еонардо из Пизы, известный как Фибоначчи, был первым из великих математиков Европы позднего Средневековья. Будучи рожденным в Пизе в богатой купеческой семье, он пришел в математику благодаря сугубо практической потребности установить деловые контакты. В молодости Леонардо много путешествовал, сопровождая отца в деловых поездках. Например, мы знаем о его длительном пребывании в Византии и на Сицилии. Во время таких поездок он много общался с местными учеными.
Числовой ряд, носящий сегодня его имя, вырос из проблемы с кроликами, которую Фибоначчи изложил в своей книге «Liber abacci», написанной в 1202 году:
Человек посадил пару кроликов в загон, окруженный со всех сторон стеной. Сколько пар кроликов за год может произвести на свет эта пара, если известно, что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара кроликов производит на свет одну пару?
Можете убедиться, что число пар в каждый из двенадцати последующих месяцев месяцев будет соответственно
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
Иными словами, число пар кроликов создает ряд, каждый член в котором - сумма двух предыдущих. Он известен как ряд Фибоначчи , а сами числа - числа Фибоначчи . Оказывается, эта последовательность имеет множество интересных с точки зрения математики свойств. Вот пример: вы можете разделить линию на два сегмента, так что соотношение между большим и меньшим сегментом будет пропорционально соотношению между всей линией и большим сегментом. Этот коэффицент пропорциональности, приблизительно равный 1,618, известен как золотое сечение . В эпоху Возрождения считалось, что именно эта пропорция, соблюденная в архитектурных сооружениях, больше всего радует глаз. Если вы возьмете последовательные пары из ряда Фибоначчи и будете делить большее число из каждой пары на меньшее, ваш результат будет постепенно приближаться к золотому сечению.
С тех пор как Фибоначчи открыл свою последовательность, были найдены даже явления природы, в которых эта последовательность, похоже, играет немаловажную роль. Одно из них - филлотаксис (листорасположение) - правило, по которому располагаются, например, семечки в соцветии подсолнуха. Семечки упорядочены в два ряда спиралей, один из которых идет по часовой стрелке, другой против. И каково же число семян в каждом случае? 34 и 55.
Последовательность Фибоначчи. Если смотреть на листья растения сверху, можно заметить, что они распускаются по спирали. Углы между соседними листьями образуют правильный математический ряд, известный под названием последовательности Фибоначчи. Благодаря этому каждый отдельно взятый лист, растущий на дереве, получает максимально доступное количество тепла и света.
Пирамиды в Мексике
Hе только египетские пиpамиды постpоены в соответствии с совеpшенными пpопоpциями золотого сечения, то же самое явление обнаpужено и у мексиканских пиpамид. Возникает мысль, что как египетские, так и мексиканские пиpамиды были возведены пpиблизительно в одно вpемя людьми общего пpоисхождения.
Hа попеpечном сечении пиpамиды видна фоpма, подобная лестнице.В пеpвом яpусе 16 ступеней, во втоpом 42 ступени и в тpетьем - 68 ступеней.
Эти числа основаны на соотношении Фибоначчи следующим обpазом:
16 x 1.618 = 26
16 + 26 = 42
26 x 1.618 = 42
42 + 26 = 68
После нескольких первых чисел последовательности отношение любого ее члена к последующему приблизительно равно 0,618, а к предшествующему – 1,618. Чем больше порядковый номер члена последовательности, тем ближе отношение к числу фи, являющемуся иррациональным числом и равному 0,618034… Отношение между членами последовательности, разделенными одним числом, примерно равно 0,382, а обратное ему число равно 2,618. На рис. 3-2 приведена таблица соотношений всех чисел Фибоначчи от 1 до 144.
Ф является единственным числом, которое, будучи прибавленным к 1, дает обратное себе число: 1 + 0,618 = 1: 0,618. Это родство процедур сложения и умножения приводит к следующей последовательности уравнений:
Если мы продолжим этот процесс, мы создадим прямоугольники размером 13 на 21, 21 на 34 и так далее.
Теперь проверьте это. Если вы разделите 13 на 8, вы получите 1,625. И если вы разделите большее число на меньшее число, то эти коэффициенты становятся всё ближе и ближе к числу 1.618, известному многим людям как Золотое сечение, числу, которое очаровывало математиков, учёных и художников на протяжении многих веков.
Таблица коэффициентов Фибоначчи
По мере роста новой прогрессии числа образуют третью последовательность, составленную из чисел, прибавленных к произведению четверки и числа Фибоначчи. Это делается возможным в связи с тем. что отношение между членами последовательности, отстоящими друг от друга на две позиции, равно 4.236. где число 0,236 является обратным к 4,236 и. кроме того, разностью между 4,236 и 4. Другие множители приводят к другим последовательностям, все они основаны на коэффициентах Фибоначчи.
