1+i)^n
где S - наращенная сумма,
i - годовая ставка,
n - срок ссуды в годах,
(1+ i)^n - множитель наращения.
В рассмотренном выше случае капитализация производится 1 раз в год.
При капитализации m раз в год формула наращения для сложных процентов выглядит так:
S = Р*(1+i/m)^(n*m)
i/m – это ставка за период.
На практике обычно используют дискретные проценты (проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени: год (m=1), полугодие (m=2), квартал (m=4), месяц (m=12)).
В MS EXCEL вычислить наращенную сумму к концу срока вклада по сложным процентам можно разными способами.
Рассмотрим задачу : Пусть первоначальная сумма вклада равна 20т.р., годовая ставка = 15%, срок вклада 12 мес. Капитализация производится ежемесячно в конце периода.
Способ 1. Вычисление с помощью таблицы с формулами
Это самый трудоемкий способ, но зато самый наглядный. Он заключается в том, чтобы последовательно вычислить величину вклада на конец каждого периода.
В файле примера
это реализовано на листе Постоянная ставка
.
За первый период будут начислены проценты в сумме =20000*(15%/12)
, т.к. капитализация производится ежемесячно, а в году, как известно, 12 мес.
При начислении процентов за второй период, в качестве базы, на которую начисляются %, необходимо брать не начальную сумму вклада, а сумму вклада в конце первого периода (или начале второго). И так далее все 12 периодов.
Способ 2. Вычисление с помощью формулы Наращенных процентов
Подставим в формулу наращенной суммы S = Р*(1+i)^n значения из задачи.
S = 20000*(1+15%/12)^12
Необходимо помнить, что в качестве процентной ставки нужно указывать ставку за период (период капитализации).
Другой вариант записи формулы – через функцию СТЕПЕНЬ()
=20000*СТЕПЕНЬ(1+15%/12; 12)
Способ 3. Вычисление с помощью функции БС().
Функция БС()
позволяет определить инвестиции при условии периодических равных платежей и постоянной процентной ставки, т.е. она предназначена прежде всего для расчетов в случае . Однако, опустив 3-й параметр (ПЛТ=0), можно ее использовать и для расчета сложных процентов.
=-БС(15%/12;12;;20000)
Или так =-БС(15%/12;12;0;20000;0)
Примечание . В случае переменной ставки для нахождения Будущей стоимости по методу сложных процентов БЗРАСПИС() .
Рассмотрим задачу: Клиент банка положил на депозит 150 000 р. на 5 лет с ежегодным начислением сложных процентов по ставке 12 % годовых. Определить сумму начисленных процентов.
Сумма начисленных процентов I равна разности между величиной наращенной суммы S и начальной суммой Р. Используя формулу для определения наращенной суммы S = Р*(1+i)^n, получим:
I = S – P= Р*(1+i)^n – Р=P*((1+i)^n –1)=150000*((1+12%)^5-1)
Результат: 114 351,25р.
Для сравнения: начисление по простой ставке даст результат 90 000р. (см. файл примера
).
Рассмотрим задачу: Клиент банка положил на депозит некую сумму с ежегодным начислением сложных процентов по ставке 12 % годовых. Через какой срок сумма вклада удвоится?
Логарифмируя обе части уравнения S = Р*(1+i)^n, решим его относительно неизвестного параметра n.
В файле примера приведено решение, ответ 6,12 лет.
Рассмотрим задачу: Клиент банка положил на депозит 150 000 р. с ежегодным начислением сложных процентов. При какой годовой ставке сумма вклада удвоится через 5 лет?
В файле примера приведено решение, ответ 14,87%.
Примечание . Об эффективной ставке процентов .
Дисконтирование основывается на базе концепции стоимости денег во времени: деньги, доступные в настоящее время, стоят больше, чем та же самая сумма в будущем, вследствие их потенциала обеспечить доход.
Рассмотрим 2 вида учета: математический и банковский.
Математический учет
. В этом случае решается задача обратная наращению по сложным процентам, т.е. вычисления производятся по формуле Р=S/(1+i)^n
Величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной, или текущей стоимостью, или приведенной величиной S.
Суммы Р и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через n лет равноценен сумме Р, выплачиваемой в настоящий момент. Здесь разность D = S - P называется дисконтом.
