В банковской практике существуют различные методы и способы начисления процентов.
Так, в банковской практике применяются простые и сложные проценты.
Простые проценты используются, прежде всего, при краткосрочном кредитовании, когда один раз в квартал или другой срок, определенный договором, производится начисление процентов и выплата их кредитору. Как правило, в настоящее время преимущественно применяется изложенный выше способ. Сумма выплачиваемых процентов (I) за период d рассчитывается по формуле:
где P – сумма вклада (первоначальный долг);
i –размер процентов;
d – срок хранения вклада в днях;
k – количество дней в году.
Сумма вклада с процентами за хранение (S) рассчитывается по формуле:
Срок вклада в годах (n), срок вклада в днях (d) и годовая учетная ставка простых процентов (i) рассчитываются по формулам:
где S – наращенная с процентами сумма вклада;
Общий объем платежей заемщика с учетом основной суммы долга можно также рассчитать по следующей формуле:
где S – сумма выплат по кредиту с учетом первоначального долга;
Р– первоначальный долг;
i –ставка процентов;
n–продолжительность ссуды в годах, либо отношение периода пользования ссудой в днях к применяемой базе (360 или 365 дням).
Очень часто в банковской практике приходится производить операцию, обратную процедуре начисления процентов. Это имеет место, например, в случае обращения дисконтных векселей. В этом случае при определении первоначального долга будет применяться следующая формула:
Предположим, банк выпустил вексель на следующих условиях: вексельная сумма по номиналу 100 млн. руб. сроком на 3 месяца при условии уплаты 120% годовых. Сумма платежа в случае размещения векселя (стоимость покупки) составит:
Особую важность в условиях высокого уровня инфляции приобретает определение реального дохода от депозитных (кредитных) вложений. Сумма вклада с процентами, пересчитанная с учетом инфляции (P t) рассчитывается по формуле:
где t r – уровень инфляции за срок хранения.
Уровень инфляции за срок хранения t r рассчитывается следующим образом:
где mn – количество месяцев в сроке хранения;
t m – месячный уровень инфляции.
Например, при условии, что размер вклада составил 100 тыс. руб. на срок 6 месяцев под 40 % годовых номинальный доход вкладчика составит:
Однако, при условии, что среднемесячный уровень инфляции за период хранения составит 5 %, то сумма реального дохода (пересчитанная с учетом инфляции), который получит вкладчик составит:
Таким образом, через полгода вкладчик получит 120 тыс. руб., покупательная способность которых составит 89750 руб.
В банковской практике возможно использование сложного процента, как правило, при долгосрочном кредитовании, когда начисленные суммы не выплачиваются кредитору до окончания сделки, а увеличивают основную сумму долга. При использовании этого метода размер начисленных средств включается в задолженность и на них продолжает начисляться процент (т.е. проценты начисляются на проценты). Формулу для начисления сложных процентов и определения общей суммы задолженности можно представить в виде:
Наращенная сумма вклада с процентами рассчитывается по следующей формуле:
где S – наращенная сумма вклада с процентами;
n – срок хранения вклада в годах;
m – количество периодов начисления в году;
mn – количество периодов начисления за срок хранения.
Сумма начисленных процентов рассчитывается по формуле:
Рассмотрим условный пример.
Допустим, вкладчик планирует положить в банк на депозит 200 тыс. руб. сроком на 10 месяцев. При этом предлагаются следующие условия хранения:
банк начисляет на вклады 70 % годовых по простой процентной ставке;
банк начисляет проценты на вклады ежемесячно по сложной ставке 60 % годовых (начисленные после первого периода начисления проценты не выплачиваются, а присоединяются к сумме вклада).
Рассчитаем наращенную сумму вклада с процентами по 2-м вариантам:
Таким образом, несмотря на то, что при начислении по простой процентной ставке проценты, начисляемые банком по вкладам, выше (70 % годовых), чем при начислении по сложной процентной ставке (60 % годовых), доход, получаемый вкладчиком при существующих условиях будет больше при использовании второго варианта хранения.
Такие же методы начисления процентов могут использоваться при кредитовании банком своих клиентов. При этом банк должен тщательно анализировать все моменты, которые могут в конечном итоге повлиять на прибыльность банковских операций. Например, необходимо учитывать характер инфляции и в этой связи определять, что целесообразней для банка: либо наращивать сумму долга посредством начисленных, но невостребованных процентов, либо получать ежегодную плату за кредит.
Возможны различные способы начисления процента: они определяются характером измерения количества дней пользования ссудой и продолжительностью года в днях (временной базы для расчета процентов). Так, число дней ссуды может определяться точно или приближенно, когда продолжительность любого полного месяца признается равной 30 дням. Временная база приравнивается либо к фактической продолжительности года (365 или 366 дней) или приближенно к 360 дням. Соответственно, применяют следующие варианты начисления сложных процентов:
1. Точные проценты с фактическим числом дней ссуды; этот способ дает самые точные результаты и применяется многими центральными и крупными коммерческими банками. Он характеризуется тем, что для расчета используется точное число дней ссуды, временная база равняется фактической продолжительности года. Например,
Р – сумма выданного кредита – 100000 руб.,
i – ставка процента – 9% годовых.
K – точное число дней ссуды,
S – наращенная сумма долга.
Тогда, S = 100000 x (1 + 0,09% x 260 дн.: 365 дн.) = 106411 руб.
2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. В этом случае также как и в предыдущем, для расчета берется точное число дней ссуды, но временная база приравнивается к 360 дням. Если срок кредита превышает 360 дней, то сумма начисленных процентов будет больше, чем предусмотрено годовой ставкой (так, если период ссуды равен 364 дням, то 364:360 = 1,011). Рассмотрим данный способ на предложенном выше примере:
S 2 = 100000 x (1 + 0,09% x 260 дн.: 360 дн.) = 106499 руб.
3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Здесь продолжительность ссуды в днях определяется приближенно, временная база равна 360 дням. Считается, что точное число дней ссуды в большинстве случаев больше приближенного, поэтому и размер начисленных процентов с точным числом дней обычно больше, чем с приближенным.
В нашем примере приближенное число дней ссуды равно 257 дням (S 3), учитывая это:
S 3 = 10000 x (1 + 0,09% x 257 дн.: 360 дн.) = 106424 руб.
Практика показывает, что второй способ начисления процентов, а именно, обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды дает несколько больший результат относительно двух других вариантов, что необходимо иметь ввиду кредитору при оформлении ссуды.
Глава 12. Финансовый рынок
Начисление простых процентов (т. е. схема простых процентов) представляет собой метод начисления процентов в течение всего срока займа на первоначальный капитал. Этот метод применяется при обслуживании сберегательных вкладов с ежемесячной выплатой процентов и в тех случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору. Простые проценты используют при выдаче краткосрочных ссуд, предоставляемых на срок до одного года с однократным начислением процентов.