1. Никакие из двух последовательных чисел Фибоначчи не имеют общих делителей.
2. Если члены последовательности Фибоначчи пронумеровать как 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и т. д., мы обнаружим, что, за исключением четвертого члена (число 3), номер любого числа Фибоначчи, являющегося простым числом (т. е. не имеющим иных делителей, кроме себя самого и единицы), также является простым чистом. Сходным образом, за исключением четвертого члена последовательности Фибоначчи (число 3), все со ставные номера членов последовательности (то есть те, что имеют как минимум два делителя за исключением себя самого и единицы), соответствуют составным числам Фибоначчи, что и показывает приведенная ниже таблица. Обратное не всегда оказывается верным.
3. Сумма любых десяти членов последовательности делится на одиннадцать.
4. Сумма всех чисел Фибоначчи до определенной точки последовательности плюс единица равна числу Фибоначчи, отстоящему на две позиции от последнего прибавленного числа.
5. Сумма квадратов любых последовательных членов, начинающихся с первой 1, всегда будет равна последнему (из данной выборки) числу последовательности, умноженному на следующий член.
6. Квадрат числа Фибоначчи минус квадрат второго члена последовательности в сторону уменьшения всегда будет числом Фибоначчи.
7. Квадрат любого числа Фибоначчи равен предыдущему члену последовательности, умноженному на следующее число в последовательности, плюс или минус единица. Прибавление и вычитание единицы чередуются по мере развития последовательности.
8. Сумма квадрата числа Fn и квадрата следующего числа Фибоначчи F равна числу Фибоначчи F,. Формула F - + F 2 = F„ , применима к прямоугольным треугольникам, где сумма квадратов двух более коротких сторон равна квадрату самой длинной стороны. Справа приведен пример, использующий F5, F6 и квадратный корень из Fn.
10. Одно из удивительных явлений, которое, насколько нам известно, до сих пор не упоминалось, состоит в том, что отношения между числами Фибоначчи равны числам, очень близким к тысячным долям других чисел Фибоначчи, при разности, равной тысяч ной доле еще одного числа Фибоначчи (см. рис. 3-2). Так, в направлении возрастания отношение двух идентичных чисел Фибоначчи равно 1, или 0,987 плюс 0,013: соседние числа Фибоначчи имеют отношение 1.618. или 1,597 плюс 0,021; числа Фибоначчи, расположенные с двух сторон от некоторого члена последовательности, имеют отношение 2.618, или 2.584 плюс 0,034, и так далее. В обрат ном направлении соседние числа Фибоначчи имеют отношение 0.618. или 0,610 плюс 0,008: числа Фибоначчи, расположенные с двух сторон от некоторого члена последовательности, имеют отношение 0.382, или 0.377 плюс 0,005; числа Фибоначчи между которыми расположены два члена последовательности, имеют отношение 0.236, или 0,233 плюс 0,003: числа Фибоначчи, между которыми расположены три члена последовательности, имеют отношение 0 146. или 0.144 плюс 0,002: числа Фибоначчи, между которыми расположены четыре члена последовательности, имеют отношение 0,090, или 0,089 плюс 0.001: числа Фибоначчи, между которыми расположены пять членов последовательности, имеют отношение 0.056. или 0,055 плюс 0,001; числа Фибоначчи, между которыми расположено от шести до двенадцати членов последовательности, имеют отношения, которые сами являются тысячными долями чисел Фибоначчи, начиная с 0,034. Интересно, что в этом анализе коэффициент, связывающий числа Фибоначчи, между которыми располагаются тринадцать членов последовательности, снова начинает ряд с числа 0.001, с тысячной доли того числа, где он начался! При всех подсчетах мы действительно получаем подобие или «самовоспроизведение в бесконечном ряду», раскрывающее свойства «самой прочной связи среди всех математических отношений».
И, наконец, заметим, что(V5 + 1)/2 = 1.618 и[\^5- 1)/2 = 0.618. где V5 = 2,236. 5 оказывается наиболее важным для волнового принципа числом, а его квадратный корень является математическим ключом к числу ф.
Число 1,618 (или 0,618) известно как золотое отношение, или золотое среднее. Связанная с ним пропорциональность приятна для глаза и уха. Оно проявляется и в биологии, и в музыке, и в живописи, и в архитектуре. В своей статье, вышедшей в декабре 1975 года в журнале Smithsonian Magazine, Вильям Хоффер сказал:
«...Отношение числа 0,618034 к 1 является математической основой формы игральных карт и Парфенона, подсолнуха и морской раковины, греческих ваз и спиральных галактик внешнего космоса. В основании очень многих произведений искусства и архитектуры греков лежит эта пропорция. Они называли ее «золотая середина».
