В широком смысле аннуитет представляет собой серию одинаковых по размеру платежей, которые осуществляются в течение определенного периода времени через равные интервалы. При этом понятие «настоящая стоимость аннуитета » происходит из концепции стоимости денег во времени (англ. Time Value of Money ), которая предполагает, что стоимость 1 у.е. в будущем будет ниже, чем ее стоимость сегодня. Хотя данное утверждение может показаться странным на первый взгляд, оно имеет под собой определенные основания. Действительно, деньги могут терять свою покупательную способность под воздействием инфляции . Другим аспектом является упущенная выгода. Например, инвестор может вложить 1000 у.е. на 1 год под 7% годовых и получить через год 1070 у.е., однако, отказавшись вкладывать эти средства инвестор «недополучит» прибыль в размере 70 у.е.
Определение настоящей стоимости аннуитета является широко распространенной практикой в финансовых расчетах, которые осуществляются как институциональными , так и частными инвесторами. Эта методика чрезвычайно полезна при оценке различных инвестиционных возможностей и при выборе формы кредитования. Чтобы лучше разобраться в проблеме, рассмотрим ее на примере.
Страховая компания предложила инвестору ежегодно выплачивать по 100 у.е. в течение 5-ти лет в обмен на единоразовый платеж в 400 у.е. При этом инвестору необходимо принять решение о целесообразности такой инвестиции, если для него требуемая норма доходности (англ. Required Rate of Return ) составляет 7% годовых.
Для того чтобы ответить на этот вопрос нам необходимо привести все денежные потоки к настоящему времени, то есть определить их настоящую стоимость (англ. Present Value ). Схематически этот процесс представлен на графике.
Инвестор последовательно получит 5 платежей по 100 у.е. с интервалом в один год. Чтобы определить их настоящую стоимость необходимо воспользоваться следующей формулой.
где FV – будущая стоимость денежного потока;
i
N – количество периодов.
Таким образом, настоящая стоимость каждого денежного потока составит.
PV 1 = 100/(1+0,07) 1 = 93,46 у.е.
PV 2 = 100/(1+0,07) 2 = 87,34 у.е.
PV 3 = 100/(1+0,07) 3 = 81,63 у.е.
PV 4 = 100/(1+0,07) 4 = 76,29 у.е.
PV 5 = 100/(1+0,07) 5 = 71,30 у.е.
Как мы можем видеть, настоящая стоимость первого денежного потока самая высокая, а последнего – самая низкая. При этом, каждая из них ниже, чем их номинальная стоимость в размере 100 у.е.
Для того чтобы определить настоящую стоимость аннуитета, нам необходимо сложить настоящую стоимость каждого денежного потока.
PVA = 93,46+87,34+81,63+76,29+71,30 = 410,09 у.е.
Учитывая, что настоящая стоимость аннуитета, предложенного страховой компанией инвестору, выше, чем сумма единоразового платежа в размере 400 у.е., то данная инвестиционная возможность является приемлемой. В противном случае (настоящая стоимость ниже, чем единоразовый платеж) она должна быть отвергнута.
где A – размер платежа;
i – процентная ставка за период (ставка дисконтирования или требуемая норма доходности);
N – количество периодов.
Подставив данные из предыдущего примера мы получим следующую сумму, которая совпадает с приведенными выше расчетами.
* - незначительное расхождение с предыдущей суммой возникло в результате округлений настоящей стоимость каждого денежного потока в приведенном выше примере.
Проблемы при применении данной методики на практике возникают при определении ставки дисконтирования или требуемой нормы доходности, от которых будут зависеть правильность принятого решения. Для их определения не существует никакой общепринятой методики или формулы, поэтому процесс ее оценки носит достаточно субъективный характер. Следует отметить, что на ее величину влияют такие факторы, как, например, сумма инвестиций, инвестиционный горизонт , склонность к риску , его финансовое положение и цели. Поэтому для одного инвестора требуемая норма доходности может составлять 5%, а для более склонного к риску, например, 13%.
В случае, когда аннуитетный платеж осуществляется в начале каждого периода, так называемый аннуитет пренумерандо, формула для расчета его настоящей стоимости имеет следующий вид.
Чтобы лучше разобраться в этой проблеме рассмотрим ее на простом примере.
