В большинстве случаев математическое ожидание еще не достаточно характеризует случайную величину. На практике встречаются случайные величины, имеющие одинаковые математические ожидания, однако принимающие резко различающиеся значения. У одних из этих величин отклонения значений от математического ожидания небольшие, а для других, наоборот, значительны, т.е. для одних рассеивание значений случайной величины вокруг математического ожидания мало, а для других оно велико.
Например, пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:
Математические ожидания этих случайных величин одинаковы и равны нулю. Однако характер их распределения их различный. Случайная величина X принимает значения, мало отличающиеся от математического ожидания, а случайная величина Y – значения, значительно отличаются от математического ожидания.
Приведенные рассуждения и пример свидетельствую о целесообразности введения такой характеристики случайной величины, которая оценивала бы меру рассеивания значений случайной величины вокруг ее математического ожидания, тем более что на практике часто приходится оценивать такое рассеивание. Например, артиллеристам необходимо знать как кучно лягут снаряды вблизи цели, по которой ведется стрельба.
На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не дает, т.к. среднее значение отклонение для любой случайной величины равно нулю. Это объясняется тем, что возможные значения X–M[X] могут иметь как положительные, так и отрицательные знаки.
Избежать изменения знаков отклонений x i – M[X] можно, если заменить их абсолютными значениями или возвести в квадрат. Замена отклонений их абсолютными величинами нецелесообразно, т.к. действия с абсолютными величинами, как правило, вызывают затруднения. Поэтому следует использовать величину (X–M[X]) 2 (точнее, ее среднее значение) для характеристики рассеивания значений случайной величины.
Определение. Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
Законы распределения вероятностей случайной величины X и (X–M[X]) 2 одинаковы. Пусть M[X]m , тогда дисперсия ДСВ будет иметь вид
,
(5.5)
дисперсия НСВ
дисперсия
.
(5.6)
Из определения следует, что дисперсия случайной величины есть величина не случайная (постоянная). Тогда формулу для дисперсии можно преобразовать следующим образом
Таким образом,
.
(5.7)
Это есть основная формула для вычисления дисперсии.
Случайная величина и ее математическое ожидание имеют одну и ту же размерность, но дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. недостатка можно избежать если воспользоваться величиной, равной квадратному корню из дисперсии:
.
(5.8)
Эта случайная величина называется средним квадратичным отклонением случайной величиной.
Пример 5.4. ДСВ X задана следующим законом распределения:
Решение . Способ 1.
Способ 2.
Пример 5.5. НСВ X задана следующей плотностью распределения:
Найти дисперсию D[X] двумя способами и среднее квадратичное отклонение.
Решение . Способ 1.
Способ 2.
,
Среднее квадратичное отклонение
Отметим некоторые свойства дисперсии.
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равно нулю:
Действительно, т.к. M[С]=C, то D[C]=M[С–M(С)] 2 =M[С–С] 2 =M=0. Это свойство очевидно, т.к. постоянная величина принимает только одно значение, следовательно, рассеяние рассеяния вокруг математического ожидания нет.
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
D = C 2 D[X].
Действительно, т.к. постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, то
Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих величин:
D = D[X]+ D[Y].
Действительно, учитывая свойства математического ожидания, получим
Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равно сумме их дисперсий:
D = D[X] + D[Y].
Действительно, в силу свойства 3 D = D[X] + D[–Y]. В соответствие со свойством 2, получим
Ранее было введено понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Эту случайную величину
Иногда называют центрированной случайной величиной . Выше было показано (свойство 5), что математическое ожидание случайной величины равно нулю. Найдем дисперсию центрированной случайной величины. На основании свойств дисперсии, получим
Таким образом, дисперсия случайной величины X и центрированной случайной величины X–M[X] равны между собой.
Иногда бывает удобно использовать безразмерные центрированные случайные величины. Разделим величину X–M[X] на среднее квадратичное отклонениеsимеющее ту же размерность. Вновь полученную случайную величину называютстандартной случайной величиной :
.
(5.9)
Стандартная случайная величина обладает следующими свойствами: 1) M[Z]=0, 2) D[X]=1.
Не следует торговать до тех пор, пока не будет добыто абсолютно убедительных доказательств того, что используемая вами торговая система будет прибыльной - или, иначе говоря, что она имеет при реальной торговле положительное математическое ожидание.