Плодовитые кролики Фибоначчи выскакивают в самых неожиданных местах. Числа Фибоначчи, несомненно, являются частью мистической природной гармонии, которая приятна для ощущений, приятно выглядит и даже звучит приятно. Музыка, к примеру, основана на октаве в восемь нот. На фортепиано это представлено 8 белыми и 5 черными клавишами - в целом 13. Не случайно, что музыкальный интервал, приносящий нашему слуху самое большое наслаждение - это секста. Нота «ми» вибрирует в отношении 0.62500 к ноте «до». Это всего лишь на 0.006966 отстоит от точной золотой середины. Пропорции сексты передают приятные для слуха вибрации улитке среднего уха - органа, который тоже имеет форму логарифмической спирали.
Постоянное возникновение чисел Фибоначчи и золотой спирали в природе точно объясняет, почему отношение 0,618034 к 1 настолько приятно в произведениях искусства. Человек видит в искусстве отражение жизни, которая имеет в основании золотую середину».
Природа использует золотое отношение в своих наиболее совершенных творениях - от таких мелких, как микроизвилины мозга и молекулы ДНК (см. рис. 3 9), до таких крупных, как галактики. Оно проявляется и таких различных явлениях, как рост кристаллов, преломление светового луча в стекле, строение мозга и нервной системы, музыкальные построения, структура растений и животных. Наука предоставляет все больше свидетельств того, что у природы действительно есть главный пропорциональный принцип. Кстати, вы держите эту книгу двумя из своих пяти пальцев, причем каждый палец состоит из трех частей. Итого: пять единиц, каждая из которых делится на три - прогрессия 5-3-5-3, подобная той, что лежит в основе волнового принципа.
Симметричная и пропорциональная форма, способствует наилучшему зрительному восприятию и вызывает ощущение красоты и гармонии. Целостный образ всегда состоит из частей разного размера, находящихся в определённом соотношении друг с другом и целым. Золотое сечение - высшее проявление совершенства целого и его частей в науке, искусстве и природе.
Если на простом примере, то Золотое Сечение - это деление отрезка на две части в таком соотношении, при котором большая часть относится к меньшей, как их сумма (весь отрезок) к большей.
Если мы примем весь отрезок c за 1, то отрезок a будет равен 0,618, отрезок b - 0,382, только так будет соблюдено условие Золотого Сечения (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618). Отношение c к a равно 2,618, а с к b 1,618. Это всё те же, уже знакомые нам, коэффициенты Фибоначчи.
Разумеется есть золотой прямоугольник, золотой треугольник и даже золотой кубоид. Пропорции человеческого тела во многих соотношениях близки к Золотому Сечению.
Но самое интересное начинается, когда мы объединим полученные знания. На рисунке наглядно показана связь между последовательностью Фибоначчи и Золотым сечением. Мы начинаем с двух квадратов первого размера. Сверху добавляем квадрат второго размера. Подрисовываем рядом квадрат со стороной, равной сумме сторон двух предыдущих, третьего размера. По аналогии появляется квадрат пятого размера. И так далее пока не надоест, главное, чтобы длина стороны каждого следующего квадрата равнялась сумме длин сторон двух предыдущих. Мы видим серию прямоугольников, длины сторон, которых являются числами Фибоначчи, и, как не странно, они называются прямоугольниками Фибоначчи.
Если мы проведём плавную линий через углы наших квадратов, то получим ни что иное, как спираль Архимеда, увеличение шага которой всегда равномерно.
Каждый член золотой логарифмической последовательности явлется степенью Золотой Пропорции (z ). Часть ряда выглядит примерно так: ... z -5 ; z -4 ; z -3 ; z -2 ; z -1 ; z 0 ; z 1 ; z 2 ; z 3 ; z 4 ; z 5 ... Если мы округлим значение Золотой пропорции до трёх знаков, то получим z=1,618 , тогда ряд выглядит так: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Каждый следующий член может быть получен не только умножением предыдущего на 1,618 , но и сложением двух предыдущих. Таким образом экспоненциальный рост в последовательности обеспечивается путем простого сложения двух соседних элементов. Это ряд без начала и конца, и именно на него пытается быть похожей последовательность Фибоначчи. Имея вполне определённое начало, она стремится к идеалу, никогда его не достигая. Такова жизнь.