Формула начисления процентного дохода простыми процентами имеет вид:
F = P + I
F = P (1+ nr ),
где F- наращенная сумма;
Р - исходный капитал;
n- срок начисления процентов;
r - ставка процента (выраженная в сотых долях процента).
Тогда процентный доход (I) определяется по формуле
I = Р * n * r .
Когда продолжительность n финансовой операции меньше года, процентный доход обычно определяется по формуле
I = P * t / T * r
где t - продолжительность финансовой операции в днях;
Т - количество дней в году.
При определении продолжительности финансовой операции принято день выдачи и день погашения ссуды считать за один день. В зависимости от того, чему равной берется продолжительность года (квартала, месяца), получают два варианта процентов:
- точные проценты, определяемые исходя из точного числа дней в году (365 или 366), в квартале (от 89 до 92), в месяце (от 28 до 31);
- обыкновенные проценты, определяемые исходя из приближенного числа дней в году, квартале и месяце (соответственно 360, 90, 30 дней).
При определении продолжительности периода, на который выдана ссуда, также возможны два варианта расчетов:
1) при первом принимается в расчет точное число дней кредитования (расчет ведется по дням);
2) при втором принимается в расчет приблизительное число дней кредитования (исходя из продолжительности месяца в 30 дней).
В банках при обслуживании текущих счетов для начисления процентов часто используют такие величины, как процентное число и дивизор
Процентное число рассчитывается как : k = P t / 100
Дивизор рассчитывается как : D = T / r
Тогда процентный доход можно определить следующим образом:
I = сумма (k ) / D
Обычно сумма на счете часто меняется в результате поступлений или изъятий денежных сумм. Для того чтобы найти общую величину начисленных процентов за некоторый срок, вначале определяют процентные числа за каждый промежуток времени, когда сумма на счете не менялась. Затем все процентные числа складываются и полученное значение делится на дивизор.
Начисление сложных процентов.
Сложные проценты (или «проценты на проценты») – это метод расчета дохода кредитора, при котором процентный платеж в каждом расчетном периоде добавляется к капиталу предыдущего периода, а в следующем периоде проценты начисляются уже на наращенный капитал.
В этом случае происходит капитализация процентов, т. е. присоединение начисленных процентов к их базе и, следовательно, база, с которой начисляются проценты, все время возрастает.
Если процентный платеж начисляется и добавляется к капиталу один раз в год, то считается, что капитализация является годовой.
Если процентный платеж начисляется и добавляется к капиталу каждые 6 месяцев, то это называется полугодовой капитализацией.
Начисление сложных процентов и их капитализация может производится поквартально, каждый месяц и т.д.
Существуют два способа начисления сложных процентов: антисипативное (предварительное) и декурсивное (последующее).
Антисипативное начисление сложных процентов – это начисление процентов в начале каждого расчетного периода. Этот способ используется в период высокой инфляции.
Декурсивное начисление сложных процентов – это начисление процентов в конце каждого расчетного периода. Это наиболее распространенный способ начисления сложных процентов.
При декурсивном способе расчета конечная стоимость капитала может быть рассчитана по следующей формуле:
F n = P * (1 + r ) n
где F n - конечная стоимость капитала
P - первоначальная стоимость капитала
r – процентная ставка, выраженная в десятичных дробях
n – число периодов начисления
Величина (1 + r) называется декурсивным коэффициентом, а n–я степень этого коэффициента – коэффициентом наращивания.
Совокупный процентный платеж при декурсивном начислении можно рассчитать по следующей формуле:
I = P * [ (1 + r ) n – 1]
Тема 1. Методы начисления
банковских процентов
Банк это кредитное учреждение, созданное для привлечения денежных средств от юридических и физических лиц и размещение их от своего имени на условиях возвратности, платности и срочности, а также осуществления иных банковских операций.
В структуре средств банков основную часть занимают привлеченные средства. Обычно величина собственного капитала коммерческих банков составляет менее 10% от общей суммы ресурсов.
Привлеченные средства банков можно подразделить на две категории:
За использование кредитных ресурсов банки выплачивают их владельцам доход в виде процентов, который является для банков процентными расходами.
Проценты (процентные деньги) это сумма доходов от предоставления денег в долг в различных формах (открытие депозитных счетов, выдача кредитов, покупка облигаций и др.). Сумма начисленных процентов зависит от суммы долга, срока его выплаты и процентной ставки. Процентные ставки могут выплачиваться по мере их начисления или присоединяться к сумме долга.
В зависимости от способа начисления, проценты делятся на простые и сложные.
Простые проценты это метод начисления, при котором сумма процентов определяется в течение всего периода, исходя из первоначальной величины долга, независимо от количества периодов начисления и их длительности.
Простые проценты начисляются по формуле:
, | (1) |
С первоначальная (исходная) сумма вклада (долга);
Т период, в течение которого происходило начисление (в днях);
Т год количество дней в году. Принимается равным 360 или 365 (в зависимости от метода определения Т);
К норма доходности (ставка процентов по вкладам).
Сложные проценты метод расчета процентов, при котором начисления происходят на первоначальную сумму вклада (долга) и на прирост вклада (долга), т.е. сумму процентов, начисленных после первого периода начисления. Таким образом, база для начисления сложных процентов (в отличие от простых) будет увеличиваться с каждым периодом начисления.
Суть сложных процентов в том, что происходит начисление процента на процент.
Формула сложных процентов имеет следующий вид:
ΔТ остаток периода в годах.
Начисление смешанных процентов даeт более точный результат, в то время как при сложных процентах итог приближeнный.
Одним из важнейших свойств денежных потоков является их распределение во времени. С помощью ставки процентов может быть определена как будущая стоимость "сегодняшних" денег (например, если их собираются ссудить), так и настоящая (современная, текущая) стоимость "завтрашних" денег например, тех, которыми обещают расплатиться через год после поставки товаров или оказания услуг. В первом случае речь идeт об операции наращения (начисления), поэтому будущую стоимость денег часто называют наращенной. Во втором случае выполняется дисконтирование или приведение будущей стоимости к еe современной величине (текущему моменту). Такая стоимость денег называется дисконтированной, приведенной или текущей.
Процентная ставка К показывает степень интенсивности изменения стоимости денег во времени и определяется делением процентного дохода на первоначальную сумму.
Процентную ставку используют при определении прироста текущей стоимости, таким образом, К своего рода "наценка".
Наращивание первоначальной суммы с использованием процентной ставки называется декурсивным методом начисления процентов.
Кроме процентной ставки, существует учетная ставка (или ставка дисконта) К уч. Она равна отношению процентного дохода к конечной сумме.