Математическое ожидание - это то количество, которое вы добавляете к счету (или теряете) в среднем при каждой сделке. В теории игр это то, что называется player"s edge (преимущество игрока, если результат положителен для игрока) или house"s advantage (преимущество дома, если результат отрицателен для игрока):
Математическое ожидание = вероятность выигрыша * средняя величина выигрыша + вероятность проигрыша * средняя величина проигрыша
В примере выше с 50% игрой, при которой на 1$ проигрыша приходилось 2$ выигрыша математическое ожидание будет равно:
(0.5*2)+(0.5*(-1))=1+(-0.5)=0.5
Таким образом, математическое ожидание этой игры равно 50 центам на ход.
Оценим математическое ожидание к игре в рулетку:
((1/38)*35)+((37/38)*(-1)) = -0.0526
Таким образом, при игре в рулетку математическое ожидание составляет минус 5.26 центов на ход при ставке 1$. Если ставка составляет 5$, то, в среднем, за ход будет теряться 26.3 цента.
При различных по величине ставках математическое ожидание будет различаться по величине при выражении в пунктах, но будет одинаковым при выражении в процентах. Математическое ожидание серии ставок является суммой ожиданий отдельных ставок. Если вы ставите на число в рулетке сначала 1$, потом 10$, а потом 5$, то математическое ожидание будет равно:
(-0.526 *1)+ (-0.526*10)+ (-0.526*5)=-0.8416
Этот принцип объясняет, почему системы, основанные на изменении размера ставок в зависимости от размера проигрыша или выигрыша обречены на поражение. Сумма негативных ожиданий всегда останется негативной. Мартингайл может быть выигрышным только при неограниченном размере капитала.
Наиболее важный вывод в плане управления капиталом состоит в том, что при отрицательном математическом ожидании торговой системы никакая система управления капиталом не может сделать чуда и принести прибыль.
Различие между положительным и отрицательным математическим ожиданием - это как различие между жизнью и смертью. Не так важно, насколько выигрышна ваша торговая система, как уверенность в том, что она действительно имеет положительное математическое ожидание. При наличии пусть даже небольшого по размеру, но твердого положительного математического ожидания, применение управления капиталом позволяет добиться экспоненциального роста капитала. Поэтому самое важное, что может сделать трейдер - это убедиться всеми возможными способами в том, что его торговая система действительно будет иметь в будущем положительное математическое ожидание.
Основой для такого убеждения служит максимально возможное сохранение степеней свободы вашей торговой системы. Это достигается не только уменьшением числа оптимизируемых параметров в вашей торговой системе, но и уменьшением, насколько это возможно, числа правил. Каждый добавляемый параметр, каждое новое правило, небольшое улучшение и уточнение, вносимые в систему - все ограничивает ее степени свободы и уменьшает уверенность в ее устойчиво-положительном результате в будущем. В идеале нужно иметь очень простую и даже примитивную торговую систему, которая в течение всего времени торговли выдает пусть небольшую, но прибыль, на почти всех несвязанных рынках.
И еще раз - не так важно насколько прибыльна ваша система, сколько то - что она прибыльна. Количество зарабатываемых денег определяется тем, насколько эффективны используемые вами методы управления капиталом. Торговая система - это только средство получения положительного математического ожидания, к которому далее применяется управление капиталом.
Система, которая работает только на одном или нескольких рынках или имеет различные правила и параметры для различных рынков вероятно не будет прибыльной при реальной торговле в течение длительного времени. Проблема многих ориентированных на технический анализ трейдеров состоит в том, что они проводят слишком много времени, терзая свой компьютер бесчисленными тестами в попытках добавить новое правило к своей торговой системе. Лучше направить свою энергию на то, чтобы с максимально возможной уверенностью утверждать, что торговая система будет приносить прибыль, пусть небольшую, при реальной торговле в будущем в течение длительного времени.
Всем привет, мои дорогие посетители и читатели! Сегодня мы с вами поговорим про положительное математическое ожидание, и почему оно имеет высокую важность. На самом деле, многие трейдеры не уделяют этому вопросу должного внимания, и делают это очень даже зря.
На мой взгляд, положительное математическое ожидание имеет просто огромную важность. Конечно, речи я вести не буду про , потому как там положительным ожиданием даже не пахнет. Дело в том, что бинарный контракт изначально ограничен по времени, величине прибыли и убытка. Кроме того, средняя прибыльность по ставкам составляет порядка 75%. То есть, вы рискуете 100% от вашей ставки, чтобы получить только 75%.
Таким образом, не нужно быть математическим гением, дабы понять, что даже при соотношении прибыльных к убыточным сделкам 50 на 50, вы все равно будете проигрывать. Соответственно, у вас в рамках бинарных опционов есть два концептуальных пути.
Первый путь состоит в том, что вы работаете на точность, то есть, делаете очень редкие и осознанные сделки, поддерживаете количество ваших прибыльных сделок на уровне не менее 70%, и спокойно понемногу зарабатываете, соблюдая положительный настрой.