И всё-таки, в связи со всем увиденным и прочитанным, возникают вполне закономерные вопросы:
От куда взялись эти числа? Кто этот архитектор вселенной, попытавшийся сделать её идеальной? Было ли когда-то всё так, как он хотел? И если да, то почему сбилось? Мутации? Свободный выбор? Что же будет дальше? Спираль скручивается или раскручивается?
Найдя ответ на один вопрос, получишь следующий. Разгадаешь его, получишь два новых. Разберёшься с ними, появится ещё три. Решив и их, обзаведёшься пятью нерешёнными. Потом восьмью, потом тринадцатью, 21, 34, 55...
Итальянский математик Леонардо Фибоначчи жил в 13 столетии и одним из первых в Европе стал использовать арабские (индийские) цифры. Он придумал несколько искусственную задачу о кроликах, которых выращивают на ферме, причем все они считаются самками, самцы игнорируются. Кролики начинают размножаться после того, как им исполняется два месяца, а потом каждый месяц рожают по кролику. Кролики никогда не умирают.
Нужно определить, сколько кроликов будет на ферме через n месяцев, если в начальный момент времени был только один новорожденный кролик.
Очевидно, что
фермер имеет одного кролика в первый
месяц и одного кролика – во второй
месяц. На третий месяц будет уже два
кролика, на четвертый – три и т.д.
Обозначим количество кроликов в n
месяце как
.
Таким образом,
,
,
,
,
,
…
Можно построить
алгоритм, позволяющий найти
при любомn
.
Согласно условию
задачи общее количество кроликов
вn
+1
месяце раскладывается на три составляющие:
одномесячные кролики, не способные к размножению, в количестве
;
Таким образом, получим
. (8.1)
Формула (8.1) позволяет вычислить ряд чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, …
Числа в данной последовательности называются числами Фибоначчи .
Если
принять
и
,
то с помощью формулы (8.1) можно определить
все остальные числа Фибоначчи. Формула
(8.1) называется рекуррентной
формулой (recurrence
– «возвращение» на латыни).
Пример 8.1. Предположим, что имеется лестница в n ступенек. Мы можем подниматься по ней с шагом в одну ступеньку, либо – с шагом в две ступеньки. Сколько существует комбинаций различных способов подъема?
Если n = 1, имеется только один вариант решения задачи. Для n = 2 существует 2 варианта: два единичных шага либо один двойной. Для n = 3 существует 3 варианта: три единичных шага, либо один единичный и один двойной, либо один двойной и один единичный.
В следующем случае n = 4, имеем 5 возможностей (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).
Для
того чтобы ответить на заданный вопрос
при произвольном n
,
обозначим количество вариантов как
,
и попробуем определить
по известным
и
.
Если мы стартуем с единичного шага, то
имеем
комбинаций для оставшихсяn
ступенек. Если стартуем с двойного шага,
то имеем
комбинаций для оставшихсяn
–1
ступенек. Общее количество вариантов
для n
+1
ступенек равно
. (8.2)
Полученная
формула как близнец напоминает формулу
(8.1). Тем не менее, это не позволяет
отождествлять количество комбинаций
с числами Фибоначчи
.
Мы видим, например, что
,
но
.
Однако имеет место следующая зависимость:
.
Это
справедливо для n
= 1, 2, и также справедливо для каждого n
.
Числа Фибоначчи и количество комбинаций
вычисляются по одной и той же формуле,
однако начальные значения
,
и
,
у них различаются.
Пример 8.2.
Этотпример имеет
практическое
значение для задач помехоустойчивого
кодирования. Найдем число всех двоичных
слов длины n
,
не содержащих несколько нулей подряд.
Обозначим это число через
.
Очевидно,
,
а слова длины 2, удовлетворяющие нашему
ограничению, таковы: 10, 01, 11, т.е.
.
Пусть
– такое слово изn
символов. Если символ
,
то
может быть произвольным (
)-буквенным
словом, не содержащим несколько нулей
подряд. Значит, число слов с единицей
на конце равно
.
Если же символ
,
то обязательно
,
а первые
символа
могут быть произвольными с учетом
рассматриваемых ограничений. Следовательно,
имеется
слов длины
n
с нулем на конце. Таким образом, общее
число интересующих нас слов равно
.
С учетом того, что
и
,
полученная последовательность чисел
– это числа Фибоначчи.
Пример 8.3.
В
примере 7.6 мы нашли, что число двоичных
слов постоянного веса t
(и длиной k
)
равно
.
Теперь найдем число двоичных слов
постоянного весаt
,
не содержащих несколько нулей подряд.
Рассуждать можно
так. Пусть
число нулей в рассматриваемых словах.