Ставку дисконта используют при определении снижения будущей стоимости, то есть К уч "скидка" biskont (немец.) скидка.
Тем не менее, иногда по учетной ставке производят наращение стоимости. Начисление процентов с применением ставки дисконта (учетной ставки) называется антисипативным методом .
С помощью рассмотренных ставок могут начисляться простые и сложные проценты.
Начисление простых декурсивных процентов:
Начисление сложных декурсивных процентов:
В России в настоящий момент в основном применяется декурсивный метод начисления процентов. Антисипативным методом обычно пользуются в технических целях, например, для определения суммы, дисконтирование которой по заданным учетной ставке и сроку, даст искомый результат.
В международной банковской практике количество дней в году и в месяцах определяется по-разному.
В германской (коммерческой) практике расчет числа дней основывается на длительности года в 360 дней и месяцев в 30 дней. Сокращенно суть данного метода можно записать:
12 месяцев по 30 дней = 360 / количество дней в году 360
Во французской практике длительность года принимается равной 360 дням, количество дней в месяце соответствует их фактической календарной длительности (28, 29, 30, 31 день).
365 / 360
В английской практике Т год = 365 (366) дней, продолжительность каждого месяца фактическая.
365 / 365
Исчисляемые по германской базе проценты называются обыкновенными или коммерческими, по английской точными.
Обыкновенные проценты (360/360) более удобно использовать при расчетах. Этим объясняется популярность их применения на практике в большинстве развитых стран, включая США.
В России применяются как обыкновенные (360/360), так и точные проценты (365/365). Точные используются в официальных методиках ЦБР и МФ РФ для расчета доходности по государственным обязательствам. Обыкновенные проценты применяются в основном при проведении операций с векселями.
При определении количества дней для начисления процентов необходимо учесть, что в банках принято день приeма и день выдачи вклада (долга) считать за 1 день.
Привлечение ресурсов осуществляется банками посредством депозитных операций.
Депозиты (вклады) подразделяются на:
Депозиты до востребования представляют собой средства, которые могут быть востребованы в любой момент без предварительного уведомления банка со стороны клиента. На эти счета денежные средства вносятся или изымаются как частями, так и полностью без ограничений.
Срочные вклады это депозиты, привлекаемые банками на определeнный срок.
На срочных депозитах начисление процентов происходит с использованием ранее рассмотренных формул.
На бессрочных вкладах сумма не постоянна. Поэтому в банках для начисления процентов используют методику с определением процентных чисел. Суть данного метода состоит в том, что при изменении сумму на счете общая сумма процентов за весь срок хранения вклада составляет сумму процентов, начисленных для каждого периода начисления, в котором сумма на счете была постоянна.
Процентное число определяется по формуле:
Т количество дней в году (зависит от метода определения Т);
К годовая ставка процентов.
Существует два вида процентных ставок:
Фиксированная это неизменная процентная ставка на весь период хранения вклада или действия кредитного соглашения.
Плавающая это ставка процентов, изменяющаяся в течение периода. С использованием плавающей ставки могут начисляться простые и сложные проценты.
Конечная сумма, полученная вкладчиком при начислении сложных процентов по плавающей ставке, определяется:
Т1, Т2, Тn периоды, в течение которых действуют соответствующие ставки К 1 , К 2 , К n .
Начисление простых процентов с применением плавающей ставки осуществляется по формуле:
Сложные проценты могут начисляться несколько раз в году (например, по месяцам, по кварталам, по полугодиям). В этих случаях необходимо задавать ставку процентов за период, или годовую ставку процентов, на основе которой будет определяться ставка процентов за период начисления (номинальную ставку процентов).
Сумма вклада с процентами будет определяться:
m количество периодов начисления за год;
T·m количество периодов начисления в течение срока хранения вклада.
Вкладчик может открывать депозитный счет и вносить на него регулярно одинаковые суммы через одинаковые периоды. Тогда размер начисленных процентов на средства клиента зависит от того:
Если ежегодно в конце каждого года в течение нескольких лет на депозитный счет будет поступать одинаковая сумма, а проценты на хранящуюся сумму будут начисляться по сложной ставке, то при закрытии счета вкладчик получит:
А размер ежегодных взносов;
К процентная ставка по вкладам;
Т срок хранения вклада (в годах).
Если одинаковые суммы будут поступать на депозит в начале каждого года, то сумма накоплений за несколько лет определяется:
Если клиент производит взносы на депозитный счет несколько раз в году в начале каждого расчетного периода, и на них начисляются сложные проценты несколько раз в год, то конечная сумма, полученная вкладчиком, определяется:
р количество взносов в году;
m количество начислений сложных процентов в год;
Т срок хранения вклада в годах;
К процентная ставка.
Если взносы будут поступать на счет несколько раз в год в конце расчетных периодов (в конце каждого месяца, квартала и т.д.) и на сумму на счете несколько раз в год будут начисляться сложные проценты, то по истечению всего срока хранения вклада клиент получит сумму:
Таким образом, получение и погашение долгосрочного кредита, погашение различных видов задолженности, денежные показатели инвестиционного процесса предусматривают не отдельные разовые платежи, а множество распределeнных во времени выплат и поступлений, называемых потоком платежей. Специальный поток платежей, в котором временные интервалы между двумя последовательными равными платежами постоянны, называется финансовой рентой или аннуитетом. Финансовая рента возникает, например, при выплате процентов по облигациям либо при погашении потребительского кредита.
Депозитный (сберегательный) сертификат ценная бумага, удостоверяющая о том, что у еe держателя открыт срочный депозит в банке. Сертификат даeт право на получение по истечении установленного срока суммы вклада и указанных в нeм процентов.
Если в качестве вкладчика выступает юридическое лицо, то оформляется депозитный сертификат (ДС), если физическое лицо сберегательный (СС). При этом владельцем депозитного сертификата могут быть юридические лица, зарегистрированные на территории Российской Федерации или иного государства, использующего рубль в качестве официальной денежной единицы.
Депозитные и сберегательные сертификаты могут выпускаться только банками. В настоящий момент существуют определeнные ограничения по составу коммерческих банков, которые могут эмитировать сберегательные сертификаты.
Срок обращения депозитных сертификатов ограничивается одним годом. Все расчеты по ним происходят в безналичном порядке. Срок обращения сберегательных сертификатов не может превышать трeх лет, расчеты по ним могут происходить как в наличной, так и безналичной формах.
Депозитные сертификаты имеют ряд существенных преимуществ перед срочными депозитами:
Депозитные сертификаты по способу получения дохода их владельцами подразделяются на два вида процентные и дисконтные. По процентным депозитным сертификатам начисляются простые проценты аналогично их начислению по депозитным счетам (формула 1).
