Сложным процентом принято называть эффект, возникающий при накоплении прибыли и процентов, в результате чего выплаты по процентам возрастают по экспоненциальному графику. Большинство современных банков принимают клиентов именно под сложные проценты, что, несомненно, выгодно для вкладчика. Важность открытия сложных процентов оценил даже сам Эйнштейн, назвав их главной «движущей силой в мире».
Для того чтобы лучше разобраться, что представляют собой сложные проценты, необходимо перейти к примерам с расчетами.
Для расчета применяется простая формула:
В формуле под SUM понимается окончательная сумма расчета с клиентом, под Х –сумма вложения, под n – количество расчетных периодов. На графике можно увидеть, что подразумевается под экспоненциальным возрастанием суммы:
Для банковских вкладов формула немного сложнее, так как вводится новый элемент уравнения – :
Так, нам нужно знать частоту капитализации. Под капитализацией понимается перерасчет суммы, на которую начисляются проценты – к базовой сумме добавляется , начисленная за последний период. Если перерасчет происходит ежемесячно, частота капитализации (в нашей формуле это D) составляет 30 дней, если раз в квартал – 90 дней.
Остальные незнакомые показатели в формуле расчета банковского сложного процента – это Y – количество дней в году (365 или 366) и P – процентная ставка. Весь блок значений после единицы под скобкой называется коэффициентом процентной ставки .
Рассмотрим пример:
Гражданин И вкладывает 100000 рублей под 15% годовых с ежемесячной капитализацией. Какую сумму он сможет получить через 8 лет:
А) с простого процента?
Б) со сложного процента?
Так, рассчитываем сначала простой процент. 15% от 100000 рублей составляет 15000 рублей. Если 15 тыс. рублей умножить на 8, то получится прибыль с вклада в 120 тыс. рублей. Таким образом, через 8 лет гражданин И сможет снять 220 тыс. рублей.
Для расчета сложного процента подставляем данные в формулу:
Результат расчетов должен неприятно удивить – прибыль составит те же 120 тыс. рублей. Тогда попробуем рассчитать сумму при ежегодной капитализации, а не при ежемесячной:
Мы получим результат, который удовлетворит нас гораздо больше – 306 тыс. прибыли. Делаем вывод: чем реже происходит капитализация, тем выше будет прибыль. Проценты начисляются ежегодно таким образом:
Простой (прибыль + сумма) |
Сложный (прибыль + сумма) |
|
Видно, что под сложным процентом растут словно снежный ком. Чем дольше вкладчик не будет их снимать, тем больше будет его прибыль от месяца к месяцу.
Для расчетов по вкладам могут пригодиться и другие формулы:
Все показатели нам известны, поэтому попробуем сразу решить пример:
Под какой процент нужно положить 10000 рублей, чтобы через 15 лет получить 80000 рублей?
Понятно, что нужно положить деньги под 15% годовых.
Опять-такие пробуем решить пример:
На сколько времени нужно внести деньги под 20% годовых в размере 150000 тыс. рублей, чтобы получить 1 млн. рублей?
Нужно внести средства на 10 лет.
Несомненно, выгодность банковского вклада, в первую очередь, определяет процентная ставка. Ведь именно на нее ориентируется каждый потенциальный клиент. Но, на самом деле, вкладчику нужно, в частности, обратить внимание не на годовую процентную ставку, а на метод начисления прибыли. Ведь в финансовой системе банка существуют два понятия: простой и сложный процент. А для каждого вкладчика нужно точно знать, что такое простые и сложные проценты понятие и формулы, чтобы определить, какой вклад будет наиболее выгодный для него.
В первую очередь, простой процент – это начисление вознаграждения за размещение вклада на банковском счете за весь период хранения средств. Если говорить простыми словами, то простой процент начисляется лишь по окончании срока действия депозитного договора, он определяется в годовой процентной ставке. Причем, если договор автоматически продлевается на следующий срок, то вознаграждение за предыдущий период не причисляется к телу депозита.