В любом слове имеется
промежутков между ближайшими нулями,
в каждом из которых находится одна или
несколько единиц. Предполагается, что
.
В противном случае нет ни одного слова
без рядом стоящих нулей.
Если из каждого
промежутка удалить ровно по одной
единице, то получим слово длины
,
содержащее
нулей. Любое такое слово может быть
получено указанным образом из некоторого
(и притом только одного)k
-буквенного
слова, содержащего
нулей, никакие два из которых не стоят
рядом. Значит, искомое число совпадает
с числом всех слов длины
,
содержащих ровно
нулей, т.е. равно
.
Пример 8.4.
Докажем,что сумма
равна числам Фибоначчи для любого целого
.
Символ
обозначаетнаименьшее
целое число, большее или равное
.
Например, если
,
то
;
а если
,
то
ceil
(«потолок»). Также встречается символ
,
который обозначаетнаибольшее
целое число, меньшее или равное
.
По-английски эту операцию называютfloor
(«пол»).
Если
,
то
.
Если
,
то
.
Если
,
то
.
Таким образом, для рассмотренных случаев сумма действительно равна числам Фибоначчи. Теперь приведем доказательство для общего случая. Поскольку числа Фибоначчи можно получить с помощью рекуррентного уравнения (8.1), то должно выполняться равенство:
.
И оно действительно выполняется:
Здесь мы использовали
полученную ранее формулу (4.4):
.
Сумма чисел Фибоначчи
Определим сумму первых n чисел Фибоначчи.
0+1+1+2+3+5 = 12,
0+1+1+2+3+5+8 = 20,
0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.
Легко заметить, что прибавлением к правой части каждого уравнения единицы мы снова получаем число Фибоначчи. Общая формула для определения суммы первых n чисел Фибоначчи имеет вид:
Докажем это, используя метод математической индукции. Для этого запишем:
Эта
сумма должна быть равна
.
Сократив левую и правую часть уравнения на –1, получим уравнение (6.1).
Формула для чисел Фибоначчи
Теорема 8.1. Числа Фибоначчи можно рассчитать по формуле
.
Доказательство . Убедимся в справедливости этой формулы для n = 0, 1, а затем докажем справедливость данной формулы для произвольного n по индукции. Вычислим отношение двух ближайших чисел Фибоначчи:
Мы
видим, что отношение этих чисел колеблется
около значения 1.618 (если игнорировать
несколько первых значений). Этим свойством
числа Фибоначчи напоминают члены
геометрической прогрессии. Примем
,
(
).
Тогда выражение
преобразуется в
которое после упрощений выглядит так
.
Мы получили квадратное уравнение, корни которого равны:
Теперь можем записать:
(где
c
является константой). Оба члена 
и
не дают чисел Фибоначчи,
например
,
в то время как
.
Однако разность 
удовлетворяет
рекуррентному уравнению:
Для
n
=0
эта разность дает
,
то есть: 
.
Однако при n
=1
мы имеем 
.
Чтобы получить
,
необходимо принять:
.
Теперь
мы имеем две последовательности: 
и 
,
которые начинаются с одинаковых двух
чисел и удовлетворяют одной и той же
рекуррентной формуле. Они должны быть
равны: 
.
Теорема доказана.
При
возрастании n
член
становится очень большим, в то время
как
,
и роль члена
в разности сокращается.
Поэтому при больших n
приближенно можем записать
.
Мы игнорируем 1/2 (поскольку числа Фибоначчи возрастают до бесконечности при росте n до бесконечности).
Отношение
называется золотым
сечением
,
его используют за пределами математики
(например, в скульптуре и архитектуре).
Золотым сечением является отношение
между диагональю и стороной правильного
пятиугольника
(рис. 8.1).
Рис. 8.1. Правильный пятиугольник и его диагонали
Для обозначения
золотого сечения принято использовать
букву
в честь известного афинского скульптора
Фидия.
Простые числа
Все натуральные числа, большие единицы, распадаются на два класса. К первому относятся числа, имеющие ровно два натуральных делителя, единицу и самого себя, ко второму – все остальные. Числа первого класса называют простыми , а второго – составными . Простые числа в пределах первых трех десятков: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …
Свойства простых чисел и их связь со всеми натуральными числами изучалась Евклидом (3 век до нашей эры). Если выписывать простые числа подряд, то можно заметить, что относительная плотность их убывает. На первый десяток их приходится 4, т. е. 40%, на сотню – 25, т.е. 25%, на тысячу – 168, т.е. меньше 17%, на миллион – 78498, т.е. меньше 8%, и т.д.. Тем не менее, их общее число бесконечно.