Депозитные сертификаты дисконтного типа продаются по цене ниже номинала, а погашаются по номиналу. Доходы владельца ДС определяются как разница (дисконт) между номиналом сертификата и ценой его покупки. Расчет цены осуществляется с применением формулы дисконтирования по простой ставке процентов.
Расчет дохода по сберегательным сертификатам со сроком обращения до 1 года происходит с применением формулы простых процентов. При этом начисляются точные проценты.
Если срок депозита превышает 1 год, то начисляются сложные проценты. Таким образом, определяется доход по сберегательным сертификатам Сберегательного банка РФ.
Если инвестор покупает сертификат не у эмитента, а на вторичном рынке и через некоторое время вновь продаeт его, то цена продажи определяется:
Р 2 сумма продажи сертификата;
Т период владения сертификатом в днях;
К процентная ставка по данному вложению.
Тогда доходность этой операции инвестора составит:
Если инвестор, купив сертификат у эмитента, не дожидается его погашения, а перепродаeт его через определeнный период времени на вторичном рынке другому инвестору, то цена покупки сертификата у первого инвестора определяется:
С номинал сертификата;
Т общее время обращения сертификата в днях;
Т пог время, оставшееся для погашения сертификата;
КЭ процентная ставка, установленная при эмиссии сертификата;
К инв доходность вложений в сертификат последующего инвестора.
Доходность вложений в сертификат для первого инвестора можно вычислить следующим образом:
Т год количество дней в году;
Т 1 время владения сертификатом первым инвестором.
Обратной операцией по отношению к начислению процентов является расчет современной стоимости будущих денег дисконтирование.
В зависимости от того, какая ставка (процентная или учетная) применяется для дисконтирования, различают два его типа:
При математическом дисконтировании используются простая и сложная процентные ставки. Расчеты выполняются по формулам:
С = Б / (1 + К), | (23) |
Вексель это ценная бумага установленной формы, содержащая безусловное денежное обязательство. Вексель является объектом купли-продажи, и его цена меняется в зависимости от изменения учетной ставки и оставшегося срока до платежа по векселю. На векселе указывается срок платежа, место платежа, наименование того, кому, или по приказу кого платеж должен быть совершен, указаны дата и место составления векселя, имеется подпись лица, выдавшего документ.
Простой вексель (соло-вексель) это ничем не обусловленное бесспорное обещание должника уплатить определeнную сумму по истечении срока векселя.
Переводной вексель (тратта) это письменное требование уплатить определeнную сумму. Выдача переводного векселя называется трассированием. Лицо, которое выписывает вексель трассант; лицо, на которое выдан вексель, и которое должно произвести по нему платeж трассат; лицо, на имя которого должник должен произвести платeж ремитент.
Характерной деятельностью банков является учeт векселей. Владелец (простого или переводного) векселя может не ждать наступления срока платежа по векселю, а продать, а продать вексель банку, т.е. учесть вексель. Банк хранит вексель и при наступлении назначенного срока предъявляет его к платежу. За свою услугу банк удержит с продавца векселя определeнный процент от вексельной суммы за еe досрочное получение. Этот процент называется дисконт. Для определения цены и суммы дисконта используется учeтная ставка.
Дисконт по учeту векселей рассчитывается по формуле:
Т период в днях с момента принятия векселя к учeту до его погашения;
К уч учeтная ставка банка (в процентах).
Цена, по которой векселедержатель продаeт вексель банку, определяется как разница между номиналом векселя и суммой дисконта.
На размер процентных ставок коммерческих банков большое влияние оказывает уровень инфляции, приводящий к обесцениванию денежных доходов. Если рост инфляции выше роста доходов вкладчиков, определяемых предлагаемыми банком процентными ставками, вкладчики могут выбрать более доходный источник инвестирования своих временно свободных денежных средств. При количественной оценке инфляции используют два показателя уровень и индекс инфляции.
Уровень инфляции (U Т) показывает, на сколько процентов выросли цены за рассматриваемый период времени. Индекс инфляции (I Т) показывает, во сколько раз выросли цены за этот же период времени. Индекс можно выразить следующим образом:
Б сумма, выданная банком клиенту в день закрытия депозитного счета;
I Т индекс инфляции за период Т.
Существует два принципиально разных способа начисления процентов: декурсивный и антисипативный.
При декурсивном способе проценты начисляются в конце каждого интервала начисления, исходя из суммы капитала, предоставленного на начало временного интервала. Декурсивная процентная ставка (i ) называется ссудным процентом и определяется по формуле:
i = I / PV,
где I PV – сумма денег на начало временного интервала.
При антисипативном способе начисления процентов они начисляются в начале каждого интервала начисления, исходя из наращенной суммы денег на конец интервала (включающей капитал и проценты). Антисипативная процентная ставка (d ) называется учетной ставкой и определяется по формуле:
d = I / FV ,
где I – процентный доход за определенный временной интервал; FV – наращенная сумма денег на конец временного интервала.
На практике наибольшее распространение получил декурсивный способ начисления процентов. Антисипативный способ применяется в операциях учета векселей и других денежных обязательств. Сумма денег на конец интервала начисления считается величиной получаемого кредита. Так как проценты начисляются в начале временного интервала, то заемщик получает сумму кредита за вычетом процентов. Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке или банковским учетом. Дисконт – это разница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой, то есть доход, полученный банком по учетной ставке.
Как при декурсивном, так и при антисипативном способах могут использоваться схемы начисления простых и сложных процентов. При использовании схемы простых процентов они начисляются на сумму первоначального вклада. Сложный процент предполагает капитализацию процентов, то есть начисление «процентов на проценты».
С точки зрения кредитора, при проведении финансовых операций краткосрочного характера (менее года) более выгодна схема простых процентов, а при долгосрочных операциях (более года) – схема сложных процентов. При долгосрочных операциях с дробным числом лет выгодна так называемая смешанная схема, когда в течение целого числа лет начисляются сложные проценты, а в течение дробной части года – простые проценты.
В табл. систематизированы формулы определения наращенной суммы денег, то есть будущей стоимости вклада, при декурсивном и антисипативном способах начисления процентов. При этом использованы следующие обозначения:
FV – будущая (наращенная) сумма денег;
PV – настоящая (текущая) сумма денег;
i – ставка ссудного процента;
d – учетная ставка;
n – число лет в интервале начисления процентов;
m – число внутригодовых начислений процентов;
t – продолжительность интервала начисления процентов при краткосрочных операциях, дней;
T – продолжительность года, дней;
w – целое число лет в интервале начисления;
f – дробная часть года в интервале начисления.