Чтобы максимально точно понять, что такое простая система начисления прибыли рассмотрим пример. Вы разместили в банке 50000 рублей под 7% годовых на один год. По окончании срока действия договора ваша прибыль составит 50000×0,07=3500 рублей. При автоматической пролонгации договора на следующий срок ваша прибыль составит снова 3500 рублей. То есть спустя 2 года вы сможете в банке получить 50000+3500+3500=57000 рублей.
Важно! Формула расчета простых процентов выглядит следующим образом: K=D×p. Где K – сумма прибыли, D – тело депозита, p – годовая процентная ставка (в формуле нужно указывать не годовую ставку, а ставку, деленную на 100).
Если вы размещаете средства на срок меньше чем на один год, то соответственно процентная ставка годовая делится на 12 и умножается на количество месяцев, в течение которых средства были на банковском счете. Например, если срок депозита 3 месяца, а процентная ставка 10% в год, то общая прибыль рассчитывается следующим образом.0,1/12×3=0,025. Например, если вы разместили 50000 рублей сроком на 3 месяца, то прибыль по окончании срока действия договора будет следующий: 50000×0,025=1250 рублей.
Формулы простых и сложных процентов
Отличие простых процентов от сложных на самом деле довольно большое. При выборе депозитного продукта наверняка каждому приходилось слышать о таком понятии, как капитализация. То есть это та схема начисления прибыли, при которой начисленная прибыль причисляется к телу депозита, а на него в будущем снова начисляется доход.
Обратите внимание, что капитализация осуществляется с определенной периодичностью, например, один раз в неделю, в месяц в квартал или год.
Отсюда можно сделать вывод, что капитализация позволяет получить большую прибыль по сравнению с простым процентом. Чтобы наглядно в этом убедиться рассмотрим формулу расчета сложных процентов, а выглядеть она будет следующим образом: B=(K×H×P/N)/100 , где:
Чтобы наглядно понять, как именно будет рассчитываться сложный процент. Рассмотрим простой пример. Сумма депозита 50000 рублей процентная ставка в год 7%, капитализация осуществляется ежемесячно, срок действия договора один год. Произведем расчет прибыли за первый месяц пользования депозитом: B=(50000×7×30/365)/100=287,6 рублей – это прибыль за первый месяц. В следующем периоде расчет будет выглядеть следующим образом: B=(50287,6×7×31/365)/100=298,9 рублей.
Из вышеприведенного примера можно сделать вывод, что капитализация позволяет получать с каждым месяцем большую прибыль по сравнению с предыдущим. Вот только при выборе депозитного предложения обязательно обратить внимание, с какой периодичностью осуществляется капитализация процентов, чем чаще, тем больше выгоды получает клиент.
На самом деле система начисления процентов по вкладам сильно различается в первую очередь по той причине, что с капитализацией процентов выгода депозита может быть значительно выше, нежели при простой системе. Потому что при простой системе прибыль растет в арифметической прогрессии, а при сложной в геометрической. Чтобы наглядно в этом убедиться, ниже приведена схема сложных процентов в сравнении со схемой простых процентов.
Схема сложных процентов в сравнении со схемой простых процентов
Но, в этом вопросе также есть подводные камни. Условия банковских вкладов строго индивидуальны, поэтому при выборе депозитного продукта в первую очередь обратите внимание на количество периодов капитализации за весь срок действия договора. Например, банк указывает, что по вашему депозитному договору предусмотрена капитализация процентов, но она осуществляется 1 раз в 6 месяцев, то есть первый доход, вы получите спустя полгода после заключения соглашения с банком. При этом вы решили разместить средства лишь на 3 месяца, соответственно, вы получите свои средства раньше, чем банк проведет капитализацию процентов и в данном случае целесообразней выбрать простой расчет процент по вкладу.
Важно! Большинство банков предлагают по одному и тому же депозитному предложению своим клиентам сделать выбор получать прибыль с определенной периодичностью или причислять себя к телу депозита, соответственно, у клиента есть возможность выбрать по какой системе простой или сложной, он хотел бы получать свой доход.
На самом деле понять, в чем состоит принципиальная разница между простыми и сложными процентами достаточно просто, но все же нюанс заключается в том, что банки в договоре не указывают такие понятия, как простые и сложные проценты каждый потенциальный вкладчик должен обращать внимание на все условия договора. Если в договоре указано, что проценты выплачиваются по окончании срока действия договора, соответственно, капитализация по такому договору не предусмотрена.