Среди простых чисел попадаются пары таких, разность между которыми равна двум (так называемые простые близнецы ), однако конечность или бесконечность таких пар не доказана.
Евклид считал очевидным, что с помощью умножения только простых чисел можно получить все натуральные числа, причем каждое натуральное число представимо в виде произведения простых чисел единственным образом (с точностью до порядка множителей). Таким образом, простые числа образуют мультипликативный базис натурального ряда.
Изучение распределения
простых чисел привело к созданию
алгоритма, позволяющего получать таблицы
простых чисел. Таким алгоритмом является
решето
Эратосфена
(3 век до нашей эры). Этот метод заключается
в отсеивании (например, путем зачеркивания)
тех целых чисел заданной последовательности
,
которые делятся хотя бы на одно из
простых чисел, меньших
.
Теорема 8 . 2 . (теорема Евклида). Число простых чисел бесконечно .
Доказательство . Теорему Евклида о бесконечности числа простых чисел докажем способом, предложенным Леонардом Эйлером (1707–1783). Эйлер рассмотрел произведение по всем простым числам p :
при
.
Это произведение сходится, и если его
раскрыть, то в силу однозначности
разложения натуральных чисел на простые
сомножители получается, что оно равняется
сумме ряда
,
откуда следует тождество Эйлера:
.
Так как при
ряд справа расходится (гармонический
ряд), то из тождества Эйлера следует
теорема Евклида.
Русский математик
П.Л. Чебышев (1821–1894) вывел формулу,
определяющую пределы, в которых заключено
число простых чисел
,
не превосходящихX
:
,
где
,
.
Известная всему миру Теория Фибоначчи была заложена итальянским математиком Леонардо Фибоначчи в 1710 г. После путешествий по миру Леонардо опубликовал книгу "Liber Abacci" ("Книга исчислений"), в которой изложил свою теорию десятичной системы исчислений, не известную в то время в Европе.
В главном научном труде Фибоначчи описана числовая последовательность: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и т.д. Эта теория отражает понятие золотого сечения, известного еще в древние времена. К примеру, каждое число в 1,618 раз больше предыдущего, а каждое предыдущее составляет 0,618 от последующего. Такие числа называются антиподами. Пара 1,618 и 0,618 – единственные в арифметике абсолютные антиподы. Эти открытия широко применяются при анализе рынка Форекс .
Еще один метод – так называемые
"дуги" Фибоначчи
(Fibonacci Arcs). После того, как проведена линия от максимальной точки начала движения до максимальной точки прекращения движения, выстраиваются дуги, которые проводятся в определенных уровнях: 38,2%, 50% и 61,8%. Считается, что эти дуги являются потенциальными показателями уровня поддержки и сопротивления на пресечении точек.
Построение
"вееров" Фибоначчи
(fans) имеет похожий принцип. После проведения линии, как и в предыдущем случае, проводятся линии на уровнях 38,2%, 50% и 61,8%. Эти линии являются показателями потенциального наклонного силового уровня.
Еще один способ –
уровни коррекции
(retracements). После того, как проведена линия от максимальной точки начала движения до максимальной точки прекращения движения, проводятся 9 горизонтальных линий на уровнях 0,0%, 23,6%, 38,2%, 50% и 61,8%, 100%, 161,8%, 261,8% и 423,6%. Выбор уровней зависит от масштаба графика.
Временные зоны Фибоначчи
– это последовательность вертикальных линий с интервалом 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 и т.д. Вблизи этих линий следует ожидать наиболее значимых изменений цен.
Теорией Фибоначчи пользуются аналитики во всем мире. Однако, не стоит ограничиваться только ею.
Статьи из подраздела "Технический анализ":
Предупреждение о рисках:
Новичкам следует знать о том, что торговля на рынке Форекс обладает высокими рисками. Прежде, чем приступить к торговле на реальных счетах, необходимо подготовиться теоретически и практически, убедиться в эффективности выбранной вами торговой стратегии с помощью торговли на бесплатных демо-счетах. Не торгуйте деньгами, которые не готовы потерять.
Портал «Форекс-Ресурс» стремится предоставить всю необходимую информацию, которая будет полезна трейдерам для ведения успешной торговли. Однако, «Форекс-Ресурс» не несет ответственности за принятые вами торговые действия на основании информации, предоставленной на страницах портала.
Леонардо Фибоначчи – один из величайших математиков Средневековья. В одном и своих трудов “Книга вычислений” Фибоначчи описал индо-арабскую систему исчисления и преимущества ее использования перед римской.
Определение
Числа Фибоначчи или Последовательность Фибоначчи – числовая последовательность, обладающая рядом свойств. Например, сумма двух соседних чисел последовательности дает значение следующего за ними (например, 1+1=2; 2+3=5 и т.д.), что подтверждает существование так называемых коэффициентов Фибоначчи, т.е. постоянных соотношений.