Арендодателю поступило предложение о заключении договора аренды сроком на пять лет на следующих условиях:
Срок действия договора 5 лет;
- арендатор ежегодно осуществляет авансовые платежи в размере 500 у.е.
При этом арендодатель может продать объект аренды за 2000 у.е. и вложить эти средства под 8% годовых. Необходимо определить какое из этих предложений будет для него более выгодным. Чтобы ответить на этот вопрос надо найти настоящую стоимость аннуитета, что схематически будет выглядеть следующим образом.
Настоящая стоимость каждого денежного потока составит.
PV 1 = 500/(1+0,08) 0 = 500 у.е.
PV 2 = 500/(1+0,08) 1 = 462,96 у.е.
PV 3 = 500/(1+0,08) 2 = 428,67 у.е.
PV 4 = 500/(1+0,08) 3 = 396,92 у.е.
PV 5 = 500/(1+0,08) 4 = 367,51 у.е.
Следует отметить, что настоящая стоимость первого денежного потока совпадает с его номинальной стоимостью 500 у.е., поскольку арендный платеж носил авансовый характер, то есть был выплачен в 0 точке. Соответственно, все остальные полученные платежи также сдвинулись влево по временной шкале. Таким образом, настоящая стоимость аннуитета на таких условиях составит.
PVA = 500+462,96+428,67+396,92+367,51 = 2156,06 у.е.
Определим Будущую стоимость инвестиции в случае аннуитета. Под инвестицией будем понимать как регулярные взносы, так и начальный взнос. Для этого будем использовать функцию БС() . Также выведем альтернативную формулу для расчета Будущей стоимости.
В MS EXCEL Будущая стоимость для аннуитета и для сложных процентов рассчитывается функцией БС() .
Примечание : в случае переменной ставки для нахождения Будущей стоимости по методу сложных процентов (не аннуитет) используется функция БЗРАСПИС() .
Функция БС(ставка; кпер; плт; [пс]; [тип])
возвращает на основе периодических постоянных (равных по величине сумм) платежей и постоянной процентной ставки.
Например, если у Вас сейчас на банковском счете сумма ПС и вы ежемесячно дополнительно вносите одну и туже сумму ПЛТ, то функция вычислит сумму на Вашем банковском счете через Кпер месяцев.
Теперь несколько замечаний:
Примечание . Английский вариант функции: FV(rate, nper, pmt, , ), т.е. Future Value – Будущая Стоимость.
Расчеты в БС() производятся по этой формуле:
Из формулы видно, будущая стоимость состоит из 2-х составляющих: будущая стоимость инвестиции ПС (вычисляется по формуле ) и будущая стоимость периодических равновеликих взносов ПЛТ (вычисляется по формуле ).
Примечание . При БС=0 (начальная инвестиция =0) Будущая стоимость не зависит от параметра Тип.
Вычислим Будущую стоимость в случае накопления вклада. Исходные данные приведены на рисунке ниже.
В результате расчетов получим следующий график накопления вклада (см. файл примера Лист Накопление ).
Примечание . Функцию БС() можно также использовать для вычисления баланса на конец периода (см. файл примера Лист Накопление, столбец G ). Для этого используйте выражение = БС(ставка; кпер; плт; [пс]; [тип])/ (1+ставка*тип)
Примечание . При Тип=1 (начисление процентов в начале периода), баланс на конец последнего периода не равен БС (как при Тип=0), т.к. учитывается начисление процентов на следующий день после окончания последнего периода! Т.е. к балансу на конец последнего периода прибавляется величина =БС(ставка; кпер; плт; [пс]; [тип])*ставка
Формула аннуитета может быть получена как сумма членов геометрической прогрессии, где знаменатель =(1+ставка). Выведем формулу аннуитета при Тип=0 в случае накопления вклада в течение Кпер периодов. Накопление вклада производится регулярными взносами (платежами) ПЛТ, начальная сумма вклада =0 (ПС). За период действует процентная ставка =Ставка.
Итак, выводим:
Как показано в файле примера (лист Накопление)
при задании аргументов функции БС()
у ПЛТ указывают знак минус (в этом случае БС>0). Противоположные знаки у ПЛТ и БС указывают на то, что мы имеем дело с разнонаправленными денежными потоками: БС – это деньги, которые банк
вернет
нам
после окончания вклада, а -ПЛТ – это деньги, которые мы
регулярно отдаем банку
.