И расчет параметров этой сделки.
Курс финансовой математики состоит из двух разделов: разовые платежи и потоки платежей. Разовые платежи — это финансовые сделки, при которых каждая сторона, при реализации условий контракта выплачивает сумму денег только один раз (либо дает в долг, либо отдает долг). Потоки платежей — это финансовые сделки, при которых каждая сторона при реализации условий контракта производит не менее одного платежа.
В финансовой сделке участвуют две стороны — кредитор и заемщик. Каждой стороной может быть как банк, так и клиент. Основная финансовая сделка — предоставление некоторой суммы денег в долг. Деньги не равносильны относительно времени. Современные деньги, как правило, ценнее будущих. Ценность денег во времени отражается в величине начисляемых процентных денег и схеме их начисления и выплаты.
Математическим аппаратом для решения таких задач является понятие "процентов" и и .
Процент — одна сотая от заранее оговоренной базы (то есть база соответствует 100%).
Примеры:Ответ: больше на
первоначальная сумма долга | |
(дни) | фиксированный промежуток времени, к которому приурочена процентная (учетная) ставка (как правило, один год — 365, иногда 360 дней) |
процентная (учетная) ставка за период | |
срок долга в днях | |
срок долга в долях от периода | |
сумма долга в конце срока |
Процентная ставка — относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени. Отношение дохода (процентных денег — абсолютная величина дохода от представления денег в долг) к сумме долга.
Период начисления — это временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, его не следует путать со сроком начиления. Обычно в качестве такого периода принимаю год, полугодие, квартал, месяц, но чаще всего дело имеют с годовыми ставками.
Капитализация процентов — присоединение процентов к основной сумме долга.
Наращение — процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов.
Дисконтирование — обратно наращению, при котором сумма денег, относящаяся к будущему уменьшается на величину соответствующую дисконту (скидке).
Величина называется множителем наращения, а величина — множителем дисконтирования при соответствующих схемах.
Интерпретация процентной ставкиПри схеме "простых процентов " исходной базой для начисления процентов в течение всего срока долга на каждом периоде применения процентной ставки является первоначальная сумма долга .
При схеме "сложных процентов " (для целых ) исходной базой для начисления процентов в течение всего срока на каждом периоде применения процентной ставки является наращенная за предыдущий период сумма долга.
Присоединение начисленных процентных денег к сумме, которая служит базой для их вычисления, называется капитализацией процентов (или реинвестированием вклада). При применении схемы "сложных процентов" капитализация процентов происходит на каждом периоде .
Интерпретация учетной ставкиПри схеме "простых процентов" (простой дисконт ) — исходной базой для начисления процентов в течение всего срока долга на каждом периоде применения учетной ставки является сумма , подлежащая выплате в конце срока вклада.
При схеме "сложных процентов" (для целых ) (сложный дисконт ) — исходной базой для начисления процентов в течение всего срока на каждом периоде применения учетной ставки является сумма долга в конце каждого периода.
Простые проценты | Сложные проценты | ||
— процентная ставка | наращение | ||
— процентная ставка |
дисконтирование (банковский учет) |
Простые проценты | Сложные проценты | ||
— процентная ставка | дисконтирование (математический учет) | ||
— процентная ставка | наращение |
Пусть срок долга имеет этапов, длина которых равна , ,
— при схеме простых процентов
1 . В контракте предусмотрено начисление а) простого, б) сложного процента в таком порядке: в первом полугодии по годовой процентной ставке 0,09, потом в следующем году ставка уменьшилась на 0,01, а в следующих двух полугодиях увеличилась на 0,005 в каждом из них. Найти величину наращенного вклада в конце срока, если величина первоначального вклада равна $800.
Важным выступает процентная ставка. Процентная ставка — это плата за деньги, предоставляемые в . Были времена, когда законом не допускалось вознаграждение за то, что неизрасходованные, заемные деньги давали в заем. В современном мире широко пользуются кредитами, за пользование которыми устанавливается процент. Поскольку процентные ставки измеряют издержки использования денежных средств предпринимателями и вознаграждение за неиспользование денег потребительским сектором, то уровень процентных ставок играет значительную роль в экономике страны в целом.