Последовательность Фибоначчи начинается так: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
2.
Полное определение чисел Фибоначчи
3.
Свойства последовательности Фибоначчи
4.
1. Отношение каждого числа к последующему более и более стремится к 0.618 по увеличении порядкового номера. Отношение же каждого числе к предыдущему стремится к 1.618 (обратному к 0.618). Число 0.618 называют(ФИ).
2. При делении каждого числа на следующее за ним, через одно получается число 0.382; наоборот – соответственно 2.618.
3. Подбирая таким образом соотношения, получаем основной набор фибоначчиевских коэффициентов: … 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.
5.
Связь последовательности Фибоначчи и «золотого сечения»
6.
Последовательность Фибоначчм асимптотически (пpиближаясь все медленнее и медленнее) стpемится к некотоpому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иppационально, то есть пpедставляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифp в дpобной части. Его невозможно выразить точно.
Если какой-либо член последовательности Фибоначчи pазделить на пpедшествующий ему (напpимеp, 13:8), pезультатом будет величина, колеблющаяся около иppационального значения 1.61803398875… и чеpез pаз то пpевосходящая, то не достигающая его. Hо даже затpатив на это Вечность, невозможно узнать сотношение точно, до последней десятичной цифpы. Kpаткости pади, мы будем пpиводить его в виде 1.618. Особые названия этому соотношению начали давать еще до того, как Лука Пачиоли (сpедневековый математик) назвал его Божественной пpопоpцией. Cpеди его совpеменных названий есть такие, как Золотое сечение, Золотое сpеднее и oтношение веpтящихся квадpатов. Kеплеp назвал это соотношение одним из «сокpовищ геометpии». В алгебpе общепpинято его обозначение гpеческой буквой фи
Представим золотое сечение на примере отрезка.
Рассмотрим отрезок с концами A и B. Пусть точка С делит отрезок AB так что,
AC/CB = CB/AB или
AB/CB = CB/AC.
Представить это можно примерно так: A-–C--–B
7.
Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.
8.
Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью 0,618…, если AB принять за единицу, AC = 0,382.. Kак мы уже знаем числа 0.618 и 0.382 являются коэффициентами последовательности Фибоначчи.
9.
Пропорции Фибоначчи и золотого сечения в природе и истории
10.
Важно отметить, что Фибоначчи как бы напомнил свою последовательность человечеству. Она была известна еще древним грекам и египтянам. И действительно, с тех пор в природе, архитектуре, изобразительном искусстве, математике, физике, астрономии, биологии и многих других областях были найдены закономерности, описываемые коэффициентами Фибоначчи. Просто удивительно, сколько постоянных можно вычислить пpи помощи последовательности Фибоначчи, и как ее члены проявляются в огромном количестве сочетаний. Однако не будет преувеличением сказать, что это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда-либо открытых.
11.
Пpиводимые ниже примеры показывают некоторые интересные приложения этой математической последовательности.
12.
1. Pаковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Дело в том, что отношение измерений завитков раковины постоянно и равно 1.618. Архимед изучал спираль раковин и вывел уравнение спирали. Cпираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.
2. Растения и животные. Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Cпираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Cовместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Cпиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНK закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».
Cреди придорожных трав растет ничем не примечательное растение - цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.
Ящерица живородящая. В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.
И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста. Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.
Пьер Kюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды. Закономерности золотой симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.
3. Космос. Из истории астрономии известно, что И. Тициус, немецкий астроном XVIII в., с помощью этого ряда (Фибоначчи) нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы
Однако один случай, который, казалось бы, противоречил закону: между Марсом и Юпитером не было планеты. Cосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию пояса астероидов. Произошло это после смерти Тициуса в начале XIX в.
Pяд Фибоначчи используют широко: с его помощью представляют архитектонику и живых существ, и рукотворных сооружений, и строение Галактик. Эти факты – свидетельства независимости числового ряда от условий его проявления, что является одним из признаков его универсальности.
4. Пирамиды. Многие пытались разгадать секреты пирамиды в Гизе. В отличие от других египетских пирамид это не гробница, а скоpее неразрешимая головоломка из числовых комбинаций. Замечательные изобpетательность, мастерство, время и труд аpхитектоpов пирамиды, использованные ими пpи возведении вечного символа, указывают на чрезвычайную важность послания, которое они хотели передать будущим поколениям. Их эпоха была дописьменной, доиероглифической и символы были единственным средством записи открытий. Kлюч к геометро-математическому секрету пирамиды в Гизе, так долго бывшему для человечества загадкой, в действительности был передан Геродоту храмовыми жрецами, сообщившими ему, что пирамида построена так, чтобы площадь каждой из ее граней была равна квадрату ее высоты.