Поэтому, окончательная формула для БС()
(при ПС=0 и Тип=0): =- ПЛТ*(((1+ставка)^ кпер)-1)/ставка
Функция БС() может быть использована также для нахождения остаточной стоимости ссуды по прошествии заданного количества периодов (см.файл примера Лист Выплата кредита ). Для этого используйте формулу =-БС(ставка; кпер; плт; [пс]; [тип])/ (1+ставка*тип)
При выплате кредита обычно предполагается, что по прошествии Кпер периодов (т.е. по истечению срока займа) Будущая стоимость кредита станет равна 0 (т.е. кредит будет полностью возращен).
Примечание : в файле примера приведено решение нескольких простых задач по определению Будущей стоимости.
Часто нам необходимо узнать еще и приведенную стоимость платежей по аннуитету. Например, сколько денег вам нужно было бы поместить в фонд, на который начисляется 10% годовых для того, чтобы иметь возможность брать оттуда по 100 долл. в год на протяжении последующих трех лет? Ответом будет приведенная стоимость трех денежных платежей.
Приведенная стоимость аннуитета - это сумма приведенной стоимости каждого из трех платежей по 100 долл.:
PV = 100 долл./1,1+100 долл./1,1 2 + 100 долл./1,1 3
Вынесем постоянный платеж 100 долл. в год за скобки и получим:
PV = 100 долл. х (1/1,1+1/1,1 2 + 1/1,1) 3
Полученный результат является приведенной стоимостью аннуитета и равняется 348,69 долл. Коэффициент, на который умножали платежи по 100 долл., -- это приведенная стоимость обычного трехлетнего аннуитета величиной в 1 долл., при процентной ставке 10%. Табл. 4.5 подтверждает, что 248,69 долл. - это вся сумма, которую вы должны положить на счет для того, чтобы иметь возможность снимать по 100 долл. в год на протяжении последующих трех лет.
Приведем формулу для расчета приведенной стоимости обычного аннуитета в 1 долл. для л периодов при процентной ставке с
Договор пожизненного страхования
Вам 65 лет, и вы подумываете о целесообразности покупки специального договора пожизненного страхования (он тоже называется аннуитет) у страховой компании. За 10000 долл. страховая компания обязуется выплачивать вам по 1000 долл. в год до конца вашей жизни. Если вы можете положить свои деньги на банковский счет под 8% годовых и надеетесь прожить до 80 лет, стоит ли покупать аннуитет? Каков размер процентной ставки, которую вам собирается платить страховая компания? Сколько вам нужно прожить для того, чтобы оправдать покупку аннуитета?
Таблица 4.5. Доказательство того, что вклад в размере 248,69 долл. позволяет вам получать по 100 долл. каждый год на протяжении 3 лет
Проще всего определить целесообразность принятия этого решения об инвестировании на основе расчета приведенной стоимости выплат по договору пожизненного страхования (договор аннуитета) и сравнения полученной суммы со стоимостью аннуитета (10000 долл.). Допустим, что это обычный аннуитет. Тогда ожидается 15 выплат по 1000 долл. каждая, начиная с 66 лет и заканчивая 80 годами. Приведенная стоимость этих 15 платежей при дисконтной ставке 8% годовых составляет 8559,48 долл.
Другими словами, для того, чтобы собрать те же самые 15 годовых платежей по 1000 долл. каждый, было бы достаточно положить 8559,48 долл. на банковский счет, который выплачивает 8% годовых. Следовательно, чистая приведенная стоимость, вложения в аннуитет, составляет:
NPV = 8559,48 долл. - 10000 долл. = -1440,52 долл.
и покупать его не стоит.
Для того чтобы рассчитать предполагаемую процентную ставку по аннуитету, нам необходимо найти дисконтную ставку, благодаря которой Wf этого вклада становится равной нулю. Правильный ответ – 5,56% годовых. Для того чтобы найти данную величину на финансовом калькуляторе, мы вводим значения п, РМТ, РV и рассчитываем i.
Другими словами, если бы банк предложил вам процентную ставку 5,56% годовых, вы могли бы положить сейчас на счет 10000 долл. и снимать по 1000 долл. в год на протяжении последующих 15 лет.
Для того чтобы определить количество лет, которое человек должен прожить для того, чтобы оправдать покупку этого аннуитета, мы должны задать себе следующий вопрос: каково должно быть значение и, чтобы NPV вклада равнялась нулю? Правильный ответ - 21 год. На финансовом калькуляторе мы можем найти эту величину п после того, как введем значения для i, РМТ и PV.