Второй концептуальный путь состоит в том, что вы обильно используете . Доходность от этого выше, но выше и потенциальные риски. По сему, если вы будете использовать Мартин бездумно, то ждите беды – вы сольете депозит.
Вообще, все рассказы о том, что торговать на бинарных опционах невероятно просто – это все иллюзорность и не более того. Эти россказни распространяются только с целью того, чтобы привлечь как можно больше целевой аудитории. Понятное дело, что хомячки, одурманенные крутыми рассказами о легкости этой сферы, идут сюда и, естественно, просаживают тут деньги.
Таких историй просто море, я думаю, что вы и сами слышали о таких историях. Различные форумы просто переполняются душераздирающими рассказами о том, как люди потеряли деньги, что рынок говно, соответственно, нечто не положительное, а совсем наоборот. и прочее. Если говорить про бинарные опционы, то, да, зарабатывать тут можно. Но при этом нельзя забывать, что опционы являются невероятно рискованным инструментом со всеми вытекающими последствиями.
Для лучшего понимания партнера.
Я вам скажу, что от этого никто не застрахован, и даже опытные трейдеры время от времени терпят серьезные потери. В частности, нет никаких гарантий, что в один прекрасный момент времени вы не попадете в череду убыточных сделок, и вот тут вас, как раз, спасет математическое ожидание.
Вообще, вот представим на секунду, что у вас на долгосрочном отрезке соотношение прибыльным к убыточным сделкам находится на уровне 50 на 50. Давайте рассмотрим такое соотношение на примере небольшой выборки, состоящей из 10 сделок. Вы должны понимать, что в рамках этой выборки ваше соотношение сделок может распределяться различным образом. Посмотрите пример, чтобы понять, к чему я веду:
Грубо говоря, к чему эти наскальные рисунки. А вот это как раз вариации выборки, и таких вариантов может быть очень много. По сути, все эти 4 примера – это возможные варианты выборки в рамках соотношения сделок 50 на 50.
Вы никогда не знаете, насколько длинной будет цепочка прибылей или убытков в рамках этой выборки. Но, что вы можете сделать – это четко следовать своей . Давайте будем откровенными, если бы мы получили 5 убытков подряд, вызвало бы это у нас эмоции? Заставило бы это нас начать нарушать свою систему?
Я уверен, что большинстве случаев это было бы так! Ну, одна сделка, ну две сделки воспринимались бы еще как-то. Но вот третья и последующая четвертая убыточная сделка подряд уже выбила бы нас из колеи. А вот этого делать как раз нельзя, у вас есть система и ее надо придерживаться, во что бы то ни стало! Самое главное, чтобы ваше математическое ожидание было положительным!
Если ваша средняя прибыль превышает средний убыток, то вам нечего и париться. Если не верите, то давайте посчитаем! К примеру, вы взяли математическое ожидание 1 к 4. При этом, ваш стоп по сделке 10 пунктов, а тейк, соответственно, 40 пунктов. При этом, у вас только 30% прибыльных сделок, вы не ослышались, только 30%. За выборку возьмем 100 сделок, считаем:
Итого, как вы видите, даже при подавляющем большинстве убыточных сделок при таком математическом ожидании положительном вы бы все равно получали прибыль. Соответственно, как вы видите, в техническом плане все просто! У вас есть четкая система, есть четкие ММ, есть математическое ожидание и все, вы на лошадке.
Но тут как раз в дело вступает та самая пресловутая психология. Понятное дело, что пересиживать убытки морально очень сложно! Если вы думаете, что опытные трейдеры не подвластны этому, то вы ошибаетесь. Но истинный профессионал осознает, что убыток, ровным счетом, как и прибыль – это не конкретная личностная победа или поражение, а это в первую очередь статистика и ничего более.
Не нужно воспринимать убытки и прибыли в качестве побед или поражений. Хотя мыслить нужно положительно! Все это является закономерным исходом вашей работы. При этом, даже убыточная сделка не говорит о том, что вы что-то сделали неправильно. Если сделка оказалась убыточной, но была проведена четко по системе, то это нормально и в этом нет ничего такого плохого и ужасного!
Самое главное, сохраняйте , положительный настрой, следуйте своей системе и будет вам счастье. Кроме того, никогда не нужно спешить, и это очень важно! Каждый ваш вход в рынок должен быть четким и обоснованным. Кроме того, не забывайте, что положительное математическое ожидание является тем инструментом, который позволит себя уверенно чувствовать даже в периоды убытков.