Таблица
Формулы расчета наращенной суммы денег при различных условиях начисления процентов
Условия начисления процентов | Способ начисления процентов | |
Декурсивный | Антисипативный | |
простой процент, целое число лет в интервале начисления | FV = PV´ (1 + in) | FV = PV / (1 – dn) |
сложный процент, целое число лет в интервале начисления | FV = PV´ (1 + i) n | FV = PV / (1 – d) n |
простой процент, срок операции менее года | ||
смешанная схема начисления процентов при дробном числе лет в интервале начисления | FV = PV´ (1 + i) w (1 + if) | FV = PV / [(1 – d) w (1 + if)] |
сложный процент, внутригодовые начисления с целым числом лет в интервале начисления процентов | FV = PV´(1 +i/m) nm | FV = PV / (1 –d/m) nm |
Виды процентных ставок и способы начисления процентов. Простые проценты.
Основным свойством денег является их временная ценность, связанная с
− наличием инфляции,
− обращением капитала.
Деньги, относящиеся к различным моментам времени, неравноценны, например, сегодняшние деньги ценнее будущих, а будущие, в свою очередь, менее ценны, чем сегодняшние при равенстве их сумм.
Предмет финансовой математики – это специальные модели и алгоритмы, связанные с проблемой «деньги – время» и позволяющие оценить будущие доходы с позиции текущего момента.
Основными задачами финансовой математики являются:
− измерение конечных результатов финансовой операции;
− разработка планов выполнения финансовых операций;
− оценка зависимости конечных результатов операции от ее условий;
− определение допустимых критических значений параметров операции и расчет параметров эквивалентного (безубыточного) изменения первоначальных условий финансовой операции.
Любая финансовая операция, инвестиционный проект или коммерческое соглашение предполагают наличие ряда условий их выполнения, с которыми согласны участвующие стороны.
К таким условиям относятся следующие количественные данные:
− денежные суммы,
− временные параметры,
− процентные ставки.
Под процентами, понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой его форме: выдача ссуды, продажа товара в кредит, помещение денег на депозитный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облигации и т.д.
Под процентной ставкой понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени – отношение дохода (процентных денег) к сумме долга.
Она измеряется в процентах. При выполнении расчетов процентные ставки обычно измеряются в десятичных дробях.
Временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, называют периодом начисления. В качестве такого периода принимают год, полугодие, квартал, месяц или даже день. Чаще всего на практике имеют дело с годовыми ставками.
Проценты согласно договоренности между кредитором и заемщиком выплачиваются по мере их начисления или присоединяются к основной сумме долга (капитализация процентов).
Процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов называют наращениемэтой суммы.
Возможно определение процентов и при движении во времени в обратном направлении – от будущего к настоящему. В этом случае сумма денег, относящаяся к будущему, уменьшается на величину соответствующего дисконта(скидки). Такой способ называют дисконтированием(сокращением).
Размер процентной ставки зависит от:
− общего состояния экономики, в том числе денежно-кредитного рынка;
− кратковременных и долгосрочных ожиданий его динамики; вида сделки, ее валюты; срока кредита;
− особенностей заемщика (его надежности) и кредитора, истории их предыдущих отношении и т. д.
Простые проценты
Под наращенной суммойссуды (депозита, инвестированных средств, платежного обязательства и т.п.) понимается ее первоначальная сумма с начисленными на нее процентами к концу срока наращения.Величина наращенной суммы представляет собой произведение первоначальной суммы ссуды на множитель наращения, который показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной.В зависимости от применяемой процентной ставки и условий наращения формула расчета множителя наращения записывается по-разному.
Например, для наращения по простым процентам наращенная сумма (S) будет рассчитываться так:
где Р – первоначальная сумма ссуды, ден. ед.; п –срок ссуды (а днях, месяцах, годах и т. п.); i – ставка наращения (простая постоянная), ед.
Выражение (1 + ni) называется множителем наращения.
В финансово-экономических расчетах срок ссуды обычно измеряется годами, поэтому значение ставки наращения i есть значение годовой ставки процентов. Проценты, начисленные за весь срок ссуды, в этом случае составят:
,
где I – процентная сумма (величина дохода), ден. ед.
Представленная выше формула называется формулой простых процентов, а величину I можно определить как процентный доход, или процентные деньги (проценты).
В практической работе банки, коммерческие организации, финансовые институты и т.п. используют различные способы изменения числа дней ссуды (t) и продолжительности года (временной базыдля расчета процентов) в днях (К).В зависимости от того, как определяются величины t и К– точно, или приблизительно применяются следующие варианты («практики», «системы») начисления простых процентов.
1. Точные проценты с фактическим числом дней ссуды(так называемая «английская» практика).Этот вариант дает самые точные результаты и применяется многими центральными и крупными коммерческими банками мира. В этом случае K=365 дням, а в месяцах 28, 29, 30 и 31 день.
2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды(так называемая «французская»практика или банковский метод).Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов.Так, если число дней ссуды превышает 360, то данный способ измерения времени приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой. Например, при t = 363 дням, n=363:З60=1,0083, а множитель наращения за этот период будет равен: 1+1,0083*i.
3.Обыкновенные проценты с приближенным числом днейссуды («германская»практика). Подсчет числа дней в этом варианте базируется на годе в 360 дней и месяцах по 30 дней. Поскольку точное число дней ссуды в большинстве случаев больше приближенного, то проценты с точным числом дней обычно больше, чем с приближенным, a следовательно, и наращенная сумма по процентам с точным числом дней обычно выше.
Наращение суммы в случае изменения простой процентной ставки в течение срока ссуды.На практике часто встречается ситуация, когда кредитные договоры (соглашения) предусматривают изменение процентной ставки в течение срока ссуды (например, в связи с изменением ставки рефинансирования; желанием банка учесть темп инфляции и т. д.). При этом годовая ставка процентов, указанная в кредитном договоре, носит название номинальной.В этом случае наращенная сумма будет исчисляться следующим образом:
где i t , – ставка простых процентов в периоде t; t=l,2,...,m; ед.;
n t , – продолжительность периода; лет;
т – число периодов, ед.
Наращение суммы при реинвестировании.В целях повышения заинтересованности вкладчиков и быстрого привлечения дополнительных денежных средств, например, в кратко- и среднесрочные депозиты, банки и финансовые компании могут предлагать производить своим клиентам неоднократное наращение вложенной суммы в пределах общего срока займа, т.е. реинвестировать ее. Иными словами, реинвестирование предполагает присоединение начисленных процентов к исходной (первоначальной) сумме и начисление процентов уже на возросшую сумму, и так несколько раз за период.При таком реинвестировании наращенная сумма рассчитывается по формуле:
где n 1 ,n 2 ,...n t – продолжительность периодов наращения, лет;
причем (общий срок сделки);
i 1 , i 2 , … i t , – ставки реинвестирования, ед.
В частном случае, когда и , т.е. когда периоды начисления и ставки процентов равны формула принимает
,
где m – число операций реинвестирования, ед.