Площадь тpеугольника
356 x 440 / 2 = 78320
Площадь квадpата
280 x 280 = 78400
Длина ребра основания пирамиды в Гизе равна 783.3 фута (238.7 м), высота пирамиды -484.4 фута (147.6 м). Длина ребра основания, деленная на высоту, приводит к соотношению Ф=1.618. Высота 484.4 фута соответствует 5813 дюймам (5-8-13) – это числа из последовательности Фибоначчи. Эти интересные наблюдения подсказывают, что конструкция пирамиды основана на пропорции Ф=1,618. Некоторые современные ученые склоняются к интерпретации, что древние египтяне построили ее с единственной целью – передать знания, которые они хотели сохранить для грядущих поколений. Интенсивные исследования пирамиды в Гизе показали, сколь обширными были в те времена познания в математике и астрологии. Во всех внутренних и внешних пропорциях пирамиды число 1.618 играет центральную роль.
Пирамиды в Мексике. Hе только египетские пиpамиды постpоены в соответствии с совеpшенными пpопоpциями золотого сечения, то же самое явление обнаpужено и у мексиканских пиpамид. Возникает мысль, что как египетские, так и мексиканские пиpамиды были возведены пpиблизительно в одно вpемя людьми общего происхождения.
Числа Фибоначчи – на Forex являются математической взаимосвязью и фундаментом для различных методов и стратегий технического анализа на Forex-e. Данные числа — это основа , и во многих других стратегиях рынка Форекс.
В его же честь, уже чуть позже последовательности таких чисел назвали именем самого основателя — «ряд Фибоначчи ».
С помощью этой книги европейцы познали индо-арабскую последовательность чисел, после чего были вытеснены из использования римские цифры в математике и геометрии. Все работы Леонардо Фибоначчи, принесли огромную пользу в сферу развития физики, математики, астрономии и . Сама уникальная формула Фибоначчи, удивительно проста: 1, 2, 3, 5, 8 (и так дальше до бесконечности).
Числовой ряд Фибоначчи имеет очень необычные особенности, а именно, каждое число во взаимосвязи с предыдущим. Итог сложенных двух соседних чисел Фибоначчи, дает в результате число, следующее за первыми двумя. В пример, можно привести следующее: 2 + 2 = 4. Соотношение любого числа к предыдущему числу имеет значение близкое к золотой середине 1, 618. К примеру: 13: 8 = 1, 625; или же 21: 13 = 1, 615; и так далее.
Также рассмотрим иной пример последовательного ряда Леонардо Фибоначчи:
Обратите внимание, как соотношение чисел колеблется вокруг значения 0,618!
На самом деле, сам Леонардо Фибоначчи не считается первым открывателем этого числового ряда. Поскольку следы этой математической связи были обнаружены в музыке, биологии и архитектуре. Даже расположение планет и вся солнечная система основана на этих правилах.
Числа Фибоначчи использовали в строительстве греки при возведении Парфенона, а египтяне при построении известной пирамиды в «Гизе». Уникальные свойства «числовой середины» также были известны величайшим ученым древности как Платону, Пифагору, Архимеду и Леонардо да Винчи.
Удивительная числовая закономерность Фибоначчи
Как правило, коррекция постоянно состоит из 3 скачков…
Обычная коррекция подразделяется на 2 вида:
На четвертой, обычно формируются треугольники, которые постоянно предшествуют последней образовавшейся волне. Эта формация также может быть корректирующей волной В.
Всякая волна подразделяется на более маленькие и является составляющей более длинной.
Бывает так, что одна импульсная волна растягивается, а другие две как правило, должны быть одинаковыми по размеру и времени формирования.
Коэффициенты чисел Фибоначчи и отношения размеров коррекции, которые выведены с помощью этих чисел, применяются для нахождения .
Взаимосвязь размера коррекции к предшествующему движению тренда, обычно равно: 62, 50, 38 процентам.
Метод чередования гласит: не следует дожидаться одного и того же проявления динамики цены 2 раза подряд.
Активный бычий рынок не может упасть ниже, чем начало предшествующей 4 волны.
Кроме того, 4 волна не должна пересекаться с первой.
1) форма волны;
2) соотношение их длины;
3) период их развития.
Помимо этого, как мы уже упоминали, на последовательности выведенной Леонардо Фибоначчи, основывается еще много , которые обязательно будут затронуты в материалах этого сайта.