Каждый сам для себя должен решить, какое математическое ожидания должно быть. Но на мой взгляд, необходимо брать не менее 1 к 2, но тут, опять же, решать вам!
Совершенно не обязательно быть правым чаще, чем ошибаться, для того, чтобы чтобы ваш торговый счет рос.
Обсуждая принципы построения , мы говорили о важности правил управления капиталом и рисками. Игнорирование этих пунктов торгового плана приводит к быстрой потере средств.
В этой статье мы продолжим обсуждать важность четвертого и пятого пункта торгового плана и на простых примерах разберем причины их чрезвычайной важности.
Риск-менеджмент подразумевает понимание того, в каких точках выходить из рынка, а также позволяет определить, является ли сделка качественной с точки зрения потенциала прибыли и рисков.
Цель применения правил управления рисками заключается в увеличении устойчивости торгового счета, снижении просадок и максимизации прибыли.
Пример таблицы для иллюстрации влияния различных отношений прибыль/риск на кривую доходности доступен по этой ссылке .
Разберем простой пример, иллюстрирующий безусловную важность применения правил риск-менеджмента в трейдинге. Предположим, что риск на сделку составляет 10$, потенциальная прибыль также равняется 10$. Достойна ли сделка внимания?
Для ответа на этот вопрос нам необходимо знать вероятность получения прибыли или убытка. Но проблема в том, что в трейдинге это можно сделать лишь постфактум — во время анализа статистики сделок, то есть уже после того, как вы рисковали деньгами, или во время тестирования стратегии на исторических данных.
Это одна из причин, по которой нельзя торговать на реальном счете по стратегии, которую вы не тестировали на достаточно длинном и извилистом фрагменте истории.
На достаточно длинной дистанции торговый результат будет равен:
R — торговый результат,
N — количество сделок,
A — средний результат на сделку.
Средний финансовый результат на сделку в данном контексте можно назвать математическим ожиданием. Рассчитывается математическое ожидание так:
МО = СП * ВП — СУ * ВУ
МО — математическое ожидание,
СП — средняя прибыльная сделка в долларах,
ВП — вероятность получения прибыли,
СУ — средняя убыточная сделка в долларах,
ВУ — вероятность получения убытка.
Предположим, что вероятность получения прибыли равна 50%. Если прибыль на сделку равняется 10$, риск также равен 10$, то математическое ожидание равно нулю:
МО = 0,5 * 10$ — 0,5 * 10$ = 0$
Если математическое ожидание равно нулю, то торговля не имеет смысла, поскольку финальный результат в нашем примере также будет равен нулю: если 1000 сделок приносит нам в среднем 0$ на сделку, то в данном процессе прибыль получает брокер, но никак не трейдер.
Если в нашем примере вероятность получения убытка вырастет всего на 1%, ситуация кардинально изменится, математическое ожидание будет отрицательным:
МО = 0,49 * 10$ — 0,51 * 10$ = — 0,2$
Это означает, что в среднем в каждой сделке трейдер теряет 20 центов, и чем больше будет сделок, тем больше средств будет потеряно. Это характерно для всех систем с заведомо отрицательным математическим ожиданием (рулетка, игральные автоматы).
Если математическое ожидание ниже нуля, трейдинг не имеет смысла. Чем больше сделок совершает трейдер, тем больше средств будет потеряно.
Аналогично в бинарных опционах “выигрыш”, как правило, меньше риска. Это смещает математическое ожидание в пользу казино — если трейдер получает прибыль в 50% случаев, он все равно остается в минусе. В настоящих биржевых опционах вы вправе выбирать подходящие вам потенциалы прибыли и риска из тысяч возможных вариантов, а цена таких опционов определяется рыночным спросом и предложением, а не соответствующим департаментом брокера.
Пример, в котором мы рассчитали математическое ожидание, утрирован, тем не менее основная мысль данной статьи начинает постепенно выкристаллизовываться:
Если в среднем в каждой сделке прибыль равна или ниже риска, то трейдер принимает на себя обязательство (!) совершать больше прибыльных сделок, чем убыточных.
Зачем принимать на себя такое обязательство? Это абсурд.
Разовьем данную тему и разберем еще несколько наглядных примеров.
Предположим, что торговый капитал равен 10 000$. Риск на сделку равняется 200$, соотношение прибыль/риск равняется два к одному, то есть в среднем прибыль на сделку равняется 400$.
Пусть в течение квартала трейдер активно торгует и совершает 300 сделок, при этом статистика данного периода далека от идеала — трейдер ошибается чаще, чем является правым — 180 сделок (60%) закрываются с убытком, 120 сделок (40%) — с прибылью. Математическое ожидание (МО) будет равно:
МО = 400$ * 0.4 — 200$ * 0.6 = 40$
Это означает, что в среднем в каждой сделке трейдер получает результат в 40$, и если сделок будет много, с торговым счетом все будет в порядке.