Пример 1.1. На сумму вклада в размере 50 тыс. р. в течение месяца начисляются простые проценты по ставке 24% годовых. Какова будет наращенная сумма, если эта операция будет повторена в течение 6 мес. текущего года (т.е. при реинвестировании этой суммы шесть раз) при расчете точных процентов с фактическим числом дней ссуды с 1 -го марта?
По условиям примера Р = 50 тыс. р.; i = 0,24. Точное число дней не високосного года, начиная с марта и заканчивая августом составит: 31+30+31+30+31->-31=184 дня.
По формуле получаем:
Пример 1.2. Потенциальный клиент ряда надежных и расположенных в пределах его пешеходной доступности банков города имеет временно свободные денежные средства в размере 10 тыс. р. и хотел бы поместить их на депозитный счет сроком на 1 год. Первый банк (банк А) предлагает ему сделать вклад на условиях ежеквартального начисления по ставке 20% годовых и капитализации (реинвестирования) процентов. Второй банк (банк Б) на следующих условиях: начисление на вклад по ставке 24% годовых дважды в год с капитализацией процентов. Банк В предлагает ежемесячное начисление процентов по ставке 20% годовых и капитализацией начисленных процентов. И, наконец, банк Г предлагает сделать вклад на условиях начисления 25% годовых без капитализации процентов и начисления их в конце срока вклада.
В каком из банков вкладчик может получить наибольшую сумму по окончании срока договора?
По условиям примера Р = 10тыс. р.; i 1 = 20% ; i 2 = 24% ; i 3 = 20%; i 4 = 25%. Учитывая, что начисление процентов происходит ежеквартально, по полугодиям и ежемесячно с капитализацией, и только в банке Г – в конце года (без реинвестирования), по формуле и получим (тыс. р.):
Наращенная сумма при вкладах в конце и в начале каждого года.
Довольно часто по условиям договоров вклада депозитных договоров банки предусматривают возможность довложения определенной (часто – не выше первоначальной) денежной суммы.
В случае если вклады делаются в конце каждого года, то наращенная сумма составит:
где m – число вкладов, ед.; D – величина вклада, ден. ед.
Если вклады по своей величине равны, т.е. D 1 =D 2 =D 3 =D m ,
Т о формулу можно записать так:
,
или, учитывая, что ,
можно окончательно написать: .
Очевидно, что наращение по ставке простых процентов в случае, когда довложения делаются в начале года, существенно выгоднее по сравнению в довложениями в конце года.Это происходит потому, что в первом случае увеличивается на один год наращения.
Расчет суммы необходимого депозита при ежегодных выплатах. Довольно часто (особенно при работе с клиентами – пенсионерами, со вкладами на несовершеннолетних и т.п.) работники банка, работающие со вкладами населения, сталкиваются с задачей определения необходимой первоначальной суммы вклада (депозита) клиента, который смог бы обеспечить ему определенные ежегодные выплаты в течении n лет по заранее оговоренной ставке процентов. В общем случае эта задача сводится к решению задачи определения «вечной» ренты, которая подробно будет рассмотрена ниже. Сейчас же рассмотрим ее решение исходя из тех знаний, которые мы уже имеем.
Используя формулу , можно составить следующее уравнение:
где Р 1 ,Р 2 ,…,Р n – определенные ежегодные выплаты, ден, ед.; п – время выплат, лет.
При условии равенства ежегодных выплат, т.е. при P 1 =P 2 = Р 3 = Рn формулу можно преобразовать в выражение следующего вида:
.
Для приближенных, оценочных расчетов величины первоначального вклада можно использовать примерное равенство выражений:
.
Пример 1.3. Рассчитать необходимую первоначальную величину депозита клиента для того, чтобы он имел возможность ежегодно в течении 5 лет получать со своего счета в банке сумму в размере 6 тыс. руб. при начислении простой процентной ставки, равной 30% годовых.
По условиям примера Р=6 тыс. руб.; i n =30%; n=5 лет. Используя формулу , получим (тыс. р.):
Расчет по формуле
дает следующий результат:
Расхождение по сравнению с результатом, полученным по первой формуле, равно – 0,046 тыс. руб., или менее 0,3%. Как видим, расчет по второй формуле дает вполне приемлемый результат.
Расчет срока ссуды и уровня процентной ставки.При подготовке обоснования для получения ссуды и расчета ее эффективности возникает задача определения срока ссуды и уровня процентной ставки при имеющихся прочих условиях. В этом случае срок ссуды может быть определен как в годах, так и в днях:
в годах ;
в днях .
Соответственно и размер процентной ставки может быть определен при исчислений срока ссуды в годах как: ,
а при исчислении срока ссуды в днях так: .
Наращение и равномерная выплата процентов в потребительском кредите. В потребительском кредите, т.е. кредите, как правило, на личные нужды для приобретения товаров (или услуг) проценты начисляются на всю сумму кредита и присоединяются к основному долгу чаще всего уже в момент открытия кредита. Такой подход называется разовым начислением процентов, апогашение долга с процентами в этом случае производится обычно равными суммами на протяжении всего срока кредита. Наращенная сумма долга при таком подходе рассчитывается по формуле , а величина разового погасительного платежа (R) так:
,
где т – число погасительных платежей по кредиту в году, ед.
Заметим, что в связи с тем, что проценты начисляются на первоначальную сумму долга, а фактическая его величина постоянно уменьшается со временем, действительная процентная ставка (по фактически использованному кредиту) оказывается заметно выше, чем ставка по первоначальным договорным условиям.
Вопросы для самопроверки:
1. Что является предметов финансовой математики?
2. Какую роль играет время в финансовых расчетах?
3. Перечислите виды процентных ставок.
4. Что такое наращенная сумма?
5. Что такое дисконтирование?
6. Как определяется величина процентной ставки?
7. Как рассчитывается срок ссуды.
Тема 3.1.-3.2. Понятие эквивалентности процентных ставок. Вывод формул эквивалентности процентных ставок на основе равенства множителей наращения. Принцип финансовой эквивалентности обязательств. Уравнение эквивалентности. Объединение (консолидация) платежей.
Вопросы для рассмотрения:
1. Эквивалентность процентных ставок. Общие принципы.
2. Эквивалентность простой и сложной процентной ставки с начислением процентов 1 раз в год.
3. Эквивалентность простой процентной ставки и сложной с начислением процентов m раз в год.
4. Эквивалентность сложной процентной ставки с начислением процентов 1 раз в год и сложной процентной ставки с начислением процентов m раз в год.
5. Эквивалентность непрерывной процентной ставки и простой процентной ставки.
6. Эквивалентность непрерывной процентной ставки и сложной процентной ставки с начислением 1 раз в год.