Очень часто в экономической литературе пользуются термином "процентная ставка", хотя существует множество процентных ставок. Дифференциация процентных ставок связана с риском, на который идет заимодатель. Риск возрастает с увеличением срока кредита, так как становится выше вероятность того, что деньги могут потребоваться кредитору раньше установленной даты возврата ссуды, соответственно повышается процентная ставка. Она увеличивается, когда за кредитом обращается малоизвестный предприниматель. Мелкая фирма уплачивает более высокую процентную ставку, чем крупная. Для потребителей процентные ставки также варьируются.
Однако как бы ни отличались ставки процента, все они находятся под воздействием : если предложение денег уменьшается, то процентные ставки увеличиваются, и наоборот. Именно поэтому рассмотрение всех процентных ставок можно свести к изучению закономерностей одной процентной ставки и в дальнейшем оперировать термином "процентная ставка"
Реальная процентная ставка определяется с учетом уровня . Она равна номинальной процентной ставке, которая устанавливается под воздействием спроса и предложения, за вычетом уровня инфляции:
Если, например, банк предоставляет кредит и взимает при этом 15%, а уровень инфляции составляет 10%, то реальная процентная ставка равна 5% (15% — 10%).
Определить проценты и сумму накопленного долга если ставка по простым процентам 20% годовых, ссуда равна 700 000 руб., срок 4 года.
Ссуда в размере 1 млн.рублей выдана 20 января до 5 октября включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? Рассчитать в трех вариантах подсчета простых процентов.
Для начала определим число дней ссуды: 20 января это 20 день в году, 5 октября — 278 день в году. 278 — 20 = 258. При приближенном подсчете — 255. 30 января — 20 января = 10. 8 месяц умножить на 30 дней = 240. итого: 240 + 10 + 5 = 255.
1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)
2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365)
3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360)
В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется следующим образом.
Сложный процент отличается от обычного тем, что он начисляется не только на основную сумму вклада, но и на сумму накопленных на нем процентов. По этой причине суммы на накопительных счетах со сложной ставкой процента растут быстрее, чем на счетах с простой процентной ставкой. Более того, накопления будут расти еще быстрее, если капитализация процентов осуществляется много раз в году. Сложные проценты встречаются в различных типах инвестиций, а также в отдельных видах займов, например, по кредитным картам. Рассчитать увеличение исходной суммы по ставке сложного процента достаточно просто, если знать правильную формулу.
Часть 1
Расчет годовых сложных процентов вручнуюОпределите годовую капитализацию. Процентная ставка по инвестициям или кредитным соглашениям устанавливается на год. Например, если ставка по вашему автокредиту составляет 6%, то вы ежегодно платите 6% от суммы займа. При капитализации процентов раз в год расчитать сложный процент проще всего.
Рассчитайте капитализацию процентов для первого года. Предположим, у вас есть $1000, и вы вложили их в гособлигации США со ставкой 6% годовых. Начисление процентов по гособлигациям США производят ежегодно на основании ставки процента и текущей стоимости ценной бумаги.
Рассчитайте капитализацию процентов для последующих лет. Чтобы более очевидно увидеть отличие сложных процентов от обычных, рассчитайте их величину для последующих лет. От года к году суммы процентов будут увеличиваться.
Создайте таблицу в Excel, чтобы полностью рассчитать сумму сложных процентов. Полезно будет визуально представить сложные проценты в виде простой таблицы в Excel, которая покажет вам рост ваших инвестиций. Откройте документ и подпишите верхние ячейки в колонках A, B, и C как "Год" "Стоимость" и "Начисленные проценты".
Выполните математические действия по формуле. Упростите выражение, рассчитав отдельные части, начиная со скобок и расположенной там дроби.
Вычтите из результата первоначальную сумму. Разница будет представлять сумму накопленных процентов.
