Цели урока:
повторить и закрепить правила выполнения действий между одночленами и многочленами. В течение урока развивать у учеников умение упрощать выражения с одночленами и многочленами, использовать свои знания для выполнения разных видов заданий; так же развивается чувство сотрудничества и сопереживания.
Ход урока:
1. Организационный момент. (2 мин.)
Рассадить детей на 5 групп. Рассказать тему урока и задачи урока.
2. Анализ самостоятельной работы. (5 мин.)
Выставить оценки и разобрать задания из работы, которые при решении вызвали затруднения. Так же проводится фронтальный опрос всего класса по определения и правилам.
3. Актуализация знаний. (13 мин.)
На столе преподавателя лежат три стопки карточек. В первой карточки с выражениями одночленов:
Во второй и третьей карточки с выражениями многочленов:
В каждой стопке по шесть карточек. Из каждой группы выходит по очереди по одному ученику и для своей группы берет по карточке из каждой стопки. И с данными выражениями группа должна выполнить следующие упражнения:
Примеры записываются и решаются. Примеры должны быть записаны у каждого в группе и решение должен уметь объяснить каждый из группы.
После выполнения задания, учитель из каждой группы вызывает по одному ученику. Этот ученик должен записать примеры на доске и затем объяснить решение. Пока задания записываются, остальные устно выполняют и разбирают задание № 796.
4. Решение задач. (13 + 7 мин.)
1) После каждой группе выдается карточка с выражениями для упрощения. Карточки у всех одинаковые. Учащиеся должны обсудить в группе, каким образом выполнять действия и внимательно решить.
После выполнения устно проверяются ответы. Каждая группа читает по одному ответу. Если в каком-нибудь примере возникли трудности, то пример обсуждается на доске. (Обратить внимание на пятый пример.)
2) Затем каждой группе раздается по карточке с заданием на доказательство. Если ученики не могут справиться, преподаватель чуть-чуть должен подсказать.
| Карточка 1.
. |
Карточка 2.
|
Продолжаем изучать действия с многочленами . В этой статье мы разберем умножение многочлена на многочлен . Здесь мы получим правило умножения, после чего рассмотрим его применение при решении примеров на умножение многочленов различного вида.
Навигация по странице.
Чтобы подойти к правилу умножения многочлена на многочлен, рассмотрим пример. Возьмем два многочлена a+b и c+d и выполним их умножение.
Сначала составим их произведение, для этого заключим каждый из многочленов в скобки, и поставим между ними знак умножения, имеем (a+b)·(c+d) . Теперь обозначим (c+d) как x , после этой замены записанное произведение примет вид (a+b)·x . Выполним умножение так, как проводится умножение многочлена на одночлен : (a+b)·x=a·x+b·x . На этом этапе проведем обратную замену x на c+d , что нас приведет к выражению a·(c+d)+b·(c+d) , которое с помощью правила умножения одночлена на многочлен преобразуется к виду a·c+a·d+b·c+b·d . Таким образом, умножению исходных многочленов a+b и c+d соответствует равенство (a+b)·(c+d)=a·c+a·d+b·c+b·d .
Из проведенных рассуждений можно сделать два важных вывода. Во-первых, результатом умножения многочлена на многочлен является многочлен. Это утверждение справедливо для любых умножаемых многочленов, а не только для тех, которые мы взяли в примере. Во-вторых, произведение многочленов равно сумме произведений каждого члена одного многочлена на каждый член другого. Отсюда следует, что при умножении многочленов, содержащих m и n членов соответственно, указанная сумма произведений членов будет состоять из m·n слагаемых.
Теперь сделанные выводы нам позволяют сформулировать правило умножения многочленов:
чтобы провести умножение многочлена на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и сложить полученные произведения.
На практике при решении примеров правило умножения многочлена на многочлен, полученное в предыдущем пункте, разбивается на последовательные шаги:
Разберемся с этим на конкретном примере.
Пример.
Выполните умножение многочленов 2−3·x и x 2 −7·x+1 .
Решение.
Записываем произведение: (2−3·x)·(x 2 −7·x+1) .
Теперь составляем сумму произведений каждого члена многочлена 2−3·x на каждый член многочлена x 2 −7·x+1 . Для этого берем первый член первого многочлена, то есть, 2 , и умножаем его на каждый член второго многочлена, имеем 2·x 2 , 2·(−7·x) и 2·1 . Теперь берем второй член первого многочлена −3·x и умножаем его на каждый член второго многочлена, имеем −3·x·x 2 , −3·x·(−7·x) и −3·x·1 . Из всех полученных выражений составляем сумму: 2·x 2 +2·(−7·x)+2·1− 3·x·x 2 −3·x·(−7·x)−3·x·1 .
Чтобы убедиться, что мы все сделали правильно и не забыли про произведение каких-нибудь членов, посчитаем количество членов в полученной сумме. Там их 6 . Так и должно быть, так как исходные многочлены состоят из 2 и 3 членов, а 2·3=6 .
Осталось полученную сумму преобразовать в многочлен стандартного вида:
2·x 2 +2·(−7·x)+2·1−
3·x·x 2 −3·x·(−7·x)−3·x·1=
23·x 2 −17·x+2−3·x 3
.
Таким образом, умножение исходных многочленов дает многочлен 23·x 2 −17·x+2−3·x 3 .