7. Эквивалентность непрерывной процентной ставки и простой процентной ставки с начислением m раз в год.
8. Средняя процентная ставка.
9. Финансовая эквивалентность обязательств.
1. Принцип финансовой эквивалентности обязательств
В финансовой практике часто возникают ситуации, когда необходимо заменить одно обязательство другим, например, с более отдаленным сроком платежа, досрочно погасить задолженность, объединить несколько платежей в один (консолидировать платежи), изменить схему начисления процентов и т. п. Таким общепринятым принципом, на котором базируются изменения условий контрактов, является финансовая эквивалентность обязательств.
Изменение условий контракта основывается на принципе финансовой эквивалентности обязательств , который позволяет сохранить баланс интересов сторон контракта. Этот принцип предполагает неизменность финансовых отношений до и после изменения условий контракта. При изменении способов начисления процентов необходимо учитывать взаимозаменяемость между различными видами процентных ставок.
Эквивалентными называются процентные ставки , которые при замене одной на другую приводят к одинаковым финансовым результатам, т.е. отношения сторон не изменяются в рамках одной финансовой операции.
При изменении условий платежей также необходимо учитывать разновременность платежей, которые производятся в ходе выполнения условий контракта до и после его изменения. Эквивалентными считаются такие платежи , которые оказываются равными после их приведения по заданной процентной ставке к одному моменту времени, либо после приведения одного из них к моменту наступления другого по заданной процентной ставке.
Приведение осуществляется путем дисконтирования (приведение к более ранней дате) или, наоборот, наращения суммы платежа (если эта дата относится к будущему).
Если при изменении условий контракта принцип финансовой эквивалентности не соблюдается, то одна из участвующих сторон терпит ущерб, размер которого можно заранее определить.
2. Эквивалентность процентных ставок
Для нахождения значений эквивалентных процентных ставок следует составлять уравнение эквивалентности.
Эквивалентность простой процентной и простой учетной ставок. Исходные уравнения для вывода эквивалентности
S = P (1 + n ∙ i ) и
Если результаты наращения равны, то получаем уравнение
P (1 + n ∙ i ) = .
Отсюда 1 + n ∙ i =
и .
Для одних и тех же параметров ссуды условие эквивалентности приводит к тому, что d < i . При этом с ростом срока финансовой операции различие между ставками увеличивается.
Пример 1 . Определить простую учетную ставку, эквивалентную ставке обычных процентов 12 % годовых, при наращении за 2 года.
Решение . Параметры задачи: n = 2 года, i = 12 %. Тогда
d = 0,12/(1 + 2 ∙ 0,12) = 0,0968 или 9,7 %.
Следовательно, операция, в которой принята учетная ставка 9,7 %, дает тот же финансовый результат для 2-годичного периода, что и простая ставка 12 % годовых.
Эквивалентность простой и сложной процентных ставок. Наращенные суммы по простой и сложной процентным ставкам равны
и .
Если равны результаты наращения, то уравнение эквивалентности
= .
Отсюда
и .
При начислении процентов m
раз в году аналогично рассуждая, получим:
и
.
Пример 2 . Предполагается поместить капитал на 4 года либо под сложную процентную ставку 20 % годовых с полугодовым начислением процентов, либо под простую процентную ставку 26 % годовых. Найти оптимальный вариант.
Решение . Параметры задачи: n = 4 года, m = 2, i с = 20 %, i п = 26 %. Находим для сложной процентной ставки эквивалентную простую ставку:
0,285 9 или 28,59 %.
Таким образом, эквивалентная сложной ставке, по первому варианту, простая процентная ставка составляет 28,59 % годовых, что выше предлагаемой простой ставки в 26 % годовых по второму варианту. Следовательно, выгоднее разместить капитал по первому варианту, т.е. под 20 % годовых с полугодовым начислением процентов.
Пример 3. По трёхмесячному депозиту назначена ставка 10,2 % годовых. Какую ставку годовых процентов следует назначить на ежемесячные депозиты, чтобы последовательное переоформление этих депозитов привело к такому же результату, что и использование трёхмесячного депозита, если пренебречь двумя днями, которые теряются при переоформлении депозитов (T =360)?
Решение . Приравняем соответствующие множители наращения:
Отсюда получаем, что i = 0,101 1 или 10,11 %.
Простые проценты.
. Из равенства: получаем: , где i – простая ставка процентов, характеризующая требуемую реальную доходность финансовой операции (нетто-ставка); i τ – процентная ставка с поправкой на инфляцию.
Это ставка, скорректированная на инфляцию, называется брутто-ставкой.
Сложные проценты.
Проценты 1 раз в год:
Наращенная сумма при отсутствии инфляции равна , а ее эквивалент в условиях инфляции равен . Из равенства: получаем:
из которой можно сравнивать уровни процентной ставки и инфляции, проводить анализ эффективности вложений и устанавливать реальный прирост вложенного капитала.
Проценты m раз в год:
При начислении процентов несколько раз в год:
.
Эти модели позволяют производить учет инфляции и корректировку процентных ставок.
Годовая ставка сложных процентов, обеспечивающая реальную доходность кредитной операции, определяется по формуле Фишера, связывает три показателя:
R – номинальная процентная ставка, α – уровень инфляции
r – реальная процентная ставка (доходность финансовой операции)
, , .
Пример 4.1. Годовой темп инфляции 20%. Банк рассчитывает получить 10% реального дохода в результате предоставления кредитных ресурсов. Какова номинальная ставка, по которой банк предоставит кредит?
На практике довольно часто довольствуются сравнением i и τ путем вычисления реальной ставки , т.е. уменьшенной ставки доходности на уровень инфляции:
i = (i - τ) / (1 + τ)
Поскольку покупательная способность денег снижается в условиях инфляции, то происходит обесценивание денежных доходов. Поэтому при наращении денег на депозите вкладчик должен сопоставить номинальную процентную ставку, т.е. ставку, указанную в договоре, с величиной индекса потребительских цен.
Вычисление наращенных сумм
Получаем формулу: или, где - уровень инфляции.
Реальная стоимость С суммы S , обесцененная во времени за счет инфляции при индексе цен , рассчитывается по формуле:
Если наращение производится по простой ставке в течение n лет, то . С учетом инфляции реальная стоимость суммы S составит
Для определения реальной покупательской способности, наращенную сумму необходимо привести ее к ценам базового периода:
.
Вследствие начисления процентов происходит увеличение денежных сумм, но их стоимость под влиянием инфляции уменьшается. Поскольку каждая денежная единица обесценивается вследствие инфляции, то в дальнейшем обесцениваются уже обесцененные деньги.
Наращение осуществляется по простым или сложным процентам, но инфляция всегда оценивается по сложному проценту.