Часть 3
Расчет сложных процентов при регулярном пополнении вкладаВыучите формулу. Сложные проценты будут расти еще быстрее, если вы будете регулярно увеличивать сумму вклада, например, ежемесячно вносить определенную сумму на депозитный счет. Применяемая в таком случае формула становится больше, но основана на тех же самых принципах. Она выглядит следующим образом: F V = P (1 + i c) n ∗ c + R ((1 + i c) n ∗ c − 1) i c {\displaystyle FV=P(1+{\frac {i}{c}})^{n*c}+{\frac {R((1+{\frac {i}{c}})^{n*c}-1)}{\frac {i}{c}}}} . Все переменные в формуле остаются теми же, но к ним добавляется еще один показатель:
Определите исходные значения переменных. Чтобы рассчитать будущую стоимость вклада, вам необходимо знать первоначальную (текущую) сумму вклада, годовую процентную ставку, частоту капитализации процентов, срок вклада и величину ежемесячного пополнения вклада. Все это можно найти в соглашении, которое вы подписали со своим банком.
Подставьте данные в формулу. В продолжение вышеуказанного примера, допустим, что вы решили ежемесячно пополнять вклад на сумму $100. При этом первоначальная сумма вклада составляет $5000, ставка равна 3,45% годовых, а капитализация происходит ежемесячно. Рассчитаем рост депозита за два года.
Произведите расчет. Опять же, не забудьте правильный порядок операций. Это означает, что начать нужно с выполнения действий в скобках.
Онлайн калькулятор вкладов поможет вам быстро рассчитать проценты по любому вкладу, в том числе с капитализацией, с пополнениями и с учетом налогов, а также покажет график начисления процентов. Если вы планируете открыть вклад, то калькулятор поможет вам заранее рассчитать потенциальную доходность.
При обычном вкладе начисленные проценты банк выплачивает вкладчику ежемесячно (либо с другой периодичностью, оговоренной условиями договора). Это называется «простые проценты». Вклад с капитализацией (или «сложные проценты») - это условие, при котором начисленные проценты не выплачиваются, а прибавляются к сумме вклада, таким образом увеличивая её. Общий доход от вклада в этом случае будет выше.
С помощью депозитного калькулятора вы можете сравнить результаты расчёта двух одинаковых вкладов (с капитализацией и без) и увидеть разницу.
Эта характеристика актуальна только для вкладов с капитализацией процентов. В связи с тем, что проценты не выплачиваются а идут на увеличение суммы вклада, очевидно, что если ежемесячно возрастает сумма вклада, то и вновь начисленные на эту сумму проценты также будут выше, как и конечный доход.
Формула расчета эффективной ставки:
где
N - количество выплат процентов в течение срока вклада,
T - срок размещения вклада в месяцах.
Эта формула не универсальна. Она подходит только для вкладов с капитализацией 1 раз в месяц, период которых содержит целое количество месяцев. Для других вкладов (например вклад на 100 дней) эта формула работать не будет.
Однако есть и универсальная формула для рассчета эффективной ставки. Минус этой формулы в том, что получить результат можно только после рассчета процентов по вкладу.
Эффективная ставка = (P / S) * (365 / d) * 100
где
P - проценты, начисленные за весь период вклада,
S - сумма вклада,
d - срок вклада в днях.
Эта формула подходит для всех вкладов, с любыми сроками и любой периодичностью капитализации. Она просто считает отношение полученного дохода к начальной сумме вклада, приводя эту величину к годовым процентам. Лишь небольшая погрешность может присутствовать здесь, если период вклада или его часть выпала на високосный год.
Именно этот метод используется для рассчета эффективной ставки в представленном здесь депозитном калькуляторе.
Налоговый кодекс Российской Федерации предусматривает налогооблажение вкладов в следующих случаях:
Ставка налога составляет 35% для резидентов РФ и 30% для нерезидентов.
При этом налогом облагается не весь доход, полученный от вклада, а только часть, полученная в результате превышения процентной ставки по вкладу пороговой ставки. Для того, чтобы рассчитать налоговую базу (сумму, облагаемую налогом), нужно сначала рассчитать проценты налисленные по номинальной ставке вклада, а затем сделать аналогичный расчет по пороговой ставке. Разница этих сумм и будет являться налоговой базой. Для получения величины налога остается умножить эту сумму на ставку налога.
Наш депозитный калькулятор рассчитает ваш вклад с учетом налогов.