Взгляните на это с другой стороны; если вы проживете 21 год, то страховая компания разорится, обеспечивая вам аннуитетные платежи из расчета предполагаемой ставки в 8% годовых.
Аннуитет – это общепринятый термин, который означает структуру погашения финансового механизма (ежемесячная оплата кредита, процентов и т.д.).
Аннуитетные выплаты структурируются одинаковыми суммами через одинаковое количество времени. График погашения, предоставленный данным способом, имеет определенные отличия от обычного графика погашения, где вся сумма должника направлена на конец срока финансового механизма. При обычном графике построения выплат сначала происходит оплата процентов, а только потом списывается основная сумма долга.
Иными словами, аннуитет представляет собой определенную систему выплаты задолженности, где сумма долга и процентов выплачиваются равномерно в течение всего срока кредитования. Еще аннуитет называют финансовой рентой, что по своей составляющей одно и то же.
Например, если заработная плата работнику начисляется каждый месяц в равном количестве, то данный доход является аннуитетным. При оформлении рассрочки в магазине на какой-либо товар, ежемесячный платеж в банк тоже будет иметь статус аннуитета.
Сумма аннуитетного платежа всегда складывается из основного долга и процентных соотношений. В своем понятии данный термин имеет широкий охват: аннуитетом могут считаться:
Аннуитет всегда устанавливается банковскими организациями индивидуально для каждого клиента. Он бывает двух видов:
Также аннуитет делится на:
При срочном аннуитете средства зачисляются в определенный период, который имеет ограниченное количество времени. Поступление денег характеризуется равными частями и через одинаковый промежуток времени. Расчет данного вида аннуитета происходит по системе наращения или по системе дисконтирования. Дисконтирование – это выявление стоимости выплат при помощи изучения денежных поступлений к определенной временной точке. Проще говоря, это анализ соотношения будущих доходов к их сегодняшней стоимости. Примерами срочных аннуитетов могут быть разного рода платежи за аренду жилья, земли и др.
Бессрочным аннуитетом принято считать равные выплаты через равный промежуток времени в течение долгого срока. Консоль является отличным примером для понимания специфики бессрочного аннуитета. Данные облигации, поддерживаемые государством, имеют срок действия более 30 лет.
Аннуитетные выплаты имеют различие по количеству выплат. Они могут выплачиваться как один раз в год, так и несколько раз в течение года (при срочном аннуитете).
Начисление процентов может происходить один раз в год, несколько раз в год или непрерывно. Этот вопрос всегда решается в индивидуальном порядке между банковской организацией и клиентом.
В зависимости от финансовой ситуации в стране или политики банка, могут устанавливаться:
Для того, чтобы определить сумму равных выплат по кредитованию в течение определенного времени, необходимо рассчитать коэффициент аннуитета, который способен преобразовать единовременную выплату в платежный график.
Для расчета данного коэффициента используется специальная общепринятая формула:
С практической точки зрения могут возникать некоторые расхождения от математического расчета при помощи формулы: для удобства совершения платежа может быть применена система округления суммы выплат или же округление суммы проводится из-за разного числа дней в том или другом месяце. В особенности это касается последнего месяца в графике платежей. По факту, замыкающая список сумма всегда отличается в меньшую сторону на некоторое значение.
Практически всегда при аннуитете платежи производятся в конце отчетного периода – постнумерандо. В данном случае, сумма выплаты за период должна рассчитываться по другой формуле:
Для того, чтобы более детально рассмотреть структуру аннуитетных платежей, стоит решить простую задачку. Например, нужно рассчитать ежемесячную выплату по кредиту сроком на пять лет и с суммой в 30 тысяч рублей под 8% годовых. Выплаты будут осуществляться ежемесячно, то необходимо перевести годовую процентную ставку в месячную. Делается это по довольно простой формуле:
Далее нужно подставить в формулу значения i = 0.00643 и n = 60 (5 лет – это 60 месяцев). Полученный коэффициент нужно умножить на величину кредита – 30000. В итоге получаем, что сумма ежемесячного платежа равна примерно 603 рубля.