Наращенная сумма за n лет с учетом ее обесценивания составит:
, здесь множитель наращения, учитывающий темп инфляции.
− Если темп инфляции больше ставки начисляемых процентов, то полученная наращенная сумма не компенсирует потерю покупательной способности денег. Банковская ставка называется отрицательной.
− Если темп инфляции меньше ставки начисляемых процентов, то наблюдается реальный рост покупательной способности денег. Банковская ставка называется положительной.
− Если темп инфляции равен ставке начисляемых процентов, то покупательная способность наращенной суммы равна покупательной способности первоначальной суммы.
Вопросы для самопроверки:
1. Что такое инфляция? Перечислите виды инфляции.
2. Что такое ИПЦ?
3. С какой целью проводят учет инфляции?
4. Что такое номинальная ставка процента? Чем она отличается от реальной ставки?
5. Что такое финансовая операция?
6. Как измерить реальную доходность финансовой операции?
Тема 5.1.-5.2. Понятия видов потоков платежей и их основные параметры. Понятие финансовой ренты. Основные параметры ренты и их вычисление. Различные виды финансовых рент. Виды переменных рент. Постоянная непрерывная рента. Конверсии рент.
Вопросы для рассмотрения:
1. Ренты. Классификация рент.
2. Наращенная сумма финансовой ренты постнумерандно.
3. Современная величина финансовой ренты постнумерандно.
4. Срок финансовой ренты постнумерандно.
5. Член финансовой ренты постнумерандно.
6. Наращенная сумма и современная величина других типов финансовых рент.
7. Определение параметров других типов финансовых рент.
8. Определение процентной ставки финансовой ренты.
Очень часто в контрактах финансового характера предусматриваются не отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени. Примерами могут быть регулярные выплаты с целью погашения долгосрочного кредита вместе с начисленными на него процентами, периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.), дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам, выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр. Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей . Выплаты представляются отрицательными величинами, а поступления - положительными.
Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная сумма и современная величина. Каждая из этих характеристик является числом.
Наращенная сумма потока платежей - это сумма всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты.
Под современной величиной потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему.
Конкретный смысл этих обобщающих характеристик определяется природой потока платежей, причиной, его порождающей. Например, наращенная сумма может представлять собой итоговый размер формируемого инвестиционного или какого-либо другого фонда, общую сумму задолженности. Современная величина может характеризовать приведенную прибыль, приведенные издержки.
5.1. Понятие финансовой ренты (аннуитета)
Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом .
Финансовая рента имеет следующие параметры: член ренты - величина каждого отдельного платежа, период ренты - временной интервал между двумя соседними платежами, срок ренты - время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода, процентная ставка - ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту, число платежей в году, число начислений процентов в году, моменты платежа внутри периода ренты.
Виды финансовых рент
Классификация рент может быть произведена по различным признакам. Рассмотрим их.
В зависимости от продолжительности периода, ренты делят на годовые и p-срочные, где p - число выплат в году. Довольно часто в практике встречаются ренты, в которые период выплат превышает год и более (например, в инвестиционной деятельности).
По числу начислений процентов различают ренты с начислением один в году, m раз или непрерывно. Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей.
По величине членов различают постоянные (с равными членами)и переменные ренты . Если размеры платежей изменяются по какому-либо математическому закону, то часто появляется возможность вывести стандартные формулы, значительно упрощающие расчеты.
По вероятности выплаты членов различают ренты верные и условные . Верные ренты подлежат безусловной выплате, например, при погашении кредита. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Например, число выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера.
По числу членов различают ренты с конечным числом членов или ограниченные и бесконечные или вечные. В качестве вечной ренты можно рассматривать выплаты по облигационным займам с неограниченными или не фиксированными сроками.
Так, например, с необходимостью учета и расчета вечной ренты приходится сталкиваться при финансовых вычислениях, связанных с инвестированием денежных средств или покупкой финансового инструмента (материального объекта), если период их функционирования (возможного получения дохода) достаточно продолжительный и не оговорен конкретными сроками (отсюда и возможность получения бессрочной, т.е. «вечной» ренты), в качестве примера можно привести инвестирование в ценные бумаги крупнейших транснациональных компаний и государства (при отсутствии срока окончания их обращения), покупку доходных гостиниц, ферм, участков земли, производств и т.п.
В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту ренты подразделяются на немедленные и отложенные или отсроченные . Срок немедленных рент начинается сразу, а у отложенных запаздывает.
Ренты различают по моменту выплаты платежей. Если платежи осуществляются в конце каждого периода – года, полугодия, месяца и т.п., то такие ренты называются обычными или постнумерандо . Если же выплаты производятся в начале каждого периода, то ренты называются пренумерандо . Иногда предусматриваются платежи в середине каждого периода.
постнумерандо(когда платежи осуществляются в конце соответствующих периодов) и ренты пренумерандо(когда соответствующие платежи осуществляются в начале указанных периодов). Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.
Рента пренумерандо отличается от обычной ренты числом периодов начисления процентов. Поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо будет больше наращенной суммы обычной ренты в (1 + i ) раз.
Нечасто, но встречаются на практике и ренты, платежи по которым производятся в середине периодов. Такие ренты называются миннумерандо .Примером такой ренты могут служить, в ряде случаев, авансовые платежи по аренде помещений, а также полугодовые оплаты трат по внешнеторговым контрактам.
Чаще всего в практических финансово-экономических расчетах решается, по существу, двуединая задача определения наращенной суммыили современной величины(стоимости) потока платежей. В данном контексте под современной величиной потока платежей понимается сумма всех его членов, дисконтированных на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей, или упреждающий его. Она может характеризовать капитализированный доход, чистую приведенную прибыль, приведенные издержки, эффективность инвестиций и валютно-финансовых условий внешнеторговых контрактов, доходность вкладов и депозитов и др. финансово-экономических и коммерческих операций.
Формулы наращенной суммы
Обычная годовая рента
Пусть в конце каждого года в течение n лет на расчетный счет вносится по R рублей, проценты начисляются один раз в года по ставке i . В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины , так как на сумму R проценты начислялись в течение n-1 года. Второй взнос увеличится до и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии
В которой первый член равен R , знаменатель (1+i) , число членов n . Эта сумма равна
где - по схеме постнумерандо.
- по схеме пренумерандо. (1.2)
Пример: В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение:
млн. руб.
Обычная годовая рента
Пусть член годовой ренты равен R , процентная ставка i , проценты начисляются один раз в конце года, срок ренты n . Тогда дисконтированная величина первого платежа равна
, где - дисконтный множитель.
Приведенная к началу ренты величина второго платежа равна Rn 2 и т.д. В итоге приведенные величины образуют геометрическую прогрессию: Rn, Rn 2 ,Rn 3 , ..., R n n , сумма которой равна