Удобно решение записывать в виде цепочки равенств, которая отражает все выполняемые действия. Для нашего примера краткое решение выглядит так:
(2−3·x)·(x 2 −7·x+1)=
2·x 2 +2·(−7·x)+2·1−
3·x·x 2 −3·x·(−7·x)−3·x·1=
2·x 2 −14·x+2−3·x 3 +21·x 2 −3·x=
(2·x 2 +21·x 2)+(−14·x−3·x)+2−3·x 3 =
23·x 2 −17·x+2−3·x 3
.
Ответ:
(2−3·x)·(x 2 −7·x+1)=23·x 2 −17·x+2−3·x 3 .
Стоит заметить, что если умножаемые многочлены заданы в виде, отличном от стандартного, то перед умножением их целесообразно привести к стандартному виду. В результате получится тот же результат, что и при умножении многочленов в исходном не стандартном виде, но решение получится намного короче.
Пример.
Выполните умножение многочленов и x·y−1 .
Решение.
Многочлен дан не в стандартном виде. Прежде чем выполнять умножение, приведем многочлен его к стандартному виду:
Теперь можно выполнять умножение многочленов:
Ответ:
В заключение скажем, что иногда приходится выполнять умножение трех, четырех и большего количества многочленов. Оно сводится к последовательному умножению двух многочленов. То есть, сначала умножаются первые два многочлена, полученный результат умножается на третий многочлен, этот результат умножается на четвертый многочлен и так далее.
Пример.
Найдите произведение трех многочленов x 2 +x·y−1 , x+y и 2·y−3 .
Список литературы.
Процент - это одна сотая доля числа, принимаемого за целое. Проценты используются для обозначения отношения части к целому, а также для сравнения величин.
1% = 1 100 = 0,01
Калькулятор процентов позволяет выполнить следующие операции:
Чтобы найти процент p от числа, нужно умножить это число на дробь p 100
Найдем 12% от числа 300:
300 · 12
100
= 300 · 0,12 = 36
12% от числа 300 равняется 36.
Например, товар стоит 500 рублей и на него действует скидка 7%. Найдем абсолютное значение скидки:
500 · 7
100
= 500 · 0,07 = 35
Таким образом, скидка равна 35 рублей.
Чтобы вычислить процентное отношение чисел, нужно одно число разделить на другое и умножить на 100%.
Вычислим, сколько процентов составляет число 12 от числа 30:
12
30
· 100 = 0,4 · 100 = 40%
Число 12 составляет 40% от числа 30.
Например, книга содержит 340 страниц. Вася прочитал 200 страниц. Вычислим, сколько процентов от всей книги прочитал Вася.
200
340
· 100% = 0,59 · 100 = 59%
Таким образом, Вася прочитал 59% от всей книги.
Чтобы прибавить к числу p процентов, нужно умножить это число на (1 + p 100 )
Прибавим 30% к числу 200:
200 · (1 + 30
100
) = 200 · 1,3 = 260
200 + 30% равняется 260.
Например, абонемент в бассейн стоит 1000 рублей. Со следующего месяца обещали поднять цену на 20%. Вычислим, сколько будет стоить абонемент.
1000 · (1 + 20
100
) = 1000 · 1,2 = 1200
Таким образом, абонемент будет стоить 1200 рублей.
Чтобы отнять от числа p процентов, нужно умножить это число на (1 - p 100 )
Отнимем 30% от числа 200:
200 · (1 - 30
100
) = 200 · 0,7 = 140
200 - 30% равняется 140.
Например, велосипед стоит 30000 рублей. Магазин сделал на него скидку 5%. Вычислим, сколько будет стоить велосипед с учетом скидки.
30000 · (1 - 5
100
) = 30000 · 0,95 = 28500
Таким образом, велосипед будет стоить 28500 рублей.
Чтобы вычислить, на сколько процентов одно число больше другого, нужно первое число разделить на второе, умножить результат на 100 и вычесть 100.
Вычислим, на сколько процентов число 20 больше числа 5:
20
5
· 100 - 100 = 4 · 100 - 100 = 400 - 100 = 300%
Число 20 больше числа 5 на 300%.
Например, зарплата начальника равна 50000 рублей, а сотрудника - 30000 рублей. Найдем, на сколько процентов зарплата начальника больше:
50000
35000
· 100 - 100 = 1,43 * 100 - 100 = 143 - 100 = 43%
Таким образом, зарплата начальника на 43% выше зарплаты сотрудника.
Чтобы вычислить, на сколько процентов одно число меньше другого, нужно из 100 вычесть отношение первого числа ко второму, умноженное на 100.
Вычислим, на сколько процентов число 5 меньше числа 20:
100 - 5
20
· 100 = 100 - 0,25 · 100 = 100 - 25 = 75%
Число 5 меньше числа 20 на 75%.
Например, фрилансер Олег в январе выполнил заказы на 40000 рублей, а в феврале на 30000 рублей. Найдем, на сколько процентов Олег в феврале заработал меньше, чем в январе:
100 - 30000
40000
· 100 = 100 - 0,75 * 100 = 100 - 75 = 25%
Таким образом, в феврале Олег заработал на 25% меньше, чем в январе.
Если число x это p процентов, то найти 100 процентов можно умножив число x на 100 p
Найдем 100%, если 25% это 7:
7 · 100
25
= 7 · 4 = 28
Если 25% равняется 7, то 100% равняется 28.
Например, Катя копирует фотографии с фотоаппарата на компьютер. За 5 минут скопировалось 20% фотографий. Найдем, сколько всего времени занимает процесс копирования:
5 · 100
20
= 5 · 5 = 25
Получаем, что процесс копирования всех фотографий занимает 30 минут.