Пример
. Через 7 лет страхователю будет выплачена сумма 2000000 руб. Определить современную стоимость суммы при условии, что применяется ставка сложных процентов в 15% годовых.
Другими словами, известно:
n = 7 лет,
S = 2 000 000 руб.,
i = 15% .
Решение. P = 2000000/(1+15%)^7
Значение текущей стоимости будет меньше, т.к. открыв сегодня
вклад на сумму Р с ежегодной капитализацией по ставке 15% мы получим через 7 лет сумму 2 млн. руб.
Тот же результат можно получить с помощью формулы =ПС(15%;7;;-2000000;1)
Функция ПС()
возвращает приведенную (к текущему моменту) стоимость инвестиции и .
Банковский учет
. В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле:
Р = S*(1- dсл)^n
где dcл - сложная годовая учетная ставка.
При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.
Сравнив формулу наращения для сложных процентов S = Р*(1+i)^n и формулу дисконтирования по сложной учетной ставке Р = S*(1- dсл)^n придем к выводу, что заменив знак у ставки на противоположный, мы можем для расчета дисконтированной величины использовать все три способа вычисления наращения по сложным процентам, рассмотренные в разделе статьи Начисление процентов несколько раз в год .
Стандартным временным интервалом в финансовых операциях является один год. При краткосрочных операциях срок инвестирования, как мы уже убедились, удобно измерять в днях. Поэтому продолжительность года принимают равной либо 360 дням (360 - 12 х 30 дней), либо фактическому числу дней в году. В первом случае проценты называют обычными, во втором - точными.
При подсчете числа дней срока инвестирования т возможны два варианта. Первый вариант: наиболее часто подсчитывают точное число дней с помощью специальной таблицы, в которой приведены порядковые номера каждого дня в году. При этом день выдачи и возврата ссуды считают за один день. Во втором варианте подсчитывают точное число месяцев в сроке и добавляют число оставшихся дней. При этом длительность каждого полного месяца полагают равной 30 дням. Второй вариант дает обычно меньшее значение т. Таким образом, всего имеются четыре схемы расчета процентов, из которых применяются следующие три.
Четвертая схема- точные проценты и приближенное число дней ссуды - не применяется.
Наращение капитала может осуществляться либо в виде простых процентов, либо в виде сложных процентов.
Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление.
Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р , а установленная норма доходности - г (в долях единицы). Тогда говорят, что инвестирование осуществлено на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину Рх г. Таким образом, размер инвестированного капитала через п периодов (Р п) будет равен:
Выражение (7.6) часто называют формулой наращения по простым процентам, а множитель
коэффициентом наращения простых процентов.
При применении простого процента доходы по мере их начисления целесообразно снимать для потребления, использования в других инвестиционных проектах или в текущей деятельности. Простые проценты применяют в следующих случаях:
ф при выдаче краткосрочных ссуд на срок менее года;
ф когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору заемщиком в конце каждого конверсионного периода (конверсионный период - это временной интервал, в конце которого начисляется процент за этот интервал);
ф при сберегательных вкладах с ежемесячной выплатой процентов и т. п.
При выдаче краткосрочных ссуд на срок менее года в качестве показателя п берется величина, характеризующая длину периода (дни, месяц, квартал, полугодие) в долях года. При этом длина различных временных интервалов в расчетах, как правило, округляется: месяц - 30 дней, квартал - 90 дней, полугодие - 180 дней, год - 360 дней.
Пример 7. 3 млн руб. выдано в кредит на 6 месяцев под простые проценты по ставке 10% в месяц. Найдем наращенное значение долга в конце каждого месяца.
Обозначим через Р п наращенное значение долга в конце каждого месяца. Так как Р - 3 млн руб. и г - 0,1, то в силу формулы (7.6):
Полученные результаты сведем в табл. 7.1.
Из табл. 7.1 видно, что последовательность Р, Р 2 ,... Р б представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом 3 млн руб. и знаменателем 300 тыс. руб.