Выплата кредитного займа происходит обычно каждый месяц или каждый квартал. При таких выплатах задается годовая процентная ставка i. При условии, что выплаты назначаются постнумерандо m раз в год за n лет, то существует формула, которая отличается от предыдущей формулы повышенной точностью расчета аннуитетного коэффициента:
Указанная формула для расчета коэффициента аннуитетных платежей основывается на наращении величины долговой суммы при помощи сложной процентной формулы. В банковских расчетах имеется еще одна формула для определения коэффициента, которая основывается на наращении величины долговой суммы при помощи простой процентной формулы. Отличительная черта простых и сложных процентов – это отсутствие промежутка в капитализации процентных соотношений. В данном раскладе будет в первую очередь производиться погашение основного долга, а уже после его оплаты пойдет оплата процентов.
Стоит отметить, что выполнять все вышеперечисленные действия собственноручно – это очень долго и трудоемко. Уйдет большое количество времени, чтобы разобраться в одним человеком, а если нужно рассчитать несколько сотен аннуитетов, то ситуация для простого сотрудника банка окажется совершенно невыполнимой. Поэтому при оформлении кредита работники банковских организаций имеют в своем арсенале специальные калькуляторы и программы, где нужно только правильно вписать числовые значения, и они самостоятельно рассчитают график аннуитетных платежей для каждого клиента.
Аннуитетные платежи являются одним из современных способов погашения кредитного долга перед банком. Данный вариант оплаты долгового обязательства не всегда является выгодным для клиента, но отличается повышенным удобством – отсутствует неразбериха «когда платить и в каком количестве». Платеж по кредиту поступает ежемесячно в одно и то же время и в одинаковом денежном эквиваленте. Это огромный плюс для клиента и для банковской организации: нет нужды идти в банк и брать расчетный лист для выявления суммы долга на последующий месяц.
Помимо этого данный способ оплаты кредита предпочтителен для тех лиц, которые имеют невысокий заработок.
Вместе с аннуитетными платежами существует оплата кредитного долга по дифференцированной системе, где выплаты ежемесячно подвергаются перерасчету, потому что происходит оплата части процентов от конечной величины долга клиента. С каждым месяцем после оплаты кредита сумма долга уменьшается и, соответственно, процентная величина также изменяется. Выходит, что каждый месяц необходимо вносить все меньшее количество денег, но первоначальные суммы платежа достаточно высокие и не каждое лицо имеет возможность их вносить.
У данного вида платежей имеется один большой минус: первоначально выплаты строятся с преобладанием процентного эквивалента, т.е. сумма долга строится на 2/3 из процентов, а 1/3 – это сумма долга.
Аннуитет является выгодным банковской организации: сначала банк обезопасит себя, забрав проценты, а потом уже «примет» кредитные деньги.
Если клиент намерен досрочно погасить свой долг, то эту операцию следует произвести до того момента, как будут выплачены проценты. Данная операция практически не будет иметь смысла при погашении «после» — сумму, отданную за проценты, никто не вернет. В таком случае досрочное погашение просто избавит от кредитного обязательства.
Подведя итог, можно сказать, что аннуитет – это хороший выход для заемщиков, которые имеют долговое обязательство и не обладают высоким уровнем дохода. Ведь всегда легче и проще платить раз в месяц одинаковую сумму в один и тот же день.
Под аннуитетом понимают возникающий через равные промежутки времени поток равных сумм средств.
С понятием аннуитета приходится сталкиваться довольно часто, хотя, как показывает практика, большинство людей даже не догадывается о его значении.
Примерами аннуитета являются РАВНЫЕ по размеру ежемесячные платежи по , аренды и , ежегодные взносы в накопительные программы, ежемесячные начисления по по правилам простых и т.п.
Скажем, если в конце каждого года вы получаете от одной конкретной в размере 1000 долл. в течение 10 лет, значит, вы имеете дело с аннуитетом.
Практическая ценность данного понятия заключается в том, что оно позволяет ПОТОКИ денежных средств, причем, главным образом, с точки зрения определения его стоимости.
О будущей стоимости инвестиций мы уже говорили на страницах нашего . Формула, с которой нам приходилось иметь дело, выглядела так:
S n = N*(1+k/100) n , где
S n – будущая стоимость инвестиции,
N – размер первоначального (инвестиции),
Расчет будущей стоимости аннуитета можно производить вручную, с помощью специальных таблиц либо посредством использования инвестиционных калькуляторов.