Рассчитаем торговый результат за период (ТР) по формуле выше:
ТР = 40$ * 300 сделок = + 12 000$
Трейдер ошибается в 60% случаев, а его капитал растет на 120%? Это и есть «Грааль» — магия риск-менеджмента. «Грааль» в трейдинге находится в , в отношении прибыль/риск на каждую сделку и расчете оптимального объема позиции.
Если соотношение прибыль/риск выше или равно 2, то трейдер получает возможность ошибаться чаще, чем быть правым.
Это увеличивает вероятность получения положительного математического ожидания, и чем выше будет соотношение прибыль/риск в каждой сделке, тем активнее будет расти торговый счет и тем быстрее будет выход из просадок.
Для принятия решений вы должны сосредоточиться на последствиях (которые вы можете знать), а не на вероятности события (степень которой вы знать не можете) - это главное правило идеи неопределенности. На этом фундаменте можно построить общую теорию принятия решений. Все, что нужно делать, это смягчать последствия.
Попутного тренда!
Математическое ожидание (МО) – это сумма произведения вероятностей получения прибыли со сделки, умноженная на фактический результат каждого трейда:
Где n – количество трейдов.
Убыточные сделки, подставляются в формулу с отрицательным знаком и при суммировании вычитаются, поэтому матожидание принимает как положительные, так и отрицательные значения.
Вероятности положительного исхода (или риска) на каждую сделку заменяют ее фактическим значением, добавляя соотношение среднего арифметического прибыли и убытка. В этом случае формула выглядит следующим образом:
Где фактическая вероятность равна реальному проценту прибыльных сделок от общего числа совершенных трейдов.
Средний профит считается как сумма прибыльных сделок, деленная на их количество. Также рассчитывают средний убыток (ср. лосс), суммируя отрицательные значения и усредняя результаты трейдов.
Соотношение флета и тренда меняется непредсказуемо, поэтому нельзя точно рассчитать вероятность, когда выросшие до максимума направленные движения принесут размер убытка, который невозможно «отработать» малыми тейками.
Правило сбора статистических данных для расчета математического ожидания профита
Расчеты математического ожидания считаются достоверными если:
данные включают исторический период от 2000 до 10 000 свечей или баров «рабочего таймфрейма» ; тесты в равной степени содержат участки растущего, падающего тренда и флэта ; волатильность не имеет сильных отклонений от исторических значений (нет кризисных явлений или панических распродаж).
Тактические приемы по повышению значения математического ожидания
Математическое ожидание сильно зависит от выбора тактики фиксации прибыли и ограничения потерь. Прежде чем принять решение расстаться с найденной или разработанной стратегией, по причине невысокого результата у МО, следует обратить внимание на соотношение стопов и тейков.
Малый размер ограничения убытков приводит к увеличению количества отрицательных сделок и накоплению убытков. Если трейдер торгует парой EUR/USD внутри дня, он должен учитывать, что «торговый шум» в среднем составляет 30 пунктов и приведет к частому срабатыванию stop loss, расположенных в этой зоне.
Соотношение тейк/стоп как 2 к 1 увеличивает значение матожидания. Считается, что тейки и стопы не должны быть ниже паритета (1 к 1).
Уменьшение количества сделок может привести к росту значения МО. Трейдеры используют временные фильтры, торгуя в течение сессии на участках, совпадающих по времени с работой фондовых бирж стран, к которым относятся валюты пары.
Повышение качества входов – покупок или продаж валютных пар . В торговую систему вводятся фильтры, разрешающие сделку в значимых точках. Таковыми являются – исторические максимумы и минимумы, свечи, совпадающие по тренду на младших и старших таймфреймах, показания индикаторов с большим (от 50) периодом и т.д.
Особенности математического ожидания при скальпинге
Скальпинг характеризуется большим количеством сделок внутри дня с низким положительным значением МО. Малый размер стопов в этом случае составляет исключение, оправданное высокой активностью торгов. При небольшом превалировании прибыли над убытком заработок приносит большое количество сделок внутри дня.
В остальных тактических правилах исключений нет – скальпер применяет фиксированное значение тейка, превосходящее по величине уровень стопа. Поиск оптимального значения матожидания достигается за счет подбора времени удерживания сделки, скальпер не должен «пересиживать» или работать, когда нет волатильности.
Рассматриваемый параметр не определяет в одиночку целесообразность принятия стратегии. Оценка производительности основана на комплексном анализе результатов тестирования.