Таблица 7.1 Наращенное значение долга
Пример 8. Ссуда в размере 5 млн руб. выдана на один месяц под 130% годовых. Тогда размер платежа к погашению будет равен:
Схема сложных процентов предполагает их капитализацию, т. е. база начисления процентов постоянно возрастает. Это означает, что инвестиция осуществлена на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей ранее начисленные и не востребованные инвестором проценты. Присоединение начисленных процентов к базовой сумме называется капитализацией процентов.
При начислении сложного процента размер капитала будет равен: к концу первого года
к концу второго года
к концу л-го года
Использование в расчетах сложного процента более логично со стороны инвестора, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает.
Пример 9. Определить, какой величины через пять лет достигнет долг, равный 1 млн руб. при сложной ставке 15,5% годовых.
В соответствии с формулой (7.7) имеем:
Формула (7.7) является одной из базовых в финансовых вычислениях. Множитель М(г, л) - (1 + г)", обеспечивающий наращение стоимости, называют факторным множителем. Значения факторного множителя Л/(г, п) табулированы для различных значений г и л. С его помощью формула (7.7) переписывается в виде:
С экономической точки зрения факторный множитель показывает, чему будет равна одна денежная единица через л периодов при заданной процентной ставке г.
Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать «классическую» схему с помощью применения плавающих ставок. Расчет на перспективу по таким ставкам достаточно условен. Вместе с тем справедлива следующая важная теорема (принцип стабильности рынка): «Если не учитывать налоги и другие накладные расходы, то коэффициент наращения на некотором интервале равен произведению коэффициентов наращения на каждом из составляющих его подинтервалов». Следовательно,
где г |Р г 2 ,.... г к - последовательные во времени значения ставок;
л, л 2 .....п к - периоды, в течение которых «работают» соответствующие ставки.
Пример 10. Заключен договор о ссуде на 5 лет. Договорная процентная ставка составляет 12% годовых с маржой (доплата за накладные расходы, комиссионные) в размере 0,5% в первые два года и 0,75% - в оставшиеся 3 года.
Используя формулу (7.8), найдем, что коэффициент наращения М в этом случае составит:
Для того чтобы сопоставить результаты наращения при простых и сложных процентах, достаточно сравнить соответствующие коэффициенты наращения. Нетрудно убедиться в том, что при одинаковых уровнях процентных ставок соотношение коэффициентов существенно зависит от срока инвестиции.
Действительно, при сроке инвестиции меньше года простые проценты дают наращение больше, чем сложные:
Для срока больше года сложные проценты дают наращение больше, чем простые:
Для срока, равного году, коэффициенты наращения равны друг другу при условии, что ставка начисления процентов одна и та же.
Заметим также, что с увеличением срока (при п > 1) различия в последствиях применения простых и сложных процентов усиливаются.
Графическая иллюстрация этого утверждения приведена на рис. 7.1. В табл. 7.2 в качестве примера приведены значения коэффициентов наращения для г - 8% годовых и временной базы в один год.
Рис. 7.1.
|
Коэффициент наращения |
Срок ссуды |
||||||
При начислении процентов за нецелое число лет более эффективна смешанная схема, предусматривающая начисление сложных процентов за целое число лет и простых процентов за дробную часть года:
где а + р = п
;
а - целое число периодов;
(3 - дробная часть периода.
Различия в последствиях применения простых и сложных процентов наиболее наглядно проявляются при определении времени, необходимого для увеличения суммы в Л^раз. В этом случае коэффициент наращения, очевидно, равен N, и, следовательно, для простых процентов (1 + п х г) - N, откуда
для сложных процентов (1 + г)" - N, откуда
Пример 11. Определим число лет, необходимых для увеличения первоначального капитала в пять раз соответственно при начислении сложных и простых процентов по ставке 15% годовых.
Найдем теперь период инвестиции, необходимый для удвоения первоначальной суммы. В этом случае, положив в (7.9) и (7.10) N = 2, получим следующие формулы удвоения:
удвоение по простым процентам
удвоение по сложным процентам
Результаты применения формул удвоения для ряда значений процентных ставок приведены в табл. 7.3.
Таблица 7.3
Сроки удвоения для различных значений процентных ставок
Для небольших значений процентной ставки г частное от деления числа 72 на г показывает число периодов, за которое исходная сумма удвоится при наращивании ее по этой ставке с использованием формулы сложных процентов («правило 72»).
